Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik
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Grundlagen<br />
Musterbeispiele<br />
Trainingsaufgaben mit Lösungen<br />
Klasse 9/10<br />
Datei Nr. 12310<br />
Zu diesem Thema gibt es noch folgende Texte:<br />
12321 Lernprogramm<br />
12333 Übung 4<br />
12335 Lernblatt<br />
12500 Aufgabensammlung<br />
12510 Sammlung von Tests<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
Stand 12. Januar 2008<br />
Friedrich W. Buckel<br />
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
www.mathe-cd.de<br />
ALGEBRA<br />
Potenzen und Wurzeln
12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 2<br />
Inhalt<br />
Vorbemerkung - Potenzen zum Auswendiglernen 2<br />
§ 1 Potenzen mit natürlichen Exponenten 3<br />
5 Potenzgesetze<br />
§ 2 Potenzen mit negativen ganzen Exponenten 5<br />
Die 5 Potenzgesetze gelten auch hier 7<br />
§ 3 n-te Wurzeln 9<br />
Dritte Wurzeln 9<br />
Vierte Wurzeln und n-te Wurzeln 10<br />
§ 4 Wurzeln als Potenzen schreiben 12<br />
§ 5 Beliebige Bruchexponenten 15<br />
Umwandlung von Bruchexponenten größer als 1 17<br />
Und wenn der Exponent negativ ist 18<br />
§ 6 Rechnen mit Wurzeln 22<br />
1. Multiplikation von gleichartigen Wurzeln 22<br />
2. Division von gleichartigen Wurzeln 23<br />
3. Potenzieren von Wurzeln 24<br />
4. Verschachteln von Wurzeln 25<br />
5. Teilweises Ziehen von Wurzeln 26<br />
6. Addition von Vielfachen gleichartiger Wurzeln 27<br />
7. Binomische Formeln mit Wurzeln 28<br />
8. Rationalmachen des Nenners 29<br />
9. Multiplikation verschiedenartiger Wurzeln 34<br />
10. Division verschiedenartiger Wurzeln 35<br />
11. Vermischtes – Unangenehmes – Unverschämtes 36<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
Lösungen aller Aufgaben ab Seite 37 bis 63
12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 3<br />
Vorbemerkung:<br />
Potenzrechnen erfordert einen Grundschatz<br />
an Potenzen, die man auswendig wissen muss.<br />
Dies sollte jeder ohne Nachdenken wissen:<br />
Alle Quadratzahlen bis 20 2<br />
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25<br />
6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100<br />
11 2 =121 12 2 = 144 13 2 =169 14 2 = 196 15 2 = 225<br />
16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400<br />
und diese weiteren Potenzen<br />
2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 2 6 = 64 2 7 = 128<br />
2 8 = 256 2 9 = 512 2 10 = 1024 3 3 = 27 3 4 = 81<br />
4 3 = 64 4 4 = 256 5 3 = 125 5 4 = 625 6 ´3 = 216<br />
Mit diesem „Grundpotenzschatz“ kommt man sehr weit!<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong>
12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 4<br />
Beispiele:<br />
Beispiele:<br />
§ 1 Potenzen mit natürlichen Exponenten<br />
Definition:<br />
a heißt die Basis, n der Exponent oder die Hochzahl.<br />
Weil n eine Anzahl darstellt, muß n eine natürliche Zahl sein !<br />
( ) 5<br />
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =<br />
2 2 2 2 2 2 32<br />
3 3 3 3 3 3 243<br />
( ) 4<br />
3<br />
5⋅2 bedeutet 5 8 40<br />
a n =a⋅a⋅a ⋅... ⋅a<br />
2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4<br />
= 2 = 2<br />
<br />
nFaktoren<br />
Vereinbarung<br />
Um Klammern zu sparen gelte die Vorschrift:<br />
1. Punkt vor Strich<br />
2. Potenz von Punkt<br />
⋅ = und nicht ( ) 3 3<br />
POTENZGESETZE<br />
5 ⋅ 2 = 10 = 1000 !!!!<br />
1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:<br />
m n m n<br />
a a a +<br />
⋅ =<br />
z.B. ( ) ( )<br />
2. Division von Potenzen mit gleicher Basis:<br />
⎧ ><br />
m−n a falls m n<br />
m ⎪<br />
a ⎪ 1<br />
= falls m n<br />
n ⎨<br />
<<br />
n−m a ⎪ a<br />
⎪<br />
⎩<br />
1 falls m= n<br />
9 ⋅ 9 = 9⋅9 ⋅ 9⋅9⋅ 9 = 9 = 9<br />
4<br />
+<br />
⋅ 4 = ( 4⋅4⋅4⋅4⋅4) ⋅ 4 = 4 = 4<br />
2 3 2+ 3 5<br />
5 5 1 6<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
5<br />
9 9⋅9⋅9⋅9⋅9 3<br />
= = = =<br />
9 9⋅9⋅9 Achtung: Der 1. Fall liefert <strong>für</strong> m = n: m<br />
a<br />
m<br />
a<br />
= a<br />
−<br />
= a<br />
Daher ist folgende Definition sinnvoll:<br />
0<br />
a = 1<br />
m m o<br />
5−3 2<br />
9 9 81<br />
3<br />
9 9⋅9⋅9 1 1 1<br />
= = = =<br />
5 5−3 2<br />
9 9⋅9⋅9⋅9⋅9 9 9 81
12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 5<br />
3. Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten:<br />
( ) n<br />
n n<br />
a ⋅ b = a⋅b z.B. ( ) ( ) ( ) 4<br />
1 ( ) 1 1 1 1 1 ( 1)<br />
2 ⋅ 3 = 2⋅2⋅2⋅2 ⋅ 3⋅3⋅3⋅ 3 = 2⋅ 3 = 6<br />
4 4 4<br />
5 5 5 5<br />
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
6 6 6 6 6 6 6 3<br />
4. Division von Potenzen mit gleichen Exponenten:<br />
n<br />
a a<br />
n<br />
⎛ ⎞<br />
=<br />
b<br />
⎜<br />
b<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
z.B..<br />
oder<br />
oder<br />
5 5 5 5<br />
2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ 1 1<br />
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = =<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
5 5<br />
4 4 2 2 32<br />
4<br />
4 4<br />
8 ⎛ 8 ⎞ ⎛2⎞ = =<br />
4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝12 ⎠ ⎝3⎠ Man muss also genau darauf achten, welcher dieser 5 Fälle vorliegt:<br />
12<br />
3<br />
144 144<br />
3<br />
9<br />
Ist die Basis gleich, werden die Hochzahlen addiert bzw. subtrahiert<br />
Ist der Exponent gleich, darf er ausgeklammert werden.<br />
Wird eine Potenz potenziert, werden die Exponenten multipliziert!<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
= ⎜ ⎟ = 16<br />
⎝ 9 ⎠<br />
In der 1. Rechnung wurde das 4. Potenzgesetzt gleich zweimal angewandt: Beim ersten und beim dritten<br />
Gleichheitszeichen.<br />
5. Potenzieren von Potenzen:<br />
( ) n<br />
n<br />
a a ⋅<br />
=<br />
m mn<br />
4<br />
z.B.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
3<br />
2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = 2<br />
3 3 3 3 3 3+ 3+ 3+ 3 3⋅4 oder ( ) 5<br />
oder<br />
5 4 4⋅5 20<br />
16 = 2 = 2 = 2<br />
3<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1<br />
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ = =<br />
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 2 2<br />
4 4 4 4 43 ⋅ 12<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong>
12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 6<br />
§ 2 Potenzen mit negativen ganzen Exponenten<br />
Lesestoff und Hintergrundwissen: Notwendigkeit einer weiteren Definition<br />
Die folgenden Zeilen setzen voraus, dass man weiß, dass Potenzen so definiert sind,<br />
dass der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt. Anzahlen können aber nur<br />
natürliche Zahlen sein. Also kann man damit 2 -4 nicht erklären, denn der Exponent<br />
ist keine natürliche Zahl und kann keine Anzahl angeben! Dennoch gelingt es,<br />
diesem Ausdruck 2 -4 ein sinnvolles Ergebnis zuzuweisen. Bitte mitdenken:<br />
Verwendet man nur natürliche Exponenten, dann erfordert das 2. Potenzgesetz eine<br />
Fallunterscheidung, denn die Aufgaben<br />
6<br />
2<br />
2 6−2 4 2 1 1<br />
= 2 = 2 und = =<br />
2<br />
6 6−2 4<br />
2<br />
2 2 2<br />
verlangen zunächst verschiedene Rechenwege.<br />
Wenn man jedoch die zweite Aufgabe genauso löst wie die erste:<br />
2<br />
2 2−6 −4<br />
= 2 = 2<br />
6<br />
2<br />
erhält man eine Potenz, die bisher sinnlos war, denn es entsteht ein negativer<br />
Exponent . Da des Exponent bisher die Anzahl der Faktoren angegeben hat, konnte<br />
er keine negative Zahl sein, denn - 4 Faktoren gibt es nicht.<br />
Also muss man den Ausdruck 2 -4 neu definieren und festlegen, was er bedeuten<br />
soll, indem man verlangt: Beide Rechnungen müssen zum gleichen Ergebnis führen:<br />
2<br />
2<br />
2 1 1 2 2−6 −4<br />
= = und = 2 = 2<br />
6 6−2 4<br />
6<br />
2 2 2 2<br />
Also legt man fest:<br />
Analog dazu bedeuten:<br />
Hier die neue<br />
− 1 1<br />
= = 4 .<br />
2 16<br />
4 2 :<br />
3<br />
9<br />
1 1<br />
− 2<br />
= = ;<br />
2<br />
3 9<br />
1 1<br />
9 81<br />
− 2<br />
= = ,<br />
2<br />
12<br />
Definition:<br />
1 1<br />
12 144<br />
− 2<br />
= = ,<br />
2<br />
5<br />
7<br />
− 3<br />
= = 3<br />
− 1<br />
=<br />
Man muss sich merken: a -n ist der Kehrwert von a n !<br />
a<br />
2<br />
1<br />
a<br />
:= heißt „sei“<br />
und besagt, dass hier<br />
etwas festgelegt wird.<br />
1 1<br />
5 125<br />
1<br />
7<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
1 1<br />
2 1024<br />
− 10<br />
= = usw.<br />
10<br />
− n<br />
= <strong>für</strong> n ∈N<br />
n<br />
-n<br />
a ist also der Kehrwert von n<br />
a
12310 Potenzen und Wurzeln Lösungen 7<br />
1<br />
Was ergibt dann 3<br />
2<br />
− =<br />
?<br />
Weiter auf der <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong>