Vierecke - Internetbibliothek für Schulmathematik

Vierecke
Datei Nr. 11211
Friedrich Buckel
Demo: Mathe-CD
Stand 20. April 2008
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Geometrie
Klassenstufe 8

Inhalt
1 Allgemeines zu Vierecken 1
2 Konstruktion von Vierecken 3
3 Spezielle Vierecke 7
3.1 Trapeze 7
3.2 Parallelogramme 13
3.3 Raute, Rechteck, Quadrat 19
3.4 Drachen 21
3.5 Eigenschaften von Viereckarten 25
4 Achsensymmetrie bei Vierecken
(Orthogonalsymmetrie – Schrägsymmetrie
(Seitenhalbierendensymmetrie – Diagonalsymmetrie) 26
4.1 Geradenspiegelungen 26
4.2 Achsensymmetrische Vierecke 28
4.3 Schrägspiegelung 30
4.4 Schrägsymmetrische Vierecke 32
4.5 Punktsymmetrische Vierecke 34
Demo: Mathe-CD
4.6 Symmetrieeigenschaften der Viereckarten 36
5 Wenn-Dann-Sätze 38
5.1 Identifizierung von Parallelogrammen 40
5.2 Identifizierung von Rauten / Rechtecken 42
5.3 Identifizierung von Trapezen 43
5.4 Identifizierung von Drachen 44

11211 Vierecke 1
Nebenstehende Abbildung zeigt,
wie man normalerweise die Bezeichnungen
der Seiten (Kleinbuchstaben) und Winkel
an den Eckpunkten ausrichtet.
1. Allgemeines zu Vierecken
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d
D
δ
f
M
c
ε
ε 2
1
Die beiden Diagonalen e = AC und
f = BD zerteilen das Viereck in jeweils
e
zwei Dreiecke. Das Teildreieck ABD
wurde eingefärbt.
Die Diagonalen schneiden sich in einem A
Punkt M unter vier Winkeln, von denen jeweils
α
a
β
zwei gleich groß sind. Zwei Winkel wurden mit ε 1 und ε 2 („Epsilon“) bezeichnet.
Um Irrtümern vorzubeugen: Normalerweise halbieren sich die Diagonalen der vier
Winkel des Vierecks nicht. Wir werden noch Sonderfälle kennenlernen, in denen
dies der Fall ist.
Es gibt Sonderfälle von Viereckformen:
Hier ist γ ein überstumpfer Winkel, d. h.
sein Winkelmaß ist größer als 180 O .
Bei manchen Konstruktionen ergibt
sich dies als zweite Lösung.
Man muss dann von der Aufgabenstellung
her entscheiden, ob diese Lösung brauchbar
ist oder nicht.
Dieses Viereck ist ein überschlagenes Viereck.
Bei ihm schneiden sich sogar zwei Viereckseiten.
Wir schließen es als „entartetes Viereck“ immer aus.
Eine Besonderheit dieses Vierecks sind
die Winkel. Dazu machen wir eine
Wanderung entlang der Vierecklinien
und zwar im obersten Bild
und hier im 3. Bild !
A
Demo: Mathe-CD
Wir stellen uns in A auf die Linie AB und
gehen auf B zu. Dabei halten wir den linken
Arm ausgestreckt! In B angekommen drehen wir
B
uns um den Winkel β nach rechts, so dass der linke Arm
den zu β gehörenden Bogen (mit Pfeil!) beschreibt.
Nun wandern wir von B nach C und halten wiederum den linken Arm ausgestreckt.
In C angekommen drehen wir uns um γ nach rechts. Das macht in der Abbildung 1
keine Probleme, in der Abbildung 3 dagegen erkennt man, dass jetzt der Winkel γ
außen liegt! Nun gehen wir von C nach D, drehen uns dort entsprechend und
erleben denselben Effekt: Bei unserem überschlagenen Viereck, liegt δ wiederum
außen! Grund genug also, von dieser Abart eines Vierecks die Finger zu lassen.
α
γ
γ
C
β
γ
D
C
b
δ
p

11211 Vierecke 2
Dies gibt Anlass, über die Winkel eines Vierecks nachzudenken:
Winkel Eigenschaft aller „normalen“ Vierecke:
Die Winkelsumme in einem nicht überschlagenen
Viereck beträgt 360 O .
Dies zu beweisen ist ganz einfach und sollte man mit einer großen Schnur im
Klassenzimmer oder Wohnzimmer einmal nachvollziehen. Dazu benötigt man
vier Personen, welche eine etwa 6 m lange, zu einem Ring zusammengeknotete
Schnur an vier Stellen A, B, C und D halten. Eine fünfte Person (unser
„Winkelmesser“ WM) muss innerhalb dieses Vierecks den ganzen Umfang ablaufen
und dabei trickreich die Winkel „messen“ – ohne einen Winkelmesser zu verwenden:
Die Figur stellt unsere Person
WM dar, die innen entlang
der Seiten um das Viereck
wandert. Der gelbe Kopf gibt nicht
die Gehrichtung an, sondern die
Richtung in der diese Person blickt.
Und das Fähnchen ist die ausgestreckte
linke Hand. (Wir schauen von oben auf
das Geschehen.)
Bei unserem Beweis geht WM von A nach B, Blick nach B. Dort dreht er sich so,
dass der linke Arm den Winkel β beschreibt. Jetzt dreht aber WM dem Punkt C den
Rücken zu, also muss er rückwärts von B nach C wandern. In C dreht er sich
wiederum im Uhrzeigersinn um den Winkel γ . Jetzt schaut er in Richtung D und
geht vorwärts nach D. Dort dreht er sich im Uhrzeigersinn um den Winkel δ , worauf
er A den Rücken zukehrt. Nun marschiert WM rückwärts nach A. Dort dreht er sich
schließlich um α und er hat seine Ausgangsposition erreicht.
Wir halten fest: WM hat sich bei seiner Wanderung insgesamt um 360 O gedreht.
Die Summe der Drehungen hat also 360 O ergeben!
Zusatz: Winkelsumme im Dreieck
Die Wirkung dieses Beweises wird um so
augefälliger, wenn man dies an einem
Dreieck versucht. Nach einer Umkreisung
landet WM dort auf AB in umgekehrter
Position, d.h. er hat sich im Dreieck um 180 O
gedreht!
Man kann mit Schülern eine lange
Schnur verknoten und dann ein Fünfeck oder
Sechseck spannen und auf diese Weise ausmessen lassen !
α
β
A B
β
A B
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D
Demo: Mathe-CD
α
δ
Ziel
γ
Start
C
γ
C

11211 Vierecke 3
2. Konstruktion von Vierecken
Bedenkt man die Tatsache, dass man ein Viereck durch eine Diagonale in zwei
Dreiecke zerlegen kann, und man für ein Dreieck in der Regel drei Stücke kennen
muss (um das ganze Dreieck zu konstruieren), dann muss man noch zwei Seiten
zusätzlich kennen um ein komplettes Viereck zu haben:
Ein Viereck konstruiert man also in der Regel aus 5 gegebenen Teilen.
Grundregeln einer Konstruktion
Regel Nr. 1: Erstelle eine Planfigur.
In sie trägt man mit (grüner) Farbe alles ein, was gegeben ist.
Sie hilft beim Finden der Konstruktionsschritte.
Regel Nr. 2: Erstelle die Konstruktionszeichnung.
Regel Nr. 3: Schreibe einen kurzen und doch präzisen Konstruktionstext.
Beispiel 1: Gegeben sind
a = 6 cm, β = 75 O , b = 3,5 cm, c = 3,1 cm und d = 2,7 cm.
Konstruktion:
A
d
D1
d
c
C
D2 β
a
c
b
B
Planfigur:
Demo: Mathe-CD
Konstruktionstext: (Vorschlag)
(1) Zeichne AB = a.
(2) Lege an AB in B den Winkel β an.
β
A
a
B
(3) Trage auf dem freien Schenkel von β BC = b ab.
(4) Der Kreis um C mit Radius c und der Kreis um A
mit Radius d schneiden sich in D1 und D2 .
Ergebnis: Es gibt zwei Vierecke, die den Anforderungen
entsprechen, ABCD2 ist überstumpf.
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d
D
c
C
b

11211 Vierecke 4
Beispiel 2: Gegeben sind (jetzt mit 2 Winkeln)
a = 5,4 cm,
O
90
Konstruktion:
D
A
α= , β = 85 O , e = 6,0 cm und c = 5,7 cm.
Beispiel 3: Gegeben sind (jetzt mit 3 Winkeln)
a = 5,4 cm,
O
90
O
γ= 85 und c = 3,3 cm.
Konstruktion:
D
α
A
α
D'
e
c
a
c
a
γ
C
C
β
b
B
β
α= , β = 75 O ,
C'
B
Planfigur:
Konstruktionstext: (Vorschlag)
(1) Zeichne AB = a.
(2) Lege an AB in A den Winkel α und in B
den Winkel β an.
(3) Der Kreis um A mit Radius e schneidet den
freien Schenkel von β in C.
(4) Der Kreis um C mit Radius c schneidet den
freien Schenkel von α in D.
Ergebnis: Es gibt genau ein Viereck, das den
Anforderungen entspricht: ABCD.
Planfigur:
Demo: Mathe-CD
γ
Konstruktionstext: (Vorschlag)
α
β
A
a
B
α
β
A
a
B
(1) Zeichne AB = a.
(2) Lege an AB in A den Winkel α und in B den
Winkel β an.
(3) Lege in einem beliebigen Punkt C’ auf dem freien
Schenkel von β den Winkel γ an und trage
auf dessen freiem Schenkel c = C’D’ ab.
(4) Die Parallele zu BC’ durch D’ schneidet den
freien Schenkel von α in D.
(5) Die Parallele zu C’D’ durch D schneidet die
Halbgerade (BC’) in C.
Ergebnis: Es gibt genau ein Viereck, das den
Anforderungen entspricht: ABCD.
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d
D
D
c
e
c
γ
C
C

11211 Vierecke 5
Zu Beispiel 3:
Hier weiß man zuerst nicht, wo man den Winkel γ anlegen soll, denn es gibt
zunächst keine Möglichkeit, C zu konstruieren: Man kennt weder b noch e, so dass
die beiden Möglichkeiten, die man in Beispiel 1 und 2 hatte, nicht anwendbar sind.
Daher arbeitet man mit der Parallelenmethode:
Man wählt einen beliebigen Punkt C’ auf dem freien Schenkel von β und legt dort
den Winkel γ an, so dass man auf seinem freien Schenkel die vorläufige Strecke c
abtragen kann. Deren Endpunkt nennt man D’. Es kann noch nicht der richtige
Endpunkt D sein, weil dieser auf dem freien Schenkel von α liegen muss.
Daher zeichnet man jetzt eine Parallele zu BC’ durch D’. Diese schneidet den
freien Schenkel von α in D. Dass dies nun D ist, erkennt man daran, dass jetzt
alle Bedingungen erfüllt sind: Der Winkel in C hat die Größe von γ (Stufenwinkel an
Parallelen sind gleich groß), und CD hat die Länge von c.
Beispiel 4: Gegeben sind (jetzt mit 3 Winkeln)
O
O
O
b = 4,0 cm, α = 66 , β = 81 , δ = 100 und f = 5,0 cm.
Überlegung zur Konstruktion:
Wenn man diese Aufgabe Schülern
ohne Hilfe übergibt, finden die meisten keine
Konstruktion.
Man kann zwar mit der Seite BC = b beginnen
und dort β anlegen, doch man kennt nicht die
Länge von a und man kennt vor allem nicht den Winkel γ , der äußerst hilfreich
wäre. Schüler, die γ einsetzen wollen, kommen dann auf die Idee, diesen Winkel
berechnen zu wollen, denn die Winkelsumme im Viereck beträgt 360 o , kennt man
drei Winkel, kann man den vierten also wie hier γ berechnen. Doch es hat sich
eingebürgert, dass man bei Konstruktionen gewisse „Spielregeln“ einhält und dazu
gehört, dass man nichts verwenden soll, was man berechnet hat.
Doch was hier auf algebraische Art verboten ist, nämlich einen Winkel zu berechnen,
lässt sich geometrisch bewerkstelligen. Man kann γ konstruieren, und zwar als
Restwinkel auf 360 O .
KONSTRUKTION EINES FEHLENDEN WINKELS γ IM VIERECK:
(1) Man zeichne den Winkel β .
(2) In einem beliebigen Punkt A’ auf seinem ersten
Schenkel legt man Winkel α an.
(3) Auf seinem freien Schenkel wählt man einen
beliebigen Punkt D’ und legt dort δ an.
(4) Der freie Schenkel von δ schneidet den
freien Schenkel von β in C’.
Dort liegt der Winkel
O
= 360
γ −α−β−δ!!!
Planfigur:
Demo: Mathe-CD
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A'
α
D'
D
δ
δ
Schwer
C
α
β
A B
f
c
γ
b
γ
β
C'
B

11211 Vierecke 6
Diese Winkelkonstruktion verwenden wir; um unser gesuchtes Viereck zu
bestimmen.
Konstruktionstext: (Vorschlag)
Konstruktion:
(1) Zeichne BC = b.
(2) Lege an BC in B den Winkel β an.
(3) Hilfskonstruktion von γ :
Lege in einem beliebigen Punkt A’ auf dem freien
Schenkel von β den Winkel α an und in einem
beliebigen Punkt D’ auf seinem freien Schenkel
den Winkel δ . Sein freier Schenkel schneidet
die Halbgerade (BC) in C’ unter dem Winkel γ !
(4) Wegen DB = f liegt D auf einem Kreis um B mit
Radius f. Die Parallele zu D’C’ durch C schneidet
diese Kreis in D (2. Schnittpunkt unbrauchbar).
(5) Die Parallele zu A’D’ durch D schneidet den
freien Schenkel von α in A.
Ergebnis: Es gibt genau ein Viereck, das den
Anforderungen entspricht: ABCD.
Beispiel 5: Gegeben sind
a = 5,0 cm, b = 4,0 cm, c = 2,5 cm, d = 4 cm und e = 6,0 cm.
Konstruktion:
d
D1
e
d
A a
B
Konstruktionstext:
c
D2
C
b
Planfigur
Demo: Mathe-CD
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A'
α
D'
A
δ
D
Leicht
(1) Zeichne AB = a.
(2) Die Kreise um A mit Radius e und um B mit Radius b schneiden sich in C (und C’).
(3) Die Kreise um C mit Radius c und um A mit Radius d schneiden sich in D1 und D2.
Ergebnis: Es gibt zwei nicht kongruente Lösungen ABCD1 und ABCD2 .
d
D
γ
C
β
C
C'
A B
a
c
e
B

11211 Vierecke 7
3.1 Das Trapez
3. Spezielle Vierecke
Ein Viereck mit zwei parallelen Gegenseiten heißt Trapez.
Folgende Vierecke sind also Trapeze:
1
3
6
Der Unterschied zwischen (1) und (2) liegt darin, dass (1) ein so genanntes symmetrisches Trapez
ist, das wird gleich besprochen. Die Besonderheit bei (3) liegt darin, dass es zwei rechte Winkel
besitzt. (5) ist auch ein Trapez, hier sind eben nicht die obere und untere Seite parallel, sondern die
O
beiden anderen. Das Trapez (6) hat rechts Überhang weil β> 90 ist. (7) ist ein Parallelogramm,
weil hier nicht nur 2 Gegenseiten parallel sind, sondern die anderen beiden auch noch. Dann ist es
ein Trapez und sogar ein Parallelogramm. Auch (8) ist ein Trapez und ein Parallelogramm und sogar
ein Rechteck! (9) ist Trapez, Parallelogramm, Rechteck und Quadrat und (10) ist als Raute
auch ein Parallelogramm und ein Trapez.
Das symmetrische Trapez hat eine Spiegelachse, diese steht
senkrecht auf (besser formuliert: ist orthogonal zu) den beiden
parallelen Seiten und halbiert diese. Spiegelt man die eine Hälfte,
fällt ihr Spiegelbild genau auf die andere Hälfte. Daraus folgt,
dass die Seiten b und d gleich lang und die Winkel α und β
gleich groß sind.
Die Diagonalen e und f sind gleich lang.
Vorsicht: Manche Schüler meinen, dass sie die Winkel
halbieren. Dies stimmt nicht!
Mit h bezeichnet man meist den Abstand der parallelen Seiten
und nennt dies die Höhe des Trapezes. Diese hat keine feste
Lage. In nebenstehender Figur wurde sie von C und von D aus
abwärts eingetragen. Auf diese Weise findet man die Strecke c
nochmals unten als Teil von a.
Kennt man a und c, kann man q berechnen:
Im symmetrischen Trapez gibt es noch einen Zusammenhang mit den Winkeln:
α=β; γ=δ und
2
4
7
a−c 1
q= = ( a−c) 2
2
O O
α+δ= 180 sowie β+γ= 180 .
d
D
δ
c
γ
C
b
A
α
a
β
B
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9
10
Demo: Mathe-CD
A
d
D
D
c
e f
a
c
5
8
C
C
b
B
d h b
A
q c
a
q
B

11211 Vierecke 8
Beispiel 1
Trapezkonstruktionen
Konstruiere ein Trapez aus folgenden Stücken:
O O
α= 62 , β= 45 , a = 7 cm und b = 3,2 cm.
Rest auf CD
Demo: Mathe-CD
Wenn nichts anderes
gesagt wird, gehen
wir immer davon
aus, dass a und c
parallel sind.
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