62000 - Internetbibliothek für Schulmathematik

INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Matrizenrechnung
Alle Texte aus der Mathematik-CD
Übersicht über die 18 Texte
mit zusammen über 1000 Seiten
Datei Nr. 62000
Stand 18. Januar 2013
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 2
Vorwort
Diese Texte der Mathematik-CD verwenden Matrizen-Rechnung. Daher werden sie auch als eigener
Text zusammengestellt.
Die verwendeten Abituraufgaben aus Hamburg und Bremen wurden im Internet veröffentlicht.
Die von mir veröffentlichten Lösungen dazu sind selbst erstellt und sehr ausführlich und beleuchten
auch Hintergründe - im Gegensatz zu den Kurzlösungen, die man bei den Internetveröffentlichungen
findet.
Hier finden Inhaltsangaben zu diesen Texten:
62011 Der Gauß-Algorithmus für Gleichungssysteme
62011 Gleichungssysteme mit Parametern
62041 Aufgabensammlung
62111 Formale Matrizenrechnung
62112 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
62113 Linearer Gleichungssysteme mit Parameter (Abitur BW)
62300 Eigenvektoren - Speziell für Zustandsänderungen entwickelter Text
62311 Bedarfstabellen, Zwischen- und Endprodukte, Kostenrechnungen
62321 Betriebliche Verflechtungen, Leontief-Modell
62331 Übergangsmatrizen - Prozess-Diagramme - Markow-Ketten
62332 Übergangsmatrizen - Aufgabensammlung
62333 Diffusionsmodell Lösungen mit abbildungs-geometrischem Hintergrund
62334 Entwicklung von Populationen - zyklische Matrizen
74102 Prüfungsaufgaben Berufskolleg BW 2002 - 2010 (Gleichungen lösen, Leontief-Modell)
74211 Prüfungsaufgaben Berufliche Gymnasien BW 1990 - 2010 (Betriebliche Verflechtungen,
Leontief-Modell)
74221 Prüfungsaufgaben Berufliche Gymnasien BW 1982 - 2010 (Bedarfsmatrizen und
Kostenberechnungen)
74222 Prüfungsaufgaben Berufliche Gymnasien BW: Allerlei Anwendungsaufgaben
72501 Sammlung von Abituraufgaben aus Bremen (1) zu Übergangsmatrizen (Populationen)
72502 Sammlung von Abituraufgaben aus Hamburg (2) zu Übergangsmatrizen (Populationen)
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 3
Der Gauß-Algorithmus Datei Nr. 62 011
Inhalt
§ 1 Drei Gleichungen mit drei Unbekannten 3
13 ausführliche Beispiele
§ 2 Drei Gleichungen mit vier Unbekannten 14
6 ausführliche Beispiele
§ 3 Vier Gleichungen mit vier Unbekannten 19
10 ausführliche Beispiele
§ 4 Vier Gleichungen mit drei Unbekannten 30
3 ausführliche Beispiele
Aufgabensammlung Datei Nr. 62 041
:
Gleichungssystem mit maximal 3 Unbekannten
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 4
Formale Matrizenrechnung Datei Nr. 62 111
Inhalt
§ 1 Was sind Matrizen? 5
§ 2 Formales Rechnen mit Matrizen 9
2.1 Gleichheit von Matrizen 9
2.2 Addition von Matrizen 10
Rechengesetze für die Matrizenaddition 11
Existenzgesetze für die Matrizenaddition 13
2.3 Vielfache von Matrizen 15
Rechengesetze für die S-Multiplikation 15
2.4 Subtraktion von Matrizen 16
2.5 Multiplikation von Matrizen 17
2.5.1 Erinnerung an das Skalarprodukt der Vektorrechnung 17
2.5.2 Einführung der Matrizenmultiplikation 18
Rechnen mit der Einheitsmatrix 23
Potenzieren von Matrizen 25
2.5.3 Trainingsaufgaben 26
2.5.4 Rechengesetze für die Matrizen-Multiplikation 27
2.5.5 Existenzgesetze für die Matrizen-Multiplikation 28
2.6 Transponieren von Matrizen 29
Rechenregeln dazu 29
§ 3 Gleichungen mit Matrizen – Gauß-Verfahren 31
3.1 Matrizengleichung mit einem Variablenvektor 31
Elementare Matrizenumformungen 32
3.2 Matrizengleichung mit zwei Variablenvektoren 36
3.3 Weitere unterschiedliche Gleichungen 39
3.4 Unterschiedliche Gleichungen: A X B und XA B
43
3.5 Trainingsaufgaben 47
§ 4 Inverse Matrizen 48
4.1 Lineare Zahlengleichung mit einer Variablen 48
4.2 Lösung einer Matrizengleichung mit einer inversen Matrix 50
Wichtiges zu inversen Matrizen 51
4.3 Berechnung inverser Matrizen mit dem Gauß-Verfahren 52
4.4 Trainingsaufgaben zu inversen Matrizen 56
4.5 Alternative Berechnungsverfahren für inverse Matrizen 57
Das Wichtigste über Determinanten 57
Berechnung einer inversen (3,3)-Matrix mit Determinanten 59
Inverse (2,2)-Matrizen und Diagonalmatrizen 60
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 5
§ 5 Formales Lösen komplizierter Matrizengleichungen 61
§ 6 Lösen von Matrizengleichungen nach Aufgaben aus dem Abitur
für berufliche Schulen in BW 64
6.1 Musteraufgaben 64
6.2 Trainingsaufgaben 75
§ 7 Lösungen der Trainingsaufgaben 76
7.1 Trainingsaufgaben aus 2.5.3 (Matrizen-Multiplikation) 76
7.2 Trainingsaufgaben aus 3.5 (Matrizengleichungen) 84
7.3 Trainingsaufgaben aus 4.4 (Inverse Matrizen) 92
7.4 Trainingsaufgaben aus 6.2 (Umfassendere Teile aus Abituraufgaben) 102
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 6
Lösbarkeit von LGS Datei Nr. 62 112
Für dieses Themenheft habe ich mir vorgenommen, nicht nur zu zeigen, wie man
Lineare Gleichungssysteme (Abkürzung: LGS) löst, sondern auch darzustellen, warum
es dabei drei Möglichkeiten gibt:
Eine LGS kann eine eindeutige Lösung haben, gar keine oder unendlich viele.
Etwas anderes ist nicht möglich. Um dies zeigen zu können, benötigt man Kenntnisse der
Vektorrechnung. Diese können aber in diesem Heft nicht auch noch grundlegend vermittelt
werden. Daher sind diese Paragraphen, die den Hintergrund vermitteln, darauf angewiesen,
dass der Leser Grundkenntnisse besitzt. Sie können im Text 61015 ausführlich nachgelesen
werden. Hier der Überblick über den Inhalt dieses Heftes.
In § 1 bespreche ich kurz, was Linearkombinationen sind, und dass man sie benötigt,
um Vektoren aus anderen zu erzeugen.
In § 2 geht es um Vektoren mit 2 Stellen (aus dem zweidimensionalen Vektorraum R 2 ).
Es wird gezeigt, wie man untersucht, ob ein Vektor aus einem, zwei oder drei
Vektoren als Linearkombination dargestellt werden kann. In manchen Fällen
geht das, in anderen nicht. Das Entscheidende daran soll jedoch die Erkenntnis
sein, dass hinter jeder dieser Aufgaben ein LGS steht. Die Frage, ob ein
Vektor als Linearkombination darstellbar ist, ist also zugleich die Frage, ob das
zugehörigen LGS lösbar ist. Der Leser soll erfahren, welche vektorielle
Situation der Grund dafür ist, dass ein LGS eindeutig lösbar ist oder gar nicht
oder auf unendlich viele Weisen.
Dies wird nur exemplarisch gezeigt. Eine gründliche Theorie würde den Rahmen
und Zweck dieses Textes sprengen.
In § 3 wird der Spieß umgedreht. Die in § 2 aus Vektoraufgaben entstandenen
Gleichungssysteme werden vorgegeben. Deren Lösbarkeit ist jetzt das Thema.
Dazu schauen wir nach, welche Vektorprobleme sich im LGS verstecken.
Dann werden die Systeme mit dem Gauß-Verfahren bearbeitet, und es wird
erklärt, wie man an Hand des Matrixranges die Lösbarkeit vorhersagen kann.
Dazu gibt es einige Trainingsaufgaben
In § 4 wird die Vektortheorie für den dreidimensionalen Vektorraum R 3 kurz wiederholt.
Dazu wird zuerst geklärt, was die lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren bedeutet
und wie man sie nachweist. Damit kann man dann die Darstellbarkeit von
Vektoren des R 3 untersuchen, was gleichbedeutend mit der Lösbarkeit von
linearen Gleichungssystemen ist. Also wieder ein Paragraph zur Vektortheorie.
Viele Beispiele runden den Abschnitt ab.
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 7
In § 5 werden nun die Gleichungssysteme, die in § 4 bei der Frage nach der
Darstellbarkeit der Vektoren entstanden sind, unabhängig davon untersucht.
Sinn und Ziel ist es jetzt, dass man erkennt, dass solche LGS einen vektoriellen
Hintergrund haben, der erklärt, warum es Lösungen geben kann oder auch nicht.
Aber auch, dass man lernt, diese Lösungen zu bestimmen.
In § 6 wird geübt: Es werden verschiedenartige Matrizengleichungen gelöst.
In § 7 kommt die Theorie wieder an die Reihe. Ersetzt man die Absolutglieder durch
Nullen, steht auf der einen Seite der Nullvektor. Man nennt das LGS dann
homogen, sonst inhomogen.
Ja und dazu gibt es einiges zu erzählen. Denn diese Gleichungen haben
besondere Eigenschaften, und es gibt einen interessanten Zusammenhang
zwischen einem inhomogenen und dem zugehörigen homogenen LGS,
denn man elegant für Proben ausnützen kann.
In § 8 werden LGS mit Parametern (Formvariablen) behandelt.
Die Fallunterscheidungen haben zur Folge, dass alle Möglichkeiten der
Lösbarkeit auftreten.
Dieser Abschnitt ist echtes Abiturtraining!
In § 9 gibt es 15 Seiten Musterlösungen zu den Trainingsaufgaben.
Wer weniger die Theorie sucht und einfach Matrizengleichungen aller Art auf Abiturniveau lösen und
trainieren will, kann im Text 62113 stundenlang üben. An Hand von Abituraufgaben für berufliche
Gymnasien in Baden-Württemberg gibt es viele Aufgaben und natürlich die Musterlösungen dazu.
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 8
Hier der Inhalt des Textes
§ 1 Mit Linearkombinationen neue Vektoren erzeugen 1
§ 2 Erzeugen von Vektoren im R 2 2
Die Lineare Hülle von 2 Vektoren 3
Umkehrung: Darstellung eines Vektors durch 2 Vektoren 4
Der Nullvektor-Trick 8
Übersicht 9
Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren 9
§ 3 Lineare Gleichungssysteme im R 2 10
Darstellung eines Gleichungssystems als Vektorgleichung 10
Darstellung eines Gleichungssystems als Matrixgleichung 11
Lösungsmenge bei unendlich vielen Lösungen 12
Rang einer Matrix und Satz über die Lösbarkeit 13
Trainingsaufgaben 1 und 2 14
§ 4 Erzeugung von Vektoren im R 3 15
4.1 Lineare Abhängigkeit dreier Vektoren des R 3
15
4.2 Zunächst die Ergebnisse für den R 3 16
4.3 Fünf Beispiele für Vektordarstellung und Gleichungssysteme 18
§ 5 Lineare Gleichungssysteme im R 3 – in Matrixform 26
Untersuchung der 5 Beispiele aus § 4 mit Matrizentheorie 27
Trainingsaufgabe 3 33
§ 6 Trainingsabschnitt für Matrizengleichungen 34
6.1 LGS mit eindeutiger Lösung 34
6.2 Unlösbare LGS 35
6.3 LGS mit unendlich vielen Lösungen 36
§ 7 Homogene und inhomogene LGS – Etwas Theorie 39
Trainingsaufgabe 4 44
Trainingsaufgabe 5 45
Trainingsaufgabe 6 47
Anwendung zur Probe einer Lösung mit unendlich vielen Vektoren 51
Trainingsaufgabe 7 51
§ 8 Matrizengleichungen mit Parametern 52
5 große Musteraufgaben im Abiturstil 52
§ 9 Lösungen der Trainingsaufgaben 70
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 9
Vektoren und Matrizen Datei Nr. 62 113
Vorwort
Dieses Heft enthält ausnahmslos Abituraufgaben von beruflichen Gymnasien in Baden-Württemberg.
Sie sind fast alle sehr alten Datums. Dies hat den Vorteil, dass sie wesentlich umfangreicher sind als
die neuen Aufgaben, die oft nur halb so lang sind, sich aber mit denselben Themen beschäftigen.
Ihnen wird ein weiteres Heft gewidmet.
Im folgenden Inhaltsverzeichnis sind sie nach Themen geordnet:
a) Die ersten 5 Aufgaben sind alle vom etwa gleichen Typ: Aus einer Matrix A t wird ein
Gleichungssystem gebildet. Dazu gibt es eine Reihe von Zusatzaufgaben. Es handelt sich
stets um 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
b) In Aufgabe 6 geht es um die Lineare Un-/Abhängigkeit dreier Vektoren des R 3 .
c) Aufgabe 7 zeigt, wie man mit einer Matrix Vektoren auf andere Vektoren abbilden kann.
d) Die Aufgaben 8, 9 und 10 beschäftigen sich mit Gleichungssystemen des R 4 .
Sämtlichen Lösungen stammen von mir persönlich.
Friedrich Buckel
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 10
Inhalt
1 t 2t
Aufgabe 1 - Abitur 1988: A t 1 1 2t2 4
3
t t 16
Aufgabe 2 - Abitur 1987:
2 2 t
0
A t 1 2 3t
11
2
t t 3t
u 2u 3u
Aufgabe 3 - Abitur 1994: A u 2u 5u 14u
15
2
5u 12u 2 u 12u6 Aufgabe 4 - Abitur 1994:
1 t1 0
2
A t t t 1
19
2 t t
t 2
t
Aufgabe 5 - Abitur 1990: A t 2t 3 t
24
2
t t
0
Aufgabe 6 - Abitur 1991:
0 2 a
t 1
,
b
t t
1
, ct 2
2t t t4 Lineare Abhängigkeit dieser Vektoren. 28
Aufgabe 7 - Abitur 1982: Abbildung von Vektoren durch
1 2 1
A= 0 1
2
36
3 1 3
1 0 2 1
t 3 2t 3t
Aufgabe 8 - Abitur 1987: A t 2
41
2 0 3t 8 2
2
4 0 8 t t2
1 0 3 1
t 2 3t 2t
Aufgabe 9 - Abitur 1982: A t 2
46
1 0 2t 5 1
2
10 3tt3
Aufgabe 10 - Abitur 1992:
1 2 a
0
1
, bk
1 k
0
1
, ck
2
1
k
1
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, dk
1 k
1
1
50

62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 11
Eigenvektoren und Eigenwerte – für Zustandsänderungen 62300
Inhalt
Übersicht über die besprochenen Abbildungen 4
1 Grundlagen: Punktabbildungen mit (2,2)-Matrizen 6
1.1
Abbildungen der Form x' U x
6
Beispielrechnungen für Dreiecke. 6
Bildpunkt des Ursprungs, Fixpunkt 8
1.2
Fixpunkte einer affinen Abbildung der Form x' U x
9
1.3 Fixgeraden einer affinen Abbildung 10
Beispiel: Geradenspiegelung 10
Beispiel: Schräge Stauchung: 12
2 Eigenvektoren von Matrizen 14
2.1 Berechnung von Eigenvektoren, charakteristische Gleichung 14
Geometrische Folgerung: Fixgeraden 14
Beispiel: Schrägspiegelung 18
Beispiel: Euler-Affinität 19
2.2 Neue Koordinatensysteme mit zwei Eigenvektoren als Basis 21
Beispiel: Euler-Affinität 22
Beispiel: Schrägspiegelung 24
Beispiel: Euler-Affinität 25
3 Mehrstufige Prozesse und Eigenvektoren 27
3.1 Beispiel: Entwicklung einer Population von Eichhörnchen 27
Populationsentwicklung längs einer Fixgeraden 29
Stabile Population 30
3.2 Diffusionsproblematik 32
3.3 Übersicht: Was passiert eigentlich bei 2 Eigenvektoren? 36
4 Eigenvektoren von (3,3)-Matrizen 38
Beispiel: Entwicklung einer Population von Waschbären 38
Stabile Zustände. 38
Beispiel: Entwicklung einer Kabeljau-Population 40
Stationärer Zustand 40
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 12
Einfache Einführungsbeispiele
(1)
(2)
(3)
(4)
Übersicht über die untersuchten Abbildungen
2 1
x' x
1 1
Dreieck abbilden 6
1 1 x' 2
x
Dreieck abbilden 6
0 2
1 1
3 2 2
x' xGeradenspiegelung
eines Dreiecks 7
1 1 3
2 2
1 1
3 2 2
x' xDrehung
eines Dreiecks um O 7
1 1 3
2 2
Thema: Fixpunkte und Fixgeraden
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(13)
(14)
1 2
x' x
1 1
Genau 1 Fixpunkt 9
0,8 x'
0,2 0,3
x
0,7
Fixpunktgerade, Achsenaffinität 9
Schräge Stauchung 11
Eigenwerte und Eigenvektoren 14
Eigenvektoren als Basis, Konstruktion damit 22
0,6 0,8
x' x
0,8 0,6
Achsenaffinität, Fixgeraden (Geradenspiegelung) 10, 12
2 0,5
x' x
2 4
Eigenvektoren, Fixpunkte und Fixgeraden 17
1 x'
0 2
x
1
Achsenaffinität, Fixgeraden, Schrägspiegelung 18
Eigenvektoren als Basis, Konstruktion damit 24
1, 5
x'
0,5 3
x
2
Euler-Affinität 19
Eigenvektoren als Basis, Konstruktion damit 25
1, 8 0, 6
x x
0,4
3,2
Euler-Affinität, Konstruktion mittels Eigenvektoren 36
1 10 6 3
x' x
1 5
Achsenaffinität, Konstruktion mittels Eigenvektoren 37
24 6
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 13
Zum Thema: Zustandsänderungen
0,80 0,75
0,64 0
Eichhörnchen-Population 27 - 31
(11) vn1 vn
0,8 0,3
0,2 0,7
, Diffusion zweier Gase 32 – 35
(12) vn1 vn
0 2 1,5
Waschbären-Population 38 – 39
0 0,6 0,45
(15) vn1 0,5 0 0 vn
0 2 6
Kabeljau-Population 40 - 41
0 0,30 0,40
(16) vn1 0,20 0 0 vn
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 14
Anwendungsaufgaben 1 Datei Nr. 62 311
Arbeiten mit Bedarfstabellen –
Herstellung von Zwischen- und Endprodukten aus Rohstoffen,
Kostenberechnungen
Beispiel 1
Inhalt
3
Beispiel 2 5
Beispiel 3 7
Beispiel 4 (Bedarfstabellen und Stücklisten) 8
Beispiel 5 (Belieferung von Firmen) 11
Aufgabe 1 (Lohnkosten) 12
Aufgabe 2 (Addition von Bedarfstabellen) 15
Hinweis: Strukturen von Bedarfstabellen 17
Aufgabe 3 (Addition von Bedarfstabellen) 18
Aufgabe 4 18
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 15
Anwendungsaufgaben 2 Datei Nr. 62 321
Betriebliche Verflechtungen - Leontief-Modell
Inhalt
1. Einfache Aufgabe zum Einstieg 3
Einführung in die innerbetriebliche Verflechtung anhand einer
Abituraufgabe 1993 aus Baden-Württemberg 3 – 15
Verflechtungsdiagramm 3
Input-Output-Tabelle 4
Die Leontief-Annahme 4
Produktionsvektor, Konsumvektor 6
Inputmatrix 8
Hochrechnung auf eine gewünschte Produktion 9
Übersicht 10
Kompakt: Diese Aufgabe mit Lösung 15
2. 4 Aufgaben zum Üben 19
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 16
Anwendungsaufgaben 3 Datei Nr. 62 331
Übergangsmatrizen - Prozess-Diagramme - Markow-Ketten
Viele Berechnungen werden mit dem CAS-Rechner TI Nspire durchgeführt.
Inhalt
1 Grundsätzliches 3
2 Einführende Beispiele 4
Beispiel 1 (Mietwagen-Karussell) 4
Beispiel 2 (Kundenwanderung beim Autokauf) 7
3 Verteilungsfolgen und deren Grenzwerte 9
Beispiel 3 (Verteilung von Einkaufswagen am Supermarkt) 9
4 Spiele analysieren – absorbierende Zustände 15
Beispiel 4 (Mensch ärgere dich nicht) 15
Beispiel 5 (Glücksrad) 18
Definition: Markow-Kette 23
Beispiel 6 (Münze werfen) 24
Beispiel 7 (Würfeln) 28
5 Verweildauer und anderes 31
Beispiel 8 (Käfer und Vogel) 31
Berechnung der mittleren Überlebensdauer 32
Berechnung der Absorptionswahrscheinlichkeiten 33
Berechnung von Verweilzeiten und Übergangsanzahlen 34
6 Mischungsprozesse 37
Beispiel 9 (Umfüllen 1) 37
Beispiel 10 (Umfüllen 2) 39
7 Vererbung von Eigenschaften 41
Beispiel 11 (Vererbung) 41
Beispiel 12 (Vererbung) 43
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 17
Aufgabensammlung Datei Nr. 62 332
Aufgabe 1 Mietwagen-Karussell 3
Aufgabe 2 Käuferverhalten 5
Aufgabe 3 Wohnortwechsel 7
Aufgabe 4 Wählerwanderung 9
Aufgaben 5, 6 und 7 Formale Übungsaufgaben 11
Aufgaben 8 Prozessdiagramme erstellen 17
Spiele 19
Aufgabe 9 Mehrmals würfeln 19
Aufgabe 10 Glücksrad 19
Aufgabe 11 Münze werfen 19
Aufgabe 12 Vogel frisst Käfer 24
Aufgabe 13 Buchstabenverteilung 27
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 18
Diffusionsmodell Datei Nr. 62 333
Inhalt
1 Diffusionsmodell 4
2 Untersuchung der zur Übergangsmatrix gehörenden Abbildung am Beispiel 9
Berechnung von Fixgeraden bei einer Abbildung durch eine (2,2)-Matrix U 11
Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer (2,2)-Matrix 11
Was passiert mit Punkten, die nicht auf der Achse liegen? 14
Ausnutzen dieser geometrischen Hintergründe für Zusatzaufgaben 15
3 Kompakte Lösung der Einführungsaufgabe 17
4 Einschub: Berechnung von Eigenvektoren einer (2,2)-Matrix 23
4.1 Sehr ausführliche Lösung 23
4.2 Kurze Lösung 24
4.3 Bestimmung der Fixgeraden 25
4.4 Zusammenfassung (für diese spezielle Abbildungsart) 26
5 Anleitung zum Erstellen eigener Aufgaben 27
Einsatz eines CAS-Rechners zum schnellen Finden geeigneter Matrizen
zu vorgegeben Eigenvektoren und Eigenwerten. 29
6 Lösung einer Diffusionsaufgabe mit Hilfe der Abbildungseigenschaften 30
7 4 Aufgaben mit Lösungen unter Berücksichtigung der Abbildungen 37-45
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 19
Populationen und zyklische Matrizen 62 334
Vorwort
Eine spezielle Form von mehrstufigen Prozessen sind zyklische Prozesse, also Prozesse, die
„irgendwann“ wieder den Ausgangszustand herstellen. Die bekannten Beispiele dazu sind
Populationsentwicklungen.
Die Anfänge dieser Theorie ist für Schüler gut verständlich. Und dazu zeige ich hier einführende
Beispiele und einige Übungsaufgaben.
Hier wird natürlich vorausgesetzt, dass man die Grundlagen der Übergangsmatrizen schon beherrscht
(also Text 62331).
Es gibt dazu weitere Texte 72501 (und bald noch 72502), die Abituraufgaben zu Übergangsmatrizen
enthalten.
Die Grafiken wurden mit MatheGrafix (Version 10) erstellt und deren Dateien finden Sie auf der
Mathe-CD im Ordner Mathegrafiken in mgt-62334 zur weiteren Verarbeitung.
Inhalt
Beispiel 1a Entwicklung von Käfern aus Eiern über das Zwischenstadium Larven
Hier: Stabiler, reproduzierender Zyklus 3
Beispiel 1b Hier kein stabiler Zyklus sondern exponentielles Wachstum 6
Beispiel 1c Hier kein stabiler Zyklus sondern exponentielle Abnahme 8
Beispiel 2 Maikäfer haben einen vierjährigen Zyklus 9
Beispiel 3 Viehzucht 12
Beispiel 4 Reproduzierender Bestand innerhalb von 1 Zyklus 14
Beispiel 5 Viehzucht mit 4 Altersgruppen 18
Beispiel 6 Populationsmodell mit 3 gleich langen Phasen 19
Übungsaufgaben 20
Lösungen 22 - 31
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 20
Berufskolleg –Prüfungsaufgaben 2002 – 2010 BW. Datei Nr. 74 102
In der Regel enthalten diese Aufgaben folgende drei Teile:
1. Teilaufgabe: Lineares Gleichungssystem
2. Teilaufgabe: Matrizengleichung lösen
3. Teilaufgabe: Innerbetriebliche Verflechtung nach dem Leontief-Modell
Berufl. Gymnasien BW
Abituraufgaben 1990 – 2010 Datei Nr. 74211
Themenbereich: Betriebliche Verflechtungen, Leontief-Modell
Berufl. Gymnasien BW
Abituraufgaben 1982 – 2010 Datei Nr. 74221
Themenbereich: Bedarfsmatrizen zur Herstellung von Zwischen- und Endprodukten
Kostenberechnungen
Berufl. Gymnasien BW Abituraufgaben Datei Nr. 74222
Allerlei Anwendungsaufgaben aus versch. Themenbereichen.
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 21
Abitur Bremen: Übergangsmatrizen 72501
Inhalt
Teil 1: Aufgabenstellungen ohne Verwendung von Eigenvektoren
Aufgabe 1 Raucherverhalten (GK 2007)
Lösung: 5 - 6
4
Aufgabe 2a Fahrradverleih auf Hiddensee (GK 2008), Variante 1
Lösung: 9 - 10
7
Aufgabe 2b Fahrradverleih auf Hiddensee (LK 2008), Variante 2
Lösung: 13 – 14
11
Zusatzübung: Verwendung von Eigenvektoren 15 - 17
Aufgabe 3a Verteilung von Einkaufswagen (LK 2008), Variante 1
Lösung: 20 – 24
18
Aufgabe 3b Verteilung von Einkaufswagen (GK 2008), Variante 2
Lösung: 27 - 30
25
Aufgabe 4 Abibienen (GK 2009)
Lösung: 33 – 36
31
Zusatz für Leistungskurse: 37
Aufgabe 5a Waschbären-Population (GK 2010), Variante 1
Lösung: 41 - 42
39
Aufgabe 5b Waschbären-Population (GK 2010) Variante 2
Lösung: 45 – 46
43
Aufgabe 6a Kabeljau-Population (GK 2010) Variante 1
Lösung: 49 – 51
47
Aufgabe 7a Vergleich zweier Hörnchenarten (GK 2011) Variante 1
Lösung: 54 – 55
52
Aufgabe 8a Marienkäfer (GK 2011) Variante 1
Lösung: 57 - 58
56
Teil 2: Aufgabenstellungen unter Verwendung von Eigenvektoren
Aufgabe 5c Waschbären-Population (LK 2010) Variante 3
Lösung: 62 – 64
60
Aufgabe 6b Kabeljau-Population (GK 2010) Variante 2
Lösung: 67 – 69
65
Aufgabe 7b Vergleich zweier Hörnchenarten (LK 2011) Variante 2
Lösung: 72 – 76
70
Aufgabe 8b Marienkäfer (LK 2011) Variante 2 77
Lösung: 79 - 82
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62000 Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 22
Abitur Hamburg: Übergangsmatrizen 72502
Inhalt
Aufgabe 1 Schwarzwild (GK 2008)
Lösung: 7 - 10
4 - 6
Aufgabe 2a Insektenpopulation (LK 2008), Variante 1
Lösung: 13 - 17
11 - 12
Aufgabe 2b Insektenpopulation (LK 2008), Variante 2
Lösung: 21 - 24
18 - 20
Aufgabe 3a Heuschrecken (GK 2008), Variante 1
Lösung: 29 – 33
25 - 28
Aufgabe 3b Heuschrecken (GK 2008), Variante 2
Lösung: 36 - 37
34 - 35
Aufgabe 4 Schädlingsbekämpfung (GK 2009)
Lösung: 40 – 43
38 - 39
Aufgabe 5a Bevölkerungsentwicklung in D (GK 2009), Variante 1
Lösung: 47 - 49
44 - 46
Aufgabe 5b Bevölkerungsentwicklung in D (GK 2009), Variante 2
Lösung: 52 – 54
50 - 51
Aufgabe 6 Bachforellen (LK 2009) 55 - 57
Aufgabe 7a
Lösung: 58 – 63 (mit Eigenvektoren)
Seeschildkröten (LK 2009) Variante 1
Lösung: 66 – 70 (mit Regression)
64 - 65
Aufgabe 7b Seeschildkröten (LK 2009) Variante 1
Lösung: 73 - 76
71 - 72
Aufgabe 8 Minimiermotte (GK 2009)
Lösung: 79 – 81
77 - 78
Aufgabe 9 Geckos (LK 2009) 82 - 83
Lösung: 84 - 87
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