62000 - Internetbibliothek für Schulmathematik
62000 - Internetbibliothek für Schulmathematik 62000 - Internetbibliothek für Schulmathematik
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Matrizenrechnung Alle Texte aus der Mathematik-CD Übersicht über die 18 Texte mit zusammen über 1000 Seiten Datei Nr. 62000 Stand 18. Januar 2013 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de
- Seite 2 und 3: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 4 und 5: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 6 und 7: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 8 und 9: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 10 und 11: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 12 und 13: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 14 und 15: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 16 und 17: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 18 und 19: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 20 und 21: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
- Seite 22: 62000 Inhalt der Texte zur Matrizen
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
Matrizenrechnung<br />
Alle Texte aus der Mathematik-CD<br />
Übersicht über die 18 Texte<br />
mit zusammen über 1000 Seiten<br />
Datei Nr. <strong>62000</strong><br />
Stand 18. Januar 2013<br />
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 2<br />
Vorwort<br />
Diese Texte der Mathematik-CD verwenden Matrizen-Rechnung. Daher werden sie auch als eigener<br />
Text zusammengestellt.<br />
Die verwendeten Abituraufgaben aus Hamburg und Bremen wurden im Internet veröffentlicht.<br />
Die von mir veröffentlichten Lösungen dazu sind selbst erstellt und sehr ausführlich und beleuchten<br />
auch Hintergründe - im Gegensatz zu den Kurzlösungen, die man bei den Internetveröffentlichungen<br />
findet.<br />
Hier finden Inhaltsangaben zu diesen Texten:<br />
62011 Der Gauß-Algorithmus <strong>für</strong> Gleichungssysteme<br />
62011 Gleichungssysteme mit Parametern<br />
62041 Aufgabensammlung<br />
62111 Formale Matrizenrechnung<br />
62112 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme<br />
62113 Linearer Gleichungssysteme mit Parameter (Abitur BW)<br />
62300 Eigenvektoren - Speziell <strong>für</strong> Zustandsänderungen entwickelter Text<br />
62311 Bedarfstabellen, Zwischen- und Endprodukte, Kostenrechnungen<br />
62321 Betriebliche Verflechtungen, Leontief-Modell<br />
62331 Übergangsmatrizen - Prozess-Diagramme - Markow-Ketten<br />
62332 Übergangsmatrizen - Aufgabensammlung<br />
62333 Diffusionsmodell Lösungen mit abbildungs-geometrischem Hintergrund<br />
62334 Entwicklung von Populationen - zyklische Matrizen<br />
74102 Prüfungsaufgaben Berufskolleg BW 2002 - 2010 (Gleichungen lösen, Leontief-Modell)<br />
74211 Prüfungsaufgaben Berufliche Gymnasien BW 1990 - 2010 (Betriebliche Verflechtungen,<br />
Leontief-Modell)<br />
74221 Prüfungsaufgaben Berufliche Gymnasien BW 1982 - 2010 (Bedarfsmatrizen und<br />
Kostenberechnungen)<br />
74222 Prüfungsaufgaben Berufliche Gymnasien BW: Allerlei Anwendungsaufgaben<br />
72501 Sammlung von Abituraufgaben aus Bremen (1) zu Übergangsmatrizen (Populationen)<br />
72502 Sammlung von Abituraufgaben aus Hamburg (2) zu Übergangsmatrizen (Populationen)<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 3<br />
Der Gauß-Algorithmus Datei Nr. 62 011<br />
Inhalt<br />
§ 1 Drei Gleichungen mit drei Unbekannten 3<br />
13 ausführliche Beispiele<br />
§ 2 Drei Gleichungen mit vier Unbekannten 14<br />
6 ausführliche Beispiele<br />
§ 3 Vier Gleichungen mit vier Unbekannten 19<br />
10 ausführliche Beispiele<br />
§ 4 Vier Gleichungen mit drei Unbekannten 30<br />
3 ausführliche Beispiele<br />
Aufgabensammlung Datei Nr. 62 041<br />
:<br />
Gleichungssystem mit maximal 3 Unbekannten<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 4<br />
Formale Matrizenrechnung Datei Nr. 62 111<br />
Inhalt<br />
§ 1 Was sind Matrizen? 5<br />
§ 2 Formales Rechnen mit Matrizen 9<br />
2.1 Gleichheit von Matrizen 9<br />
2.2 Addition von Matrizen 10<br />
Rechengesetze <strong>für</strong> die Matrizenaddition 11<br />
Existenzgesetze <strong>für</strong> die Matrizenaddition 13<br />
2.3 Vielfache von Matrizen 15<br />
Rechengesetze <strong>für</strong> die S-Multiplikation 15<br />
2.4 Subtraktion von Matrizen 16<br />
2.5 Multiplikation von Matrizen 17<br />
2.5.1 Erinnerung an das Skalarprodukt der Vektorrechnung 17<br />
2.5.2 Einführung der Matrizenmultiplikation 18<br />
Rechnen mit der Einheitsmatrix 23<br />
Potenzieren von Matrizen 25<br />
2.5.3 Trainingsaufgaben 26<br />
2.5.4 Rechengesetze <strong>für</strong> die Matrizen-Multiplikation 27<br />
2.5.5 Existenzgesetze <strong>für</strong> die Matrizen-Multiplikation 28<br />
2.6 Transponieren von Matrizen 29<br />
Rechenregeln dazu 29<br />
§ 3 Gleichungen mit Matrizen – Gauß-Verfahren 31<br />
3.1 Matrizengleichung mit einem Variablenvektor 31<br />
Elementare Matrizenumformungen 32<br />
3.2 Matrizengleichung mit zwei Variablenvektoren 36<br />
3.3 Weitere unterschiedliche Gleichungen 39<br />
3.4 Unterschiedliche Gleichungen: A X B und XA B<br />
43<br />
3.5 Trainingsaufgaben 47<br />
§ 4 Inverse Matrizen 48<br />
4.1 Lineare Zahlengleichung mit einer Variablen 48<br />
4.2 Lösung einer Matrizengleichung mit einer inversen Matrix 50<br />
Wichtiges zu inversen Matrizen 51<br />
4.3 Berechnung inverser Matrizen mit dem Gauß-Verfahren 52<br />
4.4 Trainingsaufgaben zu inversen Matrizen 56<br />
4.5 Alternative Berechnungsverfahren <strong>für</strong> inverse Matrizen 57<br />
Das Wichtigste über Determinanten 57<br />
Berechnung einer inversen (3,3)-Matrix mit Determinanten 59<br />
Inverse (2,2)-Matrizen und Diagonalmatrizen 60<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 5<br />
§ 5 Formales Lösen komplizierter Matrizengleichungen 61<br />
§ 6 Lösen von Matrizengleichungen nach Aufgaben aus dem Abitur<br />
<strong>für</strong> berufliche Schulen in BW 64<br />
6.1 Musteraufgaben 64<br />
6.2 Trainingsaufgaben 75<br />
§ 7 Lösungen der Trainingsaufgaben 76<br />
7.1 Trainingsaufgaben aus 2.5.3 (Matrizen-Multiplikation) 76<br />
7.2 Trainingsaufgaben aus 3.5 (Matrizengleichungen) 84<br />
7.3 Trainingsaufgaben aus 4.4 (Inverse Matrizen) 92<br />
7.4 Trainingsaufgaben aus 6.2 (Umfassendere Teile aus Abituraufgaben) 102<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 6<br />
Lösbarkeit von LGS Datei Nr. 62 112<br />
Für dieses Themenheft habe ich mir vorgenommen, nicht nur zu zeigen, wie man<br />
Lineare Gleichungssysteme (Abkürzung: LGS) löst, sondern auch darzustellen, warum<br />
es dabei drei Möglichkeiten gibt:<br />
Eine LGS kann eine eindeutige Lösung haben, gar keine oder unendlich viele.<br />
Etwas anderes ist nicht möglich. Um dies zeigen zu können, benötigt man Kenntnisse der<br />
Vektorrechnung. Diese können aber in diesem Heft nicht auch noch grundlegend vermittelt<br />
werden. Daher sind diese Paragraphen, die den Hintergrund vermitteln, darauf angewiesen,<br />
dass der Leser Grundkenntnisse besitzt. Sie können im Text 61015 ausführlich nachgelesen<br />
werden. Hier der Überblick über den Inhalt dieses Heftes.<br />
In § 1 bespreche ich kurz, was Linearkombinationen sind, und dass man sie benötigt,<br />
um Vektoren aus anderen zu erzeugen.<br />
In § 2 geht es um Vektoren mit 2 Stellen (aus dem zweidimensionalen Vektorraum R 2 ).<br />
Es wird gezeigt, wie man untersucht, ob ein Vektor aus einem, zwei oder drei<br />
Vektoren als Linearkombination dargestellt werden kann. In manchen Fällen<br />
geht das, in anderen nicht. Das Entscheidende daran soll jedoch die Erkenntnis<br />
sein, dass hinter jeder dieser Aufgaben ein LGS steht. Die Frage, ob ein<br />
Vektor als Linearkombination darstellbar ist, ist also zugleich die Frage, ob das<br />
zugehörigen LGS lösbar ist. Der Leser soll erfahren, welche vektorielle<br />
Situation der Grund da<strong>für</strong> ist, dass ein LGS eindeutig lösbar ist oder gar nicht<br />
oder auf unendlich viele Weisen.<br />
Dies wird nur exemplarisch gezeigt. Eine gründliche Theorie würde den Rahmen<br />
und Zweck dieses Textes sprengen.<br />
In § 3 wird der Spieß umgedreht. Die in § 2 aus Vektoraufgaben entstandenen<br />
Gleichungssysteme werden vorgegeben. Deren Lösbarkeit ist jetzt das Thema.<br />
Dazu schauen wir nach, welche Vektorprobleme sich im LGS verstecken.<br />
Dann werden die Systeme mit dem Gauß-Verfahren bearbeitet, und es wird<br />
erklärt, wie man an Hand des Matrixranges die Lösbarkeit vorhersagen kann.<br />
Dazu gibt es einige Trainingsaufgaben<br />
In § 4 wird die Vektortheorie <strong>für</strong> den dreidimensionalen Vektorraum R 3 kurz wiederholt.<br />
Dazu wird zuerst geklärt, was die lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren bedeutet<br />
und wie man sie nachweist. Damit kann man dann die Darstellbarkeit von<br />
Vektoren des R 3 untersuchen, was gleichbedeutend mit der Lösbarkeit von<br />
linearen Gleichungssystemen ist. Also wieder ein Paragraph zur Vektortheorie.<br />
Viele Beispiele runden den Abschnitt ab.<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 7<br />
In § 5 werden nun die Gleichungssysteme, die in § 4 bei der Frage nach der<br />
Darstellbarkeit der Vektoren entstanden sind, unabhängig davon untersucht.<br />
Sinn und Ziel ist es jetzt, dass man erkennt, dass solche LGS einen vektoriellen<br />
Hintergrund haben, der erklärt, warum es Lösungen geben kann oder auch nicht.<br />
Aber auch, dass man lernt, diese Lösungen zu bestimmen.<br />
In § 6 wird geübt: Es werden verschiedenartige Matrizengleichungen gelöst.<br />
In § 7 kommt die Theorie wieder an die Reihe. Ersetzt man die Absolutglieder durch<br />
Nullen, steht auf der einen Seite der Nullvektor. Man nennt das LGS dann<br />
homogen, sonst inhomogen.<br />
Ja und dazu gibt es einiges zu erzählen. Denn diese Gleichungen haben<br />
besondere Eigenschaften, und es gibt einen interessanten Zusammenhang<br />
zwischen einem inhomogenen und dem zugehörigen homogenen LGS,<br />
denn man elegant <strong>für</strong> Proben ausnützen kann.<br />
In § 8 werden LGS mit Parametern (Formvariablen) behandelt.<br />
Die Fallunterscheidungen haben zur Folge, dass alle Möglichkeiten der<br />
Lösbarkeit auftreten.<br />
Dieser Abschnitt ist echtes Abiturtraining!<br />
In § 9 gibt es 15 Seiten Musterlösungen zu den Trainingsaufgaben.<br />
Wer weniger die Theorie sucht und einfach Matrizengleichungen aller Art auf Abiturniveau lösen und<br />
trainieren will, kann im Text 62113 stundenlang üben. An Hand von Abituraufgaben <strong>für</strong> berufliche<br />
Gymnasien in Baden-Württemberg gibt es viele Aufgaben und natürlich die Musterlösungen dazu.<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 8<br />
Hier der Inhalt des Textes<br />
§ 1 Mit Linearkombinationen neue Vektoren erzeugen 1<br />
§ 2 Erzeugen von Vektoren im R 2 2<br />
Die Lineare Hülle von 2 Vektoren 3<br />
Umkehrung: Darstellung eines Vektors durch 2 Vektoren 4<br />
Der Nullvektor-Trick 8<br />
Übersicht 9<br />
Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren 9<br />
§ 3 Lineare Gleichungssysteme im R 2 10<br />
Darstellung eines Gleichungssystems als Vektorgleichung 10<br />
Darstellung eines Gleichungssystems als Matrixgleichung 11<br />
Lösungsmenge bei unendlich vielen Lösungen 12<br />
Rang einer Matrix und Satz über die Lösbarkeit 13<br />
Trainingsaufgaben 1 und 2 14<br />
§ 4 Erzeugung von Vektoren im R 3 15<br />
4.1 Lineare Abhängigkeit dreier Vektoren des R 3<br />
15<br />
4.2 Zunächst die Ergebnisse <strong>für</strong> den R 3 16<br />
4.3 Fünf Beispiele <strong>für</strong> Vektordarstellung und Gleichungssysteme 18<br />
§ 5 Lineare Gleichungssysteme im R 3 – in Matrixform 26<br />
Untersuchung der 5 Beispiele aus § 4 mit Matrizentheorie 27<br />
Trainingsaufgabe 3 33<br />
§ 6 Trainingsabschnitt <strong>für</strong> Matrizengleichungen 34<br />
6.1 LGS mit eindeutiger Lösung 34<br />
6.2 Unlösbare LGS 35<br />
6.3 LGS mit unendlich vielen Lösungen 36<br />
§ 7 Homogene und inhomogene LGS – Etwas Theorie 39<br />
Trainingsaufgabe 4 44<br />
Trainingsaufgabe 5 45<br />
Trainingsaufgabe 6 47<br />
Anwendung zur Probe einer Lösung mit unendlich vielen Vektoren 51<br />
Trainingsaufgabe 7 51<br />
§ 8 Matrizengleichungen mit Parametern 52<br />
5 große Musteraufgaben im Abiturstil 52<br />
§ 9 Lösungen der Trainingsaufgaben 70<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 9<br />
Vektoren und Matrizen Datei Nr. 62 113<br />
Vorwort<br />
Dieses Heft enthält ausnahmslos Abituraufgaben von beruflichen Gymnasien in Baden-Württemberg.<br />
Sie sind fast alle sehr alten Datums. Dies hat den Vorteil, dass sie wesentlich umfangreicher sind als<br />
die neuen Aufgaben, die oft nur halb so lang sind, sich aber mit denselben Themen beschäftigen.<br />
Ihnen wird ein weiteres Heft gewidmet.<br />
Im folgenden Inhaltsverzeichnis sind sie nach Themen geordnet:<br />
a) Die ersten 5 Aufgaben sind alle vom etwa gleichen Typ: Aus einer Matrix A t wird ein<br />
Gleichungssystem gebildet. Dazu gibt es eine Reihe von Zusatzaufgaben. Es handelt sich<br />
stets um 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.<br />
b) In Aufgabe 6 geht es um die Lineare Un-/Abhängigkeit dreier Vektoren des R 3 .<br />
c) Aufgabe 7 zeigt, wie man mit einer Matrix Vektoren auf andere Vektoren abbilden kann.<br />
d) Die Aufgaben 8, 9 und 10 beschäftigen sich mit Gleichungssystemen des R 4 .<br />
Sämtlichen Lösungen stammen von mir persönlich.<br />
Friedrich Buckel<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 10<br />
Inhalt<br />
1 t 2t <br />
Aufgabe 1 - Abitur 1988: A t 1 1 2t2 4<br />
3 <br />
t t 16 <br />
Aufgabe 2 - Abitur 1987:<br />
2 2 t<br />
0 <br />
A t 1 2 3t<br />
11<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
t t 3t<br />
<br />
u 2u 3u <br />
Aufgabe 3 - Abitur 1994: A u 2u 5u 14u<br />
<br />
15<br />
2 <br />
5u 12u 2 u 12u6 Aufgabe 4 - Abitur 1994:<br />
1 t1 0 <br />
2<br />
A t t t 1<br />
19<br />
<br />
<br />
<br />
2 t t<br />
<br />
t 2<br />
t <br />
Aufgabe 5 - Abitur 1990: A t 2t 3 t<br />
24<br />
2 <br />
t t<br />
0 <br />
Aufgabe 6 - Abitur 1991:<br />
<br />
0 2 a <br />
t 1<br />
,<br />
b <br />
t t <br />
<br />
1 <br />
, ct 2<br />
<br />
<br />
2t t t4 Lineare Abhängigkeit dieser Vektoren. 28<br />
Aufgabe 7 - Abitur 1982: Abbildung von Vektoren durch<br />
1 2 1<br />
A= 0 1<br />
2 <br />
36<br />
<br />
3 1 3<br />
1 0 2 1 <br />
t 3 2t 3t <br />
Aufgabe 8 - Abitur 1987: A t 2<br />
<br />
41<br />
2 0 3t 8 2 <br />
2<br />
4 0 8 t t2 <br />
1 0 3 1 <br />
t 2 3t 2t <br />
Aufgabe 9 - Abitur 1982: A t 2<br />
<br />
46<br />
1 0 2t 5 1 <br />
2<br />
10 3tt3 <br />
Aufgabe 10 - Abitur 1992:<br />
1 2 a <br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
, bk<br />
1 k <br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
, ck<br />
2 <br />
1 <br />
<br />
k<br />
<br />
1 <br />
<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
<br />
<br />
, dk<br />
1 k <br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
1 <br />
<br />
50
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 11<br />
Eigenvektoren und Eigenwerte – <strong>für</strong> Zustandsänderungen 62300<br />
Inhalt<br />
Übersicht über die besprochenen Abbildungen 4<br />
1 Grundlagen: Punktabbildungen mit (2,2)-Matrizen 6<br />
1.1<br />
<br />
Abbildungen der Form x' U x<br />
6<br />
Beispielrechnungen <strong>für</strong> Dreiecke. 6<br />
Bildpunkt des Ursprungs, Fixpunkt 8<br />
1.2<br />
<br />
Fixpunkte einer affinen Abbildung der Form x' U x<br />
9<br />
1.3 Fixgeraden einer affinen Abbildung 10<br />
Beispiel: Geradenspiegelung 10<br />
Beispiel: Schräge Stauchung: 12<br />
2 Eigenvektoren von Matrizen 14<br />
2.1 Berechnung von Eigenvektoren, charakteristische Gleichung 14<br />
Geometrische Folgerung: Fixgeraden 14<br />
Beispiel: Schrägspiegelung 18<br />
Beispiel: Euler-Affinität 19<br />
2.2 Neue Koordinatensysteme mit zwei Eigenvektoren als Basis 21<br />
Beispiel: Euler-Affinität 22<br />
Beispiel: Schrägspiegelung 24<br />
Beispiel: Euler-Affinität 25<br />
3 Mehrstufige Prozesse und Eigenvektoren 27<br />
3.1 Beispiel: Entwicklung einer Population von Eichhörnchen 27<br />
Populationsentwicklung längs einer Fixgeraden 29<br />
Stabile Population 30<br />
3.2 Diffusionsproblematik 32<br />
3.3 Übersicht: Was passiert eigentlich bei 2 Eigenvektoren? 36<br />
4 Eigenvektoren von (3,3)-Matrizen 38<br />
Beispiel: Entwicklung einer Population von Waschbären 38<br />
Stabile Zustände. 38<br />
Beispiel: Entwicklung einer Kabeljau-Population 40<br />
Stationärer Zustand 40<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 12<br />
Einfache Einführungsbeispiele<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
Übersicht über die untersuchten Abbildungen<br />
2 1 <br />
x' x<br />
1 1<br />
<br />
Dreieck abbilden 6<br />
<br />
1 1 x' 2 <br />
x<br />
Dreieck abbilden 6<br />
<br />
0 2<br />
<br />
<br />
1 1<br />
3 2 2<br />
x' xGeradenspiegelung<br />
eines Dreiecks 7<br />
1 1 3 <br />
2 2 <br />
1 1<br />
3 2 2<br />
x' xDrehung<br />
eines Dreiecks um O 7<br />
1 1 3 <br />
2 2 <br />
Thema: Fixpunkte und Fixgeraden<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8)<br />
(9)<br />
(10)<br />
(13)<br />
(14)<br />
1 2<br />
<br />
x' x<br />
1 1<br />
<br />
Genau 1 Fixpunkt 9<br />
<br />
0,8 x' <br />
0,2 0,3 <br />
x<br />
0,7<br />
<br />
<br />
Fixpunktgerade, Achsenaffinität 9<br />
Schräge Stauchung 11<br />
Eigenwerte und Eigenvektoren 14<br />
Eigenvektoren als Basis, Konstruktion damit 22<br />
0,6 0,8 <br />
x' x<br />
0,8 0,6<br />
Achsenaffinität, Fixgeraden (Geradenspiegelung) 10, 12<br />
<br />
2 0,5<br />
<br />
x' x<br />
2 4<br />
Eigenvektoren, Fixpunkte und Fixgeraden 17<br />
<br />
1 x' <br />
0 2 <br />
x<br />
1<br />
<br />
<br />
Achsenaffinität, Fixgeraden, Schrägspiegelung 18<br />
Eigenvektoren als Basis, Konstruktion damit 24<br />
1, 5<br />
x' <br />
0,5 3 <br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
Euler-Affinität 19<br />
Eigenvektoren als Basis, Konstruktion damit 25<br />
1, 8 0, 6 <br />
x x<br />
0,4<br />
3,2<br />
Euler-Affinität, Konstruktion mittels Eigenvektoren 36<br />
<br />
1 10 6 3 <br />
x' x<br />
1 5 <br />
Achsenaffinität, Konstruktion mittels Eigenvektoren 37<br />
24 6 <br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 13<br />
Zum Thema: Zustandsänderungen<br />
0,80 0,75 <br />
<br />
0,64 0<br />
<br />
Eichhörnchen-Population 27 - 31<br />
<br />
(11) vn1 vn<br />
0,8 0,3 <br />
<br />
0,2 0,7<br />
, Diffusion zweier Gase 32 – 35<br />
<br />
(12) vn1 vn<br />
0 2 1,5 <br />
<br />
<br />
Waschbären-Population 38 – 39<br />
0 0,6 0,45<br />
<br />
(15) vn1 0,5 0 0 vn<br />
<br />
0 2 6 <br />
<br />
<br />
Kabeljau-Population 40 - 41<br />
<br />
0 0,30 0,40<br />
<br />
<br />
(16) vn1 0,20 0 0 vn<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 14<br />
Anwendungsaufgaben 1 Datei Nr. 62 311<br />
Arbeiten mit Bedarfstabellen –<br />
Herstellung von Zwischen- und Endprodukten aus Rohstoffen,<br />
Kostenberechnungen<br />
Beispiel 1<br />
Inhalt<br />
3<br />
Beispiel 2 5<br />
Beispiel 3 7<br />
Beispiel 4 (Bedarfstabellen und Stücklisten) 8<br />
Beispiel 5 (Belieferung von Firmen) 11<br />
Aufgabe 1 (Lohnkosten) 12<br />
Aufgabe 2 (Addition von Bedarfstabellen) 15<br />
Hinweis: Strukturen von Bedarfstabellen 17<br />
Aufgabe 3 (Addition von Bedarfstabellen) 18<br />
Aufgabe 4 18<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 15<br />
Anwendungsaufgaben 2 Datei Nr. 62 321<br />
Betriebliche Verflechtungen - Leontief-Modell<br />
Inhalt<br />
1. Einfache Aufgabe zum Einstieg 3<br />
Einführung in die innerbetriebliche Verflechtung anhand einer<br />
Abituraufgabe 1993 aus Baden-Württemberg 3 – 15<br />
Verflechtungsdiagramm 3<br />
Input-Output-Tabelle 4<br />
Die Leontief-Annahme 4<br />
Produktionsvektor, Konsumvektor 6<br />
Inputmatrix 8<br />
Hochrechnung auf eine gewünschte Produktion 9<br />
Übersicht 10<br />
Kompakt: Diese Aufgabe mit Lösung 15<br />
2. 4 Aufgaben zum Üben 19<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 16<br />
Anwendungsaufgaben 3 Datei Nr. 62 331<br />
Übergangsmatrizen - Prozess-Diagramme - Markow-Ketten<br />
Viele Berechnungen werden mit dem CAS-Rechner TI Nspire durchgeführt.<br />
Inhalt<br />
1 Grundsätzliches 3<br />
2 Einführende Beispiele 4<br />
Beispiel 1 (Mietwagen-Karussell) 4<br />
Beispiel 2 (Kundenwanderung beim Autokauf) 7<br />
3 Verteilungsfolgen und deren Grenzwerte 9<br />
Beispiel 3 (Verteilung von Einkaufswagen am Supermarkt) 9<br />
4 Spiele analysieren – absorbierende Zustände 15<br />
Beispiel 4 (Mensch ärgere dich nicht) 15<br />
Beispiel 5 (Glücksrad) 18<br />
Definition: Markow-Kette 23<br />
Beispiel 6 (Münze werfen) 24<br />
Beispiel 7 (Würfeln) 28<br />
5 Verweildauer und anderes 31<br />
Beispiel 8 (Käfer und Vogel) 31<br />
Berechnung der mittleren Überlebensdauer 32<br />
Berechnung der Absorptionswahrscheinlichkeiten 33<br />
Berechnung von Verweilzeiten und Übergangsanzahlen 34<br />
6 Mischungsprozesse 37<br />
Beispiel 9 (Umfüllen 1) 37<br />
Beispiel 10 (Umfüllen 2) 39<br />
7 Vererbung von Eigenschaften 41<br />
Beispiel 11 (Vererbung) 41<br />
Beispiel 12 (Vererbung) 43<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 17<br />
Aufgabensammlung Datei Nr. 62 332<br />
Aufgabe 1 Mietwagen-Karussell 3<br />
Aufgabe 2 Käuferverhalten 5<br />
Aufgabe 3 Wohnortwechsel 7<br />
Aufgabe 4 Wählerwanderung 9<br />
Aufgaben 5, 6 und 7 Formale Übungsaufgaben 11<br />
Aufgaben 8 Prozessdiagramme erstellen 17<br />
Spiele 19<br />
Aufgabe 9 Mehrmals würfeln 19<br />
Aufgabe 10 Glücksrad 19<br />
Aufgabe 11 Münze werfen 19<br />
Aufgabe 12 Vogel frisst Käfer 24<br />
Aufgabe 13 Buchstabenverteilung 27<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 18<br />
Diffusionsmodell Datei Nr. 62 333<br />
Inhalt<br />
1 Diffusionsmodell 4<br />
2 Untersuchung der zur Übergangsmatrix gehörenden Abbildung am Beispiel 9<br />
Berechnung von Fixgeraden bei einer Abbildung durch eine (2,2)-Matrix U 11<br />
Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer (2,2)-Matrix 11<br />
Was passiert mit Punkten, die nicht auf der Achse liegen? 14<br />
Ausnutzen dieser geometrischen Hintergründe <strong>für</strong> Zusatzaufgaben 15<br />
3 Kompakte Lösung der Einführungsaufgabe 17<br />
4 Einschub: Berechnung von Eigenvektoren einer (2,2)-Matrix 23<br />
4.1 Sehr ausführliche Lösung 23<br />
4.2 Kurze Lösung 24<br />
4.3 Bestimmung der Fixgeraden 25<br />
4.4 Zusammenfassung (<strong>für</strong> diese spezielle Abbildungsart) 26<br />
5 Anleitung zum Erstellen eigener Aufgaben 27<br />
Einsatz eines CAS-Rechners zum schnellen Finden geeigneter Matrizen<br />
zu vorgegeben Eigenvektoren und Eigenwerten. 29<br />
6 Lösung einer Diffusionsaufgabe mit Hilfe der Abbildungseigenschaften 30<br />
7 4 Aufgaben mit Lösungen unter Berücksichtigung der Abbildungen 37-45<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 19<br />
Populationen und zyklische Matrizen 62 334<br />
Vorwort<br />
Eine spezielle Form von mehrstufigen Prozessen sind zyklische Prozesse, also Prozesse, die<br />
„irgendwann“ wieder den Ausgangszustand herstellen. Die bekannten Beispiele dazu sind<br />
Populationsentwicklungen.<br />
Die Anfänge dieser Theorie ist <strong>für</strong> Schüler gut verständlich. Und dazu zeige ich hier einführende<br />
Beispiele und einige Übungsaufgaben.<br />
Hier wird natürlich vorausgesetzt, dass man die Grundlagen der Übergangsmatrizen schon beherrscht<br />
(also Text 62331).<br />
Es gibt dazu weitere Texte 72501 (und bald noch 72502), die Abituraufgaben zu Übergangsmatrizen<br />
enthalten.<br />
Die Grafiken wurden mit MatheGrafix (Version 10) erstellt und deren Dateien finden Sie auf der<br />
Mathe-CD im Ordner Mathegrafiken in mgt-62334 zur weiteren Verarbeitung.<br />
Inhalt<br />
Beispiel 1a Entwicklung von Käfern aus Eiern über das Zwischenstadium Larven<br />
Hier: Stabiler, reproduzierender Zyklus 3<br />
Beispiel 1b Hier kein stabiler Zyklus sondern exponentielles Wachstum 6<br />
Beispiel 1c Hier kein stabiler Zyklus sondern exponentielle Abnahme 8<br />
Beispiel 2 Maikäfer haben einen vierjährigen Zyklus 9<br />
Beispiel 3 Viehzucht 12<br />
Beispiel 4 Reproduzierender Bestand innerhalb von 1 Zyklus 14<br />
Beispiel 5 Viehzucht mit 4 Altersgruppen 18<br />
Beispiel 6 Populationsmodell mit 3 gleich langen Phasen 19<br />
Übungsaufgaben 20<br />
Lösungen 22 - 31<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 20<br />
Berufskolleg –Prüfungsaufgaben 2002 – 2010 BW. Datei Nr. 74 102<br />
In der Regel enthalten diese Aufgaben folgende drei Teile:<br />
1. Teilaufgabe: Lineares Gleichungssystem<br />
2. Teilaufgabe: Matrizengleichung lösen<br />
3. Teilaufgabe: Innerbetriebliche Verflechtung nach dem Leontief-Modell<br />
Berufl. Gymnasien BW<br />
Abituraufgaben 1990 – 2010 Datei Nr. 74211<br />
Themenbereich: Betriebliche Verflechtungen, Leontief-Modell<br />
Berufl. Gymnasien BW<br />
Abituraufgaben 1982 – 2010 Datei Nr. 74221<br />
Themenbereich: Bedarfsmatrizen zur Herstellung von Zwischen- und Endprodukten<br />
Kostenberechnungen<br />
Berufl. Gymnasien BW Abituraufgaben Datei Nr. 74222<br />
Allerlei Anwendungsaufgaben aus versch. Themenbereichen.<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 21<br />
Abitur Bremen: Übergangsmatrizen 72501<br />
Inhalt<br />
Teil 1: Aufgabenstellungen ohne Verwendung von Eigenvektoren<br />
Aufgabe 1 Raucherverhalten (GK 2007)<br />
Lösung: 5 - 6<br />
4<br />
Aufgabe 2a Fahrradverleih auf Hiddensee (GK 2008), Variante 1<br />
Lösung: 9 - 10<br />
7<br />
Aufgabe 2b Fahrradverleih auf Hiddensee (LK 2008), Variante 2<br />
Lösung: 13 – 14<br />
11<br />
Zusatzübung: Verwendung von Eigenvektoren 15 - 17<br />
Aufgabe 3a Verteilung von Einkaufswagen (LK 2008), Variante 1<br />
Lösung: 20 – 24<br />
18<br />
Aufgabe 3b Verteilung von Einkaufswagen (GK 2008), Variante 2<br />
Lösung: 27 - 30<br />
25<br />
Aufgabe 4 Abibienen (GK 2009)<br />
Lösung: 33 – 36<br />
31<br />
Zusatz <strong>für</strong> Leistungskurse: 37<br />
Aufgabe 5a Waschbären-Population (GK 2010), Variante 1<br />
Lösung: 41 - 42<br />
39<br />
Aufgabe 5b Waschbären-Population (GK 2010) Variante 2<br />
Lösung: 45 – 46<br />
43<br />
Aufgabe 6a Kabeljau-Population (GK 2010) Variante 1<br />
Lösung: 49 – 51<br />
47<br />
Aufgabe 7a Vergleich zweier Hörnchenarten (GK 2011) Variante 1<br />
Lösung: 54 – 55<br />
52<br />
Aufgabe 8a Marienkäfer (GK 2011) Variante 1<br />
Lösung: 57 - 58<br />
56<br />
Teil 2: Aufgabenstellungen unter Verwendung von Eigenvektoren<br />
Aufgabe 5c Waschbären-Population (LK 2010) Variante 3<br />
Lösung: 62 – 64<br />
60<br />
Aufgabe 6b Kabeljau-Population (GK 2010) Variante 2<br />
Lösung: 67 – 69<br />
65<br />
Aufgabe 7b Vergleich zweier Hörnchenarten (LK 2011) Variante 2<br />
Lösung: 72 – 76<br />
70<br />
Aufgabe 8b Marienkäfer (LK 2011) Variante 2 77<br />
Lösung: 79 - 82<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>62000</strong> Inhalt der Texte zur Matrizenrechnung 22<br />
Abitur Hamburg: Übergangsmatrizen 72502<br />
Inhalt<br />
Aufgabe 1 Schwarzwild (GK 2008)<br />
Lösung: 7 - 10<br />
4 - 6<br />
Aufgabe 2a Insektenpopulation (LK 2008), Variante 1<br />
Lösung: 13 - 17<br />
11 - 12<br />
Aufgabe 2b Insektenpopulation (LK 2008), Variante 2<br />
Lösung: 21 - 24<br />
18 - 20<br />
Aufgabe 3a Heuschrecken (GK 2008), Variante 1<br />
Lösung: 29 – 33<br />
25 - 28<br />
Aufgabe 3b Heuschrecken (GK 2008), Variante 2<br />
Lösung: 36 - 37<br />
34 - 35<br />
Aufgabe 4 Schädlingsbekämpfung (GK 2009)<br />
Lösung: 40 – 43<br />
38 - 39<br />
Aufgabe 5a Bevölkerungsentwicklung in D (GK 2009), Variante 1<br />
Lösung: 47 - 49<br />
44 - 46<br />
Aufgabe 5b Bevölkerungsentwicklung in D (GK 2009), Variante 2<br />
Lösung: 52 – 54<br />
50 - 51<br />
Aufgabe 6 Bachforellen (LK 2009) 55 - 57<br />
Aufgabe 7a<br />
Lösung: 58 – 63 (mit Eigenvektoren)<br />
Seeschildkröten (LK 2009) Variante 1<br />
Lösung: 66 – 70 (mit Regression)<br />
64 - 65<br />
Aufgabe 7b Seeschildkröten (LK 2009) Variante 1<br />
Lösung: 73 - 76<br />
71 - 72<br />
Aufgabe 8 Minimiermotte (GK 2009)<br />
Lösung: 79 – 81<br />
77 - 78<br />
Aufgabe 9 Geckos (LK 2009) 82 - 83<br />
Lösung: 84 - 87<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de