Grundlagen der Statistik - Lehrstuhl für Statistik - Universität Mannheim

Grundlagen der Statistik 

Universität Mannheim 

Lehrstuhl für Statistik 

Ingo Steinke, Toni Stocker 

FSS 2008

Organisatorisches 

Termine und Zeiten 

Materialien und Literatur 

Prüfungsmodalitäten 

Überblick 

Organisatorisches 2

Übersicht über die Vorlesungen im FS08 


Studiengang Vorlesung Klausur 

Bachelor 

(kein VWL) 

„Grundlagen der Statistik“ 180 min 

Diplom (BWL etc.) „Deskriptive Statistik“ oder 

„Deskriptive Statistik“ und „Grundlagen 

der Statistik“ 

60 min oder 

240 min 

Bachelor (VWL) „Statistik I“ 180 min 

60 

„Deskriptive Statistik“ 

180 

„Grundlagen der Statistik“ 

I.Steinke, T.Stocker Organisatorisches 3

Bachelor-BWL, 2. Fachsemester 

Tag Zeit LV Raum Dozent 

Montag 10:15-11:45 Übung A3 001 Ingo Steinke 

Dienstag 10:15-11:45 Vorlesung A3 001 Ingo Steinke 

Mittwoch 15:30-17:00 Vorlesung A3 001 Ingo Steinke 

Bachelor-BWL, 4. Fachsemester 


Montag 13:45-15:15 Übung A3 001 Ingo Steinke 

Dienstag 15:30-17:00 Vorlesung A3 001 Ingo Steinke 

Mittwoch 08:30-10:00 Vorlesung A3 001 Ingo Steinke 

Bachelor anderer Studienrichtungen, Diplom 


Mittwoch 17:15-18:45 Übung S108 Toni Stocker 

Freitag 08:30-10:00 Vorlesung S108 Toni Stocker 

Freitag 10:15-11:45 Vorlesung S108 Toni Stocker 


Organisatorisches 4

Kontakt: Ingo Steinke 

Sprechstunde: Mi, 13:00-14:00 Uhr und n.V. 

Raum: L7, 3-5, Zi. 141 

Telefon: 0621-181-1785 

Email: isteinke@rumms.uni-mannheim.de 

Kontakt: Toni Stocker 

Sprechstunde: Do, 11:30-13:00 Uhr und n.V. 

Raum: L7, 3-5, Zi. 145 

Telefon: 0621-181-3963 

Email: stocker@rumms.uni-mannheim.de 



Lehrmaterialien 

Folien zu Vorlesungen und Übungen werden bereit gestellt. 

Teilweise zusätzliche Lehr- und Übungsmaterialien. 

Folien i.d.R. wochenweise vor der Vorlesung am Mittwoch abrufbar. 

Informationen und Materialien sind zu finden unter: 

⇒http://mammen.vwl.uni-mannheim.de 

⇒ Veranstaltungen FS 08 

⇒ Grundlagen der Statistik 

bzw. 

⇒ http://dotlrn.uni-mannheim.de 

⇒ Lehrstuhl Statistik 

⇒ Grundlagen der Statistik. 

Lehrmaterialien und Literatur 


Literaturempfehlungen 

Lehrmaterialien und Literatur 

Fahrmeir, Künstler, Pigeot, Tutz: Statistik – Der Weg zur Datenanalyse. 

6. Auflage; Berlin, Heidelberg: Springer, 2007. 

Weiter(führend)e Literatur 

Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL. Theorie und Praxis. 

2. Auflage; München: Pearson Studium, 2005. 

Fahrmeir, u.a. : Arbeitsbuch Statistik. 

4. Auflage; Berlin, Heidelberg: Springer, 2005. 

Bamberg, Baur: Statistik. 

14. Auflage; München, Wien: Oldenbourg, 2007. 

Bamberg, Baur: Statistik – Arbeitsbuch. 

7. Auflage; München, Wien: Oldenbourg, 2005. 

Hartung, Elpelt, Klösener: Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten 

Statistik. 14. Auflage; München, Wien: Oldenbourg, 2005. 


Übungen 

Aufgaben werden am Mittwoch via dotlrn bereit gestellt. 

Die Lösungen der Aufgaben 

• werden nicht eingesammelt oder bepunktet. 

• werden nicht auf die Klausur bzw. Gesamtnote angerechnet. 

• dienen Ihrer Klausurvorbereitung ! 


Klausur 

• Dauer: 3 Stunden, 

• Hilfsmittel: 

• Standardschultaschenrechner, 

• Formelsammlung zur Vorlesung. 

• Multiple Choice – Aufgaben. Details in der Übung. 

• 1 Nachklausur. 



Grundlagen der Statistik 

Kapitelübersicht 

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 

2. Eindimensionale Zufallsvariablen 

3. Spezielle Verteilungen 

4. Mehrdimensionale Zufallsvariablen und Grenzwertsätze 

5. Parameterschätzung 

6. Testen von Hypothesen 

7. Spezielle Testprobleme 

8. Regressionsanalyse 

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 

Überblick 

9

Kapitel 1: Grundlagen der 

Wahrscheinlichkeitsrechnung 

Übersicht 

Was versteht man unter Statistik? 

Einführung in den Wahrscheinlichkeitsbegriff 

Klassische Wahrscheinlichkeit 

Kombinatorik 

Rechnen mit Ereignissen 

Axiomatik und Rechenregeln der Wahrscheinlichkeit 

Bedingte Wahrscheinlichkeit 

Unabhängigkeit 

Totale Wahrscheinlichkeit 

Satz von Bayes 


Überblick 

10

Beispiel : Telefonumfrage. 


Ein Marktforschungsinstitut möchte mittels Telefonumfrage (Zufallsauswahl/ 

Stichprobe) untersuchen, wie viel Prozent aller Deutschen mindestens ein Handy 

besitzen. Einer ein Jahr alten Untersuchung zufolge soll der Anteil bei etwa 67% 

liegen. Es interessiert nun auch die Frage, ob der Anteil gestiegen ist. 

Schritt 1: Datenerhebung 

Fragen/Probleme: 

• Wie viele Leute sollen befragt werden? 

• Aus welcher Menge und wie soll die Zufallsauswahl erfolgen? Wie werden die 

Leute erreicht? Z.B. per Telefon. 

• Welche Frage(n) sollen gestellt werden? Z.B. „Wie viele Handys besitzen Sie?“ 

• Was macht man mit nicht beantworteten Fragen? 

• Erreicht man wirklich eine „repräsentative“ Stichprobe? 

I.Steinke, T.Stocker 


11

Schritt 2: Aufbereitung und Darstellung der Daten 


• Entscheidung für eine oder mehrere geeignete Darstellungsformen. 

• Wie werden fehlende oder unpräzise Antworten erfasst? 

Beispiel (fortgesetzt) 


Auszählung der Anzahl von „Besitzern“ und „Nichtbesitzern“ von Handys. Die 

Auszählung ergab, dass der Anteil der Handybesitzer unter 500 befragten Personen 

69% beträgt. 

Handy kein Handy 

Handy 

kein Handy 

Aufbereitungsmethode 

hängt von Datenmaterial 

und Untersuchungsziel ab. 

„Deskriptive 

Statistik“ 

I.Steinke, T.Stocker Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 12

Schritt 3: Analyse und Interpretation 


• Inwieweit sind die Beobachtungswerte repräsentativ? 


• Sind beobachtete Zusammenhänge oder Veränderungen wirklich aussagekräftig 

bzw. zuverlässig oder könnten sie durch „Zufall“ zustande gekommen sein? 

Beispiel (fortgesetzt) 

• Angenommen, die wahre Handyquote liege unverändert bei 67%. 

• Wie groß ist die „Wahrscheinlichkeit“, dass die Quote in der Stichprobe 

zufällig 69% oder höher ausfällt? 

• Ist die Handyquote nun gestiegen oder nicht? 

Technischer Apparat der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich, „um den 

Zufall in den Griff zu bekommen“. 


Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 13

Betrachtung des Gesamtprozesses 

Erhebung 

Stichprobentheorie 

(Erhebungstechniken) 

Anwendungsgebiete: 

• Ökonometrie, 

• Biometrie, 

• Psychometrie, 

• Technometrie, 

• Agrarwissenschaften, ... 

Aufbereitung 

und 

Darstellung 

Beschreibende 

Statistik 

(Deskriptive Statistik) 

„Deskriptive 



Analyse und 

Interpretation 

Schließende 


(Induktive Statistik) 

Wahrscheinlichkeits 

-rechnung 

„Grundlagen der 



Statistik als Wissenschaft 



Deskriptive (Beschreibende) Statistik Induktive (Schließende) Statistik 

• Tabellen, 

• Grafiken, 

• Komprimierung, 

• Maßzahlen etc. 

Explorative Datenanalyse 

(Data Mining) 

gelegentlich als eigenständiges Gebiet 

Schätzen 

Testen 

• unter speziellen Verteilungsannahmen, 

• in Regressionsmodellen, 

• in Zeitreihenmodellen etc. 

Wichtiges Grundlagenfach: 

Wahrscheinlichkeitsrechnung 

(Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastik) 


Einführung in den Wahrscheinlichkeitsbegriff 

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff findet gelegentlich im Alltag Verwendung. 

Beispiele 

„Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln beträgt 1/6.“ 

„Die Chance für sechs Richtige im Lotto 6 aus 49 beträgt genau 1: 13 983 816.“ 

„Die Kreditausfallwahrscheinlichkeit für diese Kundenklasse beträgt weniger als 

1%.“ 

„Morgen wird es höchstwahrscheinlich regnen.“ 

„Dieser Patient wird nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% überleben.“ 

„Ich bin mir zu 95% sicher, dass ...“ 

„Eine Studie ergab, dass die Bevölkerung im Jahr 2050 mit einer 

Wahrscheinlichkeit von 90% zwischen 40 und 50 Millionen liegen wird.“ 

„Die Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt liegt in Deutschland bei 48.7%.“ 

„Mit einer Wahrscheinlichkeit von 94% erhält die Partei einen Stimmenanteil 

zwischen 29.8 % und 31.4%.“ 

„Deutschland wird nicht Weltmeister. Da würde ich 500 Euro darauf wetten.“ 



Voraussetzung wahrscheinlichkeitstheoretischer Überlegungen sind Vorgänge mit 

nicht vorhersagbaren Ergebnissen. 

Einführung 

Ein Zufallsvorgang ist ein Vorgang mit mindestens zwei möglichen, sich 

gegenseitig ausschließenden Ergebnissen (Ausgängen), wobei im Voraus nicht 

eindeutig bestimmbar ist, welches Ergebnis eintreten wird. 

Oft interessiert der Zufallsvorgang nicht selbst, sondern nur die Häufigkeit, mit der 

seine Ergebnisse zu erwarten sind. 

Zufallsvorgang Ergebnis 

Würfeln mit einem Würfel Augenzahl, die oben liegt. 

Lotto „6 aus 49“ Die 6 gezogenen Zahlen. 

Wetter Regenmenge in mm/m 2 

Qualitätskontrolle Anzahl/Anteil der defekten Teile 

Glücksspiel zwischen Peter und Paul Sieger 


Ein Ereignis ist eine Zusammenfassung von möglichen Ergebnissen (Versuchs- 

ausgängen) eines Zufallsvorgangs. 

Beispiel: Würfeln mit einem Würfel. 

Einführung 

Die Zahlen 1,2,…,6 sind die Ergebnisse des Zufallsvorganges. „Eine Zahl größer 

als 4 würfeln“ ist das Ereignis, das die beiden Ergebnisse 5 und 6 umfasst. 

Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung sollen den Ereignissen solcher 

Zufallsvorgänge „Chancen“ für ihr Eintreten zugewiesen werden. Die „Chance“ p 

ist dabei so zu verstehen, dass bei n gleichartigen Zufallsvorgängen etwa 

p·n 

mal das entsprechende Ereignis auftritt. p·n interpretieren wir auch als erwartete 

Anzahl des Ereignisses bei n Versuchen. 



Einführung 

Im Rahmen der Klassischen Wahrscheinlichkeit werden diese Chancen durch 

Analyse des Problems und „vernünftige“ Überlegungen hergeleitet. Wir erhalten 

einen begründeten und exakten Wert für die „Chance“. 

Beispiele: Glücksspiele, z.B. 

• Münzwurf: „Wappen“ und „Zahl“ jeweils mit „Wahrscheinlichkeit“ 0,5. 

• Würfeln: „6“ wird mit „Wahrscheinlichkeit“ 1/6 geworfen. 

• Lotto 6 aus 49: Mit welcher „Wahrscheinlichkeit“ hat man „6 Richtige“? 

• Poker: Mit welcher „Wahrscheinlichkeit“ hat man „Full House“? 

• Qualitätskontrolle. Mit welcher „Wahrscheinlichkeit“ findet man defekte Teile? 


Details später! 


Statistische Wahrscheinlichkeit 

Einführung 

Einen Zufallsvorgang, der unter kontrollierten Bedingungen abläuft und unter 

gleichen Bedingungen wiederholbar ist, bezeichnet man auch als Zufallsexperiment. 

Wir interessieren uns bei einem Zufallsexperiment für einen bestimmten Versuchs- 

ausgang bzw. ein Ereignis A. Wenn dieses eintritt, sagen wir das Experiment bzw. A 

war erfolgreich. Wir wiederholen das Experiment n mal und bezeichnen mit h n(A) 

die Anzahl der Erfolge von A und f n(A), 

hn 

( A) 

f n ( A) 

= , 

n 

die relative Häufigkeit von A. Dann ist fn(A) eine sinnvolle „Chancenzuweisung“ 

für das Eintreten von A. 

n ⋅ 

p ≈ hn 

( A) 

= n ⋅ f n ( A). 


Beispiel: Würfeln. 

Das statistische Experiment „Würfeln“ werde n mal wiederholt und das Ereignis 

„6“ beobachtet. 

n h n(„6“) f n(„6“) 

10 3 0,300 

100 27 0,270 

1000 197 0,197 

0,35 

0,15 

0,05 

10000 1722 0,1722 0 

0,3 

0,25 

0,2 

0,1 

Relative Häufigkeit 

10 100 1000 10000 

f_n p 

Einführung 

Man kann in dem Beispiel beobachten, dass sich die relative Häufigkeit für große 

Wiederholungszahlen um den theoretischen Wert der klassischen Wahrscheinlich- 

keit stabilisiert! Dieses Verhalten kann man auch bei anderen Zufallsexperimenten 

beobachten. 


A sei ein Ereignis eines Zufallsexperiments. Den Grenzwert (Limes) der relativen 

Häufigkeit bei wachsender Anzahl von Versuchswiederholungen, i.Z. (in Zeichen) 

lim ( A), 

n→∞ bezeichnet man als statistische Wahrscheinlichkeit. 

Beispiel: Qualitätskontrolle. 

f n 

Einführung 

Uns interessiert die „Chance“, p, dass ein beliebiges aus einer Warenlieferung 

entnommenes Teil den Qualitätsstandards nicht genügt. Bezogen auf die gesamte 

Warenlieferung ist p dann der Anteil der defekten Teile. 

Der Warenlieferung werden n=100 Teile entnommen. Es mögen h n=3 Teile durch 

die Qualitätsprüfung fallen. Dann ist 3/100 eine „Schätzung“ für p. 



Einführung 

Wichtig: Die Kenntnis über die Größe von „Chancen“ gewinnen wir bei der 

statistischen Wahrscheinlichkeit durch Beobachtungen. Die exakten Werte lassen 

sich nicht bestimmen, sondern nur annähern, im statistischen Terminus „schätzen“. 

Subjektive Wahrscheinlichkeit 

Zufallsvorgängen, die selten vorkommen, einmalig sind oder deren Begleitum- 

stände sich stark ändern, kann man auf statistischem Weg sehr schlecht „Chancen“ 

zuweisen. Einzelne Beobachter mögen es infolge persönlicher Erfahrung oder 

Präferenzen trotzdem machen. In diesem Zusammenhang spricht man von 

subjektiven Wahrscheinlichkeiten. 

Um wenigstens eine subjektive Bewertung einer Risikosituation zu 

erhalten, betrachte man folgende alternative Risikosituationen: 


Risikosituation A: 

Ein Ereignis trete mit „Chance“ p ein. Wenn es eintritt, erhält man 1000€, sonst 

verliert man 500€. 

Risikosituation B: 

Einführung 

Man erhält 1000€, wenn der DAX innerhalb der nächsten 3 Monate um mindestens 

100 Punkte steigt. Wenn nicht, verliert man 500€. 

„Man variiere p nun so lange, bis das Individuum gegenüber diesen beiden 

Risikosituationen indifferent ist. Dann gibt die Zahl p seine subjektive 

Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der DAX in den nächsten drei Monaten um 

mindestens 100 Punkte steigt.“ (Schira) 

Verschiedene Personen werden solche Situationen unterschiedlich bewerten. Das 

macht den subjektiven Charakter dieser Wahrscheinlichkeiten aus. 



Zusammenfassung 

Zufallsvorgänge haben mehr als einen Ausgang; der Ausgang ist nicht 

vorhersagbar. Die Ausgänge von Zufallsvorgängen werden Ergebnisse genannt; 

die Zusammenfassungen solcher Ergebnisse heißen Ereignisse. 

Einführung 

Mittels des Wahrscheinlichkeitsbegriffs ordnet man den Versuchsausgängen von 

Zufallsvorgängen „Chancen“ ihres Eintretens zu. Aus unterschiedlichen 

Bewertungsmöglichkeiten dieser Chancen ergeben sich unterschiedliche 

Interpretationen. 

• klassische Wahrscheinlichkeit („objektiv a priori“ bzw. Laplace- 

Wahrscheinlichkeit), 

• statistische Wahrscheinlichkeit (objektiv a posteriori), 

• subjektive Wahrscheinlichkeit. 



Beispiel: Werfen eines Würfel. 


Als Ergebnis notieren wir uns die oben erscheinende Augenzahl, also 1,2,3,4,5 oder 

6. Welche „Chance“ besteht für das Werfen einer „6“? 


Bei einem gleichförmigen Würfel erwartet man, dass alle 6 Ergebnisse die gleiche 

„Chance“, p , besitzen. 

Wesentliche Merkmale: Ein Zufallsvorgang hat endliche viele Versuchsausgänge 

und alle haben die gleiche „Chance“. 


Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes bezeichnet man als gleichwahrschein- 

lich, wenn gemäß Entstehungsprozess der Ergebnisse alle als gleichberechtigt 

anzusehen sind. 

Beispiele 

• Ziehung von Zahlen beim Lotto, z.B. 6 aus 49. 


• Verteilung von Karten beim Kartenspiel, z.B. 5 Karten aus 52 ziehen. 

• Auswahl von Teilen bei der Qualitätskontrolle. 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein beliebiges Ergebnis (Versuchsausgang) 

eintritt, wird dann in Analogie zu obiger Herleitung definiert als 


Anzahl aller möglichen Ergebnisse 

1 


Beispiel: Werfen eines Würfels. 

Wie groß ist die „Chance“, „eine 5 oder eine 6“ zu würfeln? 

Wir zerlegen das Ereignis in zwei Teile. 


Ereignis „5“ „6“ „5 oder 6“ 

„Erwartete Anzahl“ bei 600 Würfen 100 100 100+100=200 

oder 

Diese Überlegungen lassen sich auf andere Experimente übertragen. 

I.Steinke, T.Stocker Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 28 

=

Die Ergebnisse, die in einem Ereignis A zusammengefasst werden, werden für 

A als „günstig“ bezeichnet. 


Ein Zufallsexperiment, das nur endlich viele Ergebnisse annehmen kann und 

für das alle Ergebnisse „gleichwahrscheinlich“ sind, nennt man ein Laplace- 

Experiment. In einem Laplace-Experiment ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit 

oder klassische Wahrscheinlichkeit P(A) für ein Ereignis A definiert durch 

Sei N die Anzahl der Ergebnisse des Experiments. Ein Ergebnis ω tritt dann 

1 

mit Wahrscheinlichkeit 1/N ein, i.Z. (in Zeichen) P ({ ω}) 

= . 

N 


Beispiel: Dreimaliger Münzwurf. 

Eine „faire“ Münze wird dreimal „unabhängig“ voneinander geworfen und es wird 

notiert, ob die Münze Wappen, kurz W, oder Zahl, kurz Z, anzeigt. Es gibt dann 8 

gleichberechtigte Ergebnisse 

(W,W,W), (W,W,Z), (W,Z,W), (Z,W,W), 

(W,Z,Z), (Z,W,Z), (Z,Z,W), (Z,Z,Z). 


Das Ereignis A = „es wurde genau einmal Zahl geworfen“ tritt in folgenden Fällen 

ein 


(Z,W,W), (W,Z,W), (W,W,Z). 

Die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, ist somit 

P 

3 

8 

( A) 

= . 


Problem: 

Die Anzahl der Ergebnisse von Laplace-Experimenten ist bisweilen schwierig 

festzustellen. 

Beispiel: Lotto 6 aus 49. 


Aus 49 Kugeln werden 6 Kugeln zufällig gezogen (Ziehen ohne Zurücklegen). 

Der Hauptgewinn kann eingelöst werden, falls alle 6 Kugeln richtig getippt wurden, 

wobei die Reihenfolge ihres Erscheinens beim Ziehen keine Rolle spielt. 

Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 aus 49 Kugeln zu ziehen, wobei nicht 

zurückgelegt wird und die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird? 

Das „Auf- bzw. Abzählen“ aller Versuchsausgänge ist hier nicht mehr möglich! 


Kombinatorische Grundlagen hilfreich! 


Kombinatorik 

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl aller möglichen 

Zusammenstellungen von Objekten (oder Sachverhalten) aus einer endlichen Aus- 

gangsmenge von Objekten (oder Sachverhalten). Diese Zusammenstellungen 

müssen dabei bestimmten Bedingungen genügen. 

Ein Objekt (oder Sachverhalt) möge sich aus zwei Komponenten zusammensetzen. 

Es gebe n 1 Auswahlmöglichkeiten für die erste Komponente und n 2 für die zweite; 

dann kann man insgesamt n 1· n 2 solcher Objekte bilden. 

Beispiel 

Aus 3 Kandidaten für den Innenminister und 4 Kandidaten für den Finanzminister 

lassen sich 3 · 4 = 12 Besetzungsmöglichkeiten für die Ministerposten bilden. 



Beispiel: Skatkarten. 

Spielkarten sollen mit je einer von 4 „Farben“ (Karo, Herz, Pik, Kreuz) und einem 

von 8 „Werten“ (7,8,9,10,B,D,K,A) versehen werden, dann lassen sich 4 · 8 = 32 

Karten zusammenstellen. 

4 x = 32 

8 

Abb. aus Wikipedia 

Kombinatorik 


Multiplikationssatz der Kombinatorik 

Kombinatorik 

Ein Objekt (oder Sachverhalt) möge sich aus k Komponenten zusammensetzen 

(bzw. k Sachverhalte erfüllen). Es gebe n 1 Auswahlmöglichkeiten für die erste 

Komponente, für jede Wahl der ersten Komponente n 2 Auswahlmöglichkeiten für 

die zweite, …, für jede Auswahlmöglichkeit der ersten k-1 Komponenten n k 

Auswahlmöglichkeiten für die k-te Komponente. Dann kann man insgesamt 

solcher Objekte bilden. 

Beispiel: Autokennzeichen. 

n 1· n 2·…. · n k 

Wie viele verschiedene KFZ-Kennzeichen lassen sich bilden, wenn ein Kenn- 

zeichen aus einem oder zwei Buchstaben und einer ein- bis dreistelligen Zahl 

bestehen sollen? Lösung: 26·27·10·10·10 = 702 000. 


Additionssatz der Kombinatorik 

Lässt sich eine Menge von Objekten in k Gruppen aufteilen, so dass die Gruppen 

keine gemeinsame Objekte besitzen und die Gruppierungen jeweils M 1 , M 2, …, M k 

Objekte enthalten, dann ist die Gesamtzahl der Objekte gleich 


M 1+ M 2 +…. + M k. 

Kombinatorik 

Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den 32 Spielkarten zwei Karten (z.B. „Skat“) 

so zusammenzustellen, dass mindestens eine der Karten ein Bube ist? 

“mind. ein 

Bube“ 

„genau ein 

Bube“ 

„genau zwei 

Buben“ 

4·28=112 (Multiplikationssatz) 

Gesamt: 112+6= 118 

6 (Auszählen) 


Divisionssatz der Kombinatorik 

Kombinatorik 

Werden bei einer Zusammenstellung von M Ojekten jeweils k als gleichwertig 

M 

angesehen, dann erhält man die Anzahl der zu unterscheidenen Objekte als . 

k 


Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den 32 Spielkarten zwei auszuwählen? 

Lösung: Nach dem Multiplikationsprinzip gibt es M=32·31 Möglichkeiten eine 

erste und eine zweite Karte auszuwählen. Da es auf die Reihenfolge nicht ankommt, 

werden alle Paare doppelt gezählt, z.B. 

Gesuchte Anzahl: 


Karo 7, Herz Bube = Herz Bube, Karo 7. 

M 

k 

32⋅ 

31 

= = 

2 

496. 


Wichtige mathematische Schreibweisen: 

Die Fakultät einer natürlichen Zahl k ist definiert als 0 ! = 1, 

1! 

= 1 und 

k! 

= k ⋅ k −1 

⋅ k − 2 ⋅K⋅ 

2⋅1 

für k>1. 

Beispiel: 4 ! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24. 

( ) ( ) . 

Kombinatorik 

Für zwei natürliche Zahlen n und N, für die n ≤ N ist, bezeichnet ⎜ ⎟ den 

Binomialkoeffizient, der folgendermaßen definiert ist 

⎛ N ⎞ N ! 

⎜ ⎟ = . 

⎝ n ⎠ ( N − n) 

! ⋅ n! 

Aus der Definition der Fakultät ergeben sich u.a. folgende Beziehungen 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

N 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 1, 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

N 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= N, 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

N 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

N ⋅( 

N −1) 

, 

2 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

N 

N 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 1. 

⎛ N ⎞ 

⎝ n ⎠

Urnenmodell 

In einer Urne befinden sich N gleichgroße Kugeln, die man z.B. durch Nummern 

voneinander unterscheiden kann. Es werden aus der Urne n Kugeln gezogen. Für 

den Ziehvorgang gibt es nun verschiedene Varianten. 

Viele Laplace-Experimente können auf ein Urnenmodell übertragen werden. 

1 

7 

9 

6 8 

2 

10 

5 

4 

3 

mit Berücksichtigung 

der Reihenfolge 

mit Berücksichtigung 


Ziehen ohne Zurücklegen 

Ziehen mit Zurücklegen 

Kombinatorik 

ohne Berücksichtigung 





Beispiel: 

• Lotto 6 aus 49, 

• Qualitätssicherung , 

• Marktforschung. 

Wichtig: Stichprobe muss gesamte Grundgesamtheit repräsentieren! 

Besitzt jede Stichprobe vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom 

Umfang N dieselbe Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, so liegt eine 

einfache Zufallsstichprobe vor. 

Zur Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ist die 

Kenntnis der Anzahl aller möglichen Stichproben erforderlich. 

Beispiel: 5-maliges Werfen eines Würfels. 

Kombinatorik 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Würfel bei fünf Würfen 

erst im fünften Wurf eine 6 zu werfen? „Urnenmodell mit Zurücklegen“ 


Modell mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge 

(„Variationen mit Wiederholung“) 

Bei einer Ziehung mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge 

Kombinatorik 

aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N ist die Anzahl der möglichen Stich- 

proben vom Umfang n gegeben als 

V = 

n 

N , w 

Beweis: Anwendung des Multiplikationssatzes der Kombinatorik. 

Beispiel (fortgesetzt): 5-maliges Werfen eines Würfels. 

Es gibt 6 7776 verschiedene Wurfergebnisse. „Günstig“ sind die, bei denen 

4-mal keine „6“ und dann eine „6“ fällt. Gesuchte Wahrscheinlichkeit 

5 5 

V6 

, w = = 

4-mal keine „6“ und dann eine „6“ fällt. Gesuchte Wahrscheinlichkeit 

V 

4 

5, 

w 

5 

6, 

w 

V 

⋅1 

5 

= 

6 

4 

5 

= 

625 

7776 


N 

= 

n 

. 

0. 

08.

Modell ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge 

(„Variationen ohne Wiederholung“) 

Kombinatorik 

Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge 

aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N ist die Anzahl der möglichen Stich- 

proben vom Umfang n gegeben als 

V n 

N 

= N ⋅( 

N −1) 

⋅... 

⋅( 

N −n 

+ 1) 

= 

n Faktoren 

N 

N 

( ) . 

−n 

! 


Welche Variationen lassen sich bei der Auswahl von 2 Elementen aus den Buchstaben 

a, b, c, d bilden: 

ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. 

Anzahl ist gleich 12 = 4·3 für N=4 und n=2. 

Beispiel: Wie viele 4-stellige Geheimzahlen lassen sich aus den Ziffern 0, …,9 

bilden, wenn keine Ziffer zweimal auftreten darf? 

4 Lösung: V 

= 10⋅9⋅8⋅ 

7 = 5040. 

10 


!

Die Anzahl von Möglichkeiten, N unterscheidbare Objekte der Reihe nach anzu- 

ordnen beträgt 

P N 

= N! 

= N ⋅( 

N −1) 

⋅... 

⋅2⋅1. 

Diese Anordnungsmöglichkeiten werden Permutationen genannt. 


Kombinatorik 

Permutationen Anzahl 

a, b ab, ba 2 

a, b, c abc, acb, bac, bca, cab, cba 6 

a, b, c, d abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, …, dcab, dcba 24 

Beispiel: Scrabble. 

Wie viele verschiedene Worte lassen sich aus den Buchstaben a, b, c, d, e 

bilden, wenn jeder Buchstabe genau einmal benutzt werden soll. 

Lösung: P 5=5! = 120. 


Modell ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 

(„Kombinationen ohne Wiederholung“) 

Kombinatorik 

Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N 

ist die Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n, wenn zwischen den 

Anordnungen der Objekte in der Stichprobe nicht unterschieden wird, gegeben als 

C 

n 

N 

= 

V 

P 

n 

N 

n 

N! 

1 ⎛ N 

= ⋅ = ⎜ 

( N − n)! 

n! 

⎝ n 

Beweis: Modell mit Zurücklegen und Divisionssatz der Kombinatorik. 

C 

n 

N 

ist die Anzahl, n Objekte (Kugeln, Zahlen, Buchstaben, etc.) aus einer 

Grundgesamtheit von N Objekten auszuwählen, wobei die Reihenfolge der Auswahl 

keine Rolle spielt. Anwendungen: 

• Lotto, Kartenspiel, 

• Qualitätskontrolle. 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

.

Kombinatorik 

Beispiel: Scrabble. 

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Buchstaben aus den Buchstaben a,b,c,d und e 

(ungeordnet) auszuwählen, wenn jeder Buchstabe maximal einmal ausgewählt 

werden darf. 

Lösung 1: Anwendung der Formel 

⎛5⎞ 

5⋅ 

4⋅ 

3 

⎜ ⎟ = = 10 . 

⎝3⎠ 

1 ⋅ ⋅2 

⋅ ⋅3 

Lösung 2: Aufzählung 

abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, dce. 

Anzahl=10. 

Anmerkung: Hier ist abc = cab etc. 

Beispiel: Lotto 6 aus 49. 

Anzahl der Tippmöglichkeiten bei der Lotterie 6 aus 49? 

⎛49 

⎞ 

⎜ ⎟ = 13 

⎝ 6 ⎠ 

983816 


Beispiel: Qualitätskontrolle. 

Kombinatorik 

Im Rahmen einer Qualitätskontrolle wird nicht jedes, sondern nur jedes zweite von 

insgesamt 20 Teilen kontrolliert. Wenn es einen Ausschussanteil von 10% gibt, wie 

groß ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe mindestens ein defektes Teil zu 

finden. 

Lösung: Unter den 20 Teilen soll es 18 „gute“ und 2 „defekte“ Teile geben. Insgesamt 

sind 10 Teile aus den 20 (zufällig) auszuwählen. Anzuwenden sind 

• der Additionssatz der Kombinatorik, 

• der Multiplikationssatz der Kombinatorik, 

• die Berechnungsformel für Kombinationen (ungeordnete Auswahl von Elementen), 

• die Berechnungsformel für die klassische Wahrscheinlichkeit. 


Betrachten folgende Ereignisse 

A = „mindestens ein defektes Teil in Stichprobe“, 

A 1= „genau ein defektes Teil in Stichprobe“, 

A 2 = „genau zwei defekte Teile in Stichprobe“. 

M, M 1 und M 2 seien die Anzahl der zugehörigen „günstigen“ Ergebnisse und 

Kombinatorik 

N sei die Anzahl aller Auswahlmöglichkeiten von 10 aus den 20 Teilen. Dann ist 

⎛20 

⎞ 

N = ⎜ ⎟ = 184 756 

⎝10 

⎠ 

und 

⎛18⎞ 

⎛2⎞ 

M1 

= ⎜ ⎟ ⋅⎜ 

⎟ = 48 620⋅ 

2 = 97 240 

⎝ 9 ⎠ ⎝1 

⎠ 

und M 

⎛18⎞ 

⎛2 

⎞ 

= ⎜ ⎟ ⋅⎜ 

⎟ = 43 758⋅1. 

⎝ 8 ⎠ ⎝2 

⎠ 

Da sich M 1 und M 2 gegenseitig ausschließen gilt nach dem Additionsatz der 

Kombinatorik M= M 1+ M 2 und damit 


P( 

A) 

= 

M 

N 

= 

M 

+ M 

N 

97 240 + 43 758 

184 756 

1 2 = 

= 

2 

0. 

7632. 


Modell mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 

(„Kombinationen mit Wiederholung“) 

Kombinatorik 

Bei einer Ziehung mit Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N ist 

die Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n, wenn zwischen den An- 

ordnungen der Objekte in der Stichprobe nicht unterschieden wird, gegeben als 

C , 

n 

N w 

⎛ N + n −1⎞ 

= ⎜ ⎟ . 

⎝ n ⎠ 

Beispiel: Wie viele verschiedene Würfelergebnisse gibt es beim Wurf von 2 nicht 

unterscheidbaren Würfeln? Sind alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich? 

Lösung 1: Aufzählung. 

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), 

(3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6). Anzahl: 21 

Lösung 2: Anwendung der Formel. 

⎛6 + 

2 −1⎞ 

⎛7 

⎞ 7⋅ 

6 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = = 

⎝ 2 ⎠ ⎝2 

⎠ 1⋅ 

2 

Anmerkung: Die Ergebnisse sind nicht gleichwahrscheinlich. 


21.


• Berechnung der klassischen/Laplace-Wahrscheinlichkeit, falls alle Ergebnisse 

des Zufallsexperiments gleichwahrscheinlich sind: 

P 

( A ) = 

Anzahl der für A günstigen Ergebnisse 


• Multiplikationssatz, Additionssatz, Divisionssatz der Kombinatorik. 

Zusammenfassung der kombinatorischen Resultate 

Stichprobenanzahl ohne Zurücklegen mit Zurücklegen 

mit Berücksichtigung N ! 

n 

N 

der Reihenfolge ( N − n) 

)! 



⎛ 

⎜ 

⎝ 

N 

n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ N + n −1⎞ 

⎜ 

⎝ n 

⎟ 

⎠ 

Kombinatorik 


Mengen und Mengenoperationen 


Die Mengenschreibweise erlaubt es, Verknüpfungen von bzw. Zusammenhänge 

zwischen Ereignissen kurz und prägnant darzustellen. 

Beispiel: Zuverlässigkeit von Systemen. 


Ein Gerät besteht aus den drei Bauteilen B 1, B 2 und B 3. Es sei A k das Ereignis 

A k = „Bauteil B k fällt innerhalb der nächsten 6 Monate aus“. 

B B1 B 2 

B 3 

Das Gesamtsystem fällt dann 

aus, vgl. Diagramm, wenn B3 oder 

beide Bauteile B1 und B2 ausfallen. 



Im Rahmen der Analyse eines Zufallsvorganges ist es oft hilfreich, zunächst alle 

möglichen Ergebnisse anzugeben. Dazu benutzt man die Mengenschreibweise. 

Eine Menge ist eine Zusammenfassung verschiedener Objekte zu einem Ganzen. 

Die einzelnen Objekte in der Menge werden Elemente genannt. Wenn x in der 

Menge A liegt schreibt man auch x ∈ A , andernfalls x ∉ A . 

Mengen können angegeben werden, indem alle Elemente, durch Komma 

getrennt, in geschweiften Klammern aufgelistet werden. Sie werden oft mit großen 

(lateinischen oder griechischen) Buchstaben bezeichnet. 

Mengenschreibweise für Menge, die 

A = {2,3,4} 2, 3 und 4 enthält. 

B = {Zahl,Wappen} „Zahl“ und „Wappen“, die Ergebnisse der 

Münzwurfexperiments, enthält. 

C = { 1,2,…,10 } die natürlichen Zahlen von 1 bis 10 enthält. 


Spezielle Mengen 

• Menge aller natürlichen Zahlen (ohne „0“): 

• Menge aller natürlichen Zahlen inkl. „0“: 

• Menge aller reellen Zahlen: 


Intervalle umfassen alle reellen Zahlen x, die die folgenden Bedingungen erfüllen: 

und x ist kleiner als b x ist kleiner oder gleich b 

x ist größer als a (a,b) (a,b] 

x ist größer oder gleich a [a,b) [a,b] 

Auf die Reihenfolge, in der die Elemente einer Menge aufgelistet werden, kommt es 

nicht an, also { 2, 3, 4 } = { 3, 4, 2 } = { 4, 3, 2 }, 

sondern nur auf die Elemente { 2, 3, 4 } ≠ { 3, 2, 5} ≠ { 2, 3 }. 




Man beachte: Jedes Element einer Menge wird nur einmal aufgezählt. Die 

Reihenfolge, in der die Mengenelemente angegeben werden, ist nicht relevant. 

A und B seien Mengen. A heißt Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in 

A ⊂ B 

B enthalten ist, in Zeichen (i.Z.) . 

{ 2, 

4} 

⊂ { 1, 

2, 

3, 

4, 

5, 

6} 

{ 2, 

7} 

⊄ { 1, 

2, 

3, 

4, 

5, 

6} 

Beispiel: , aber . 

In Venn-Diagrammen werden Mengen durch ebene geometrische Figuren, oft 

Ellipsen oder Rechtecke, repräsentiert. Sie eignen sich dazu, Beziehungen 

zwischen Mengen grafisch zu veranschaulichen. 

A ⊂ 

B 

B 

A 


Ω


Die Mächtigkeit einer Menge A gibt an, wie viele Elemente in A enthalten sind; 

{ } . 

i.Z. | A | = # x : x∈ 

A # steht hierbei für „Anzahl der Elemente“. 

Beispiele: |{ 1,2,3,4,5,6}| = 6; |{2,7}|=2; |{Kopf, Wappen}| = 2. 

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl 

in A als auch in B enthalten sind; i.Z. 

A∩ B = { x : x∈ 

A und x∈ 

B }. 

Man spricht auch vom Durchschnitt von A und B. 

A 

A ∩B 

B 

Ω 

Beispiel: 

{Peter, Paul, Mary} {Paul, Sven, Peter} = 

{Peter, Paul} 



Die Menge, die kein Element enthält, ist die sogenannte leere Menge. Sie wird mit 

∅ { } 

bezeichnet, d.h. ∅ = . 

Zwei Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen, heißen 

durchschnittsfremd oder disjunkt. Es gilt A ∩ B = { }= }= ∅ . 

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die in 

A oder B, d.h. mindestens einer der Mengen, enthalten sind; i.Z. 

A∪ B = { x : x ∈ A oder x∈ 

B }. 

A B 

A ∪B 

Ω 

Beispiel: 

{Peter, Paul, Mary} {Paul, Sven, Peter} = 

{Peter, Paul, Mary, Sven} 



Die Differenzmenge der Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die in 

A, aber nicht in B enthalten sind; i.Z. A \ B = { x : x∈ 

A und x ∉ B }. 

A 

Beispiel: 

A \ B 

B 

{Peter, Paul, Mary}\{Paul, Sven, Peter} = 

{Mary} 

Ω 

Für A ⊂ Ω ist die Komplementärmenge von A bzgl. Ω die Menge aller Elemente 

von Ω, die nicht in A enthalten sind; i.Z. A = Ω \ A. 

A 

A 

Ω 

Beispiel: Sei A={Peter, Paul, Mary} und 

Ω={Paul, Sven, Peter, Mary, Thomas}, 

dann ist 

A = 

Ω \ A = { Sven, Thomas }. 


Aus den Definitionen von Schnittmenge, Differenzmenge und 

Komplementärmenge folgt auch 


{ x : x∈ 

A und x∉ 

B } = { x : x∈ 

A und x∈ 

B } = A . 

A \ B = 

∩ B 

Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A; i.Z. 

℘ A = M : M ⊂ A 

( ) { }. 

Beispiel: Gegeben sei die Menge A = {1, 2, 3}. Dann lautet die Potenzmenge 

von A 

℘( A) 

= { ∅, 

{ 1} 

, { 2} 

, { 3} 

, { 1, 

2} 

, { 2, 

3} 

, { 1, 

3} 

, { 1, 

2, 

3} 

}. 

Bemerkungen: 

• Die Menge selbst und die leere Menge sind immer in der Potenzmenge enthalten. 

• Falls |A| < ∞, dann gilt: 

2 A 

℘ 

A = 

( ) . 


Rechenregeln für Mengen 

1. Kommutativgesetze: 

A∩ B = B ∩ A, 

A∪ 

B = B ∪ A, 

A B C A B ∩C 

2. Assoziativgesetze: ( ∩ ) ∩ = ∩ ( ), 

( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C C), 

), 

3. Distributivgesetze: ( A∪ B) 

∩C 

= ( A∩ 

C) 

∪( 

B ∩C 

), 

( A∩ B) 

∪C 

= ( A∪ 

C) 

∩( 

B ∪C 

). 


Für den Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen gelten ähnliche 

Rechengesetze wie für die Addition und Multiplikation reeller Zahlen. Man 

beachte aber z.B., dass A \ B ≠ B \ A. 

4. De Morgansche Regeln: A∪ B = A ∩ B, 

5. Mengendifferenz: 

A∩ B = A ∪ 


B. 

A \ B = 

( A∪ 

B) 

\ B = A \ ( A∩ 

B).

Beispiel: De Morgansche Regel 

A∪ B = A ∩ 

B 

A∪ B 

A∪ B 

A 

B. 

B 

A∪ B 

A ∪ B = 

A = oder 

A ∪ B 

= 



B 

A∪ 

B 

= 

= 

A 

A 

oder 

B

Die De Morganschen Regeln gelten auch für mehr als zwei Mengen, z.B. 


A∪ B ∪C 

= A ∩ B ∩C 

. 


• Mengen sind Zusammenfassungen von Objekten; diese Objekte heißen 

Elemente. Mengen, die sich ausschließlich aus Elementen einer anderen Menge 

zusammensetzen sind Teilmengen dieser Menge. 

• Mit den Operationen Komplement, Durchschnitt, Vereinigung und Differenz 

lassen sich aus Mengen neue Mengen bilden. 

• Für die Operationen gelten Rechenregeln, z.B. die De Morganschen Regeln. 

• Zusammenhänge zwischen Mengen und die Rechenregeln lassen sich durch 

Venn-Diagramme veranschaulichen. 

• Mengen dienen der Angabe aller Ergebnisse eines Zufallsvorgangs und zur 

Beschreibung von Ereignissen. 



Axiomatik und Rechenregeln 

Axiomatik und Rechenregeln der Wahrscheinlichkeit 

Grundbegriffe 

Der Ergebnisraum (auch Ereignisraum, Grundraum oder Stichprobenraum) ist 

die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorgangs. 

Der Ergebnisraum wird üblicherweise mit Ω bezeichnet. 

Besteht Ω aus höchstens abzählbar vielen Elementen - d.h. man kann sie 

durchnummerieren, ω ω , ω , K - so sprechen wir von einem diskreten 

Ergebnisraum. 

Beispiele 

1, 

2 3 

• Münzwurf: Ω = { Zahl, Wappen }, 

• Klausurpunktezahl: z.B. Ω = { 0, 1, 2, ..., 100 }, 

• Einschätzung des Sachverständigenrates zur Konjunkturentwicklung: 

z.B. Ω = { „positive Entwicklung“, „unverändert“, „negative Entwicklung“ } 

• Lebensdauer einer CD: Ω = [ 0, ∞). 


Beispiel: Zweimaliges Werfen eines Würfels. 


Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraumes, d.h. ein Ereignis ist eine 

Zusammenfassung von möglichen Versuchsausgängen eines Zufallsvorgangs. 

Ergebnisse dieses Experiments schreibt man gewöhnlich als geordnetes Paar (x,y), 

wobei x und y für die Augenzahl des ersten bzw. zweiten Wurfes stehen. Der 

Ergebnisraum ist dann 

Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),…,(6,4), (6,5), (6,6)}. 

Ereignisse kann man dann sowohl sprachlich als auch mengenmäßig ausdrücken: 

A = { mindestens eine gewürfelte Augenzahl ist gleich 6 } 

= { (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}. 

B = { Summe der beiden gewürfelten Augenzahlen ist gleich 7 } 

= { (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) }. 




Man beachte, dass bei geordneten Paaren die Reihenfolge der Elemente im 

Gegensatz zu Mengen eine Rolle spielt: (2,3) ≠(3,2), aber {2,3} = {3,2}. 

Ob (a,b) für ein geordnetes Paar oder ein Intervall steht, erschießt sich i.A. aus dem 

Kontext. Ein geordnetes Tripel bezeichnet man mit (x,y,z) und ein (geordnetes) 

k-Tupel mit (x (x1, 1, x x2,…, 2,…, x xk). k). 

Die einelementigen Ereignisse von Ω heißen Elementarereignisse. 

Das Ereignis Ω heißt sicheres Ereignis, das zugehörige Komplementärereignis 

Ω = ∅ unmögliches Ereignis. 

Sind A und B sich gegenseitig ausschließende Ereignisse heißen sie disjunkt, 

d.h. es gilt: A∩ 

B = ∅. 

Beispiel (fortgesetzt): Zweimaliges Werfen eines Würfels. 

{(4,3)} ist ein Elementarereignis. Das gleichzeitige Eintreten von zwei Ereignissen 

entspricht dem Durchschnitt der sie repräsentierenden Mengen, z.B. 

A∩ 

B = {( 6, 

1), 

( 1, 

6)}. 


Laplace-Wahrscheinlichkeiten in Mengenschreibweise 

{ } 


In einem Laplace-Experiment mit ω ω , , ω wurde die Wahrschein- 

K = Ω 

1, 

2 

lichkeit eines Ereignisses A folgendermaßen eingeführt: 

P( 

A) 

= 

Damit ist P(A)≥0 und P(Ω)=1. 

Anzahl der für A günstigen Ergebnisse 


Wenn A und B disjunkte Ereignisse sind, dann gilt nach dem Additionssatz der 

Kombinatorik 

{ x : x ∈ A oder x ∈ B } = A . 

| A ∪ B | = 

+ B 

Damit gilt 

P ( A∪ 

B) 

= 

A∪ 

B 

= 

Ω 

A + B A B 

= + = P( 

A) 

+ P( 

B). 

Ω Ω Ω 


N 

= 

A 

Ω 

.


Es bezeichne Ω eine endliche Ereignismenge. Die Teilmengen von Ω sind 

dann Ereignisse. 

Ω sei eine endliche Menge. Eine Funktion P, die den Teilmengen von Ω 

reelle Zahlen zuordnet und die Eigenschaften 

(K1) 

(K2) 

(K3) 

P 

( A) 

≥ 0, 

( ) , 

P Ω = 1 

(Normierungsaxiom) 

für beliebige disjunkte Mengen A, B ⊂ Ω gilt 

( A∪ 

B) 

= P( 

A) 

P( 

B), 

P + 

(Additionsaxiom) 

erfüllt, heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge von Ω und die 

Funktionswerte von P heißen Wahrscheinlichkeiten. 

Die aufgeführten Regeln entsprechen den Axiomen von Kolmogoroff. 


Ω P(A) 

A 


„Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion, 

die den Teilmengen einer Menge unter Einhal- 

tung der Kolmogoroffschen Axiomatik Zahlen 

zwischen 0 und 1 zuordnet, die als Wahrscheinlichkeiten 

bezeichnet werden.“ 

Aus den Axiomen leiten sich weitere Eigenschaften für die Wahrscheinlichkeiten ab, 

z.B. dass sie stets zwischen 0 und 1 liegen müssen. 

Herleitung dieser Aussage: 

Aus (K1) folgt sowohl P( 

A) 

≥ 0 als auch P( 

A) 

≥ 0 und P( 

A) 

≤1 

folgt aus (K2), 

(K3) und 

1 = P Ω = P( 

A) 

+ P( 

A) 

≥ P( 

A) 

( ) . 

Auf analoge Weise lassen sich weitere Rechenregeln für P nachweisen: 


Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 

Sei Ω ein Ereignisraum, dann gilt: 

( ) 1 

1. 0 ≤ P A ≤ für A ⊂ Ω , 

2. P( 

∅) 

= 0, 

( ) ( ) , 

3. P A ≤ P B falls A ⊂ B und A, 

B ⊂ Ω, 

( ) ( ) 

4. P A =1 − P A mit A = Ω \ A, 

( ) ( ) ( ) ( ), 

5. P A ∪ A ∪K∪ 

A = P A + P A + K+ 

P A falls 

1 2 

k 

1 2 

k 


A 1 , A A2 

, K , A Ak 

paarweise disjunkt sind, d.h. A Ai ∩ A Aj 

= ∅ für i ≠ j 

und ⊂ Ω , i, 

j = 1, 

K, 

k, 

A i 

6. P( A∪ 

B) 

= P( 

A) 

+ P( 

B) 

− P( 

A∩ 

B). 

Beweis folgt aus der Anwendung der Axiome von Kolmogoroff. 


Beispiele für die Anwendungen der Rechenregeln. 





Unendlicher Ergebnisraum 


Oft ist der Ergebnisraum eines Zufallsvorgangs nicht endlich. Bei durch Messung 

erhobenen Werten werden die Einschränkungen durch die Messgenauigkeit 

gewöhnlich ignoriert. 

Beispiele 

• Die Lebensdauer eines Bauteils kann eine beliebige positive reelle Zahl sein. 

• Renditen von Aktien und Temperaturmesswerte können innerhalb bestimmter 

Intervallgrenzen alle Werte annehmen. 

• „Unendlicher Münzwurf“: Eine Münze werde so oft geworfen, bis das erste 

Mal „Zahl“ erscheint. Das Versuchsergebnis, die Anzahl der notwendigen 

Würfe, kann dann eine beliebige positive ganze Zahl sein. 


Wenn ein unendlicher Ereignisraum Ω vorliegt, dann muss bei den 


Kolmogoroffschen Axiomen zur Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes (K3) 

durch ersetzt werden: 

stellt ein Verallgemeinerung von (K3) dar; daher behalten alle angeführten 

Rechenregeln ihre Gültigkeit. 


Beispiel (fortgesetzt): Unendlicher Münzwurf. 


Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Mal „Zahl“ mit einem geraden 

Wurf geworfen wird? 

Lösung: Der Ergebnisraum ist Ω={ 1, 2, 3, 4, …}. Mit Mitteln der klassischen 

Wahrscheinlichkeit kann man zeigen, dass 

1 

P ({ k}) 

= k 

2 

also P({1})=1/2, P({2})=1/4, P({3})=1/8, etc. Dann gilt für 

A = { „Zahl“ mit geraden Wurf geworfen } = {2, 4, 6, 8, 10, …}, 

P 

( A ) = P ({ 2 , 4 , 6 , 8 ,...}) = P ({ 2 }) + P ({ 4 }) + P ({ 6 }) + P ({ 8 }) + ... 

= 

1 

4 

+ 

1 

16 

+ 

1 

64 

+ 

1 

256 

+ ... = 

1 

. 

3 

, 


Überabzählbarer Ergebnisraum 


• Eine Menge heißt überabzählbar, wenn sie eine größere Mächtigkeit besitzt als 

die Menge der natürlichen Zahlen; die Elemente dieser Menge können nicht mehr 

mit natürlichen Zahlen durchnummeriert werden. Intervalle sind z.B. überab- 

zählbar. 

• Für Zufallsexperimente mit überabzählbarem Ergebnisraum Ω ist es i.A. nicht 

möglich, eine Funktion P mit den Eigenschaften (K1), (K2) und zu finden, die 

auf allen Teilmengen von Ω definiert ist. 

• Die Definition von P muss dann auf ein System von Teilmengen von Ω 

eingeschränkt werden, das in der Literatur als Ereignisfeld oder Sigma-Algebra 

bezeichnet wird. 

• Für die meisten praktischen Anwendungen ist diese Einschränkung nicht von 

Bedeutung. 


Zusammenfassung: 


• Ein Wahrscheinlichkeitsmaß weist den Ereignissen (Teilmengen) des 

Ereignisraumes Werte zwischen 0 und 1 zu, die die „Chance“ für das Eintreten 

dieser Ereignisse beschreiben. Diese Werte bezeichnen wir dann als 

Wahrscheinlichkeiten. 

• Für diese Zuweisung müssen dabei die Axiome von Kolmogoroff (K1)- (K3) 

bzw. gelten. 

• Aus den Axiomen leiten sich Rechenregeln ab, z.B. 

( A) 

P( 

B) 

für 

P ≤ , A ⊂ B, 

( A ) =1 P ( A ) mit 

P =1 − A = Ω \ A, 

( A∪ 

B) 

= P( 

A) 

+ P( 

B) 

− P( 

A B). 

P ∩

Grundlagen der Statistik - Lehrstuhl für Statistik - Universität Mannheim

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