Derivative Finanzprodukte mit Kreditrisiko

70 KAPITEL 5. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT
Derivative Finanzprodukte mit Kreditrisiko
Neben den primären Finanzprodukten, gibt es inbesondere am Sekundärmarkt, al-
so bei den derivativen Produkten die Problematik des Kreditrisikos. So gibt es z.
B. Kreditderivative wie die Kreditversicherung. Hier geht es um die Versicherung
von Kreditportfolien. Dafür müssen wir zunächst wieder ein Modell für die Aus-
fallanzahl unterstellen. Es handelt sich hierbei wieder um einen nicht-stetigen sto-
chastischen Prozess, der aber strukturell einfacher als der Zählprozess ist, den wir
in Abschnitt 5.1 kennen lernen werden. Der Grund ist zum einen, dass es sich um
ein altes versicherungs-mathematisches Modell handelt, aber auch der, dass die Pa-
rametrisierung einfacher ist.
Seien E1,E2,... unabh. exp(h)-verteilte Zufallsvariablen und definiere
Sn :=
n
Ei.
i=1
Mit der Interpretation der Ei als Wartezeiten zwischen dem i-ten und (i − 1)-ten
Ereignis, und E1 als Wartezeit bis zum ersten Ereignis, ist Sn die Zeit des n-ten
Ereignisses.
Nt := sup{n : Sn ≤ t} (5.9)
zählt die Ereignisse, die bis zum Zeitpunkt t eingetreten sind. Nt wird Erneuerungs-
prozess (auch Punkt- oder Zählprozess) genannt und z. B. in Sheldon (1996) oder
Kingman (1993) untersucht.
Ein potenzieller Verlauf von Nt ist in der Abbildung 5.3 dargestellt.
Es gilt
(i) N0 = 0.
(ii) Nt,t ≥ 0 besitzt unabh. Zuwächse.
Beweis: Die Ei sind unabhängig und das in t aktuelle Ei gehorcht der gedächt-
nislosen Exponentialverteilung.

5.2. BEWERTUNG VON FINANZINSTRUMENTEN 71
NH(t)
✻
2
1
0
τ1
E1
τ2
E2
✲
t
Abbildung 5.3: Verlauf eines Erneuerungsprozesses
(iii) Nt+u − Nt ∼ Poisson(hu). D. h. Nt ist stationär, hängt also nicht von t ab.
Insbesondere gilt Nu ∼ Poisson(hu).
Beweis: hier nicht
(iv) E(Nt+u − Nt) = hu = V ar(Nt+u − Nt).
(v) Nt < ∞ und Nt
t
Beweis: E Nt
t
→ h für t → ∞.
= h,V ar Nt
t
(vi) Nt − ht ist ein Martingal.
= h
t
t→∞
⇒ 0
Beweis: E(Nt+u − Nt) = hu ⇒ EdNt = hdt damit ist der Kompensator
t
0 EdNs = ht und ⇒ Nt − ht ein Martingal.
Beweis: Nt+u − Nt ∼ Poisson(hu).
(vii) Nt ist ein Markoff-Prozess.
Beweis: hier nicht
Die zu erwartende Anzahl der Ereignisse in einem Interval [t,t + u] ist proportional
zur Länge (vi) mit Faktor h, der Intensitätsrate heißt. Da h konstant ist, heißt Nt
homogener Poisson-Prozess.
Hängt h von t ab, so definiere H(t) = t
0 h(s)ds und Nt, so dass

72 KAPITEL 5. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT
(i) N0 = 0
(ii) Nt,t ≥ 0 besitzt unabhängige Zuwächse.
(iii) Nt+u − Nt ∼ Poisson(H(t + u) − H(t)), h(s) > 0 ∀s ≥ 0.
(iv) (iii) ist gleichbedeutend mit P(Nt+u−Nt = n) = 1
(siehe Formel (6.1)).
Interessant und nützlich ist
n! ( t+u
t
h(s)) n exp{− t+u
h(s)ds}
t
Theorem 5.2.4 Wenn Nt die kum. Intensität H(t) besitzt, so hat N H −1 (t) die In-
tensität h ≡ 1.
Beweis: Übung
Eine weitere Verallgemeinerung stellt der Cox-Prozess dar, bei dem h zusätzlich zu
t auch noch von einem Prozess Zt abhängt.
Definition: Sei h(t), 0 ≤ t < ∞ ein potenziell zufälliger nicht-negativer Inten-
sitätsprozess. Ein Punktprozess Nt, 0 ≤ t < ∞ mit N0 = 0 heißt Cox-Prozess, falls
für 0 ≤ t1 < t2 < . ..tk < ∞ gilt
P(Nt1 − N0 = n1,...,Ntk − Ntk−1 = nk)
k
ni ti
tk
1
= E
h(s)ds exp − h(s)ds
n1!...nk!
i=1
ti−1
Bemerke, dass analog zu Satz 5.2.4 gilt:
Theorem 5.2.5 Sei h(t, Zt) = h(t) 0 ≤ t ≤ ∞ ein zufälliger Intensitätsprozess und
N ein homogener Poissonprozess mit Parameter 1, welcher unabhängig von h sei.
Setze Ht = t
h(s)ds. Dann ist
0
Ñt = NHt
ein Cox-Prozess mit Intensität h(t).
0

5.2. BEWERTUNG VON FINANZINSTRUMENTEN 73
Nun wollen wir das Ereignis ” Ausfall des Kontrahenten vor Laufzeitende des Geschäfts-
verhältnisses“ modellieren. Sei T das Laufzeitende und τ der Konkurszeitpunkt. Es
geht also um {τ ≤ T }. Wir betrachten einen Cox-Prozess
Standard Poissonprozess N in Ht.
Setze
τ = τ1 = ˜ E1 Zeitpunkt des ersten Ausfalls
τn =
n
˜Ei für n > 1.
i=1
Ñ (in t), bzw. einen
Betrachte ein (einmalige) Zahlung XT. Besteht Erfüllungsrisiko, so ist der Zahlungs-
strom
I{τ>T }XT,
wobei XT zufällig oder fest sein kann.
Nun ist
{τ > T } = { ÑT = 0} mit Ñ als betrachtetem Cox-Prozess
= {NHT
= 0} wegen Satz 5.2.5
= {HT < E1} d. h. Konkurs nach Laufzeitende
=
(auf der transformierten Skala)
T
h(s,Zs)ds < E1
0
Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses hängt von der gemeinsamen Verteilung
von Zs und E1 ab, da P(X > Y ) = ∞
0
x
f(x, y)dxdy. Wir müssen also Annahmen
0
über die gemeinsame Verteilung der beiden Seiten machen. Bedingt gilt jedoch unter
Unabhängigkeit
P(τ > T | Zs, 0 ≤ s ≤ T) = e − T
0 h(s,Zs)ds , (5.10)
da die kumulative Verteilungsfunktion von E1 P(E1 ≤ t) = 1 − e −t ist. Zur Plau-
sibilisierung sei bemerkt, dass bei einem Pfad von Zt mit großer Intensität h(t,Zt)
die rechte Seite klein, also die frühe Ausfallwahrscheinlichkeit groß ist.

74 KAPITEL 5. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT
Sei weiter einschränkend H(∞) = ∞, d. h. es gibt unendlich viele Sprünge τi. Des
Weiteren betrachten wir das Modell ohne Wiedereinbringung (engl. ” zero recovery“).
Der Wert der Auszahlung I{τ>T }XT beträgt in t:
E{e − T
t rf udu XTI{τ>T } | Ft}.
Hier stellt e − T
t rf udu den Abdiskontierungsfaktor bei Terminzinskurve r f u (siehe For-
mel (2.3)) dar. Zu kann von r f u abhängen. Hingegen nehmen wir an, dass E1 (kon-
ditional) unabhängig von den anderen stochastischen Größen ist.
E(e − T
t rf udu XTI{τ>T } | Ft)
= E[e − T
t rf udu XTE[I{τ>T } | Ft,XT,Zu,r f u, 0 ≤ u ≤ T] | Ft)]
wegen E(X) = E(E(X|Y )) und E(E(X|Y )|Z) = E(E(X|Z)|Y ).
Die innere Erwartung ist
T
P E1 > h(s,Zs)ds | E1 >
0
u
0
h(s,Zs)ds, 0 ≤ u ≤ t .
Da 1{E1>t} einen Markoff-Prozess darstellt, ist dieses gleich
P
h(s,Zs)ds
T
t
E1 > h(s,Zs)ds | E1 >
0
0
P(E1 >
= 1{τ>t}
T
0 h(s,Zs)ds)
P(E1 > t
0 h(s,Zs)ds) = 1{τ>t}e − T
t h(s,Zs)ds .
Somit erhalten wir die Fundamentalformel:
E
e − T
t rf
udu
XT1{τ>T } | Ft = 1{τ>t}E e − T
t (rf
u+hu)du
XT | Ft
Die Größe ht ist bisher die allgemeinste Definition des Kreditrisikoaufschlags (engl.
” credit spread“). Es gibt zu dem Thema eine extensive Literatur, z. B. betrachten
Bielecki and Rutkowski (2002) diesen Fall (Seite 221ff). Duffie and Singleton (1999)
geben die Formel für zufällige (positive) Wiedereinbringungsquoten an. Außerdem
werden aktuell die Annahmen der Modelle weiter verringert (siehe Collin-Dufresne
et al. (2004)).
Bemerke

5.2. BEWERTUNG VON FINANZINSTRUMENTEN 75
(i) Falls der Konkurs schon eingetreten ist, verbleibt nur der Wert 0.
(ii) Falls τ > t ist, kann man wie gewöhnlich ohne Kreditrisiko vorgehen und muss
nur die Zinsen erhöhen. ht. Je höher ht dieser ist desto geringer ist die Bonität
des Kontrahent.
Es ergibt sich, dass die Theorie eine direkte Verallgemeinerung zur Überlebenszeit-
analyse bei deterministischen Ausfallwahrscheinlichkeiten darstellt. Kommen wir auf
das Bespiel der zero-coupon Anleihe mit Nominal 1 (ohne risikofreien Zins) zurück.
Sei
Es gilt
P(t,T) = E
e − T
t h(s,Zs)ds
| Ft
1{τ>t}P(t,T) = E(1{τ>T } | Ft) (5.11)
Beweis: Fundamentalformel mit r f
t ≡ 0 und XT = 1.
Also ist P(t,T) die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Kontrahent nicht vor
T ausfällt. Formel (5.1) impliziert eine Überlebenswahrscheinlichkeit von P(τ >
T |τ > t) = e − T
t h(s)ds für deterministisches h(s). h(s) ist hierbei die Hazardrate des
Ausfallzeitpunkts.
Bemerkung: Bewertung von Anleihen (engl. ” bond pricing“)
Aus den angestellten Überlegungen - insbesondere aus Formel (5.11) - ergibt sich
direkt die Preisbildung einer ausfallgefährdeten - aber noch nicht ausgefallenen An-
leihe (Bond) mit Nominal 1.
¯B0(t,T) = E(e − T
t rf udu 1{τ>T } | Ft) = 1{τ>t}P(t,T)B(t, T)
wobei r f
t deterministisch ist. Die Bewertung einer nicht-ausfallgefährdeten Anleihe
- mit Nominal 1 - B(t,T) haben wir in Formel (5.28) hergeleitet. Dort allerdings
noch mit konstantem Zins.

76 KAPITEL 5. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT
B(T, T) − ¯ B0(T,T) Summe DDP
Ohne Konkurs +1 −1 0
Mit Konkurs +1 0 1
Tabelle 5.1: Hedgingstrategie für DDP
Um einen Bogen zu den anfänglichen Überlegungen zur Bewertung derivativer Pro-
dukte (ohne Kreditrisiko) zu schlagen, soll hier ein derivatives Produkt mit Ausfall-
risiko betrachtet werden.
Die digitale Konkursversicheurng. (engl. ” digital default put“).
Ein DDP hat im Zeitpunkt des Ausfalls eine Auszahlung von 1, sonst eine von 0.
Betrachte zunächst den Fall, dass die Zahlung ggf. erst in T erfolgt. Dann beträgt
der Barwert und damit der Preis in t
D(t,T) = E(e − T
t rf udu 1{τ≤T } | Ft)
= E(e − T
t rf udu (1 − 1{τ>T }) | Ft)
= B(t,T) − ¯ B0(t,T)
mit ¯ B0 als endfälliger ausfallgefährdeter Anleihe (engl. ” zero coupon defaultable
bond“).
Denselben Preis erhält man durch Replikation mit zwei Anleihen mit Nominal 1.
Betrachte das Portoflio aus einer gekauften nicht-ausfallgefährdeten Anleihe und
einer verkauften ausfallgefährdeten Anleihe. Die Auszahlungen im Zeitpunkt T sind
in der Tabelle 5.1 dargestellt.
Für den realistischen Fall, dass der Ausfallzeitpunkt gleich dem Zahlungszeitpunkt
ist, folgt (siehe Formel (5.10), wobei 0 mit t wegen der Gedächnislosigkeit der Exp-
Verteilung ausgetauscht werden kann):
D(t, T) = 1{t x | r f u,u ≤ T, Zs, s ≤ T, {τ ≤ s},s ≤ t
:=GT
) = e − x
t h(s)ds 1{τ>t}
Somit hat τ auf x > t die bedingte Dichte h(x)e − x
t h(s)ds 1{τ>t}.

5.2. BEWERTUNG VON FINANZINSTRUMENTEN 77
Also:
D(t,T) = E{1{t