1 Potenzen - M19s28.dyndns.org
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Ingo Blechschmidt, 10C<br />
1 POTENZEN 1<br />
1 <strong>Potenzen</strong><br />
1.1 <strong>Potenzen</strong> mit natürlichen Exponenten<br />
a ∈<br />
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5<br />
; n ∈ ¡ ∩ [2; ∞];: a n = a · a · ... · a · a; a 1 = a;<br />
Dabei ist bei der Potenz a n a die Basis und n der Exponent.<br />
1.2 Die Potenzgesezte<br />
Es gilt: m, n ∈ ¡ ; a, b ∈<br />
; b = 0;<br />
• 1. Potenzgesetz: a m · a n = a m+n<br />
• 2. Potenzgesetz: a = 0; am<br />
a n =<br />
• 3. Potenzgesetz: a n · b n = (a · b) n<br />
• 4. Potenzgesetz: an<br />
b n = ( a<br />
b )n<br />
• 5. Potenzgesetz: (a m ) n = a m·n<br />
1.3 Gleitkommadarstellung<br />
Beispiele:<br />
• 2387649, 2 = 2, 3876492 · 10 6<br />
• 17, 5 = 175 · 1<br />
10 1 (= 17, 5 · 10 −1 )<br />
⎧<br />
⎪⎨ a<br />
⎪⎩<br />
m−n falls m > n<br />
1 falls m = 1<br />
falls m < n<br />
1<br />
a n−m
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
2 ERWEITERUNG DES POTENZBEGRIFFS 2<br />
2 Erweiterung des Potenzbegriffs<br />
2 0 :<br />
2 −3 :<br />
Permanenzprinzip: Die Potenzgesetze sollen gültig sein:<br />
1. Potenzgesetz: 2 m · 2 0 = 2 m+0 = 2 m =⇒ 2 0 = 1<br />
Sinnvolle Definition: a 0 = 1 für a = 0, da:<br />
0 · 0 0 = 0 m · 0 0 = 0 m+0 = 0 m = 0 =⇒ Kein Hinweis für Definition von<br />
0 0 !<br />
Beachte: 0 0 ist nicht definiert!<br />
Permanenzprinzip:<br />
1. Potenzgesetz: 2 3 · 2 −3 = 2 3+(−3) = 2 0 = 1 =⇒ 2 −3 = 1<br />
2 3<br />
Definition: a = 0; n ∈ N; =⇒<br />
a −n = 1<br />
a n<br />
3 <strong>Potenzen</strong> mit Bruchexponenten<br />
• 8 2<br />
<br />
3 =?: Aus dem 5. Potenzgesetz folgt: 8 2<br />
3 3<br />
= 8 2<br />
3 ·3 = 8 2 = 64 =⇒ 8 2<br />
3<br />
ist diejenige Zahl, deren dritte Potenz 64 ist. =⇒ 8 2<br />
3 = 4, denn 4 3 ist<br />
64 (−4 nicht möglich).<br />
• 100 3<br />
2 = 1000 (−1000 wäre auch eine Lösung, da (−1000) 2 = 10 6 )<br />
• (−4) 1<br />
2 = (−4) 1 = −4 =⇒ TÖDLICH, (−4) 1<br />
2 ist nicht erklärt.<br />
•<br />
<br />
−8 1<br />
3<br />
<br />
= (−8) 1 = −8 =⇒ −2 wäre möglich<br />
• 0 2<br />
3 = 0 2 = 0, 0 0 nicht definiert<br />
Definition: a ∈<br />
o, m, n ∈ ¡ :<br />
a m<br />
n ist diejenige nicht-negative reele Zahl, deren n-te Potenz a m ist.<br />
Sämtliche Potenzgesetze bleiben mit dieser Definition für Bruchexponenten<br />
erhalten.
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
4 DIE N-TE WURZEL 3<br />
4 Die n-te Wurzel<br />
a > 0: a m<br />
n = n√ a m , wobei n ∈ ¡<br />
4.1 Umgang mit der Wurzelschreibweise<br />
• Teilweises Radischen ziehen<br />
• Unter die √ bringen<br />
• Gemeinsame Wurzel<br />
5 Polynomdivision<br />
a0, a1, ..., an−1, an ∈<br />
; n ∈ ¡ 0;<br />
Ein Term der Form anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 heißt Polynom vom Grad<br />
n, wenn an = 0.<br />
Beispiele:<br />
• 3x 2 − √ 5x + 1 : Polynom vom Grad 2 (quadratischer Term)<br />
• 2x − 7 : Polynom vom Grad 1 (linearer Term)<br />
• −5 : Polynom vom Grad 0 (konstanter Term)<br />
• 27x 18 + x 9 − 2x 7 + 3: Polynom vom Grad 18<br />
x 3 − 8 = (x − 2) · (x 2 + 2x + 4)<br />
− (x 3 − 2x 2 )<br />
2x 2 − 8<br />
− (2x 2 − 4x)<br />
4x − 8<br />
− (4x − 8)<br />
Satz: Ist x0 eine Nullstelle des Polynoms anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0<br />
(x0 ist Lösung der Gleichung anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 = 0) dann ist<br />
das Polynom in Faktoren zerlegbar:<br />
Es gilt:
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
6 GANZRATIONALE FUNKTIONEN 4<br />
v in m<br />
s<br />
anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0<br />
<br />
Polynom vom Grad n<br />
P in kW<br />
2, 0 0, 0<br />
4, 0 0, 0<br />
6, 0 1, 2<br />
8, 0 6, 5<br />
10, 0 13, 0<br />
12, 0 18, 5<br />
14, 0 22, 5<br />
Abbildung 1: Messdaten<br />
6 Ganzrationale Funktionen<br />
P (x) = anx n +an−1x n−1 +...+a1x+a0 mit ai ∈<br />
vom Grad n falls an = 0<br />
=<br />
(x − x0)<br />
<br />
Polynom vom Grad 1 ·<br />
<br />
bn−1x<br />
·<br />
n−1 + bn−2x n−2 <br />
+ ... + b1x + b0<br />
<br />
Polynom vom Grad n − 1<br />
für i = 0, 1, ..., n Polynom<br />
Eine Funktion x ↦→ P (x) heißt eine ganzrationale Fkt. (auch Polynomfunktion).<br />
7 Potenzfunktionen<br />
7.1 Potenzfunktionen mit positiven Exponenten<br />
7.2 Buch Seite 34, Aufgabe 7<br />
Mit der Windkraftanlage „Windmatic“ wurde zu verschiedenen Windgeschwindigkeiten<br />
v die abgegebene elektrische Leistung P gemessen (siehe<br />
Tabelle auf dieser Seite).<br />
a) Zeichne den Graphen der empirischen Funktion v ↦→ P ! Dieser Graph<br />
(abgebildet auf der nächsten Seite) heißt Leistungskennlinie.
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
7 POTENZFUNKTIONEN 5<br />
P<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
Messdaten<br />
cv^3<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14<br />
v<br />
Abbildung 2: Leistungskennlinie<br />
b) Nach der Theorie sollte die Leistung P der Windanlage proportional<br />
zur dritten Potenz v3 der Windgeschwindigkeit sein. Ermittle in der<br />
Gleichung P = c·v 3 die Konstante c so, dass der Graph der zugehörigen<br />
Funktion durch den Punkt 8, 0 m<br />
s ; 6, 5kW verläuft. Zeichne den<br />
Graphen in das Diagramm ein. Gib Gründe für die Abweichungen<br />
von der Leistungskennlinie an!<br />
P ∼ v3 =⇒ c = P<br />
v3 = 13 kW s<br />
1024<br />
3<br />
m3 x in m<br />
0 2 4 6 8 10 12 14<br />
s<br />
y in kW 0<br />
13<br />
128<br />
13<br />
16<br />
351<br />
128<br />
13<br />
2<br />
1625<br />
128<br />
7.3 1. Monotoniegesetz für <strong>Potenzen</strong><br />
Aus x1 < x2 folgt x n 1 < x n 2 für n ∈ ¡ , x ∈ +<br />
7.4 2. Monotoniegesetz für <strong>Potenzen</strong><br />
Für alle n1, n2 ∈ ¡ gilt: Aus n1 < n2 folgt<br />
351<br />
16<br />
4459<br />
128<br />
<br />
x n1 < x n2 falls 1 < x < ∞<br />
x n1 > x n2 falls x ∈ [0; 1]<br />
Beweis: n2 − n1 ∈ ¡ , x n2−n1 > 1 n2−n1 =⇒ x n 2<br />
x n 1 > 1 =⇒ xn2 > x n1
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
7 POTENZFUNKTIONEN 6<br />
7.5 Zusammenfassung<br />
Eine Funktion f (x) heißt im Intervall [a; b] ⊆ f streng monoton zunehmend/steigend<br />
(abnehmend/fallend), wenn für alle x1, x2 ∈ [a; b] gilt: Aus<br />
x1 < x2 folgt f (x1) < f (x − 2) (f (x1) > f (x2)).<br />
Beispiele:<br />
• f (x) = x 2<br />
– Beh.: f (x) ist str. mon. zunehmend in + 0<br />
– Bew.:<br />
• f (x) = 1<br />
x<br />
* Vor.: x1, x2 ∈ + 0 mit x1 < x2<br />
* Beh.: f (x1) < f (x2), d.h. x 2 1 < x 2 2<br />
* Bew.: x2 2 − x2 1 = (x2 − x1) (x2 + x1) > 0 =⇒ x 2 2 > x2 1<br />
– Beh.: f (x) ist str. mon. abnehmend in +<br />
– Bew.:<br />
7.6 Hyperbeln<br />
* Vor.: x1, +<br />
x2 ∈ mit x1 < x2<br />
* Beh.: 1<br />
x1<br />
1 > x2<br />
* Bew.: 1 1<br />
− x2 x1<br />
x1−x2 = x1x2<br />
< 0 =⇒ Beh.<br />
x r mit r = −n, n ∈ ¡ , f−n : x ↦→ x −n = 1<br />
x n , = \ {0}<br />
• f−2n:<br />
– Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, da f−2n (−x) = 1<br />
(−x) 2n =<br />
1<br />
x 2n = f−2n (x).<br />
– Alle Graphen enthalten die Punkte (−1; 1) und (1; 1).<br />
¡ –<br />
<br />
+ =<br />
–<br />
sms<br />
smf<br />
falls x < 0<br />
falls x > 0<br />
• f−(2n+1):
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
7 POTENZFUNKTIONEN 7<br />
1<br />
– Punktsymmetrisch zum Ursprung, da f−(2n+1) (−x) =<br />
(−x) 2n+1 =<br />
1<br />
−x2n+1 = −x−(2n+1) = −f−(2n+1) (x)<br />
– Alle Graphen enthalten die Punkte (−1; −1) und (1; 1).<br />
– ¡ = \ {0}<br />
– smf für x = 0<br />
Die Graphen der Potenzfunktionen x ↦→ x −n , n ∈ ¡ heißen Hyperbeln<br />
n-ter Ordnung.<br />
x- und y-Achsen sind Asymptoten.<br />
7.7 Wurzelfunktion<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
x**4<br />
x**(1/4.)<br />
−1<br />
−2 −1 0 1 2 3 4 5<br />
f 1<br />
n<br />
: x ↦→ y = f 1 (x) = x<br />
n<br />
1<br />
n = n√ x, n ¡ ∈<br />
• f 1<br />
n<br />
• f 1 n<br />
ist die Umkehrfunktion von fn : x ↦→ y = fx (x) = x n , n ∈ ¡ .<br />
entsteht aus fn durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden<br />
y = x im 1. Quadranten.
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
7 POTENZFUNKTIONEN 8<br />
• ¡ f 1 n<br />
= + 0<br />
• Für die Graphen der Funktionen fn, f−n, f 1 , n ∈ ¡ gilt: Je größer n,<br />
n<br />
desto „eckiger“ ist der Graph bei P (1; 1).<br />
7.8 <strong>Potenzen</strong> mit irrationalen Exponenten<br />
ar ⎧<br />
⎪⎨ r ∈ falls a > 0<br />
ist definiert für<br />
+ r ∈<br />
⎪⎩<br />
r ∈<br />
falls a = 0<br />
falls a < 0<br />
Eigenschaften der Graphen:<br />
• ¡ f = + , da y = a x > 0 für alle x ∈<br />
• Sonderfall a = 1: f (x) = 1 x = 1 (Parallele zur x-Achse durch den<br />
Punkt (0; 1)<br />
• x = 0: f (0) = a 0 = 1 für alle a ∈ + =⇒ Gemeinsame Punkte:<br />
P (0; 1)<br />
• a > 1: sms<br />
• 0 < a < 1: smf<br />
• Aus x ↦→ ax erhält man x ↦→ <br />
1 x<br />
durch Spiegelung an der y-Achse,<br />
a<br />
da: ax =⇒ a−x = <br />
1 x<br />
a<br />
• y = a x ist nicht achsensymmetrisch.<br />
7.9 Exponentielle Wachstumsv<strong>org</strong>änge<br />
Die Exponentialfunktion x ↦→ f (x) = c · a x , a, c ∈ beschreibt für a > 1<br />
einen Wachstumsv<strong>org</strong>ang.<br />
a heißt Wachstumsfaktor, c gibt den Bestand zum Startpunkt x = 0 an.<br />
7.9.1 Exponentielle Abkling- oder Zerfallsv<strong>org</strong>änge<br />
Zerfallsgesetz: N : t ↦→ N (t) = N0 · t<br />
1 th 2<br />
In f : x ↦→ b · a x für 0 < a < 1 und x ∈ heißt a Abklingfaktor. b ist der<br />
Funktionswert für x = 0.
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
8 DER LOGARITHMUS 9<br />
8 Der Logarithmus<br />
Def.: ar = u, a, u ∈ ; =⇒ Der Logarithmus von u zur Basis a ist die Zahl,<br />
mit der man a potenzieren muss, um u zu erhalten.<br />
Man schreibt: r = log a u<br />
8.1 Existenz und Eindeutigkeit<br />
log 1 10 ist nicht definiert, da 1 x = 1 für x ∈<br />
Existenz- und Eindeutigkeitsgesetz für Logarithmen: Zu jeder positiven<br />
Basis a = 1 gibt es von jeder positiven reelen Zahl u genau einen Logarithmus<br />
log a u.<br />
8.2 Rechenregeln für Logarithmus<br />
log a b: a ∈ \ {1} , u, v ∈ +<br />
• x1 = log a u ⇐⇒ u = a x1<br />
• x2 = log a v ⇐⇒ v = a x2<br />
• Multiplikation:<br />
u · v = a x1 · a x2 = a x1+x2 =⇒ loga (u · v) = log a a x1+x2 = x1 + x2 =<br />
log a u + log a v<br />
• Division:<br />
log a (u · v) = log a u + log a v<br />
u<br />
v = ax 1<br />
a x 2 = ax1−x2 =⇒ loga u<br />
v = log a a x1−x2 = x1 − x2 = log a u − log a v<br />
• Potenzieren:<br />
r ∈<br />
log a u<br />
v = log a u − log a v<br />
, u r = (a x1 ) r = a x1·r =⇒ loga u r = log a (a x1 ) r = loga a x1·r =<br />
x1 · r = r · log a u<br />
log a u r = r · log a u<br />
.
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
8 DER LOGARITHMUS 10<br />
8.3 Wechsel der Basis<br />
log a b = log c b<br />
log c a<br />
Der dekadische Logarithmus einer Zahl mit der Gleitkommadarstellung<br />
a · 10 n , 1 ≤ a < 10, n ∈ liegt zwischen n und n + 1.<br />
Es gilt: lg (a · 10 n ) = lg a + n, da 0 < lg a < 1.<br />
8.4 Die Logarithmusfunktion<br />
a ∈ + \ {1}<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
−2<br />
−4<br />
y = a^x (a > 1)<br />
y = log_a x<br />
y = x<br />
−6<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3<br />
Alle Parallelen zur x-Achse Schneiden den Graph der Funktion y = a x<br />
höchstens ein mal.<br />
Zu jedem y ∈ + gibt es genau ein x ∈ mit y = a x .<br />
=⇒ Zuordnung: + ∋ y ↦→ x ∈ mit a x = y ist eine Funktion!<br />
Da wir die Variable einer Funktion stets mit x und die zugeordnete Größe<br />
stets mit y bezeichnen, benennen wir jetzt um:<br />
+ ∋ x ↦→ y ∈ mit a y = x<br />
Zu gegebenen x ∈ + ist y der Exponent, mit dem man die Basis potenzieren<br />
muss, um x zu erhalten.<br />
=⇒ y = log a x<br />
Übersicht:
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
8 DER LOGARITHMUS 11<br />
• ∋ x ↦→ y = a x ∈ + (Exponentialfkt.)<br />
• ∋ log a y = x ← y ∈ + (Logarithmusfkt.)<br />
• Unbenennung =⇒<br />
∋ loga x = y ← x ∈ +<br />
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion<br />
(zur gleichen Basis).<br />
Ganz wichtig: = +<br />
Durch Spiegelung an der Geraden y = x<br />
8.4.1 Eigenschaften der Logarithmusfunktion<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
2**x x<br />
log(x)/log(2)<br />
(1/2.)**x<br />
log(x)/log(1/2.)<br />
−2<br />
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3<br />
• Alle Logarithmusgraphen schneiden die x-Achse im Punkt (1; 0).<br />
• Für a > 1 (a < 1) ist der Graph der Funktion y = log a x sms (smf),<br />
verläuft im I. und IV. Quadranten und nähert sich dem negativen<br />
(positiven) Teil der y-Achse beliebig nahe an.<br />
• Die Graphen der Funktion y = log a x und der Funktion y = log 1<br />
a<br />
x<br />
(a > 0) gehen durch Spiegelung an der x-Achse auseinander vor.
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
9 1. HAUSAUFGABE 12<br />
9 1. Hausaufgabe<br />
9.1 Seite 10, Aufgabe 7, 2. Zeile<br />
Schreibe in Gleitkommadarstellung.<br />
a) 100000 = 10 5<br />
b) 50000 = 5 · 10 4<br />
c) 2500 = 2, 5 · 10 3<br />
d) 25 = 2, 5 · 10<br />
e) 123456 = 1, 23456 · 10 5<br />
9.2 Seite 10, Aufgabe 8, 2. Zeile<br />
Schreibe in Dezimaldarstellung:<br />
a) 10 7 = 10000000<br />
b) 6 · 10 7 = 60000000<br />
c) 6.5 · 10 7 = 65000000<br />
d) 3, 45 · 10 3 = 3450<br />
e) 3, 45 · 10 6 = 3450000<br />
9.3 Seite 10, Aufgabe 9<br />
f) 12345, 6 = 1, 23456 · 10 4<br />
g) 123, 456 = 1, 23456 · 10 2<br />
h) 10000 = 10 4<br />
i) 100, 001 = 1, 00001 · 10 2<br />
j) 2010, 0102 = 2, 0100102 · 10 3<br />
f) 3, 02 · 10 4 = 30200<br />
g) 3, 20 · 10 4 = 32000<br />
h) 75 · 10 2 = 7500<br />
i) 0, 75 · 10 4 = 7500<br />
j) 0, 0075 · 10 6 = 7500<br />
Runde auf 3 gültige Ziffern und schreibe Gleitkommadarstellung.<br />
a) Die Oberfläche der Erde A =<br />
510101000km 2 = 5, 10 · 10 8 km 2<br />
b) Das Volumen der Erde V =<br />
1083319780000km 3 = 1, 08 ·<br />
10 12 km 3<br />
c) Die Lichtgeschindigkeit c =<br />
299792458 m<br />
s<br />
= 3, 00 · 108 m<br />
s<br />
d) Die Anzahl der Sekundes eines<br />
Tages s = 8, 64 · 10 4<br />
e) Die Anzahl der Sekunden eines<br />
Jahres s = 3, 15 · 10 7
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
10 2. HAUSAUFGABE 13<br />
10 2. Hausaufgabe<br />
10.1 Seite 16, Aufgabe 4, 1. Spalte<br />
Berechne mit Hilfe des 1. Potenzgesetzes:<br />
• a) 2 6 · 2 4 = 2 1 0 = 1024<br />
• e) (−3) 2 · (−3) 3 = (−3) 5 = −243<br />
10.2 Seite 16, Aufgabe 5, 1. Spalte<br />
Berechne mit Hilfe des 1. Potenzgesetzes:<br />
• a) a 3 · a 5 = a 8<br />
• e) (−x) 3 · (−x) 5 = x 8<br />
• i) (−a) 3 · a 5 = − (a 8 )<br />
• n) (a + b) 2 · (a + b) 3 = (a + b) 5<br />
10.3 Seite 16, Aufgabe 6, 1. Spalte<br />
Berechne mit Hilfe des 1. Potenzgesetzes:<br />
• a) a 3 · a n = a 3+n<br />
• e) v · v 3n−1 = v 3n<br />
• i) (−a) n · (−a) n+2 = (−a) 2n+2 = a 2n+2<br />
10.4 Seite 16, Aufgabe 7, 1. Spalte<br />
• a) 3c 5 · 7c 3 = 21 · c 8<br />
• d) 2x 2 · 3y 3 · 4x 4 = 24x 6 y 3
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
11 3. HAUSAUFGABE 14<br />
11 3. Hausaufgabe<br />
11.1 Seite 16, Aufgabe 10, 1. Spalte<br />
• a) 7 · 3 n − 4 · 3 n = 3 · 3 n<br />
• d) 3n+1 − 3n + 3n−1 = 3n · 3 − 3n + 3n · 1<br />
3 = 3n 3 − 1 + 1<br />
3<br />
• g) 150 · 5n−1 − 5n+1 n 1 = 150 · 5 5 − 5n · 5 = 25 · 5n 11.2 Seite 16, Aufgabe 11, 1. Spalte<br />
• a) 210<br />
2 7 = 2 3<br />
• e)<br />
0,18 = 0, 001<br />
0,00001<br />
• i) (−3)4<br />
(−3) 7 = 1<br />
−3 3<br />
11.3 Seite 17, Aufgabe 12, 1. Spalte<br />
• a) x7<br />
x 5 = x 2<br />
• e) y<br />
y 9 = 1<br />
y 8<br />
11.4 Seite 17, Aufgabe 13, 1. Spalte<br />
• a) xn<br />
x m =<br />
⎧<br />
⎪⎨ x<br />
⎪⎩<br />
n−m falls n > m<br />
1 falls n = m<br />
falls n < m<br />
1<br />
x m−n<br />
• e) y2m+1<br />
y 2m−1 = y2m·y<br />
y 2m · 1<br />
y<br />
• i) 3m+3<br />
27 = 3m ·33 27<br />
= y 1<br />
y<br />
= 3m<br />
= y 2<br />
= 7<br />
3 3n
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
12 4. HAUSAUFGABE 15<br />
12 4. Hausaufgabe<br />
12.1 Aufgabe 4 des Materials Al1713<br />
2z 2 x 4 + 32z 2 y 4 − 16z 2 x 2 y 2 = 2z 2 (x 4 + 16y 4 − 8x 2 y 2 ) = 2z 2 (4y 2 − x 2 ) 2 =<br />
2z 2 (x + 2y) 2 (x − 2y) 2<br />
12.2 Aufgabe 6 des Materials Al1713<br />
(xp+q ) 2 · <br />
1 2q−q2 x<br />
· (xp+q ) p−q · − 1<br />
2p−1 2p+2q p = −x · x x<br />
2−q2 − x2p+2q+p2 −q 2<br />
x 2q+2p+1−q2 = −x 2p+2q+p2 −q 2 −2q−2p+1+q 2<br />
= −x p2 +1<br />
12.3 Aufgabe 7a des Materials Al1713<br />
(−9) 231<br />
3 460<br />
= − 3462<br />
3 460 = −9<br />
12.4 Aufgabe 8 des Materials Al1713<br />
a k−1 −2a k +a k+1<br />
a k −a k+1<br />
= ak−1 (1−2a+a 2 )<br />
a k−1 (a−a 2 )<br />
(a−1)2 a−1 1−a<br />
= = − = a(1−a) a a<br />
12.5 Aufgabe 9 des Materials Al1713<br />
<br />
1<br />
an+1bm−3 − 2<br />
anbm−2 1 + an−1bm−1 1<br />
= − 1 a<br />
· <br />
1 2q−q2 +2p−1<br />
=<br />
x<br />
: (a − b) = a 2n−1 b 2m−3 −2a 2n b 2m−4 +a 2n+1 b 2m−5<br />
a 3n b 3m−6<br />
(a − b) = a2n−1 b 2m−5 (a 2 −2ab+b 2 )<br />
a 3 nb 3m−6 : (a − b) = a −n−1 b 1−m (a − b) 2 : (a − b) =<br />
a −n−1 b 1−m (a − b) (FALSCH)<br />
13 5. Hausaufgabe<br />
13.1 Aufgabe 11 des Materials Al1713<br />
a<br />
b :<br />
<br />
c<br />
d<br />
<br />
e : f = ade<br />
bcf =⇒ 25x4b2 ·27x3y6 ·4a4b6 4a2y4 ·125a9b6 ·9x8y2 = 3<br />
5<br />
b2 xa7 :
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
14 6. HAUSAUFGABE 16<br />
14 6. Hausaufgabe<br />
14.1 Aufgabe 1 des Materials Al10131<br />
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?<br />
a) 100 −10 = (10 2 ) −10 = 10 −20 = 10 −100 =⇒ FALSCH<br />
b) 100 −50 = (10 2 ) −50 = 10 −100 =⇒ WAHR<br />
c) (−7 4 ) 3 = −7 12 = − (7 3 ) 4 =⇒ WAHR<br />
d) 2 −10 + 2 −10 = 2 1 · 2 −10 = 2 −9 =⇒ WAHR<br />
e) 3 −11 + 3 −11 + 3 −11 = 3 1 · 3 −11 = 3 −10 = 3 2·−5 = 9 −5 =⇒ WAHR<br />
15 7. Hausaufgabe<br />
15.1 Aufgabe 2f des Materials Al10131<br />
(a 2n+1 · a n ) : a 3 = a 3n−2<br />
15.2 Aufgabe 3 des Materials Al10131<br />
<br />
8x−ky2 • a)<br />
(xy) −k+1<br />
k+1 8y<br />
=<br />
2<br />
xk x−k+1y−k+1 k+1<br />
<br />
8<br />
x<br />
yk+1 k+1 <br />
8yk+1 k+1<br />
=<br />
= x<br />
8k+1y (k+1)2<br />
xk+1 • c)<br />
• d)<br />
<br />
<br />
=<br />
1<br />
xnyn−2 + 1<br />
xn−2yn 2<br />
+ xn−1yn−1 = y2 +x2 +2xy<br />
xnyn 8y2 xkx−k+1y−k+1 k+1 = (x+y)2<br />
x n y n<br />
a2 ym−1zn−2 2a<br />
− ym−2zn−1 + 1<br />
ym−3zn = a2z2 −2ayz+y2 ym−1zn = (az−y)2<br />
y m−1 z n<br />
=<br />
<br />
8<br />
xy−k−1 k+1 =
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
16 8. HAUSAUFGABE 17<br />
16 8. Hausaufgabe<br />
16.1 Aufgabe 3 des Materials Al10131<br />
• e)<br />
• f)<br />
x k y −m<br />
z n<br />
x −2 −y −2<br />
x+y<br />
<br />
:<br />
<br />
x 2k−1 z n+2<br />
y 3 m<br />
−4<br />
x 12 y 12<br />
(x+y) 4 = (x+y)4<br />
(y+x) 4 (y−x) 4<br />
x 8 y 8<br />
·<br />
·<br />
<br />
<br />
x−1 +y−1 4<br />
17 9. Hausaufgabe<br />
·<br />
1<br />
x −k y m+3 z 3−2n<br />
:<br />
x 3 y 3<br />
2 <br />
−4<br />
y−x<br />
x+y<br />
(y+x) 4<br />
x4y4 y−x · x12y12 (x+y) 4 = x16y16 (y−) 5<br />
=<br />
= ... = x k+1 y −6m−6 z 2n−8<br />
<br />
x+y<br />
1:x2−1:y2 4 ·<br />
17.1 In der Schule begonnene Aufgabe fertigrechnen<br />
y −1 −x −1<br />
2<br />
− (y + x) 3<br />
−3 · 1<br />
<br />
y<br />
8 x<br />
3 x<br />
− = y<br />
18 10. Hausaufgabe<br />
<br />
1 1 −3<br />
− y x<br />
· 2<br />
1<br />
23 18.1 Buch Seite 52, Aufgabe 1Rest<br />
Berechne:<br />
a) 27 2<br />
3 = 9<br />
b) 16 3<br />
4 = 8<br />
c) 8 4<br />
3 = 16<br />
d) 125 2<br />
3 = 25<br />
e) 128 3<br />
7 = 8<br />
1<br />
− f) 8 3 = 1<br />
2<br />
4<br />
− g) 8 3 = 1<br />
16<br />
1<br />
− h) 1000 3 = 1<br />
10<br />
2 − i) 1000 3 = 1<br />
100<br />
j) 100 3<br />
2 = 1000<br />
3 − k) 100 2 = 1<br />
1000<br />
l) 512 2<br />
3 = 64<br />
3 − m) 1024 10 = 1<br />
8<br />
n) 729 5<br />
6 = 243<br />
3 (y−x)(y+x)<br />
xy<br />
4 1:x+1:y<br />
·<br />
y−x<br />
= 23 (xy) 3 ·(y−x) 3 (y+x) 3<br />
(x−y) 3 ·2 3 (xy) 3<br />
o) 243 3<br />
5 = 27<br />
3 − p) 243 5 = 1<br />
27<br />
q) 0, 001 2<br />
3 = 1<br />
100<br />
2<br />
− r) 0, 001 3 = 100<br />
s) 0, 04 3<br />
2 = 1<br />
125<br />
3<br />
− t) 0, 04 2 = 125<br />
=
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
19 11. HAUSAUFGABE 18<br />
19 11. Hausaufgabe<br />
19.1 Buch Seite 54, Aufgabe 16<br />
• b)<br />
• e)<br />
<br />
a 1<br />
<br />
1<br />
− 2 + b 2 a 1 1<br />
− 2 − b 2<br />
<br />
= a − 1<br />
b<br />
<br />
1 − a 4 b 3<br />
4 + a 3<br />
<br />
1 − 4 b 4 a 1 3<br />
3<br />
− − 4 b 4 − a 4 b 1<br />
4<br />
20 12. Hausaufgabe<br />
20.1 Buch Seite 54, Aufgabe 17<br />
a) √ 2 · 3√ 2 · 6√ 2 = 2<br />
b) √ 6 · 3√ 12 · 6√ 96 = 12<br />
c) √ 10 · 3√ 5 · 4√ 2 · 12√ 200 = 3√ 10 2 5 1 2 = 10<br />
d) √ 2 · 6√ 2 − 3√ 4 = 0<br />
e) 3 √ 54 − 3√ 16 6 √ 16 = 2<br />
√4 f) 29 4<br />
− √ 25 − 4√ 21 √4 23 = 2<br />
21 13. Hausaufgabe<br />
21.1 Buch Seite 54, Aufgabe 19<br />
• a) 3√ 6 a = √ a<br />
• c) a √ √<br />
a = a3 4<br />
= √ a3 <br />
• d) z z √ √ z = z7 8<br />
= √ z7 <br />
= a b<br />
− b a
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
22 14. HAUSAUFGABE 19<br />
22 14. Hausaufgabe<br />
22.1 Buch Seite 54, Aufgabe 20<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
<br />
3 4 8x √ x − 3√ x2 4√ = x 12√ 212x5 − 12<br />
<br />
x8 x3 = 2 12√ x5 − 12√ x5 = 12√ x5 <br />
3 9x √ x − 3√ 8x2 <br />
· 6<br />
<br />
1<br />
x = √ x<br />
12 √<br />
x5 3√ + x 4√ <br />
x<br />
6√ · x<br />
12<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
x<br />
3√<br />
x2 · 4 √ x − 3 33 4√ x<br />
<br />
= 2<br />
23 15. Hausaufgabe<br />
· 12<br />
<br />
1<br />
x7 = −2 · √ x<br />
x<br />
23.1 Pseudo-Ex, Aufgabe 1<br />
Faktorisiere falls möglich Differenzen und Summen! Vereinfache dann!<br />
• 4√ 9x3 − x : 4√ 6x − 2 = 4<br />
<br />
x 9x2−1 6x−2 = 4 x (3x + 1)<br />
2<br />
• 3 √ 16 − 3√ 9 : 3 √ 4 + 3√ 3 = 3√ 24− 3√ 32 3√<br />
22 3<br />
+ √ 3 = ( 6√ 24 + 6√ 32 )( 6√ 24− 6√ 32 )<br />
6√<br />
24 6<br />
+ √ 32 3√<br />
3<br />
•<br />
•<br />
<br />
x 5<br />
2 − 6x 3<br />
2 + 9x 1<br />
<br />
2<br />
(x − 3) 1<br />
2 =<br />
<br />
x (x − 3) 3<br />
: (x − 3) 1 <br />
2 = x 5<br />
4 − 3x 1<br />
2 4<br />
<br />
x + 4x 2<br />
3 + 4x 1<br />
<br />
3 : x 5<br />
6 − 4x 1<br />
<br />
6 = 6√ x6 +4 6√ x4 +4 6√ x2 6√<br />
x5−4 6 √ x<br />
6√ x ·<br />
( 6√ x2 +2) 2<br />
( 6√ x2−2)·( 6√ x2 +2) = 6√ x · 3√ x+2<br />
3√<br />
x−2<br />
• a4−2a 11<br />
3 6√ b+a 10 3 3√ b<br />
a 8 3 −a2 3√ b<br />
( 6√ a2− 6√ b) 2<br />
6√<br />
a4 6<br />
− √ b2 = 3√ a 4 ·<br />
= 6√ a 24 −2 6√ a 22 b+ 6√ a 20 b 2<br />
6√ a 16 − 6 √ a 12 b 2<br />
=<br />
= 3√ 2 2 −<br />
: (x − 3) = x 1<br />
2 (x − 3) 2 :<br />
=<br />
6√ x 2 ·( 6 √ x 4 +4 6√ x 2 +4)<br />
6√ x·( 6 √ x 4 −4)<br />
6√ a 20 ·( 6 √ a 4 −2 6√ a 2 b+ 6√ b 2 )<br />
6√ a 12 ·( 6 √ a 4 − 6√ b 2 )<br />
( 6√ a2− 6√ b) 2<br />
( 6√ a2− 6√ b)·( 6√ a2 + 6√ b) = 3√ a4 · 3√ a− 6√ b<br />
3√ 6<br />
a+ √ b<br />
= 3√ a 4 ·<br />
=
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
24 16. HAUSAUFGABE 20<br />
• a 3 2 x 2 3 −y 2 3 a 3 2 +x 2 3 a 3 2 −a 3 2 y 2 3<br />
4a 1 2 x 1 3 4y 1 3 a 1 2<br />
a<br />
2 · 3 √ x + 3√ y <br />
24 16. Hausaufgabe<br />
24.1 Pseudo-Ex, Aufgabe 2<br />
Vereinfache!<br />
a)<br />
= 2√a3 “ √3 · x2 3<br />
− √ y2 ”<br />
4 √ a·( 3√ x− 3√ y)<br />
<br />
3 9x · √ x − 3√ 8x2 <br />
· 4<br />
<br />
1<br />
x = 3 12√ x8−2 12√ x8 12 √ x3 a<br />
= 2 ·<br />
= 12√ x 5<br />
<br />
<br />
4a2n−2 b) bm−4 3<br />
<br />
6b−m · a2n+1 <br />
−2 √<br />
2 b3m : 5an−1b2m <br />
−1<br />
=<br />
√<br />
28a12nb8m+16 4 6n 4m+8 = 2 a b (FALSCH)<br />
25 16. Hausaufgabe<br />
25.1 Pseudo-Ex, Aufgabe 2c<br />
1<br />
2x−1 ·<br />
<br />
3<br />
(−2x2 ) 3 + ( 3√ x) −18<br />
= 5<br />
2 4 x 5<br />
26 18. Hausaufgabe<br />
26.1 Selbstgestellte Aufgaben<br />
•<br />
“<br />
27k 9 4 l6 ” 2 “<br />
3<br />
· k·m 1 ” 1<br />
2<br />
3<br />
“<br />
81k 2 3 l2 ” 3 “<br />
4<br />
· k·m 1 ” 1<br />
3<br />
2<br />
• a 2 5 xy2 +2·(ab) 1 5 xy2 “<br />
+ b 1 ”2<br />
5 y x<br />
“<br />
a 1 ”2 “<br />
5 x ·y− b 1 ”2<br />
5 x2y = 32 ·k 3 2 ·l 4 ·k 1 2 ·m 1 6<br />
3 3 ·k 1 2 ·l 3 2 ·k 1 3 ·m 1 6<br />
=<br />
= k 7 6 ·l 5 2<br />
3<br />
“<br />
a 1 5 +b 1 ”2<br />
5 ·xy2 “<br />
a 1 5 +b 1 ” “<br />
5 · a 1 5 −b 1 5<br />
”<br />
·x 2 y =<br />
“ √3 x2 3<br />
− √ y2 ”<br />
·( 3√ x+ 3√ y)<br />
3√<br />
x2 3<br />
− √ y2 =<br />
2 6 a 6n−6 ·a 8n+4 ·2 2 b 3m<br />
b 3m−12 ·6 4 b −4m ·5 2 a 2n−2 b 4m =<br />
“<br />
a 1 5 +b 1 ”<br />
5 ·y<br />
“<br />
a 1 5 −b 1 ”<br />
5 ·x
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
27 19. HAUSAUFGABE 21<br />
27 19. Hausaufgabe<br />
27.1 Linearfaktoren ausmultiplizieren und dann wieder dividieren<br />
−7 (x + 5) (x − 3) x + √ 2 =<br />
(x 2 + 2x − 15) −7x − 7 √ 2 =<br />
− 7x 3 − 7 √ 2x 2 − 14x 2 − 14 √ 2x + 105x + 105 √ 7 =<br />
− 7x 3 + x 2 −7 √ 2 − 14 + x −14 √ 2 + 105 + 105 √ 7 =<br />
(x 2 + 2x − 15) −7x − 7 √ 2 =<br />
− 7 (x + 5) (x − 3) x + √ 2 <br />
28 20. Hausaufgabe<br />
28.1 Buch Seite 46, Aufgabe 3e<br />
(2x 5 + 5x 4 − 4x 3 + 17x 2 + 12x − 12) : (4x 2 + 12x − 8) = 1<br />
2 x3 − 1<br />
28.2 Buch Seite 46, Aufgabe 4d<br />
(2z 4 − 2z 2 + 1) : (2z 2 − 3) = z 2 + 1<br />
2 +<br />
28.3 Buch Seite 46, Aufgabe 5e<br />
5<br />
2(2z 2 −3)<br />
4x2 + 3<br />
4<br />
(4x 4 − 12ax 3 + 13a 2 x 2 − 6a 3 x + a 4 ) : (2x 2 − 3ax + a 2 ) = 2x 2 − 3ax + a 2<br />
29 21. Hausaufgabe<br />
29.1 Ungleichung lösen<br />
(x + 3) (x − 7) (x 2 + x + 1) ≥ 0 =⇒<br />
x + 3 > 0 falls x > −3<br />
x − 7 > 0 falls x > 7<br />
x 2 + x + 1 > 0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ =⇒<br />
x + 3<br />
2<br />
=<br />
= ]−∞; −3[ ∪ [7; ∞[ =<br />
= \ ]−3; 7[
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
30 22. HAUSAUFGABE 22<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
−200<br />
−400<br />
(x+3)*(x−7)*(x**2+x+1)<br />
−600<br />
−4 −2 0 2 4 6 8<br />
30 22. Hausaufgabe<br />
30.1 Selbstgestellte Aufgabe<br />
Bestimme die ganzrationale Fkt. zweiten Grades durch P (1; −2), Q (3; 4),<br />
R (−1; 8).<br />
=⇒ 2x 2 − 5x + 1<br />
31 23. Hausaufgabe<br />
31.1 Selbstgestellte Aufgabe<br />
Bestimme die ganzrationale Funktion zweiten Grades P : x ↦→ ax 2 +bx+c,<br />
die durch die Punkte O(0; 0), P , dessen x-Koordinate 2 ist, und Q, die senk-
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
32 24. HAUSAUFGABE 23<br />
rechte Projektion von P auf die x-Achse. Ferner sei die Angabe gegeben,<br />
dass A△OP Q 8 beträgt.<br />
=⇒ 1<br />
2 QxPy = 8 =⇒ Py = 16<br />
Qx<br />
32 24. Hausaufgabe<br />
=⇒ P (2; 8) =⇒ <br />
32.1 Buch Seite 33, Aufgabe 1a<br />
Lege zu den folgenden Funktionen eine Wertetabelle für das Intervall [−2; 2]<br />
mit der Schrittweite 0, 25 an:<br />
• x ↦→ x:<br />
x −2 − 7<br />
4<br />
y −2 − 7<br />
1 x 4<br />
1 y 4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
• x ↦→ x2 :<br />
x −2 − 7<br />
4<br />
49<br />
y 4<br />
1<br />
x 4<br />
1 y 16<br />
• x ↦→ x3 :<br />
x −2 − 7<br />
4<br />
y −8 − 343<br />
x<br />
y<br />
1<br />
4<br />
1<br />
64<br />
3<br />
− 2<br />
3<br />
−<br />
4 2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
4<br />
1<br />
1<br />
5<br />
4<br />
5<br />
4<br />
3<br />
−<br />
5<br />
− 4<br />
5<br />
−<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
5<br />
−<br />
9<br />
2 4<br />
25<br />
16 4 16<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
3<br />
4<br />
9<br />
16<br />
1<br />
1<br />
5<br />
4<br />
25<br />
16<br />
1<br />
2<br />
1<br />
8<br />
64<br />
3<br />
4<br />
27<br />
64<br />
• x ↦→ x4 :<br />
x −2 − 7<br />
4<br />
2401<br />
y 16<br />
x<br />
y<br />
1<br />
4<br />
1<br />
256<br />
− 3<br />
2<br />
27 −<br />
1<br />
1<br />
3 −<br />
2<br />
81<br />
256 16<br />
1 3<br />
2<br />
1<br />
4<br />
81<br />
16 256<br />
• x ↦→ x5 :<br />
x −2 − 7<br />
4<br />
y −32 − 16807<br />
1 x 4<br />
1<br />
y 1024<br />
8<br />
5<br />
4<br />
125<br />
64<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
9<br />
4<br />
−1 − 3<br />
4<br />
−1 − 3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
4<br />
5 −<br />
125 −<br />
2<br />
2<br />
4<br />
3<br />
−1 − 4<br />
1<br />
7<br />
4<br />
49<br />
16<br />
9<br />
16<br />
2<br />
4<br />
1<br />
− 2<br />
1<br />
−<br />
2<br />
1<br />
−<br />
1<br />
4<br />
−1 − 4 3<br />
4<br />
64<br />
3<br />
2<br />
27<br />
8<br />
−1 − 27<br />
7<br />
4<br />
343<br />
64<br />
5 − 4<br />
625<br />
256<br />
−1<br />
1<br />
3 − 4<br />
81<br />
256<br />
5 3 7<br />
− 3<br />
2<br />
4<br />
625<br />
256<br />
243 −<br />
2<br />
81<br />
16<br />
4<br />
2<br />
8<br />
2401<br />
256<br />
64<br />
2<br />
1 −<br />
2<br />
1<br />
16<br />
2<br />
16<br />
− 5<br />
4 −1 − 3<br />
4<br />
3125 −<br />
1024 32 1024<br />
1<br />
2<br />
1<br />
32<br />
3<br />
4<br />
243<br />
1024<br />
1<br />
1<br />
5<br />
4<br />
3125<br />
1024<br />
3<br />
2<br />
243<br />
32<br />
1<br />
− 4<br />
1<br />
−<br />
4<br />
1<br />
−<br />
4<br />
1<br />
16<br />
1 − 2<br />
1 −<br />
8<br />
1 −<br />
4<br />
1<br />
256<br />
−1 − 243<br />
7<br />
4<br />
16807<br />
1024<br />
1024<br />
2<br />
32<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1 − 4<br />
1 −<br />
0<br />
0<br />
64<br />
− 1<br />
2<br />
1 −<br />
32<br />
0<br />
0<br />
1<br />
− 4<br />
1 −<br />
1024<br />
0<br />
0
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
33 25. HAUSAUFGABE 24<br />
33 25. Hausaufgabe<br />
33.1 Buch Seite 33, Aufgabe 2<br />
Gib die gemeinsamen Punkt, die Symmetrie und das Monotonieverhalten<br />
der Parabeln mit den Gleichungen<br />
a) y = x 2n , n ∈ ¡<br />
• Gemeinsame Punkte: (−1; 1) ; (0; 0) ; (1; 1)<br />
• Symmetrie: Achsenspiegelung an der y-Achse<br />
• Monotonieverhalten: Monoton steigend (fallend) für x ≥ 0 (x <<br />
0)<br />
b) y = x 2n+1 , n ∈ ¡<br />
• Gemeinsame Punkte: (−1; −1) ; (0; 0) ; (1; 1)<br />
• Symmetrie: Punktspiegelung zum Ursprung<br />
• Monotonieverhalten: Monoton steigend<br />
33.2 Buch Seite 33, Aufgabe 4<br />
Wie ändert sich der Funktionswert der folgenden Funktion, wenn man<br />
den x-Wert verdoppelt, verdreifacht, halbiert?<br />
a) x ↦→ x 2 : 4, 9, 1<br />
4<br />
b) x ↦→ x 3 : 8, 27, 1<br />
8<br />
c) x ↦→ 1<br />
2x3 : 8, 27, 1<br />
8<br />
d) x ↦→ 1<br />
8 x4 : 16, 81, 1<br />
16<br />
33.3 Buch Seite 34, Aufgabe 8<br />
Lege ein Koordinatensystem an und zeichne die Graphen der folgenden<br />
Funktionen ein:
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
34 26. HAUSAUFGABE 25<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
x**−1<br />
x**−2<br />
x**−3<br />
x**−4<br />
−3<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3<br />
34 26. Hausaufgabe<br />
34.1 Buch Seite 33, Aufgabe 6<br />
Ordne die <strong>Potenzen</strong>, ohne die Werte auszurechnen, der Größe nach und<br />
schreibe das Ergebnis als aufsteigende Ungleichungskette!<br />
a) (−2, 7) 5 < 0, 85 < 0, 995 < 1, 65 b) 0, 38 < <br />
1 8 <br />
4 8 8<br />
< < (−3) 3 9<br />
c) (−1, 1) 9 < 1, 1 3 < 1, 1 4 < 1, 1 7<br />
d) 0, 8 11 < 0, 8 8 < (−0, 8) 6 < 4<br />
5<br />
e) 2 8 = 4 4 < 2 9 = 8 3 < 2 10<br />
f) − 1<br />
9<br />
7 <br />
1 4 <br />
1<br />
< = 27 81<br />
5<br />
3 <br />
1 9<br />
< 3
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
35 27. HAUSAUFGABE 26<br />
35 27. Hausaufgabe<br />
35.1 Buch Seite 33, Aufgabe 4 mit negativen Exponenten<br />
Wie ändert sich der Funktionswert der folgenden Funktion, wenn man<br />
den x-Wert verdoppelt, verdreifacht, halbiert?<br />
a) x ↦→ x −2 : 1<br />
4<br />
1<br />
, , 4 9<br />
b) x ↦→ x−3 : 1 1 , , 9 8 27<br />
c) x ↦→ 1<br />
2x3 : 1 1<br />
, , 9 8 27<br />
d) x ↦→ 1<br />
8x4 : 1 1 , , 16<br />
16 81<br />
35.2 Buch Seite 34, Aufgabe 9<br />
Gib die gemeinsamen Punkte, die Symmetrie und das Monotonieverhalten<br />
der Hyperbeln mit den Gleichungen an:<br />
a) y = x −2n , n ∈ ¡ :<br />
• (−1; 1) ; (1; 1) ;<br />
• Achsensymmetrisch zur y-Achse<br />
<br />
•<br />
sms<br />
smf<br />
falls x < 0<br />
falls x > 0<br />
b) y = x −2n+1 , n ∈ ¡ :<br />
• (−1; −1) ; (1; 1) ;<br />
• Punktsymmetrisch zum Ursprung<br />
• smf für x = 0<br />
36 28. Hausaufgabe<br />
36.1 Buch Seite 40, Aufgabe 8<br />
Bestimme sämtliche Lösungen:
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
37 29. HAUSAUFGABE 27<br />
• e) x 5 = 32 =⇒<br />
• f) x 5 = −32 =⇒<br />
= {2}<br />
= {−2}<br />
• l) 81x 4 = 256 =⇒ x 4 = 28<br />
3 4 =⇒<br />
37 29. Hausaufgabe<br />
37.1 Buch Seite 40, Aufgabe 5<br />
= <br />
4 4<br />
; − 3 3<br />
Berechne die Kantenlänge s eines Würfels mit dem Volumen V !<br />
a) V = 720m 3 =⇒ s = 2 3√ 90m<br />
b) V = 5, 0 · 10 10 m 3 =⇒ s = 10 3 3√ 5, 0 · 10m<br />
c) V = 1, 083 · 10 12 m 3 =⇒ s = 10 4 3√ 1, 083m<br />
d) V = 8 · 10 −1 cm 3 =⇒ 2 3√ 10 −1 cm<br />
e) V = 4, 6 · 10 −23 cm 3 =⇒ 10 −7 3 4, 6 · 10 −2 cm<br />
38 30. Hausaufgabe<br />
38.1 Buch Seite 41, Aufgabe 12<br />
Die von der Glühwendel einer Lampe abgegebene Strahlungsleistung P<br />
ist proportional zur 4. Potenz der Kelvin-Temperatur T : P ∼ T 4 .<br />
a) Die Temperatur der Glühwendel wird von T0 = 2700K auf T1 =<br />
3000K erhöht. Um wieviel Prozent steigt die Strahlungsleistung?<br />
P1−P0<br />
P0<br />
= kT 4 1 −kT 4 0<br />
kT 4 0<br />
≈ 0, 5242 ≈ 52, 42%<br />
b) Um wieviel Kelvin müsste die Temperatur von T0 = 2700K erhöht<br />
werden, damit sich die Strahlungsleistung verdoppelt?<br />
P2 = 2P0; =⇒ (T0 + x) 4 = 2T 4 0 ; =⇒ x = T0<br />
<br />
· 2 1<br />
<br />
4 − 1 ≈ 510K
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
39 31. HAUSAUFGABE 28<br />
c) Aus dem Strahlungsgesetz folgt, dass auch die ausgeschaltete Glühlampe<br />
bei Zimmertemperatur (T3 = 300K) noch eine Strahlungsleistung<br />
abgibt. Wie groß ist diese als Burchteil der ursprünglichen<br />
Strahlungsleistung? Wie ist dieses Ergebnis zu deuten?<br />
P3<br />
P0 = kT 4 3<br />
kT 4 0<br />
≈ 1<br />
656·10 1<br />
39 31. Hausaufgabe<br />
39.1 Buch Seite 51, Aufgabe 1b<br />
2 √ 3 ≈ 3, 3219<br />
39.2 Buch Seite 51, Aufgabe 2<br />
Vereinfache:<br />
• a) 2 1+√ 2 · 2 1− √ 2 = 2 2 = 4<br />
• d) √ 12 √7 √ <br />
: 3 √ √<br />
7 √ 7<br />
= 4<br />
• f)<br />
<br />
10 √ <br />
3−1<br />
√ 3+1<br />
= 103−1 = 100<br />
39.3 Buch Seite 51, Aufgabe 4<br />
Ordne der Größe nach, ohne die Werte zu berechnen!<br />
√<br />
2 √ 2 √ 1 √<br />
2 2<br />
< 2 < 2 < 2<br />
<br />
1<br />
2<br />
√ 2 √ −<br />
< 2 √ 2 √<br />
< 2<br />
39.4 Buch Seite 64, Aufgabe 3<br />
Wie ändert sich der Funktionswert einer Exponentialfunktion x ↦→ a x ,<br />
wenn man den x-Wert<br />
a) um 1 vergrößert:<br />
a r+1<br />
a r<br />
= a
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
39 31. HAUSAUFGABE 29<br />
b) um 2 vergrößert:<br />
a r+2<br />
a r<br />
= a 2<br />
c) um 1 verkleinert:<br />
a r−1<br />
a r<br />
= a −1 = 1<br />
a<br />
d) um 0, 5 vergrößert:<br />
a r+ 1 2<br />
a r<br />
= a 1<br />
2<br />
39.5 Buch Seite 64, Aufgabe 1<br />
Lege zu den folgenden Exponentialfunktionen für das Intervall [−2; 2] Wertetabellen<br />
mit der Schrittweite 0, 5 an. Zeichne die Graphen jeweils in ein<br />
Koordinatensystem!<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
• 0<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
• 0<br />
3**x<br />
(1/3.)**x<br />
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2<br />
(5/2.)**x<br />
(2/5.)**x<br />
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
40 32. HAUSAUFGABE 30<br />
•<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
• −4<br />
5.5<br />
5<br />
4.5<br />
4<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
(9/4.)**x<br />
(9/4.)**−x<br />
0<br />
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2<br />
−0.5**x<br />
0.5**−x<br />
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2<br />
40 32. Hausaufgabe<br />
40.1 Exponentialfunktionen<br />
Zeichne die Graphen der Funktionen f (x) = 2 x , g (x) = 2 x+1 und h (x) =<br />
2 x−1 im gleichen Koordinatensystem. Wie gehen die Graphen von g und h<br />
aus dem Graphen von f hervor?
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
40 32. HAUSAUFGABE 31<br />
4<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
h(x)<br />
0<br />
−10 −5 0 5 10<br />
g steigt schneller an als h.<br />
40.2 Buch Seite 64, Aufgabe 2<br />
Gegeben ist die Exponentialfunktion x ↦→ 10 x , x ∈<br />
a) Wir denken uns für x nacheinander die Zahlen 0; 1; 2; ... eingesetzt:<br />
Wie erhält man aus einem y-Wert den folgenden?<br />
10 x+1<br />
10 x<br />
= 10 =⇒ Man multipliziert die vorhergehende Zahl mit 10.<br />
b) Wir denken uns für x nacheinander die ganzen Zahlen 0; −1; −2; ...<br />
eingesetzt. Wie erhält man aus einem y-Wert den folgenden? Welche<br />
Rolle spielt die x-Achse für den Graphen?<br />
10x−1 10x = 1<br />
=⇒ Man dividiert die vorhergehende Zahl durch 10. Da-<br />
10<br />
bei ist die x-Achse die Asymptote von .<br />
c) Stell dir vor, du solltest den Graphen im Intervall [−10; 10] mit der<br />
Einheit 1cm auf den Koordinatenachsen zeichnen. Wie hoch müsste<br />
das Blatt mindestens sein? Welche Strecke der Umwelt ist in etwa so<br />
lang?<br />
.
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
41 33. HAUSAUFGABE 32<br />
Die Strecke müsste cm · 10 x = 10 1 0cm lang sein.<br />
41 33. Hausaufgabe<br />
41.1 Buch Seite 64, Aufgabe 5<br />
Stell dir vor, dein Urururgroßvater hätte 1850 bei einem alten amerikanischen<br />
Bankhaus 1 ollar zu 10% Jahreszins angelegt. Es wurde vereinbart,<br />
dass dir das angesammelte Kapital im Jahr 2000 auszuzahlen ist. Wie viel<br />
Dollar würdest du erhalten, wenn<br />
a) die Zinsen jeweils nicht mitverzinst wurden?<br />
t = 2000 − 1850 = 150;<br />
1 + 1 · 150 · 0, 1 = 16;<br />
b) die Zinsen jeweils am Ende jedes Jahres dem Kapital zugeschlagen<br />
und mitverzinst wurden?<br />
1 · 1, 1 t = 1, 1 150 ≈ 1, 62 · 10 6 ;<br />
c) die Zinsen jeweils halbjährlich dem Kapital zugeschlagen und mitverzinst<br />
werden?<br />
1 · 1 + 0,12t<br />
6 ≈ 2, 3 · 10 ;<br />
2<br />
41.2 Exponentielles Bakterienwachstum<br />
41.2.1 Aufgabe 1<br />
Bakterien vermehren sich durch Zellteilung. Es entstehen auf diese Weise<br />
aus einer Zelle zwei Tochterzellen. Die durchschnittle Zeit, die bis zur<br />
nächsten Zellteilung vergeht, heißt Generationszeit.<br />
Bei Escherichia Coli-Bakterien beträgt die Generationszeit 20min. Auf wie<br />
viele Bakterien ist die Bakterienkultur in 24h angewachsen, wenn sie zu<br />
Beobachtungsbeginn aus 150 Bakterien bestand? Wie viele Bakterien waren<br />
es eine Stunde vor Beobachtungsbeginn?<br />
150 · 2 60min<br />
20min ·24h = 708354972430446782054400 ≈ 7 · 10 2 3;<br />
150 · 2 60min<br />
20min ·−1h ≈ 19
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
42 34. HAUSAUFGABE 33<br />
41.2.2 Aufgabe 2<br />
Eine Bakterienkultur enthält 3h nach dem Aufguss geschätzt 1200 Bakterien,<br />
2h später 10000 Bakterien.<br />
a) Wie viele Bakterien enthielt die Kultur nach 1h, 2h und 4h nach diesem<br />
Aufguss?<br />
=⇒ unbestimmbar, da wir nicht nach einem Exponenten auflösen<br />
können.<br />
42 34. Hausaufgabe<br />
42.1 Buch Seite 65, Aufgabe 8b<br />
Die Jodart J131 ist radioaktiv. Ihre Halbwertszeit beträgt tH = 8, 0d. Zur<br />
Zeit t = 0 seien N (0) = 10 6 J131-Kerne vorhanden. Wie viele J131-Kerne<br />
sind nach 8d, 16d, 24d noch vorhanden? Stelle die Zerfallsgleichung auf!<br />
Zeichne ein Zeit-Anzahl-Diagramm für das Zeitintervall von 0d bis 16d!<br />
Nach welcher Zeit sind noch 400000 J131-Kerne vorhanden?<br />
N : t ↦→ N (t) = 10 6 · 1<br />
2<br />
t<br />
8,0d
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
42 34. HAUSAUFGABE 34<br />
Anzahl J131−Kerne in 10^5<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
0 2 4 6 8<br />
t in d<br />
10 12 14 16<br />
42.2 Buch Seite 66, Aufgabe 9<br />
Der Luftdruck p hat eine „Halbwertshöhe“ von hH = 5, 5km. Das bedeutet:<br />
Nimmt die Höhe h jeweils um 5, 5km zu, so sinkt der Luftdruck auf<br />
die Hälfte.<br />
N(t)<br />
a) In der Meereshöhe h = 0 herrsche ein Luftdruck von p (0) = 1000hP a.<br />
Stelle die Gleichung auf, welche die Abhängikeit des Luftdrucks p<br />
von der Höhe h beschreibt!<br />
p : h ↦→ p (h) = 1000hP a · 1<br />
2<br />
b) Zeichne ein h-p-Diagramm!<br />
h<br />
5,5km
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
43 35. HAUSAUFGABE 35<br />
p in 1000hPa<br />
1.1<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
43 35. Hausaufgabe<br />
43.1 Aufgabenblatt<br />
43.1.1 Aufgabe 1<br />
0 2 4 6 8 10<br />
h in km<br />
Ein Mittelklassenwagen kostet neu 26500DM. Der Wertverlust im ersten<br />
Jahr beträgt 25% des Neupreises. Danach beträgt der Wertverlust pro Jahr<br />
10% des Restwertes des Fahrzeugs im Jahr zuvor.<br />
a) Gib eine Funktion, die für x Jahre (x > 1) nach Anschaffung des<br />
Fahrzeugs den Restwert des Fahrzeugs angibt!<br />
W (0) = 26500DM;<br />
W (t) = 26500DM · 0, 75 t , 0 ≤ t ≤ 1;<br />
=⇒ W (1) = 19875DM;<br />
W (1) · 0, 9 −1 ≈ 22083DM; =⇒ W (t) ≈ 22083DM · 0, 9 t , t > 1;<br />
=⇒ W (t) ≈<br />
<br />
26500DM · 0, 75t falls 0 ≤ t ≤ 1<br />
22083DM · 0, 9t ;<br />
falls t > 1<br />
p(h)
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
44 36. HAUSAUFGABE 36<br />
b) Welchen Restwert hat das Fahrzeug nach<br />
• 3 Jahren? W (3) ≈ 16099DM;<br />
• 5 Jahren? W (5) ≈ 13040DM;<br />
• 7, 5 Jahren? W (7, 5) ≈ 10020DM;<br />
43.1.2 Aufgabe 2<br />
Eine befruchtete menschliche Eizelle teilt sich in etwa alle 15h. Wie viele<br />
Zellen bilden sich durch Zellteilung aus der ersten Eizelle im Laufe einer<br />
Woche (eines Monats)?<br />
N (t) = 1 · 2 t<br />
15h = 2 t<br />
15h ;<br />
N (7 · 24) ≈ 24 · 10 2 ;<br />
N (4 · 7 · 24) ≈ 3, 1 · 10 1 3;<br />
43.1.3 Aufgabe 3<br />
Im Zuge der Einführung der Kapitalertragssteuer im Jahr 1993 wurden<br />
die Besitzer von Sparbüchern durch die Banken angeschrieben. Bei dieser<br />
Aktion tauchte manch vergessenes Sparbuch wieder auf.<br />
Auf welchen Beitrag beläuft sich ein Sparguthaben bei einem Zinssatz von<br />
2, 5% pro Jahr, wenn für die letzten 2a (5a, 10a) bei einem Kontostand von<br />
2500DM keine Zinsen mehr gutgeschrieben wurden?<br />
Beachte, dass die Zinsen aus dem Vorjahr gutgeschrieben und im darauffolgenden<br />
Jahr mitverzinst werden (Zineszins).<br />
Unzureichende Angaben: Kontostand zu Beginn fehlt.<br />
44 36. Hausaufgabe<br />
44.1 Buch Seite 73, Aufgabe 1<br />
• d) 2 x = 1; =⇒ x = log 2 1 = 0;<br />
• h) 100 x = 10; =⇒ x = log 10 100 = 2;<br />
• m) 4 x = 1; =⇒ x = log 4 1 = 0;
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
45 37. HAUSAUFGABE 37<br />
44.2 Buch Seite 73, Aufgabe 2<br />
• b) log 2 1024 = log 2 2 10 = 10;<br />
• c) log 3 243 = log 3 3 5 = 5;<br />
• d) log 5 5 = log 5 5 1 = 1;<br />
• e) log 10 10000 = log 10 10 4 = 4;<br />
• f) log 10 1 = log 10 10 0 = 0;<br />
• g) log √ 2 2 = log√ 2<br />
• h) log √ 3 9 = log√ 3<br />
√ 2 2 = 2;<br />
√ 3 4 = 4;<br />
• i) log 2 1<br />
2 = log 2 2 −1 = −1;<br />
• j) MISSING<br />
• k) log 3 1<br />
9 = log 3 3 −2 = −2;<br />
• l) log 5 1<br />
125 = log 5 5 −3 = −3;<br />
• m) log 4 1<br />
256 = log 4 4 −4 = −4;<br />
45 37. Hausaufgabe<br />
45.1 Seite 75, Aufgabe 11<br />
• b) log a<br />
√ 2x = 1<br />
2 log a 2x = 1<br />
2 (log a 2 + log a x) ;<br />
• e) log a (x 2 z) 5 = 5 log a x 2 z = 5 (2 log a x + log a z) ;<br />
• m) ld<br />
2a 2<br />
√ 8b<br />
<br />
= 3 ld 2a2<br />
√ 8b = 3<br />
<br />
ld 2a 2 − ld √ 8b<br />
3 + 6lda − 3<br />
2 ( ld 23 + ld b) = − 3<br />
3<br />
+ 6 ld a − ld b;<br />
2 2<br />
45.2 Seite 75, Aufgabe 17<br />
Geg.: lg 2; lg 3;<br />
• e) lg 8 = lg 2 3 = 3 · lg 2;<br />
• h) lg 0, 000012 = lg (2 · 2 · 3 · 10 −6 ) = 2 lg 2 + lg 3 − 6;<br />
<br />
= 3 1 + 2 ld a − 1<br />
2 ld 8b =
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
46 38. HAUSAUFGABE 38<br />
46 38. Hausaufgabe<br />
46.1 Buch Seite 75, Aufgabe 16<br />
• c) 0 ≤ lg 1, 23 < 1;<br />
• d) 5 ≤ lg (3, 67 · 10 5 ) < 6;<br />
• g) −4 ≤ lg 0, 00037 = lg (3, 7 · 10 −4 ) < −3;<br />
46.2 Buch Seite 75, Aufgabe 13<br />
• b) − log a x − log a y = − log a xy;<br />
46.3 Buch Seite 75, Aufgabe 12<br />
• b) log a (x + y) 2 = 2 log a (x + y) ;<br />
• d) log a (x 2 + y 2 ) ;<br />
• h) log a<br />
a(1+x)<br />
x 2 −1<br />
47 39. Hausaufgabe<br />
= 1<br />
2 [1 − log a (x − 1)] ;<br />
47.1 Arbeitsblatt, Aufgabe 2<br />
Faltet man ein Stück Papier im DIN-Format mehrfach längs einer Mittellinie,<br />
so liegen erst zwei, dann vier Schichten übereinander. Es wird dabei<br />
immer kleiner und dicker. Wie oft müsste man es falten können, um<br />
einen Turm zu erhalten, der bis zum Mond reicht (Entfernung zum Mond:<br />
D = 384000km, Papierdicke d = 0, 2mm)?<br />
D = d · 2 n ; =⇒ n = ld D<br />
d ;
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
48 40. HAUSAUFGABE 39<br />
47.2 Arbeitblatt, Aufgabe 3<br />
Am 1.1.1960 lebten a0 = 3, 01·10 9 Menschen auf der Erde. In welchem Jahr<br />
überschreitet die Erdbevölkerung die 10 · 10 9 -Grenze, wenn der jährliche<br />
Zuwachs p = 1, 9% beträgt? In welchem Jahr erreichte die Menschheit die<br />
2 · 10 9 -Grenze?<br />
N = a0 · 1, 019 t ; =⇒ t = log 1,019 N<br />
a0 ;<br />
47.3 Buch Seite 75, Aufgabe 13<br />
• g) 1<br />
2 (loga 2 + loga z) = 1<br />
2 log √<br />
a 2z = loga 2z;<br />
• h) 3<br />
log a<br />
2 (1 + 2 loga u − loga v) = 3<br />
2 (loga a + loga u2 − loga v) = 3<br />
2 loga au2<br />
√<br />
au2 3<br />
v ; v<br />
48 40. Hausaufgabe<br />
48.1 Selbstgestellte Aufgabe<br />
v =<br />
Betimme a, b so, dass sich die Graphen der Funktionen y = a x und y =<br />
log b x im Punkt P (3; 8) schneiden. Bestimme jeweils dann die Umkehr-<br />
funktion.<br />
8 = a3 ; =⇒ a = 3√ 8;<br />
8 = logb 3; =⇒ b8 = 3; =⇒ b = 8√ <br />
=⇒<br />
3;<br />
f : x ↦→ 3√ 8 x = log 8 √ 3 x;<br />
f −1 : x ↦→ log 3 √ 8 x = 8√ 3 x ;
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
49 41. HAUSAUFGABE 40<br />
49 41. Hausaufgabe<br />
49.1 dablatt<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
−6<br />
f : x ↦→ 4 lg (x + 3) − 2;<br />
4. * log(x + 3)/log(10) − 2<br />
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7<br />
50 Seite 15, Aufgabe 1<br />
Addieren und Subtrahieren mit <strong>Potenzen</strong><br />
a) 3a 5 + 7a 5 = 10a 5<br />
b) 4b 3 − 7b 3 = −3b 3<br />
c) 2c 2 − 3c 3 = 2c 2 − 3c 3<br />
d) x 4 + x 4 = 2x 4<br />
e) y 2 − 2y 2 = −y 2<br />
51 Seite 15, Aufgabe 2<br />
Addieren und Subtrahieren mit <strong>Potenzen</strong><br />
f) −z 3 + z 3 = 0<br />
g) 1<br />
2 a4 − 1<br />
6 a4 = 1<br />
3 a4<br />
h) 1<br />
5 t5 − 1<br />
4 t5 = − 1<br />
20 t5<br />
i) 3<br />
8 s3 − 3<br />
2 s3 = − 9<br />
8 s3
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
52 SEITE 15, AUFGABE 3 41<br />
a) 5 · 10 n − 3 · 10 n = 2 · 10 n<br />
b) 10 m + 10 m = 2 · 10 m<br />
c) 3 k − 2 · 3 k = −3 k<br />
d) 1<br />
3 · 10n − 10 n = − 2<br />
3 10n<br />
e) 5 k − 3<br />
2 5k = 7<br />
2 5k<br />
52 Seite 15, Aufgabe 3<br />
Addieren und Subtrahieren mit <strong>Potenzen</strong><br />
a) a · 10 6 + b · 10 6 = 10 6 (a + b)<br />
b) a · 10 8 − 10 8 = 10 8 (a − 1)<br />
c) ax n + x n = x n (a + 1)<br />
d) na n − a n = a n (n − 1)<br />
e) ze z+1 − e z+1 = e z+1 (z − 1)<br />
53 Seite 16, Aufgabe 8<br />
f) 3<br />
4 10m − 4<br />
3 10m = − 7<br />
12<br />
g) 10 n − 0, 3 · 10 n = 0, 7 · 10 n<br />
h) 0, 3 m + 0, 2 m = 1<br />
2 m<br />
Multipliziere und fasse, soweit möglich, zusammen:<br />
a) 5 a 5(a−2a 2 +3a 3 −4a 4 ) = 5a 6 −<br />
10a 7 +15a 8 −20a 9 = 5a 6 (1−2a+<br />
54 1. Schulaufgabe<br />
i) 0, 3 n + 0, 2 · 0, 3 n = 1, 2 · 0, 3 n<br />
f) xe x−1 − e x−1 = e x−1 (x − 1)<br />
g) 7(a+b) 4 +5(a+b) 4 = 12(a+b) 4<br />
h) (x + 1) m + (x + 1) m = 2(x + 1) m<br />
i) t(t−1) n −(t−1) n = (t−1) n (t−<br />
1)<br />
3a 2 − 4a 3 )<br />
1. Vereinfache und gib’ das Ergebnis ohne negative Exponenten an:<br />
<br />
2 3<br />
−0, 3 · (−a) −2<br />
2 <br />
a5+mb3n−3 0,3a2 −3 2<br />
·<br />
:<br />
=<br />
<br />
−2<br />
·<br />
4 10<br />
3a 3 2<br />
a 4+m<br />
· a2 · 33a6 103 = 104 ·a2 ·33 ·a6 34 ·a6 ·103 = 10a2<br />
3<br />
b 2n−2<br />
3a 3 2<br />
10<br />
(ab 3n−3 ) 2 ·<br />
3a 2<br />
10<br />
b 2n−2<br />
3 <br />
=
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
54 1. SCHULAUFGABE 42<br />
Elitere Lösung: −0, 3 2 · (−a) 3−2 ·<br />
3a 2<br />
0,3<br />
= 10<br />
3 a2<br />
= =⇒<br />
• a =<br />
;<br />
• m = \ {−5; −4} ;<br />
• b =<br />
• n = \ {1} ;<br />
;<br />
2. Fasse soweit wie möglich zusammen:<br />
(1 + x) −1 + (1 + x −1 ) −1 = 1<br />
1+x<br />
= =⇒<br />
• x =<br />
3. Kürze:<br />
4+4x 1 3 +x 2 3<br />
x 2 3 −4<br />
=<br />
= =⇒<br />
• x =<br />
;<br />
“<br />
2+x 1 ”2<br />
3<br />
“<br />
x 1 ”“<br />
3 −2 x 1 3 +2<br />
;<br />
” = 2+x 1 3<br />
+ 1<br />
1+ 1<br />
x<br />
2 a5+mb3n−3 a 4+m<br />
x 1 3 −2 = − 2+x 1 3<br />
2−x 1 3<br />
= 1 x<br />
+ 1+x x+1<br />
:<br />
0,3a 2<br />
b 2n−2<br />
= x+1<br />
x+1<br />
−3 <br />
4. Aus einem Kreis K1 mit Radius R = 6cm schneidet der Mittelpunktswinkel<br />
α = 60 ◦ einen Kreisbogen AB aus. Die dazugehörige Sehne<br />
[AB] ist ein Durchmesser eines weiteren Kreises K2. Berechne den<br />
Inhalt der Fläche, die von beiden Kreisen bedeckt wird (siehe Zei-<br />
chung auf der nächsten Seite).<br />
A = 1<br />
2AK2+AS−AD = 1<br />
2π R<br />
2<br />
(≈ 17, 40cm 2 )<br />
2+ 60 ◦<br />
360 ◦πR 2 − 1<br />
2<br />
= 1<br />
√ <br />
R<br />
2<br />
R 3 = R π 2<br />
1<br />
8<br />
= 0,3−4 ·a −6 ·a 2 ·b 6n−6 ·0,3 3 ·a 6<br />
b 6n−6<br />
+ 1<br />
6<br />
√ <br />
3 − 4<br />
5. Berechne die Oberfhäche des Rotationskörpers auf der nächsten Seite<br />
in Abhängigkeit von a.<br />
O = MK + MZ + 1<br />
2OK <br />
= π6a (6a) 2 + (8a) 2 + 2π6a6a + 2π (6a) 2 =<br />
πa2 (60 + 4 · 36) = 204πa2 =
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
55 2. SCHULAUFGABE 43<br />
Abbildung 3: Schnittmenge der zwei Kreise von Aufgabe 4<br />
8a<br />
Abbildung 4: Rotationskörper von Aufgabe 5<br />
55 2. Schulaufgabe<br />
R<br />
1. Berechne folgenden Term und schreibe den Zahlenwert im Ergebnis<br />
als Dezimalzahl:<br />
<br />
0, 000000512 · x 3<br />
8 · u 9<br />
4<br />
9<br />
4<br />
0, 0016 · x 1<br />
6 · u<br />
2. Vereinfache soweit wie möglich:<br />
u−2u 2 3 ·v 1 3 +u 1 3 ·v 2 3<br />
u−u 1 3 ·v 2 3<br />
=<br />
=<br />
“<br />
u 1 2 −u 1 6 v 1 ”2<br />
3<br />
“<br />
u 1 2 +u 1 6 v 1 ”“<br />
3 u 1 2 −u 1 6 v 1 3<br />
3. Vereinfache soweit wie möglich:<br />
5√<br />
a2 5<br />
− √ 32a+1<br />
(a− 5√ a3 ): 5√ a3 = ( 5√ a2−2 5√ a+1) 5√ a3 a− 5√ a3 B<br />
6a<br />
<br />
29 · 10−9 · x 3<br />
8 · u 9<br />
4<br />
9<br />
4<br />
R<br />
” = u 1 2 −u 1 6 v 1 3<br />
u 1 2 +u 1 6 v 1 3<br />
= ( 5√ a−1) 2 5 √ a3 ( 5√ a2−1) 5√ =<br />
a3 4. Gib alle Winkel α mit 0 ◦ ≤ α ≤ 360 ◦ an, für die gilt:<br />
• sin α = − cos α<br />
A<br />
= 2 4 · 10 −4 · x 1<br />
6 · u =<br />
= u 1 3 −v 1 3<br />
u 1 3 +v 1 3<br />
( 5√ a−1) 2<br />
( 5√ a−1)( 5√ a+1) = 5√ a−1<br />
5√ a+1
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
56 3. SCHULAUFGABE 44<br />
sin α = − cos α<br />
± √ 1 − cos 2 α = − cos α<br />
1 − cos 2 α = cos 2 α<br />
± 1<br />
2<br />
1<br />
2 = cos2 √<br />
α<br />
2 = cos α<br />
Von den Vorzeichen von Sinus und Kosinus kommen aber nur<br />
der 2. und der 4. Quadrant ich Betrachtung. =⇒<br />
• cos α = 4<br />
3 =⇒<br />
liegt.<br />
= {135 ◦ ; 315 ◦ }<br />
= {}, da der Kosinus nur im Intervall von [−1; 1]<br />
5. Ein Flugzeug fliegt auf geradlinigem Kurs mit konstanter Geschwindigkeit<br />
in gleichbleibender Höhe von h = 3500m genau über einen<br />
Beobachter hinweg. Während sich das Flugzeug vim Beobachter entfernt,<br />
misst er zu dem Flugzeug zwei Höhenwinkel (Winkel gegen<br />
die Horizontale):<br />
• α = 72, 3 ◦ und ∆t = 20s später<br />
• β = 30, 7 ◦ .<br />
Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeugs (Skizze mit Angabe<br />
der von die benutzten Bezeichnungen!)<br />
sin α h<br />
= cos α s1 =⇒ s1 =<br />
sin β<br />
cos β<br />
v = ∆s<br />
∆t<br />
= h<br />
s2 =⇒ s2 =<br />
= s2−s1<br />
20s<br />
h cos α<br />
sin α<br />
h cos β<br />
sin β<br />
≈ 238, 9 m<br />
s<br />
56 3. Schulaufgabe<br />
≈ 1117m<br />
≈ 5895m<br />
≈ 860, 0 km<br />
h<br />
1. a) Zeige, dass das Polynom p (x) = 2x 3 − 9x 2 + 7x + 6 durch x − 3<br />
teilbar ist.<br />
(2x 3 − 9x 2 + 7x + 6) : (x − 3) = 2x 2 − 3x − 2<br />
b) Bestimme mit Hilfe von a) die Lösungsmenge der Gleichung p (x) =<br />
0 (Ergebnis: = − 1<br />
2 ; 2; 3 ).<br />
x1 = 3; x2;3 = 3±√ 9−4·2·−2<br />
4<br />
= 3±5<br />
4 =⇒<br />
= − 1<br />
; 2; 3 2<br />
c) Gib die Zerlegung des Polynoms p (x) in Linearfaktoren an.
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
57 SINUS-MINI-HOWTO 45<br />
p (x) = 2 (x − 3) (x − 2) x + 1<br />
<br />
2<br />
d) Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung p (x) ≥ 0 mit der<br />
graphischen Methode.<br />
−10<br />
= − 1<br />
2 ; 2 ∪ [3; ∞[<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
−5<br />
2*x**3−9*x**2+7*x+6<br />
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4<br />
57 Sinus-Mini-HowTO<br />
1. Gesucht: sin α, wobei α ein „komischer“ Winkel ist, also nicht 30 ◦ ,<br />
90 ◦ , etc (Beispiel: α = 15 ◦ ).<br />
2. Suche dir zwei Winkel β und γ aus, die addiert oder subtrahiert, α<br />
ergeben (Beispiel: α = (β = 45 ◦ ) − (γ = 30 ◦ ).<br />
3. Definiere: E (ϱ) = cos ϱ + i · sin ϱ<br />
4. Definiere:<br />
• zβ = E (β) (Beispiel: zβ = 1<br />
√ √ √<br />
1 1<br />
2 + 2i = 2 (1 + i)<br />
2 2 2<br />
• zγ = E (γ) (Beispiel: zγ = 1<br />
√<br />
1<br />
3 + 2 2i)
Ingo Blechschmidt, 10C<br />
57 SINUS-MINI-HOWTO 46<br />
5. Definiere:<br />
• Ist α bei dir eine Summe? z = zβ · zγ<br />
√<br />
2(1+i)<br />
√<br />
1 1 =<br />
3+ i 2 2<br />
• Ist α bei dir eine Differenz? z = zβ : zγ (Beispiel: z = 1<br />
2<br />
√ √ √ √ <br />
1 1<br />
1 1<br />
6 + 2 + i · 6 − 2 )<br />
4 4<br />
4 4<br />
6. Dann ist sin α gleich dem Imaginärteil von z (Beispiel: sin α = 1<br />
√<br />
6 −<br />
√ 4<br />
2 =⇒<br />
1<br />
4<br />
)<br />
0wnz3d<br />
Special thanks to: Harald Kümmerle