„Graphische Datenverarbeitung und Bildverarbeitung“ - Hochschule ...

„Graphische Datenverarbeitung 

und Bildverarbeitung“ 

Hochschule Niederrhein 

Bildverbesserung - Filterung 

Graphische DV und BV, Regina Pohle, 11. Bildverbesserung - Filterung 1 

Einordnung in die Inhalte der Vorlesung 

• Einführung 

• mathematische und allgemeine Grundlagen 

• Hardware für Graphik und Bildverarbeitung 

• Graphische Grundalgorithmen (Zeichnen graphischer Primitive, Methoden für 

Antialaising, Füllalgorithmen) 

• Bildaufnahme (Koordinatensysteme, Transformation) 

• Durchführung der Bildverarbeitung und -analyse 

• Fourier-Transformation 

• Bildrekonstruktion und Bildrestauration 

• Bildverbesserung (Grauwertmodifikation, Filterverfahren) 

• Segmentierung 

• Morphologische Operationen 

• Merkmalsermittlung und Klassifikation 

• Erzeugung von Bildern in der Computergraphik 

• Geometrierepräsentationen 

• Clipping in 2D und 3D 

• Hidden Surface Removal 

• Beleuchtungsberechnung 

• Shading 

• Schattenberechnung 

• Volumenrendering als Beispiel für die Nutzung beider Gebiete 

Graphische DV und BV, Regina Pohle, 11. Bildverbesserung - Filterung 2

Wiederholung wichtiger Begriffe 

• Gamma-Korrektur 

• Histogrammausgleich 

• Filterung im Frequenzraum 


Nachbarschaftsbasierte Bildverbesserung 

• Rauschen kann durch Integration einer Signalfolge mit 

(nahezu) konstantem Signal reduziert werden. 

• Konstante Signalfolge: 

– Integration über eine zeitliche Folge. 

– Integration über eine homogene Fläche. 

• Lineare verschiebungsinvariante Operatoren 

– Konvolutionsmethoden 

– Filterung im Frequenzraum 


• Annahmen 

Zeitliche Folge 

– Aufnahme mehrerer Bilder g i , i=1,I über einen gegebenen Zeitraum. 

– Bild verändert sich über den Zeitraum nicht (keine Bewegung, keine 

Beleuchtungsänderung). 

– Erwartungswert E des Rauschens n 

ist 0. 

• Näherung an die unverrauschte 

Funktion f: 

– E{g(m,n)} = E{f(m,n)} +E{n(m,n)} 

= E{ f(m,n) } +0 = f(m,n) 

– Abschätzung von E{g(m,n)} durch 

Integration über die Bilder. 

1 Aufnahme 

20 Aufnahmen 


Integration über die Fläche 

• Falls für eine Reihe von Bildpunkten (p 0 ,...,p n ) gilt, dass f(p i )=const, 

dann kann Rauschen n mit E{n}=0 durch Addition der gemessenen 

Funktionswerte g(p i ) reduziert werden. 

• Annahmen: 

– Bild besteht aus homogenen 

Bereichen. 

– Benachbarte Punkte haben 

den gleichen Grauwert. 

• Rauschunterdrückung: 

– Mittelwertbildung über vorgegebene 

Nachbarschaft. 

SNR max =2.83 


∑∑ 

Faltung 

(Konvolution) 


∞ 

∞ 

b ( m, 

n) 

∗h( 

i, 

j) 

= b( 

m − k, 

n − l) 

⋅h( 

k, 

l) 

k = −∞ l= 

−∞ 

Berechnung der Faltung am Bildrand 

• Randpunkte werden nicht behandelt 

• Randpunkte werden unverändert übernommen 

• Originalbild an den Rändern spiegeln 

• Maske wird in den Randbereichen eingeschränkt 


Konvolutionskerne (Faltungskerne) 

• Die Funktionswerte der Konvolutionsfunktion h(i,j) geben die Wichtung 

an, mit der die Funktionswerte des Bildes in die gewichtete Summe 

eingehen. 

• Der von Null verschiedenen Anteil von h(i,j) wird als Konvolutionskern 

(oder Faltungskern) bezeichnet. 

• Damit die Konvolutionskerne symmetrisch und im Ursprung zentriert 

sein können, wird allgemein eine ungeradzahlige Anzahl von Werten 

verwendet. 

1 1 1 

1 

1 

1 

1 1 1 

1 0 -1 


ist •kommutativ:h1*h2 = h2*h1 •assoziativ: (h1*h2)*h3 = h1*(h2*h3) •linear: h1*(ah2 +bh3)= a(h1*h2) + b(h1*h3) Konvolution 

1 

0 

-1 

1 0 -1 

Eigenschaften der Faltung 

Graphische DV und BV, Regina Pohle, 11. Bildverbesserung - Filterung 

•verschiebungsinvariant: Operatoranworthängt nicht vom Ort, sondern nur von den Werten in der Umgebung ab Transferfunktion eines Konvolutionsoperators: Die Transferfunktion gibt an, in welcher Form die Konvolutiondie 

10 

des Ursprungsbildes verändert (=Repräsentation des Operators im Frequenzraum) Frequenzrepräsentation

Mittelwertbildung durch Konvolution 

Konvolutionskern: Gleichmäßige Gewichtung der Pixel in einer 

gegebenen Nachbarschaft 

f(m,n) 

Linie n=150 (rot) 

1/9 1/9 

1/9 1/9 

1/9 1/9 

1/9 

1/9 

1/9 

m original 


Filterkern 

Rot = original 

Weiss = gefaltet 

3x3 Boxcar-Filter 


7x7 Boxcar-Filter 

Beobachtung: Kanten werden degradiert. 

Grund: Annahme konstanter Funktionswerte ist nicht wahr. 

Rot = original 

Weiss = gefaltet 


Verhalten an Kanten 

|f(m,n)-g(m,n)| 

nach 3x3 Boxcar-Filterung 

nach 7x7 Boxcar-Filterung 


Transferfunktionen des 3x3 und des 7x7 

Mittelwertfilters 


original 

Auswirkungen 

Bildzeile: rot: vor der Filterung, weiß: nach Filterung 

kontrastverstärkt 

9·9 Mittelwertfilter 

Artefakt 

Artefakte 


Frequenzraumfilterung 

)⎪⎩⎪⎨⎧ • Filter im Frequenzraum so entwickeln, dass die Artefakte nicht 

• 

auftauchen können. 

Ideales Tiefpassfilter 

2 2 2 

1 , falls u + v ≤ Fmax 

H F ( u, 

v = 

max 

0 , sonst. 

F max – Cut-Off-Frequenz 


Tiefpassfilter zur Rauschunterdrückung 

Cutoff-Frequenz: 40 


Helligkeit 

Bildzeile 

Ringing-Artefakt 


Der Ringing-Artefakt entsteht, weil 

scharfe Kanten durch Wellen aller 

Frequenzen beschrieben werden. 

Ringing-Artefakt 

m 

|F(u)| 

Fouriertransformierte 

Zeile 


u

Filterung 

|F(u)| 

Fouriertransformierte 

Zeile 


Butterworth-Filter 

Frequenzen werden nicht gelöscht, sondern 

nur abgeschwächt. 

Tiefpass-Filter: 

H 

Hochpass-Filter: 

H 

( u, 

v) 

( u, 

v) 

= 

1+ 

= 

1+ 

D 0 : Cutoff-Frequenz, 

1 

( ( ) ) n 2 

D u, 

v / D 

0 

( ( ) ) n 2 

D / D u, 

v 

D(u,v): Frequenz, d.h. Abstand 

vom Ursprung 

0 

1 

Tiefpass 

H(u,v)=0.5 

Tiefpass Butterworth- 


u

n T n ( B ) B 

n 

B ⋅ 

Binomialfilter 

2 

T 

= B = [ 1 2 1] 

⋅ [ 1 2 1] 

⎥⎦ 

1 

4 

N=4 

N=8 

Graphische DV und BV, Regina Pohle, 11. Bildverbesserung - Filterung 

Zweidimensionaler Binomialfilter: 

23 

⎤ ⎢⎣⎡ 

Zweidimensionale Binomialfilter 

B 2 = 1/16 · [1 2 1] T · [1 2 1] = 1/16 · 

B 3 = 1/64 · [1 3 3 1] T · [1 3 3 1] = 1/64 · 

B 4 = 1/256 · 

1 4 6 4 1 

4 16 24 16 4 

6 24 36 24 6 

4 16 24 16 4 

1 4 6 4 1 


1 

4 

1 2 1 

2 4 2 

1 2 1 

1 3 3 

3 9 9 

3 9 9 

1 3 3 

= 

1 

3 

3 

1 

1 

16 

1 

2 

1 

2 

4 

2 

1 

2 

1

Transferfunktion des 3x3 und 5x5 

Binomialfilters 


Filterresultate des Binomialfilters 

original 

Bildzeile 

rot: vor der Filterung 

weiß: nach Filterung 

Filter B 16 


Butterworth-Filter / Binomialfilter 

• Idealer Tiefpassfilter: kompakter Träger im Frequenzraum, aber 

artefakt-verursachende Ortsraumrepräsentation 

►Butterworth-Filter: kontrolliert monoton fallende Funktion im 

Frequenzraum, deren Ortsraumrepräsentation ebenfalls monoton fällt. 

• Mittelwertfilter: kompakter Träger im Ortsraum, aber artefaktverursachende 

Frequenzraumrepräsentation 

►Binomial-Filter: monoton fallende Funktion im Ortsraum, deren 

Frequenzraumrepräsentation gleichfalls monoton fällt. 


Binomialfilter und Gaußfunktion 

• Für immer größere Filterkerne nähert sich das Binomialfilter der 

Gauß‘schen Glockenkurve an. 

• Der Betrag der Transferfunktion einer solchen Funktion ist wieder eine 

Gauß‘sche Glockenkurve. 

boxcar Gauß‘sche 

gauss(x,y) = [σ·√2π] 

Glockenkurve Transferfunktion Transferfunktion -1 · exp[-(x2 +y2 )/(2σ2 )] 


Sogenanntes 

Impuls-rauschen 

(Salt&Pepper 

Noise) kann nicht 

entfernt werden. 

Filterung mit 2D Gaußfilter 

Die Gaußfunktion ist separabel, so dass die 

Filterung durch zwei 1D Konvolutionen erfolgen 

kann. 


Grenzen 


Zusammenfassung 

• Rauschenunterdrückung durch Schätzung des 

Erwartungswerts der Bildfunktion 

• Schätzung des Erwartungswerts = zeitliche oder räumliche 

Integration 

• Filter im Orts- und Frequenzraum 

• Artefakte bei Orts-/Frequenzraumfiltern

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