Übung Verbrauchsraten.pdf

Prof. Dr.-Ing. Peter Czermak
Dipl.-Biol., Dipl.-Ing. (FH) Christian Weber
Fachhochschule Gießen-Friedberg
Institut für Biopharmazeutische Technologie
Übung ZKT:
Verbrauchsraten
christian.weber@tg.fh-giessen.de Tel.: 0641 309 2635
peter.czermak@tg.fh-giessen.de Tel.: 0641 309 2551

Aufgabe 1
In einem Festbettreaktor wird eine adhärente tierische Zelllinie im Labormaßstab
kultiviert. Der Reaktor hat ein Volumen V von 100 cm3 und einen Durchmesser dR von
5,0 cm. Die Schüttung besteht aus nichtporöse Borsilikatglaskugeln mit einem
Durchmesser ds von 2 mm, auf denen die Zellen wachsen. Die Porosität ε der
Schüttung beträgt 0,39. Am Ende der Kultivierung werden Proben aus dem Reaktor
genommen und die flächenspezifische Zelldichte XA zu 250.000 Zellen/cm2 bestimmt.
Die Sauerstoffsättigung am Ende der Kultivierung beträgt im Einstrom sO2,ein = 98% und
im Ausstrom sO2,aus = 40%. Die maximale Sauerstofflöslichkeit im Medium s *
O2 kann mit
6,88 mg/l angenommen werden. Das Festbett wird mit einer Leerrohrgeschwindigkeit
v von 3,0 x 10 -4 m/s durchströmt. Berechnen sie die zellspezifische
Sauerstoffverbrauchsrate q O2 unter vereinfachter Annahme einer Reaktion nullter
Ordnung.
2

Aufgabe 1
Gegeben:
V = 100 cm3 dR = 5 cm
dS = 2 mm
ε = 0,39
XA = 250.000 Zellen/cm2 sOx,ein = 98%
s Ox,aus = 40%
c Ox * = 6,88 mg/l
v = 3,0 x 10 -4 m/s
Gesucht: q Ox [mg/h/Zelle]
Berechnung der Anzahl n S der Glaskugeln:
n
=
S
( 1 ε ) ( 1 ε )
VS 4 / 3 ⋅π ⋅(
d / 2)
3
cm ⋅( − )
( cm
3
)
V ⋅ − V ⋅ −
= =
100 [ ] 1 0,39
4 / 3⋅π ⋅ 0,2 [ ] / 2
= 14570
Berechnung der Zellzahl N Z:
N = n ⋅ A ⋅ X
Z s S A
= n ⋅ 4⋅π
⋅ r ⋅ X
2
s A
= ⋅ ⋅π ⋅ ⋅
=
2 2
14570 4 (0,2 [ cm] / 2) 250.000 [ Zellen / cm ]
457.500.000
3
Zellen
3

Aufgabe 1
Gegeben:
V = 100 cm3 dR = 5 cm
dS = 2 mm
ε = 0,39
XA = 250.000 Zellen/cm2 sOx,ein = 98%
s Ox,aus = 40%
c Ox * = 6,88 mg/l
v = 3,0 x 10 -4 m/s
Gesucht: q Ox [mg/h/Zelle]
Berechnung der insgesamt pro Zeiteinheit
verbrauchten Sauerstoffmenge ΔN O2:
2 2
*
2 ( 2 , 2 , )
( R
2
/ 2 ) π
*
O2 ( O , ein O , aus ) /100
Δ N& = V& ⋅Δ c = v ⋅ A ⋅c s − s
O O R O O ein O aus
= v ⋅ d ⋅ ⋅c s − s
2 2
( )
/100
( )
−4
3,0 10 [m/s] 100 [cm/m] 3600 [s/h] 5 [cm] / 2
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3
0,00688 [mg/cm ] 98 [%] 40 [%] /100
⋅π ⋅ ⋅ −
= 8,45 mg / h
Berechnung der zellspezifischen Verbrauchsrate q Ox:
q
Ox
= ⋅
ΔN&
O
2 = =
N
Z
−8
1,85 10 mg/h/Zelle
4
8, 45 [mg/h]
457.500.000 [Zellen]
2

Aufgabe 2
In einem Festbettreaktor wird eine adhärente tierische Zelllinie im Labormaßstab
kultiviert. Der Reaktor hat ein Volumen V von 100 cm3 und einen Durchmesser dR von
5,0 cm. Die Schüttung besteht aus nichtporöse Borsilikatglaskugeln mit einem
Durchmesser ds von 2 mm, auf denen die Zellen wachsen. Die Porosität ε der
Schüttung beträgt 0,39. Die initiale Zelldichte XA,t0 beträgt 5000 Zellen/cm2 und die
Wachstumsrate µ 0,6 1/d. Die Glukosekonzentration cGlc im Konditionierungsgefäß
beträgt zu Beginn der Kultivierung 1,0 g/l und nach 120 h 0,7 g/l. Das Mediumvolumen
VM beträgt 500 ml. Berechnen Sie die zellspezifische Glukoseverbrauchsrate qGlc unter
der Annahme, dass diese unabhängige von der Glukosekonzentration ist.
5

Aufgabe 2
Gegeben:
VM = 100 cm3 dS = 2 mm
ε = 0,39
XA,t0 = 5.000 Zellen/cm2 µ = 0,6 1/d
cGlc,t0 = 1 g/l
c Glc,t1 = 0,7 g/l
Gesucht: q Glc [mg/h/Zelle]
Änderung der Glukosemenge mit der Zeit:
dN
dt
dN
dt
Glc
Z
= N ⋅ q
Z Glc
Änderung der Zellzahlmenge mit der Zeit:
Einsetzen:
dN
dt
Glc
6
= N ⋅ µ → N = N ⋅ e
Z Z Z , t
= N ⋅ q = N ⋅e ⋅q
µ ⋅t
Z Glc Z , t Glc
0
0
µ ⋅t

Aufgabe 2
Gegeben:
VM = 100 cm3 dS = 2 mm
ε = 0,39
XA,t0 = 5.000 Zellen/cm2 µ = 0,6 1/d
cGlc,t0 = 1 g/l
c Glc,t1 = 0,7 g/l
Gesucht: q Glc [mg/h/Zelle]
Integrieren:
NGlc , t1
t1
∫ Glc = Z , t ⋅
0 ∫ Glc
N t 0
Glc, t 0
dN N q e
e
Δ NGlc = NZ , t ⋅q 0 Glc ⋅
µ
Umstellen:
Glc
Glc µ ⋅t
7
µ ⋅t
e
Δ NGlc = NZ , t ⋅ q
0 Glc ⋅
µ
q
=
ΔN
e
NZ
, t ⋅
0 µ
µ ⋅t
µ ⋅t

Aufgabe 2
Gegeben:
VM = 100 cm3 dS = 2 mm
ε = 0,39
XA,t0 = 5.000 Zellen/cm2 µ = 0,6 1/d
cGlc,t0 = 1 g/l
c Glc,t1 = 0,7 g/l
Gesucht: q Glc [mg/h/Zelle]
Anzahl n S der Glaskugeln:
n
S
= 14570
( 1 ε ) ( 1 ε )
VS 4 / 3 ⋅π ⋅(
d / 2)
3
cm ⋅( − )
( cm
3
)
V ⋅ − V ⋅ −
= =
100 [ ] 1 0,39
=
4 / 3⋅π ⋅ 0,2 [ ] / 2
Berechnung der initialen Zellzahl N Z,t0:
N = n ⋅ A ⋅ X
Z , t s S A
0
= n ⋅ 4⋅π
⋅ r ⋅ X
2
s A
= ⋅ ⋅π ⋅ ⋅
2 2
14570 4 (0, 2 [ cm] / 2) 5.000 [ Zellen / cm ]
= 9.150.000
8
Zellen
3

Aufgabe 2
Gegeben:
VM = 100 cm3 dS = 2 mm
ε = 0,39
XA,t0 = 5.000 Zellen/cm2 µ = 0,6 1/d
cGlc,t0 = 1 g/l
c Glc,t1 = 0,7 g/l
Gesucht: q Glc [mg/h/Zelle]
q
=
Werte einsetzen:
( )
, ,
ΔN
V ⋅ c − c
e
NZ , t0 ⋅
µ
e
NZ
, t0
⋅
µ
Glc
M Glc t Glc t
Glc = = µ ⋅t µ ⋅ t
0 1
( )
3 3 3
100 [cm ] ⋅ 1,0 [mg/cm ] − 0,7 [mg/cm ]
= ⋅
e
9.150.000 Zellen ⋅
−8
9,8 10 mg/h/Zelle
9
0,6 [1/d]120 ⋅ [h]/24 [h/d]
0,6 [1/d]

Zellzahl pro Well
Aufgabe 3
Die Abhängigkeit (Monod-Kinetik) der Glukoseverbrauchsrate einer adhärent wachsenden
Zelllinie von der Glukosekonzentration soll experimentell ermittelt werden. Dazu werden vier
6-Well-Zell-kultur-plat-ten mit 15.000 Zellen pro Well angeimpft und mit 1,0 ml
Kulturmedium pro Well kultiviert. Das Medium hat Anfangs eine Glukosekonzentration von
4,5 mg/ml. Nach zwei Tagen wird täglich ein Well abgeerntet und die Zellzahl sowie die
Glu-kosekon-zen-tration bestimmt.
3,0x10 6
2,5x10 6
2,5x10 6
2,0x10 6
1,5x10 6
1,0x10 6
5,0x10 5
0,0
50 100 150 200
Zeit [h]
10
4
2
0
Glukosekonzentration [mg/ml]
Zellzahl
Glukosekonzentration
Zeit [h] [1/Well] [mg/ml]
48 5,364E+04 4,386E+00
72 1,014E+05 4,246E+00
96 1,914E+05 3,982E+00
120 3,604E+05 3,486E+00
144 6,748E+05 2,563E+00
168 1,234E+06 9,191E-01
192 1,550E+06 3,135E-06

Aufgabe 3, Lösungsweg 1
Die Glukoseverbrauchsrate
wird für die Zeitintervalle
mit
berechnet.
q
Δt
Glc
j
q
Glc
=
V
M
( 1 )
dc
⋅
dt
N
Z
Glc
j j j
t t t −
j j j
Δ t = t − t j = 1, 2, … n
−
Δ = − j = 1, 2, … n
=
( j−1 j )
( −
1)
⋅
c − c ⋅V
Glc Glc M
t t N
j j− Δt
Z , m
11
j

Aufgabe 3, Lösungsweg 1
Die mittlere Zellzahl NZ,m im Zeitintervall kann
z.B. mit dem Mittelwertsatz der
Integralrechnung
b
1
y( ξ ) = y( x) ⋅ dx
b − a ∫
dargestellt werden:
j
t
j 1
Δt
j
Δt j−1
µ m ⋅t
N Z , m = N j Z ⋅e ⋅ dt
Δ t ∫ j − 1
t
Für die Wachstumsrate im betrachteten
Zeitintervall gilt:
j ln N − ln N
Δt
µ m = j j−1
t −t
a
j
j−1
Z Δt
m
∫ Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:
MittelwertsatzIntegralrechnung.PNG&filetimestamp
=20100925142216
12
( )
µ t
1
j
1 1 Δt j
m ⋅
= ⋅ N ⋅ j e −
Δt
µ
( j ) ( j−1
)
Z Z

Aufgabe 3, Lösungsweg 1
Alternativ kann die mittlere Wachstumsrate (logarithmisches Mittel)
über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung berechnet werden,
was zum gleichen Ergebnis führt:
N
N − N
j j−1
j
Δ t Z Z
Z , m =
j ⎛ N ⎞ Z ln ⎜ j−1
⎟
NZ
⎝ ⎠
13

Aufgabe 3, Lösungsweg 1
Zur Ermittlung der Konstanten der Monod-Kinetik
cGlc
qGlc = qGlc,max
⋅
c + K
wird die reziproke Glukoseverbrauchsrate im
jeweiligen Zeitintervall über der zugehörigen
reziproken mittleren Glukosekonzentration
als Lineweaver-Burk-Diagramm aufgetragen:
14
Glc M , qGlc
c
1 K 1 1
= ⋅ +
q c
j
Δt M
qGlc,max j
Δt
Glc, m qGlc,max
Glc
c − c
j−1 j
j
Δ t Glc Glc
Glc , m =
j−1
⎛ c ⎞ Glc ln ⎜ j ⎟
cGlc
⎝ ⎠

Aufgabe 3, Lösungsweg 1
Glukosekonzentration
mittlere
Zellzahl pro
Well im
Zeitintervall
mittlere
Glukosekonz
entration im
Zeitintervall
[mg/ml]
15
Glukoseverbrauchsrate
im
Zeitintervall
[mg/h/Zelle]
1/q Glc
[h Zelle
mg -1 ]
Zeit
[h]
Zellzahl pro
Well [mg/ml]
1/cGlc,m [ml/mg]
48 5,364E+04 4,386E+00
72 1,014E+05 4,246E+00 7,499E+04 4,316E+00 7,783E-08 1,285E+07 2,317E-01
96 1,914E+05 3,982E+00 1,416E+05 4,113E+00 7,771E-08 1,287E+07 2,431E-01
120 3,604E+05 3,486E+00 2,670E+05 3,728E+00 7,744E-08 1,291E+07 2,682E-01
144 6,748E+05 2,563E+00 5,013E+05 3,001E+00 7,675E-08 1,303E+07 3,333E-01
168 1,234E+06 9,191E-01 9,263E+05 1,603E+00 7,393E-08 1,353E+07 6,239E-01
192 1,550E+06 3,135E-06 1,386E+06 7,301E-02 2,763E-08 3,619E+07 1,370E+01

[h Zelle mg -1]
1/q [h Zelle mg
Glc
Aufgabe 3, Lösungsweg 1
4,00x10 7
3,50x10 7
3,00x10 7
2,50x10 7
2,00x10 7
1,50x10 7
1,00x10 7
Lineweaver-Burk-Diagramm
y = 1,734E+06x + 1,245E+07
0 2 4 6 8 10 12 14
1/c Glc [ml/mg]
16
1 K 1 1
= ⋅ +
q c
j
Δt M
qGlc,max j
Δt
Glc, m qGlc,max
Glc

1/q Glc [h Zelle mg -1]
Aufgabe 3, Lösungsweg 1
4,00x10 7
3,50x10 7
3,00x10 7
2,50x10 7
2,00x10 7
1,50x10 7
1,00x10 7
q
K
y = 1,734E+06x + 1,245E+07
0 2 4 6 8 10 12 14
Glc,max
M
1/c Glc [ml/mg]
1
= = ⋅
1, 245
= ⋅ ⋅ ⋅ =
Lineweaver-Burk-Diagramm
−8
8,03 10 [mg/h/Zelle]
6 −8
1,734 10 8,14 10 0,139 [mg/ml]
17
1 K 1 1
= ⋅ +
q c
j
Δt M
qGlc,max j
Δt
Glc, m qGlc,max
Glc
1
= 1,734 ⋅10 ⋅ j + 1, 245⋅10 c
6 7
Δt
Glc, m

Aufgabe 3, Lösungsweg 2
Kurvenanpassung:
c = f ( t)
Glc Glc
N = f ( t)
Z N
Z
dc
V ⋅
c V f
q dt
Glc = qGlc,max
⋅ = =
c + K N f
18
Glc
M
Glc M ⋅ ′ Glc
Glc M Z N
V ⋅ f ′
M Glc
Auftragen von über
und fitten der Parameter und
f
N
Z
Z
f ( t)
Glc
qGlc,max M K