Grundwissenskatalog Klasse 11 - Klenze-Gymnasium

Klenze-Gymnasium Grundwissen Mathematik Klasse 11 (G8) Stand: März 2011
Grundwissenskatalog Mathematik 11. Klasse
1. Gebrochen rationale Funktionen
p(
x)
Funktionen der Form f : x , bei denen p(x) und q(x) Polynomfunktionen sind, heißen
q(
x)
gebrochen rationale Funktionen.
Sie sind an den Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) nicht definiert.
Ist xo Nullstelle von p(x) und auch von q(x), so lässt sich der Funktionsterm von f durch ( x xo
) kürzen.
Ist der Funktionsterm von f vollständig gekürzt, so liegen bei den Nullstellen des Nennerpolynoms
Polstellen ( auch „Unendlichkeitsstellen“ genannt) vor.
Zahlenbeispiel:
f ( x)
Seite 1 von 2
x3
5x2
14x
x(
x2)
(
x7)
; Df = IR \ {-2 ; +2}
( x 2)
( x 2)
x2
4
An der Stelle x = 2 liegt weder eine Nullstelle, noch eine Polstelle vor, weil wir kürzen können.
x(
x2)
(
x7)
x(
x7)
f ( x)
( x2)
(
x2)
( x2)
An den Stellen x1 = -7 und x2 = 0 liegen Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) vor;
an der Stelle x2 = -2 liegt eine Polstelle (mit Vorzeichenwechsel) vor.
An der Polstelle liegt eine senkrechte Asymptote vor, für x erhalten wir eine schräge
Asymptote, hier die Gerade mit y = x + 5. (Polynomdivision!)
2. Differenzierbarkeit und Ableitung
2.1 Differentialquotient und Differenzierbarkeit
Die Steigung m des Graphen von f im Punkt P(x0;y0) erhält
man als Grenzwert der Sekantensteigungen
wenn x xo
geht.
f ( x)
f
( xo
)
xx
(In der Skizze ist die Sekante für x = 4 eingezeichnet)
Falls der Grenzwert
f ( x)
f ( xo
)
x x x xo
lim
0
existiert, dann ist
die Funktion f an der Stelle xo differenzierbar und man
nennt diesen Grenzwert den Differentialquotienten '(
x )
2.2 Ableitungsfunktion und Stammfunktion
o
,
f o .
Die Funktion f ',
die jedem x 0 den Differentialquotienten f '(
xo
) zuordnet heißt Ableitungsfunktion
f '.
Als Buchstaben für die Variable nimmt man meist wieder x, also:
Ableitungsfunktion f ':
x f '(
x)
Die Funktion F heißt Stammfunktion zu f, wenn im gesamten Definitionsbereich gilt: F'( x)
f ( x)
2.3 Ableitungsregeln
(siehe Merkhilfe)

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3. Monotonie und Extremwerte (siehe Merkhilfe)
f '(
x)
0 der Graph von f fällt an der Stelle x.
f '(
x)
0 der Graph von f hat an der Stelle x eine waagrechte Tangente.
f '(
x)
0 der Graph von f steigt an der Stelle x.
Folglich hat f bei einem Vorzeichenwechsel von f ' ein Extremum.
( von nach ein Maximum und bei Wechsel von nach ein Minimum)
Anmerkung zum Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen:
Ist xn ein Näherungswert für die Nullstelle
von f, so liefert der Schnittpunkt der
Tangente an f im Punkt xn mit der x-Achse
einen besseren Näherungswert xn+1.
4. Exponential- und Logarithmusfunktion
Die Exponential- und die Logarithmusfunktion sind in Kapitel 3 des Grundwissenskatalogs der
10. Klasse dargestellt.
Bei Verwendung der Basis e, wobei e=2,71828… lassen sich Ableitungsfunktion und
Stammfunktion besonders leicht angeben (siehe 2.3 Ableitungsregeln).
Wegen b x log b gilt insbesondere e b x ln b
x
Seite 2 von 2
x
a a
ln und ln( e ) x
x .
und somit e x
x
5. Raumgeometrie
5.1 Grundregeln der Vektorrrechnung
Sind die Koordinaten derVektoren gegeben, so gilt:
außerdem:
5.2 Skalarprodukt
Grundeigenschaft:
Berechnung:
5.3 Vektorprodukt
Grundeigenschaften:
Die Formel zur Berechnung steht in der Merkhilfe
und muss nicht auswendig gelernt werden. Sie lautet:
Außerdem steht in der Merkhilfe, wie mit Hilfe des Vektorprodukts Dreiecksflächen bzw.
Parallelogrammflächen und Volumina von Dreieckspyramiden berechnet werden können.
6. Wahrscheinlichkeit
Zwei Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig voneinander, wenn gilt: P( A
B)
P(
A)
P(
B)