Aufgaben zur Festigkeitslehre – ausführlich gelöst

G. Knappstein 

Aufgaben zur Festigkeitslehre – 

ausführlich gelöst 

Mit Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten 

Verlag 

Harri 

Deutsch

Aufgaben zur Festigkeitslehre 

– ausführlich gelöst 

Verlag Harri Deutsch – Knappstein: Aufgaben zur Festigkeitslehre – ISBN: 978-3-8171-1871-7


G. Knappstein 

Aufgaben zur Festigkeitslehre 

– ausführlich gelöst 

Mit Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten 


Der Autor 

Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werkzeugmacher und dem 

Maschinenbaustudium als Konstrukteur und Berechnungsingenieur in der Industrie tätig. Er 

ist Mitarbeiter im Fachbereich Maschinenbau – Fachgebiet Technische Mechanik – an der 

Universität Siegen. 

Die Webseite zum Buch 

http://www.harri-deutsch.de/1871.html 

Der Verlag 

Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH 

Gräfstraße 47 

60486 Frankfurt am Main 

verlag@harri-deutsch.de 

www.harri-deutsch.de 

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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; 

detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de 

abrufbar. 

ISBN 978-3-8171-1871-7 

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Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung 

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Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für 

die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler 

keine Haftung. 

5., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010 

c○Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2010 

Druck: fgb – freiburger graphische betriebe 

Printed in Germany 


Vorwort 

Zum richtigen Verstehen und Einordnen der theoretischen Grundlagen des Mechanikfachs Festigkeitslehre 

(Elastostatik) ist das selbständige Lösen von entsprechenden Aufgaben unverzichtbar. 

Dieser Grund und die immer wiederkehrende Frage der Studierenden nach Aufgaben mit vollständigen 

Lösungen waren unter anderem Anlass, dieses Buch zu schreiben. 

Das Buch, dessen Inhalt sich am Stoff der Vorlesungen in Festigkeitslehre an Universitäten 

und Fachhochschulen orientiert, bietet 

• zahlreiche ausführlich und lehrbeispielhaft gelöste Aufgaben, 

• die notwendigen Grundbegriffe und Formeln zum schnellen Nachschlagen in überschaubarer 

Form, 

• Verständnisfragen und Antworten zum Überprüfen der Kenntnisse, 

• computerunterstütztes Lösen von Aufgaben aus dem Gebiet der Festigkeitslehre und 

• Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben. 

Es ergänzt außerdem die vielfältigen Mechanik-Lehrbücher. 

Die Aufgaben sind so ausgewählt, dass alle wichtigen Teilgebiete der Festigkeitslehre behandelt 

werden. 

Bei den Lösungen habe ich versucht, den Lösungsweg so zu gestalten, dass er für jeden verständlich 

ist. Die Lösungen sind nicht nur stichwortartig dargestellt, sondern sehr ausführlich gelöst, 

wobei vor allem der "rote Faden" des Lösungswegs gut erkennbar ist, was in erster Linie durch 

eine umfangreiche und sinnvolle Bebilderung unterstützt wird. Durch Zeichnungen sind Studierende 

oftmals viel schneller über schwierige Sachverhalte "im Bilde", als das je mit Text geschehen 

könnte. 

Bei einigen Aufgaben werden mehrere Lösungswege dargestellt sowie Ergebniserläuterungen 

vorgenommen. 

Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren werden 

angegeben, da erfahrungsgemäß viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lösung 

verlieren, wenn er nicht systematisch angelegt wird. 

Um den größten Nutzen aus dem Buch zu ziehen, empfehle ich den Studierenden, die Lösungen 

nicht nur durchzulesen, sondern auch zu versuchen, die Aufgaben selbständig zu lösen und 

nachzuvollziehen. Unbedingt erforderlich ist, dass Aufgabenlösungen – nicht nach „Schema F“, 

sondern mit Verstand und den Grundgesetzen der Mechanik – durchzuführen sind. Hilfreich ist oft, 

die Aufgaben und Verständnisfragen zu zweit oder zu dritt durchzuarbeiten, zu vergleichen und die 

Lösungen und Antworten zu diskutieren. 

In der vorliegenden 5. Auflage habe ich weitere ausführlich gelöste Aufgaben eingefügt sowie 

eine Formelsammlung zur Statik aufgenommen, da die Festigkeitslehre aufs engste mit der Statik 

verknüpft ist. Außerdem habe ich eine Zusammenstellung der häufig benutzten Formelzeichen angegeben. 

Die vollständigen MATLAB-Programme stehen auf der Homepage zum Buch, erreichbar über 

die des Harri Deutsch Verlages www.harri-deutsch.de, zur Verfügung. 

Dem Verlag Harri Deutsch danke ich für die gute Zusammenarbeit. 

Siegen, im Sommer 2010 Gerhard Knappstein 



Inhalt 

1 Zug und Druck in Stäben; Dehnungen und Verschiebungen . . . . . . . 

2 Der ein- und zweiachsige Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

4 Biegung: Normalspannungen durch Biegemomente und Normalkraft; 

Schiefe Biegung; Verformungen durch Biegemomente . . . . . . 

5 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

6 Querkraftschub; Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

7 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

8 Aufgaben mit Anwendungen aus verschiedenen Gebieten der 

Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

9 Aufgaben zu CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral (Arbeitssatz), 

Kraftgrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Antworten zu den Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Computerunterstütztes Lösen von Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Programm QUERP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Programm BIEGNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Anhang: 

Einige Grundbegriffe und Formeln der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . 

A1 Einheiten; Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A2 Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen . . . . . . 

A4 Zug und Druck in Stäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A5 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A6 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A7 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A8 Lage der Schubmittelpunkte von dünnwandigen Profilen . . . . . . . 

A9 Querkraftschub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A10 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Verlag Harri Deutsch – Knappstein: Aufgaben zur Festigkeitslehre – ISBN: 978-3-8171-1871-7 

1 

35 

45 

67 

119 

133 

145 

157 

183 

193 

201 

215 

215 

220 

233 

233 

234 

235 

235 

237 

242 

245 

249 

250 

250

VIII Inhalt 

A11 Dünnwandige Behälter (Membranschalen) unter Innendruck . . . . 

A12 Festigkeitshypothesen, Vergleichsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A13 Zugfestigkeit Rm, Streckgrenze Rp0, 2 und Bruchdehnung A5 einiger 

Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A14 Zulässige Spannungen für Kran-Stahltragwerke . . . . . . . . . . . . . . . 

A15 Ausgewählte Werkstoffkennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung 

(CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral, Kraftgrößenverfahren) 

Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Schematischer Verlauf einer Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Gegenüberstellung von neuen und alten Werkstoffbezeichnungen 

(Auswahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Einige Grundlagen und Formeln aus der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S1 Kräfte, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schnittprinzip . . . . . . . 

S2 Zentrales Kräftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S3 Allgemeines Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S4 Ebenes Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S5 Schnittgrößen am Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S6 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S7 Haftung und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S8 Biegeschlaffes Seil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheiten 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Einheitennamen und Einheitenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Einige Formeln aus der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Häufig benutzte Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Forscher und Lehrer auf dem Gebiet der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . 

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


253 

254 

255 

255 

256 

257 

261 

262 

263 

264 

264 

269 

272 

275 

277 

279 

283 

284 

286 

286 

287 

288 

289 

291 

294 

295

Inhalt / Übersicht der Aufgaben IX 

Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 

1 

1 Zug und Druck in Stäben; Dehnungen 

und Verschiebungen 

1.1 Dehnung und Verlängerung eines Seiles; Reißlänge 

1.2 Dehnung von Stäben aus unterschiedlichem Material 

1.3 Spannungsverläufe σ in einem Stab mit veränderlichem 

Querschnitt infolge Eigengewicht und 

äußerlicher Belastung 

1.4 Abgesetzter Stahlzylinder unter Temperaturbelastung 

(Kräfte und Verschiebung) 

1.5 Verschiebungen in einem Stabwerk (Stäbe mit 

unterschiedlicher Dehnsteifigkeit) 

1.6 Lagerungsstäbe (verschiedene Querschnitte) eines 

starren Trägers (statisch unbestimmt); Stabkräfte, 

Spannungen, Verschiebungen 

1.7 Stabkräfte und Verschiebungen in einem Fachwerk 

(statisch unbestimmt) 

1.8 Fachwerk unter Temperaturbelastung (Stäbe mit 

unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten) 

1.9 Dehnung und Spannung in einem fliehkraftbeanspruchten 

Stab 

1.10 Spannungen in den drei Seilen einer Lastaufhängung 

(mit Fehlmaß) (statisch unbestimmt) 


2 

5 

6 

9 

11 

14 

16 

19 

21 

24

X Inhalt / Übersicht der Aufgaben 


1.11 Lastaufnahme bei Druckstab aus unterschiedlichen 

Materialien (statisch unbestimmt) 

29 

1.12 Dehnungen und Spannungen bei einem zweiachsigen 

Spannungszustand 

1.13 Dehnung von Schrauben (Dehnschrauben) 

2 Der ein- und zweiachsige Spannungszustand 35 

2.1 Spannungen in der Schweißnaht eines Blechstreifens 

(einachsiger Spannungszustand) 

2.2 Spannungen in der Schnittfläche eines Quaders 

(einachsiger Spannungszustand und zweiachsiger 

Hauptnormalspannungszustand) 

2.3 Allgemeiner ebener Spannungszustand 

3 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; 

Widerstandsmomente 

3.1 Drei Querschnitte mit gleichem Flächeninhalt im 

Vergleich 

3.2 Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt (Hauptträgheitsmomente, 

Hauptachsen) 

3.3 Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt 

3.4 Gedrehter Rechteckquerschnitt 

3.5 Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt 


p 

31 

33 

36 

38 

41 

45 

46 

49 

52 

56 

57

Inhalt / Übersicht der Aufgaben XI 


3.6 Aus Grundflächen zusammengesetzter Querschnitt 

61 

3.7 Trapezförmiger Querschnitt 

4 Biegung: Normalspannungen durch Biegemomente 

und Normalkraft; Schiefe Biegung; Verformungen 

durch Biegemomente 

4.1 Einachsige Biegung; Biegespannungsverteilung 

4.2 Einachsige Biegung; Biegespannungsverteilung 

4.3 Schiefe Biegung; Spannungs-Null-Linie; Biegespannungsverteilung 

4.4 Schiefe Biegung; Spannungs-Null-Linie; Spannungsverteilung 

4.5 Schiefe Biegung mit Normalkraftbeanspruchung; 

Spannungs-Null-Linie; Spannungsverteilung 

4.6 Biegelinie 

4.7 Durchbiegung am freien Ende (mit Überlagerung) 

4.8 Biegeverformung (mit Überlagerung) 

4.9 Biegelinie 

4.10 Durchbiegung, Neigungswinkel 


65 

67 

68 

71 

74 

77 

80 

83 

86 

88 

90 

92

XII Inhalt / Übersicht der Aufgaben 


4.11 Auflagerreaktionen, Neigungswinkel, Differentialgleichung 

der elastischen Biegelinie (statisch 

unbestimmtes System) 

96 

4.12 Auflagerreaktionen, Differentialgleichung der 

4.13 

elastischen Biegelinie, Superpositionsprinzip (statisch 


Auflagerreaktion, Superpositionsprinzip (statisch 


4.14 Verschiebungen (Superposition) 

4.15 Auflagerreaktion bei elastischem Lager, Durchbiegung, 

Superpositionsprinzip (statisch unbestimmtes 

System) 

4.16 Auswirkungen der schubfesten Verbindung 

zweier Träger auf die Biegespannung und die 

Durchbiegung 

4.17 Verformungen eines Biegeträgersystems (unterschiedliche 

Biegesteifigkeiten) 

4.18 Verformungsberechnung bei schiefer Biegung 

(Kragträger) 

4.19 Verformungen bei durch einen Stab gekoppelte 

Biegeträger (statisch unbestimmtes System) 

5 Torsion 

5.1 zulässige Schubspannung und zulässiger spezifischer 

Verdrehungswinkel 

5.2 Torsionsstäbe mit Vollquerschnitt und kreisrundem 

Rohrquerschnitt 

5.3 abgesetzter Drillstab (Reihenschaltung) 

5.4 Parallel geschaltete Torsionsfedern (einfach statisch 

unbestimmt) 


F 

F 

2F 

100 

104 

106 

108 

110 

113 

115 

117 

119 

120 

122 

124 

125

Inhalt / Übersicht der Aufgaben XIII 


5.5 Torsionsstab mit dünnwandigem geschlossenen 

Querschnitt (BREDTsche Formeln) 

127 

5.6 Torsionsstäbe mit dünnwandigem geschlossenen 

und offenen Querschnitt 

5.7 Torsionsstab mit unterschiedlichen Querschnitten 

6 Querkraftschub; Schubmittelpunkt 

6.1 Schubspannungen infolge Querkraft 

6.2 Schubspannungsverlauf infolge Querkraft, Schubmittelpunkt 

Schlitz 

6.3 Dünnwandiger Träger mit C-Profil 

6.4 Schubspannungen in Verbindungsmitteln 

(Schweißnähte) 

7 Knickung 

7.1 EULER-Fall 2; Belastbarkeitsrechnung (kreuzförmiger 

Querschnitt) 

7.2 EULER-Fall 1; Entwurfsrechnung (Rohrquerschnitt) 

7.3 EULER-Fall 2; Belastbarkeitsrechnung (Winkelstahl) 

7.4 Vergleich der Knicksicherheiten zweier Fachwerke 

7.5 Grundfall 2; Belastbarkeitsrechnung (Rechteckquerschnitt); 

TETMAJER und EULER 

Schlitz 


129 

132 

133 

134 

137 

141 

143 

145 

146 

148 

149 

151 

153

XIV Inhalt / Übersicht der Aufgaben 


7.6 Grundfall 1; Entwurfsrechnung (Ellipsenquerschnitt); 

EULER und TETMAJER 

154 

7.7 Druckstab mit 4 verschiedenen Querschnitten 

gleichen Flächeninhalts; EULER 

8 Aufgaben mit Anwendungen aus verschiedenen 

Gebieten der Elastostatik 

8.1 Anwendungen aus den Gebieten: Zug, Druck, 

Biegung, Knickung. Statisch unbestimmtes 

System 

8.2 Auf Zug, Biegung und Torsion belastetes Rohr; 

MOHRscher Spannungskreis 

8.3 Auf Biegung und Torsion belasteter abgewinkelter 

Träger; Verschiebungen 

8.4 Dimensionierung einer Welle (Gestaltänderungsenergiehypothese) 

8.5 Auf Druck, Biegung und Torsion belastete Säule; 

Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese 

8.6 Auf Innendruck und Torsion belastetes dünnwandiges, 

geschlossenes Rohr; Kesselformeln; Vergleichsspannung 

nach der Gestaltänderungsenergiehypothese 

8.7 Auf Biegung und Torsion beanspruchter Stab; 



156 

157 

158 

162 

165 

167 

169 

171 

172

Inhalt / Übersicht der Aufgaben XV 


8.8 Auf Biegung und Torsion beanspruchte Blattfeder; 

Durchsenkung; Vergleichsspannung nach der 

Gestaltänderungsenergiehypothese 

173 

8.9 Auf Biegung und Torsion beanspruchter Träger; 

erforderlicher Durchmesser; Vergleichsspannung 

nach der Gestaltänderungsenergiehypothese 

8.10 Normalkraft, Biegung und Torsion; maximale 


8.11 Schrumpfring auf Vollwelle; Wärmedehnung; erforderliche 

Temperaturerhöhung 

8.12 Schrumpfring auf Ring; Wärmedehnung; Berührungskreisdurchmesser 

und Spannungen 

9 Aufgaben zu CASTIGLIANO, 

MOHRsches Arbeitsintegral 

(Arbeitssatz), Kraftgrößenverfahren 

9.1 Durchbiegung und Neigungswinkel mit dem Satz 

von CASTIGLIANO 

9.2 Verschiebung eines abgewinkelten Trägers mithilfe 

des Satzes von CASTIGLIANO 

9.3 Statisch unbestimmtes System; Auflagerreaktionen 

mithilfe des Satzes von CASTIGLIANO 

9.4 Durchbiegung mithilfe des MOHRschen Arbeitsintegrals 

(Arbeitssatz) 


175 

176 

180 

181 

183 

184 

185 

186 

187

XVI Inhalt / Übersicht der Aufgaben 


9.5 Verschiebung mithilfe des MOHRschen Arbeitsintegrals 

(Arbeitssatz) 

189 

9.6 Statisch unbestimmtes System; Auflagerreaktion 

mithilfe des Kraftgrößenverfahrens 

Beispiel 

zu 

QUERP 

Aufgabe 

zu 

QUERP 

Beispiel 

zu 

BIEGNO 

Aufgabe 

zu 

BIEGNO 

Aufgabe 

zu 

BIEGNO 

Computerunterstütztes Lösen 

von Aufgaben; Programme 

QUERP und BIEGNO 

Querschnittswerte (Schwerpunkt, Flächenträgheitsmomente) 

Querschnittswerte (Schwerpunkt, Flächenträgheitsmomente) 

Biegung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie 

und Spannungsverteilung 

Biegung mit Normalkraftbeanspruchung; Querschnittswerte, 

Spannungs-Nullinie und Spannungsverteilung 

Biegung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie 

und Spannungsverteilung 


190 

215 

218 

219 

229 

230 

231

3 Flächenträgheitsmomente; 

Lage der Hauptachsen; 

Widerstandsmomente 


46 

Flächenträgheits- und Widerstandsmomente / drei Querschnitte im Vergleich 

Aufgabe 3.1: 

Ein Träger wird aus vier Teilen zusammengeschweißt. Je nach Anordnung der Teile, entstehen die 

drei in Bild 3.1 gezeigten Trägerquerschnitte mit gleichem Flächeninhalt der Querschnittsfläche. 

Für jeden Querschnitt sind die axialen Flächenträgheitsmomente und Widerstandsmomente für die 

Achsen y und z durch die Flächenschwerpunkte zu berechnen. Wie groß sind die Deviationsmomente 

(Zentrifugalmomente) I yz ? 

y 

a 

S 

z 

3a 

5a 

a 

a 

a 

2a 

6a 

a 

a 

Querschnitt I Querschnitt II Querschnitt III 

Bild 3.1: Drei verschiedene Querschnittflächen mit gleichem Querschnittsflächeninhalt 

Lösung: 

Querschnitt I: 

Da der Querschnitt zur y- und z-Achse symmetrisch ist, sind y und z Schwerpunktachsen (Bild 

3.1.1). 

Zur Berechnung der Flächenträgheitsmomente wird der Querschnitt in vier Teilflächen aufgeteilt 

(Bild 3.1.1). 

Es gilt: 

3 

4 4 

a 

2 

a 

Iy = ∑Iy + Ai⋅z i ∑ Si 

i= 

1 i= 

1 

S 

y 

2a 

6a 

mit Iyi : Flächenträgheitsmoment der Teilfläche i bezogen 

2 

a 

4 

z 

3a 

5a 

a 

a 

a 

Bild 3.1.1: Querschnitt I in Teilflächen 

aufgeteilt 

I y 

( 6a) 

3 

Az ⋅ 

a 

Iy = a + + a = a 

36 

Iy = Iy 

I 

1 2 y = Iy 

STEINER- 

3 4 

Anteil 

4 

4 27 4 4 

50 

2 2 

1 

3 

a 3aa 

⎛ 3 ⎞ 

= 2 + 2 + 2⋅ 

3aa 

⎜ a⎟ 

12 12 ⎝ 2 ⎠ 

y 

a 

auf deren Schwerpunktachse yi Ai : Flächeninhalt der Teilfläche i 

zSi : Abstand zwischen den parallelen Schwerpunktachsen 

yi der Teilfläche i und y der Gesamtquerschnittsfläche 

2 

i S wird als STEINER-Anteil der Teilfläche i bezeichnet. 

i 

2 

(Da die Schwerpunkte der Teilflächen 1 und 2 auf der 

y-Achse des Gesamtschwerpunktes liegen, sind ihre 

STEINER-Anteile null.) 


S 

z 

3a 

5a 

a 

a 

4 

a 

a 6a 

y 

a 

a 

S 

z 

3a 

5a 

a 

3a 

a 

5a 

9a

4 4 

z ∑ zi 

∑ i Si 

i= 

1 i= 

1 

drei Querschnitte im Vergleich 47 

2 

I = I + A ⋅y 

mit ySi : Abstand zwischen den parallelen Achsen zi und z 

I z 

( 3a) 

3 

( ) 2 

3 

a 6aa 

9 4 4 4 4 

= 2 + 2 + 2⋅ 

6aa 

2a 

, Iz = a + a + 48a = 53, 5a 

. 

12 12 

2 

Iy 

Iz 

Widerstandsmomente: Wy 

= ; Wz 

= 

zmax 

ymax 

mit zmax: größter Abstand eines Randpunktes von der Schwerpunktachse y 

ymax: größter Abstand eines Randpunktes von der Schwerpunktachse z 

W 

y 

4 

50 a 

3 

53, 5a 

3 

= = 16, 67a 

, Wz 

= = 21, 4a 

. 

3a 

25 , a 

Deviationsmoment: Allgemein gilt ∫ − = I yz yzdA 

. 

Iyz = 0 , weil mindestens eine der beiden Schwerpunktachsen y und z eine 

Symmetrieachse der Fläche ist (hier sind beide Symmetrieachse). 

Iyz wird immer dann null, wenn zu jedem Flächenelement bei x, y ein entsprechendes mit einem 

negativen Produkt x ⋅ y existiert. 

Querschnitt II: 

Lösungsweg analog zu Querschnitt I. 

3 

3 

2 

a ( 6a) 

3aa 

⎛ 5 ⎞ 

I y = 2 + 2 + 2⋅ 

3aa 

⎜ a⎟ 

, 

12 12 ⎝ 2 ⎠ 

a 

Iy = a + + a = a 

36 

4 

4 75 4 4 

74 . 

2 2 

( ) 

( ) 2 

3 

3 

a 3a 

6aa 

I z = 2 + 2 + 2⋅ 

6aa 

2a 

, 

12 12 

9 4 4 4 4 

Iz = a + a + 48a = 53, 5a 

. 

2 

W 

y 

Querschnitt III: 

4 

74 a 

3 

53, 5a 

3 

= = 24, 67a 

, Wz 

= = 21, 4a 

, Iyz = 0. 

3a 

25 , a 

y zS y S 

2 

a 

a 

z, z 

3a a 

5a 

4 

3 

1 

zmax 

3a 

a 

5a 

9a 

Bild 3.1.2: Aufgeteilter Querschnitt III mit 

Bezugskoordinatensystem y, z 


4 

4 

A 

Der Querschnitt ist zur z-Achse symmetrisch. 

Zur Berechnung wird der Querschnitt in Teilflächen 

zerlegt und ein Bezugskoordinatensystem 

y, z eingeführt (Bild 3.1.2). 

Lage des Schwerpunkts: 

4 

S ∑ Si 

i= 

1 

z ⋅ A= z ⋅A 

i 

2 a 2 ⎛ 3 ⎞ 2 

2⋅ 

3a 

6a 

+ 3a 

+ ⎜− 

a⎟ 

3a 

2 2 

z 

⎝ ⎠ 

S = 

2 

18a 

33 

zS = a= 183 , a 

18

48 

Flächenträgheits- und Widerstandsmomente / drei Querschnitte im Vergleich 

4 4 

I y = ∑ I y + A 

i ∑ i ⋅ Si 

i= 

1 i= 

1 

( ) 2 

z − z 

S 

mit zSi : Abstand der Schwerpunktachse yi der Teilfläche i zur Bezugsachse y 

zS: Abstand der Schwerpunktachse y zur Bezugsachse y 

z − z i : Abstand zwischen den Achsen yi und y (Bild 3.1.2). 

i 

( S S ) 

( ) 2 

z z 

A i − ⋅ wird als STEINER-Anteil der Teilfläche i bezeichnet. 

S 

I y 

S 

( 3a) 

a 

+ 

12 

3 

( 6a) 

⎛ a 

= 2⎜ 

⎜ 

⎝ 12 

3 

+ 6aa 

( 3a 

−1, 

83a) 

3 

3aa 

⎛ a ⎞ 

+ + 3aa 

⎜ −1, 

83a 

⎟ 

12 ⎝ 2 ⎠ 

Iy = 93 5a 4 

, 

⎛ 3 ⎞ 

+ 3aa 

⎜− 

a −1, 

83a 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

3 3 ( 3a) 

3aa 

4 

3 

6aa 

2 a 

I z = 2 + 2⋅ 

6aa 

( 2a) 

+ 

12 

12 

+ 

12 

= 51, 

5a 

Wy 

= 

Iy 

z 

; zmax = zS+ 3a= 1, 83a+ 3a= 4, 83 a (siehe Bild 3.1.2) 

max 

4 

93, 5a 

3 

51, 5a 

3 

Wy 

= = 19, 345a 

, Wz 

= = 20, 6a 

. 

483 , a 

25 , a 

I yz = 0 , weil eine der beiden Schwerpunktachsen eine Symmetrieachse ist (hier ist es die z- 

Achse). 

Anmerkungen: 

1. Bei den Querschnitten I, II und III sind die Deviationsmomente Iyz = 0. Dies bedeutet, daß die 

Schwerpunktachsen y und z auch Hauptträgheitsachsen sind. 

2. Beim Vergleich der Querschnitte I,II und III (gleicher Flächeninhalt) bezüglich der Flächenträgheitsmomente 

und Widerstandsmomente um die jeweilige horizontale Schwerpunktachse y ergibt 

sich (siehe untenstehende Tabelle): 

Das Flächenträgheitsmoment Iy vom Querschnitt I ist am kleinsten, das von Querschnittsfläche 

III am größten. 

Folglich wäre die Durchbiegung eines Trägers mit Querschnitt III bei Biegung um die y-Achse 

am geringsten. Wegen des kleineren Widerstandsmoments wäre die Biegespannung im Querschnitt 

III allerdings größer als im Querschnitt II. 

Bei Biegung um die y-Achse würde im Querschnitt I die größte Biegespannung und die größte 

Durchbiegung entstehen. 

I y 

W y 

Querschnitt I Querschnitt II Querschnitt III 

50 4 

a 74 4 

a 93 5 4 

, a 

16 67 3 

, a 24 67 3 

, a 19 345 3 

, a 

Tabelle: Zum Vergleich der Querschnitte 

→ Teilfläche 1 und 2 

→ Teilfläche 3 

→ Teilfläche 4 


4

Aufgabe 3.2: 

Für einen rechtwinkligen Dreiecksquerschnitt (Bild 3.2) sind bezüglich 

der Schwerpunktachsen y und z zu berechnen: 

1. die axialen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz und das Deviationsmoment 

Iyz, 2. die Hauptträgheitsmomente I1 und I2 und die Lage der 

Hauptachsen für das Seitenverhältnis h/ b= 

2 . 

Lösung: 

zu 1. 

Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt 49 

Zuerst werden die Flächenträgheitsmomente und das Deviationsmoment auf ein Bezugskoordinatensystem 

y, z berechnet, um sie anschließend auf das parallel verschobene Koordinatensystem y, z 

durch die Schwerachsen umzurechnen. 

b 

Dazu legen wir das Bezugskoordinatensystem y, z fest und 

zeichnen ein Flächenelement dA (Breite b( z), 

Höhe dz ) im 

b( z ) 

Abstand z von der y -Achse ein (Bild 3.2.1). 

y 

dA 

z 

dz 

h 

z 

∫ 

A 

b b( z) 

= 

h h − z 

⎛ z ⎞ 

b( z) 

= b⎜1− 

⎟ 

⎝ h ⎠ 

dA = b( z) dz 


∫ 

A 

h h( y) 

= → (y ist vorzeichengerecht einzusetzen) 

b b+ y 

⎛ y ⎞ 

h( y) 

= h⎜1+ 

⎟ 

⎝ b ⎠ 

y = 0 

0 3 

2⎛ y ⎞ ⎛ 2 y ⎞ 

I z = h ∫ y ⎜1 

+ ⎟d 

y = h y d y 

b ∫ ⎜ + 

b ⎟ 

y = −b 

⎝ ⎠ −b⎝ 

⎠ 

I 

z 

3 4 ⎛ y y ⎞ 

= h ⎜ + 

3 4b 

⎟ 

⎝ ⎠ 

0 

−b 

y 

3 4 

( − b ) ( b ) 

⎛ − 

= −h 

⎜ + 

⎝ 3 4b 

b 

S 

z 

Bild 3.2: Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt 

z 

Bild 3.2.1: Querschnitt mit Be- 

z = h 

z = h 

3 

2 

2⎛ 

z ⎞ ⎛ 2 z ⎞ 

I y = ∫ z dA = b ∫ z ⎜1 

− ⎟d 

z = b z d z 

h ∫ ⎜ − 

h ⎟ 

A 

z = 0 ⎝ ⎠ z = 0⎝ 

⎠ 

zugskoordinatensystem 

y, z und Flächenelement 

dA 

h 

3 4 

3 

⎛ z z ⎞ bh 

I y = b ⎜ − = 

3 4h 

⎟ 

⎝ ⎠ 12 

0 

Für die Berechnung von Iz gehen wir analog vor, allerdings 

b 

benutzen wir das Flächenelement dA = h( y) d y nach Bild 

y dy 

3.2.2. 

2 

I = y dA = 

2 

y h( 

y) 

d y 

y 

dA 

h( 

y) 

z 

Bild 3.2.2: Für die Berechnung 

des Flächenträgheitsmoments 

bezüglich der z -Achse 

h 

3 ⎞ hb 

⎟ = 

⎠ 12 

h

50 

y 

dA 

z 

b 

b( z ) 

y 

Flächenträgheitsmomente und Hauptachsen / Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt 

dz 

Bild 3.2.3: Zur Berechnung des 

Deviationsmoments I yz 

z 

h 

Deviationsmoment: 

∫ 

I yz 

= − yz 

dA (y und z vorzeichengerecht einsetzen; 

A Bild 3.2.3) 

b( 

z) 

y = − ; 

2 

b b( 

z) 

= ; 

h h − z 

⎛ z ⎞ 

b( z) 

= b⎜1− 

⎟ 

⎝ h ⎠ 

( z) 

b b⎛ 

z ⎞ 

y = − = − ⎜1− 

⎟ 

2 2⎝ 

h ⎠ 

I 

I 

yz 

y z 

I 

; dA = b( z) dz 

⎛ b ⎛ z ⎞⎞ 

⎛ z ⎞ 

= −∫ 

⎜− 

⎜1− 

⎟⎟ 

zb 

⎜1− 

⎟ d z 

⎝ 2 ⎝ h ⎠⎠ 

⎝ h ⎠ 

A 

2 z = h 

2 3 

2 2 

b ⎛ z z ⎞ b ⎛ h 2 2 1 2 ⎞ 

= ∫ ⎜ z − 2 + ⎟ 

⎟d 

z = ⎜ − h + h ⎟ 

2 

2 = 0⎝ 

h h ⎠ 2 ⎝ 2 3 4 

z 

⎠ 

bh 

Iyz 

= 

24 

Umrechnung auf die Schwerpunktachsen y und z : 

Mit dem STEINERschen Satz folgt (Bild 3.2.4): 

Iy = Iy + zS A 

2 

⇒ Iy = Iy −zS A 

2 

b 

b 

y 

y 

3 

S 

h 

3 

h 

3 2 

3 

bh ⎛ h ⎞ 1 bh 

I y = − ⎜ ⎟ bh = 

12 ⎝ 3 ⎠ 2 36 

Analog folgt: 

3 

2 

3 

hb ⎛ b ⎞ 1 hb 

I z = − ⎜− 

⎟ bh = 

12 ⎝ 3 ⎠ 2 36 

z 

2 2 

z 

Iyz = Iyz − yS zS A ⇒ Iyz = Iyz + yS zS A 

z 

Bild 3.2.4: Zur Umrechnung auf die 

Schwerpunktsachsen y 

und z 

2 2 

2 2 

b h ⎛ b ⎞ ⎛ h ⎞ 1 b h 

I yz = + ⎜− 

⎟ ⎜ ⎟ bh = − 

24 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 72 

b 

Alternativer Lösungsweg für die Berechnung von Iz y 

y 

dA 

dy 

S 

y 

h(y 

) 

h 

durch Wahl einer anderen Bezugsachse z (Bild 3.2.5): 

h h( 

y) 

h 

= ; h ( y) 

= y (Bild 3.2.5) 

b y 

b 

y = b 

b 

2 

2 h 

I z = ∫ y dA = ∫yydy 

b 

z 

2 3 b 

Bild 3.2.5: Zur Berechnung von I z 

(andere Bezugsachse z ) 

z 

y = 0 0 

h y hb 

= = 

b 4 4 


4 

b 

0 

3 

3 

2 hb ⎛ 2 ⎞ 1 

I z = I z − yS 

A = − ⎜ b⎟ 

bh 

4 ⎝ 3 ⎠ 2 

3 

hb 

Iz 

= 

36 

2

Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt 51 

zu 2. 

Hauptträgheitsmomente und Lage der Hauptachsen für das Seitenverhältnis h/b=2: 

h 

Für das Seitenverhältnis h/b=2 gilt: Iy 

= 

4 

; 

72 

h 

Iz 

= 

4 

, 

288 

h 

Iyz 

=− 

4 

288 

1, 

2 

2 

2 

4 4 

2 1 

2 

2 72 288 

4 4 

2 

4 

2 

1 

4 72 288 288 ⎟ I y + I z 

I = ± 

⎛ I y − I z ⎞ ⎛ h h ⎞ 

⎜ ⎟ + I yz = ⎜ + ⎟ ± 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛ h h ⎞ ⎛ h ⎞ 

⎜ − ⎟ + ⎜ 

⎜− 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛ 

4⎜ 

5 

I 1, 

2 = h ± 

⎜ 

⎝ 

576 

2 

3 4 1 ⎞ 

⎟ 4⎛ 

5 1 

+ ⋅ = h ⎜ ± 

2 

2 

4 ⋅ 288 4 288 ⎟ 

⎠ ⎝ 576 576 

⎞ 

13 ⎟ 

⎠ 

5 13 4 

I12 , h 

576 

= ± 

5 13 4 4 

⇒ I1= h 0 01494 h 

576 

+ 

5 13 4 4 

= , ; I2= h 0 002421 h 

576 

− 

= , 

* 2 Iyz 

tan 2ϕ 

= 

Iy − Iz 

(Richtung der Hauptachsen) 

4 ⎛ h ⎞ 

2 ⎜ 

⎜− 

288 

⎟ 

* 

2 

tan 2 

⎝ ⎠ 

* 

ϕ = = − ; 2ϕ =− 33, 7° 4 4 

h h 3 

− 

72 288 

⇒ 

* ϕ1 =− 16, 85° ; 

* * ϕ2 = ϕ1 

+ 90°= 73, 15° 

Die Zuordnung der Winkel ϕ 1 * und ϕ2 * zu den Hauptträgheitsmomenten (Bild 3.2.6) erhält man 

durch Einsetzen eines Winkels in die folgende Transformationsbeziehung für gedrehte Achsensyste- 

me: 

ϕϕ 1 = -16,85° 

1 

y 

ϕϕ 2 =73,15° 

b h b= 2 

h b= 2 

h = 

2 

S 

z 

Iy + Iz Iy − Iz 

Iη 

= + cos2ϕ+ Iyz 

sin 2ϕ 

2 2 

* 

2ϕ 

= 2ϕ 

= 2 −16, 

85° 

= −33, 

7 

mit ( ) ° 


1 

4 4 

4 4 

1 ⎛ h h ⎞ 1 ⎛ h h ⎞ 

Iη = ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ 

⎟cos 

7 

2 ⎝ 72 288 ⎠ 2 ⎝ 72 288 ⎠ 

4 ⎛ h ⎞ 

+ ⎜ 

⎜− 

⎟ 

⎟sin 

7 

⎝ 288 ⎠ 

( − 33, 

° ) 

( − 33, 

° ) 

⎛ 5 3 1 ⎞ 4 

4 

I η = ⎜ + 0, 

832 − ( − 0, 

555) 

⎟h 

= 0, 

01494h 

= I1 

; 

⎝ 576 576 288 ⎠ 

also gehört zu diesem Hauptträgheitsmoment der Winkel 

* ϕ1 =− 16, 85°. 

* 

* 

Somit ϕ1 = ϕ1 

= − 16, 85° 

und ϕ2 = ϕ2 

= 73, 15° 

(Bild 3.2.6). 

Vorteilhafter lässt sich der Winkel ϕ1, der zwischen der y-Achse und der Hauptachse 1 liegt (Bild 

3.2.6), mit einer der folgenden Formeln direkt berechnen: 

I1 − Iy 

I − I I I 

z 2 yz yz 

tan ϕ1 = = = = 

I I I − I I − I 

yz 

yz 

4 

h 

2 

Bild 3.2.6: Lage der Hauptachsen 

1 und 2 

1 z y 2 

h 

4 

I − I 

− 0, 002421 h 

z 2 

tan ϕ 288 

1 = = 

4 =− 0, 3028 ; ϕ1=− 

16, 85° 

. 

Iyz 

h 

− 

288 

Bei diesem Beispiel ist auch recht anschaulich zu sehen (Bild 3.2.6), dass zu ϕ 1 das größte 

Flächenträgheitsmoment I 1 gehört, da die Produkte (Fläche mal "Abstand zum Quadrat") bezüglich 

der Hauptachse 1 (ϕ 1) größer sind als um die Hauptachse 2 (ϕ 2 ).

52 

Aufgabe 3.3: 

Flächenträgheitsmomente und Hauptachsen / Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt 

Für den Querschnitt (Bild 3.3) sind zu berechnen: 

1. die axialen Flächenträgheitsmomente I y und I z 

sowie das Deviationsmoment I yz bezüglich der 

Schwerpunktachsen y und z, 

2. die Hauptträgheitsmomente I 1 und I 2 und die 

Lage der Hauptachsen. 

Bild 3.3: Unsymmetrischer T-förmiger 

z (Maße in mm) 

Querschnitt 

Lösung: 

zu 1. 

Die Lösung erfolgt mit der Summation über Teilflächen. Dazu wird der Querschnitt in drei Teilflächen 

zerlegt (Bild 3.3.1). Die Ausschnittfläche 3 (Fehlfläche) geht in die Berechnungen für die 

Fläche und die Flächenträgheitsmommente negativ ein. Selbstverständlich kann auch eine andere 

Zerlegung gewählt werden. 

Den folgenden Berechnungen liegt die Einteilung 

nach Bild 3.3.1 zugrunde. 

Lage des Schwerpunkts (Bild 3.3.2): 

n 

yS A 

i i 

i yS 

= 

A 

= 

∑ 

1 

( −1, 

25) 

2, 

5⋅ 

2 + ( − 6, 

25) 

7, 

5 ⋅14 

− ( − 7) 

6 ⋅12, 

5 

yS 

= 

cm 

2, 

5 ⋅ 2 + 7, 

5 ⋅14 

− 6 ⋅12, 

5 

yS = −137, 

5 

cm =−393 

, cm 

35 

n 

zS A 

i i 

i zS 

= 

A 

= 

Bild 3.3.1: Querschnitt in Teilflächen zerlegt (Summation über Teilflächen) 

100 

40 

1 

25 2 

y 20 

15 

zs 

S1 S 

y 

S2 

140 

S3 

3 

∑ 

1 

y 

s 

1252 ⋅ , ⋅ + 77514 ⋅ , ⋅ − 7756125 , ⋅ ⋅ , 

z z (Maße in mm) zS = cm 

2, 5⋅ 2 + 7, 5⋅14 −6⋅12, 5 

Bild 3.3.2: Querschnitt mit Einteilung und 158, 75 

Bezugskoordinatensystem y, z zS = cm = 454 , cm 

35 


20 

y 

40 

25 

= + - 

100 

1 2 

1 

2 3 

3 

S 

15 

140

alternativ: Tabellenrechnung 

Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt 53 

i A i y Si z Si y A 

S i 

i 

z A 

S i 

i 

Dim. - cm 2 cm cm cm 3 cm 3 

1 5 -1,25 1 -6,25 5 

2 105 -6,25 7 -656,25 735 

3 -75 -7 7,75 525 -581,25 

∑ 35 

-137,5 158,75 

= ∑ Ai= A 

= ∑ yS A 

i i = ∑ zS A 

i i 

y 

z 

S 

S 

n 

∑ 

1 

yS A 

i i 

i = = 

A 

− 

= 137, 5 

cm =−393 

, cm 

35 

n 

∑ 

1 

Flächenträgheitsmomente: 

zS A 

i i 

i= 

158, 75 

= = cm = 454 , cm 

A 35 

( ) 2 

z − z 

n n 

I y = ∑ I y + ∑ Ai 

S S (Bild 3.3.2) 

i i 

i= 

1 i= 

1 

Iy = 4 

cm 

3 

252 , ⋅ 

12 

( ) 

⇒ 167 , → Teilfläche 1 , Eigenträgheitsmoment 

2 

+ 2, 5⋅ 

2 ⋅ 1− 

4, 

54 ⇒ 62, 66 → Teilfläche 1 , STEINER-Anteil 

3 

7514 , ⋅ 

+ 

12 

( ) 

⇒ 1715 → Teilfläche 2 , Eigenträgheitsmoment 

2 

+ 7, 5⋅14 

⋅ 7 − 4, 


− ⋅ 6125 

3 

, 

12 

( ) 

⇒ − 976, 56 → Teilfläche 3 , Eigenträgheitsmoment 

2 

− 6 ⋅12, 

5 ⋅ 7, 

75 − 4, 

54 ⇒ −772, 81 → 

665, 38 

Teilfläche 3 , STEINER-Anteil 

Iy = 665, 38 cm 


4 

i A i z Si z z 

S S 

i − ( ) 2 

A z z i − Iyi ( ) 2 

+ A z − z 


i 

S 

S 

I yi 

i Si 

Dim. - cm 2 cm cm cm 4 cm 4 cm 4 

1 5 1 -3,54 62,66 1,67 64,33 

2 105 7 2,46 635,42 1715 2350,42 

3 -75 7,75 3,21 -772,81 -976,56 -1749,37 

∑ 665,38 

= I y 

S

54 

Flächenträgheitsmomente und Hauptachsen / Unsymmetrischer T-förmiger Querschnittt 

( ) 2 

y − y 

n n 

I z = ∑ I z + ∑ Ai 

S S (Bild 3.3.2) 

i i 

i= 

1 i= 

1 

3 

Iz ⋅ 

= 4 

cm 225 , 

12 

2, 5⋅ 

2 ⋅ −1, 

25 − ( − 3, 

93) 

3 

14 ⋅7, 

5 

+ 

12 

7, 5⋅14 

⋅ − 6, 

25 − − 3, 

93 

3 

12, 5⋅ 6 

− 

12 

6 ⋅12, 

5⋅ 

− 7 − − 3, 

93 

( ) 2 

⇒ 260 , → Teilfläche 1 , Eigenträgheitsmoment 

+ ⇒ 35, 91 → Teilfläche 1 , STEINER-Anteil 

( ( ) ) 2 

⇒ 492, 19 → Teilfläche 2 , Eigenträgheitsmoment 

+ ⇒ 565, 15 → Teilfläche 2 , STEINER-Anteil 

( ( ) ) 2 

⇒ − 225 → Teilfläche 3 , Eigenträgheitsmoment 

− 

4 

Iz = 163, 98 cm 

⇒ −706, 87 → 

163, 98 

Teilfläche 3 , STEINER-Anteil 


i Ai ySi yS yS 

i S S 

I zi 

i Si 

S 


1 5 -1,25 2,68 35,91 2,60 38,51 

2 105 -6,25 -2,32 565,15 492,19 1057,34 

3 -75 -7 -3,07 -706,87 -225 -931,87 

∑ 163,98 

= Iz ( y − y )( z − z ) 

n 

n 

I yz = ∑ I yz − ∑ A 

i i Si 

S Si 

i= 

1 i= 

1 

S 

i − ( ) 2 

A y y i − Izi ( ) 2 

+ A y − y 

(Bild 3.3.2) 

Das Deviationsmoment Iyz ergibt sich ausschließlich aus STEINER-Anteilen, da die Deviationsmomente 

der Rechtecke bezüglich ihrer eigenen Schwerpunktachsen (Symmetrieachsen) null sind. 

Iyz = ( ( ) )( ) 

4 

cm 54 , 4 1 93 , 3 25 , 1 2 5 , 2 − − − − ⋅ ⋅ − ⇒ 47, 44 → Teilfläche 1 , STEINER-Anteil 

− 7, 5⋅14⋅ 

− 6, 

25 − − 3, 

93 7 − 4, 


( ( ) )( ) 

( −6⋅12, 

5⋅ 

( − 7 − ( − 3, 

93) 

)( 7, 

75 − 4, 

54) 

) 

− 

4 

Iyz =−92, 40 cm 

⇒ −739, 10 → Teilfläche 3 , STEINER-Anteil 

− 92, 40 


i Ai y − y z z 

SiS i − i( 

yS 

− yS 

)( zS 

− zS 

) Iyzi yz − Ai 

( yS 

− yS 

)( zS 

− zS 

) 

S S 

A i 

i 

I i 

i 

i 


1 5 2,68 -3,54 -47,44 0 47,44 

2 105 -2,32 2,46 -599,26 0 599,26 

3 -75 -3,07 3,21 739,10 0 -739,10 

∑ -92,40 

= I yz 


zu 2. 

Hauptträgheitsmomente und Lage der Hauptachsen: 

I y + I z 

I 1, 

2 = ± 

2 

⎛ I y − I z ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

+ I yz 

⎛ 

⎜ 665, 

38 + 163, 

98 

I 1, 

2 = 

± 

⎜ 2 

⎝ 

2 

⎛ 665, 

38 −163, 

98 ⎞ 

⎜ 

⎟ + 

⎝ 2 ⎠ 

I 

1, 

2 

I1 I2 = 

4 

( 414 , 68 ± 267, 

19) 

cm 

= 681, 87 cm 

4 

= 147, 49 cm 

4 

Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt 55 

2 

2 4 

( − 92, 

40) 

cm 

* 2 Iyz 

tan 2ϕ 

= 


Iy − Iz 

* 2( 

− 92, 

40) 

* * * * 

tan 2ϕ 

= 

= − 0, 

3686 ; 2ϕ =− 20, 2° ⇒ ϕ1 =− 10, 1° ; ϕ2 = ϕ1 

+ 90°= 79, 9° 

665, 

38 −163, 

98 


durch Einsetzen eines Winkels in die folgende Transformationsbeziehung für gedrehte Achsensysteme: 

ϕ 1 = -10,1° 

1 

y 

ϕ 2 =79,9° 


⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 


Iη 


sin 2ϕ 

2 2 

* 

2ϕ 

= 2ϕ 

= 2 −10, 

1° 

= −20, 

2 

mit ( ) ° 

1 

665, 38 + 163, 

98 4 665, 

38 −163, 

98 4 

Iη 

= cm + 

cm cos 

2 

2 

2 

4 

+ − 92, 

40cm 

sin − 20, 

2° 

( ) ( ) 

4 

4 

( 414, 68 + 235, 

28 + 31, 

9) 

cm = 681, 

86 cm I1 

( − 20, 

° ) 



I1 − Iy 

I − I I I 

z 2 yz yz 

tan ϕ1 = = = = 

I I I − I I − I 

yz 

yz 

1 z y 2 

Iyz 

− 92, 40 

tan ϕ1= = 

=− 0, 1784 ; ϕ1=− 

10, 1° 

. 

I − I 665, 38 −147, 

49 

y 

2 

S 

I η = 

= ; 

z 

also gehört zu diesem Hauptträgheitsmoment der Winkel 

2 

* ϕ1 =− 10, 1°. 


* 

* 


= − 10, 1° 

und ϕ2 = ϕ2 

= 79, 9° 

(Bild 3.3.3). 

1 und 2

56 

Aufgabe 3.4: 

Flächenträgheitsmomente u. Hauptachsen / Gedrehter Rechteckquerschnitt 

Für den gegebenen Rechteckquerschnitt (Bild 3.4) 

sollen die Flächenträgheitsmomente bezüglich der 

horizontalen η-Achse und der vertikalen ς -Achse 

sowie das Deviationsmoment I ης berechnet werden. 

Lösung: 

8 cm η 

8 cm η 

Zunächst berechnen wir für das gewählte y,z-Koordinatensystem 

(Bild 3.4.1) nach den bekannten Formeln 

für ein Rechteck die Trägheitsmomente Iy und Iz. 3 

10 ⋅5 

4 

4 

Iy = cm = 104, 17cm 

12 

Iz = ⋅ 

3 

510 4 

4 

cm = 416, 7cm 

12 

I yz = 0 (wegen Symmetrie) 

8 

α = arctan = 53, 13 ° 

6 

Bild 3.4.1: Zur Umrechnung der Flächen- Es gilt folgende Transformation der Flächenträgheitsträgheitsmomente 

auf das gemomente auf ein gedrehtes Koordinatensystem (Bild 

drehte ης ης , -Koordinatensystem 3.4.1): 


Iη 

= + cos2α+ Iyz 

sin 2α 

2 2 


Iς 

= − cos2α−Iyz sin 2α 

2 2 

Iy − Iz 

Iης 

=− sin 2α+ Iyz 

cos 2α 

2 

Mit den oben ausgerechneten Werten folgt: 

I η = 

I ς = 

I ης = 

y 

z 

αα 

ςς 

6 cm 

S 

10 cm 

5 cm 

8 cm η 

8 cm η 

⎛104, 

17 + 416, 

7 104, 

17 − 416, 

7 

⎞ 4 

⎜ 

+ 

cos 2⋅ 

53, 

13° 

+ 0⎟ 

cm = 

⎝ 2 

2 

⎠ 

⎛104, 

17 + 416, 

7 104, 

17 − 416, 

7 

⎞ 4 

⎜ 

− 

cos 2⋅ 

53, 

13° 

− 0⎟ 

cm = 

⎝ 2 

2 

⎠ 

⎛ 104, 

17 − 416, 

7 

⎞ 4 

4 

⎜− 

sin 2⋅ 

53, 

13° 

+ 0⎟ 

cm = 150 cm 

⎝ 2 

⎠ 

6 cm 

Bild 3.4: Gedrehter Rechteckquerschnitt 

304, 

2 

216, 

7 


ςς 

cm 

cm 

4 

4 

S 

10 cm 

5 cm

Aufgabe 3.5: 

Der Querschnitt nach Bild 3.5 ist aus einem 350 

(DIN 1026), einem 300 (DIN 1026) und einem 

ungleichschenkligen Winkelstahl 150×100×10 

(DIN 1029) zusammengesetzt (geschweißt). 

Zu berechnen sind: 

1. die axialen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz sowie das Deviationsmoment Iyz bezüglich der 

Schwerpunktachsen y und z, 

2. die Hauptträgheitsmomente I1 und I2 und die 

Lage der Hauptachsen. 

Hinweis: Die benötigten Angaben für die Profile 

sind aus geeigneten Handbüchern (z.B. Stahlbau- 

Taschenkalender) zu entnehmen. 

Lösung: 

zu 1. 

Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt 57 

Die Lösung erfolgt mit der Summation über Teilflächen. Teilflächen sind in diesem Falle die drei 

Profilquerschnitte (Bild 3.5.1). Zuerst schreiben wir uns die erforderlichen Kenndaten für die Profile 

aus entsprechenden Profiltafeln heraus (Tabellen 1 und 2): 

Tabelle 1; Teilflächen 1 und 2 : 

y 

y 

1 

350 

Tabelle 2; Teilfläche 3 : 

η y 

ζ 

S 1 

x 

ex 3 

S 3 

S 

z 

ey α 

y 

y s 

150 ×100× 10 

ζ 

x 

η 

S 2 

300 

Bild 3.5.1: Einteilung des Querschnitts 

und Festlegung eines Bezugskoordinatensystems 

y, z 

z 

2 

z s 


y 

x x h 

e y 

y 

b 

y 

350 

350: Teilfläche 1 

h = 350mm 

b = 100mm 

A = 77, 3cm 

2 

4 

Ix = 12840cm 

4 

Iy = 570cm 

ey = 240 , cm 

300: Teilfläche 2 

h = 300mm 

b = 100mm 

A = 58, 8cm 

2 

Ix = 8030cm 

4 

Iy = 495cm 

ey = 270 , cm 

150×100×10: 

2 

A = 24, 2cm 

ex = 480 , cm 

ey = 234 , cm 

4 

Ix = 552cm 

4 

Iy = 198cm 

Lage der Achse η − η: 

tan α = 0, 442 

S 

z 

150 ×100× 10 

300 

Bild 3.5: Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter 

Querschnitt 

4

58 

Flächenträgheitsmomente u. Hauptachsen / Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt 

Für die Berechnung der Schwerpunktlage legen wir zweckmäßig die Bezugsachsen y und z so, 

dass sie mit jeweils einer Schwerachse der beiden -Profile zusammenfallen (Bild 3.5.1). 

i A i y Si z Si y A 

S i 

i 

z A 

S i 

i 

Dim. - cm 2 cm cm cm 3 cm 3 

1 77,3 17,4 0 1345,02 0 

2 58,8 0 14,8 0 870,24 

3 24,2 10,2 -15,16 246,84 -366,87 

∑ 160,3 

1591,86 503,37 

= ∑ Ai= A 

= ∑ yS A 

i i = ∑ zS A 

i i 

y 

z 

S 

S 

n 

∑ 

1 

yS A 

i i 

i= 

1591, 86 

= = cm = 993 , cm 

A 160, 3 

n 

∑ 

1 


zS A 

i i 

i= 

503, 37 

= = cm = 314 , cm 

A 160, 3 

( ) 2 

z − z 

n n 

I y = ∑ I y + ∑ Ai 

S S (Bild 3.5.1) 

i i 

i= 

1 i= 

1 

i A i z Si z z 

S S 

i − ( ) 2 

A z z i − Iyi ( ) 2 

+ A z − z 


i 

S 

S 

I yi 

i Si 


1 77,3 0 -3,14 762,15 12840 13602,15 

2 58,8 14,8 11,66 7994,19 495 8489,19 

3 24,2 -15,16 -18,30 8104,34 198 8302,34 

∑ 30393,68 

= I y 

Iy = 30393, 68 cm 

4 

( ) 2 

y − y 

n n 

I z = ∑ I z + ∑ Ai 

S S (Bild 3.5.1) 

i i 

i= 

1 i= 

1 

i A i y Si y y 

S S 

i − ( ) 2 

A y y i − Izi ( ) 2 

+ A y − y 

i 

S 

S 

I zi 

i Si 


1 77,3 17,4 7,47 4313,41 570 4883,41 

2 58,8 0 -9,93 5797,97 8030 13827,97 

3 24,2 10,2 0,27 1,76 552 553,76 

∑ 19265,14 

= I z 

Iz = 19265, 14 cm 

4 

S 

S

Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt 59 

( y − y )( z − z ) 

n 

n 

I yz = ∑ I yz − ∑ A 

i 

i Si 

S Si 

i= 

1 i= 

1 

S 

(Bild 3.5.1) 

Für den ungleichschenkligen Winkelstahl (Teilfläche 3 ) ist in der Profiltafel kein Deviationsmoment 

angegeben, statt dessen wird der Tangens der Winkeldrehung des Hauptachsensystems gegenüber 

dem Ausgangssystem angegeben (Tabelle 2, Seite 57). Mit dem Additionstheorem 

2 tan α 

tan 2α 

= 2 

1− 

tan α 

2I 

yz 

tan 2α 

= 

I − I 

y z 

folgt aus 

(Richtung der Hauptachsen) für das Deviationsmoment 

tanα 

I yz = ( I y − 

{ { 

I z ) 2 

1− 

tan α 

↓ ↓ 

(1) 

Ix Iy ← Bezeichnungen in der verwendeten Profiltafel (Tabelle 2, Seite 57) 

Da diese Gleichung (1) stets positive Werte liefert, das Vorzeichen des Deviationsmoments aber 

von der Lage des Profilquerschnitts im Bezugskoordinatensystem abhängt, ist die folgende 

Überlegung notwendig. 

Die allgemeine Definition des Deviationsmoments lautet: 

− = 

Einzelschwerpunkte 

I yzdA 

. (2) 

Iyz 0 y 

3 3 S3 y 

i Ai y − y z z 

SiS S S 


yz 

∫ 

A 

Wenn wir nun den ungleichschenkligen Winkelstahlquerschnitt 

(Teilfläche 3 ) in zwei Rechteckflächen zerlegen 

und die Lage ihrer Einzelschwerpunkte (Bild 3.5.2) im 

y3, z3-Koordinatensystem 

betrachten, sehen wir, dass die 

y3⋅z3-Produkte jeweils bezüglich der Einzelschwerpunkte 

im y3, z3-Koordinatensystem 

ein positives Vorzeichen haben. 

Unter Berücksichtigung der obigen allgemeinen Definition 

(Gleichung (2)) ergibt sich also ein negatives Vorzeichen 

von Iyz3 . 

Aus dieser Überlegung und der obigen Gleichung (1) folgt 

nun für die Teilfläche 3 : 

4 0, 

442 

4 

I yz = −( 

552 −198) 

cm = −194, 

5cm 

. 

3 

2 

1− 

0, 

442 

i − i( 

yS 

− yS 

)( zS 

− zS 

) Iyzi yz − Ai 

( yS 

− yS 

)( zS 

− zS 

) 

A i 

i 

I i 

i 

i 


1 77,3 7,47 -3,14 -1813,13 0 1813,13 

2 58,8 -9,93 11,66 -6808,09 0 6808,09 

3 24,2 0,27 -18,30 -119,57 -194,5 -74,93 

∑ 8546,29 

= I yz 

Iyz = 8546, 29 cm 

4 

z 3 

Bild 3.5.2: Zur Erläuterung des Vorzeichens 

von Iyzi (Teilfläche 

3 ) 

z

60 

Flächenträgheitsmomente u. Hauptachsen / Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt 

zu 2. 


2 

I y + I z 

I 1, 

2 = ± 

2 

⎛ I y − I z ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

+ I yz 

⎛ 

⎜ 30393, 

68 + 19265, 

14 

I 1, 

2 = 

± 

⎜ 2 

⎝ 

2 

⎛ 30393, 

68 −19265, 

14 ⎞ 

⎞ 

2 4 

⎜ 

⎟ + 8546, 

29 

⎟ 

cm 

⎝ 2 ⎠ 

⎟ 

⎠ 

I 

1, 

2 

I1 I2 = 

4 

( 24829 , 41± 

10198, 

05) 

cm 

= 35027, 46 cm 

= 14631, 36 cm 

4 

4 

* 2 Iyz 

tan 2ϕ 

= 


Iy − Iz 

* 2⋅ 8546, 29 

tan 2ϕ 

= 

= 1, 536 

30393, 68 −19265, 

14 

* * * * 

2ϕ = 56, 93° ⇒ ϕ1 = 28, 465° ; ϕ2 = ϕ1 

+ 90°= 118, 465° 

* * 

Die Zuordnung der Winkel ϕ1 und ϕ2 zu den Hauptträgheitsmomenten (Bild 3.5.3) erhält man 

durch Einsetzen eines Winkels in die folgende Transformationsbeziehung für gedrehte Achsensyste- 

me: 

350 


Iη 


sin 2ϕ 

2 2 

mit 2ϕ = 2ϕ = 2⋅ 28, 465°= 56, 93° 

ϕ =28,465° 

1 

S 

30393, 68 + 19265, 14 4 

Iη = 

cm 

2 

y 

30393, 68 −19265, 

14 4 

+ 

cm cos 56, 93° 

2 

1 

4 

+ 8546, 29cm sin 56, 93° 

z 

300 

4 

I η = ( 24829 , 41+ 

3036, 

22 + 7161, 

83) 

cm 

ϕ 

2 

=118,465° 

4 

Iη = 35027, 46 cm = I1; 

also gehört zu diesem Hauptträgheitsmoment der 

2 

Bild 3.5.3: Lage der Hauptachsen 1 und 2 

* 

Winkel ϕ1 = 28, 465°. 

* 

* 


= 28, 465° 

und ϕ2 = ϕ2 

= 118, 465° 

(Bild 3.5.3). 



I1 − Iy 

I − I I 

z 2 yz 

tan ϕ1 = = = 

I I I − I 

Iyz 

= 

I − I 

yz 

yz 

1 z y 2 

Iyz 

8546, 29 

tan ϕ1= = 

= 0, 5422 ; ϕ1= 

28, 46° 

. 

I − I 35027, 46 −19265, 

14 

1 

z 

150 ×100× 10 


* 

1

Aufgabe 3.6: 

Für den Querschnitt (Bild 3.6) sind zu 

berechnen: 

1. die axialen Flächenträgheitsmomente I y 

und I z sowie das Deviationsmoment I yz 

bezüglich der Schwerpunktachsen y und 

z, 

2. die Hauptträgheitsmomente I 1 und I 2 

und die Lage der Hauptachsen. 

Aus Grundflächen zusammengesetzter Querschnitt 61 

y 

2a 

3a 3a 

a 

z 

Bild 3.6: Aus Grundflächen (Rechteck, Dreieck, Halbkreis) 

zusammengesetzter Querschnitt 

Lösung: 

zu 1. 

Die Lösung erfolgt mit der Summation über Teilflächen. Dazu wird der Querschnitt in fünf 

Teilflächen zerlegt (Bild 3.6.1). Die Ausschnittflächen (Fehlflächen) 2 , 3 , 4 und 5 gehen in 

die Berechnungen negativ ein. 

= - - - - 

Bild 3.6.1: Querschnitt in fünf Teilflächen zerlegt (Summation über Teilflächen) 

y,y 

2a 

S5 2 

3a 3a 

S 2 

a 

SS , 1 

S 3 

1 

2a 

Für die Ermittlung der Schwerpunktlage 

legen wir die Bezugsachsen y und z 

durch den Schwerpunkt der Teilfläche 1 

(Rechteck) (Bild 3.6.2). Da die statischen 

Momente der übrigen Teilflächen auf beiden 

Seiten der Bezugsachsen y und z die 

gleichen Beträge haben, liegt der Gesamtschwerpunkt 

auf diesen Bezugsachsen. 

Somit y S = 0 und z S = 0. 


4a 

5 a 

3 

z ,z 

Bild 3.6.2: Querschnitt mit Einteilung und Bezugsachsensystem 

y, z 

1 

a 

a 

4 

S 4 

2 

a 

S 

3 

a 

a 

4 

2a 

4a 

5

62 

Flächenträgheitsmomente u. Hauptachsen / Aus Grundflächen zusammengesetzter Querschnitt 


Bevor wir die Tabellenrechnung durchführen, schreiben wir uns die wichtigsten Formeln für die 

Teilflächen (Halbkreis und Dreieck) aus geeigneten Handbüchern oder Formelsammlungen heraus 

(Formeln für eine Rechteckfläche sollten bekannt sein). 

Teilfläche 2 und 3 (Halbkreis): 

y 

Teilfläche 4 und 5 (Dreieck): 

y 

r 

S 

z 

S 

z 

b b 

( ) 2 

z − z 

n n 

I y = ∑ I y + ∑ Ai 

S S (Bild 3.6.2) 

i i 

i= 

1 i= 

1 

i Ai 

2 

a 

b 

3 

h 

3 

h 

zSi 

a 

e 

y 

b 

3 

A= r 

π 2 

2 

Iy = 0 1098 r 

4 

, 

4 

Iz = 0, 3927 r 

e = 0, 4244 r 

Iyz = 0 


S 

z 

z z 

a 

SiS − 

h 

3 

h 

2 ( z z ) 

Ai Si 

4 

S − 

a 

I 

a 

A bh 

= 

2 

bh 

Iy 

= 

3 

36 

hb 

Iz 

= 

3 

36 

I 

yz = 

2 2 

bh 

72 

yi I y + Ai 

( zS 

− zS 

) 

i 

i 

4 

1 

2 

24 

−1, 5708 

0 

−1, 5756 

0 

−1, 5756 

0 

−3, 8995 

32 

−0, 1098 

32 

−4, 0093 

3 −1, 5708 1, 5756 1, 5756 −3, 8995 −0, 1098 −4, 0093 

4 −1 −1, 3333 −1, 3333 −1, 7777 −0, 2222 −2 

5 −1 1, 3333 1, 3333 −1, 7777 −0, 2222 −2 

∑ 19, 9814 

4 

= Iy / a 

Iy = 19 9814 a 

4 

, 

a 

4 

2

( ) 2 

y − y 

n n 

I z = ∑ I z + ∑ Ai 

S S (Bild 3.6.2) 

i i 

i= 

1 i= 

1 

i Ai 

2 

a 

Aus Grundflächen zusammengesetzter Querschnitt 63 

ySi 

a 

y y 

a 

SiS − 

2 ( y y ) 

Ai Si 

4 

S − 


a 

I 

zi I z + Ai 

( yS 

− yS 

) 

i 

i 

4 

1 24 0 0 0 72 72 

2 

3 

−1, 5708 

−1, 5708 

1 

−1 

1 

−1 

−1, 5708 

−1, 5708 

− 0, 3927 

− 0, 3927 

−1, 9635 

−1, 9635 

4 −1 −2, 6666 −2, 6666 −7, 1111 − 0, 0555 −7, 1667 

5 −1 2, 6666 2, 6666 −7, 1111 − 0, 0555 −7, 1667 

∑ 53, 7396 

= Iz a / 

4 

Iz = 53 7396 a 

4 

, 

( y − y )( z − z ) 

n 

n 

I yz = ∑ I yz − ∑ A 

i i Si 

S Si 

i= 

1 i= 

1 

i Ai 

2 

a 

y y 

a 

SiS − 

S 

z z 

SiS − 

a 

(Bild 3.6.2) 

( y − y )( z − z ) 

Ai Si 

S Si 

S 

4 

a 

I 

yz i 

a 

a 

I yz − Ai 

( yS 

− yS 

)( zS 

− zS 

) 

i 

i 

i 

4 

1 24 0 0 0 0 0 

2 −1, 5708 1 −1, 5756 2, 4750 0 −2, 4750 

3 −1, 5708 −1 1, 5756 2, 4750 0 −2, 4750 

4 −1 −2, 6666 −1, 3333 −3, 5556 − 0055 , 35 , 

5 −1 2, 6666 1, 3333 −3, 5556 − 0055 , 35 , 

∑ 

205 , 

4 

= Iyz / a 

Iyz = 205a 4 

, 

zu 2. 


I y + I z ⎛ I y − I z ⎞ 

I 1, 

2 = ± ⎜ ⎟ + I 

2 ⎝ 2 ⎠ 

2 

2 

yz 

4 

4 

19, 

9814a 

+ 53, 

7396a 

I 1, 

2 = 

± 

2 

4 4 

I12 , = 36, 8605a ± 17, 0031a 

4 

I1= 53, 8636a 

4 

4 

⎛19, 9814a 

− 53, 

7396a 

⎞ 

⎜ 

2 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

+ 

I 

4 

= 19, 8574a 

2 

2 

( ) 2 4 

2, 

05a 

a 

a 

4 

4 

2

64 


* 2 Iyz 

tan 2ϕ 

= 


Iy − Iz 

4 

* 2205 ⋅ , a 

tan 2ϕ 

= 

=−0, 

12145 

4 4 

19, 9814a − 53, 7396a 

* * * * 

1 2 1 

2ϕ =− 6, 92° ⇒ ϕ =− 3, 46° ; ϕ = ϕ + 90°= 86, 54° 


durch Einsetzen eines Winkels in die folgende Transformationsbeziehung für gedrehte Achsensysteme: 


Iη 


sin 2ϕ 

2 2 

* 

1 

mit 2ϕ 

= 2ϕ 

= 2( 

− 3, 

46° 

) = −6, 

92° 

4 

4 

4 

4 

19, 9814a 

+ 53, 

7396a 

19, 

9814a 

− 53, 

7396a 

4 

Iη = + 

cos 

92 

2 

2 

4 4 4 4 

Iη = 36, 8605a −16, 7561a − 0, 2470a = 19, 8574a 

= I ; 

y 

ϕ 1 =86,54° 

ϕ 2 =176,54° 

Bild 3.6.3: Lage der Hauptachsen 1 und 2 

( −6, 

92° 

) + 2, 

05a 

sin( 

−6, 

° ) 


2 

also gehört zu diesem Hauptträgheitsmoment 

* 

=− 346 , °. 

der Winkel 

ϕ 1 

Folglich gehört der andere 

Winkel (86,54°) zu I1; somit 

* ϕ1 = ϕ2 

= 86, 54° 

(Bild 3.6.3). 

Da die Hauptachse 2 der Hauptachse 

1 in einem Rechts-Koordinatensystem 

vorauseilen muss 

(Bild 3.6.3), ist: 

* 

ϕ2 = ϕ1 

+ 180°= − 3, 46°+ 180° 

= 176, 54° 

. 



I1 − Iy 

I − I I I 

z 2 yz yz 

tan ϕ1 = = = = 

I I I − I I − I 

yz 

yz 

1 z y 2 

I1−I 4 4 

y 53, 8636 a −19, 

9814 a 

tan ϕ1= = 

= 16, 5279 ; ϕ , 

4 

1 = 86 54° 

. 

I 

205 , a 

yz 

1 

S 

z 

2 

ϕ 2

Aufgabe 3.7: 

Für den Querschnitt (Bild 3.7) sind zu berechnen: 

1. die Schwerpunktlage, 

2. die axialen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz sowie das Deviationsmoment 

Iyz bezüglich der Schwerpunktachsen y und z, 

3. die Hauptträgheitsmomente I1 und I2 und die Lage der Hauptachsen. 

Lösung: 

zu 1. 

33a 

3 a 

33a 

3 a 

zu 2. 

Trapezförmiger Querschnitt 65 

Die Lösung erfolgt mit der Summation zweier Teilflächen 

(Rechteck � und Dreieck �) (Bild 3.7.1). 

Für die Berechnung der Schwerpunktlage legen wir Bezugsachsen 

y und z fest (Bild 3.7.1). 

y 

z 

S 

S 

= 

= 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

5 2 5 15 2 

y A a 15a 

+ a a 

Si 

i 

20 

= 2 3 2 = a = 2, 

22 

a 

A 

15 

i 

2 2 

15a 

+ a 

9 

2 

9 2 2 15 2 

z A a 15a 

+ 3a 

a 

Si 

i 

11 

= 2 3 2 = a = 3, 

666 

a 

A 

15 

i 

2 2 

15a 

+ a 

3 

2 

Flächenträgheitsmomente 

Teilfläche � (Rechteck) Teilfläche � (Dreieck) 

y 

b 

S 

z 

h 

A = b h 

3 

bh 

I y = 

12 

3 

hb 

I z = 

12 

I yz = 0 

y 

b 

S 

z 

b 

b 

3 

h 3 h 

∑ 

∑ 

I y = I y + A 

i i Si 

∑ 

y 

y 

1 

( z − z ) 

2 

S 

i A i z Si 

S zS 

1 

2 

S 1 

5a 5a 5a 5a 

S 

S 2 

z 

y 

y 

S 

2 

z 

z S 

Bild 3.7.1: Querschnitt mit Einteilung 

und Bezugsachsensystem y y , z 

2 

15a 

9 

a 

2 

5 

a 

6 

15 2 

a 

2 

2a 

5 

− a 

3 

z i − ( ) 2 

A z z i − yi 

A bh 

= 

2 

bh 

Iy 

= 

3 

36 

hb 

Iz 

= 

3 

36 


i 

S 

375 

a 

36 

125 

a 

6 

4 

4 

S 

33a 

3 a 

33a 

3 a 

I yz 

= − 

b 

72 

2 2 

h 

I ( ) 2 

135 

a 

12 

135 

a 

36 

4 

4 

y 

S 

z 

5a 5a 5a 5a 

Bild 3.7: Trapezförmiger 

Querschnitt 

I y + Ai 

z 

i Si 

− z 

780 4 

a 

36 

885 4 

a 

36 

1665 4 

a = 

36 

S 

I y

66 

∑ 

I y 


1665 

= a 

36 

∑ 

4 

185 

= a 

4 

∑ 

I z = I z + A 

i i Si 

I z 

4 

( y − y ) 

= 46, 

25 a 

2 

i A i 

S 

y Si 

S yS 

1 

2 

2 

15a 

5 

a 

2 

5 

a 

18 

15 2 

a 

2 

5 

a 

3 

5 

− a 

9 

14625 4 1625 4 

= a = a = 45, 

14a 

324 36 

∑ 

∑ 

4 

y i − ( ) 2 

4 

A y y i − zi 


i 

S 

375 

a 

324 

375 

a 

162 

( yS 

− yS 

)( zS 

− z ) 

i 

z − z ( y − y )( z − z ) 

i 

I yz = I yz − i Ai 

i S 

i A i yS − y i S S S Ai Si 

S Si 

S 

yzi 

375 4 

a 0 

1 2 

15a 

5 

a 

18 

5 

a 

6 

2 

15 2 

a 

2 

5 

− a 

9 

5 

− a 

3 

∑ 

108 

375 

a 

54 

2925 4 325 4 

4 

I yz = − a = − a = −13, 

54a 

216 24 

zu 3. 


I y + I z ⎛ I y − I z ⎞ 2 

I 1, 

2 = ± ⎜ ⎟ + I yz , 

2 ⎝ 2 ⎠ 

2 

4 ⎛ − 

4 

2 

4 

4 

S 

I ( ) 2 

375 

a 

12 

375 

a 

36 

4 

4 

I z + Ai 

y 

i Si 

− y 

10500 4 

a 

324 

4125 4 

a 

324 

14625 4 

a = 

324 

S 

I z 

I − A ( y − y )( z − z ) 

225 

− a 

72 

4 

( ) 2 4 

13, 

54a 

4 

4 

4 

46, 

25a 

+ 45, 

14a 

46, 

25a 

45, 

14a 

⎞ 

I1, 2 = ± 

+ − 

2 ⎜ 

2 ⎟ 

, 

⎝ 

⎠ 

I ± 

4 

4 

1, 

2 = 45, 695a 

13, 

551a 

, 

4 

I 1 = 59, 246a 

, 

I yzi 

i Si 

S Si 

375 4 

− a 

108 

2175 

− a 

216 

4 

2925 4 

− a = 

216 

4 

I 2 = 32, 144a 

. 

Der Winkel ϕ1, der zwischen der y-Achse und der Hauptachse 1 liegt (Bild 3.7.2), wird mit einer 

der folgenden Formeln direkt berechnet: 

I1 − Iy 

I − I I I 

z 2 yz yz 

tan ϕ1 = = = = , 

Iyz 

Iyz 

I1−IzIy−I2 4 

4 

I1 

− I y 59, 

246 a − 46, 

25 a 

tanϕ 1 = = 

= − 0, 

9598 , 

4 

I yz −13, 

54 a 

ϕϕ ϕϕ 1 = - 43,825° 

y 

S 

2 

ϕ 1 = − 43, 

825° 

. 

z 1 

I yz 


1 und 2 

S

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