Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Taschenbuch
der
Mathematik
I.N. Bronstein
K.A. Semendjajew
G. Musiol
H. Mühlig
8., vollständig überarbeitete Auflage
Verlag
Harri
Deutsch
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Im Auftrag des Verlages Harri Deutsch erarbeitete und erweiterte Lizenzausgabe der bis 1977 erschienenen
russischen Orginalausgabe:
I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten
©FIZMATLIT, Moskau
Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH
Gräfstraße 47
60486 Frankfurt am Main
verlag@harri-deutsch.de
www.harri-deutsch.de
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
ISBN 978-3-8171-2008-6 (Buch)
ISBN 978-3-8171-2018-5 (Buch mit CD-ROM)
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.
Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches – oder von
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Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit
von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.
8., vollständig überarbeitete Auflage 2012
©Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2012
Druck: Clausen & Bosse, Leck
Printed in Germany
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Vorwort zur achten deutschen Auflage
Ein Nachschlagewerk und Taschenbuch der Mathematik, wie es der ” BRONSTEIN“ darstellt, lebt insbesondere
auch dadurch, dass die Autoren von Auflage zu Auflage den sich wandelnden Anforderungen
eines breiten Nutzerkreises gerecht werden und immer wieder den praxisnahen zeitgerechten Bezug sicherstellen.
So ist die 8. deutsche Auflage eine bearbeitete und ergänzte Version der 7. deutschen Auflage.
Das Taschenbuch enthält einen Querschnitt der Mathematik, wie er sowohl für Studenten als auch
für praktisch tätige Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker sowie für die einschlägigen
Hochschullehrer erforderlich ist. Dem traditionellen Anliegen des Buches – vorgegegeben von den Erstautoren
I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew (1937) – folgend, stehen Anschaulichkeit und
leichte Verständlichkeit für den Ingenieur und Naturwissenschaftler im Vordergrund. So sind für diesen
Nutzerkreis Grenzen der Anwendbarkeit und Hinweise auf Besonderheiten bei Anwendungen wichtiger
als möglichst allgemeine Formulierungen und strenge mathematische Beweise. Für weitergehende
Fragen wird jeweils auf die Fachliteratur verwiesen.
Ein Anliegen bei der Vorbereitung der 8. deutschen Auflage war auch darauf gerichtet, neueren Ansprüchen
gerecht zu werden, die sich insbesondere aus der Korrespondenz mit Lesern, Fachkollegen
und Koautoren ergeben hatten. Im Gefolge sind eine Reihe kleinerer Änderungen und Ergänzungen
entstanden, darunter neue, instruktive Beispiele.
Daneben galt das Augenmerk der weiteren Verbesserung der Verständlichkeit und der Anschaulichkeit.
Auch für die 8. deutsche Auflage steht wieder eine aktuelle elektronische Version zur Verfügung, die
den kompletten Inhalt des Buches als vernetzte HTML–Struktur mit farbigen Abbildungen und einer
integrierten Suchfunktion enthält. Diese auf einem erweiterten Index basierende Suchmöglichkeit, die
einen schnellen Zugriff auf alle Inhalte zu einem vorgegebenen Stichwort erlaubt, hat sich als ausgesprochen
nützlich erwiesen; desgleichen die Tatsache, dass der elektronische BRONSTEIN auf allen
gängigen Plattformen ohne Installation direkt von der CD-ROM läuft. So bietet der BRONSTEIN mit
seinem hohen Informationsgehalt einen schnellen Zugriff auf ein breites mathematisches Wissen.
Wie bereits in der 7. Auflage praktiziert, enthält die CD–ROM auch diesmal nicht nur den Inhalt des
gesamten Buches, sondern zusätzlich die beiden seit der 7. Auflage eingebrachten Kapitel ” Mathematische
Grundlagen der Quantenmechanik“ und ” Quantencomputer“. Das Unterkapitel ” Lie–Gruppen
und Lie–Algebren“ im Buch ist vorwiegend für Ingenieure gedacht, die in der CD–ROM enthaltene
Variante für Physiker. In Ergänzung zum Buch werden im Unterkapitel ” Partielle Differentialgleichungen“
der CD–ROM auch weiterführende Methoden für partielle Differentialgleichungen behandelt.
Allen Lesern, Fachkollegen und Koautoren, die mit ihren Stellungnahmen, Bemerkungen, Anregungen
und Zuarbeiten zu den vorangegangenen Auflagen des Buches die Überarbeitung erleichtert haben,
möchten wir an dieser Stelle unseren herzlichen Dank zum Ausdruck bringen. Besonderer Dank gilt
Herrn Dipl.-Math. Walter Heß für zahlreiche kritische Hinweise.
Dem Verlag Harri Deutsch, insbesondere Herrn Dipl.-Phys. Klaus Horn, danken wir für die seit vielen
Jahren bestehende fruchtbare Zusammenarbeit.
Dresden, im März 2012
Prof. Dr. Gerhard Musiol Prof. Dr. Heiner Mühlig
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II
Aus dem Vorwort zur siebten Auflage
Für die Neubearbeitung des BRONSTEIN (1992) hatten sich der Verlag Harri Deutsch und die neuen
Herausgeber und Autoren G. Musiol und H. Mühlig im Vergleich zur ursprünglich zugrundeliegenden
3. russischen Auflage die Aufgabe gestellt, diejenigen Gebiete der Mathematik stärker zu betonen
bzw. neu einzubringen, die im Hinblick auf die zunehmende mathematische Modellierung und mathematische
Durchdringung technischer und naturwissenschaftlicher Prozesse sowie die Nutzung von
Computern an Bedeutung gewonnen hatten. Dementsprechend wurden in die ersten Auflagen u.a. die
folgenden Kapitel bzw. Abschnitte aufgenommen:
” Computeralgebrasysteme“, ” Nutzung von Computern in der Numerischen Mathematik“, ” Dynamische
Systeme und Chaos“, Funktionalanalysis“, Integralgleichungen“, Variationsrechnung“, Integraltransformationen“,
Optimierung“
”
und Numerische
”
Mathematik“. Das
”
frühere Kapitel Algebra“
”
wurde zu Algebra und
”
Diskrete Mathematik“
”
erweitert und enthält jetzt auch die Unterkapitel
”
Elementare
Zahlentheorie“,
”
Kryptologie“, Algorithmen der Graphentheorie“ und Fuzzy-Logik“.
”
” ” ”
Auch klassische Gebiete erfuhren Ergänzungen:
Das Kapitel Geometrie“ z.B. wurde durch Geodätische Anwendungen“ der Trigonometrie und durch
ein ausführliches
”
Unterkapitel Sphärische Trigonometrie“
”
ergänzt; in das Kapitel Funktionentheorie“
wurden die Elliptischen Funktionen“
”
aufgenommen, im neu gestalteten Kapitel Wahrscheinlichkeits-
”
rechnung und
”
Mathematische Statistik“ die Abschnitte Monte–Carlo–Methode“,
”
Stochastische Prozesse“
und Stochastische Ketten“ und im Kapitel Numerische
”
Mathematik“ die Methode
”
der finiten
Elemente“
”
und die Schnelle Fourier–Analyse“.
” ”
”
In einzelnen Kapiteln wurden Formelübersichten in tabellarischer Form aufgenommen (besonders zur
Geometrie, zur Differential- und Integralrechnung und zur Vektoranalysis und Feldtheorie), die das
praktische Arbeiten erleichtern.
In die 7., überarbeitete und ergänzte Auflage sind alle Ergänzungen und Verbesserungen, die in die 5.
englischsprachige Auflage (Springer-Verlag 2005) eingeflossen sind, berücksichtigt worden. Außerdem
erhielt die 7. Auflage im Hinblick auf Anwendungen in der Bildverarbeitung und Robotik eine zusammenfassende
Darstellung von geometrischen Transformationen und Koordinatentransformationen, wie
sie z.B. bei der Beschreibung von Bewegungsabläufen gebraucht werden. Unter dem gleichen Gesichtspunkt
wird eine Einführung zu Lie–Gruppen und Lie–Algebren sowie zu Quaternionen gegeben, die
Anwendung in der Computergraphik und in der Satellitennavigation finden.
Der Abschnitt Evolutionsstrategien in der nichtlinearen Optimierung“ wurde erweitert und unterstreicht
damit die
”
allgemeine Bedeutung dieser Optimierungsstrategie.
Das Kapitel Numerische Mathematik“ ergänzt die wichtigsten numerischen Aufgaben durch ihre Beschreibung
und
”
Lösung in den Computeralgebrasystemen Matlab, Mathematica und Maple.
Allen Lesern und Fachkollegen, die mit ihren Stellungnahmen, Bemerkungen und Anregungen zu den
vorangegangenen Auflagen des Buches die Überarbeitung erleichtert haben, möchten wir an dieser Stelle
unseren herzlichen Dank sagen. Dem Verlag Harri Deutsch danken wir für die nunmehr schon traditionell
gewordene effektive Zusammenarbeit.
Dresden, im März 2008
Prof. Dr. Gerhard Musiol Prof. Dr. Heiner Mühlig
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Aus dem Vorwort zur Neubearbeitung des ” Bonstein“
Der Bronstein“ ist im deutschsprachigen Raum für Generationen von Ingenieuren und Naturwissenschaftlern
”
und darüber hinaus für viele, die in Ausbildung und Beruf mit Anwendungen der Mathematik
befaßt sind, zu einem festen Begriff geworden. Warum also eine Neubearbeitung auf der Basis
der letzten russischen Ausgabe∗ , die bis 1977 erschien?
Abgesehen von verlagsrechtlichen Gründen wird mit der vorliegenden Neubearbeitung vor allem das
Ziel verfolgt, dem Bronstein“ einen zeitgerechten praxisnahen Bezug zu geben, wie ihn zahlreiche
befragte Nutzer sich
”
wünschen.
Besonderer Dank gilt dem russischen Originalverlag FIZMATLIT und den Rechtsnachfolgern der Originalautoren
dafür, daß sie die Zustimmung zur notwendigen Anpassung an die heutigen Ansprüche
des Nutzerkreises und der damit verbundenen freien Überarbeitung gaben.
Dresden, im Juni 1993
Prof. Dr. Gerhard Musiol Prof. Dr. Heiner Mühlig
∗ Der Neuübersetzung des russischsprachigen Originals liegt die 3. Auflage (Moskau 1953) zu Grunde.
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III

IV
Koautoren
Einige Kapitel und Abschnitte sind in Zusammenarbeit mit Koautoren entstanden.
Kapitel bzw. Abschnitt Koautor
Sphärische Trigonometrie (3.4.1 bis 3.4.3.3) Dr. H. Nickel †, Dresden
Sphärische Kurven (3.4.3.4)
Geometrische Transformationen, Koordinatentrans-
Prof. L. Marsolek, Berlin
formationen, Planare Projektionen (3.5.4, 3.5.5) Dr. I. Steinert, Düsseldorf
Quaternionen und Anwendungen (4.4),
Logik (5.1), Mengenlehre (5.2), Klassische Algebraische
Strukturen (5.3), Anwendungen von Gruppen
(außer 5.3.4, 5.3.5.4 bis 5.3.5.6), Ringe und Körper
(5.3.7), Vektorräume (5.3.8), Boolesche Algebra
PD Dr. S. Bernstein, Freiberg (Sachsen)
und Schaltalgebra (5.7), Universelle Algebra (5.6),
Darstellung von Gruppen (5.3.4), weitere Anwen-
Dr. J. Brunner, Dresden
dungen von Gruppen (5.3.5.4 bis 5.3.5.6) Prof. Dr. R. Reif, Dresden
Lie–Gruppen und Lie–Algebren (5.3.6) PD Dr. S. Bernstein, Freiberg (Sachsen)
Zahlentheorie, Kryptologie, Graphen (5.4, 5.5, 5.8) Prof. Dr. U. Baumann, Dresden
Fuzzy–Logik (5.9)
Statistische Interpretation der Wellenfunktion
Prof. Dr. A. Grauel, Soest
(9.2.4.4)
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen:
Prof. Dr. R. Reif, Dresden
Solitonen, periodische Muster und Chaos (9.2.4)
Dissipative Solitonen (in 9.2.5.1.4), Helle und dunkle
Prof. Dr. P. Ziesche, Dresden
Solitonen (in 9.2.5.3.2) Dr. J. Brand, Dresden
Integralgleichungen (11) Dr. I. Steinert, Düsseldorf
Funktionalanalysis (12) Prof. Dr. M. Weber, Dresden
Elliptische Funktionen (14.6) Dr. N. M. Fleischer †, Moskau
Dynamische Systeme und Chaos (17) Prof. Dr. V. Reitmann, St. Petersburg
Optimierung (18)
Nutzung von Computern: (19.8.1, 19.8.2), Interaktiive
Systeme: Mathematica (19.8.4.2), Maple (19.8.
4.3), Computeralgebrasysteme – Beispiel Mathema-
Dr. I. Steinert, Düsseldorf
tica (20) Prof. Dr. G. Flach, Dresden
Interaktive Systeme: Matlab (19.8.4.1) PD Dr. B. Mulansky, Clausthal
Zusätzliche Kapitel mit Koautoren in der CD–ROM.
Lie–Gruppen (5.3.5), Lie–Algebren (5.3.6) Prof. Dr. R. Reif, Dresden
Mathematische Grundlagen der Quantenme- Prof. Dr. A. Buchleitner, PD Dr. M. Tiersch,
chanik (21) Dr. Th. Wellens, Freiburg
Quantencomputer (22) Prof. Dr. A. Buchleitner, PD Dr. M. Tiersch,
Dr. Th. Wellens, Freiburg
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis V
Tabellenverzeichnis XXXIX
1 Arithmetik 1
1.1 Elementare Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1.4 Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1.5 Kommensurabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2.1 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch . . . . . . . . . 5
1.1.2.3 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2.4 Konstruktiver Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3.1 Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3.2 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4.2 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4.4 Spezielle Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Algebraische Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5.2 Einteilung der algebraischen Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 Ganzrationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6.1 Darstellung in Form eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6.3 Spezielle Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6.4 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6.5 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome . . 14
1.1.7 Gebrochenrationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7.1 Rückführung auf die einfachste Form . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7.2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.7.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.7.4 Umformung von Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.8 Irrationale Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Endliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Definition der endlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4 Spezielle endliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5.1 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5.2 Geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.5.3 Harmonisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.5.4 Quadratisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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VI Inhaltsverzeichnis
1.2.5.5 Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen a und b . . . . . 20
1.3 Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3.1 Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3.3 Gleiche Annuitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4.1 Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4.2 Nachschüssig konstante Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4.3 Kontostand nach n Rentenzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.5 Abschreibungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Reine Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1.2 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II . . . . . . . . . 29
1.4.2 Spezielle Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2.1 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2.2 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen . 30
1.4.2.3 Ungleichung für das arithmetische und das geometrische Mittel . . 30
1.4.2.4 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel . . 30
1.4.2.5 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen . 30
1.4.2.6 Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2.7 Binomische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2.8 Cauchy–Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2.9 Tschebyscheffsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2.10 Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung . . . . . . . . . . 32
1.4.2.11 Höldersche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2.12 Minkowskische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3 Lösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3.2 Ungleichungen 1. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3.3 Ungleichungen 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3.4 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1.1 Imaginäre Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.2 Geometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2.1 Vektordarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2.3 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . 35
1.5.2.4 Exponentialform einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.2.5 Konjugiert komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.3 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.3.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.3.2 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.3.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.3.4 Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten . . . . . . . . . . 38
1.5.3.5 Potenzieren einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der n–ten Wurzel aus einer komplexen Zahl 38
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Inhaltsverzeichnis VII
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.1 Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform . . . . . . . . . 38
1.6.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.1.2 Systeme aus n algebraischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6.1.3 Scheinbare Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6.2 Gleichungen 1. bis 4. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6.2.1 Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) . . . . . . . . . . . . 39
1.6.2.2 Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) . . . . . . . . . 40
1.6.2.3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) . . . . . . . . . . . 40
1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.2.5 Gleichungen 5. und höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6.3 Gleichungen n–ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen . . . . . . 43
1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6.4 Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen . . . 45
1.6.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.4.2 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.4.3 Logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.4.5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Funktionen und ihre Darstellung 48
2.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1 Definition der Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1.1 Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1.2 Reelle Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1.3 Funktion von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1.4 Komplexe Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1.5 Weitere Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1.6 Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1.7 Funktion und Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2 Methoden zur Definition einer reellen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2.1 Angabe einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.3 Einige Funktionstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.3.1 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.3.2 Beschränkte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.3.3 Extremwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.3.4 Gerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.3.5 Ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen . . . . . . 52
2.1.3.7 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.3.8 Inverse oder Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.4 Grenzwert von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.4.1 Definition des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.4.2 Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . 53
2.1.4.3 Konvergenzkriterium von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.4.4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion . . . . . 54
2.1.4.6 Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich . . . . . . . . . . 54
2.1.4.7 Sätze über Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.4.8 Berechnung von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
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VIII Inhaltsverzeichnis
2.1.4.9 Größenordnung von Funktionen und Landau–Symbole . . . . . . . 57
2.1.5 Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.5.1 Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.5.2 Definition der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.5.3 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten . . . . . . . . . . . . 59
2.1.5.4 Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen . . . . 60
2.1.5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.1 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.1.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.1.3 Irrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 Transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2.1 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2.2 Logarithmische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2.4 Inverse trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2.5 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2.6 Inverse Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.3 Zusammengesetzte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.1 Lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2 Quadratisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.3 Polynom 3. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.4 Polynom n–ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.5 Parabel n–ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.1 Spezielle gebrochen lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.2 Gebrochenlineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.3 Kurve 3. Ordnung, Typ I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.4 Kurve 3. Ordnung, Typ II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.6 Reziproke Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5 Irrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.1 Quadratwurzel aus einem linearen Binom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.3 Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.2 Logarithmische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.3 Gaußsche Glockenkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6.4 Exponentialsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6.5 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6.6 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7.1.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7.1.2 Wertebereiche und Funktionsverläufe . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.7.2 Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7.2.1 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen . . . . . 80
2.7.2.2 Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier
Winkel (Additionstheoreme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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Inhaltsverzeichnis IX
2.7.2.3 Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache . . . . . . . . . . 81
2.7.2.4 Trigonometrische Funktionen des halben Winkels . . . . . . . . . . 82
2.7.2.5 Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen . . 82
2.7.2.6 Produkte trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.7.2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7.3 Beschreibung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7.3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7.3.2 Superposition oder Überlagerung von Schwingungen . . . . . . . . 83
2.7.3.3 Vektordiagramm für Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7.3.4 Dämpfung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8.1 Definition der zyklometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8.2 Zurückführung auf die Hauptwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.8.4 Formeln für negative Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.8.5 Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.8.6 Summe und Differenz von arccos x und arccos y . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.8.7 Summe und Differenz von arctan x und arctan y . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.8.8 Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x . . . . . . . . . . . . . 88
2.9 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.9.1 Definition der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.9.2 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.9.2.1 Hyperbelsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.9.2.2 Hyperbelkosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.9.2.3 Hyperbeltangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9.2.4 Hyperbelkotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9.3 Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9.3.1 Hyperbelfunktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9.3.3 Formeln für negative Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9.3.4 Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.9.3.5 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments . . . . . . . . . . . 91
2.9.3.6 Formel von Moivre für Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . 91
2.9.3.7 Hyperbelfunktionen des halben Arguments . . . . . . . . . . . . . 91
2.9.3.8 Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . 91
2.9.3.9 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen
Funktionen mit Hilfe komplexer Argumente . . . . . . . . . . . . . 92
2.10 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.10.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.10.1.1 Areasinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.10.1.2 Areakosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.10.1.3 Areatangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.10.1.4 Areakotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.10.2 Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus . . . . . 93
2.10.3 Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen . . . . . . . . . . . 94
2.10.4 Summen und Differenzen von Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.10.5 Formeln für negative Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.11 Kurven dritter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.11.1 Semikubische Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.11.2 Versiera der Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
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X Inhaltsverzeichnis
2.11.3 Kartesisches Blatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.11.4 Zissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.11.5 Strophoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.12 Kurven vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.12.1 Konchoide des Nikomedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.12.2 Allgemeine Konchoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.12.3 Pascalsche Schnecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.12.4 Kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.12.5 Cassinische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.12.6 Lemniskate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.13 Zykloiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.13.1 Gewöhnliche Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.13.2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden . . . . . . . . . . . . 101
2.13.3 Epizykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.13.4 Hypozykloide und Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.13.5 Verlängerte und verkürzte Epizykloide und Hypozykloide . . . . . . . . . . 105
2.14 Spiralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.14.1 Archimedische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.14.2 Hyperbolische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.14.3 Logarithmische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.14.4 Evolvente des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.14.5 Klothoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.15 Verschiedene andere Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.15.1 Kettenlinie oder Katenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.15.2 Schleppkurve oder Traktrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.16 Aufstellung empirischer Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.16.1 Verfahrensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.16.1.1 Kurvenbildervergleiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.16.1.2 Rektifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.16.1.3 Parameterbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.16.2 Gebräuchlichste empirische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.16.2.1 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.16.2.2 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.16.2.3 Quadratisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.16.2.4 Gebrochenlineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.16.2.5 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom . . . . . . . . . 112
2.16.2.6 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve . . . . . . . . . . . . . . 113
2.16.2.7 Kurve 3. Ordnung, Typ II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.16.2.8 Kurve 3. Ordnung, Typ III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.16.2.9 Kurve 3. Ordnung, Typ I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.16.2.10 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . 114
2.16.2.11 Exponentialsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.16.2.12 Vollständig durchgerechnetes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.17 Skalen und Funktionspapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.17.1 Skalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.17.2 Funktionspapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.17.2.1 Einfach–logarithmisches Funktionspapier . . . . . . . . . . . . . . 118
2.17.2.2 Doppelt–logarithmisches Funktionspapier . . . . . . . . . . . . . . 118
2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala . . . . . . . . . . . . . 118
2.17.2.4 Hinweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.18 Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.18.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
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Inhaltsverzeichnis XI
2.18.1.1 Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . . . 120
2.18.1.2 Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 120
2.18.2 Verschiedene ebene Definitionsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.18.2.1 Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion . . 121
2.18.2.2 Zweidimensionale Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.18.2.3 Drei- und mehrdimensionale Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.18.2.5 Formen der analytischen Darstellung einer Funktion . . . . . . . . 123
2.18.2.6 Abhängigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.18.3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.18.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.18.3.2 Exakte Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche . . . . . . . . . . . . 125
2.18.3.4 Iterierte Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.18.4 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.18.5 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.18.5.1 Nullstellensatz von Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.18.5.2 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.18.5.3 Satz über die Beschränktheit einer Funktion . . . . . . . . . . . . 126
2.18.5.4 Satz von Weierstrass über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.19 Nomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.19.1 Nomogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.19.2 Netztafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.19.3 Fluchtlinientafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.19.3.1 Fluchtlinientafeln mit drei geraden Skalen durch einen Punkt . . . 128
2.19.3.2 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten geradlinigen
Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.19.3.3 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen, geradlinigen Skalen und einer
Kurvenskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.19.4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3 Geometrie 131
3.1 Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.1.1 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.1.2 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.1.3 Winkel an zwei sich schneidenden Geraden . . . . . . . . . . . . . 132
3.1.1.4 Winkelpaare an geschnittenen Parallelen . . . . . . . . . . . . . . 132
3.1.1.5 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.2 Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen . . . . . . . . 133
3.1.2.1 Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen . . . . . . 133
3.1.2.2 Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . 134
3.1.3 Ebene Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.3.1 Aussagen zu ebenen Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.3.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.1.4 Ebene Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1.4.1 Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1.4.2 Rechteck und Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1.4.3 Rhombus oder Raute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1.4.4 Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1.4.5 Allgemeines Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
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XII Inhaltsverzeichnis
3.1.4.6 Sehnenviereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.1.4.7 Tangentenviereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1.5 Ebene Vielecke oder Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1.5.1 Allgemeines Vieleck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1.5.2 Regelmäßige konvexe Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1.5.3 Einige regelmäßige konvexe Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.6 Ebene Kreisfiguren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.1.6.1 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.1.6.2 Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor) . 144
3.1.6.3 Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.2 Ebene Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2.1 Dreiecksberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2.1.1 Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken . . . . . . . . . 145
3.2.1.2 Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken . . . . . . . . . 145
3.2.2 Geodätische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.2.2.1 Geodätische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.2.2.2 Winkel in der Geodäsie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.2.2.3 Vermessungstechnische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3 Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.1 Geraden und Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.2 Kanten, Ecken, Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.3.3 Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.3.4 Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind . . . . . . . . . . . . . 159
3.4 Sphärische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.4.1 Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.4.1.1 Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . 163
3.4.1.2 Spezielle Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.4.1.3 Sphärisches Zweieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4.1.4 Sphärisches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4.1.5 Polardreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.4.1.6 Eulersche und Nicht–Eulersche Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.4.1.7 Dreikant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.2 Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.2.1 Allgemeine Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.2.2 Grundformeln und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.4.2.3 Weitere Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.4.3 Berechnung sphärischer Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4.3.1 Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . 173
3.4.3.2 Rechtwinklig sphärisches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4.3.3 Schiefwinklig sphärisches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.4.3.4 Sphärische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.5.1 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.5.1.1 Definition des Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.5.1.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.5.1.3 Koordinaten eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.5.1.4 Skalarprodukt und Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.5.1.5 Mehrfache multiplikative Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . 190
3.5.1.6 Vektorielle Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5.1.7 Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors . . . . . 193
3.5.1.8 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra . . . . . . . . . . . 194
3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Inhaltsverzeichnis XIII
3.5.2.1 Ebene Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.5.2.2 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.5.2.3 Spezielle Punkte in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.5.2.4 Flächeninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.5.2.5 Gleichung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.5.2.6 Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.5.2.7 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.5.2.8 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.5.2.9 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5.2.10 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.5.2.11 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.5.3 Analytische Geometrie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3.5.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3.5.3.2 Räumliche Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.5.3.3 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.5.3.4 Drehung mit Hilfe von Richtungskosinussen . . . . . . . . . . . . . 219
3.5.3.5 Drehung mit Hilfe von Cardan–Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . 220
3.5.3.6 Drehung mit Hilfe von Euler–Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.5.3.7 Spezielle Punkte im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.5.3.8 Gleichung einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.5.3.9 Gleichung einer Raumkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.5.3.10 Ebenen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.5.3.11 Geraden im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3.5.3.12 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraden im Raum . . 228
3.5.3.13 Flächen 2. Ordnung, Gleichungen in Normalform . . . . . . . . . . 230
3.5.3.14 Flächen 2. Ordnung, allgemeine Theorie . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.5.4 Geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen . . . . . 235
3.5.4.1 Geometrische 2D–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.5.4.2 Homogene Koordinaten, Matrixdarstellung . . . . . . . . . . . . . 237
3.5.4.3 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3.5.4.4 Verkettung von Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
3.5.4.5 3D–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3.5.4.6 Deformationstransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.5.5 Planare Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.5.5.1 Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.5.5.2 Ansichtskoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.5.5.3 Tafelprojektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.5.5.4 Axonometrische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.5.5.5 Isometrische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.5.5.6 Schiefe Parallelprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.5.5.7 Perspektivische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3.6 Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.6.1 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten . . . . . . . . . . 255
3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung . . . . 260
3.6.1.5 Evoluten und Evolventen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.6.1.6 Einhüllende von Kurvenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.6.2 Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
3.6.2.1 Definitionen für Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
3.6.2.2 Begleitendes Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

XIV Inhaltsverzeichnis
3.6.2.3 Krümmung und Windung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3.6.3 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.6.3.1 Definitionen für Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.6.3.2 Tangentialebene und Flächennormale . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.6.3.3 Linienelement auf einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.6.3.4 Krümmung einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3.6.3.5 Regelflächen und abwickelbare Flächen . . . . . . . . . . . . . . . 274
3.6.3.6 Geodätische Linien auf einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
4 Lineare Algebra 276
4.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.1.1 Begriff der Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.1.2 Quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.1.3 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
4.1.4 Rechenoperationen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.1.5 Rechenregeln für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
4.1.6 Vektor- und Matrizennormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.1.6.1 Vektornormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.1.6.2 Matrizennormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.2.2 Rechenregeln für Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
4.2.3 Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4.3 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.3.1 Transformation des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.3.2 Tensoren in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.3.3 Tensoren mit speziellen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.3.3.2 Invariante Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren . . . . . . . . . . . . 291
4.3.4.2 Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe 291
4.3.4.3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren
2. Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.3.4.4 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.3.5 Pseudotensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.3.5.1 Punktspiegelung am Koordinatenursprung . . . . . . . . . . . . . 294
4.3.5.2 Einführung des Begriffs Pseudotensor . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4.4 Quaternionen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.4.1 Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.4.1.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.4.1.2 Matrizendarstellung von Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . 298
4.4.1.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
4.4.2 Darstellung von Drehungen im IR 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.4.2.1 Drehungen eines Objektes um die Koordinatenachsen . . . . . . . 301
4.4.2.2 Cardan–Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
4.4.2.3 Euler–Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
4.4.2.4 Drehung um eine beliebige Achse durch den Nullpunkt . . . . . . . 303
4.4.2.5 Drehungen und Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
4.4.2.6 Quaternionen und Cardan–Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.4.2.7 Effizienz der Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4.4.3 Anwendungen der Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
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Inhaltsverzeichnis XV
4.4.3.1 3D–Rotationen in der Computergraphik . . . . . . . . . . . . . . . 308
4.4.3.2 Interpolation mittels Rotationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . 310
4.4.3.3 Stereographische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
4.4.3.4 Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
4.4.3.5 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.4.3.6 Einheitsbiquaternionen und Starrkörperbewegungen . . . . . . . . 312
4.5 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.5.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.5.1.1 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.5.1.2 Austauschverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.5.1.3 Lineare Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.5.1.4 Invertierung einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.5.2 Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.5.2.1 Definition und Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.5.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . 317
4.5.2.3 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
4.5.2.4 Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.5.3 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.5.3.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.5.3.2 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme 321
4.6 Eigenwertaufgaben bei Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.6.1 Allgemeines Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.6.2 Spezielles Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.6.2.1 Charakteristisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.6.2.2 Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen . . . 323
4.6.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen . . . . . . . . . 324
4.6.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten . . . . . . 326
4.6.3 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
5 Algebra und Diskrete Mathematik 329
5.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.1.2 Ausdrücke der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5.2 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.2.2 Operationen mit Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
5.2.3 Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5.2.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
5.2.5 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.3 Klassische algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.3.1 Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.3.2 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.3.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . 343
5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
5.3.3.3 Abbildungen zwischen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
5.3.4 Darstellung von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.3.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.3.4.2 Spezielle Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
5.3.4.3 Direkte Summe von Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
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XVI Inhaltsverzeichnis
5.3.4.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . 351
5.3.4.6 Erstes Schursches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
5.3.4.7 Clebsch–Gordan–Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
5.3.4.8 Irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe SM . . . . . . . 353
5.3.5 Anwendungen von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
5.3.5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente . . . . . . . . . . . . . 353
5.3.5.2 Symmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.3.5.3 Symmetrieoperationen bei Molekülen . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.3.5.4 Symmetriegruppen in der Kristallographie . . . . . . . . . . . . . 356
5.3.5.5 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . 358
5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik . . . . . . . . . . . . 359
5.3.6 Lie–Gruppen und Lie–Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.3.6.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
5.3.6.2 Matrix–Lie–Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
5.3.6.3 Wichtige Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.3.6.4 Lie–Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
5.3.6.5 Anwendungen in der Robotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.3.7 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
5.3.7.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
5.3.7.2 Unterringe, Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.3.7.3 Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz . . . . . . . 371
5.3.7.4 Endliche Körper und Schieberegister . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5.3.8 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
5.3.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
5.3.8.2 Lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5.3.8.3 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5.3.8.4 Unterräume, Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
5.3.8.5 Euklidische Vektorräume, Euklidische Norm . . . . . . . . . . . . 375
5.3.8.6 Bilineare Abbildungen, Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . 376
5.4 Elementare Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
5.4.1 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . 378
5.4.1.2 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
5.4.1.3 Teilbarkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
5.4.1.4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 381
5.4.1.5 Fibonacci–Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
5.4.2 Lineare Diophantische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
5.4.3 Kongruenzen und Restklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
5.4.4 Sätze von Fermat, Euler und Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
5.4.5 Primzahltests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
5.4.6 Codierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
5.4.6.1 Prüfzeichenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
5.4.6.2 Fehlerkorrigierende Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
5.5 Kryptologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
5.5.1 Aufgabe der Kryptologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
5.5.2 Kryptosysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
5.5.3 Mathematische Präzisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
5.5.4 Sicherheit von Kryptosystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
5.5.4.1 Methoden der klassischen Kryptologie . . . . . . . . . . . . . . . . 397
5.5.4.2 Affine Substitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
5.5.4.3 Vigenere–Chiffre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
5.5.4.4 Matrixsubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
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Inhaltsverzeichnis XVII
5.5.5 Methoden der klassischen Kryptoanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.5.5.1 Statistische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.5.5.2 Kasiski–Friedman–Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.5.6 One–Time–Tape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5.5.7 Verfahren mit öffentlichem Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5.5.7.1 Konzept von Diffie und Hellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5.5.7.2 Einwegfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
5.5.7.3 RSA–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
5.5.8 AES–Algorithmus (Advanced Encryption Standard) . . . . . . . . . . . . . 401
5.5.9 IDEA–Algorithmus (International Data Encryption Algorithm) . . . . . . . 401
5.6 Universelle Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
5.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
5.6.2 Kongruenzrelationen, Faktoralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
5.6.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
5.6.4 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
5.6.5 Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
5.6.6 Termalgebren, freie Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
5.7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
5.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
5.7.2 Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
5.7.3 Endliche Boolesche Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
5.7.5 Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
5.7.6 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
5.7.7 Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
5.8 Algorithmen der Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
5.8.2 Durchlaufungen von ungerichteten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
5.8.2.1 Kantenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
5.8.2.2 Eulersche Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
5.8.2.3 Hamilton–Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
5.8.3 Bäume und Gerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
5.8.3.1 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
5.8.3.2 Gerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
5.8.4 Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
5.8.5 Planare Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
5.8.6 Bahnen in gerichteten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
5.8.7 Transportnetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
5.9 Fuzzy–Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
5.9.1 Grundlagen der Fuzzy–Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
5.9.1.1 Interpretation von Fuzzy–Mengen (Unscharfe Mengen) . . . . . . 423
5.9.1.2 Zugehörigkeitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
5.9.1.3 Fuzzy–Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
5.9.2 Verknüpfungen unscharfer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
5.9.2.1 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen . 428
5.9.2.2 Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen . . . . . . . . . . . 428
5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
5.9.2.4 Erweiterungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
5.9.2.5 Unscharfe Komplementfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
5.9.3 Fuzzy–wertige Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
5.9.3.1 Fuzzy–Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
5.9.3.2 Fuzzy–Relationenprodukt R ◦ S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
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XVIII Inhaltsverzeichnis
5.9.4 Fuzzy–Inferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
5.9.5 Defuzzifizierungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
5.9.6 Wissensbasierte Fuzzy–Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
5.9.6.1 Methode Mamdani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
5.9.6.2 Methode Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
5.9.6.3 Kognitive Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
5.9.6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem . . . . . . . . . . . . . . . 441
6 Differentialrechnung 443
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
6.1.1 Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
6.1.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlicher . . . . . . . . . . 444
6.1.2.1 Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 444
6.1.2.2 Grundregeln für das Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
6.1.3.1 Definition der Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . 450
6.1.3.2 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen . . . . . 450
6.1.3.3 Leibnizsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
6.1.3.4 Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung . . . 451
6.1.3.5 Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion . . . . . . . . 451
6.1.4 Hauptsätze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
6.1.4.1 Monotoniebedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
6.1.4.2 Satz von Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
6.1.4.3 Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
6.1.4.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 453
6.1.4.5 Satz von Taylor für Funktionen von einer Veränderlichen . . . . . . 454
6.1.4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . 454
6.1.5 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten . . . . . . . . . . . . . 454
6.1.5.1 Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
6.1.5.2 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes 455
6.1.5.3 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion
y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
6.1.5.4 Bestimmung der globalen Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . 456
6.1.5.5 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion . 456
6.2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . 457
6.2.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
6.2.1.1 Partielle Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
6.2.1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen . . . . . . . . . . 457
6.2.1.3 Begriff des Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
6.2.1.4 Haupteigenschaften des Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
6.2.1.5 Partielles Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
6.2.2 Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung . . . . . . . . . 459
6.2.2.1 Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential) . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
6.2.2.2 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen . . . . . . . . . 460
6.2.2.3 Satz von Taylor für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . 461
6.2.3 Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . 462
6.2.3.1 Differentiation von zusammengesetzten Funktionen . . . . . . . . 462
6.2.3.2 Differentiation impliziter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 462
6.2.4 Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und Koordinatentransformationen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
6.2.4.1 Funktion von einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
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Inhaltsverzeichnis XIX
6.2.4.2 Funktion zweier Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
6.2.5 Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . 466
6.2.5.1 Definition des relativen Extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
6.2.5.2 Geometrische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
6.2.5.3 Bestimmung der Extremwerte einer differenzierbaren Funktion
von zwei Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
6.2.5.4 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen 467
6.2.5.5 Lösung von Approximationsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . 467
6.2.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 468
7 Unendliche Reihen 469
7.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.1.1 Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.1.1.1 Definition der Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.1.1.2 Monotone Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.1.1.3 Beschränkte Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
7.2 Reihen mit konstanten Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
7.2.1 Allgemeine Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
7.2.1.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen . . . . . . . . . . . 471
7.2.1.2 Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . 472
7.2.2 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern . . . . . . . . . . . . 472
7.2.2.1 Vergleichskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7.2.2.2 Quotientenkriterium von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 473
7.2.2.3 Wurzelkriterium von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
7.2.2.4 Integralkriterium von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
7.2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
7.2.3.2 Eigenschaften absolut konvergenter Reihen . . . . . . . . . . . . . 475
7.2.3.3 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
7.2.4 Einige spezielle Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
7.2.4.1 Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern . . . . . . . 476
7.2.4.2 Bernoullische und Eulersche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
7.2.5 Abschätzung des Reihenrestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
7.2.5.1 Abschätzung mittels Majorante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
7.2.5.2 Alternierende konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.2.5.3 Spezielle Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.3 Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.3.2 Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7.3.2.1 Definition, Satz von Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7.3.2.2 Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen . . . . . . . . . . . 481
7.3.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
7.3.3.1 Definition, Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
7.3.3.2 Rechnen mit Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
7.3.3.3 Entwicklung in Taylor–Reihen, MacLaurinsche Reihe . . . . . . . 483
7.3.4 Näherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
7.3.5 Asymptotische Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
7.3.5.1 Asymptotische Gleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
7.3.5.2 Asymptotische Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
7.4 Fourier–Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
7.4.1 Trigonometrische Summe und Fourier–Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
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7.4.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
7.4.1.2 Wichtigste Eigenschaften von Fourier–Reihen . . . . . . . . . . . . 487
7.4.2 Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen . . . . . . . . . . . 488
7.4.2.1 Symmetrien verschiedener Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
7.4.2.2 Formen der Entwicklung in eine Fourier–Reihe . . . . . . . . . . . 489
7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden . . . . . . . . . . 489
7.4.4 Fourier–Reihe und Fourier–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.4.5 Hinweise zur Tabelle einiger Fourier–Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . 491
8 Integralrechnung 492
8.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.1.1 Stammfunktion oder Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.1.1.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
8.1.1.2 Integrale elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
8.1.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
8.1.3 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
8.1.3.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . . 497
8.1.3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 497
8.1.3.3 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 497
8.1.4 Integration irrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
8.1.4.1 Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen . 500
8.1.4.2 Integration binomischer Integranden . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
8.1.4.3 Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
8.1.5.1 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
8.1.5.2 Vereinfachte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
8.1.6 Integration weiterer transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 504
8.1.6.1 Integrale mit Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
8.1.6.2 Integrale mit Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
8.1.6.3 Anwendung der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . . . 505
8.1.6.4 Integrale transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
8.2 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
8.2.1 Grundbegriffe, Regeln und Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
8.2.1.1 Definition und Existenz des bestimmten Integrals. . . . . . . . . . 505
8.2.1.2 Eigenschaften bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
8.2.1.3 Weitere Sätze über Integrationsgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . 508
8.2.1.4 Berechnung bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
8.2.2 Anwendungen bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
8.2.2.1 Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals . . . 512
8.2.2.2 Anwendungen in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
8.2.2.3 Anwendungen in Mechanik und Physik . . . . . . . . . . . . . . . 516
8.2.3 Uneigentliche Integrale, Stieltjes– und Lebesgue–Integrale . . . . . . . . . . 518
8.2.3.1 Verallgemeinerungen des Integralbegriffs . . . . . . . . . . . . . . 518
8.2.3.2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen . . . . . . . . . . . 519
8.2.3.3 Integrale mit unbeschränktem Integranden . . . . . . . . . . . . . 521
8.2.4 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
8.2.4.1 Definition des Parameterintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
8.2.4.2 Differentiation unter dem Integralzeichen . . . . . . . . . . . . . . 524
8.2.4.3 Integration unter dem Integralzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . 524
8.2.5 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen . 525
8.3 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
8.3.1 Kurvenintegrale 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
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Inhaltsverzeichnis XXI
8.3.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
8.3.1.2 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
8.3.1.3 Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . 529
8.3.1.4 Anwendungen des Kurvenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . . . . 529
8.3.2 Kurvenintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
8.3.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
8.3.2.2 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
8.3.2.3 Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . 531
8.3.3 Kurvenintegrale allgemeiner Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
8.3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
8.3.3.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art . . . . . . . . . 532
8.3.3.3 Umlaufintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
8.3.4 Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg . . . . . . . . . . 533
8.3.4.1 Zweidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
8.3.4.2 Existenz der Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
8.3.4.3 Dreidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
8.3.4.4 Berechnung der Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
8.3.4.5 Verschwinden des Umlaufintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
8.4 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
8.4.1 Doppelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
8.4.1.2 Berechnung des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
8.4.1.3 Anwendungen von Doppelintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
8.4.2 Dreifachintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
8.4.2.1 Begriff des Dreifachintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
8.4.2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . 544
8.5 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
8.5.1 Oberflächenintegrale 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
8.5.1.1 Begriff des Oberflächenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . 544
8.5.1.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . . . 546
8.5.1.3 Anwendungen des Oberflächenintegrals 1. Art . . . . . . . . . . . 547
8.5.2 Oberflächenintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
8.5.2.1 Begriff des Oberflächenintegrals 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . 547
8.5.2.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 2. Art . . . . . . . . . . . . . 549
8.5.3 Oberflächenintegral allgemeiner Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
8.5.3.1 Begriff des Oberflächenintegrals allgemeiner Art . . . . . . . . . . 550
8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflächenintegrals allgemeiner Art . . . . . . 550
9 Differentialgleichungen 552
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
9.1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
9.1.1.1 Existenzsatz, Richtungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
9.1.1.2 Wichtige Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
9.1.1.3 Implizite Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
9.1.1.4 Singuläre Integrale und singuläre Punkte . . . . . . . . . . . . . . 558
9.1.1.5 Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen
1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
9.1.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
9.1.2.1 Grundlegende Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
9.1.2.2 Erniedrigung der Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
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XXII Inhaltsverzeichnis
9.1.2.3 Lineare Differentialgleichungen n–ter Ordnung . . . . . . . . . . . 566
9.1.2.4 Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 568
9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
9.1.2.6 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 573
9.1.3 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
9.1.3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
9.1.3.2 Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte . . . . . 582
9.1.3.3 Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
9.1.3.4 Singuläre Fälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
9.2 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
9.2.1 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
9.2.1.1 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . 584
9.2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . 586
9.2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 589
9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ordnung
mit zwei unabhängigen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . 589
9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ordnung
mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen . . . . . . . 591
9.2.2.3 Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen
2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
9.2.3 Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft und Technik . . . . 602
9.2.3.1 Problemstellungen und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 602
9.2.3.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
9.2.3.3 Wärmeleitungs– und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium 605
9.2.3.4 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
9.2.4 Schrödinger–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
9.2.4.1 Begriff der Schrödinger–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
9.2.4.2 Zeitabhängige Schrödinger–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 607
9.2.4.3 Zeitunabhängige Schrödinger–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 607
9.2.4.4 Statistische Interpretation der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . 608
9.2.4.5 Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader . . . . . . . 610
9.2.4.6 Teilchenbewegung im symmetrischen Zentralfeld . . . . . . . . . . 612
9.2.4.7 Linearer harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
9.2.5 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Solitonen, periodische Muster
und Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
9.2.5.1 Physikalisch–mathematische Problemstellung . . . . . . . . . . . . 617
9.2.5.2 Korteweg–de–Vries–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
9.2.5.3 Nichtlineare Schrödinger–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
9.2.5.4 Sinus–Gordon–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
9.2.5.5 Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen . . 623
10 Variationsrechnung 624
10.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
10.2 Historische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
10.2.1 Isoperimetrisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
10.2.2 Brachistochronenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
10.3 Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . 625
10.3.1 Einfache Variationsaufgabeund Extremale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
10.3.2 Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . 626
10.3.3 Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
10.3.4 Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
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Inhaltsverzeichnis XXIII
10.3.5 Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen . . . . . . . . . . . 629
10.3.6 Variationsaufgaben in Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
10.4 Variationsaufgaben mit Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . 631
10.4.1 Einfache Variationsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
10.4.2 Allgemeinere Variationsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
10.5 Numerische Lösung von Variationsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
10.6 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
10.6.1 Erste und zweite Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
10.6.2 Anwendungen in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
11 Lineare Integralgleichungen 635
11.1 Einführung und Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
11.2 Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
11.2.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
11.2.2 Methode der sukzessiven Approximation, Neumann–Reihe . . . . . . . . . . 639
11.2.3 Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze . . . . . . . . . . . . . 641
11.2.3.1 Fredholmsche Lösungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
11.2.3.2 Fredholmsche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
11.2.4 Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art . . . . . 644
11.2.4.1 Approximation des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
11.2.4.2 Kernapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
11.2.4.3 Kollokationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
11.3 Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
11.3.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
11.3.3 Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem . . . 652
11.3.4 Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . 654
11.3.5 Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern 655
11.3.6 Iteratives Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
11.4 Volterrasche Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
11.4.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
11.4.2 Lösung durch Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
11.4.3 Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art 659
11.4.4 Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp . . . . . . . . . . . . . . 660
11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art . . . . . . 661
11.5 Singuläre Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
11.5.1 Abelsche Integralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
11.5.2 Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy–Kernen . . . . . . . . . . . . . . 664
11.5.2.1 Formulierung der Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
11.5.2.2 Existenz einer Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
11.5.2.3 Eigenschaften des Cauchy–Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
11.5.2.4 Hilbertsches Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
11.5.2.5 Lösung des Hilbertschen Randwertproblems . . . . . . . . . . . . 666
11.5.2.6 Lösung der charakteristischen Integralgleichung . . . . . . . . . . 666
12 Funktionalanalysis 668
12.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
12.1.1 Begriff des Vektorraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
12.1.2 Lineare und affin–lineare Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
12.1.3 Linear unabhängigeElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
12.1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
12.1.4.1 Konvexe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
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XXIV Inhaltsverzeichnis
12.1.4.2 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
12.1.5 Lineare Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
12.1.5.1 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . . 673
12.1.5.3 Isomorphe Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
12.1.6 Komplexifikation reeller Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
12.1.7 Geordnete Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
12.1.7.1 Kegel und Halbordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
12.1.7.2 Ordnungsbeschränkte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
12.1.7.3 Positive Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
12.1.7.4 Vektorverbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
12.2 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
12.2.1 Begriff des metrischen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
12.2.1.1 Kugeln, Umgebungen und offene Mengen . . . . . . . . . . . . . . 677
12.2.1.2 Konvergenz von Folgen im metrischen Raum . . . . . . . . . . . . 678
12.2.1.3 Abgeschlossene Mengen und Abschließung . . . . . . . . . . . . . 678
12.2.1.4 Dichte Teilmengen und separable metrische Räume . . . . . . . . . 679
12.2.2 Vollständige metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
12.2.2.1 Cauchy–Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
12.2.2.2 Vollständiger metrischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
12.2.2.3 Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen . . 680
12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips . . . . . . . . . . . 681
12.2.2.5 Vervollständigung eines metrischen Raumes . . . . . . . . . . . . . 682
12.2.3 Stetige Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
12.3 Normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
12.3.1 Begriff des normierten Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierter Räume . . . . . . . . . . . . . . . 684
12.3.2 Banach–Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
12.3.2.1 Reihen in normierten Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
12.3.2.2 Beispiele von Banach–Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
12.3.2.3 Sobolew–Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
12.3.3 Geordnete normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
12.3.4 Normierte Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
12.4 Hilbert–Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
12.4.1 Begriff des Hilbert–Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
12.4.1.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
12.4.1.2 Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften . . . . . . . . . . . 687
12.4.1.3 Hilbert–Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
12.4.2 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
12.4.2.1 Eigenschaften der Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
12.4.2.2 Orthogonale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
12.4.3 Fourier–Reihen im Hilbert–Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
12.4.3.1 Bestapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung, Satz von Riesz–Fischer . . . . . . . . . . . 690
12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert–Räume . . . . . . . . . . . . . . . . 691
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
12.5.1 Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren . . . . . . . . . . 691
12.5.1.1 Beschränktheit und Norm linearer Operatoren . . . . . . . . . . . 691
12.5.1.2 Raum linearer stetiger Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
12.5.1.3 Konvergenz von Operatorenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
12.5.2 Lineare stetige Operatoren in Banach–Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . 692
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Inhaltsverzeichnis XXV
12.5.3 Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . 694
12.5.3.1 Resolventenmenge und Resolvente eines Operators . . . . . . . . . 694
12.5.3.2 Spektrum eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
12.5.4 Stetige lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
12.5.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
12.5.4.2 Stetige lineare Funktionale im Hilbert–Raum, Satz von Riesz . . . 696
12.5.4.3 Stetige lineare Funktionale in L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
12.5.5 Fortsetzung von linearen Funktionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
12.5.6 Trennung konvexer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
12.5.7 Bidualer Raum und reflexive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
12.6 Adjungierte Operatoren in normierten Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
12.6.1 Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator . . . . . . . . . . . 698
12.6.2 Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator . . . . . . . . . . 699
12.6.3 Selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
12.6.3.1 Positiv definite Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
12.6.3.2 Projektoren im Hilbert–Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
12.7 Kompakte Mengen und kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
12.7.1 Kompakte Teilmengen in normierten Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
12.7.2 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
12.7.2.1 Begriff des kompakten Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren . . . . . . . . . . . . 700
12.7.2.3 Schwache Konvergenz von Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . 701
12.7.3 Fredholmsche Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
12.7.4 Kompakte Operatoren im Hilbert–Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
12.8 Nichtlineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
12.8.1 Beispiele nichtlinearer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
12.8.2 Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
12.8.3 Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
12.8.4 Schaudersches Fixpunktprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
12.8.5 Leray–Schauder–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
12.8.6 Positive nichtlineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
12.8.7 Monotone Operatoren in Banach–Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
12.9 Maß und Lebesgue–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
12.9.1 Sigma–Algebren und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
12.9.2 Meßbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
12.9.2.1 Meßbare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
12.9.2.2 Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen . . . . . . . . . 709
12.9.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
12.9.3.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
12.9.3.2 Einige Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
12.9.3.3 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
12.9.4 L p –Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
12.9.5 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
12.9.5.1 Formel der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
12.9.5.2 Verallgemeinerte Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
12.9.5.3 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
12.9.5.4 Ableitung einer Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
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XXVI Inhaltsverzeichnis
13 Vektoranalysis und Feldtheorie 715
13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
13.1.1 Vektorfunktion einer skalaren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
13.1.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
13.1.1.2 Ableitung einer Vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
13.1.1.3 Differentiationsregeln für Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
13.1.1.4 Taylor–Entwicklung für Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 716
13.1.2 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
13.1.2.1 Skalares Feld oder skalare Punktfunktion . . . . . . . . . . . . . . 716
13.1.2.2 Wichtige Fälle skalarer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
13.1.2.3 Koordinatendarstellung von Skalarfeldern . . . . . . . . . . . . . . 717
13.1.2.4 Niveauflächen und Niveaulinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
13.1.3 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
13.1.3.1 Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion . . . . . . . . . . 718
13.1.3.2 Wichtige Fälle vektorieller Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
13.1.3.3 Koordinatendarstellung von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . 719
13.1.3.4 Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen . . . . 720
13.1.3.5 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
13.2 Räumliche Differentialoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
13.2.1 Richtungs– und Volumenableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
13.2.1.1 Richtungsableitung eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . . . . 722
13.2.1.2 Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes . . . . . . . . . . . . 722
13.2.1.3 Volumenableitung oder räumliche Ableitung . . . . . . . . . . . . 723
13.2.2 Gradient eines Skalarfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
13.2.2.1 Definition des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
13.2.2.2 Gradient und Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
13.2.2.3 Gradient und Volumenableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . 724
13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten . . . . . . 724
13.2.2.6 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
13.2.3 Vektorgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
13.2.4.1 Definition der Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
13.2.4.2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . 726
13.2.4.3 Regeln zur Berechnung der Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . 726
13.2.4.4 Divergenz eines Zentralfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
13.2.5 Rotation des Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
13.2.5.1 Definitionen der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
13.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 727
13.2.5.3 Regeln zur Berechnung der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
13.2.5.4 Rotation des Potentialfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
13.2.6 Nablaoperator,Laplace–Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
13.2.6.1 Nablaoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
13.2.6.2 Rechenregeln für den Nablaoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
13.2.6.3 Vektorgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730
13.2.6.4 Zweifache Anwendung des Nablaoperators . . . . . . . . . . . . . 730
13.2.6.5 Laplace–Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730
13.2.7 Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen . . . . . . . . . . . . . 731
13.2.7.1 Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse für Differentialoperatoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731
13.2.7.2 Rechenregeln für Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . 731
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Inhaltsverzeichnis XXVII
13.2.7.3 Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder– und Kugelkoordinaten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
13.3 Integration in Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
13.3.1 Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
13.3.1.1 Kurvenintegral im Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
13.3.1.2 Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik . . . . . . . . . . 734
13.3.1.3 Eigenschaften des Kurvenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
13.3.1.4 Kurvenintegral in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 734
13.3.1.5 Umlaufintegral in einem Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
13.3.1.6 Konservatives oder Potentialfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
13.3.2 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
13.3.2.1 Vektor eines ebenen Flächenstückes . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
13.3.2.2 Berechnung von Oberflächenintegralen . . . . . . . . . . . . . . . 736
13.3.2.3 Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern . . . . . . . . . . . . . 736
13.3.2.4 Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737
13.3.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738
13.3.3.1 Integralsatz und Integralformel von Gauß . . . . . . . . . . . . . . 738
13.3.3.2 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
13.3.3.3 Integralsätze von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
13.4 Berechnung von Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
13.4.1 Reines Quellenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
13.4.2 Reines Wirbelfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
13.4.3 Vektorfelder mit punktförmigen Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
13.4.3.1 Coulomb–Feld der Punktladung oder elektrostatisches Feld . . . . 741
13.4.3.2 Gravitationsfeld der Punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
13.4.4 Superposition von Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
13.4.4.2 Kontinuierliche Quellenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
13.4.4.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
13.5 Differentialgleichungen der Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
13.5.1 Laplacesche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
13.5.2 Poissonsche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
14 Funktionentheorie 744
14.1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
14.1.1.1 Definition der komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
14.1.1.3 Stetigkeit der komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
14.1.1.4 Differenzierbarkeit der komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . . 744
14.1.2 Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
14.1.2.1 Definition der analytischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 745
14.1.2.2 Beispiele analytischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
14.1.2.3 Eigenschaften analytischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 745
14.1.2.4 Singuläre Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
14.1.3 Konforme Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747
14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung . . . . . . . . 747
14.1.3.2 Einfachste konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
14.1.3.3 Schwarzsches Spiegelungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
14.1.3.4 Komplexe Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
14.1.3.5 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
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XXVIII Inhaltsverzeichnis
14.1.3.6 Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene . . . . . . . . . . 757
14.2 Integration im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758
14.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758
14.2.1.1 Definition des Integrals im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . 758
14.2.1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale . . . . . . . . 759
14.2.2 Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie . . . . . . . . . . 760
14.2.2.1 Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete . 760
14.2.2.2 Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete 761
14.2.3 Integralformeln von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
14.2.3.1 Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes . . . . . . . . . . . 761
14.2.3.2 Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes . . . . . . . . . . . 762
14.3 Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
14.3.1 Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . 762
14.3.1.1 Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern . . . . . . . 762
14.3.1.2 Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern . . . 762
14.3.1.3 Potenzreihen im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763
14.3.2 Taylor–Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
14.3.3 Prinzip der analytischen Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
14.3.4 Laurent–Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
14.3.5 Isolierte singuläre Stellen und der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . 765
14.3.5.1 Isolierte singuläre Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
14.3.5.2 Meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
14.3.5.3 Elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
14.3.5.4 Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
14.3.5.5 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
14.4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen . . . . . . . . . . . . 767
14.4.1 Anwendung der Cauchyschen Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
14.4.2 Anwendung des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
14.4.3.1 Lemma von Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
14.5 Algebraische und elementare transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 771
14.5.1 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
14.5.2 Elementare transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
14.6 Elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
14.6.1 Zusammenhang mit elliptischen Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
14.6.2 Jacobische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
14.6.3 Thetafunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
14.6.4 Weierstrasssche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779
15 Integraltransformationen 780
15.1 Begriff der Integraltransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . 780
15.1.2 Spezielle Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
15.1.3 Umkehrtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
15.1.4 Linearität der Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
15.1.5 Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . 782
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
15.2 Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
15.2.1 Eigenschaften der Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
15.2.1.1 Laplace–Transformierte, Original- und Bildbereich . . . . . . . . . 783
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Inhaltsverzeichnis XXIX
15.2.1.2 Rechenregeln zur Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . 784
15.2.1.3 Bildfunktionen spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 787
15.2.1.4 Diracsche Delta–Funktion und Distributionen . . . . . . . . . . . 790
15.2.2 Rücktransformation in den Originalbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
15.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen . . . . . . . . . . . . . 791
15.2.2.2 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
15.2.2.3 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
15.2.2.4 Umkehrintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793
15.2.3 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace–Transformation . . 794
15.2.3.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
15.2.3.2 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
15.2.3.3 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796
15.3 Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
15.3.1 Eigenschaften der Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
15.3.1.1 Fourier–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
15.3.1.2 Fourier–Transformation und Umkehrtransformation . . . . . . . . 798
15.3.1.3 Rechenregeln zur Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . 800
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 803
15.3.2 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier–Transformation . . 804
15.3.2.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 804
15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
15.4 Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
15.4.1 Eigenschaften der Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
15.4.1.1 Diskrete Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
15.4.1.2 Definition der Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
15.4.1.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
15.4.1.4 Zusammenhang mit der Laplace–Transformation . . . . . . . . . . 809
15.4.1.5 Umkehrung der Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810
15.4.2 Anwendungen der Z–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen . . . . . . . . . 811
15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe) . . . . . . 812
15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe) . . . . . . . . 813
15.5 Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
15.5.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
15.5.2 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
15.5.3 Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815
15.5.4 Diskrete Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
15.5.4.1 Schnelle Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
15.5.4.2 Diskrete Haar–Wavelet–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 816
15.5.5 Gabor–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
15.6 Walsh–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
15.6.1 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
15.6.2 Walsh–Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 818
16.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
16.1.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
16.1.2 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
16.1.3 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819
16.1.4 Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . 820
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XXX Inhaltsverzeichnis
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820
16.2.1 Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . 820
16.2.1.1 Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820
16.2.1.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 821
16.2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes . . . . . . . . . . . 823
16.2.2 Zufallsgrößen, Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
16.2.2.1 Zufallsveränderliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
16.2.2.2 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung . . 826
16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsveränderliche . . . . . . . . . . . . . . . 827
16.2.3 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827
16.2.3.1 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828
16.2.3.2 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829
16.2.3.3 Poisson–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
16.2.4 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
16.2.4.1 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
16.2.4.2 Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral . . . . . . . 832
16.2.4.3 Logarithmische Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832
16.2.4.4 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833
16.2.4.5 Weibull–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
16.2.4.6 χ 2 –Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835
16.2.4.7 Fisher–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835
16.2.4.8 Student–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836
16.2.5 Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837
16.2.5.1 Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 837
16.2.5.2 Grenzwertsatz von Lindeberg–Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . 838
16.2.6 Stochastische Prozesse und stochastische Ketten . . . . . . . . . . . . . . . 838
16.2.6.1 Grundbegriffe, Markoffsche Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . 838
16.2.6.2 Poisson–Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841
16.3 Mathematische Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843
16.3.1 Stichprobenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843
16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor . . . . . . . . . . . . 843
16.3.1.2 Stichprobenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
16.3.2 Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845
16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener Meßwerte . . . . . . . . . . . . . 845
16.3.2.2 Statistische Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846
16.3.3 Wichtige Prüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847
16.3.3.1 Prüfen auf Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847
16.3.3.2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . 849
16.3.3.3 Vertrauensgrenzen für den Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . 850
16.3.3.4 Vertrauensgrenzen für die Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . 851
16.3.3.5 Prinzip der Prüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
16.3.4 Korrelation und Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
16.3.4.1 Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen . . . . . . . . . 852
16.3.4.2 Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen . . . . . . . . . 853
16.3.4.3 Mehrdimensionale Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854
16.3.5 Monte–Carlo–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
16.3.5.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
16.3.5.2 Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
16.3.5.3 Beispiel für eine Monte–Carlo–Simulation . . . . . . . . . . . . . . 858
16.3.5.4 Anwendungen der Monte–Carlo–Methode in der numerischen
Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858
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Inhaltsverzeichnis XXXI
16.3.5.5 Weitere Anwendungen der Monte–Carlo–Methode . . . . . . . . . 860
16.4 Theorie der Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861
16.4.1 Meßfehler und ihre Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861
16.4.1.1 Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen . . . . . . . . . 861
16.4.1.2 Meßfehlerverteilungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861
16.4.1.3 Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen . . . . . . . . . 863
16.4.1.4 Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen . . . . . . . . . . . 866
16.4.1.5 Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit . . . . 866
16.4.1.6 Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit . . . 867
16.4.2 Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868
16.4.2.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 868
16.4.2.2 Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869
17 Dynamische Systeme und Chaos 870
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . 870
17.1.1 Dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870
17.1.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870
17.1.1.2 Invariante Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
17.1.2 Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . 873
17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur . . . . . . . . . . . 873
17.1.2.2 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874
17.1.2.3 Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876
17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879
17.1.2.5 Poincaré–Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
17.1.2.6 Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen . . . . . . . . 883
17.1.3 Zeitdiskrete dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen . . . . . . . . . . 885
17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
17.1.3.3 Topologische Konjugiertheit von zeitdiskreten Systemen . . . . . . 886
17.1.4 Strukturelle Stabilität (Robustheit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886
17.1.4.1 Strukturstabile Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 886
17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
17.1.4.3 Generische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
17.2.1 Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
17.2.1.1 Invariantes Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
17.2.1.2 Elemente der Ergodentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
17.2.2 Entropien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
17.2.2.1 Topologische Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
17.2.2.2 Metrische Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
17.2.3 Lyapunov–Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893
17.2.4 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
17.2.4.1 Metrische Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
17.2.4.2 Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen . . . . . . . . . 897
17.2.4.3 Lokale Hausdorff–Dimension nach Douady–Oesterlé . . . . . . . . 899
17.2.4.4 Beispiele von Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901
17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901
17.2.7 Rekonstruktion der Dynamik aus Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902
17.2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit generischen Eigenschaften . . . 902
17.2.7.2 Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften . . . . . . . . . . 903
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
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XXXII Inhaltsverzeichnis
17.3.1 Bifurkationen in Morse–Smale–Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
17.3.1.1 Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen . . . . . . . . . . . . . . . . 905
17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit . . . . . . . . 910
17.3.1.3 Globale Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
17.3.2 Übergänge zum Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914
17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . 914
17.3.2.2 Intermittenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914
17.3.2.3 Globale homokline Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
17.3.2.4 Auflösung eines Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
18 Optimierung 921
18.1 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
18.1.1 Problemstellung und geometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 921
18.1.1.1 Formen der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
18.1.1.2 Beispiele und graphische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
18.1.2 Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform . . . . . . . . . . . . 923
18.1.2.1 Ecke und Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923
18.1.2.2 Normalform der linearen Optimierungsaufgabe . . . . . . . . . . . 925
18.1.3 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
18.1.3.1 Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
18.1.3.2 Übergang zum neuen Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . . 926
18.1.3.3 Bestimmung eines ersten Simplextableaus . . . . . . . . . . . . . . 928
18.1.3.4 Revidiertes Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929
18.1.3.5 Dualität in der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . 930
18.1.4 Spezielle lineare Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932
18.1.4.1 Transportproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932
18.1.4.2 Zuordnungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934
18.1.4.3 Verteilungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
18.1.4.4 Rundreiseproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
18.1.4.5 Reihenfolgeproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
18.2 Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
18.2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
18.2.1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
18.2.1.2 Optimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
18.2.1.3 Dualität in der Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
18.2.2.1 Konvexe Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
18.2.2.2 Quadratische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
18.2.3 Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . 939
18.2.3.1 Verfahren von Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939
18.2.3.2 Verfahren von Hildreth–d’Esopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
18.2.4 Numerische Suchverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
18.2.4.1 Eindimensionale Suche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
18.2.4.2 Minimumsuche im n–dimensionalen euklidischen Vektorraum . . . 942
18.2.5 Verfahren für unrestringierte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943
18.2.5.1 Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren) . . . . . . 943
18.2.5.2 Anwendung des Newton–Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . 943
18.2.5.3 Verfahren der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . 944
18.2.5.4 Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP) . . . . . . . . 944
18.2.6 Evolutionsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
18.2.6.1 Evolutionsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
18.2.6.2 Evolutionsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946
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Inhaltsverzeichnis XXXIII
18.2.6.3 Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946
18.2.6.4 Erzeugung von Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946
18.2.6.5 Einsatzgebiete der Evolutionsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . 946
18.2.6.6 (1 + 1)–Mutations–Selektions–Strategie . . . . . . . . . . . . . . 947
18.2.6.7 Populationsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
18.2.7 Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen . . . . . . 949
18.2.7.1 Aufgabenstellung und Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . 949
18.2.7.2 Verfahren der zulässigen Richtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 949
18.2.7.3 Verfahren der projizierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . 951
18.2.8 Straf– und Barriereverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953
18.2.8.1 Strafverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953
18.2.8.2 Barriereverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954
18.2.9 Schnittebenenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955
18.3 Diskrete dynamische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
18.3.1 Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
18.3.1.1 n–stufige Entscheidungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
18.3.1.2 Dynamische Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
18.3.2 Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
18.3.2.1 Einkaufsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
18.3.2.2 Rucksackproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
18.3.3 Bellmansche Funktionalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
18.3.3.1 Eigenschaften der Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
18.3.3.2 Formulierung der Funktionalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 958
18.3.4 Bellmansches Optimalitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
18.3.5 Bellmansche Funktionalgleichungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
18.3.5.1 Bestimmung der minimalen Kosten . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
18.3.5.2 Bestimmung der optimalen Politik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
18.3.6 Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode . . . . . . . . . 960
18.3.6.1 Optimale Einkaufspolitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
18.3.6.2 Rucksackproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
19 Numerische Mathematik 962
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . 962
19.1.1 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
19.1.1.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
19.1.1.2 Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963
19.1.1.3 Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964
19.1.2 Lösung von Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965
19.1.2.1 Horner–Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965
19.1.2.2 Lage der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966
19.1.2.3 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967
19.2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968
19.2.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968
19.2.1.1 Dreieckszerlegung einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969
19.2.1.2 Cholesky–Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix . . . . 971
19.2.1.3 Orthogonalisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
19.2.1.4 Iteration in Gesamt- und Einzelschritten . . . . . . . . . . . . . . 973
19.2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974
19.2.2.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974
19.2.2.2 Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975
19.2.2.3 Ableitungsfreies Gauß–Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . 975
19.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976
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XXXIV Inhaltsverzeichnis
19.3.1 Allgemeine Quadraturformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976
19.3.2 Interpolationsquadraturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977
19.3.2.1 Rechteckformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977
19.3.2.2 Trapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977
19.3.2.3 Hermitesche Trapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
19.3.2.4 Simpson–Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
19.3.3 Quadraturformeln vom Gauß–Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
19.3.3.1 Gaußsche Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
19.3.4 Verfahren von Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
19.3.4.1 Algorithmus des Romberg–Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . 980
19.3.4.2 Extrapolationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . 982
19.4.1 Anfangswertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982
19.4.1.1 Eulersches Polygonzugverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982
19.4.1.2 Runge–Kutta–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
19.4.1.3 Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984
19.4.1.4 Prediktor–Korrektor–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984
19.4.1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
19.4.2 Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
19.4.2.1 Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
19.4.2.2 Ansatzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987
19.4.2.3 Schießverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988
19.5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 989
19.5.1 Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989
19.5.2 Ansatzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991
19.5.3 Methode der finiten Elemente (FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse . . . . . . . . . . . . . 996
19.6.1 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996
19.6.1.1 Newtonsche Interpolationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996
19.6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 996
19.6.1.3 Interpolation nach Aitken–Neville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997
19.6.2 Approximation im Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998
19.6.2.1 Stetige Aufgabe, Normalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 998
19.6.2.2 Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder–Verfahren . . 999
19.6.2.3 Mehrdimensionale Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
19.6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
19.6.3 Tschebyscheff–Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002
19.6.3.1 Aufgabenstellung und Alternantensatz . . . . . . . . . . . . . . . 1002
19.6.3.2 Eigenschaften der Tschebyscheff–Polynome . . . . . . . . . . . . . 1002
19.6.3.3 Remes–Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
19.6.3.4 Diskrete Tschebyscheff–Approximation und Optimierung . . . . . 1004
19.6.4 Harmonische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005
19.6.4.1 Formeln zur trigonometrischen Interpolation . . . . . . . . . . . . 1005
19.6.4.2 Schnelle Fourier–Transformation (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . 1006
19.7 Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines . . . . . . . . . . . . . . 1010
19.7.1 Kubische Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010
19.7.1.1 Interpolationssplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010
19.7.1.2 Ausgleichssplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
19.7.2 Bikubische Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
19.7.2.1 Anwendung bikubischer Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
19.7.2.2 Bikubische Interpolationssplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Inhaltsverzeichnis XXXV
19.7.2.3 Bikubische Ausgleichssplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013
19.7.3 Bernstein–Bézier–Darstellung von Kurven und Flächen . . . . . . . . . . . . 1013
19.7.3.1 Prinzip der B–B–Kurvendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
19.7.3.2 B–B–Flächendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015
19.8 Nutzung von Computern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016
19.8.1 Interne Zeichendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016
19.8.1.1 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016
19.8.1.2 Interne Zahlendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017
19.8.2 Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern . . . . . . . . . . . . . 1018
19.8.2.1 Einführung, Fehlerarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018
19.8.2.2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung . . . . . . . . . . . . . 1019
19.8.2.3 Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen . . . . . . . . . . . 1020
19.8.3 Bibliotheken numerischer Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
19.8.3.1 NAG–Bibliothek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
19.8.3.2 IMSL–Bibliothek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025
19.8.3.3 Aachener Bibliothek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026
19.8.4 Anwendung von interaktiven Programmsystemen und Computeralgebrasystemen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026
19.8.4.1 Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026
19.8.4.2 Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031
19.8.4.3 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
20 Computeralgebrasysteme – Beispiel Mathematica 1038
20.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
20.1.1 Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen . . . . . . . . . . . . . . 1038
20.1.2 Zwei einführende Beispiele für die
Hauptanwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
20.1.2.1 Formelmanipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
20.1.2.2 Numerische Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
20.2 Wichtige Strukturelemente von Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
20.2.1 Haupstrukturelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
20.2.2 Zahlenarten in Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
20.2.2.1 Grundtypen von Zahlen in Mathematica . . . . . . . . . . . . . . 1040
20.2.2.2 Spezielle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041
20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen . . . . . . . . . . . . . 1041
20.2.3 Wichtige Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
20.2.4 Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
20.2.4.1 Begriff und Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
20.2.4.2 Verschachtelte Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
20.2.4.3 Operationen mit Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
20.2.4.4 Spezielle Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
20.2.5.1 Aufstellung geeigneter Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . 1045
20.2.6 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
20.2.6.1 Standardfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
20.2.6.2 Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
20.2.6.3 Reine Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
20.2.7 Muster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
20.2.8 Funktionaloperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048
20.2.9 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049
20.2.10 Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen . . . . . . . . . . . . . 1050
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

XXXVI Inhaltsverzeichnis
20.2.10.1 Kontexte, Attribute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
20.2.10.2 Informationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
20.2.10.3 Meldungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
20.3 Wichtige Anwendungsgebiete von Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
20.3.1 Manipulation algebraischer Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
20.3.1.1 Multiplikation von Ausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
20.3.1.2 Faktorzerlegung von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
20.3.1.3 Operationen auf Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053
20.3.1.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053
20.3.1.5 Manipulation nichtpolynomialer Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . 1053
20.3.2 Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . 1054
20.3.2.1 Gleichungen als logische Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054
20.3.2.2 Lösung von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054
20.3.2.3 Lösung transzendenter Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
20.3.2.4 Lösung von Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
20.3.3 Lineare Gleichungssysteme und Eigenwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . 1056
20.3.4 Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058
20.3.4.1 Berechnung von Differentialquotienten . . . . . . . . . . . . . . . 1058
20.3.4.2 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
20.3.4.3 Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . 1060
20.3.4.4 Lösung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
20.4 Graphik mit Mathematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
20.4.1 Grundlagen des Graphikaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
20.4.2 Graphik–Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062
20.4.3 Graphikoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
20.4.4 Syntax der Graphikdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
20.4.4.1 Aufbau von Graphikobjekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
20.4.4.2 Graphische Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 1063
20.4.5 Zweidimensionale Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
20.4.5.1 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
20.4.5.2 Funktion y = x +Arcothx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
20.4.5.3 Bessel–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
20.4.6 Parameterdarstellung von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
20.4.7 Darstellung von Flächen und Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
20.4.7.1 Graphische Darstellung von Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . 1067
20.4.7.2 Optionen für 3D–Graphik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
20.4.7.3 Dreidimensionale Objekte in Parameterdarstellung . . . . . . . . . 1068
21 Tabellen 1069
21.1 Häufig gebrauchte Konstanten und Zahlenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069
21.2 Wichtige physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069
21.3 Dezimalvorsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070
21.4 Physikalische Einheiten im SI–System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
21.6 Fourier–Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078
21.7 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
21.7.1 Integrale rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
21.7.1.1 Integrale mit X = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
21.7.1.2 Integrale mit X = ax 2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083
21.7.1.3 Integrale mit X = a 2 ± x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084
21.7.1.4 Integrale mit X = a 3 ± x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086
21.7.1.5 Integrale mit X = a 4 + x 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Inhaltsverzeichnis XXXVII
21.7.1.6 Integrale mit X = a 4 − x 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087
21.7.1.7 Einige Fälle der Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 1087
21.7.2 Integrale irrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
21.7.2.1 Integrale mit √ x und a 2 ± b 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
21.7.2.2 Andere Integrale mit √ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
21.7.2.3 Integrale mit √ ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
21.7.2.4 Integrale mit √ ax + b und √ fx+ g . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090
21.7.2.5 Integrale mit √ a 2 − x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
21.7.2.6 Integrale mit √ x 2 + a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092
21.7.2.7 Integrale mit √ x 2 − a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094
21.7.2.8 Integrale mit √ ax 2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096
21.7.2.9 Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken . . . . . . . . . . . 1098
21.7.2.10 Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential . . . 1098
21.7.3 Integrale trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098
21.7.3.1 Integrale mit Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098
21.7.3.2 Integrale mit Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
21.7.3.3 Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . 1103
21.7.3.4 Integrale mit Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107
21.7.3.5 Integrale mit Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107
21.7.4 Integrale anderer transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108
21.7.4.1 Integrale mit Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108
21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109
21.7.4.3 Integrale mit logarithmischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 1110
21.7.4.4 Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . 1112
21.7.4.5 Integrale mit inversen Hyperbelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 1113
21.8 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114
21.8.1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 1114
21.8.2 Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 1115
21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 1116
21.8.4 Bestimmte Integrale algebraischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117
21.9 Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119
21.9.1 Elliptische Integrale 1. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119
21.9.2 Elliptische Integrale 2. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119
21.9.3 Vollständige elliptische Integrale K und E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120
21.10 Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121
21.11 Bessel–Funktionen (Zylinderfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122
21.12 Legendresche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124
21.13 Laplace–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125
21.14 Fourier–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131
21.14.1Fourier–Kosinus–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131
21.14.2Fourier–Sinus–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137
21.14.3Fourier–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142
21.14.4Exponentielle Fourier–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144
21.15 Z–Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145
21.16 Poisson–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148
21.17 Normierte Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150
21.18 χ 2 –Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152
21.19 Fishersche F –Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153
21.20 Studentsche t–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155
21.21 Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156
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XXXVIII Inhaltsverzeichnis
22 Literatur 1157
Stichwortverzeichnis 1174
Mathematische Zeichen 1227
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780 15. Integraltransformationen
15 Integraltransformationen
15.1 Begriff der Integraltransformation
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen
Unter einer Integraltransformation versteht man einen Zusammenhang zwischen zwei Funktionen f(t)
und F (p) derForm
F (p) =
+∞ �
−∞
K(p, t)f(t) dt . (15.1a)
Die Funktion f(t) heißtOriginalfunktion, ihr Definitionsbereich Originalbereich. Die Funktion F (p)
nennt man Bildfunktion, ihren Definitionsbereich Bildbereich.
Die Funktion K(p, t)heißtderKern der Transformation. Während es sich bei t um eine reelle Veränderliche
handelt, ist p = σ +iω eine komplexe Variable.
Eine abgekürzte Schreibweise erhält man durch Einführung des Symbols T für die Integraltransformation
mit dem Kern K(p, t):
F (p) =T{f(t)} . (15.1b)
Man spricht kurz von T –Transformation.
15.1.2 Spezielle Integraltransformationen
Für unterschiedliche Kerne K(p, t) und unterschiedliche Definitionsbereiche erhält man unterschiedliche
Integraltransformationen. Die verbreitetsten sind die Laplace–Transformation, die Laplace–
Carson–Transformation sowie die Fourier–Transformation. In Tabelle 15.1 ist ein Überblick über
Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen gegeben. Hinzu kommen heute vor allem
bei der Bilderkennung oder bei der Charakterisierung von Signalen noch weitere Transformationen
wie die Wavelet–Transformation, dieGabor–Transformation und die Walsh–Transformation
(s. 15.6, S. 813ff.).
15.1.3 Umkehrtransformationen
In den Anwendungen ist die Rücktransformation einer Bildfunktion in die Originalfunktion von unmittelbarem
Interesse. Man spricht auch von Umkehrtransformation oder inverser Transformation. Bei
Benutzung des Symbols T −1 schreibt sich die Umkehrung der Integraltransformation (15.1b) gemäß
f(t) =T −1 {F (p)} . (15.2a)
Der Operator T −1 heißt der zu T inverse Operator, so daß gilt:
T −1 {T {f(t)}} = f(t) . (15.2b)
Die Bestimmung der Umkehrtransformation bedeutet, die Lösung der Integralgleichung (15.1a) zu suchen,
in der die Funktion F (p) gegeben ist und die Funktion f(t) gesuchtwird.WenneineLösung
existiert, kann sie in der Form
f(t) =T −1 {F (p)} (15.2c)
geschrieben werden. Die explizite Bestimmung der inversen Operatoren für die verschiedenen Integraltransformationen,
d.h. für verschiedene Kerne K(p, t), gehört zu den grundlegenden Problemen der
Theorie der Integraltransformationen. Der Anwender benutzt zur Lösung seiner Probleme vor allem
die in entsprechenden Tabellen angegebenen Korrespondenzen von zusammengehörigen Bild- und Originalfunktionen
(Tabelle 21.14.1, 21.14.2, 21.14.3 und 21.14.4).
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15.1 Begriff der Integraltransformation 781
Tabelle 15.1 Übersicht über Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen
Transformation Kern K(p, t) Symbol Bemerkung
Laplace–
Transformation
Zweiseitige
Laplace–
Transformation
Endliche
Laplace–
Transformation
Laplace–
Carson–
Transformation
Fourier–
Transformation
Einseitige
Fourier–
Transformation
Endliche
Fourier–
Transformation
Fourier–
Kosinus–
Transformation
Fourier–Sinus–
Transformation
Mellin–
Transformation
Hankel–
Transformation
ν–ter Ordnung
Stieltjes–
Transformation
� 0 für t0
L{f(t)} =
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�∞
e −pt L II{f(t)} =
⎧
⎨ 0 für t

782 15. Integraltransformationen
15.1.4 Linearität der Integraltransformationen
Sind f1(t) und f2(t) transformierbare Funktionen, dann gilt
T{k1f1(t)+k2f2(t)} = k1T {f1(t)} + k2T {f2(t)} , (15.3)
wobei k1 und k2 beliebige Zahlen sein können. Das bedeutet, daß eine Integraltransformation eine lineare
Operation auf der Menge T der T –transformierbaren Funktionen darstellt.
15.1.5 Integraltransformationen für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen werden auch Mehrfach–Integraltransformationen
genannt (s. [15.14]). Am verbreitetsten sind die zweifache Laplace–Transformation,d.h.dieLaplace–Transformation
für eine Funktion von zwei Veränderlichen, die zweifache Laplace–Carson–Transformation
und die zweifache Fourier–Transformation. Mit dem Symbol L für
die Laplace–Transformation lautet die Definitionsgleichung
F (p, q) =L 2 {f(x, y)} ≡
�∞
�∞
x=0 y=0
e −px−qy f(x, y) dx dy . (15.4)
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen
1. Prinzipielle Bedeutung Neben der großen theoretischen Bedeutung, die Integraltransformationen
in solchen grundlegenden Gebieten der Mathematik wie der Theorie der Integralgleichungen und
der Theorie der linearen Operatoren besitzen, haben sie ein breites Anwendungsfeld bei der Lösung
praktischer Probleme in Physik und Technik gefunden. Methoden mit dem Einsatz von Integraltransformationen
werden häufig Operatorenmethoden genannt. Sie eignen sich zur Lösung von gewöhnlichen
und partiellen Differentialgleichungen, von Integralgleichungen und Differenzengleichungen.
2. Schema der Operatorenmethode Das allgemeine Schema des Einsatzes der Operatorenmethode
mit Integraltransformation ist in Abb.15.1 dargestellt. Die Lösung eines Problems wird nicht
auf direktem Wege durch unmittelbare Lösung der Ausgangsgleichung gesucht; man strebt sie vielmehr
über eine Integraltransformation an. Die Rücktransformation der Lösung der transformierten Lösung
führt dann auf die Lösung der Ausgangsgleichung.
Aufgabe
Lösung über die
Transformation
Gleichung der
Aufgabe
transformierte
Gleichung
Lösung der
Gleichgung
Lösung der
transformierten
Gleichung
Ergebnis
Transformation Inverse Transformation
Abbildung 15.1
Die Anwendung der Operatorenmethode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen besteht in
den folgenden drei Schritten:
1. Übergang von einer Differentialgleichung für die unbekannte Funktion zu einer Gleichung für ihre
Transformierte.
2. Auflösung der erhaltenen Gleichung im Bildbereich, die im allgemeinen keine Differentialgleichung
mehr ist, sondern eine algebraische Gleichung, nach der Bildfunktion.
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15.2 Laplace–Transformation 783
3. Rücktransformation der Bildfunktion mit Hilfe von T −1 in den Originalbereich, d.h. Bestimmung
der Originalfunktion.
Die Schwierigkeit der Operatorenmethode liegt oft nicht in der Lösung der transformierten Gleichung,
sondern im Übergang von der Funktion zur Transformierten und umgekehrt.
15.2 Laplace–Transformation
15.2.1 Eigenschaften der Laplace–Transformation
15.2.1.1 Laplace–Transformierte, Original- und Bildbereich
1. Definition der Laplace–Transformation Die Laplace–Transformation
L{f(t)} =
�∞
0
e −pt f(t) dt = F (p) (15.5)
ordnet einer gegebenen Funktion f(t) der reellen Veränderlichen t , Originalfunktion genannt, eine andere
Funktion F (p) der komplexen Veränderlichen p zu, die Bildfunktion genannt wird. Dabei wird
vorausgesetzt, daß die Originalfunktion f(t) in ihrem Definitionsbereich t ≥ 0,demOriginalbereich, stückweise glatt ist und für t →∞nicht stärker als eαt mit α>0 gegen ∞ strebt. Der Definitionsbereich
der Bildfunktion F (p) wirdBildbereich genannt.
Häufig wird in der Literatur die Laplace–Transformierte auch in der Wagnerschen oder Laplace–
Carsonschen Form
�∞
LW {f(t)} = p e −pt f(t) dt = pF(p) (15.6)
0
eingeführt (s. [15.15]).
2. Konvergenz Das Laplace–Integral L{f(t)} konvergiert in der rechten Halbebene Re p>α
(Abb.15.2). Die Bildfunktion F (p) ist dann dort eine analytische Funktion mit den Eigenschaften
1. lim
Re p→∞
F (p) =0. (15.7a)
Jede Bildfunktion muß diese notwendige Bedingung erfüllen.
pF(p) =A, (15.7b)
2. lim
p→0
(p→∞)
falls die Originalfunktion f(t) einen endlichen Grenzwert lim f(t) =A besitzt.
t→∞
(t→0)
Im p
0
α
Re p
1
0
a)
f(t)=sin t
1
2�
a
t 0 t
Abbildung 15.2
Abbildung 15.3
3. Inverse Laplace–Transformation (Rücktransformation) Aus der Bildfunktion erhält man
die Originalfunktion mit Hilfe der Umkehrformel
L −1 {F (p)} = 1
c+i∞ �
e
2πi
pt �
F (p) dp =
f(t)
0
für t>0,
für t

784 15. Integraltransformationen
Der Integrationsweg dieses komplexen Integrals ist die Parallele Re p = c zur imaginären Achse, wobei
Re p = c>αgilt. Ist die Stelle t = 0 eine Sprungstelle, d.h. ist lim f(t) �= 0 , dann gibt das Integral
t → +0
dort den Wert 1
f(+0) an.
2
15.2.1.2 Rechenregeln zur Laplace–Transformation
Unter Rechenregeln versteht man im Zusammenhang mit Integraltransformationen die Abbildung von
Operationen im Originalbereich auf andere Operationen im Bildbereich.
Im folgenden werden Originalfunktionen stets mit kleinen Buchstaben bezeichnet, die jeweils zugehörigen
Bildfunktionen mit den entsprechenden großen Buchstaben.
1. Additions- oder Linearitätssatz
Die Laplace–Transformation einer Summe ist gleich der Summe der Laplace–Transformierten, wobei
konstante Faktoren vor das Laplace–Integral gezogen werden können (λ1,...,λn Konstanten):
L{λ1f1(t)+λ2f2(t)+···+ λnfn(t)} = λ1F1(p)+λ2F2(p)+···+ λnFn(p) . (15.9)
2. Ähnlichkeitssätze
Die Laplace–Transformierte von f(at)(a>0,areell) ergibt eine Laplace–Transformierte, die gleich
der Transformierten der durch a dividierten Originalfunktion ist, aber mit dem Argument p/a:
L{f(at)} = 1
a F
� �
p
(a >0, reell). (15.10a)
a
In Analogie dazu gilt für die Rücktransformation
L −1 {F (ap)} = 1
a f
� �
t
(a >0) . (15.10b)
a
Die Abb.15.3 zeigt die Ähnlichkeitstransformation am Beispiel einer Sinusfunktion.
Berechnung der Laplace–Transformierten von f(t) =sin(ωt) . Die Korrespondenz für die Sinusfunktion
lautet L{sin(t)} = F (p) =1/(p2 + 1). Die Anwendung des Ähnlichkeitssatzes liefert
L{sin(ωt)} = 1
ω F
� �
p
=
ω
1 1
ω (p/ω) 2 +1 =
ω
p2 .
+ ω2 3. Verschiebungssätze
1. Verschiebung nach rechts Die Laplace–Transformierte einer um a (a >0) nach rechts verschobenen
Originalfunktion ist gleich der Laplace–Transformierten der nicht verschobenen Originalfunktion,
multipliziert mit dem Faktor e−ap :
L{f(t − a)} = e −ap F (p) . (15.11a)
2. Verschiebung nach links Die Laplace–Transformierte einer um a nach links verschobenen
Originalfunktion ist gleich der mit dem Faktor eap multiplizierten Differenz aus der Laplace–Transformierten
der nicht verschobenen Originalfunktion und dem Integral a�
f(t) e
0
−pt dt:
L{f(t + a)} = e ap
� � a
F (p) − e
0
−pt �
f(t) dt . (15.11b)
Die Abb.15.4 und 15.5 zeigen die Rechtsverschiebung einer Kosinusfunktion und die Linksverschiebung
einer Geraden.
4. Dämpfungssatz
Die Laplace–Transformierte einer mit dem Faktor e−bt gedämpften Originalfunktion ist gleich der
Laplace–Transformierten mit dem Argument p + b ( b beliebig komplex):
L{e −bt f(t)} = F (p + b) . (15.12)
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f(t)
1 1
2π
f(t)
0 t 0 3 3+2π t
15.2 Laplace–Transformation 785
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f(t)
f(t)
0 t -3 0 t
Abbildung 15.4
Abbildung 15.5
5. Differentiation im Originalbereich
Wenn die Ableitungen f ′ (t),f ′′ (t),...,f (n) (t) für t>0 existieren und die höchste auftretende Ableitung
von f(t) eine Bildfunktion besitzt, dann haben auch die niedrigeren Ableitungen einschließlich
f(t) eine Bildfunktion, und es gilt:
L{f ′ (t)} = pF(p) − f(+0),
L{f ′′ (t)} = p2 F (p) − f(+0) p − f ′ (+0),
........................................................
L{f (n) (t)} = pn F (p) − f(+0) pn−1 − f ′ (+0) pn−2 − ···
− f (n−2) (+0) p − f (n−1) (+0) mit
f (ν) (+0) = lim
t → +0 f (ν) ⎫
⎪⎬
(t) .
⎪⎭
(15.13)
Aus der Gleichung (15.13) ergibt sich die folgende Darstellung des Laplace–Integrals, die zur genäherten
Berechnung von Laplace–Integralen genutzt werden kann:
L{f(t)} = f(+0)
p + f ′ (+0)
p2 + f ′′ (+0)
p3 + ···+ f n−1 (+0)
pn−1 1
+
pn L{f (n) (t)} . (15.14)
6. Differentiation im Bildbereich
L{t n f(t)} =(−1) n F (n) (p) . (15.15)
Die n–te Ableitung der Bildfunktion ist gleich der Laplace–Transformierten der mit (−t) n =(−1) n t n
multiplizierten Originalfunktion f(t):
L{(−1) n t n f(t)} = F (n) (p) (n =1, 2,...) . (15.16)
7. Integration im Originalbereich
Die Bildfunktion eines Integrals über die Originalfunktion ist gleich der Bildfunktion der Originalfunktion,
multipliziert mit 1/pn (n>0):
⎧
⎫
⎨�t
τ1 τn−1
� �
⎬
L dτ1 dτ2 ... f(τn) dτn
⎩
⎭
0 0
0
=
1
(n − 1) ! L
⎧
⎨�t
(t − τ)
⎩
0
(n−1) ⎫
⎬ 1
f(τ) dτ = F (p) . (15.17a)
⎭ pn Im Spezialfall des gewöhnlichen einfachen Integrals gilt:
⎧ ⎫
⎨�t
⎬ 1
L f(τ) dτ = F (p) .
⎩ ⎭ p
0
(15.17b)
Im Originalbereich heben sich Differentiation und Integration gegenseitig auf, wenn die Anfangswerte
verschwinden.
8. Integration im Bildbereich
�
f(t)
L
tn � �∞
�∞
�∞
�∞
1
= dp1 dp2 ... F (pn) dpn = (z − p)
(n − 1) !
p
p
n−1 F (z) dz . (15.18)
p1
pn−1

786 15. Integraltransformationen
Diese Formel gilt nur, wenn f(t)/tn eine Laplace–Transformierte besitzt. Dazu muß f(x) für t → 0
genügend stark gegen Null streben. Als Integrationsweg kann ein beliebiger, von p ausgehender Strahl
gewählt werden, der mit der reellen Achse einen spitzen Winkel bildet.
9. Divisionssatz
Im Spezialfall n = 1 von (15.18) gilt:
� � �∞
f(t)
L = F (z) dz .
t
p
f(t)
Damit das Integral (15.19) existiert, muß der Grenzwert lim existieren.
t→0 t
(15.19)
10. Differentiation und Integration nach einem Parameter
� �
∂f(t, α)
L
=
∂α
∂F(p, α)
,
∂α
(15.20a)
⎧
⎫
⎨ �α2
⎬
L f(t, α) dα
⎩
⎭
α1
=
�α2
F (p, α) dα .
α1
(15.20b)
Mit Hilfe dieser Formeln kann man manchmal Laplace–Integrale aus bereits bekannten berechnen.
11. Faltung
1. Faltung im Originalbereich Als Faltung zweier Funktionen f1(t) und f2(t) bezeichnet man das
Integral
�t
f1 ∗ f2 = f1(τ) · f2(t − τ) dτ . (15.21)
0
Die Gleichung (15.21) wird auch einseitige Faltung im Intervall (0,t)genannt.Einezweiseitige Faltung
tritt bei der Fourier–Transformation (Faltung im Intervall (−∞, ∞)) auf (s. 15.3.1.3,9., S. 802).
Die Faltung (15.21) besitzt die Eigenschaften
a) Kommutatives Gesetz: f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 , (15.22a)
b) Assoziatives Gesetz: (f1 ∗ f2) ∗ f3 = f1 ∗ (f2 ∗ f3) , (15.22b)
c) Distributives Gesetz: (f1 + f2) ∗ f3 = f1 ∗ f3 + f2 ∗ f3 . (15.22c)
g(t)
f(t)
(f g)(t)
*
Abbildung 15.6
t
t
t
Im Bildbereich entspricht der Faltung die gewöhnliche
Multiplikation:
L{f1 ∗ f2} = F1(p) · F2(p) . (15.23)
In Abb.15.6 ist die Faltung zweier Funktionen
graphisch dargestellt. Man kann den Faltungssatz
zur Bestimmung der Originalfunktion wie
folgt benutzen:
1. Faktorisierung der Bildfunktion
F (p) =F1(p) · F2(p).
2. Ermittlung der Originalfunktionen f1(t) und
f2(t) der Bildfunktionen F1(p) und F2(p) gemäß
Tabelle.
3. Bildung der Originalfunktion durch Faltung
von f1(t) mitf2(t) im Originalbereich gemäß
f(t) =f1(t) ∗ f2(t) , die zur gegebenen Bildfunktion
F (p) gehört.
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2. Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung)
⎧ x1+i∞ �
1
F1(z) · F2(p − z) dz ,
⎪⎨ 2πi
x1−i∞
L{f1(t) · f2(t)} =
x2+i∞ �
1
⎪⎩
F1(p − z) · F2(p) dz .
2πi
x2−i∞
15.2 Laplace–Transformation 787
(15.24)
Die Integration erfolgt längs einer Parallelen zur imaginären Achse. Im ersten Integral müssen x1 und
p so gewählt werden, daß z in der Konvergenzhalbebene von L{f1} liegt und p − z in der Konvergenzhalbebene
von L{f2} . Entsprechendes gilt für das zweite Integral.
15.2.1.3 Bildfunktionen spezieller Funktionen
1. Sprungfunktion Der Einheitssprung bei t = t0 wird durch die Sprungfunktion (Abb.15.7)
(s. auch 14.4.3.2,3., S. 770), auch Heavisidesche Sprung– oder Einheitsfunktion genannt,
�
1für t>t0 ,
u(t − t0) =
0für t 0) (15.25)
A: f(t) =u(t − t0)sinωt, F(p) =e−t0p ω cos ωt0 + p sin ωt0
p2 + ω2 (Abb.15.8).
B: f(t) =u(t − t0)sinω (t − t0), F(p) =e −t0p ω
p 2 + ω 2
f(t)
u(t-t0 )
1
0 t0 t
Abbildung 15.7
f(t)
1
u(t-t 0)
sin�t � t0 t
Abbildung 15.8
(Abb.15.9).
f(t)
1
u(t-t 0) sin �(t-t
0)
0 t0 t
Abbildung 15.9
2. Rechteckimpuls Ein Rechteckimpuls der Höhe 1 und der Breite T (Abb.15.10) entsteht durch
Überlagerung zweier Sprungfunktionen in der Form
⎧
⎨ 0
uT (t − t0) =u(t − t0) − u(t − t0 − T )= 1
⎩
0
für t

788 15. Integraltransformationen
1
f(t)
u T (t-t 0 )
0 t0 t0 +T t
Abbildung 15.10
Für eine stetige Funktion h(t) gilt:
�b
a
�
h(t0) , falls t0 innerhalb (a, b),
h(t) δ(t − t0) dt =
0, falls t0 außerhalb (a, b).
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1
T
f(t)
0 t0 t0 +T t
Abbildung 15.11
(15.29)
Beziehungen der Art
du(t − t0)
δ(t − t0) = ,
dt
L{ δ(t − t0)} = e −t0p
(t0 ≥ 0) (15.30)
werden im allgemeineren Sinne in der Distributionstheorie untersucht (s. 12.9.5.3, S. 713).
4. Stückweise differenzierbare Funktionen Die Bildfunktionen stückweise differenzierbarer Funktionen
lassen sich mit Hilfe der δ–Funktion leicht angeben:
Wenn f(t)stückweise differenzierbar ist und an den Stellen tν
ist ihre erste Ableitung in der Form
(ν =1, 2, ..., n) die Sprünge aν hat, dann
df (t)
dt = f ′ s(t)+a1δ(t − t1)+a2δ(t − t2)+···+ anδ(t − tn) (15.31)
darstellbar, wobei in den Bereichen, in denen f(t) differenzierbar ist, f ′ s(t) diegewöhnliche Ableitung
von f(t) bedeutet.
Wenn Sprünge erst in den Ableitungen auftreten, gelten für diese ganz entsprechende Formeln. Auf
diese Weise lassen sich die Bildfunktionen zu Kurvenzügen, die sich aus Parabelbögen beliebig hoher
Ordnung zusammensetzen (empirisch gefundene Kurven wird man meist durch solche einfachen Funktionen
annähern), ohne großen Rechenaufwand angeben. Bei formaler Anwendung von (15.13) sind im
Falle einer Sprungstelle die Werte f(+0),f ′ (+0),...gleich Null zu setzen.
�
at + b für 0

0
f(t)
t 0
t
Abbildung 15.12
Abbildung 15.13
f ′ ⎧
E/t0 ⎪⎨
0
(t) =
⎪⎩
−E/t0
0
für 0

790 15. Integraltransformationen
A: Die periodische Fortsetzung von f(t) aus Beispiel B (s. oben) mit der Periode T =2t0ergibt f ∗ (t) mitL{f ∗ (t)} = (1 − e−t0p ) 2
p2 1 1 − e−t0p
· =
1 − e−2t0p p2 (1 + e−t0p ) .
B: Die periodische Fortsetzung von f(t) aus Beispiel C (s. oben) mit der Periode T ergibt f ∗ (t)mit
L{f ∗ (t)} = E (1 − e−t0p )(1− e−(T −t0)p )
t0 p2 (1 − e−Tp .
)
15.2.1.4 Diracsche Delta–Funktion und Distributionen
Bei der Beschreibung gewisser technischer Systeme durch lineare Differentialgleichungen treten häufig
u(t) und δ(t)alsStör- oder Eingangsfunktion auf, obwohl die in 15.2.1.1, S. 783 geforderten Voraussetzungen
für die eindeutige Lösbarkeit nicht erfüllt sind: u(t) ist unstetig, δ(t) ist im Sinne der klassischen
Analysis nicht definierbar.
Einen Ausweg zeigt die Distributionstheorie durch die Einführung der sogenannten verallgemeinerten
Funktionen (Distributionen), unter die sich z.B. die bekannten stetigen, reellen Funktionen und δ(t)
einordnen lassen, wobei die notwendigen Differenzierbarkeitseigenschaften gewährleistet sind. Die Distributionen
gestatten verschiedene Darstellungen. Zu den bekanntesten gehört die von L. Schwartz
eingeführte stetige reelle Linearform (s. S. 712 und [12.14]).
Den periodischen Distributionen lassen sich analog zu den reellen Funktionen Fourier–Koeffizienten
und Fourier–Reihen eindeutig zuordnen (s. 7.4, S. 486).
1. Approximationen der Delta–Funktion
Analog zu (15.28) kann die Impulsfunktion δ(t) durch einen Rechteckimpuls der Breite ε und der Höhe
1/ε (ε >0) approximiert werden:
�
1/ε für |t| 0) , (15.33b)
f(t, ε) = ε/π
t2 + ε2 (ε >0) . (15.33c)
Allen diesen Funktionen sind die folgenden Eigenschaften gemeinsam:
1.
�∞
−∞
f(t, ε) dt =1. (15.34a)
2. f(−t, ε) =f(t, ε) , d.h., es sind gerade Funktionen. (15.34b)
3.
�
∞ für t =0,
lim f(t, ε) =
ε→0 0 für t �= 0.
(15.34c)
2. Eigenschaften der Delta–Funktion
Wichtige Eigenschaften der δ–Funktion im Hinblick auf ihre Anwendung sind:
1.
x+a �
x−a
f(t)δ(t − x) dt = f(x) (f stetig ,a>0) . (15.35)
2. δ(αx) = 1
δ(x) (α>0) . (15.36)
α
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15.2 Laplace–Transformation 791
n� 1
3. δ (g(x)) =
i=1 |g ′ (xi)| δ(x − xi) mit g(xi) =0undg ′ (xi) �= 0 (i =1, 2,...,n) , (15.37)
d.h. die Nullstellen von g(x)müssen einfach sein. Dabei sind sämtliche Nullstellen von g(x)zuberücksichtigen.
4. n–te Ableitung der Delta–Funktion: Nach n–maliger partieller Integration erhält man aus
f (n) (x) =
x+a �
x−a
f (n) (t) δ(t − x) dt (15.38a)
eine Vorschrift für die n–te Ableitung der δ–Funktion:
(−1) n f (n) (x) =
x+a �
x−a
f(t) δ (n) (t − x) dt . (15.38b)
15.2.2 Rücktransformation in den Originalbereich
Für die Rücktransformation in den Originalbereich stehen folgende Wege zur Verfügung:
1. Benutzung einer Tabelle zusammengehöriger Original- und Bildfunktionen, auch Korrespondenzen
genannt (s. Tabelle 21.13, S. 1125).
2. Zurückführung auf bekannte Korrespondenzen durch Umformung (s. 15.2.2.2, S. 791 und 15.2.2.3,
S. 792).
3. Auswertung der Umkehrformel (s. 15.2.2.4, S. 793).
15.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen
Die Benutzung der Tafeln wird hier an einem Beispiel aus Tabelle 21.13, S. 1125 demonstriert. Weitere
ausführliche Tafeln sind in [15.3] enthalten.
1
F (p) =
(p2 + ω2 )(p + c) = F1(p) · F2(p), L−1 {F1(p)} = L−1 �
1
p2 + ω2 �
= 1
sin ωt = f1(t),
ω
L−1 {F2(p)} = L−1 � �
1
= e
p + c
−ct = f2(t). Durch Anwendung des Faltungssatzes (15.23) erhält man:
f(t) = L −1 {F1(p) · F2(p)}
� t
� t
−c(t−τ) sin ωτ 1
= f1(τ) · f2(t − τ) dτ = e dτ =
0
0 ω c2 + ω2 �
c sin ωt − ω cos ωt
+ e
ω
−ct
�
.
15.2.2.2 Partialbruchzerlegung
1. Prinzip Häufig treten in den Anwendungen Bildfunktionen der Form F (p) =H(p)/G(p) auf,
wobei G(p) ein Polynom in p darstellt. Hat man die Originalfunktionen zu H(p) und 1/G(p) gefunden,
dann erhält man die gesuchten Originalfunktionen zu F (p) durch Anwendung des Faltungssatzes.
2. Einfache reelle Nullstellen von G(p) Hat die Bildfunktion 1/G(p) nur einfache Pole pν (ν =
1, 2,...,n) , dann gilt für sie die Partialbruchzerlegung
1
G(p) =
n� 1
ν=1 G ′ . (15.39)
(pν)(p − pν)
Daherlautetdiezugehörige Originalfunktion
q(t) =L −1
� �
1
n� 1
=
G(p) G ′ (pν) epνt . (15.40)
ν=1
3. Heavisidescher Entwicklungssatz Ist die Zählerfunktion H(p) ebenfalls ein Polynom von p ,
aber von niedrigerem Grade als G(p) , dann erhält man die Originalfunktion zu F (p) mit Hilfe der nach
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792 15. Integraltransformationen
Heaviside benannten Formel
n� H(pν)
f(t) =
ν=1 G ′ (pν) epνt . (15.41)
4. Komplexe Nullstellen Treten einfache komplexe Wurzeln im Nenner auf, dann kann man den
Heavisideschen Entwicklungssatz in der gleichen Weise anwenden. Man kann auch jeweils konjugiert
komplexe Glieder, die im Falle komplexer Nullstellen stets vorhanden sein müssen, zu einem quadratischen
Ausdruck zusammenfassen, dessen Rücktransformation wie auch im Falle mehrfacher Nullstellen
von G(p) mit Hilfe der Tabelle der Korrespondenzen durchgeführt werden kann.
1
F (p) =
(p + c)(p2 + ω2 ) , d.h., H(p) =1,G(p) =(p + c)(p2 + ω2 ),G ′ (p) =3p2 +2pc + ω2 .Die
Nullstellen von G(p) , d.h., p1 = −c, p2 =iω, p3 = −iω ,sindsämtlich einfach. Nach dem Heavi-
1
sideschen Entwicklungssatz erhält man f(t) =
ω2 + c2 e−ct 1
−
2ω(ω − ic) eiωt 1
−
2ω(ω +ic) e−iωt oder
1
durch Partialbruchzerlegung und Korrespondenztafel F (p) =
ω2 + c2 �
1 c − p
+
p + c p2 + ω2 �
, f(t) =
1
ω2 + c2 �
e −ct + c
�
sin ωt − cos ωt . Die beiden Ausdrücke für f(t) sind identisch.
ω
15.2.2.3 Reihenentwicklungen
Um f(t) ausF (p) zu gewinnen, versucht man bisweilen, F (p) ineineReiheF (p) = ∞�
Fn(p) zuent-
n=0
wickeln, deren Glieder Fn(p) bekannte Bildfunktionen sind, d.h. Fn(p) =L[fn(t)] .
1. F (p) − eine absolut konvergente Reihe Wenn F (p) ineinefür |p| >Rabsolut konvergente
Reihe der Form
∞� an
F (p) =
n=0 pλn (15.42)
entwickelt werden kann, wobei die λn eine beliebig aufsteigende Zahlenfolge 0

15.2 Laplace–Transformation 793
vielen Partialbrüchen zerlegbar ist, dann gilt der Zusammenhang
c+iyn �
1
e
2πi
c−iyn
tp n�
F (p) dp = bνe
ν=1
pνt − 1
�
e
2πi
(Kn)
tp F (p) dp . (15.44)
Dabei sind die pν (ν =1, 2,...,n) Pole 1. Ordnung der Funktion F (p),diebν die zugehörigen Residuen
(s. 14.3.5.4, S. 766), die yν gewisse Ordinaten und Kν gewisse Kurvenzüge, etwa Halbkreise in der in
Abb.15.19 angedeuteten Art. Die Lösung f(t) erhält man in der Form
∞�
f(t) = bνe
ν=1
pνt , wenn
�
1
e
2πi
(Kn)
tp F (p) dp → 0 (15.45)
für y →∞strebt, was allerdings nicht immer leicht nachzuweisen ist.
yn pnp3 y3 y2 p2 p
y1 1
K
x
1
K
-y1 2
K3 -y2 Kn -y3 -yn B
C
y
E
F
yn A
jω
ε
x
-jω
D
-yn
Abbildung 15.19
Abbildung 15.20
In manchen Fällen, wenn z.B. der rationale Anteil der meromorphen Funktion F (p) identisch Null ist,
bedeutet das eben gewonnene Ergebnis eine formale Übertragung des Heavisideschen Entwicklungssatzes
auf meromorphe Funktionen.
15.2.2.4 Umkehrintegral
Die Umkehrformel
c+iyn �
1
f(t) = lim e
yn→∞ 2πi
c−iyn
tp F (p) dp (15.46)
stellt ein Integral mit komplexem Weg über eine in gewissen Gebieten analytische Funktion dar, auf
das solche Methoden der Integration im Komplexen wie die Residuenrechnung oder die Verformung
des Integrationsweges nach dem Satz von Cauchy anwendbar sind.
p
F (p) =
p2 + ω2 e−√ pα √
ist wegen des Anteiles p doppeldeutig. Deshalb wird folgender Integrationsweg
gewählt (Abb.15.20):
�
1
e
2πi
(K)
tp p
p2 + ω2 e−√ � � � � � �
pα
dp = ··· + ··· + ··· + ··· + ··· + ··· =
⌢ ⌢ ⌢ DA BE FC
AB CD EF
� Res e tp F (p) =
√
ω/2 √
cos(ωt − α ω/2) . Nach dem Lemma von Jordan (s. 14.4.3, S. 768) verschwinden die Inte-
e −α
gralteile über ⌢ AB und ⌢ CD für yn →∞. Auf dem Kreisbogen ⌢ EF (Radius ε) bleibt der Integrand
beschränkt, und die Länge des Integrationsweges konvergiert gegen Null für ε → 0 ; daher verschwindet
dieser Integralbeitrag. Es bleibt das Integral über die beiden horizontalen Strecken BE und FC zu
untersuchen, wobei das obere (p = re iπ ) und untere (p = re −iπ ) Ufer der negativen reellen Achse zu
berücksichtigen sind:
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794 15. Integraltransformationen
� 0
F (p)e tp � ∞
dp = −
0
� −∞
−∞
e −tr r
r2 + ω2 e−iα √ r
dr,
0
Damit erhält man endgültig:
f(t) =e −α√ � � �
ω/2 ω
cos ωt− α −
2
1
� ∞
e π
0
−tr r sin α√r r2 dr .
+ ω2 F (p)e tp � ∞
dp =
0
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e −tr
r
r2 + ω2 e iα √ r
dr .
15.2.3 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der
Laplace–Transformation
Schon aus den Rechenregeln für die Laplace–Transformation (s. 15.2.1.2, S. 784) ist zu erkennen,
daß durch Anwendung der Laplace–Transformation komplizierte Operationen im Originalbereich wie
Differentiation oder Integration durch einfache algebraische Operationen im Bildbereich ersetzt werden
können. Dabei müssen allerdings, z.B. bei der Differentiation, noch Anfangsbedingungen berücksichtigt
werden. Von dieser Tatsache macht man bei der Lösung von Differentialgleichungen Gebrauch.
15.2.3.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten
1. Prinzip Die Differentialgleichung n–ter Ordnung
y (n) (t)+cn−1 y (n−1) (t)+···+ c1 y ′ (t)+c0 y(t) =f(t) (15.47a)
mit den Anfangswerten y(+0) = y0, y ′ (+0) = y ′ 0,...,y (n−1) (+0) = y (n−1)
0 geht durch Laplace–
Transformation in die Gleichung
n�
ckp k n� k−1 �
Y (p) − ck p k−ν−1 y (ν)
0 = F (p) (cn = 1) (15.47b)
k=0
k=1
ν=0
über. Dabei ist G(p) = n�
ckp
k=0
k = 0 die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung (s. 4.6.2.1,
S. 322 und 9.1.2.4, S. 568).
2. Differentialgleichung 1. Ordnung Original- und Bildgleichung lauten:
y ′ (t)+c0y(t) =f(t) , y(+0) = y0 , (15.48a) (p + c0) Y (p) − y0 = F (p) , (15.48b)
wobei c0 = const gilt. Für Y (p) ergibt sich dann
Y (p) =
F (p)+y0
. (15.48c)
p + c0
Spezialfall: Für f(t) =λe μt
(λ,μconst) erhält man mit F (p) = λ
p − μ
(15.49a)
λ
y0
Y (p) =
+ ,
(p − μ)(p + c0) p + c0
y(t) =
(15.49b)
λ
e
μ + c0
μt �
+ y0 − λ
�
e
μ + c0
−c0t . (15.49c)
3. Differentialgleichung 2. Ordnung Original- und Bildgleichung lauten:
y ′′ (t)+2ay ′ (t)+by(t) =f(t) , y(+0) = y0, y ′ (+0) = y ′ 0 . (15.50a)
(p 2 +2ap + b) Y (p) − 2ay0 − (py0 + y ′ 0)=F (p) .
Für Y (p) ergibt sich dann
(15.50b)
Y (p) = F (p)+(2a + p) y0 + y ′ 0
p2 . (15.50c)
+2ap + b

15.2 Laplace–Transformation 795
Fallunterscheidungen:
a) ba 2 : G(p) hat komplexe Nullstellen, (15.53a)
q(t) =L −1
� �
1 1
= √
G(p) b − a2 e−at sin √ b − a2t. (15.53b)
Die Lösung y(t)erhält man dann durch Faltung der Originalfunktionen des Zählers von Y (p)mitq(t).
Die Anwendung der Faltung wird man zu vermeiden und die rechte Seite möglichst direkt zu transformieren
suchen.
Die Bildgleichung für die Differentialgleichung y ′′ (t)+2y ′ (t)+10y(t) =37cos3t +9e−t mit y0 =1
und y ′ p +2
0 =0lautetY (p) =
p2 +2p +10 +
37p
(p2 +9)(p2 +2p + 10) +
9
(p +1)(p2 +2p + 10) .
Durch Partialbruchzerlegung des zweiten und dritten Terms der rechten Seite, wobei man die quadra-
−p
tischen Ausdrücke nicht in Linearfaktoren zerlegt, erhält man die Darstellung Y (p) =
p2 +2p +10 −
19
(p2 +2p + 10) +
p
(p2 18
+
+9) (p2 1
+ und nach gliedweiser Transformation (s. Tafel der Kor-
+9) (p +1)
respondenzen 21.13, S. 1125) die Lösung y(t) =(−cos 3t − 6sin3t)e−t +cos3t +6sin3t + e−t .
4. Differentialgleichung n–ter Ordnung Die charakteristische Gleichung G(p) = 0 dieser Differentialgleichung
habe nur einfache Wurzeln α1,α2,...,αn , von denen keine gleich Null ist. Für die
Störfunktion f(t) können zwei Fälle betrachtet werden.
1. Ist die Störfunktion f(t) gleich der in der Praxis häufig auftretenden Sprungfunktion u(t) , dann
lautet die Lösung:
�
1 für t>0 ,
u(t) =
(15.54a) y(t) =
0 für t

796 15. Integraltransformationen
− d
dp [ p2F (p) − pf(0) − f ′ dF (p)
(0) ] + pF (p) − f(0) − =0 oder
dp
�
Trennung der Veränderlichen und Integration liefert log F (p) =−
F (p) =
C
√ p 2 +1
dF p
= −
dp p2 F (p).
+1
pdp
p2 �
= − log p
+1 2 +1+logC ,
(C Integrationskonstante), f(t) =CJ0(t) (s. Beispiel S. 792 unten).
15.2.3.3 Partielle Differentialgleichungen
1. Allgemeine Vorgehensweise
Die Lösung einer partiellen Differentialgleichung ist eine Funktion mindestens zweier Variabler: u =
u(x, t). DadieLaplace–Transformation eine Integration bezüglich einer Variablen darstellt, ist die
andere Variable bei der Transformation als konstant zu betrachten:
�∞
L{u(x, t)} = e −pt u(x, t) dt = U(x, p) . (15.56)
0
Auch bei der Transformation von Ableitungen bleibt x fest:
� �
∂u(x, t)
L
= p L{u(x, t)}−u(x, +0) ,
∂t
� �
2 ∂ u(x, t)
L
= p2L{u(x, t)}−u(x, +0)p − ut(x, +0) .
∂t 2
(15.57)
Für die Ableitungen nach x ist vorauszusetzen, daß sie mit dem Laplace–Integral vertauschbar sind:
� �
∂u(x, t)
L
=
∂x
∂
∂
L{u(x, t)} = U(x, p) .
∂x ∂x
(15.58)
Damit erhält man im Bildbereich eine gewöhnliche Differentialgleichung. Außerdem sind die Rand- und
Anfangsbedingungen in den Bildbereich zu transformieren.
2. Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes
Medium
1. Problemstellung Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung mit verschwindendem Störglied
und für ein homogenes Medium sei in der Form
uxx − a −2 ut = uxx − uy = 0
in dem Grundgebiet 0

herzustellen, d.h.
15.3 Fourier–Transformation 797
U1(x, p) = e(l−x)√ p −(l−x) − e √ p
e l √ p − e−l √ , p (15.61c) U2(x, p) = e x √ p −x − e √ p
e l √ p − e−l √ . p (15.61d)
Die gesuchte Lösung der Bildgleichung hat dann die Form
U(x, p) =A0(p) U1(x, p)+A1(p) U2(x, p) . (15.62)
3. Rücktransformation Die Rücktransformation ist im Falle l →∞besonders einfach und liefert:
U(x, p) =A0(p)e −x√p , (15.63a)
x
u(x, t) =
2 √ �t
a0(t − τ)
π τ 3/2
�
exp − x2
�
dτ .
4τ
(15.63b)
15.3 Fourier–Transformation
15.3.1 Eigenschaften der Fourier–Transformation
15.3.1.1 Fourier–Integral
1. Fourier–Integral in komplexer Darstellung Grundlage der Fourier–Transformation ist das
Fourier–Integral, auch Integralformel von Fourier genannt: Falls eine nichtperiodische Funktion
f(t) in einem beliebigen endlichen Intervall den Dirichletschen Bedingungen genügt (s. 7.4.1.2,3.,
S. 487) und außerdem das Integral
+∞ �
|f(t)| dt
−∞
(15.64a) konvergiert, dann gilt f(t) = 1
2π
in jedem Punkt, in dem die Funktion f(t) stetig ist, und
f(t +0)+f(t − 0)
2
= 1
�∞
π
0
dω
+∞ �
−∞
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0
+∞ �
+∞ �
−∞ −∞
e iω(t−τ) f(τ) dω dτ (15.64b)
f(τ)cos ω (t − τ) dτ (15.64c)
in den Unstetigkeitsstellen.
2. Äquivalente Darstellungen Andere äquivalente Formen der Darstellung des Fourier–Integrals
(15.64b) sind:
1. f(t) = 1
2π
2. f(t) =
�∞
0
a(ω) = 1
π
3. f(t) =
4. f(t) =
�∞
0
�∞
0
+∞ �
+∞ �
−∞ −∞
f(τ)cos[ω (t − τ)]dω dτ . (15.65)
[ a(ω)cosωt + b(ω)sinωt ] dω mit den Koeffizienten (15.66a)
+∞ �
−∞
f(t)cosωt dt , (15.66b) b(ω) = 1
π
+∞ �
−∞
f(t)sinωt dt . (15.66c)
A(ω)cos[ωt + ψ(ω)]dω . (15.67)
A(ω)sin[ωt + ϕ(ω)]dω . (15.68)

798 15. Integraltransformationen
Dabei gelten die folgenden Beziehungen:
�
A(ω) = a2 (ω)+b2 (ω) , (15.69a) ϕ(ω) =ψ(ω)+ π
,
2
(15.69b)
cos ψ(ω) = a(ω)
,
A(ω)
(15.69c)
b(ω)
sin ψ(ω) = ,
A(ω)
(15.69d)
cos ϕ(ω) = b(ω)
a(ω)
, (15.69e) sin ϕ(ω) = . (15.69f)
A(ω) A(ω)
15.3.1.2 Fourier–Transformation und Umkehrtransformation
1. Definition und Existenz der Fourier–Transformation
Die Fourier–Transformation ist eine Integraltransformation der Form (15.1a), die aus dem Fourier–
Integral (15.64b) dadurch entsteht, daß man
F (ω) =
+∞ �
−∞
e −iωτ f(τ) dτ (15.70)
substituiert. Damit erhält man den folgenden Zusammenhang zwischen der reellen Originalfunktion
f(t) und der im allgemeinen komplexen Bildfunktion F (ω):
+∞ �
f(t) = 1
e
2π
−∞
iωt F (ω) dω . (15.71)
In der Kurzschreibweise verwendet man das Zeichen F:
F (ω) =F{f(t) } =
+∞ �
−∞
e −iωt f(t) dt . (15.72)
Die Originalfunktion f(t) heißtFourier–transformierbar, wenn das Integral (15.70), also ein uneigentliches
Integral mit dem Parameter ω , existiert. Wenn das Fourier–Integral nicht als gewöhnliches
uneigentliches Integral existiert, ist es als Cauchyscher Hauptwert zu verstehen (s. 8.2.3.3,1., S. 522).
Die Bildfunktion F (ω)nenntmanauchFourier–Transformierte; sie ist beschränkt, stetig und strebt
für |ω| →∞gegen Null:
lim F (ω) =0. (15.73)
|ω|→∞
Existenz und Beschränktheit von F (ω) folgen direkt aus der offensichtlich gültigen Ungleichung
|F (ω)| ≤
+∞ �
−∞
|e −iωt f(t)| dt ≤
+∞ �
−∞
|f(t)| dt . (15.74)
Für die Stetigkeit von F (ω) und die Eigenschaft F (ω) → 0für |ω| →∞ist die Existenz der Fourier–
Transformierten eine hinreichende Bedingung. Diese Aussage wird häufig in folgender Form benutzt:
Wenn die Funktion f(t) in(−∞ , ∞) absolut integrierbar ist, dann ist ihre Fourier–Transformierte
eine stetige Funktion von ω , und es gilt (15.73).
Die folgenden Funktionen sind nicht Fourier–transformierbar: konstante Funktionen, beliebige periodische
Funktionen (z.B. sin ωt,cos ωt), Potenzfunktionen, Polynome, Exponentialfunktionen (z.B.
e αt , Hyperbelfunktionen).
2. Fourier–Sinus- und Fourier–Kosinus–Transformation
In der Fourier–Transformation (15.72) kann der Integrand in Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt
werden. Dann ergibt sich die Fourier–Sinus– bzw. Fourier–Kosinus–Transformation.
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15.3 Fourier–Transformation 799
1. Fourier–Sinus–Transformation
�∞
Fs(ω) =Fs{ f(t) } = f(t)sin(ωt) dt . (15.75a)
0
2. Fourier–Kosinus–Transformation
�∞
Fc(ω) =Fc{ f(t) } = f(t)cos(ωt) dt . (15.75b)
0
3. Umrechnungsformeln Zwischen der Fourier–Sinus– (15.75a) und der Fourier–Kosinus–
Transformation (15.75b) einerseits und der Fourier–Transformation (15.72) andererseits bestehen
die folgenden Umrechnungsformeln:
F (ω) =F{f(t) } = Fc{ f(t)+f(−t) }−iFs{ f(t) − f(−t) }, (15.76a)
Fs(ω) = i
2 F{f(|t|)sign t } , (15.76b) Fc(ω) = 1
F{f(|t|) } .
2
(15.76c)
Für gerade bzw. ungerade Funktionen f(t) ergibt sich die Darstellung
f(t) gerade: F{f(t) } =2Fc{ f(t) } , (15.76d)
f(t) ungerade: F{f(t) } = −2iFs{ f(t) } . (15.76e)
3. Exponentielle Fourier–Transformation
Im Unterschied zu F (ω) gemäß (15.72) wird
+∞ �
Fe(ω) =Fe{f(t)} = 1
e
2
−∞
iωt f(t) dt
exponentielle Fourier–Transformation genannt. Es gilt
(15.77a)
F (ω) =2Fe(−ω) . (15.77b)
4. Tabellen der Fourier–Transformation
Auf Grund der Formeln (15.76a,b,c) brauchen entweder keine speziellen Tabellen für Korrespondenzen
der Fourier–Sinus– und Fourier–Kosinus–Transformation bereitgestellt zu werden, oder man
tabelliert die Fourier–Sinus– und Fourier–Kosinus–Transformationen und berechnet daraus mit
Hilfe von (15.76a,b,c) F (ω).InTabelle 21.14.1, s. S. 1131 und Tabelle 21.14.2, S. 1137) sind die
Fourier–Sinus–Transformation Fs und die Fourier–Kosinus–Transformation Fc tabelliert, darüber
hinaus in Tabelle 21.14.3, S. 1142) für einige Funktionen die Fourier–Transformationen F und in
Tabelle 21.14.4, S. 1144 für einige Funktionen die exponentiellen Fourier–Transformationen Fe .
Die Funktion des unipolaren Rechteckimpulses f(t) = 1 für |t| < t0 , f(t) = 0 für |t| > t0
(A.1) (Abb.15.21) erfüllt die Voraussetzungen der Existenz des Fourier–Integrals (15.64a). Man
erhält für die Koeffizienten gemäß (15.66b,c) a(ω) = 1
� +t0
cos ωtdt = 2
�
1 +t0
sin ωtdt= 0 (A.2) und damit gemäß (15.66a) f(t) =
π −t0
2
π
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π
−t0
� ∞
0
πω sin ωt0 und b(ω) =
sin ωt0cos ωt
dω (A.3).
ω
5. Spektralinterpretation der Fourier–Transformation
In Analogie zur Fourier–Reihe einer periodischen Funktion erfährt das Fourier–Integral für eine
nichtperiodische Funktion eine einfache physikalische Interpretation. Eine Funktion f(t), für die das
Fourier–Integral existiert, kann gemäß (15.67) und (15.68) als Summe sinusoidaler Schwingungen
mit der sich stetig ändernden Frequenz ω in der Form
A(ω) dω sin [ ωt+ ϕ(ω)], (15.78a) A(ω) dω cos [ ωt+ ψ(ω) ] (15.78b)
dargestellt werden. Der Ausdruck A(ω) dω gibt die Amplitude der Teilschwingungen an und ϕ(ω) und

800 15. Integraltransformationen
-t 0
f(t)
1
0 t0 t
Abbildung 15.21
-3π
-2π
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-π
0
F(ω)
2t 0
Abbildung 15.22
2
ω
π 2π 3π
ψ(ω) deren Phasen. Für die komplexe Schreibweise trifft die gleiche Interpretation zu: Die Funktion
f(t) ist eine Summe (bzw. Integral) von ω abhängigen Summanden des Typs
1
2π F (ω) dω eiωt , (15.79)
wobei die Größe 1
F (ω) sowohl die Amplitude als auch die Phase aller Teilvorgänge festlegt.
2π
Diese spektrale Interpretation des Fourier–Integrals und der Fourier–Transformation bedeutet einen
großen Vorteil für die Anwendung in Physik und Technik. Die Bildfunktion
F (ω) =|F (ω)|e iψ(ω)
bzw. F (ω) =|F (ω)| e iϕ(ω)
(15.80a)
nennt man Spektrum oder Frequenzspektrum der Funktion f(t), die Größe
|F (ω)| = πA(ω) (15.80b)
das Amplitudenspektrum und ϕ(ω) bzw.ψ(ω) dasPhasenspektrum der Funktion f(t).Zwischendem Spektrum F (ω) und den Koeffizienten (15.66b,c) besteht die Beziehung
F (ω) =π[ a(ω) − ib(ω)], (15.81)
woraus sich die folgenden Aussagen ergeben:
1. Ist f(t) eine reelle Funktion, dann ist das Amplitudenspektrum |F (ω)| eine gerade und das Phasenspektrum
eine ungerade Funktion von ω .
2. Ist f(t) eine reelle und gerade Funktion, dann ist ihr Spektrum F (ω) reell, ist f(t) reell und ungerade,
dann ist das Spektrum F (ω) imaginär.
Setzt man das Ergebnis (A.2) für den unipolaren Rechteckimpuls in 15.3.1.2,4., S. 799 in (15.81)
ein, dann ergibt sich für die Bildfunktion F (ω) und für das Amplitudenspektrum |F (ω)| (Abb.15.22)
� �
sin ωt0
�sin
ωt0�
F (ω) =F[ f(t)] = πa(ω) =2 (A.3), |F (ω)| =2�
�
� � (A.4). Die Berührungspunkte
ω
ω
des Amplitudenspektrums |F (ω)| mit der Hyperbel 2
ω ergeben sich für ω t0 = ±(2n +1) π
(n =
2
0, 1, 2,...).
15.3.1.3 Rechenregeln zur Fourier–Transformation
Wie bei der Laplace–Transformation bereits bemerkt, versteht man unter Rechenregeln im Zusammenhang
mit Integraltransformationen die Abbildung gewisser Operationen im Originalbereich auf
andere Operationen im Bildbereich. Wenn vorausgesetzt wird, daß die beiden Funktionen f(t) und
g(t) imIntervall(−∞ , ∞) absolut integrierbar sind und ihre Fourier–Transformierten
F (ω) =F{f(t) } und G(ω) =F{g(t) } (15.82)
gebildet werden können, dann gelten die folgenden Regeln.
ωt 0

15.3 Fourier–Transformation 801
1. Additions- oder Linearitätssatz
Sind α und β zwei Koeffizienten aus (−∞, ∞) , dann gilt:
F{αf(t)+βg(t) } = αF (ω)+βG(ω) . (15.83)
2. Ähnlichkeitssatz oder Maßstabsveränderung
Für α �= 0 und reell gilt
F{f(t/α) } = |α| F (αω) . (15.84)
3. Verschiebungssatz
Für α �= 0 , reell und β reell gilt
F{f(αt + β) } =(1/|α|) e iβω/α F (ω/α) oder (15.85a)
F{f(t − t0) } = e −iωt0 F (ω) . (15.85b)
Ersetzt man in (15.85b) t0 durch −t0 , dann ergibt sich
F{f(t + t0) } = e iωt0 F (ω) . (15.85c)
4. Dämpfungssatz
Für α>0 , reell und β ∈ (−∞, ∞) gilt
F{e iβt f(αt) } =(1/α)F ((ω − β)/α) oder (15.86a)
F{e iω0t f(t) } = F (ω − ω0) . (15.86b)
5. Differentiation im Bildbereich
Wenn die Funktion t n f(t) ∈ (−∞, ∞) absolut integrierbar ist, dann besitzt die Fourier–Transformierte
der Funktion f(t) n stetige Ableitungen, die mit Hilfe von
d k F (ω)
dω k
=
+∞ �
−∞
∂ k
∂ω k
�
e −iωt f(t) �
dt =(−i) k
+∞ �
−∞
bestimmt werden. Dabei ist k =1, 2,...,n, und es gilt:
lim
ω→±∞
d k F (ω)
e −iωt t k f(t) dt (15.87a)
=0. (15.87b)
dωk Unter den gemachten Voraussetzungen folgt aus diesen Beziehungen
F{t n f(t) } =i n dnF (ω)
dωn . (15.87c)
6. Differentiation im Originalbereich
1. Erste Ableitung Ist eine Funktion f(t) stetig und absolut integrierbar in (−∞, ∞) und strebt
sie für t →±∞gegen Null und existiert, ausgenommen gewisse Punkte, überall die Ableitung f ′ (t),
die in (−∞, ∞) absolut integrierbar sein muß, dann gilt
F{f ′ (t) } =iωF{f(t) } . (15.88a)
2. n–te Ableitung Stellt man in der Verallgemeinerung des Satzes für die 1. Ableitung an alle
weiteren Ableitungen bis zur (n − 1)–ten f (n−1) die gleichen Anforderungen, dann gilt
F{f (n) (t) } =(iω) n F{f(t) } . (15.88b)
Diese Differentiationsregeln werden bei der Lösung von Differentialgleichungen angewendet (s. 15.3.2,
S. 804).
7. Integration im Bildbereich
�α2
F (ω) dω =i[G(α2) − G(α1)] mit G(ω) =F{g(t)} und g(t) = f(t)
. (15.89)
t
α1
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802 15. Integraltransformationen
8. Integration im Originalbereich und Parsevalsche Formel
1. Integrationssatz Wenn die Voraussetzung
+∞ �
f(t) dt = 0 (15.90a) erfüllt ist, dann gilt
⎧
⎫
⎨ �t
⎬
F f(t) dt
⎩
⎭
−∞
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−∞
1
= F (ω) . (15.90b)
iω
2. Parsevalsche Formel Wenn die Funktion f(t) sowie ihr Quadrat im Intervall (−∞, ∞) integrierbar
sind, dann gilt
+∞ �
−∞
|f(t)| 2 dt = 1
2π
9. Faltung
Die zweiseitige Faltung
f1(t) ∗ f2(t) =
+∞ �
−∞
+∞ �
−∞
|F (ω)| 2 dω . (15.91)
f1(τ)f2(t − τ) dτ (15.92)
bezieht sich auf das Intervall (−∞, ∞) und existiert unter der Voraussetzung, daß die Funktionen f1(t)
und f2(t) imIntervall(−∞, ∞) absolut integrierbar sind. Wenn f1(t) und f2(t) beidefür t

4 sin2 ωt0
ω 2
15.3 Fourier–Transformation 803
� �
�sin
ωt0�
(A.6) und für das Amplitudenspektrum der Funktion f(t) |F (ω)| =2�
�
� �
ω
(A.7) .
ψ(t)
ϕ(t)
1
-2t 0
0 2t0 t
Abbildung 15.23
0
-1
2t0 t
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-2t 0
Abbildung 15.24
10. Vergleich von Fourier- und Laplace–Transformation
Zwischen Fourier– und Laplace–Transformation besteht ein enger Zusammenhang, der dadurch
gegeben ist, daß sich die Fourier–Transformation als Spezialfall der Laplace–Transformation für
den Fall p =iω ergibt. Daraus folgt, daß jede Fourier–transformierbare Funktion auch Laplace–
transformierbar ist, während das Umgekehrte nur für einen kleineren Kreis von Funktionen f(t)möglich
ist. Tabelle 15.2 enthält einen Vergleich einer Reihe von Eigenschaften der beiden Integraltransformationen.
Tabelle 15.2 Vergleich der Eigenschaften von Fourier– und Laplace–Transformation
Fourier–Transformation Laplace–Transformation
F (ω) =F{f(t) } = +∞ �
e−iωtf(t) dt F (p) =L{ f(t),p} = ∞�
e−ptf(t) dt
−∞
ω ist reell, physikalisch deutbar, z.B. als p ist komplex, p = r +ix .
Frequenz.
Ein Verschiebungssatz. Zwei Verschiebungssätze.
Intervall: (−∞, +∞) Intervall: [ 0, ∞)
Lösung von Differentialgleichungen, die Probleme
mit diesem zweiseitigem Definitionsbereich
beschreiben, z.B. die Wellen–Gleichung.
0
Lösung von Differentialgleichungen, die Probleme
mit diesem einseitigen Definitionsbereich beschreiben,
z.B. die Wärmeleitungs–Gleichung.
Differentiationssatz enthält keine Anfangswerte. Differentiationssatz enthält Anfangswerte.
Konvergenz des Fourier–Integrals hängt nur Konvergenz des Laplace–Integrals wird durch
von f(t) ab.
den Faktor e−pt verbessert.
Genügt der zweiseitigen Faltung. Genügt der einseitigen Faltung.
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionen
A: Welche Bildfunktion gehört zur Originalfunktion f(t) =e−a|t| , Re a>0 (A.1)? Unter Berück-
� +A
sichtigung von |t| = −t für t0 findet man mit (15.72): e
−A
−iωt−a|t| dt =
� 0
e
−A
−(iω−a)t � +A
dt + e
0
−(iω+a)t dt = − e−(iω−a)t
�
�0
�
� −
iω − a �
−A
e−(iω+a)t
�
�+A
�
� =
iω + a �
0
−1+e(iω−a)A
+
iω − a
1 − e−(iω+a)A
iω + a
(A.2). Da |e−aA | = e−A Re a und Re a>0 ist, existiert der Grenzwert von (A.2) für A →∞,sodaßsich
ergibt F (ω) =F{e−a|t| } = 2a
a2 (A.3).
+ ω2 B: Welche Bildfunktion gehört zur Originalfunktion f(t) =e−at , Re a>0? Die Funktion ist nicht
Fourier–transformierbar, weil der Grenzwert von � A
−A e−iωt−atdt für A →∞nicht existiert.

804 15. Integraltransformationen
C: Es ist die Fourier–Transformierte für den bipolaren Rechteckimpuls (Abb.15.24)
⎧
⎨ 1 für −2t0

15.3 Fourier–Transformation 805
2sinωt0 iωY + aY =
ω
(15.96c) überführt, so daß sich
sin ωt0
Y (ω) =2
ω(a +iω)
(15.96d)
ergibt. Die Rücktransformation führt auf
y(t) =F −1 { Y (ω) } = F −1
�
�
sin ωt0
2 =
ω(a +iω)
1
+∞ �
e
π
iωt sin ωt0
dω
ω(a +iω)
und (15.96e)
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−∞
⎧
0 für −∞

806 15. Integraltransformationen
Daraus ergibt sich:
(iω) 2 U(ω, t) − d2U(ω, t)
dt2 = 0 mit (15.101b)
F{u(x, 0) } = U(ω, 0) = F{f(x) } = F (ω) , (15.101c)
F{ut(x, 0) } = U ′ (ω, 0) = F{g(x) } = G(ω) . (15.101d)
ω 2 U + U ′′ =0. (15.101e)
Das Ergebnis ist eine gewöhnliche Differentialgleichung für die nun wieder als Veränderliche zu betrachtende
Zeitkoordinate t mit dem Parameter ω der Bildfunktion.
Die allgemeine Lösung dieser bekannten Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten lautet
U(ω, t) =C1e iωt + C2e −iωt .
Mit Hilfe der Anfangsbedingungen
(15.102a)
U(ω, 0) = C1 + C2 = F (ω) , U ′ (ω, 0)=iωC1 − iωC2 = G(ω) (15.102b)
lassen sich die Konstanten C1 und C2 bestimmen:
C1 = 1 1
[ F (ω)+
2 iω G(ω)], C2 = 1
Die Lösung ergibt sich zu
1
[ F (ω) − G(ω)].
2 iω
(15.102c)
U(ω, t) = 1 1
[ F (ω)+
2 iω G(ω)]eiωt + 1 1
[ F (ω) −
2 iω G(ω)]e−iωt . (15.102d)
3. Rücktransformation Zur Rücktransformation der Funktion F (ω) kann der Verschiebungssatz,
F{f(ax + b) } =1/a · e ibω/a F (ω/a) ,
mit Vorteil eingesetzt werden, woraus sich ergibt
(15.103a)
F −1 { e iωt F (ω) } = f(x + t) , F −1 [ e −iωt F (ω)]=f(x − t) . (15.103b)
Die Anwendung der Integrationsregel
⎧
⎫
⎨ �x
⎬ 1
F f(τ) dτ = F (ω)
⎩
⎭ iω
−∞
liefert (15.103c)
F −1
�
1
iω G(ω)eiωt
� �x
= F
−∞
−1 { G(ω)e iωt �x
x+t �
} dτ = g (τ + t) dτ = g (z) dz
−∞
−∞
nach Substitution s + t = z und analog
(15.103d)
F −1
�
− 1
iω G(ω)e−iωt
� x−t �
= − g (z) dz .
−∞
Die endgültige Lösung im Originalbereich lautet somit
(15.103e)
u(x, t) = 1
x+t �
f(x + t)+1 f(x − t)+ g (z) dz .
2 2
(15.104)
x−t
15.4 Z–Transformation
In Natur und Technik kann man zwischen kontinuierlichen und diskreten Vorgängen unterscheiden.
Während sich von den kontinuierlichen Vorgängen viele durch Differentialgleichungen beschreiben lassen,
führen diskrete Vorgänge häufig auf Differenzengleichungen. ZurLösung von Differentialgleichungen
eignen sich besonders Fourier– und Laplace–Transformationen, zur Lösung von Differenzen-
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15.4 Z–Transformation 807
gleichungen wurden andere, angepaßte Operatorenmethoden entwickelt. Die bekannteste ist die Z–
Transformation, die in engem Zusammenhang mit der Laplace–Transformation steht.
15.4.1 Eigenschaften der Z–Transformation
15.4.1.1 Diskrete Funktionen
Ist eine Funktion f(t) (0≤t0 ,T
const) bekannt, so setzt man f(nT )=fn und bildet die Folge
f(t)
{fn} . Eine solche entsteht z.B. in der Elektrotechnik durch
f3 ”
f2 f f
0 1
0 T 2T 3T t
Abbildung 15.27
Abtastung“ einer Funktion f(t) in den diskreten Zeitpunkten
tn . Ihre Wiedergabe erfolgt dann häufig als Treppenfunktion
(Abb.15.27).
Die Folge {fn} und die nur für diskrete Argumente definierte
Funktion f(nT ), diealsdiskrete Funktion bezeichnet wird,
sind äquivalent. Für die Folge {fn} wird keine Konvergenz
für n →∞gefordert.
15.4.1.2 Definition der Z–Transformation
1. Originalfolge und Bildfunktion Der Folge {fn} wird die unendliche Reihe
∞�
� �n 1
F (z) = fn
(15.105)
n=0 z
zugeordnet. Falls diese Reihe konvergiert, sagt man, die Folge {fn} ist Z–transformierbar, und schreibt
F (z) =Z{fn} . (15.106)
Man nennt {fn} Originalfolge, F (z) Bildfunktion. Mitzist eine komplexe Variable bezeichnet, mit
F (z) eine komplexwertige Funktion.
fn =1 (n =0, 1, 2,...).Diezugehörige unendliche Reihe lautet
∞�
� �n 1
F (z) = . (15.107)
n=0 z
� �
�1
�
Sie stellt bezüglich 1/z eine geometrische Reihe dar, die für � �
� � < 1 gegen die Reihensumme F (z) =
� �
z
z
�1
�
konvergiert, für � �
� � ≥ 1 aber divergiert. Das bedeutet, die Folge {1} ist Z–transformierbar für
�
z −
�
1 z
�1
�
� �
� � < 1 , d.h. für alle Punkte außerhalb des Einheitskreises |z| =1derz–Ebene.
z
2. Eigenschaften Da die Bildfunktion F (z)gemäß (15.105) eine Potenzreihe bezüglich der komplexen
Veränderlichen 1/z ist, folgt aus den Eigenschaften von Potenzreihen im Komplexen (s. 14.3.1.3,
S. 763):
a) Für eine Z–transformierbare Folge {fn} gibt es eine reelle Zahl R , so daß die Reihe (15.105) absolut
konvergiert für |z| > 1/R und divergiert für |z| < 1/R .Für |z| ≥1/R0 > 1/R ist die Reihe sogar
gleichmäßig konvergent. R ist der Konvergenzradius der Potenzreihe (15.105) bezüglich 1/z .Konvergiert
die Reihe für alle |z| > 0 , so setzt man R = ∞ .Für nicht Z–transformierbare Folgen setzt man
R =0.
b) Ist {fn} Z–transformierbar für |z| > 1/R, dann ist die zugehörige Bildfunktion F (z) eine analytische
Funktion für |z| > 1/R und gleichzeitig die einzige Bildfunktion von {fn}.Für die Umkehrung gilt: Ist
F (z) eine analytische Funktion für |z| > 1/R und auch für z = ∞ regulär, dann gibt es zu F (z)genau
eine Originalfolge {fn}.DabeiheißtF (z)regulär für z = ∞,wennF (z) eine Potenzreihenentwicklung
der Form (15.105) besitzt und F (∞) =f0 gilt.
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808 15. Integraltransformationen
3. Grenzwertsätze Analog zu den Grenzwerteigenschaften der Bildfunktion der Laplace–Transformation
((15.7a),(15.7b) in 15.2.1.1,2., S. 783) gelten für die Z–Transformation die folgenden Grenzwertsätze:
a) Wenn F (z) =Z{fn} existiert, dann ist
f0 = lim F (z) . (15.108)
z→∞
Dabei kann z auf der reellen Achse oder längs eines beliebigen Weges nach ∞ verlaufen. Da die Reihen
1 1
z {F (z) − f0} = f1 + f2 + f3 + ··· , (15.109)
z z2 z 2
�
�
1
1 1
F (z) − f0 − f1 = f2 + f3 + f4 + ··· , (15.110)
z
z z2 . .
.
offensichtlich ebenfalls Z–Transformierte sind, erhält man analog zu (15.108):
f1 = lim z {F (z) − f0},
z→∞
f2 = lim z
z→∞ 2
�
�
1
F (z) − f0 − f1 ,...
z
(15.111)
Auf diese Weise kann man die Originalfunktion {fn} aus ihrer Bildfunktion F (z) bestimmen.
b) Wenn lim fn existiert, so ist
n→∞
lim
n→∞ fn = lim (z − 1)F (z) .
z→1+0
(15.112)
Man kann den Wert von lim
n→∞ fn aus (15.112) aber nur ermitteln, wenn man weiß, daß der Grenzwert
existiert, denn die obige Aussage ist nicht umkehrbar.
fn = (−1) n (n = 0, 1, 2,...). Daraus folgt Z{fn} = z
lim
n→∞ (−1)n existiert nicht.
15.4.1.3 Rechenregeln
z
und lim (z − 1) = 0, aber
z +1 z→1+0 z +1
Für die Anwendung der Z–Transformation ist es wichtig zu wissen, wie sich gewisse Operationen an den
Originalfolgen in entsprechenden Operationen an den Bildfunktionen widerspiegeln und umgekehrt. Im
folgenden sei F (z) =Z{fn} für |z| > 1/R .
1. Translation
Man unterscheidet eine Vorwärts- und eine Rückwärtsverschiebung.
1. Erster Verschiebungssatz: Z{fn−k} = z −k F (z) (k =0, 1, 2,...) , (15.113)
dabei wird fn−k =0für n − k max 1, 1
�
R
gilt: Z
� �
n−1 �
fν
ν=0
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ν=0
= 1
F (z) . (15.115)
z − 1
3. Differenzenbildung
Für die Differenzen
Δfn = fn+1 − fn , Δ m fn =Δ(Δ m−1 fn) (m =1, 2,... ;Δ 0 fn = fn) (15.116)

gilt die Regel:
Z{Δfn}
Z{Δ
= (z−1)F (z) − zf0 ,
2fn} = (z−1) 2F (z) − z(z − 1)f0 − zΔf0 ,
. .
.
Z{Δkfn} = (z−1) kF (z) − z k−1 �
(z − 1) k−ν−1Δν f0 .
4. Dämpfung
� �∞
=
z
ν=0
15.4 Z–Transformation 809
(15.117)
Für λ �= 0 , beliebig komplex, |z| > |λ|
R gilt:
Z{λ n � �
z
fn} = F .
λ
(15.118)
5. Faltung
Als Faltung zweier Folgen {fn} und {gn} bezeichnet man die Operation
n�
fn ∗ gn = fν gn−ν .
ν=0
(15.119)
Existieren die Z–Transformierten Z{fn} = F (z) für |z| > 1/R1 und Z{gn} = G(z) für |z| > 1/R2 ,
dann gilt
Z{fn ∗ gn} = F (z)G(z) (15.120)
�
1
für |z| > max ,
R1
1
�
. Die Beziehung (15.120) wird auch als Faltungssatz der Z–Transformation
R2
bezeichnet. Er entspricht der Vorschrift für die Multiplikation zweier Potenzreihen.
6. Differentiation der Bildfunktion
dF (z)
Z{nfn} = −z .
dz
(15.121)
Durch wiederholte Anwendung von (15.121) lassen sich auch Ableitungen höherer Ordnung von F (z)
bestimmen.
7. Integration der Bildfunktion
Unter der Voraussetzung f0 = 0 gilt
�
fn
Z
n
F (ξ)
dξ .
ξ
(15.122)
15.4.1.4 Zusammenhang mit der Laplace–Transformation
Beschreibt man eine diskrete Funktion f(t) (s. 15.4.1.1, S. 807) als Treppenfunktion, dann gilt
f(t) =f(nT )=fn für nT ≤ t0 ,Tconst) . (15.123)
Auf diese stückweise konstante Funktion läßt sich die Laplace–Transformation (s. S. 783) anwenden,
und man erhält für T =1:
∞�
n+1 �
L{f(t)} = F (p) = fne
n=0 n
−pt ∞� e
dt = fn
n=0
−np − e−(n+1)p =
p
1 − e−p
∞�
fne
p n=0
−np . (15.124)
Die unendliche Reihe in (15.124) wird auch als diskrete Laplace–Transformation bezeichnet und mit
dem Symbol D gekennzeichnet:
∞�
D{f(t)} = D{fn} = fne
n=0
−np . (15.125)
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810 15. Integraltransformationen
Setzt man in (15.125) ep = z , dann stellt D{fn} eine Reihe nach Potenzen von 1/z dar, eine sogenannte
Laurent–Reihe (s. S. 765). Mit der Substitution ep = z , die zu dem Namen Z–Transformation geführt
hat, erhält man schließlich aus (15.124) den folgenden Zusammenhang zwischen Laplace– und Z–
Transformation im Falle von Treppenfunktionen:
�
pF (p) = 1 − 1
�
F (z) (15.126a)
z
bzw.
�
pL{f(t)} = 1 − 1
�
Z{fn} .
z
(15.126b)
Auf diese Weise lassen sich Korrespondenzen der Z–Transformation (s. Tabelle 21.15, S. 1145) in
Korrespondenzen der Laplace–Transformation (s. Tabelle 21.13, S. 1125) für Treppenfunktionen
umrechnen und umgekehrt.
15.4.1.5 Umkehrung der Z–Transformation
Die Umkehrung der Z–Transformation oder kurz Rücktransformation besteht darin, zu einer gegebenen
Bildfunktion F (z) diezugehörige, eindeutige Originalfolge {fn} zu finden. Man schreibt dann
Z −1 {F (z)} = {fn} .
Für die Rücktransformation gibt es verschiedene Möglichkeiten.
(15.127)
1. Benutzung von Tabellen Wenn die Funktion F (z) in der Tabelle explizit nicht vorkommt, kann
man versuchen, durch Umformungen und durch Anwendung der Rechenregeln zu Funktionen zu gelangen,
die in Tabelle 21.15, S. 1145 vorhanden sind.
2. Laurent–Reihe von F (z) Wegen der Definition (15.105) gelingt eine Rücktransformation sofort,
wenn für F (z) eine Reihenentwicklung in 1/z bekannt ist oder sich ermitteln läßt.
3.
� � � �
1 1
Taylor–Reihe von F Da F eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen von z ist, ergibt
z z
sich wegen (15.105) nach der Taylor–Formel
fn = 1 d
n !
n � ��
1 ���z=0
F
dzn z
(n =0, 1, 2,...) . (15.128)
4. Anwendung eines Grenzwertsatzes Mit Hilfe der Grenzwerte (15.108) und (15.111) kann man
die Originalfolge {fn} aus ihrer Bildfunktion F (z) unmittelbar bestimmen.
2z
F (z) =
. Es sollen die voranstehenden vier Methoden angewendet werden.
(z − 2)(z − 1) 2
1. Durch Partialbruchzerlegung (s. 1.1.7.3, S. 15) von F (z)/z erhält man Funktionen, die in der Tabelle
21.15, S. 1145 enthalten sind.
F (z)
z =
2
A
=
(z − 2)(z − 1) 2 z − 2 +
B C
+ .
(z − 1) 2 z − 1
Daraus folgt
F (z) = 2z
z − 2 −
2z 2z
−
(z − 1) 2 z − 1
und fn =2(2 n − n − 1) für n ≥ 0 .
2. Durch Division geht F (z) in die folgende Reihe nach absteigenden Potenzen von z über:
2z
F (z) =
z3 − 4z2 +5z − 2 =21
1
+81 +221 +521 + 114 + ...
z2 z3 z4 z5 z6 (15.129)
Daraus liest man unmittelbar f0 = f1 =0,f2 =2,f3 =8,f4 =22,f5 =52,f6 = 114, ...ab, aber
man erhält keinen geschlossenen Ausdruck für das allgemeine Glied fn .
� �
1
3. Zur Bildung von F und den in (15.128) benötigten Ableitungen geht man zweckmäßigerweise
z
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15.4 Z–Transformation 811
von der Partialbruchzerlegung von F (z) aus und erhält:
� �
1
F =
z
2
1 − 2z −
2z 2
− , d.h.
(1 − z) 2
� �
1 − z
1
dF
z 4
= −
dz (1 − 2z) 2
� �
1
F =0 für z =0,
z
4z 4
− , d.h.
(1 − z) 3 (1 − z) 2
d
� �
1
dF
z
=0 für z =0,
dz
2 � �
1
F
z
dz2 16 12z
= − −
(1 − 2z) 3 (1 − z) 4 12
, d.h.
(1 − z) 3
d2 � �
1
F
z
dz2 d
=4 für z =0,
3 � �
1
F
z
dz3 96 48z
= − −
(1 − 2z) 4 (1 − z) 5 48
, d.h.
(1 − z) 4
d3 � �
1
F
z
dz3 .
.
.
⎫
⎪⎬
=48für z =0,
⎪⎭
.
(15.130)
Unter Berücksichtigung der Formeln in (15.128) ergibt sich f0, f1, f2, f3, ....
4. Die Anwendung der Grenzwertsätze (s. S. 808) unter Beachtung der Bernoullischen Regel (s. S. 56)
ergibt:
2z
f0 = lim F (z) = lim
z→∞ z→∞ z3 − 4z2 =0, (15.131a)
+5z − 2
2z
f1 = lim z(F (z) − f0) = lim
z→∞ z→∞
2
z3 − 4z2 =0, (15.131b)
+5z − 2
f2 = lim z
z→∞ 2
�
�
1
2z
F (z) − f0 − f1 = lim
z z→∞
3
z3 − 4z2 =2, (15.131c)
+5z − 2
f3 = lim z
z→∞ 3
�
1 1
F (z) − f0 − f1 − f2
z z2 �
= lim z
z→∞ 3
�
2z
z3 − 4z2 2
−
+5z − 2 z2 �
=8, ...(15.131d)
Auf diese Weise läßt sich die Originalfolge {fn} sukzessiv bestimmen.
15.4.2 Anwendungen der Z–Transformation
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen
Eine lineare Differenzengleichung k–ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form
akyn+k + ak−1yn+k−1 + ···+ a2yn+2 + a1yn+1 + a0yn = gn (n =0, 1, 2 ...) . (15.132)
Dabei ist k eine natürliche Zahl. Die Koeffizienten ai (i =0, 1,...,k) sind gegebene reelle oder komplexe
Zahlen und hängen nicht von n ab. Es gelte a0 �= 0 und ak �= 0 . Die Folge {gn} ist gegeben, die
Folge {yn} ist gesucht.
Zur Bestimmung einer speziellen Lösung von (15.132) werden die Werte y0,y1,...,yk−1 vorgegeben.
Dann kann man aus (15.132) für n =0dennächsten Wert yk ausrechnen. Aus y1, y2, ..., yk ergibt
sich dann aus (15.132) für n =1derWertyk+1 . Auf diese Weise kann man alle Werte yn rekursiv ausrechnen.
Mit Hilfe der Z–Transformation läßt sich jedoch für yn eine allgemeine Darstellung angeben.
Dazu wendet man den 2. Verschiebungssatz (15.114) auf (15.132) an und erhält:
�
k
akz Y (z) − y0 − y1z −1 −···−yk−1z −(k−1)�
+ ···+ a1z[ Y (z) − y0]+a0Y (z) =G(z) .(15.133)
Dabei bedeutet Y (z) =Z{yn} und G(z) =Z{gn} . Setzt man weiterhin akzk + ak−1yk−1 + ···+ a1z +
a0 = p(z) , so lautet die Lösung der sogenannten Bildgleichung (15.133)
Y (z) = 1
k−1
1 � k�
G(z)+ yi ajz
p(z) p(z)
j−i . (15.134)
i=0
j=i+1
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812 15. Integraltransformationen
Wie bei der Behandlung von linearen Differentialgleichungen mit der Laplace–Transformation hat
man auch bei der Z–Transformation den Vorteil, daß die Anfangswerte in die Bildgleichung eingehen
und daher bei der Lösung automatisch berücksichtigt werden. Aus (15.134) gewinnt man dann die
gesuchte Lösung {yn} = Z −1 { Y (z)} durch Rücktransformation gemäß 15.4.1.5, S. 810.
15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe)
Die lineare Differenzengleichung 2. Ordnung lautet:
yn+2 + a1yn+1 + a0yn = gn . (15.135)
Als Anfangswerte sind y0 und y1 gegeben. Mit Hilfe des 2. Verschiebungssatzes erhält man zu (15.135)
die Bildgleichung
z 2
�
�
1
Y (z) − y0 − y1 + a1z[ Y (z) − y0]+a0Y (z) =G(z) .
z
Setzt man z
(15.136)
2 + a1z + a0 = p(z) , dann lautet die Bildfunktion
Y (z) = 1
p(z) G(z)+y0
z(z + a1) z
+ y1 .
p(z) p(z)
(15.137)
Das Polynom p(z) habe die Nullstellen α1 und α2 ,für die α1 �= 0 und α2 �= 0 gelte, weil sonst a0 =0
wäre und sich die Differenzengleichung auf eine solche 1. Ordnung reduzieren würde. Durch Partialbruchzerlegung
und Anwendung der Tabelle 21.15, S. 1145 der Z–Transformation ergibt sich aus
z
p(z) =
⎧ �
1 z
⎪⎨
−
α1 − α2 z − α1
⎪⎩
z
�
für α1 �= α2 ,
z − α2
z
(z − α1) 2
für α1 = α2 ,
Z −1
⎧
� �
⎪⎨
α
z
= {pn} =
p(z)
⎪⎩
n 1 − αn 2
für α1 �= α2 ,
α1 − α2
nα n−1
⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
1 für α1 = α2
Wegen p0 = 0 ist nach dem zweitem Verschiebungssatz
(15.138a)
Z −1
� �
2 z
= Z
p(z)
−1
� �
z
z = {pn+1}
p(z)
und nach dem 1. Verschiebungssatz
(15.138b)
Z −1
� �
1
= Z
p(z)
−1
� �
1 z
= {pn−1} .
z p(z)
Dabei ist p−1 = 0 zu setzen. Mit Hilfe des Faltungssatzes erhält man die Originalfolge mit
(15.138c)
n�
yn = pν−1gn−ν + y0(pn+1 + a1pn)+y1pn .
ν=0
Wegen p−1 = p0 = 0 ergibt sich daraus mit (15.138a)
(15.138d)
n� α
yn = gn−ν
ν=2
ν−1
1 − α ν−1
�
n+1
2 α1 − α
+ y0
α1 − α2
n+1
2 α
+ a1
α1 − α2
n 1 − αn �
2 α
+ y1
α1 − α2
n 1 − αn 2
.
α1 − α2
(15.138e)
Diese Form läßt sich noch wegen a1
1.6.3.1,3., S. 44) noch zu
= −(α1 + α2) und a0 = α1α2 (s. Wurzelsätze von Vieta in
n� α
yn = gn−ν
ν=2
ν−1
1 − α ν−1
2 α
− y0a0
α1 − α2
n−1
1 − α n−1
2 α
+ y1
α1 − α2
n 1 − αn 2
α1 − α2
(15.138f)
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vereinfachen. Für α1 = α2 erhält man analog
n�
yn =
ν=2
gn−ν(ν − 1)α ν−2
1
15.5 Wavelet–Transformation 813
− y0a0(n − 1)α n−2
1 + y1nα n−1
1 . (15.138g)
Bei der Differenzengleichung 2. Ordnung läßt sich die Rücktransformation der Bildfunktion Y (z)auch
ohne Partialbruchzerlegung durchführen, wenn man Korrespondenzen wie z.B.
Z −1
�
z
z2 − 2az cosh b + a2 �
n−1 sinh bn
= a (15.139)
sinh n
benutzt und auch hier den 2. Verschiebungssatz anwendet. Mit der Substitution a1 = −2a cosh b ,
a0 = a2 lautet die Originalfolge zu (15.137):
yn = 1
�
n�
gn−νa
sinh b ν=2
ν−2 sinh(ν − 1)b − y0a n sinh(n − 1)b + y1a n−1 �
sinh nb . (15.140)
Diese Formel ist günstig für eine numerische Auswertung besonders dann, wenn a0 und a1 komplexe
Zahlen sind.
Hinweis: Die hyperbolischen Funktionen sind auch für komplexe Argumente definiert.
15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe)
In den Anwendungen kommt es häufig vor, daß die Werte yn der Differenzengleichung nur für endlich
viele Indizes 0 ≤ n ≤ N gesucht sind. Im Falle einer Differenzengleichung 2. Ordnung (15.135) werden
dann in der Regel die beiden Randwerte y0 und yN vorgegeben. Zur Lösung dieser Randwertaufgabe
geht man von der Lösung (15.138f) der entsprechenden Anfangswertaufgabe aus, wobei an Stelle des
unbekannten Wertes y1 jetzt yN einzuführen ist. Dazu setzt man in (15.138f) n = N , dann kann man
y1 in Abhängigkeit von y0 und yN ausrechnen:
�
�
y1 =
1
α N 1 − α N 2
y0a0(α N−1
1
− α N−1
2
Man setzt diesen Wert in (15.138f) ein und erhält
N�
)+yN(α1 − α2) − (α ν−1
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ν=2
1
− α ν−1
2 )gN−ν
. (15.141)
1
n�
yn =
(α
α1 − α2 ν=2
ν−1
1 − α ν−1
1 α
2 )gn−ν −
α1 − α2
n 1 − αn 2
αN 1 − αN N�
(α
2 ν=2
ν−1
1 − α ν−1
2 )gN−ν
1
+
αN 1 − αN [ y0(α
2
N 1 α n 2 − α n 1 α N 2 )+yN(α n 1 − α n 2)]. (15.142)
Die Lösung (15.142) hat nur dann einen Sinn, wenn αN 1 − αN 2 �= 0 gilt. Andernfalls hat das Randwertproblem
keine allgemeine Lösung, sondern es treten in Analogie zu den Randwertaufgaben bei
Differentialgleichungen Eigenwerte und Eigenfunktionen auf.
15.5 Wavelet–Transformation
15.5.1 Signale
Geht von einem physikalischen Objekt eine Wirkung aus, die sich ausbreitet und mathematisch z.B.
durch eine Funktion oder eine Zahlenfolge beschreiben läßt, dann spricht man von einem Signal.
Unter Signalanalyse versteht man die Chrakterisierung eines Signals durch eine Größe, die für das Signal
typisch ist. Mathematisch bedeutet das: Die Funktion oder Zahlenfolge, die das Signal beschreibt,
wird auf eine andere Funktion oder Zahlenfolge abgebildet, die die typische Eigenschaft des Signals
besonders gut erkennen läßt. Bei solchen Abbildungen können allerdings auch Informationen verloren
gehen.

814 15. Integraltransformationen
Die Umkehrung der Signalanalyse, d.h. die Wiedergewinnung des Ausgangssignals, wird als Signalsynthese
bezeichnet.
Der Zusammenhang zwischen Signalanalyse und Signalsynthese wird am Beispiel der Fourier–Transformation
besonders deutlich: Ein Signal f(t) (t Zeit) werde durch die Frequenzen ω , die in ihm enthalten
sind, charakterisiert. Dann beschreibt die Formel (15.143a) die Signalanalyse, die Formel (15.143b)
die Signalsynthese:
F (ω) =
�∞
−∞
e −iωt f(t) dt , (15.143a) f(t) = 1
2π
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)
�∞
−∞
e iωt F (ω) dω . (15.143b)
15.5.2 Wavelets
Der Fourier–Transformation fehlt eine Lokalisierungseigenschaft, d.h. ändert sich ein Signal an einer
Stelle, dann ändert sich die Transformierte überall, ohne daß durch ” einfaches Hinsehen“ die Stelle der
Änderung gefunden werden kann. Der Grund liegt darin, daß die Fourier–Transformation ein Signal
in ebene Wellen zerlegt. Diese werden durch trigonometrische Funktionen beschrieben, die beliebig
lange mit derselben Periode schwingen. Bei der Wavelet–Transformation dagegen wird eine fast beliebig
wählbare Funktion ψ ,dasWavelet (kleine lokalisierte Welle), zur Analyse eines Signals verschoben und
gestaucht.
Beispiele für Wavelets sind Haar–Wavelet (Abb.15.28a) und Mexikanischer Hut (Abb.15.28b).
A Haar–Wavelet:
⎧
⎪⎨ 1 für 0 ≤ x<
ψ =
⎪⎩
1
2 ,
1
−1 für ≤ x ≤ 1 , (15.144)
2
0 sonst.
B Mexikanischer Hut:
ψ(x) =− d2
dx2 e−x2 /2
(15.145)
=(1−x 2 )e −x2 �(t)
�(t)
1
1
1
0 ½ t
0 1 t
-1
a) b)
/2
. (15.146)
Abbildung 15.28
Allgemein gilt: Als Wavelet kommen alle Funktionen ψ in Frage, die quadratisch integrierbar sind und
deren Fourier–Transformierte Ψ(ω) gemäß (15.143a) zu einem positiven endlichen Integral
�∞
−∞
|Ψ(ω)|
dω (15.147)
|ω|
führen. Im Zusammenhang mit Wavelets sind die folgenden Eigenschaften und Definitionen wichtig:
1. Für den Mittelwert von Wavelets gilt:
�∞
−∞
ψ(t) dt =0. (15.148)
2. Als k–tes Moment eines Wavelets ψ bezeichnet man das Integral
μk =
�∞
−∞
t k ψ(t) dt . (15.149)
Die kleinste positive natürliche Zahl n ,für die μn �= 0 gilt, heißt Ordnung des Wavelets ψ .
Für das Haar–Wavelet (15.144) gilt n =1,für den mexikanischen Hut (15.146) n =2.
3. Falls μk =0für alle k gilt, ist ψ von unendlicher Ordnung. Wavelets mit beschränktem Träger

15.5 Wavelet–Transformation 815
haben stets eine endliche Ordnung.
4. Ein Wavelet der Ordnung n ist orthogonal zu allen Polynomen vom Grade ≤ n − 1.
15.5.3 Wavelet–Transformation
Zu einem Wavelet ψ(t) kann man mit Hilfe eines Parameters a eine ganze Schar von Funktionen bilden:
ψa(t) = 1
�
|a| ψ
� �
t
(a �= 0). (15.150)
a
Im Falle |a| > 0 wird die Ausgangsfunktion ψ(t) gestaucht. Im Falle a

816 15. Integraltransformationen
d.h. die verschiedenen Basisfunktionen ergeben sich aus einem Wavelet ψ(t) durch Verdoppeln oder
Halbieren der Breite und durch Verschieben um ganzzahlige Vielfache der Breite.
2. Als orthogonales Wavelet bezeichnet man ein Wavelet ψ(t) , bei dem die gemäß (15.154) erzeugten
Basisfunktionen eine orthogonale Basis bilden.
3. Besonders gute numerische Eigenschaften haben Daubechies–Wavelets. Das sind orthogonale Wavelets
mit einem kompakten Träger, d.h. sie sind nur auf einem Teil der Zeitachse von Null verschieden.
Für sie gibt es aber keine geschlossene Darstellung (s. [15.10]).
15.5.4 Diskrete Wavelet–Transformation
15.5.4.1 Schnelle Wavelet–Transformation
Man kann davon ausgehen, daß die Integraldarstellung (15.152b) hochgradig redundant ist und somit
das Doppelintegral ohne Informationsverlust durch eine Doppelsumme ersetzt werden kann. Das wird
bei der konkreten Anwendung der Wavelet–Transformation berücksichtigt. Man benötigt dazu:
1. eine effiziente Berechnung der Transformation, was auf das Konzept der Multi–Skalen–Analyse führt
sowie
2. eine effiziente Berechnung der Rücktransformation, d.h. eine effiziente Rekonstruktion von Signalen
aus ihrer Wavelet–Transformation, was auf das Konzept der Frames führt.
Für beide Konzepte muß auf die Literatur verwiesen werden (s. [15.10], [15.1]).
Hinweis: Der große Erfolg der Wavelets in den verschiedenen Anwendungsgebieten, z.B.
• bei der Berechnung physikalischer Größen aus Meßreihen,
• bei der Bild- oder Spracherkennung sowie
• bei der Datenkompression im Rahmen der Nachrichtenübertragung
beruhtauf seinen schnellen Algorithmen“. Analog zur FFT (Fast Fourier–Transformation, s. S. 1006)
spricht man hier von
”
FWT (Fast Wavelet–Transformation).
15.5.4.2 Diskrete Haar–Wavelet–Transformation
Als Beispiel für eine diskrete Wavelet–Transformation wird die Haar–Wavelet–Transformation beschrieben:
Von einem Signal sind die Werte fi (i =1, 2,...,N) gegeben. Aus diesen werden die Detailwerte
di (i =1, 2,...,N/2) wie folgt berechnet:
si = 1
√ 2 (f2i−1 + f2i) , di = 1
√ 2 (f2i−1 − f2i) . (15.155)
Die Werte di werden abgespeichert, während auf die Werte si die Vorschrift (15.155) angewendet wird,
d.h. in (15.155) werden die Werte fi durch die Werte si ersetzt. Diese Vorgehensweise wird fortgesetzt,
so daß sich aus
s (n+1)
i = 1 �
√ s
2
(n)
2i−1 + s (n)
�
2i , d (n+1)
i = 1 �
√ s
2
(n)
2i−1 − s (n)
�
2i
(15.156)
schließlich eine Folge von Detailvektoren mit den Komponenten d (n)
i ergibt. Jeder Detailvektor enthält
Informationen über Eigenschaften des Signals.
Hinweis: Für große Werte von N konvergiert die diskrete Wavelet–Transformation gegen die Integral–
Wavelet–Transformation (15.152a).
15.5.5 Gabor–Transformation
Zeit–Frequenz–Analyse nennt man die Charakterisierung eines Signals bezüglich der in ihm enthaltenen
Frequenzen und der Zeitpunkte, zu denen diese Frequenzen auftreten. Dazu wird das Signal in zeitliche
Abschnitte (Fenster) aufgeteilt und anschließend nach Fourier transformiert. Man spricht deshalb
auch von einer ” gefensterten Fourier–Transformation“ WFT (Windowed Fourier–Transformation).
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15.6 Walsh–Funktionen 817
Die Fensterfunktion ist so zu wählen, daß sie ein Signal außerhalb eines Fensters ausblendet. Von Gabor
wurde als Fensterfunktion
g(t) = 1
√ e
2πσ −
t2 2σ2 (15.157)
verwendet (Abb.15.29). Diese Wahl kann damit erklärt werden, daß g(t)mitder ” Gesamtmasse 1“ um
den Punkt t = 0 konzentriert ist und die Fensterbreite als konstant (etwa 2σ) angesehen werden kann.
g(t)
0.04
0
-0.04
-30
0
Abbildung 15.29
30 t
Die Gabor–Transformation einer Funktion f(t) ist dann von
der Form
Gf(ω, s) =
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)
�∞
−∞
f(t)g(t − s)e −iωt dt . (15.158)
Sie gibt an, mit welcher komplexen Amplitude die Grundschwingung
e iωt während des Zeitintervalls [s − σ, s + σ] inf
vertreten ist, d.h., tritt die Frequenz ω in diesem Intervall auf,
dann besitzt sie die Amplitude |Gf(ω, s)| .
15.6 Walsh–Funktionen
15.6.1 Treppenfunktionen
Bei der Approximation von Funktionen spielen orthogonale Funktionensysteme, z.B. spezielle Polynome
oder trigonometrische Funktionen, eine wichtige Rolle, weil sie glatt, d.h. hinreichend oft differenzierbar
in dem betrachteten Intervall sind. Es gibt aber auch Probleme, z.B. die Übertragung
der Bildpunkte eines gerasterten Bildes, für deren mathematische Behandlung glatte Funktionen nicht
geeignet sind, sondern sich Treppenfunktionen, alsostückweise konstante Funktionen besser eignen.
Walsh–Funktionen sind sehr einfache Treppenfunktionen. Sie nehmen nur die zwei Funktionswerte
+1 und −1 an. Diese zwei Funktionswerte entsprechen zwei Zuständen, so daß Walsh–Funktionen
besonders einfach in Computern realisiert werden können.
15.6.2 Walsh–Systeme
Analog zu den trigonometrischen Funktionen werden periodische Treppenfunktionen betrachtet. Man
verwendet das Intervall I =[0, 1) als Periodenintervall und unterteilt es in 2 n gleichlange Teilintervalle.
Sei Sn die Menge der periodischen Treppenfunktionen mit der Periode 1 über einer solchen Intervallteilung.
Die zu Sn gehörenden Treppenfunktionen kann man als Vektoren eines endlichdimensionalen
Vektorraumes auffassen, denn jede Funktion g ∈ Sn wird durch ihre Werte g0,g1,g2,...,g2 n −1 in den
Teilintervallen bestimmt und kann demzufolge als Vektor aufgefaßt werden:
g T =(g0,g1,g2,...,g2 n −1) . (15.159)
Die zu Sn gehörenden Walsh–Funktionen bilden mit einem geeigneten Skalarprodukt eine orthogonale
Basis in diesem Raum. Die Basisvektoren können auf verschiedene Weise numeriert werden, so
daß man sehr viele Walsh–Systeme erhält, die aber alle dieselben Funktionen enthalten. Es zeigt sich
aber, daß drei Systeme zu bevorzugen sind: Walsh–Kronecker–Funktionen, Walsh–Kaczmarz–
Funktionen und Walsh–Paley–Funktionen.
In Analogie zur Fourier–Transformation wird die Walsh–Transformation aufgebaut, wobei die Rolle
der trigonometrischen Funktionen von den Walsh–Funktionen übernommen wird. Man erhält z.B.
Walsh–Reihen, Walsh–Polynome, Walsh–Sinus- und Walsh–Kosinus–Transformationen, Walsh–
Integrale, und analog zur schnellen Fourier–Transformation gibt es die schnelle Walsh–Transformation.
Für eine Einführung in Theorie und Anwendung der Walsh–Funktionen s. [15.6].

Stichwortverzeichnis 1174
Stichwortverzeichnis
Abbildung, 338, 340
äquivalente, 918
affine, 236
Bäcker–, 899
Bernoulli–Shift–, 901
bijektive, 672
bilineare, 364, 376
bilinieare, 376
chaotische, 901
eineindeutige, 340
Einheitskreis, 918
Funktion, 49
geliftete, 918
Hénon–, 871, 885
Hufeisen–, 899
injektive, 340, 672
Kern, 346
komplexe Zahlenebene, 757
kontrahierende, 680
lineare, 374, 672
Modulo–, 889
Poincaré–, 883
reduzierte, 910
reguläre, 375
Rotations–, 890
schiefsymmetrische, 364
Shift–, 893, 901
surjektive, 672
topologisch konjugierte, 886
Zelt–, 889
zwischen Gruppen, 346
Abbildung, konforme, 747
Exponentialfunktion, 752
Fixpunkt, 749
gebrochenlineare Funktion, 749
Inversion, 749
Kreisverwandtschaft, 749
lineare Funktion, 748
Logarithmus, 752
quadratische Funktion, 750
Quadratwurzel, 751
Summe aus linearer u. gebrochenlin. Fkt., 751
Abbrechpunkt, 257
Abelsche Gruppe, 343
Basissatz, 346
D3 (Dieder–), 349
Definition, 343
Punkt–, 348
zyklische, 348
Abelsche Integralgleichung, 663
Abgeschlossenheitsrelation, 690
Abhängigkeit, lineare
lineare Gleichungssysteme, 315
Vektorraum, 374
Ableitung
äußere, 446
Bruch, 446
Distribution, 713
eine Veränderliche, 443
Fréchet–, 703
Funktion
elementare, 444
implizite, 447
inverse, 447
komplexe, 744
mehrere Veränderliche, 457
mittelbare, 446
Parameterdarstellung, 448
gemischte, 460
höherer Ordnung, 450, 460
inverse Funktion, 451
Parameterdarstellung, 451
innere, 446
linksseitige, 444
logarithmische, 446
partielle, 457
räumliche, 723
rechtsseitige, 444
Richtungs–, 722
Tabelle, 445
Vektorfunktion, 715
verallgemeinerte, 712
Volumen–, 722
Abschlag, 21
Abschließung einer Menge, 679
Abschluß
algebraischer, 372
transitiver, 339
Abschreibung, 26
arithmetisch–degressive, 26
digitale, 27
geometrisch–degressive, 27
lineare, 26
Abschreibungsgefälle, 26
Absolutbetrag
komplexe Zahl, 35
Vektor, 185
Absolutglieder, 315
absolutintegrierbar, 520
absolutkonvergent, 520
absolutstetig, 711
Absorptionsgesetz
Aussagenlogik, 330
Boolesche Algebra, 404
Mengen, 336
Abstand
Ebenen, 227
Hamming–, 677
metrischer Raum, 676
Punkt–Ebene, 225
Punkt–Gerade, Ebene, 201
Punkt–Gerade, Raum, 228
sphärischer, 163
zwei Geraden, 228
zwei Punkte, Ebene, 197
zwei Punkte, Raum, 222
Abstieg, 976
Abstiegsverfahren, 943
Abszisse, 195, 215
Abszissenachse, 195
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Abweichung
Meßfehler, 861
signifikante, 852
Abwickelkurve, 261
Adäquatheitstest, 856
Addition
Determinanten, 285
komplexe Zahlen, 36
Matrizen, 279
numerisches Rechnen, 1020
Polynome, 11
Potenzreihen, 482
Quaternionen, 299
rationale Zahlen, 1
Additionstheoreme
Areafunktionen, 94
Hyperbelfunktionen, 91
inverse trigonometrische Funktionen, 87
Quaternionen, 300
trigonometrische Funktionen, 80, 82
Additivität, σ–Additivität, 707
Adjazenz, 410
–Matrix, 412
Adjunkte, 284
Admittanzmatrix, 417
Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, 554
Ähnlichkeitstransformation, 323, 324
Äquivalenz
Beweisführung, 5
logische, 330
topologische, 883
Wahrheitstafel, 329
Äquivalenzklasse, 340
Äquivalenzrelation, 340
Algebra
Boolesche, 404, 820
endliche, 405
Borelsche σ–, 708
Clifford–, 296
Faktor–, 402
freie, 403
kommutative, 686
Lie–, 359, 364
lineare, 276
Matrix–Lie–
Gruppe SE(3), 365
Mengen–, 336
normierte, 686
Ω–Algebra, 402
Ω–Unteralgebra, 402
Schalt–, 404, 407
Schiefkörper–, 297
σ–Algebra, 707
Borelsche, 708
Term–, 403
universelle, 402
Algebren
Boolesche, 404
Faktor–, 402
freie, 403
Lie–, 364
σ–, 707
Abweichung – Approximationsaufgaben 1175
Term–, 403
Algorithmen
Graphentheorie, 410
Quaternionen, 308
Algorithmus
Aitken–Neville–, 997
Dantzig–, 420
Euklidischer, 3, 14
natürliche Zahlen, 381
Polynomringe, 371
Evolutions–, 946
Ford–Fulkerson–, 421
Gaußscher, 319, 969
Kruskal–, 418
Lerp–, 308
Maximalstrom–, 421
projizierende Verfahren, 952
QR–Algorithmus, 326
Rayleigh–Ritz–, 326
Remes–, 1004
Romberg–, 980
Satz zum Euklidischen, 382
Slerp–, 309
Squad–, 310
Allquantor, 332
α–Grenzmenge, 872, 878, 885
α–Schnitt, 427
scharfer, 427
Alternantenpunkt, 1002
Alternantensatz, 1002
Altgradeinteilung, 133
Amplitude, 76, 83
Amplitudenfunktion, 776
Amplitudenspektrum, 800
Analyse
harmonische, 1005
Multi–Skalen–, 816
Anfangsbedingungen, 552
Anfangsphase, 76, 83
Anfangswertaufgabe, 552, 982
Anhängen, polares, 150
Ankathete, 133
Annuität, 23
Annuitätentilgung, 24
Annulator, 696
Anosov–Diffeomorphismus, 901
Ansatzverfahren, 987, 991
Anti–Soliton, 620
Antikink–Soliton, 622
Apollonius, Satz, 205
Applikate, 215
Approximation, 996
δ–Funktion, 790
gleichmäßige, 1002
im Mittel, 998
Einordnung, 467
sukzessive
Banach–Raum, 693
Differentialgleichungen, 561
Integralgleichungen, 639
Tschebyscheff–, 1002
Zahlen, 4
Approximationsaufgaben
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1176 Approximationsaufgaben – Banach-Raum
Lösung durch Extremwertbestimmung, 467
Approximationsproblem, 688
Approximationssatz
Liouville, 4
Weierstrass, 679
Arbeit
allgemein, Integration, 534
speziell, Integration, 516
Archimedische Spirale, 105
Areafunktion, 92
Areakosinus, 92
Areakotangens, 92
Areasinus, 92
Areatangens, 92
Argument, 48, 120
Arkusfunktion, 85
Arnold–Zunge, 920
Artikelnummer, europäische, 392
ASCII, 1016
Assoziativgesetz
Aussagenlogik, 330
Boolesche Algebra, 404
Matrizen, 279
Mengen, 336
Quaternionen, 297
Tensoren, 289
Vektormultiplikation, 189
Assoziativität
fehlende, 364
Astroide
Definition, 104
Flächeninhalt, Integration, 539
Asymptote, 259
Definition, 259
Kurve, 255
Attraktor, 873
chaotischer, 901
fraktaler, 901
Hénon–, 898, 901
hyperbolischer, 901
Lorenz–, 899
seltsamer, 901
Aufenthaltswahrscheinlichkeit, 609
Aufgabe
diskrete, 999
mehrdimensionale, 1000
stetige, 998
Auflösung, Torus, 916
Aufschlag, 21
Aufzinsungsfaktor
effektiver, 22
nomineller, 22
Ausdruck
algebraischer, 10
Begriffe, Klassen, 11
Manipulation, 1051
allgemeingültiger, 331, 333
analytischer, 49
Definitionsbereich, 49
explizite Darstellung, 49
implizite Darstellung, 49
Parameterdarstellung, 50
Aussagenlogik, 329
Boolescher, 405
finiter, 986, 989
ganzrationaler, 11
gebrochenrationaler, 11, 14
Interpretation, 332
irrationaler, 11, 17
nichtalgebraischer, Manipulation, 1053
Prädikatenkalkül, 332
Prädikatenlogik, 332
transzendenter, 11
vektoranalytischer, 732
wertverlaufsgleicher, 330, 407
Ausgangsgrad, 410
Ausgleichsaufgabe
lineare, 971
nichtlineare, 110, 975
verschiedene Bezeichnungen, 467
Ausgleichsrechnung, 996, 998
diskrete Aufgabe, 999
mehrdimensionale Aufgabe, 1000
Meßfehler, 861
stetige Aufgabe, 998
Ausgleichssplines, 1011
bikubische, 1013
kubische, 1011
Ausklammern, 11
Auslöschung, 1020
Aussage
duale, 404
logische, 329
Aussagenlogik, 329
Ausdruck, 329
Grundgesetze, 330
Aussagenvariable, 329
Aussagenverbindung, 329
extensionale, 329
Austauschschema, 314
Austauschschritt, 314
Austauschverfahren, 314, 317
Matchings, 419
Autokorrelationsfunktion, 891
Axialfeld, 716
Axiome
abgeschlossene Menge, 678
Algebra, 686
geordneter Vektorraum, 673
Halbnorm, 696
metrischer Raum, 676
normierter Raum, 683
offene Menge, 678
Skalarprodukt, 687
Vektorraum, 668
Azimut, 164
Azimutalgleichung, 613
Bahn, elementare, 420
Bairesche Kategorie, 2., 888
Bairstow–Verfahren, 967
Banach–Fixpunktsatz, 680
Banach–Algebra, 686
Banach–Raum, 684
Beispiele, 684
Reihe, 684
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Banach–Verband, 686
Bandstruktur, 973
Basis
Clifford–Algebra, 296
Hamelsche, 671
Hilbert–Raum, 691
kontravariante, 291
kovariante, 291
Lie–Algebra, 365
orthonormale, 366
Potenz, 8
Vektorraum, 374, 671
Basisinverse, 925
Basisvariable, 925
Basisvektor
kontravarianter, 291
kovarianter, 291
Baum, 416
geordneter binärer, 417
Höhe, 416
regulärer binärer, 416
Wurzel, 416
Bayesscher Satz, 823
B–B–Darstellung
Fläche, 1013
Kurve, 1013, 1014
Bedienungstheorie, 842
Bedingung
Eigenwert–, 322
Bedingungen
Caratheodory–, 703
Dirichletsche, 487
Kuhn–Tucker–, 937
Belegung, Wahrheitswert, 330
Beobachtungswert, 861
Bereich, zulässiger, 922
Bergescher Satz, 419
Bernoulli, Gesetz der großen Zahlen, 837
Bernoulli–l’Hospitalsche Regel, 56
Bernoullische
Ungleichung, 31
Zahlen, 477
Bernoulli–Shift–Abbildung, 901
Bernsteinsche Grundpolynome, 1013
Besetztheit, schwache, 973
Besetzungszahl, 846
Bessel–Funktionen, 575
modifizierte, 576
sphärische, 577
Besselsche
Differentialgleichung, 574, 795
Ungleichung, 690
Bestapproximation, 690
Betafunktion, 1114
Beweis
direkter, 5
durch Widerspruch, 5
indirekter, 5, 331
konstruktiver, 6
Schluß von n auf n +1,5
vollständige Induktion, 5
Beziehung
Beziehung, ≤–Beziehung, 333
Banach-Verband – Boolesche 1177
mathematische Objekte, 332
Bibliothek
Numerik–, 962
Bibliotheken numerischer Verfahren, 1024
Aachener–, 1026
IMSL–, 1025
NAG–, 1024
Bifurkation
Bogdanov–Takens–, 909
Flip–, 911
Gabel–, 909, 912
globale, 904, 913
homokline, 915
Hopf–, 906, 909
Kodimension, 904
lokale, 904
Sattelknoten–, 906
Spitzen–, 908
transkritische, 906
Bild
Funktion, 49
Unterraum, 375
Bildbereich, 780
Fourier–Transformation, 801
Laplace–Transformation, 783
Menge, 49
Bildfunktion, 780
Bildpunkt, 243
bilinear, 364
Bilinearform, 376
antisymmetrische, 377
positiv definite, 377
symmetrische, 377
Binom, lineares, 71
Binomialkoeffizient, 13
Binomialverteilung, 827
Binormale, Raumkurve, 263, 265
Biquaternionen, 312
Bisektionsverfahren, 326
Bit, 1016
Bitumkehr, 1009
Blatt, kartesisches, 95
Bogen, Graph, 410
Kette, 420
Länge, 413
Bogendifferential, 270
Bogenelement, 250
Bogenfolge, 420
Bogenlänge
ebene Kurve, 144, 513
Ellipse, 205
Hyperbel, 209
Kreissegment, 144
Kurvenintegral 1. Art, 529
Parabel, 211
räumliche Kurve, Integration, 529
Raumkurve, 271
sphärische Kurven, 179
Bogenmaß, 133
Bogenschnitt, 154
Bolzano–Weierstraß–Eigenschaft, 700
Boolesche
Algebra, 404, 820
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1178 Boolesche – Dedekindscher Schnitt
endliche, 405
Funktion, 330, 405
n–stellige, 405
Variable, 405
Boolescher Ausdruck, 405
Borel–Menge, 708
Borelsche σ–Algebra, 708
Box–Muller–Methode, 946
Brachistochronenproblem, 625
Bravais–Gitter, 356
Breite, geographische, 165, 269
Breit–Wigner–Kurve, 95, 804
Brennpunkt
Ellipse, 204
Hyperbel, 206
Parabel, 209
Brennpunktradius, 206
Briefträgerproblem, chinesisches, 415
Bruch
Dezimal–, 1
echter, 15
Ketten–, 3
unechter, 15
Byte, 1016
Cantor
Funktion, 920
Menge, 895, 896, 899
Caratheodory–Bedingungen, 703
Cardanosche Formel, 41
Cardan–Winkel, 220, 302
Definition, 220
Drehungsmatrix, 220
Quaternionen, 305
Carson–Transformation, 781
Cassinische Kurve, 100
Cauchy–Folge, 679
Cauchy–Integral, 665
Cauchy–Riemann
Differentialgleichung, 745
Operator, 312
Cauchysche Integralformel, 762
Anwendungen, 767
Cauchyscher Hauptwert, 522
Cauchysches Prinzip, 680
Cauchysches Problem, 585
Cauchy–Schwarzsche Ungleichung, 31
Cavalierisches Prinzip, 515
Cayley
Satz, 347, 417
Tafeln, 344
Chaos, 617, 870, 916
eindimensionale Abbildungen, 901
seltsame Attraktoren, 901
Übergänge zum Chaos, 914
über Intermittenz, 918
vom Torus zum Chaos, 916
Wege zum Chaos, 904
Charakter
Gruppenelement, 350
charakteristischer Streifen, 586
Chiffrierung s. Kryptologie, 395
Chinesischer Restsatz, 387
χ 2 –Anpassungstest, 848, 849
χ 2 –Verteilung, 835
Cholesky
Verfahren, 321, 971
Zerlegung, 971
Clairautsche Differentialgleichung, 558, 587
Clebsch–Gordan
Koeffizient, 352
Reihe, 352
Theorem, 352
Clifford–Algebra, 296
Clifford–Zahlen, 296
Code
Abstand, 393
ASCII, 1016
fehlerkorrigierender, 393
linearer, 394
t–fehlerkorrigierender, 393
t–perfekt, 393
zyklischer, 394
Codewort, 393
Codierung, 391
Computeralgebrasysteme
Differential- und Integralrechnung, 1058
Differentialgleichungen, 1060
Elemente der linearen Algebra, 1056
Gleichungen und Gleichungssysteme, 1054
Graphik, 1061
Kurzcharakteristik, 1038
Manipulation algebraische Ausdrücke, 1051
Zielstellungen, 1038
Computergraphik, 1061
Quaternionen, 308
Computernutzung, 1016
Cornu-Spirale, 107
Coulomb–Feld, Punktladung, 719, 741
Cramersche Regel, 318
Dämpfung, Schwingungen, 84
Dämpfungsparameter, 975
d’Alembertsche Formel, 604
Darbouxscher Vektor, 267
Darstellung
adjungierte, 350
äquivalente, 350
analytische, 49
explizite, 49
Gruppen, 347
implizite, 49
irreduzible, 352
Parameter-, 50
reduzible, 351
treue, 349
unitäre, 350
vollständig reduzible, 352
Darstellungsmatrix, 348
Bilinearform, 377
Darstellungsraum, 347
Darstellungssatz, 427
Datentyp, 402
Deckabbildung, 344
Decodierung, 393
Dedekindscher Schnitt, 335, 341
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Defekt, 987, 991
Vektorraum, 375
definit
negativ, 324
positiv, 324, 971
Definitionsbereich, 121
Funktion, 48
Menge, 49
Operator, 672
Deflation, 327
Defuzzifizierung, 437
Dekrement, logarithmisches, 84
Delambresche Gleichungen, 171
δ–Distribution, 713
δ–Funktion, 708, 713
Anwendungen, 790
Approximationen, 790
Diracsche, 787
δ–Funktional, 695
Deltatensor, 290
de Morgansche Regel, 331, 336
Boolesche Algebra, 404
Derive, 1038
Descartessche Regel, 45
Determinante, 284
Berechnung, 286
Differentiation, 286
Funktional–, 705
Jacobi–, 705
Multiplikation, 286
Nullwerden, 285
Rechenregeln, 285
Spiegelung, 285
Wronski–, 566, 875
Deviationsmoment, 288
Dezimalbruch, 1
irrationale Zahlen, 2
Kettenbruch, 1
Dezimalsystem, 1016
Dezimalvorsätze, 1070
Dezimalzahl
normalisierte, 1019
Dezimalzahldarstellung, 1016
Dezimalzahlen, 1016
Diagonalmatrix, 277
Diagonalstrategie, 970
Diagonalverfahren, Maxwellsches, 757
Dichtemittel, Meßwerterfassung, 847
Diedergruppe, 344
Diffeomorphismus, 871
Anosov, 901
orientierungstreuer, 919
Differential
2. Ordnung, 460
Begriff, 457
Bogen, 270
Haupteigenschaften, 458
höherer Ordnung, 459
Integrabilität, 533
partielles, 459
totales, 459
vollständiges, 459, 460
n–ter Ordnung, 461
Defekt – Differentialgleichung 1179
2. Ordnung, 460
Differential–Operationen
räumliche, 722
Übersicht, 731
Differential–Operatoren
nichtlineare, 702, 703
Hammerstein–, 703
Nemytskij–, 703
Urysohn–, 703
räumliche, 722, 729
Divergenz, 725
Gradient, 723
Laplace–Operator, 730
Nablaoperator, 729
Rotation, 727
Vektorgradient, 725
Rechenregeln, 731
Vektorkomponenten, 732
Verknüpfungen, 731
Differentialgeometrie, 249
Differentialgleichung, 552
1. Ordnung, 553
allgemeine Lösung, 552
Anfangsbedingungen, 552
Anfangswertaufgabe, 552
auf dem Torus, 876, 919
Bernoullische, 556
Besselsche, 574
Clairautsche, 558, 587
definierende Gleichung, 574
Differentialvariationsgleichung, 1023
Eigenfunktion, 582, 612
Eigenwert, 582, 611
elliptischer Typ, 589, 591
Eulersche, 570
Variationsrechnung, 627
exakte, 554
Existenzsatz, 553
Fluß, 870
Fourier–Transformation, 804
gewöhnliche, 552
genäherte Integration, 982
lineare, 804
graphische Integration, 562
Hamiltonsche, 874, 915
Helmholtzsche, 608
Hermitesche, 581
homogene, 554
hyperbolischer Typ, 589, 591
hypergeometrische, 580
implizite, 552, 557
Integral, 552
Integralfläche, 585
Integralkurven, 553
Integration
Näherungsmethoden, 561
Reihe der unbestimmten Koeffizienten, 562
Reihenentwicklung, 562
integrierender Faktor, 555
konstante Koeffizienten, 566, 794
Lagrangesche, 557
Laguerresche, 580
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1180 Differentialgleichung – Differenzenbildung
Laplacesche, 743
Legendresche, 578
lineare
1. Ordnung, 555
2. Ordnung, 573
homogene, 875
inhomogene, 874
n–ter Ordnung, 566
Lösung, 552
Matrix–Differentialgleichung, 875
numerische Integration, 562
Operatorenmethode, 601
Operatorenschreibweise, 568
Orthogonalitätsrelation, 582
parabolischer Typ, 589, 591
partielle, 584, 796, 805
1. Ordnung, 584
2. Ordnung, 589
genäherte Integration, 989
lineare, 584
quasilineare, 584
vollständiges Integral, 586
partikuläre Lösung, 552
Poissonsche, 606, 740, 743
Quadratur, 567
Randbedingungen, 552
Randwertaufgabe, 552
Randwertproblem, 581
reduzierte, 905
Riccatische, 556
Normalform, 556
Richtungsfeld, 553
selbstadjungierte, 581
Semifluß, 870
Separationsansatz, 611
singulärer Punkt, 559
steife, 986
topologisch äquivalent, 883
ultrahyperbolischer Typ, 591
Van–Der–Polsche, 908
Variation der Konstanten, 567
veränderliche Koeffizienten, 795
vollständig integrierbare, 589
Webersche, 616
Differentialgleichung, partielle nichtlineare, 617
Boussinesc–Gleichung, 623
Burgers Gleichung, 623
Hopf–Cole–Transformation, 623
Evolutionskleichungen, nichtlineare, 619
Hirota–Gleichung, 623
Kadomzev–Pedviashwili–Gleichung, 623
KdV–Gleichung, modifizierte, 623
Korteweg–de–Vries–Gleichung, 618, 619
Muster, periodische, 618
Schrödinger–Gleichung, nichtlineare, 618, 620
sinh–Gordon–Gleichung, 623
Sinus–Gordon–Gleichung, 618, 621
Solitonenlösungen, 618
Wellen, nichtlineare, 618
Differentialgleichungen
allgemeine Form, 589
autonome, 873
Cauchy–Riemannsche, 597
Charakteristik des Systems, 585
charakteristische Streifen, 586
charakteristisches System, 584
Feldtheorie, 743
Fundamentalsystem, 566
gewöhnliche, 870
Fluß, 873
Phasenraumstruktur, 873
Theorie, qualitative, 873
höherer Ordnung, 563
kanonische Form, 590
kanonisches System, 586
lineare, 874
autonome, 875
Hauptsätze, 874
mit periodischen Koeffizienten, 876
nichtautonome, 873
Normalform, 570, 571, 590
Normalsystem, 587
partielle, 584
Superpositionssatz, 566
System linearer, 570
Systeme, 563
Zerlegungssatz, 566
Differentialquotient (s. auch Ableitung), 443
Differentialrechnung, 443
Hauptsätze, 452
Mittelwertsatz, 453
verallgemeinerter, 454
Differentialtransformation, affine, 747
Differentiation
Determinanten, 286
Funktion
eine Veränderliche, 443
elementare, 444
implizite, 447, 462
inverse, 447
komplexe, 744
mehrere Veränderliche, 457
Parameterdarstellung, 448
graphische, 448
Grundregeln, 444
höherer Ordnung
inverse Funktion, 451
Parameterdarstellung, 451
logarithmische, 446
mehrere Veränderliche, 462
mittelbare Funktionen, 462
Quotientenregel, 446
unter dem Integralzeichen, 524
Vektorfunktion, 715
zusammengesetzte Funktion, 462
Differentiationsregeln
Ableitung höherer Ordnung, 450
Funktion einer Veränderlichen, 444
Funktion mehrerer Veränderlicher, 444, 460
Tabelle, 449
Vektoren, 715
Differenz, 337
beschränkte, 429
symmetrische, 337
Differenzenbildung
finite Ausdrücke, 986
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Z–Transformation, 808
Differenzengleichung, 806, 990
2. Ordnung, 812, 813
lineare, 811
Randwerte, 813
Differenzenquotient, 976
Differenzenschema, 18
Differenzenverfahren, 602, 986, 989
Differenzierbarkeit
Funktion einer Veränderlichen, 443
Funktion mehrerer Veränderlicher, 459
komplexe Funktion, 744
nach den Anfangsbedingungen, 870
stetige, 704
Differenzmenge, 337
Diffusionsgleichung, 623
dreidimensionale, 605
Diffusionskoeffizient, 606
Dimension, 894
auf invariante Maße zurückgehende, 897
Douady–Oesterlé–, 899
Einbettungs-, 902
eines Maßes, 897
Hausdorff–, 895
Informations–, 897
Kapazitäts–, 896
Korrelations–, 897
Lie–Algebra, 361
Lyapunov–, 898
Matrix–Lie–Gruppe, 361
metrische, 894
obere punktweise, 897
Rényi–, 898
untere punktweise, 897
Vektorraum, 374, 671
verallgemeinerte, 898
Dimensionsformel, 375
Dirac
Maß, 708
Matrizen, 296
Operator, 312
Diracsche Distribution, 713
Diracscher Satz, 416
Dirichletsche Bedingung, 487
Dirichletsches Problem, 596, 743
disjunkt, 336
Disjunktion, 329
Diskretisierungsfehler
globaler, 985
lokaler, 985
Diskretisierungsschrittweite, 976
Diskriminante, 589
Dispersion, 826
Distanz, metrischer Raum, 676
Distanzmatrix, 413
Distribution, 712, 713, 790
Diracsche, 713
reguläre, 713
Distributionsableitung, 712
Distributionstheorie, 787
Distributivgesetz
Aussagenlogik, 330
Boolesche Algebra, 404
Differenzenbildung – Dreieck 1181
Matrizen, 279
Mengen, 336
Ring, Körper, 369
Tensoren, 289
Vektormultiplikation, 189
Distributivität
Links–, 376
Rechts–, 376
Divergenz
Reihe, 474
Zahlenfolge
bestimmte, 470
unbestimmte, 470
Divergenz (Differentialoperator)
Definition, 725
Hinweis, 723
mit Nablaoperator, 729
Vektorfeld, 725
Vektorkomponenten, 732
verschiedene Koordinaten, 726
Zentralfeld, 726
Division, 1020
komplexe Zahlen, 37
numerisches Rechnen, 1020
Polynome, 14
Polynomringe, 371
Quaternionen, 299
rationale Zahlen, 1
Vektoren, 296
Dodekaeder, 159
Doppelgerade, 212
Doppelintegral, 536
Anwendungen, 539
Doppelpunkt, Kurve, 257
Drehfehler, 392
Drehung
Koordinatensystem, 218
Objekt, 235
Quaternionen, 304
Rotation, 218
um beliebige Nullpunktsachse, 303
um beliebige Raumachse, 238
um Cardan–Winkel, 302, 305
um Euler–Winkel, 302
um Koordinatenachsen, 301
Drehungsinvarianz, 290
Drehungsmatrix, 282
Ebene, 196
orthogonale, 287
Raum, 218–221
Drehungswinkel, 221
Dreibein, begleitendes, 263
Dreieck
Bestimmungsgrößen, 135
ebenes, 135
Flächeninhalt, 145, 147, 199
Grundaufgaben, 147
Inkreisradius, 146
rechtwinkliges, 145
Sätze des Euklid, 145
schiefwinkliges, 145, 146
Tangensformeln, 146
Umkreisradius, 146
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1182 Dreieck – Einzahlung
Eulersches, 167
gleichschenkliges, 135
gleichseitiges, 135
Höhe, 135
Inkreis, 135
Mittellinie, 136
Mittelsenkrechte, 135
Orthozentrum, 135
Pascalsches, 13
rechtwinkliges, 136
Schwerpunkt, 135
Seitenhalbierende, 135
sphärisches, 166
Berechnung, 173
Eulersches, 167
Grundaufgaben, 173
rechtwinkliges, 173
schiefwinkliges, 175
Umkreis, 135
Winkelhalbierende, 135
Dreiecke
ähnliche, 137
kongruente, 136
Dreieckskoordinaten, 995
Dreiecksmatrix, 278
obere, 278
untere, 278
Dreiecksschema, 18
Dreiecksungleichung
komplexe Zahlen, 30
metrischer Raum, 676
Normaxiome, 283
Normen, 683
reelle Zahlen, 30
unitärer Raum, 687
Vektoren, 186
Dreieckszerlegung, 969
Dreifachintegral, 539
Anwendungen, 545
Dreikant, 168
Dritter, ausgeschlossener, 330
Druck
Flüssigkeitssäule, 516
Integration, 516
Schweredruck, 516
Seitendruck, 516
dual, 404
Dualisieren, 404
Dualität
lineare Optimierung, 930
nichtlineare Optimierung, 937
Dualitätssatz, starker, 938
Dualitätsprinzip, Booleschen Algebra, 404
Dualsystem, 1016
Dualzahlen, 1016
Duhamelsche Formel, 795
Durchmesser, 143
Ellipse, 205
Hyperbel, 208
konjugierter
Ellipse, 205
Hyperbel, 208
Parabel, 210
Durchschnitt, 335
Fuzzy–Mengen, 428
Mengen, 335
unscharfe Mengen, 427
Ebene
Analytische Geometrie, 195
Punkte, 197
Raum, 154, 224
rektifizierende, 263, 265
Vektorgleichung, 193
Ebenen
Orthogonalitätsbedingung, 226
parallele, 154
Abstand, 227
Parallelitätsbedingung, 226
Raum, 226
Ebenengleichung, 224
Achsenabschnittsform, 224
allgemeine, 224
Hessesche Normalform, 224
Ecke, 155
dreiseitige, 155
konvexe, 155
symmetrische, 155
Eigenfunktion, 582, 612
Integralgleichung, 637, 642
normierte, 583
Eigenvektor
Eigenwertaufgaben, 321
Hauptachsenrichtung, 289
Operator, 694
Eigenwert, 321, 582, 611
Integralgleichung, 637, 642
Operator, 694
Eigenwertaufgabe, 321
Eigenwertbedingung, 322
Eigenwertproblem
allgemeines, 321
spezielles, 321
Einbettung, 902
Einbettungsdimension, 902
Eingangsgrad, 410
Einheiten, imaginäre
verallgemeinerte i, j, k, 296
Einheiten, physikalische
abgeleitete, 1071
nichtgesetzliche, 1072
SI–fremde, 1072
SI–System, 1071
Einheitliches Kontonummernsystem EKONS, 392
Einheitsbiquaternionen, 312
Einheitsmatrix, 278
Einheitsquaternion, 298
Einheitsvektor, 186, 188
Einheitswurzel, 1007
Einhüllende, Kurvenscharen, 261
Einschrittverfahren, 984
Einsteinsche Summenkonvention, 287
Einzahlung
einmalige, 22
nachschüssige, 22
regelmäßige, 22
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unterjährige, 22
vorschüssige, 22
Einzelschrittverfahren, 973, 975
Einzielverfahren, 988
Einzugsgebiet, 873
Element
finites, 602, 993
generisches, 888
Menge, 334
neutrales, 343
positives, 673
singuläres, 558
Elementardisjunktion, 407
Elementarereignis, 820
Elementarformel, 332
Elementarintervall, 505
Elementarkonjunktion, 407
Elementarzelle
Kristallgitter, 356
nichtprimitive, 356
primitive, 356
Elementbeziehung, 334
Eliminationsprinzip, Gaußsches, 319
Eliminationsschritt, 969
Ellipse, 204
Bogen, 205
Brennpunktseigenschaften, 204
Definition, 204
Durchmesser, 204
Flächeninhalt, 205
Gleichung, 204
Halbparameter, 204
Krümmungskreisradius, 205
quadratisches Polynom, 71
Tangente, 205
Transformation, 212
Umfang, 205
Ellipsoid, 230
Fläche 2. Ordnung, 234
imaginäres, 234
Mittelpunksfläche, 234
Endomorphismus, 673
Endpunkt, 410
Entartung, 612
Entfernungsmatrix, 413
Entropie
metrische, 892
topologische, 892, 902
verallgemeinerte, 898
Entwicklung
Fourier–Entwicklung, 489
Laurent–Entwicklung, 765
McLaurin–Entwicklung, 484
Taylor–Entwicklung, 454, 483
Entwicklungskoeffizient, 188
Entwicklungssatz, Laplacescher, 284
Enveloppe, 261
Epitrochoide, 105
Epizykloide, 102
verkürzte, 105
verlängerte, 105
Epsilontensor, 290
Erastosthenes–Sieb, 378
Einzahlung – Evolutionsstrategie 1183
Ereignis, 820
Elementar-, 820
sicheres, 820
unabhängiges, 823
unmögliches, 820
zufälliges, 820
Ereignisart, 820
Ereignismenge, 820
Ereignissystem, vollständiges, 823
Erfüllungsgrad, 436
Ergiebigkeit, Quelle, 741
Erwartungswert, 826
quantenmechanischer, 609
Erweiterung
algebraische, 372
Körper, 370
Erweiterungskörper, 370
Erweiterungsprinzip, 431
Erzeugende, 159
geradlinige, Fläche, 232, 274
Erzeugendensystem, 345
Euklidische
Gruppe, 362
skalierte, 362
Norm, 376
Vektornorm, 283
Euklidischer
Algorithmus, 3, 14
Polynomringe, 371
Vektorraum, 375
Euler–Hierholzer–Satz, 414
Eulersche
Differentialgleichung, 570
Formel, 272
Formeln, 486
Funktion, 389
Konstante, 525
Linie, 414
Relation, 36
komplexe Zahlen, 772
Substitutionen, 500
Winkel, 221
Definition, 221
Drehungsmatrix, 221
Rotationsmatrix, 302
Zahlen, 478
Eulerscher Polyedersatz, 159
Eulersches
Integral 1. Gattung, 1114
Integral 2. Gattung, 524
Polygonzugverfahren, 982
Evolute, 261
Evolutionsalgorithmus, 946
Evolutionsfunktion, 619
Evolutionsgleichung, 619
Evolutionsprinzipien, 945
Evolutionsstrategie, 945
Algorithmen, 946
Einsatzgebiete, 946
Klassifizierung, 946
(μ + λ)–, 947
(μ,λ)–, 948
Mutation, 945
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1184 Evolutionsstrategie – FEM (Finite Elemente Methode)
Mutations–Selektions–, 947
Mutationsschritt, 947
Selektionsschritt, 947
Populationen, 948
Populations–, 947
Rekombination, 945, 948
Selektion, 945
Selektionsdruck, 948
Evolvente, 261
des Kreises, 106
Exponent, 8
Exponentialfunktion
allgemeine, 772
komplexe, 752
natürliche, 771
Quaternionen, 300
Exponentialsumme, 73
Exponentialverteilung, 833
Extensionalitätsprinzip, 334
Extrapolationsprinzip, 980
Extremale, 625
Krümmungsradius, 630
Extremwert, 51, 454
absoluter, 454
relativer, 454
von Funktionen, 466
Extremwertbestimmung, 455
allgemeine Regel, 456
globale Extremwerte, 456
höhere Ableitung, 455
implizite Funktion, 456
Nebenbedingungen, 468
Vorzeichenvergleich, 455
Exzentrizität, numerische
Ellipse, 204
Hyperbel, 206
Kurve 2. Ordnung, 212
Parabel, 209
Exzeß, sphärischer, 168
Faktor
Multiplikation, 7
Polynome, 43
Faktoralgebra, 402
Faktorgruppe, 347
Faktormenge, 341
Faktorregel, Differentiation, 444
Faktorring, 371
Fakultät, 13, 527
Falksches Schema, 280
Faltung
einseitige, 802
Fourier–Transformation, 802
Laplace–Transformation, 786
Z–Transformation, 809
zweiseitige, 802
Fehler
Abbruchfehler, 1021
absoluter, 865, 1019
Maximalfehler, 865
definierter, 866
Diskretisierungsfehler, 1021, 1022
einfacher mittlerer, 862
Eingangsfehler, 1021
Einzelmessung, 863
Fehlerfunktion, 526
Meßfehlereinteilung
qualitative Merkmale, 861
quantitative Merkmale, 863
mittlerer, 862, 864, 865
quadratischer, 487, 864, 865
prozentualer, 865
relativer, 865, 1019
Maximalfehler, 866
Resultatfehler, 1020
Rundungsfehler, 1022
scheinbarer, 864
Standardabweichung, 864
Verfahrensfehler, 1021
wahrer, 863
wahrscheinlicher, 862–865
Zusammenhang zwischen Fehlerarten, 863
Fehlerabschätzung
Iterationsverfahren, 975
Mittelwertsatz, 454
Fehleranalyse, 869
Fehlerarten, Computerrechnen, 1020
Fehlerfortpflanzung, 868
Fehlerfortpflanzungsgesetz, Gaußsches, 865, 868
Fehlergleichung, 971
Fehlerintegral, Gaußsches, 526, 832
Fehlerkorrektur, Codes, 393
Fehlernormalverteilung, 862
Fehlerorthogonalität, 988
Fehlerquadratmethode, 110, 320, 987, 991, 998
Ausgleichsrechnung, 861
Gaußsche Einordnung, 467
Regressionsanalyse, 853
Fehlerquadratsumme, 320, 972, 999
Fehlertheorie
direkte Aufgabe, 1021
inverse Aufgabe, 1021
Fehlerverteilungsdichte, 861
Feigenbaum–Konstante, 912, 914
Feld
Axialfeld, 716
Coulomb–Feld, Punktladung, 719, 741
elektrostatisches, 741
Fluß, 736
Gravitations–Feld, Punktmasse, 742
konservatives, 734
Kreisfeld, 719
Kugelfeld, 716
Newtonsches, Punktmasse, 719
Potentialfeld, 734
Quellenfeld, 740
Skalarfeld, 716
Superposition, 742
zentralsymmetrisches, 716
zylindersymmetrisches, 716
Feldfunktion, 754
Feldlinie, 721
Feldtheorie
Differentialgleichungen, 743
Grundbegriffe, 715
FEM (Finite Elemente Methode), 992
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Fernpunkt, 198
Festpunktzahl, 1017
FFT (schnelle Fourier–Transformation), 1006
Fibonacci–Zahlen, 383, 920
explizite Formel, 383
Folge, 383
Iterationsvorschrift, 920
Rekursionsformel, 383
Finanzmathematik, 21
Fixpunkt
konforme Abbildung, 748, 749
stabiler, 911
Fixpunktgleichung, 962
Fixpunktsatz
Banach, 680, 702
Brouwer, 705
Schauder, 705
Fläche (Ebene)
Darstellung mit Splines, 1010
B–B–Darstellung, 1013
transversale, 879
Fläche (Raum–), 268
2. Ordnung, 230, 233
Gestalt, 233
Invariantenvorzeichen, 234
Mittelpunktsflächen, 234
1. quadratische Fundamentalform, 271
2. quadratische Fundamentalform, 273
abwickelbare, 275
Gaußsche Krümmung, 274
geodätische Linie, 275
geradlinige Erzeugende, 159, 232, 274
Gleichung, allgemeine Form, 223
Hauptkrümmungskreisradius, 272
Kegelfläche, 223
Körperflächen, 159
konstanter Krümmung, 274
Koordinaten, krummlinige, 268
Krümmungslinie, 273
Krümmung, Kurven, 272
Linienelement, 270
Metrik, 271
Minimalfläche, 274
Minimalflächen, 274
mittlere Krümmung, 274
Normalenvektor, 269
Normalschnitt, 272
orientierte, 547
Regelfläche, 274
Rotationsfläche, 223
Tangentialebene, 269, 270
Zylinderfläche, 223
Flächenelement, 271
Flächen, gekrümmte, 547
Parameterform, 546
Tabelle, Ebene, 540
Tabelle, Raum, 547
Vektorkomponenten, 732
Flächenformel, Heronische, 147
Flächengleichung, 223, 233
in Normalform, 230
Raum, Definitionen, 268
Flächeninhalt
ähnlicher ebener Figuren, 137
Doppelintegral, 539
Dreieck
ebenes, 145, 199
ebenes, schiefwinkliges, 147
sphärisches, 169, 172
ebene Flächen, 513
Ellipse, 205
Flächenstück, 271
gekrümmtes Flächenstück, 547
Hyperbel, 208
Kreis, 143
Kreisabschnitt, 144
Kreisringteil, 144
Kreissektor, 144
krummlige Begrenzung, 513
Kurvensektor, 513
Parabel, 210
Parallelogramm, 138, 194
Polyeder, 194
Rechteck, Quadrat, 138
Rhombus, 138
Sehnenviereck, 140
Tangentenviereck, 140
Teilmenge, 707
Vieleck, konvexes, 199
Flächennormale, 269, 270
Flächenpunkt, 273
elliptischer, 273
hyperbolischer, 273
Kreisfläche, 273
Kreispunkt, 273
Nabelpunkt, 273
parabolischer, 274
singulärer, 270
Fluchtlinien–Nomogramm, 128
Fluchtlinientafel, 127, 128
Fluchtpunkt, 244, 248
Haupt–, 248
Fluß
Differentialgleichung, 870
Skalarfeld, 736
Vektorfeld
Skalarfluß, 737
Vektorfluß, 737
Folge, 469
beschränkte, 670
Cauchy–, 679
finite, 670
fundamentale, 679
konvergente, 670
metrischer Raum, Elemente, 678
metrischer Raum, Grenzwert, 678
metrischer Raum, Konvergenz, 678
Nullfolgen, 670
Zahlen–, 469
Form, quadratische
reelle, 324
reelle, positiv definite, 325, 971
Formel
1. binomische, 12
2. binomische, 12
Cardano–, 41
Fernpunkt – Formel 1185
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1186 Formel – Funktion
d’Alembertsche, 604
Duhamelsche, 795
Eulersche, 272
geschlossene, 332
Heronische, 147
Kirchhoffsche, 604
Liouville–, 566, 875
Moivre
Hyperbelfunktionen, 91
komplexe Zahlen, 38
trigonometrische Funktionen, 81
verallgemeinerte, 300
Parsevalsche, 802
Pesinsche, 894, 900
Plemelj, Sochozki, 665
Poissonsche, 604
Rechteck–, 977
Riemannsche, 598
Schwarz–Christoffel–, 752
Simpson–, 978
Stirlingsche, 527
Taylorsche, 454
Formelmanipulation, 1039
Formeln
Bessel–Funktionen, 576
Eulersche, 486
Frenetsche, 267
Kasterinsche, 578
Rayleigh–, 577
Fortsetzung
analytische, 764
linearer Funktionale, 696
Fortsetzungssatz von Hahn, 697
Fourier–Analyse, 486
Fourier–Entwicklung, 486
Formen, 489
Fourier–Integral, 490, 797
äquivalente Darstellungen, 797
komplexe Darstellung, 797
Fourier–Koeffizienten, 486, 1005
Bestimmung, 467
numerische Bestimmung, 489
Fourier–Reihe, 486
Bessel–Ungleichung, 690
Bestapproximation, 690
Hilbert–Raum, 690
komplexe Darstellung, 487
Fourier–Summe, 487, 1005
komplexe Darstellung, 1007
Fourier–Transformation, 797
Additionssatz, 801
Ähnlichkeitssatz, 801
Bildfunktion, 803
Dämpfungssatz, 801
Definition, 798
Differentiation
Bildbereich, 801
Originalbereich, 801
diskrete komplexe, 1007
exponentielle, 799
Faltung
einseitige, 802
zweiseitige, 786, 802
Fourier–Kosinus–Transformation, 798
Fourier–Sinus–Transformation, 798
Integration
Bildbereich, 801
Originalbereich, 802
inverse, 798
Linearitätssatz, 801
schnelle, 1006
Spektralinterpretation, 799
Tabellen, 799
Übersicht, 781
Vergleich mit Laplace–Transformation, 803
Verschiebungssatz, 801
Fraktal, 894
Fraktil, 825
Frames, 816
Fréchet–Ableitung, 703
Fredholmsche
Alternative, 644, 701
Integralgleichung, 635, 681
1. Art, 650
2. Art, 636
Lösungsmethode, 641
Sätze, 641
Fremdpeilung, 177
Frenetsche Formeln, 267
Frequenz, 76, 83
Kreisfrequenz, 83
Frequenzkopplung (frequency locking), 920
Frequenzspektrum, 800
diskretes, 490
kontinuierliches, 490
Fresnelsches Integral, 770
Fundamentalform
2. quadratische der Fläche, 273
1. quadratische der Fläche, 271
Fundamentalmatrix, 875–877
Fundamentalsatz
Algebra, 43, 372
elementare Zahlentheorie, 379
Fundamentalsystem
Differentialgleichung, homogene lineare, 566
Gleichungssystem, homogenes lineares, 316
Funktion, 340
abhängige, 124
absolutintegrierbare, 520, 523
algebraische, 62
analytische, 745
Areafunktion, 92
Arkusfunktion, 85
beschränkte, 51
Betafunktion, 1114
Boolesche, 330, 405
Cantor–, 920
charakteristische, 708, 709
Definitionsbereich, 48
diskrete, 807
eigentlich monotone, 50
eine Veränderliche, 48
Einheits–, 787
elementare
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Definition, 62
Meßbarkeit, 709
transzendente, 771
elliptische, 766
Eulersche, 389
explizit gegebene, 49
Exponential–, 63, 72
komplexe, 752
Quaternionen, 300
Extremwert, 51
Fehlerfunktion, 526
Funktionenreihe, 479
ganzrationale, 62
1. Grades, 64
2. Grades, 64
3. Grades, 64
n–ten Grades, 65
gebrochenlineare, 62, 66
gebrochenrationale, 62, 66
gerade, 51
goniometrische, 76
Greensche, 599
Grenzwert, 53
im Unendlichen, 54
iterierter, 125
linksseitiger, 54
rechtsseitiger, 54
Taylor–Entwicklung, 57
unendlicher, 54
Grenzwertsätze, 55
Größenordnung, 57
Hamilton–, 587, 874
harmonische, 743, 745
Heavisidesche, 713, 787
holomorphe, 745
homogene, 124
Hyperbelfunktion, 88
hyperbolische, 134
Quaternionen, 300
hypergeometrische, 580
implizit gegebene, 49
Indikator–, 708
integrierbare, 506
inverse, 52
Ableitung, 447
Ableitung höherer Ordnung, 451
Existenz, 61
Hyperbelfunktion, 92
trigonometrische, 63, 85
irrationale, 63, 71
Komplement–, 431
komplexe, 48, 744
algebraische, 771
beschränkte, 746
elementare, transzendente, 771
gebrochen lineare, 749
inverse, trigonometrische, 773
lineare, 748
quadratische, 750
Quadratwurzel, 751
trigonometrische, 772
komplexwertige, 48
Kosekans–, 78
Funktion – Funktion 1187
Kosinus–, 76
Kotangens–, 77
Kugelflächen–, 615
Lagrange–, 936
Laplacesche, 743
lineare, 62, 64
logarithmische, 63, 72
Logarithmus
komplexe Funktion, 752
Logarithmus–
Quaternionen, 300
lokalsummierbare, 712
Lyapunov–, 876, 877
MacDonaldsche, 576
mehrere Veränderliche, 120
mehrerer Veränderlicher, 48
meromorphe, 766, 792
meßbare, 709
mittelbare
Ableitung, 446
Zwischenveränderliche, 446
Mittelwert, 509
monoton
fallende, 50
wachsende, 50
nichtelementare, 62
Parameterdarstellung
Ableitung höherer Ordnung, 451
periodische, 52, 789
positiv homogene, 630
Potenzfunktion, 71
quadratische, 62
reelle, 48
reguläre, 745
Riemannsche, 597
Sekans–, 78
simple, 709
Sinus–, 76
Sprung–, 787
Stetigkeit, 58
einseitige, 59
im Intervall, 59
stückweise, 59
Stichprobenfunktion, 844
streng monotone, 50
stückweise stetige, 58
Sturmsche, 44
Summe lineare und
gebrochenlineare Funktion, 751
summierbare, 709
Tangens–, 77
transzendente, 63
trigonometrische, 63, 76, 133
Quaternionen, 300
Umkehrfunktion, 52
unabhängige, 124
ungerade, 51
Unstetigkeitsstelle, 58
endlicher Sprung, 59
hebbare Unstetigkeit, 59
Verlauf ins Unendliche, 59
verallgemeinerte, 712, 713, 790
Verteilungsfunktion, 824
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1188 Funktion – Gelenke, Kinematik
Wahrheitsfunktion, 329, 330
Webersche, 575
Wertebereich, 48
Zufallsgrößen, 824
zusammengesetzte, 63
Zustands–, 608
zyklometrische, 85
Funktional, 625, 691
Definition, 48, 374
lineares, 672, 673
stetiges, 695
stetiges im L p –Raum, 696
Funktionaldeterminante, 291, 538, 705
Funktion mehrerer Veränderlicher, 124
Funktionalmatrix, 704
Funktionen
Bessel–, 575
1. Gattung, 577
2. gattung, 577
komplexes Argument, 577
modifizierte, 576
sphärische, 577
doppelperiodische, 777
elliptische, 502, 775, 777
Amplitudenfunktion, 776
Jacobische, 776, 777
Thetafunktionen, 778
Weierstrasssche, 779
Kugel–
1. Art, 578
2. Art, 579
komplexes Argument, 577
meromorphe, 777
von Neumann–, sphärische, 577
Zylinder–, 575
Funktionensystem
orthogonales, 998
orthonormiertes, 999
Funktionentheorie, 744
Funktionsbegriff, 48
Funktionsgraph, 48
Funktionspapier
Begriff, 117
doppelt logarithmisches, 118
einfach logarithmisches, 118
reziproke Skala, 118
Fuzzy
Inferenz, 435
Interpolationssysteme, 441
Linguistik, 424
Logik, 423, 441
Regelung, 438
Relation, 432
Relationenprodukt, 434
Relationsmatrix, 433
Systeme, Anwendungen, 438
Wertigkeit, 432
Fuzzy–logisches Schließen, 435
Fuzzy–Menge
Ähnlichkeit, 427
Durchschnitt, 427
Höhe, 427
Komplement, 427
leere, 426
normale, 427
Schnitt, 427
Darstellungssatz, 427
subnormale, 427
Teilmenge, 426
Toleranz, 426
Träger, 423
universelle, 426
Vereinigung, 427
Verkettung, 434
Verknüpfung, 427
Verknüpfungsoperator, 434
Fuzzy–Mengen
Durchschnitt, 428
Schnitt–Mengen, 428
Vereinigung, 429
Gabor–Transformation, 816
Galerkin–Verfahren, 988
Galois–Feld, 371
Gammafunktion, 524, 526, 1121
Ganzzahligkeitsforderung, 922
Gauß
Schritt, 319
Transformation, 320, 856, 972
Gauß–Krüger–Koordinaten, 166
Gauß–Newton–Verfahren, 975
ableitungsfreies, 976
Gaußsche
Fehlerquadratmethode, 972, 998
Einordnung, 467
Glockenkurve, 73, 832
Koordinaten, 268
Krümmung, Fläche, 274
Summensymbolik, 999
Zahlenebene, 35
Gaußscher
Algorithmus, 319, 969
Integralsatz, 738
Gaußsches
Eliminationsprinzip, 319
Eliminationsverfahren, 969
Fehlerfortpflanzungsgesetz, 868
Fehlerintegral, 526, 832
Gauß–Seidel–Verfahren, 973
Gebiet, 121
abgeschlossenes, 121
drei– und mehrdimensionales, 121
einfach zusammenhängendes, 121, 760
mehrfach zusammenhängendes, 121
nicht zusammenhängendes, 121
offenes, 121
zweidimensionales, 121
zweifach zusammenhängendes, 121
Gebietskollokation, 991
Gebietsmethode, 991
Geburtsprozeß, 842
Gegenkathete, 133
Gegenpunkt, 163
Gelenke, Kinematik
Roboter–Gelenkvariable, 368
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Gelenke, mechanische
SE(3)–Anwendung, 367
GENAU DANN, WENN, 329
Genauigkeit, 862
Genauigkeitsmaß, 862
Generizität, 888
metrische, 903
Geometrie, 131
analytische, 185
Ebene, 195
Raum, 214
Differential–, 249
Gerade, 64, 131
Gleichung
Ebene, 200
Raum, 227
imaginäre, 212
Raum, 154, 227
Vektorgleichung, 193
Geraden
Gleichung, 227
kreuzende, 154
orthogonale, 131, 203
parallele, 131, 154, 203
Raum, 227
Schnittpunkt
Ebene, 201
Raum, 229
senkrechte, 131, 203
windschiefe, 154
Winkel zwischen, 202
Geradenbüschel, 202
Geradengleichung
Ebene, 200
Achsenabschnittsform, 200
allgemeine, 200
durch einen Punkt, 200
durch zwei Punkte, 200
Hessesche Normalform, 200
Polarkoordinaten, 201
Raum, 227
Richtungskoeffizient, Ebene, 200
Geradenpaar, Transformation, 212
Gerüst, 416, 417
Gesamtschrittverfahren, 973, 974
Gesetz der großen Zahlen, 837
Gewicht
Messung, 867
Orthogonalität, 582
statistisches, 826
Gewichtsfaktor, statistischer, 863
ggT und kgV, Zusammenhang, 383
Gimbal Lock Fall, 302
Girard, Satz, 169
Gitter
Bravais–Gitter, 356
Kristallographie, 356
Gitterpunkt (Splines), 1012
Glättungsparameter, 1011
Gleichheit
asymptotische, 484
komplexe Zahlen, 35
Matrizen, 279
Gelenke, mechanische – Gleichung 1189
Vektoren, 185
Gleichheitsbeziehung, Identität, 10
Gleichung, 10
1. Art, 701
1. Grades, 39
2. Art, 701
2. Grades, 40
3. Grades, 40
4. Grades, 42
algebraische, 38, 43
biquadratische, 42
charakteristische, 321, 559, 568, 570
definierende, 574
Diophantische, 383, 384
Ebene, 224
Ellipse, 204
Exponentialgleichung, Lösung, 46
Fläche (Raum)
2. Ordnung, 233
allgemeine Form, 223
Definitionen, 268
Normalform, 230
Flächennormale, 270
Gerade
Ebene, 200
Raum, 227
Grad einer Gleichung, 39
homogene, 701
Hyperbel, 206
Hyperbelfunktion, Lösung, 47
inhomogene, 701
Korteweg–de Vries, 619
Kreis, 203
kubische, 40, 64
Kugeloberfläche, 268
Kurve
2. Ordnung, 211
Ebene, 199, 249
Lösung, 38
lineare, 39
logarithmische, Lösung, 46
logistische, 871, 912
nichtlineare, numerische Lösung, 962
Normalform, 38
n–ten Grades, 43
Operatorengleichung, 701
Parabel, 209
Parallelogramm– (unitärer Raum), 687
Parsevalsche, 487, 583, 652, 690
quadratische, 40, 64
Raumkurve, 223, 262
Vektorform, 263
Schrödinger–
lineare, 606
nichtlineare, 618, 620
zeitabhängige, 607
zeitunabhängige, 607
Sinus–Gordon, 621
Tangentialebene, 269
Termalgebra, 403
transzendente, 38
trigonometrische, Lösung, 46
vektorielle, 192
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1190 Gleichung – Grundgesetze
Wurzel, 38
Gleichungen
Delambresche, 171
l’Huiliersche, 172
Mollweidesche, 146
Nepersche, 172
Gleichungssystem
algebraisches, 39
gestaffeltes, 319, 969
homogenes, 315
inhomogenes, 315
lineares, 314, 315, 968
Austauschverfahren, 317
Fundamentalsystem, 316
triviale Lösung, 316
überbestimmtes, 320, 971
nichtlineares, 968, 974
numerische Lösung, 968
direktes Verfahren, 968
Iterationsverfahren, 969
überbestimmtes, 968
unterbestimmtes, 968
Gleitpunktzahl, 1017, 1018
halblogarithmische Form, 1018
IEEE–Standard, 1018
Mathematica, 1040
Goldener Schnitt, 2, 198
Goldenes Mittel, 20, 920
Gradient (Differentialoperator)
Definition, 723
Hinweis, 723
mit Nablaoperator, 729
Skalarfeld, 723, 724
Vektorkomponenten, 732
verschiedene Koordinaten, 724
Gradientenverfahren, 633, 943
Gradmaß, 133
Altgrad, 133
Neugrad, 133
Graeffe–Verfahren, 968
Gram–Schmidt
Orthogonalisierungsverfahren, 323
Graph
Baum, 411
bewerteter, 413
Bogen, 410
ebener, 411, 419
Funktionsgraph, 48
gemischter, 410
gerichteter, 410
Isomorphie, 411
Kante, 410
Knoten, 410
Komponenten, 413
Kreis, 420
nichtplanarer, 419
paarer, 411
planarer, 419
regulärer, 411
schlichter, 410
spezielle Klassen, 411
stark zusammenhängender, 420
Strom, 421
Transportnetz, 411
unendlicher, 411
ungerichteter, 410
Untergraph, 412
Unterteilung, 419
vollständig paarer, 411
vollständiger, 411
zusammenhängender, 413, 420
Zyklus, 420
Graphentheorie, Algorithmen, 410
Graphik
3D–, 1067
Aufbau, 1061
Flächen und Raumkurven, 1066
Funktionen, 1063
Objekte, 1062
Optionen, 1061, 1063
Primitive, 1061
Syntax, 1063
Gravitationsfeld, Punktmasse, 742
Greensche
Funktion, 599
Integralsätze, 739
Methode, 599, 600
Grenzmengen
lineare Differentialgleichungen, 878
Grenzpunkt, 261
Grenzwert
bestimmtes Integral, 505
Folge, metrischer Raum, 678
Funktion
einer Veränderlichen, 53
komplexer Veränderlicher, 744
mehrerer Veränderlicher, 125
Funktionenreihen, 479
Partialsummen, 479
Reihe, 471
Zahlenfolge, 470
Grenzwertsätze
Funktionen, 55, 470
Zahlenfolgen, 470
Grenzwertsatz
Bernoullischer, 837
Lindeberg–Levy, 838
Grenzzyklus, 879, 908
instabiler, 879
stabiler, 879
Größe, infinitesimale, 506, 512
Größenordnung, Funktion, 57
größter gemeinsamer Teiler (ggT), 381
Linearkombination, 382
Großkreis, 163, 179
Grundaufgaben
ebene Trigonometrie, 147
sphärische Trigonometrie, 173
Grundformeln
ebene Trigonometrie, 145
sphärische Trigonometrie, 169
Grundgesamtheit, 843
zweistufige, 827
Grundgesetze
Aussagenlogik, 330
Mengenalgebra, 336
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Grundintegrale
Begriff, 493
Tabelle, 493
Grundvektor, 191
reziproker, 191
Gruppe
Abelsche, 343
Basissatz, 346
D3 (Dieder–), 349
Definition, 343
direktes Produkt, 346
Punkt–, 348
zyklische, 348
affine Transformation, 363
allgemeine lineare, 360
allgemeine lineare GL(n, IR), 360
Darstellung
adjungierte, 350
äquivalente, 350
Charakter, 351
direkte Summe, 351
direktes Produkt, 351
Eigenschaften, 349
inäquvalente, 350
irreduzible, 351
reduzible, 351
unitäre, 350
Unterräume, 351
Diedergruppe, 344
Euklidische
skalierte, 362
spezielle, 362
Faktorgruppe, 345, 347
GA(2), 363
GL(n), 346, 360
Homomorphiesatz, 347
kontinuierliche
Definition, 361
Dimension, 361
Lie–Gruppe
Definition, 362
Linksnebenklasse, 345
L(n, IR), 360
Matrix–Lie–, 359
Definition, 361
Dimension, 361
O(n), 346, 359
Ordnung, 344, 345
Permutationsgruppe, 344, 346
Rechtsnebenklasse, 345
reelle, spezielle, lineare SL(n,IR), 362
SE(2), 362
SE(3), 363
SE(n), 362
SL(2), 362
SL(n), 346
SO(2), 362
SO(3), 359
SO(4), 359
SO(n), 346, 359
spezielle affine, 362
SU(2), 359
SU(2) ⊗ U(1), 359
Grundintegrale – Hamilton 1191
SU(3), 359
SU(4), 359
SU(5) ⊃ SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1), 359
SU(6), 359
SU(n), 346, 359
symmetrische, 353
treue Darstellung, 349
U(1), 359
U(n), 346, 359
Untergruppe, 345
Unterraum
invarianter, 351
zyklische, 345
Gruppen, 343
allgemeine, lineare, 361
Anwendungen, 353
Atomkernphysik, 359
Drehimpulsalgebra, 359
Elementarteilchenphysik, 359
Erzeugendensystem, 345
kontinuierliche, 361
Produkt, 361
Konvergenz, 361
Lie–, 359
Matrix–Lie–, 359–361
spezielle, 362
Symmetrie–, 354
eine Drehachse, 355
Kristallklassen, 357
Kristallographie, 356
mehrere Drehachsen, 355
Moleküle, 354
Quantenmechanik, 358
Symmetrieoperationen, 357
Vielteilchenprobleme, 359
Gruppenelement
Charakter, 350
inverses, 343
Gruppenhomomorphismus, 346
Gruppenisomorphismus, 347
Gruppenordnung, 345
Gruppentafel, 344
Gruppieren, 11
Häufigkeit, 821, 846
absolute, 846
relative, 821, 846
Summenhäufigkeit, 846
Häufigkeitsverteilung, 846
Häufungspunkt, 679
Hakenintegral, 770
Halbgruppe, 343
Halbnorm, 696
Halbordnung, 341, 673
Halbparameter, 204
Parabel, 71
Halbseitensatz, 170
Halbwinkelsatz
ebene Trigonometrie, 82, 146
sphärische Trigonometrie, 170
Hamel–Basis, 671
Hamilton
Differentialgleichung, 874, 888, 915
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1192 Hamilton – Hyperbeltangens
Funktion, 587, 874
Kreis, 415
Operator, 606
System, 888
Hamiltonian, 606
Hamming–Abstand, 677
Hankel–Transformation, 781
Harmonische Analyse, 996
Hasse–Diagramm, 341
Hauptachsenrichtung, 290
Hauptachsentransformation, 289, 324
Hauptaufgabe
1., der Triangulierung, 151
2., der Triangulierung, 152
Hauptgröße, 11
Hauptideal, 370
Hauptkrümmungskreisradius, Raumfläche, 272
Hauptkrümmungsrichtung, Raumfläche, 272
Hauptnormale, Raumkurve, 263, 265
Hauptnormalschnitt, Raumfläche, 273
Hauptsatz
Differentialgleichungen
lineare, homogene, 875
lineare, inhomogene, 875
Funktionentheorie, 760
Integralrechnung, 506, 523
Hauptwert
Argument der komplexen Zahl, 35
Arkusfunktionen, 85
Cauchyscher, 522
Integral, uneigentliches, 519
inverse Hyperbelfunktion, 773
inverse trigonometrische Funktion, 773
Logarithmus, 772, 773
Hausdorff–Dimension, 895
Heaviside
Einheitsfunktion, 787
Entwicklungssatz, 791
Funktion, 713
Helmholtzsche Differentialgleichung, 608
Hénon–Abbildung, 871, 885
Hénon–Attraktor, 898
Hermitesche Polynome, 581, 616, 689
Hesse–Matrix, 943
Hessesche Normalform
Ebenengleichung, 224
Geradengleichung, Ebene, 200
Hexadezimalsystem, 1016
Hexadezimalzahlen, 1016
Hilbert–Matrix, 1057
Hilbert–Raum, 688
Basis, 691
Fourier–Reihen, 690
isomorpher, 691
Orthogonalität, 688
Skalarprodukt, 687
Histogramm, 846
Hodograph, Vektorfunktion, 715
Höhe
Dreieck, 135
Kegelfiguren, 160
Kugelteile, 161
Polyederfiguren, 156
Zylinderfiguren, 159
Höhenlinie, 121
Höhenwinkel, 148
Hölder–Stetigkeit, 664
Höldersche Ungleichung, 32
Hohlzylinder, 160
Holladay, Satz, 1010
Holoedrie, 357
Homöomorphismus, 883
konjugierender, 886
orientierungstreuer, 919
Homogenitätsgrad, 124
Homomorphiesatz, 402
Gruppen, 347
Ring, 371
Homomorphismus, 346, 402, 673
Algebren, 686
natürlicher, 347, 371
Ring, 371
Vektorverbände, 675
Hopf–Bifurkation, 906
Hopf–Landau–Modell der Turbulenz, 916
Horner–Schema, 965, 1017
zweizeiliges, 966
Householder
Tridiagonalisierung, 326
Verfahren, 321, 999
Hülle
abgeschlossene lineare, 688
konvexe, 671
lineare, 669
transitive, 339
Hufeisen–Abbildung, 899
l’Huiliersche Gleichungen, 172
Hyperbel, 206
Asymptoten, 207
Bogen, 209
Brennpunkt, 206
Brennpunktseigenschaften, 206
Definition, 206
Durchmesser, 208
Flächeninhalt, 208
gleichseitige, 66, 209
Gleichung, 206
Halbparameter, 206
konjugierte, 208
Krümmungskreisradius, 208
Leitlinieneigenschaft, 207
quadratisches Polynom, 71
Scheitel, 206
Tangente, 207
Tangentenstück, 207
Transformation, 212
Hyperbelfunktion, 133, 134
komplexe, 772
inverse, 773
Hyperbelkosekans, 88
Hyperbelkosinus, 88
Hyperbelkotangens, 88
Hyperbelsegment, 208
Hyperbelsekans, 88
Hyperbelsinus, 88
Hyperbeltangens, 88
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Hyperboloid, 230
einschaliges, 230, 232
Mittelpunksfläche, 234
zweischaliges, 230
Mittelpunksfläche, 234
Hyperebene, 697
Hyperfläche, 121
Hyperteilraum, 697
Hypotenuse, 133
Hypotrochoide, 105
Hypozykloide, 103
verkürzte, 105
verlängerte, 105
Ideal, 370
Hauptideal, 370
Idempotenzgesetz
Aussagenlogik, 330
Boolesche Algebra, 404
Mengen, 336
identisch erfüllt, 11
Identität, 10
Boolesche Funktion, 406
Jacobi–, 364
Lagrangesche, 190
IEEE–Standard, 1018
Ikosaeder, 159
Imaginärteil, 34
imaginäre
Einheit i, 34
Einheiten, verallgemeinerte i, j, k, 297
Zahlen, 34
Immersion, 902
Implikation, 329
Beweisführung, 5
Fuzzy–, 435
implizite Darstellung, 49
Impulsfunktion, 787
Individuenbereich, 332
Induktionsschluß, 5
Inferenz, Fuzzy–, 435
Infimum, 675
infinitesimal, 506
Infixschreibweise, 343
Informationsdimension, 897
Inkommensurabilität, 4, 879
Inkreis, 135
Dreieck, ebenes, schiefwinkliges, 146
Tangentenviereck, 140
Inkrement, 458
Innenproduktraum, 687
Instabilität
Rundungsfehler, numerische Rechnung, 1022
Integrabilität
Differential, 533
vollständige, 589
Integrabilitätsbedingung, 533, 534, 734
Integral
absolut konvergentes, 523
elementare Funktionen, 493
Eulersches, 524, 526
Fourier–Integral, 490, 797
Fresnelsches, 770
Hyperboloid – Integral, unbestimmtes 1193
komplexe Funktion, 709
Kurvenintegral, 527
Lebesgue–Integral, 709
Vergleich mit Riemann–Integral, 518
Linienintegral, 527
nichtelementare Funktionen, 496
nichtelementares, 525
Oberflächenintegral, 544
Parameterintegral, 524
Riemannsches, 506
Vergleich mit Stieltjes–Integral, 518
singuläres, 558
Stammfunktion, 492
Stieltjes–Integral
Begriff, 518
Hinweis, 700
Vergleich mit Riemann–Integral, 518
Umlaufintegral, 527, 533
Integral, bestimmtes, 505
Begriff, 492
Differentiation, 508
Tabelle, 1114
algebraische Funktionen, 1117
Exponentialfunktionen, 1115
logarithmische Funktionen, 1116
trigonometrische Funktionen, 1114
Integral, elliptisches, 501
1. Gattung, 496, 501, 776
2. Gattung, 501
3. Gattung, 501
bestimmtes, 502
Reihenentwicklung, 527
unbestimmtes, 501
unvollständiges, 502
vollständiges, 502
Integral, komplexes
bestimmtes, 758
unbestimmtes, 759
Integral, unbestimmtes, 492
andere transzendente Funktionen
Tabelle, 1108
Begriff, 493
elementare Funktionen, 493
Tabelle, 1081
Exponentialfunktionen
Tabelle, 1109
Grundintegrale, 493
Hyperbelfunktionen
Tabelle, 1108
inverse Hyperbelfunktionen
Tabelle, 1113
inverse trigonometrische Funktionen
Tabelle, 1112
irrationale Funktionen
Tabelle, 1088
Kosinusfunktionen
Tabelle, 1101
Kotangensfunktion
Tabelle, 1107
logarithmische Funktionen
Tabelle, 1110
Sinus- und Kosinusfunktionen
Tabelle, 1103
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1194 Integral, unbestimmtes – Interpolation
Sinusfunktionen
Tabelle, 1098
Tabelle Grundintegrale, 493
Tabellen, 1081
Tangensfunktion
Tabelle, 1107
trigonometrische Funktionen
Tabelle, 1098
Integral, uneigentliches, 505
Begriff, 518
divergentes, 521
Hauptwert, 519, 522
konvergentes, 519, 521
Integralexponentialfunktion, 526
Tabelle unbestimmte Integrale, 1109
Integralfläche, 585
Integralformel
Cauchysche, 761
Gauss, 738
Integralgleichung
1. Art, 635
2. Art, 635
Abelsche, 663
ausgearteter Kern, 636, 650
charakteristische, 664
Eigenfunktion, 637
Eigenwert, 637
Fredholmsche, 681
1. Art, 650
2. Art, 636
homogene, 635
inhomogene, 635
Iterationsverfahren, 639
iteratives Verfahren, 656
lineare, 635
quadratische Integrierbarkeit, 651
singuläre, 663
transponierte, 637, 664
Volterrasche, 682
1. Art, 635, 657
2. Art, 657
Integralgleichungen, Orthogonalsystem, 651, 655
Integralkosinus, 525
Integralkriterium (Cauchy), 474
Integralkurven, 553, 871
Integrallogarithmus, 496, 525
Tabelle unbestimmte Integrale, 1111
Integralnorm, 712
Integralrechnung, 492
Hauptsatz, 506, 523
Mittelwertsatz, 509
Integralsatz, 738
Cauchy, 760
Gauss, 738
Green, 739
Stokes, 739
Integralsinus, 525, 770
Integraltransformation, 780
Anwendung, 782
Bildbereich, 780
Carson–Transformation, 781
Definition, 780
eine Veränderliche, 780
Fourier–Transformationen, Übersicht, 781
Gabor–Transformation, 816
Hankel–Transformation, 781
Kern, 780
Laplace–Transformation, Übersicht, 781
Linearität, 782
mehrere Veränderliche, 782
Mehrfach–Integraltransformation, 782
Mellin–Transformation, 781
Operatorenmethode, 782
Originalbereich, 780
schnelle Wavelet–Transformation, 816
spezielle, 780
Stieltjes–Transformation, 781
Walsh–Transformation, 817
Wavelet–Transformation, 813, 815
Integrand, 493
Integraph, 512
Integration
allgemeine Regel, 493
Funktion, nichtelementare, 525
graphische, 497, 511
im Komplexen, 758, 767
Intervallregel, 508
Konstantenregel, 493
logarithmische, 495
numerische, 976
mehrfache Integrale, 982
partielle, 496
rationale Funktionen, 497
Reihenentwicklung, 496, 510, 525
Substitutionsmethode, 496
Summenregel, 494
unter dem Integralzeichen, 524
Vektorfelder, 732
Vertauschungsregel, 509
Volumen, 514
Integrationsgrenze, 506
obere, 506
parameterabhängige, 524
untere, 506
Integrationsintervall, 506
Integrationskonstante, 493
Integrationsregeln
bestimmte Integrale, 506
unbestimmte Integrale, 495
Integrationsvariable, 506
Begriff, 493
Integrationsweg, 527, 528
Explizitform, 529
Parameterform, 529
Wegabhängigkeit, 532
Wegunabhängigkeit, 533
Integrierbarkeit
p–fache, 711
quadratische, 651
integrierender Faktor, 555
Integritätsbereich, 369
Intensität, Quelle, 741
Intermittenz, 914, 918
Internationale Standard–Buchnummer ISBN, 391
Interpolation
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Aitken–Neville, 997
Fuzzy–Logik, 441
Fuzzy–Systeme, 442
Lerp–, 308
Quaternionen–, 308
Rotationsmatrizen, 310
Slerp–, 309
Spline–, 996, 1010
Squad–, 310
trigonometrische, 996, 1005, 1006
wissensbasierte, 441
Interpolationsbedingung, 996
Interpolationsformel
Lagrangesche, 996
Newtonsche, 996
Interpolationsquadratur, 977
Interpolationssplines, 1010
bikubische, 1012
kubische, 1010
Interpretation, Ausdruck, 332
Intervall, 2, 846
Ordnungs–, 674
Zahlen–, 2
Intervallregel, 508
Intervallschachtelung, 2
Invariante, 779
Fläche 2. Ordnung, 234
Kurve 2. Ordnung, 211
skalare, 190, 219
Invarianz
Drehungsinvarianz, 290
Transformationsinvarianz, 290
Translationsinvarianz, 290
Inverse, 673
Inversion
kartesisches Koordinatensystem, 294
konforme Abbildung, 749
Raum, 294
Involute, 261
Inzidenzfunktion, 410
Inzidenzmatrix, 412
Irrationalität
algebraische, 2
quadratische, 2
Irrfahrtsprozesse, 859
Irrtumswahrscheinlichkeit, 826, 849
Isometrie, Raum, 683
Isomorphie
Graphen, 411
Vektorräume, 673
Isomorphismus, 346, 347, 402
Boolesche Algebra, 405
Iteration, 962
inverse, 326
Iterationsverfahren, 326, 962, 969, 973
gewöhnliches, 962, 974
Jacobi
Determinante, 705
Funktion, 777
Identität, 364
Matrix, 704, 705, 975
dynamische Systeme, 871
Interpolation – Kernapproximation 1195
Verfahren, 326, 973
Jacobian, 705
Jordan
Matrix, 325
Normalform, 325
Junktor, 329
Kabinettprojektion, 247
KAM–Theorem, 888
kanonisches System, 586
Kante, Figur, 155
Kante, Graph, 410
Bewertung, 413
Länge, 413
Kantenfolge, 413
Elementarkreis, 413
geschlossene, 413
Kreis, 413
offene, 413
Weg, 413
Kantenwinkel, 155
Kantorovich–Raum, 675
Kapazitätsdimension, 896
Kapazität, Bogen, 421
Kardinalzahl, 334, 342
Kardioide, 99
Kaskade, Periodenverdopplungen, 914, 918
Kasterinsche Formeln, 578
Kategorie, 2. Bairesche, 888
Katenoide, 89, 107
Kavalierprojektion, 246
KDNF, 407
Kegel, 160, 231, 685
erzeugender, 674
imaginärer, 234
Mittelpunktsfläche, 234
normaler, 685
regulärer, 685
solider, 685
Vektorraum, 672
Kegelfläche, 160, 223
Kegelpunkt, 269, 270
Kegelschnitte, 161, 211
zerfallende, 212
Kegelstumpf, gerader, 161
Keil, 158
Keilwinkel, 166
Kennzahl, 10
Ker(T ) (Kern des Operators T ), 673
ker h (Kern von h), 402
Kern
Gruppen, 346
Homomorphismus, 403
Integralgleichung, 636
ausgearteter, 636, 647
iterierter, 640, 659
lösender, 640, 642
Integraltransformation, 780
Kongruenzrelation, 403
Operator, 673
Ring, 371
Unterraum, 375
Kernapproximation
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1196 Kernapproximation – Kongruenzmethode
Integralgleichungen, 646
Spline–Ansatz, 647
Tensorprodukt-Approximation, 647
Kette, 341
Graph, 420
elementarer, 420
Markoffsche, 839
homogene, 839
stochastische, 838
Sturmsche, 44
Kettenbruch, 3
Goldener Schnitt, 4
Goldenes Mittel, 920
irrationale Zahlen, 3
periodischer, 4
rationale Zahlen, 3
Kettenlinie, 89, 107, 627
Kettenregel
mittelbare Funktion, 446
Vektoren, 716
Kink–Soliton, 621
Kirchhoffsche Formel, 604
KKNF, 407
Klammer
Intervall–, 2
Lie–, 364, 610
Operationsfolge, 10
Klasse
gleichungsdefinierte, 403
Meßwerterfassung, 846
Klassenmitte, Meßwerterfassung, 847
Kleinkreis, 163, 180
Bogenlänge, 181
Kurswinkel, 181
Radius, ebener, 180
Radius, sphärischer, 180
Schnittpunkte, 181
Kleinsche Vierergruppe, 346
kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV), 382
Klothoide, 107
Knickpunkt, 257
Knoten, 882
Abstand, 413
Approximationsintervalle, 1010
dreifach zusammengesetzter, 908
Graph, 410
isolierter, 410
Niveau, 416
Quelle, 421
Sattelknoten, 877, 882
Senke, 421
stabiler, 877
Knotenebene, 612
Knotengrad, 410
Knotenpunkt, 559
Kochsche Kurve, 896
Kodierung, 397
Kodimension, 904
Koeffizient, 39
algebraischer Ausdruck, 11
Clebsch–Gordan, 352
metrischer, 191
Vektorzerlegung, 187
Koeffizientenmatrix, 315
erweiterte, 316, 970
Körper, 369
algebraisch abgeschlossener, 372
endliche, 371
Erweiterung, 370
Schiefkörper, 369
Kollinearität, Vektoren, 189
Kollokation
Gebietskollokation, 991
Randkollokation, 991
Kollokationsmethode, 648, 987, 991
Kollokationsstelle, 987, 991
Kombination, 818
mit Wiederholung, 818
ohne Wiederholung, 818
Kombinatorik, 818
Kommensurabilität, 4
Kommutativgesetz
Aussagenlogik, 330
Boolesche Algebra, 404
fehlendes, Quaternionenmultiplikation, 297
Matrizen, 279, 280
Mengen, 336
Vektoren, 280
Vektormultiplikation, 189
Kommutator, 364, 375, 610
Komplement, 336
algebraisches, 284
Mengen, 335
unscharfe, 427
orthogonales, 688, 696
Sugeno–Komplement, 432
Yager–Komplement, 432
Komplementfunktion, 431
Komplementmenge, 335, 336
Komplementsätze, 80
Komplementwinkel, 132
komplexe Zahlen, 34
Absolutbetrag, 30
Modul, 30
verallgemeinerte, 296
Komplexifikation, 673
Konchoide
allgemeine, 98
der Geraden, 98
des Kreises, 98
des Nikodemes, 97
Konditionszahl, 972
Konfidenzbereich, 854
Konfidenzintervall, 854
Kongruenz
algebraische, 385
ebener Figuren, 136
Ecken, 155
gleichsinnige, 136
lineare, 386
nichtgleichsinnige, 136
Polynomkongruenz, 388
quadratische, 387
simultane lineare, 387
System simultaner linearer, 387
Kongruenzmethode, 857
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Kongruenzrelation, 402
Kern, 403
Kongruenzsätze, 136
Kongruenztransformation, 136
konjugiert komplexe Zahlen, 36
Konjugiertheit, topologische, 886
Konjunktion, 329
konkav, 252
Konklusion, Fuzzy–, 435
Konsistenz, 985
Ordnung p, 985
Konstante
aussagenlogische, 329
Eulersche, 525
in Polynomen, 62
Integrations–, 493
Konstanten
häufig gebrauchte, Tabelle, 1069
wichtige physikalische, Tabelle, 1069
Konstantenregel, Differentiation, 444
Kontinuum, 342
Kontonummernsystem, EKONS, 392
Kontradiktion, Boolesche Funktion, 406
Kontraktionsprinzip, 680, 681
Kontrapositionsgesetz, 331
Konvergenz, 985
absolute, 474, 481, 763
Banach–Raum, 684
bedingte, 474, 763
gleichmäßige, 480, 481
im Mittel, 487
Konvergenzsätze, 471
metrischer Raum, 678
metrischer Raum, gleichmäßige
Funktionenfolgen, 678
Ordnung p, 985
Reihe, 472, 474
Reihe, komplexe Glieder, 762
Reihe, von Neumannsche, 640
schwache, 701
unendliche Reihe, komplexe Glieder, 762
ungleichmäßige, 480
Zahlenfolge, 470
komplexe Glieder, 762
Konvergenzbereich, 479
Konvergenzintervall, 481
Konvergenzkreis, 763
Konvergenzkriterium
Cauchy, 53, 125
hinreichendes, 472
Integralkriterium (Cauchy), 474
Leibnizsches, 475
notwendiges, 472
Quotientenkriterium (d’Alembert), 473
Vergleichskriterium, 472
Weierstraß–, 480
Wurzelkriterium (Cauchy), 473
Konvergenzordnung, 985
Konvergenzpunkte, 479
Konvergenzradius, 481
Konvergenzsätze, 710
Konvertierung, Zahlensysteme, 1016
konvex, 252
Kongruenzrelation – Koordinatensystem 1197
Koordinaten
affine, 188, 191
baryzentrische, 995
Descartessche, 195
Dreiecks–, 995
Gaußsche, 268
Gauß–Krüger–, 165
gemischte, 292
Geodäsie, 148
geographische, 165
homogene, 237, 363
kartesische, 187, 191, 196
Ebene, 195
Raum, 215
kontravariante, 193
kovariante, 193
krummlinige, 195, 268, 291
dreidimensionale, 216
Kugelkoordinaten, 216
Polarkoordinaten, 195, 196
räumliche, 216
Punkt, 195
rein kontravariante, 293
rein kovariante, 293
Soldner–, 165
Übergang
kartesische ↔ Kugelkoordinaten, 217, 720
kartesische ↔ Polarkoordinaten, 196
kartesische ↔ Zylinderkoordinaten, 217, 720
kartesische → Polarkoordinaten, 465
Vektor, 187
verzögerte, 902
vorauseilende, 902
Zylinderkoordinaten, 216
Koordinatenachse, 195
Koordinatendarstellung
Skalarfelder, 717
Vektorfelder, 719
Koordinatenfläche, 215, 291
Koordinatengleichung
ebene Kurve, 199
Raumkurve, 265
Koordinateninversion, 294
Koordinatenlinie, 215, 291
Koordinatensystem
Ansichts–, 244
doppelt logarithmisches, 118
Ebene, 195
einfach logarithmisches, 118
Gauß–Krüger–, 148
linkshändiges, 214
lokales, 240
Objekt–, 235
objektbezogenes, 240
orthogonales, 186
orthonormiertes, 186
Raum, 214
rechtshändiges, 214
Soldner–, 148
Transformation, Drehung (Tensoren), 287
Transformation, lineare (Tensoren), 287
Welt–, 240
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1198 Koordinatentransformation – Kryptologie, klassische
Koordinatentransformation, 196, 218, 235
2–dimensionale, 237
3–dimensionale, 240
Drehung der Koordinatenachsen, 196
Kurvengleichungen 2. Ordnung
Mittelpunktskurven, 212
parabolische Kurven, 213
Parallelverschiebung, 196
Tensor 2. Stufe, 292
Koordinatenursprung
Ebene, 195
Raum, 215
Korrektor, 985
Korrekturform, 974
Korrelation, lineare, 852
Korrelationsanalyse, 852
Korrelationsdimension, 897
Korrelationskoeffizient, 853
empirischer, 853
Korrelationssumme, 897
Korteweg–de–Vries–Gleichung, 618
Kosekans, 78
hyperbolicus, 88
Kosekansfunktion, 133
Kosinus, 76
hyperbolicus, 88
Kosinusfunktion, 133
hyperbolische, 134
Kosinussatz, 146
polarer, 169
sphärischer, 169
Winkelkosinussatz, 169
Kotangens, 77
hyperbolicus, 88
Kotangensfunktion, 133
Kovarianz, zweidimensionale Verteilung, 853
Kredit, 22
Kreis
apollonischer, 755
Definition, 142, 203
Ebene, 203
gefährlicher, 154
Graph, 420
Großkreis, 163, 179
Hamilton–, 415
Kleinkreis, 163, 180
Tangente, 204
Kreisabbildung, 918, 919
Kreisabschnitt, 144
Kreisausschnitt, 144
Kreisfeld, 719
Kreisfiguren, ebene, 142
Kreisflächenpunkt, 273
Kreisfläche, 142
Kreisfrequenz, 83
Kreisfunktion, 133
Kreisgleichung
kartesische Koordinaten, 203
Parameterdarstellung, 203
Polarkoordinaten, 203
Kreiskegel, 160
Kreislinie, 142
Kreisperipherie, 142
Kreispunkt, 273
Kreisring, 144, 162
Kreissegment, 144
Kreissektor, 144
Kreistonnenkörper, 162
Kreisumfang, 142
Kreiszylinder, 159
Kristallklassen, 357
Kristallographie
Gitter, 356
Symmetriegruppen, 356
Kristallsysteme, 357
Kronecker
Produkt, 283
Darstellungsmatrizen, 351
Symbol, 278, 290
Krümmung
ebene Kurve, 253
Fläche, 274
Fläche (Raum–), 272, 274
konstanter Krümmung, 274
Gaußsche Fläche, 274
Kurven, Raumfläche, 272
minimale Gesamtkrümmung, 1010
mittlere der Fläche, 274
Raumkurve, 265
Totalkrümmung, 267
Krümmungskreis, 254
Krümmungskreismittelpunkt, 254
Krümmungskreisradius, 254
ebene Kurve, 253
Extremale, 630
Kurve, 253
Kurven, Raumfläche, 272
Raumkurve, 265
Krümmungslinie, Fläche (Raum–), 273
Kryptoanalysis, klassische
Methoden, 398
Kasiski–Friedman–Test, 398
statistische Analyse, 398
Kryptologie, 395
AES–Algorithmus, 401
Aufgabe, 395
Diffie–Hellman–Konzept, 399
Einwegfunktionen, 400
IDEA–Algorithmus, 401
Kryptosystem, 395
mathematische Präzisierung, 396
One–Time–Tape, 399
RSA–Verfahren, 400
Sicherheit von Kryptosystemen, 396
Verfahren mit öffentlichem Schlüssel, 399
Verschlüsselung
kontextfreie, 396
kontextsensitive, 396
Kryptologie, klassische
Methoden, 397
affine Substitutionen, 397
Hill–Chiffre, 398
Matrixsubstitutionen, 398
Vigenere–Chiffre, 397
Substitution, 397
monoalphabetische, 397
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monographische, 397
polyalphabetische, 397
polygraphische, 397
Transposition, 397
Kuan, 415
Kubikwurzel, 8
Kugel, 161
als Ellipsoid, 230
Gleichung, drei Formen, 268
metrischer Raum, 677
Kugelabschnitt, 162
Kugelausschnitt, 161
Kugelfeld, 716
Kugelflächenfunktion, 615
Kugelfunktion, 577
Kugelfunktionen
1. Art, 578
2. Art, 579
komplexe, 577
sphärische, 577
Kugelkoordinaten, 216
Vektorfeld, 720
Kugelschachtelungssatz, 680
Kugelschicht, 162
Kugelzweieck, 166
Kuhn–Tucker–Bedingungen, 937
Hinweis, 697
Kuratowski–Satz, 420
Kursgleiche, 182
Kurswinkel, 164
Kurve
2. Ordnung, 211
3. Ordnung, 67, 94
4. Ordnung, 97
Abbrechpunkt, 257
algebraische, 94, 199, 258
Archimedische Spirale, 105
Areakosinus, 92
Areakotangens, 92
Areasinus, 92
Areatangens, 92
Arkuskosinus, 85
Arkuskotangens, 85
Arkussinus, 85
Arkustangens, 85
Astroide, 104
Asymptote, 255, 259
asymptotischer Punkt, 257
B–B–Darstellung, 1013
Cassinische, 100
Darstellung mit Splines, 1010
Doppelpunkt, 257
ebene, 249
Bogenelement, 250
Normale, 250
Richtung, 249
Scheitelpunkt, 256
Tangente, 250
Winkel, 252
empirische, 109
Enveloppe, 261
Epitrochoide, 105
Epizykloide, 102
Kryptologie, klassische – Kurven 1199
Evolute, 261
Evolvente, 261
des Kreises, 106
Exponentialkurve, 72
Funktion, 48
Gaußsche Glockenkurve, 73, 832
gedämpfte Schwingungen, 84
Gleichung
Ebene, 199
Raum, 223
Hyperbelkosinus, 89
Hyperbelkotangens, 90
Hyperbelsinus, 89
Hyperbeltangens, 90
hyperbolische Spirale, 106
hyperbolischer Typ, 70, 72
Hypotrochoide, 105
Hypozykloide, 103
imaginäre, 199
Involute, 261
isolierter Punkt, 257
Kardioide, 99
kartesisches Blatt, 95
Katenoide, 107
Klothoide, 107
Knickpunkt, 257
Kochsche, 896
Konchoide des Nikodemes, 97
konkave, 252
konvexe, 252
Kosekans–, 78
Kosinus–, 76
Kotangens–, 77
Krümmung, 253
Krümmungskreisradius, 253
Länge, Kurvenintegral 1. Art, 529
Lemniskate, 101
logarithmische, 72
logarithmische Spirale, 106
Lorentz–Kurve, 95
Mehrfachpunkt, 258
n–ter Ordnung, 65, 199
parabolischer Typ, 65
Pascalsche Schnecke, 98
Rückkehrpunkt, 257
Raum, 262
Sekans–, 78
Selbstberührungspunkt, 257
semikubische Parabel, 94
Sinus–, 76
sphärische, 163, 179, 716
Spirale, 105
Strophoide, 96
Tangens–, 77
Traktrix, 107
transzendente, 199
Trochoide, 101
Versiera der Agnesi, 95
Wendepunkt, 255
Zissoide, 96
Zykloide, 101
Kurven
2. Ordnung, 211
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1200 Kurven – Limes
Mittelpunktskurven, 212
Polargleichung, 212
sphärische, 179
Loxodrome, 182
Orthodrome, 179
Schnittpunkte, 184
Kurvengleichung
2. Ordnung, 211
Ebene, 199, 249
komplexe Form, 773
Raum, 223
Kurvenintegral, 527
1. Art, 528
Anwendungen, 529
2. Art, 529
allgemeiner Art, 532, 734
Vektorfeld, 732
Kurvenpunkt, ebene Kurve, 255
Kurvenschar, Einhüllende, 261
Kurvenuntersuchung,allgemeine, 260
Ladung, elektrische, 741
Länge
Bogen, 179, 271
geographische, 165, 269
Intervall, 707
Kurvenintegral 1. Art, 529
reduzierte, 179
Vektor, 194
Lagrange
Funktion, 468, 936
Identität, 190
Interpolationsformel, 996
Multiplikatorenmethode, 468
Satz, 345
Laguerresche Polynome, 580, 689
Lanczos–Verfahren, 326
Landau–Symbole, 57
Laplace–Operator, 730
Polarkoordinaten, 466
Vektorkomponenten, 732
verschiedene Koordinaten, 730
Wellengleichung, 604
Laplacesche Differentialgleichung, 606, 743
Laplacescher Entwicklungssatz, 284
Laplace–Transformation, 783
Additionssatz, 784
Ähnlichkeitssatz, 784
Bildbereich, 783
Bildfunktion, 783
Dämpfungssatz, 784
Definition, 783
Differentation
Bildbereich, 785
Originalbereich, 785
Differentialgleichung, 794
konstante Koeffizienten, 794
partielle, 796
veränderliche Koeffizienten, 795
diskrete, 809
Divisionssatz, 786
Faltung, 786
einseitige, 786
komplexe, 787
Funktion, stückweise differenzierbare, 788
Integration
Bildbereich, 785
Originalbereich, 785
inverse, 783, 791
Konvergenz, 783
Linearitätssatz, 784
Originalbereich, 783
Originalfunktion, 783
Partialbruchzerlegung, 791
Reihenentwicklung, 792
Sprungfunktion, 787
Tabelle, 1125
Übersicht, 781
Umkehrintegral, 793
Vergleich mit Fourier–Transformation, 803
Verschiebungssatz, 784
Zusammenhang mit Z–Transformation, 809
Laurent
Entwicklung, 765
Reihe, 765, 810
Lebesgue–Integral, 709
Vergleich mit Riemann–Integral, 518
Lebesgue–Maß, 708
Legendresche
Differentialgleichung, 578
Polynome
1. Art, 578, 689
2. Art, 579
assoziierte, 579
zugeordnete, 579
Legendre–Symbol, 387
Leibnizsche Regel, Differentiation, 450
Leistungsspektrum, 892
Leitkurve, 159
Leitlinie
Ellipse, 204
Hyperbel, 207
Parabel, 209
Traktrix, 107
Leitlinieneigenschaft
Ellipse, 204
Hyperbel, 207
Kurven 2. Ordnung, 212
Parabel, 209
Lemma
Jordan, 768
Schursches, 352
Lemniskate, 101, 258
Lie–Algebra, 359, 364
Basis, 365
reelle, 364
Robotik–Anwendung, 366
spezielle, 364
Starrkörperbewegung, 366
Vektorprodukt, 368
Lie–Gruppe—Lie–Algebra, Zusammenhang, 364
Lie–Gruppen, 359
Lie–Klammer, 364, 610
Limes
bestimmtes Integral, 505
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Funktion, 53
Reihe, 471
superior, 481
Zahlenfolge, 470
linear
abhängig, 374
unabhängig, 374
Linearcode, 372, 394
Linearform, 672, 673
stetige, 695
Linearkombination
Vektoren, 84, 186, 189
Linie, geodätische, 163, 275
Linie, Eulersche
geschlossene, 415
offene, 415
Linienelement
Fläche (Raum–), 270
Vektorkomponenten, 732
Linienintegral, 527
Linksdreiecksmatrix, 970
Linkspol, 167
Linksschraube, 266
Linkssingulärvektor, 328
Linkssystem, 214
Linsenform, Ellipsoid, 230
Liouville
Approximationssatz, 4
Formel, 566, 875
Satz, 874
Lipschitz–Bedingung, 553, 563
Lösungsmannigfaltigkeit, 968
Lösungspunkt, 922
Logarithmentafel, 10
Logarithmieren, 9
Logarithmische Normalverteilung, 832
Logarithmisches Dekrement, 84
Logarithmus
binärer, 10
Briggsscher, 9
Definition, 9
dekadischer, 9
dualer, 10
Hauptwert, 772
komplexe Funktion, 752
natürlicher, 9, 772
Neperscher, 9
n × n–Matrizen, 364
Quaternionen, 300
Logarithmusfunktion
Begriff, 72
komplexes Argument, 772
konforme Abbildung, 752
Quaternionen, 300
Steigung, 58
Logik, 329
Aussagenlogik, 329
Fuzzy–Logik, 423
Prädikatenlogik, 332
Lorentz–Kurve, 95, 804
Lorenz–System (Attraktor), 871, 874, 899, 914
Lot, sphärisches, 175
Loxodrome, 182
Bogenlänge, 182
Kurswinkel, 183
Schnittpunkte, 183, 184
L p –Raum, 711
LR–Faktorisierung, 969
Lyapunov
Dimension, 898
Exponenten, 893
Funktion, 876
Satz, 876
Stabilität, 876
MacDonaldsche Funktion, 576
MacLaurinsche Reihe, 484
Macsyma, 1038
Mächtigkeit, Menge, 341
Majorante, 478, 480
konvergente, 472
Mamdani–Methode, 438
Manipulation
algebraische Ausdrücke, 1051
nichtalgebraische Ausdrücke, 1053
Mannigfaltigkeit
differenzierbare, 360
instabile, 879, 885
invariante, 879, 885
stabile, 879, 885
Teil–, 951
Mantelfläche
Kegel, 160
Kugel, 161
Polyeder, 156
Pyramide, 157
Quader, 156
Tonnenkörper, 162
Torus, 162
Würfel, 157
Zylinder, 159
Mantisse, 10, 1019
Maple
Ein- und Ausgabe, 1035
Numerische Mathematik, 1035
Ausdrücke und Funktionen, 1035
Differentialgleichungen, 1037
Gleichungen, 1036
Integration, 1036
Masche (Splines), 1012
Maß, 707
auf eine Menge konzentriertes, 889
Dirac–, 708
einer Dimension, 897
ergodisches, 890
Hausdorff–, 895
invariantes, 889
Lebesgue–, 708, 889
natürliches, 890
physikalisches, 890
SBR–, 890
σ–endliches, 711
Träger, 889
Wahrscheinlichkeits–, 711
Masse
Doppelintegral, 539
Limes – Masse 1201
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1202 Masse – Matrix
Dreifachintegral, 545
Kurvenintegral 1. Art, 529
Massenmittelpunkt, 197, 222
Maßraum, 707, 708
von unten, 708
Maßstab, 1
Maßstabsfaktor, 116, 150
Matching, 418
gesättigtes, 418
maximales, 418, 419
perfektes, 418
Mathcad, 1038
Mathematica
3D–Graphik, 1067
algebraische Ausdrücke, Manipulation, 1052
algebraische Ausdrücke, Multiplikation, 1052
Anwendungen, 1051
Apply, 1049
Attribute, 1050
Ausdrücke, 1039
Differential- und Integralrechnung, 1058
Differentialgleichungen, 1060
Differentialquotienten, 1058
Differentiation, 1048
Ein- und Ausgabe, 1031
Ein- und Ausgabe II, 1038
Ein- und Ausgabe III, 1040
Elemente, 1039
Elemente der linearen Algebra, 1056
Faktorenzerlegung, Polynome, 1052
FixedPoint, 1048
FixedPointList, 1048
Flächen und Raumkurven, 1066
Formelmanipulation, Einführung, 1039
Funktionaloperationen, 1048
Funktionen, 1046
inverse, 1048
Gleichungen, 1054
Manipulation, 1054
transzendente, 1055
Gleichungssysteme, 1055
allgemeiner Fall, 1056
Eigenwerte und Eigenvektoren, 1057
Spezialfall, 1056
Gleitpunktzahlen, Konversion, 1041
Graphik, 1061
Funktionen, 1063
Primitive, 1061, 1062
Graphikoptionen, 1063
Hauptstrukturelemente, 1039
Integrale
bestimmte, 1060
Mehrfachintegrale, 1060
unbestimmte, 1059
Kontexte, 1050
Kopf, 1039
Kurven
Parameterdarstellung, 1066
zweidimensionale, 1065
Kurzcharakteristik, 1038
Listen, 1043
Manipulation von Matrizen, 1045
Manipulation von Vektoren, 1045
Map, 1049
Matrizen als Listen, 1045
Meldungen, 1051
Muster, 1047
Nest, 1048
NestList, 1048
numerische Berechnung, Einführung, 1039
Numerische Mathematik, 1031
Differentialgleichungen, 1034
Integration, 1033
Interpolation, 1032
Kurvenanpassung, 1032
Polynomgleichungen, 1033
Oberflächen, 1067
Objekte, dreidimensionale, 1068
Operationen, auf Polynomen, 1053
Operatoren, wichtige, 1042
Partialbruchzerlegung, 1053
Programmierung, 1049
Schreibweise, 1042
Syntax, Ergänzungen, 1050
Systembeschreibung, 1039
Vektoren als Listen, 1045
Zahlenarten, 1040
Matlab, 1026
Differentialgleichungen, 1030
Funktionsübersicht, 1026
Gleichungen, 1028
Integration, 1029
Interpolation, 1029
Kurvenanpassung, 1029
Linear Algebra, 1027
Toolboxen, 1027
Matrix, 276
Adjazenz–, 412
adjungierte, 276, 285
antihermitesche, 278
antisymmetrische, 277
block–tridiagonale, 991
Diagonal–, 277
Drehungs–, 282
Ebene, 196
Raum, 218–221
Dreiecks–, 278
Dreieckszerlegung, 969
Einheits–, 278
Entfernungs–, 413
Funktional–, 705
Hauptdiagonalelement, 277
hermitesche, 278
Hesse–, 943
inverse, 281, 285
Invertierung, 315
Inzidenz–, 412
Jacobi–, 705
Jordan–, 325
komplexe, 276
konjugiert komplexe, 276
n × n, 360
normale, 277
Null–, 276
orthogonale, 282
positiv definite, 325
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

quadratische, 276, 277
Quaternionendarstellung, 298
Rang, 281
rechteckige, 276
reelle, 276
reguläre, 281
reziproke, 281
Rotations–, 237, 301
schiefsymmetrische, 277
schwach besetzte, 991
selbstadjungierte, 278
singuläre, 281
Skalar–, 277
Skalierungs–, 237
Spur, 277
stochastische, 839
symmetrische, 277
Transformations–, 237
Translations–, 237
transponierte, 276
unitäre, 282
Valenz–, 417
Verscherungs–, 237
Vollrang, 320
Matrix–Exponentialfunktion, 360, 875
Lie–Algebra, 365
spezielle, 360
Matrix–Gerüst–Satz, 417
Matrix–Lie–Algebra
Gruppe SE(3), 365
Matrix–Lie–Gruppe, 360
Anwendungen, 363, 364
Definition, 361
Dimension, 361
komplexe, 362
Quaternionen, 363
Matrix–Lie–Gruppen
spezielle, 362
Matrixprodukt
skalares, 279
Verschwinden, 282
Matrizen
Assoziativgesetz, 279
Dirac–, 296
Distributivgesetz, 279
Division, 279
Eigenvektoren, 321
Eigenwertaufgabe, 321
Eigenwerte, 321
Gleichheit, 279
Kommutativgesetz, 279, 280
Multiplikation, 279
Pauli–, 296
Potenzieren, 283
Quaternionen, 298
Rechenoperationen, 279
Rechenregeln, 282
max–min–Verknüpfung, 434
Maximalpunkt, 922
Maximalwertsatz, 746
Maximum
absolutes, 51, 455
globales, 51, 455
Matrix – Mengen 1203
lokales, 51
relatives, 51, 454
Maximum–Kriterium–Methode, 437
Maxwellsches Diagonalverfahren, 757
Median
Meßwerterfassung, 847
Stichprobenfunktionen, 845
Mehrfach–Integraltransformation, 782
Mehrfachintegral, 536
Mehrfachkante, 410
Mehrfachpunkt, 258
Mehrschrittverfahren, 984
Mehrzielverfahren, 989
Mellin–Transformation, 781
Melnikov–Methode, 915
Membranschwingungsgleichung, 594
Menge
abgeschlossene, 678
Abschließung, 679
abzählbar unendliche, 342
Axiome der abgeschlossenen, 678
Axiome der offenen, 678
Begriff, 334
beschränkte im metrischen Raum, 678
Borel–, 708
dichte, 679
disjunkte, 336
Elemente der, 334
Faktor–, 341
fundamentale, 688
Fuzzy–, 423
konvexe, 671
Koordinaten (x, y), 337
leere, 334
lineare, 669
Mächtigkeit, 341
meßbare, 707
offene, 677
ordnungsbeschränkte, 674
Ordnungsintervall, 674
Potenz–, 334
Schranke, 674
Teil–, 334
überabzählbar (unendliche), 342
unendliche, 342
unscharfe, 423
Zahlen
ganze Z, 1, 334
irrationale, 1
komplexe C, 34, 334
natürliche IN, 1, 334
rationale Q, 1, 334
reelle IR, 2, 334
Mengen
absorbierende, 872
gleichmächtige, 342
invariante, 872
chaotische, 901
fraktale, 901
stabile, 872
kompakte, 700, 873
konvexe, Trennung, 697
relativkompakte, 700
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1204 Mengenalgebra, Grundgesetze – Monotonie
Mengenalgebra, Grundgesetze, 336
Mengenlehre, 334
Mengenoperation, 335
Differenz, 337
Durchschnitt, 335
kartesisches Produkt, 337
Komplement, 335
symmetrische Differenz, 337
Vereinigung, 335
Meridian, 165, 269
Meridiankonvergenz, 174
Meßfehlereinteilung
qualitative Merkmale, 861
quantitative Merkmale, 863
Meßfehlerverteilung, 861
Meßfehlerverteilungsdichte, 861
Meßfunktion, 902
Meßprotokoll, 861
Meßwert, 861
Meßwerterfassung, 845
Strichliste, 846
Methode
Bernoullische, 967
Box–Muller–, 946
Fehlerquadrat–, 467, 991
finite Differenzen, 602
finite Elemente, 602, 633, 992
Flächenhalbierung, 437
größte Fläche, 437
Greensche, 599
kleinste Quadrate, 999
Einordnung, 467
Kollokations–, 648, 991
Mamdani–, 438
Maximum–Kriterium–, 437
Mean–of–Maximum–, 437
Mittelwert–, 109
mittlere Ziffern von Quadraten, 856
Monte–Carlo–, 856
Multiplikatoren– (Lagrangesche), 468
Operatoren–
Differentialgleichungen, 601
parametrisierte Flächenhalbierung, 437
Quadratmittel–, 856
Riemannsche, 597
schrittweise Näherung, 561
Schwerpunkt–, 437
parametrisierte, 437
verallgemeinerte, 437
statistische Versuche, 860
Sugeno–, 438
sukzessive Approximation, 561
Banach–Raum, 693
unbestimmte Koeffizienten, 16
ungarische, 935
Variation der Konstanten, 567
Metrik, 676
Fläche, 271
Maximum-, 677
Meusnier, Satz, 272
Minimalfläche, 274
Minimalgerüst, 418
Minimalpunkt, 936
globaler, 936
lokaler, 936
Minimum
absolutes, 51, 455
globales, 51, 455
lokales, 51
relatives, 51, 454
Minimumaufgabe, 922
Minkowskische Ungleichung, 33
Minorante, divergente, 472
Mittel
arithmetisches, 19, 826
geometrisches, 20
gewogenes, 826, 867
Goldenes, 20, 920
harmonisches, 20
quadratisches, 20
Mittellinie, Dreieck, 136
Mittelpunkt
sphärischer, 180
Strecke
Ebene, 197
Raum, 222
Mittelpunktsflächen, 230
Mittelpunktskurve, 212
Mittelpunktsregel, 984
Mittelpunktswinkel, 133
Mittelsenkrechte, Dreieck, 135
Mittelwert, 19, 826
Funktion, 509
gewichteter, 863
gleichgewichteter, 863
Meßwerterfassung, 846
Stichprobenfunktionen, 844
zweidimensionale Verteilung, 853
Mittelwertformel, 977
Mittelwertmethode, 109
Mittelwertsatz
Differentialrechnung, 453
verallgemeinerter, 454
Integralrechnung, 509
verallgemeinerter, 509
Modalwert, Meßwerterfassung, 847
Modul, 185
analytische Funktion, 745
eines Elements, 675
komplexe Zahl, 35
Modulo–Abbildung, 889
Moivresche Formel
Hyperbelfunktionen, 91
komplexe Zahlen, 38
Quaternionen, 300
trigonometrische Funktionen, 81
verallgemeinerte, 300
Mollweidesche Gleichungen, 146
Moment (Trägheits–), 516
Moment (Statistik)
Ordnung n, 826
zentrales, Ordnung n, 826
Monodromie–Matrix, 876, 877, 885
Monotonie, 708
Funktion, 50
Zahlenfolge, 469
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Monotoniebedingung, 452
Monte–Carlo–Methode, 856
Anwendung in der numer. Mathematik, 858
Berechnung von Mehrfachintegralen, 858
gewöhnliche, 858
Lösung partieller Differentialgleichungen, 859
Simulation, Beispiel, 858
de Morgansche Regel, 331, 336
Boolesche Algebra, 404
Morse–Smale–Systeme, 888
Multi–Skalen–Analyse, 816
Multiindex, 685
Multiplikation
Determinanten, 286
Einheiten, verallgemeinerte imaginäre i, j, k, 297
komplexe Zahlen, 37
Matrizen, 279
numerisches Rechnen, 1020
Polynome, 11
Potenzreihen, 482
Quaternionen, 297, 299
rationale Zahlen, 1
Vektoren, 188, 280
Multiplikationsregel
Quaternionen, 297
Multiplikatoren, 876, 877, 885
Multiplikatorenmethode, Lagrangesche, 468
Muster, periodische, 617, 618
Mutation, 945
Nabelpunkt, 273
Nablaoperator, 729
Quaternionen, 312
Rechenregeln, 729
zweifache Anwendung, 730
Nachrichtenwort, 393
Näherung, asymptotische, 15
Näherungsformeln
empirische Kurven, 109
Reihenentwicklung, 484
Näherungsgleichung, 561
NAND–Funktion, 331
nat, 403
Nautik, 177
Navigation, 165, 179
Satelliten–, 310
Nebenbedingung
dynamische, 956
statische, 956
Variationsaufgabe, 624, 627
Nebenwinkel, 132
Negation, 5, 329
Boolesche Funktion, 406
doppelte, 331
Neigungswinkel, 148
Nepersche Gleichungen, 172
Netz, isometrisches, 748
Netztafel, 127
drei Veränderliche, 127
mehr als drei Veränderliche, 130
von Neumann–Funktionen, sphärische, 577
Neumannsche Reihe, 640, 659
Neumannsches Problem, 743
Monotoniebedingung – Normierungsfaktor 1205
Newtonsche Interpolationsformel, 996
Newton–Verfahren, 704, 963, 975
adaptives, 1037
modifiziertes, 704, 963
nichtlineare Optimierung, 943
gedämpftes, 944
NICHT, 329
Nichtbasisvariable, 925
nichtnegative ganze Zahlen, 1
Niveaufläche, 717
Niveaulinie, 121, 717
Nomogramm, 127
Nomographie, 127
NOR–Funktion, 331
Nordrichtung
geodätische, 174
geographische, 174
Norm, 320
Euklidische, 283, 376
Integralnorm, 712
Matrizennorm, 283
Spaltensummennorm, 284
Spektralnorm, 284
Zeilensummennorm, 284
zugeordnete Norm, 284
normierter Raum, 683
Operator, 875
Operator–Norm, 691
s–Norm, 428
t–Norm, 428
Vektornorm, 283
Betragssummennorm, 283
Euklidische Norm, 283
Matrizennorm, 283
Normale, ebene Kurve, 250
Normalebene, Raumkurve, 263, 265
Normalenabschnitt, 251
Normalenvektor
Ebene, 224
Fläche, 269
Normalform, 407
Differentialgleichung
Riccatische, 556
Differentialgleichungen, 570, 571
Gleichung einer Fläche, 230
Jordansche, 325
kanonisch disjunktive, 407
kanonisch konjunktive, 407
lineare Optimierung, 923
reduzierte Differentialgleichung, 905
Normalgleichung, 972, 998, 999
Normalgleichungssystem, 855, 998
Normalschnitt, Raumfläche, 272
Normalteiler, 345
Normalverteilung, 830
logarithmische, 832
normierte, 832
Tabelle, 1150
zweidimensionale, 853
Normalverteilungsgesetz, 830
Beobachtungsfehler, 73
Normierungsbedingung, 611
Normierungsfaktor, 200
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1206 Normisomorphie – Optimierung, lineare
Normisomorphie, 698
Notation
polnische, 417
Postfix–Notation, 417
Präfix–Notation, 417
umgekehrte polnische, 417
Nullfolgen, 670
Nullmatrix, 276
Nullpunkt, 1
Nullpunktsschwingungsenergie, 617
Nullpunktstranslationsenergie, 612
Nullstelle, komplexe Funktion, 746
Nullstellengleichung, 962
Nullvektor, 186
Numerik–Bibliothek, 962
Numerus, 10
Nutationswinkel, 221
Nyström–Verfahren, 645
Obelisk, 158
Oberflächeninhalt
Kegel, 160
Kugel, 161
Polyeder, 156
Tonnenkörper, 162
Torus, 162
Zylinder, 159
Oberfläche, Doppelintegral, 539
Oberflächenintegral, 544, 736
1. Art, 544
2. Art, 547, 548
allgemeiner Art, 550
Observable, 608
Octave, 1026
ODER, 329
exklusives, 406
Oktaeder, 159
Oktalsystem, 1016
Oktalzahlen, 1016
ω–Grenzmenge, 872, 878, 885
Operation, 343
äußere, 343
algebraische, 289
arithmetische
rationale Zahlen, 1
reelle Zahlen, 2
assoziative, 343
binäre, 343
kommutative, 343
n–stellige, 343
Operator
abgeschlossener, 692
adjungierter, 698
Begriff, 49
beschränkter, 691
demistetiger, 706
differenzierbarer, 703
endlichdimensionaler, 700
Gamma–, 431
Hamilton–, 606
Hammerstein–, 703
idempotenter, 700
inverser, 673
isotoner, 706
koerzitiver, 706
kompakter, 700
kompensatorischer, 431
kontrahierender, 680
Lambda–, 431
linearer, 374, 672
Begriff, 374
beschränkter, 691
Kommutativität, 375
Produkt, 375
stetiger, 691
Vertauschbarkeit, 375
monotoner, 706
Nemytskij–, 703
ODER–, 431
positiv definiter, 699
positiver, 674
selbstadjungierter, 699
singulärer, 664
stetiger, 683
inverser, 693
streng monotoner, 706
UND–, 431
Urysohn–, 703
Verknüpfungs–, 434
vollstetiger, 700
Operatorenmethode
Differentialgleichungen, 601
Integraltransformationen, 782
Operatornorm, 875
Optimalitätsbedingung, 936, 938
hinreichende, 937
Optimalitätsprinzip, Bellmansches, 959
Optimierung, diskrete
dynamische, 956
Einkaufsproblem, 957
Funktionalgleichungen, 958
Bellmansche, 957
Funktionalgleichungsmethode, 959
kontinuierlich dynamische, 956
Kostenfunktion, 957
Minimumvertauschbarkeit, 958
n–stufige Entscheidungsprozesse, 956
optimale Einkaufspolitik, 960
optimale Politik, 959
Rucksackproblem, 957, 961
Optimierung, lineare, 921
allgemeine Form, 921
Basis der Ecke, 924
Dualität, 930
Ecke, 923
Eckpunkt, 924
Eigenschaften, 923
entartete Ecke, 924
Formen, 921
Grundbegriffe, 923
Nebenbedingung, 921
Reihenfolgeproblem, 935
Rundreiseproblem, 935
Transportproblem, 932
Verteilungsproblem, 935
Zuordnungsproblem, 934
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Optimierung, nichtlineare, 936
Abstiegsverfahren, 943
Barriereverfahren, 954
Dualität, 937
Evolutionsstrategien, 945
Gradientenverfahren, 943
Ungleichungsrestriktionen, 949
konvexe, 697, 938
Konvexität, 939
Mutation, 945
Newton–Verfahren, 943
numerisches Suchverfahren, 941
Prinzip der Strahlminimierung, 943
quadratische, 938
Rekombination, 945
Richtungssuchprogramm, 949
Sattelpunkt, 936
Selektion, 945
Optimierungsaufgabe
duales Problem, 930
konvexe, 938
lineare
Basislösung, 925
Normalform, 925
nichtlineare, 1005
primales Problem, 930
Optimierungsproblem
dynamisches, 956
lineares, 932
Optimierungsverfahren
Barriereverfahren, 953, 954
des steilsten Abstiegs, 943
DFP–Verfahren, 944
Evolutionsstrategien, 945
Fibonacci–Verfahren, 942
gedämpftes, 944
Goldener Schnitt, 942
Hildreth–d’Esopo, 941
Kelley, 955
konjugierte Gradienten, 944
projizierte Gradienten, 951
Schnittebenen–Verfahren, 955
Strafverfahren, 953
unrestringierte Aufgabe, 943
Wolfe, 939
zulässige Richtungen, 949
Orbit, 870
heterokliner, 881
homokliner, 881, 916
periodischer, 870
hyperbolischer, 878
sattelartiger, 878
zweifach zusammengesetzter, periodischer, 911
Ordinate, 195, 215
Ordinatenachse, 195
Ordnung, 341
Clifford–Algebra, 296
Flächen 2., 230
Kurve n–ter, 65, 199
Kurven 2., 211
lexikographische, 341
partielle, 341
vollständige, 341
Optimierung, nichtlineare – Parabel 1207
Wavelet, 814
Ordnungsintervall, 674
Ordnungsrelation, 340, 673
vollständige, 341
Orescher Satz, 416
Orientierung, 294
Koordinatensystem, 214
Zahlengerade, 1
Originalbereich, 780
Fourier–Transformation, 801
Laplace–Transformation, 783
Menge, 49
Originalfunktion, 780
Ort, gegißter, 182
Ort, geometrischer, 199
Orthodrome, 179
Bogenlänge, 180
Kurswinkel, 179
nordpolnächster Punkt, 179
Schnittpunkte (s. Schnittpunkt), 180
Orthogonalisierungsverfahren, 971, 972
Givenssches, 973
Gram–Schmidtsches, 323, 689
Householdersches, 321, 973
Schmidtsches, 651
Orthogonalität
Eigenvektoren, 323
Geraden, 131
Gewicht, 582
Hilbert–Raum, 688
reeller Vektorraum, 376
trigonometrischer Funktionen, 376
Vektoren, 189
Orthogonalitätsbedingung
Ebenen, 226
Gerade–Ebene, 229
Geraden, Raum, 229
Orthogonalitätsrelation, 582
Orthogonalpolynom, 999
Orthogonalraum, 688
Orthonormierung, Vektoren, 287
Orthozentrum, 135
Ortskoordinaten, Spiegelung, 294
Ortskurventheorie, 967
Oszillator, linearer harmonischer, 615
Paar, geordnetes, 337
Parabel, 209
Achse, 209
Bogen (Länge), 211
Brennpunkt, 209
Definition, 210
Durchmesser, 210
Flächeninhalt, 210
Gleichung, 209
Halbparameter, 209
Krümmungskreisradius, 210
kubische, 64
Leitlinie, 209
lineares Binom, 71
n–ter Ordnung, 65
Parameter, 209
quadratisches Polynom, 64
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1208 Parabel – Polynom
Scheitel, 209
semikubische, 94
Tangente, 210
Transformation, 212
Paraboloid, 231
elliptisches, 232
hyperbolisches, 232
Mittelpunksfläche, 234
Invariantenvorzeichen
elliptisches, 234
hyperbolisches, 234
parabolisches, 234
Rotations–, 232
Parallelepiped, 156
Parallelitätsbedingung
Ebenen, 226
Gerade–Ebene, 229
Geraden, Raum, 229
Parallelkreis, 269
Parallelogramm, 138
Parallelogrammgleichung, unitärer Raum, 687
Parallelprojektion, 244
orthogonale, 244
schiefe, 244
Parameter
algebraischer Ausdruck, 11
Funktion, 50
Parabel, 209
statistische, 846
Parameterdarstellung, 50
Ellipse, 204
Hyperbel, 206
Kreis, 203
Parabel, 209
Parameterintegral, 524
Parameterraum, Stochastik, 838
Parität, 615
Parsevalsche
Formel, 802
Gleichung, 487, 583, 652, 690
Partialbruchzerlegung, 15
spezielle Fälle, 1087
Partialsumme, 471
Partikulärintegral, 507
Partikularisator, 332
Pascalsche Schnecke, 98
Pascalsches Dreieck, 13
Pauli–Matrizen, 296
Pendel, Gleichung, 916
Pendel, mathematisches, 776
Pendel, Foucaultsches, 1034
Periode, 52, 83
Sekans–, 78
Sinus–, 76
Tangens–, 77
Periodenparallelogramm, 777
Periodenverdopplung, 911
Kaskade, 912, 918
Periodisierungsfaktor, 789
Peripheriewinkel, 143
Permutation, 818
Permutationsgruppe, 346
Permutationsmatrix, 970
Pesinsche Formel, 894, 900
Pesin–Tempelman–Satz, 897
Pfeildiagramm, 338
Pharmazentralnummer, 392
Phase, 83
Sinus–, 76
Phasenporträt, 873
Phasenraum, 870
Stochastik, 838
Phasenspektrum, 800
Phasenverschiebung, 83
Picardsches Iterationsverfahren, 561
Vergleich mit Neumann–Approximation, 639
Pivot, 969
Pivotelement, 314, 927
Pivotspalte, 314, 927
Pivotzeile, 314, 927
Planimeter, 512
Planimetrie, 131
Poincaré–Abbildung, 883
Poissonsche
Differentialgleichung, 606, 740, 743
Formel, 604
Poissonsches Integral, 601
Poisson–Verteilung, 830
Pol
analytische Funktion, 746
Funktion, 60
Koordinatenursprung, 186, 195
Kugel, 167
Ordnung m, komplexe Funktion, 766
Vielfachheit m, komplexe Funktion, 766
Polabstand, 269
Polarachse, 195
Polardreieck, 167
Polare, 167
Polargleichung, 613
Kurve 2. Ordnung, 212
Polarkoordinaten, 195, 196
räumliche, 216
Polarnormalenabschnitt, 252
Polarsubnormale, 252
Polarsubtangente, 252
Polartangentenabschnitt, 252
Polarwinkel, 195
Polyeder, 156
konvexes, 159
reguläres, 158
Polyedersatz, Eulerscher, 159
Polygon, 140
regelmäßiges, 140, 348
Polygonierung, 151
Polygonzugverfahren, Eulersches, 982
Polynom, 11, 64
1. Grades, 64
2. Grades, 64
3. Grades, 64
charakteristisches, 321
ganzrationale Funktion, 62
irreduzibles, 371
n–ten Grades, 65
primitives, 372
quadratisches, 64, 71
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

trigonometrisches, 1005
Polynome
Bernsteinsche Grundpolynome, 1013
Hermitesche, 616, 689
Laguerresche, 580, 689
Legendresche, 578, 689
Produktdarstellung, 43
Tschebyscheff–, 88, 1002
Polynomgleichung, Lösung, 965
Polynominterpolation, 996
Polynomring, 370, 371
Populationsstrategie, 947
Posascher Satz, 416
positiv definit, 971
Postfix–Notation, 417
Potential
komplexes, 754
konservatives Feld, 735
retardiertes, 604
Potentialfeld, 734
Rotation (Differentialoperator), 728
Potentialgleichung, 606
Potenz, 8
reziproke, 70
Potenzfunktion, 71
Quaternionen, 301
Potenzieren
komplexe Zahlen, 38
Matrizen, 283
reelle Zahlen, 8
Potenzmenge, 334
Potenzreihe, 481
komplexe, 763
Umkehrung, 483
Potenzreihen
Addition, 482
asymptotische, 484
Multiplikation, 482
Produkt, 482
Quotient, 482
Summe, 482
Potenzreihenentwicklung, 483
analytische Funktion, 762
Prädikat, 332
n–stelliges, 332
Prädikatenlogik, 332
Prä–Hilbert–Raum, 687
Prävalenz, 903
Präzessionswinkel, 221
Prediktor, 985
Prediktor–Korrektor–Verfahren, 984
Primelemente, 378
Primfaktorzerlegung, 379
kanonische, 379
Primzahl, 378
Drillinge, 379
Fermatsche, 379
Mersennesche, 379
Pseudo–, 390
Vierlinge, 379
Zwillinge, 379
Primzahltest
AKS–, 391
Polynom – Projektionsebene 1209
Erastosthenes–Sieb, 378
Fermat–, 390
Lucas–Lehmer–, 379
Rabin–Miller–, 390
Prinzip
Cauchysches, 680
Cavalierisches, 515
der Zweiwertigkeit, 329
Neumannsches, 353
Prisma, 156
gerades, 156
reguläres, 156
Problem
Cauchysches, 585
Dirichletsches, 596, 743
inhomogenes, 604
isoperimetrisches, allgemeines, 625
kürzester Weg, 413
Neumannsches, 743
regularisiertes, 321
Sturm–Liouvillesches, 582
Problemstellung, korrekte, 603
Produkt, 7
äußeres, Vektoren, 188
algebraisches, 429
direktes
Gruppen, 346
Ω–Algebra, 403
drastisches, 429
dyadisches
Tensoren, 289
Vektoren, 280
inneres
Lie–Algebra, 366
Vektoren, 188
kartesisches, 337, 432
n–faches, 433
Kronecker–, 283
Darstellungsmatrizen, 351
n–faches direktes, 405
Produktzeichen, 7
Quaternionen–, 297, 299
Rechenregeln, 7
vektorielles, 188
Produktansatz, 592
Produktregel, Differentiation, 445
Programmierung, Mathematica, 1049
Projektion
Ansichtsebene, 243
axonometrische, 244, 245
Fluchtpunkt, 244
isometrische, 245
Kabinett–, 244, 247
Kavalier–, 244, 246
parallele, 244
orthogonale, 244
schiefe, 244, 246
perspektivische, 243, 247
planare, 243
stereographische, 310
Tafel–, 244
Zentral–, 243
Projektionsebene, 243
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1210 Projektionsrichtung – Quaternionen
Projektionsrichtung, 243
Projektionssatz, 146
Orthogonalraum, 688
Projektor, 700
Proportionalität
direkte, 64
umgekehrte, 66
Proportionalitätsfaktor, 64
Proportionen, 17
Protokoll, 845
Prozent, 21
Prozentrechnung, 21
Prozeß
Geburtsprozeß, 842
Poisson–Prozeß, 841
stochastischer, 838
Todesprozeß, 842
Prüfverfahren
Prinzip, 852
statistische, 847
Prüfzeichen, 391
Prüfziffer, 391
Pseudoskalar, 295
Pseudotensor, 294, 295
Pseudovektor, 294, 295
Pseudozufallszahlen, 857
Ptolemäus, Satz, 140
Punkt, 131
asymptotischer, 257
Berührungs–, 679
der größten Annäherung, 261
Häufungs–, 679
innerer, 677
isolierter, 257, 679
Koordinaten, 195
n–dimensionaler Raum, 120
nichtwandernder, 888
rationaler, 1
Sattel–, 560
singulärer, 249, 257, 558, 559
isolierter, 559
Knoten–, 559
Strahl–, 560
Strudel–, 560
Wirbel–, 561
stationärer, 937
transversaler homokliner, 886
Umgebung, 677
uneigentlicher, 198
Punktspektrum, Operator, 694
Pyramide, 157
gerade, 157
n–seitige, 157
reguläre, 157
Pyramidenstumpf, 157
Pythagoras
rechtwinkliges Dreieck, 145
schiefwinkliges Dreieck, 146
QR–Algorithmus, 326
QR–Zerlegung, 972
Quader, 156
Quadrant, 195
Quadrantenrelationen, 79
Quadrat, 138
quadratische Form
reelle, 324
reelle, positiv definite, 325, 971
Quadratmittelaufgabe, 968
nichtlineare, 1001
verschiedene Bezeichnungen, 467
Quadratmittelmethode, 856
Quadratmittelproblem
lineares, 320, 972
rangdefizienter Fall, 321
Quadraturformel, 976
Gauß–Typ, 978
Hermitesche, 977
Integralgleichung, 644
Interpolationsquadratur, 977
Lobattosche, 979
Quadratwurzel
komplexe, 751
natürliche Zahlen, 8
Quadrupel, 337
Quantenzahl, 611
Bahndrehimpuls–, 614
magnetische, 615
Schwingungs–, 617
Quantifizierung, beschränkte, 333
Quantil, 825
Quantisierungsbedingung, 617
Quantor, 332
quasiperiodisch, 879
Quaternion (die), 296
Definition, 296
Einheits–, 298
inverses Element, 298
komplexe Matrix, 298
Konjugation, 298, 304
reelle Matrix, 298
reine, 297
trigonometrische Form, 297
Quaternionen
Addition, 299
Algorithmeneffizienz, 308
Anwendungen, 308
Cardan–Winkel, 305
Computergraphik, 308
Darstellung
komplexe Zahlen, 297
Matrix, 298
Vierervektor, 297
Division, 299
Drehungen, 301, 304
hyperbolische Funktionen, 300
Interpolation, 308
Lerp–, 308
Rotationsmatrizen, 310
Slerp–, 309
Squad–, 310
Logarithmusfunktion, 300
Matrizendarstellung, 298
Multiplikation, 299
Multiplikationsregeln, 297
Potenzfunktion, 301
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Rotationsmatrix, 301
Starrkörperbewegung, 312
Subtraktion, 299
trigonometrische Funktionen, 300
Vektoranalysis, 312
Vierervektor, 297
Quelldichte, 740
Quelle, 877, 885
Knoten, 421
Vektorfeld, 725
Quellenfeld
reines, 740
wirbelfreies, 740
Quellenverteilung
diskrete, 742
kontinuierliche, 742
Quersumme
1. Stufe, 380
2. Stufe, 380
3. Stufe, 381
alternierende
1. Stufe, 380
2. Stufe, 380
3. Stufe, 381
Quintupel, 337
Quotient
Potenzreihen, 482
Quotientenkriterium (d’Alembert), 473
Quotientenregel, Differentiation, 446
IR 3 (3–dimensionaler Euklidischer Vektorraum), 296
IR 4 (4–dimensionaler Euklidischer Vektorraum), 296
IR n (n–dimensionaler Euklidischer Vektorraum), 279
Rabatt, 21
Radialgleichung, 613
Radiant, 133
Radikal, 559
Radikand, 8
Radius
Kreis, 143
Polarkoordinaten, 195
Radiusvektor, 186
komplexe Zahlenebene, 35
Radizieren, 8
komplexe Zahlen, 38
Rahmen, Youngscher, 353
Randbedingungen, 552, 624
Randintegralgleichungsmethode, 602
Randkollokation, 991
Randmethode, 991
Randverteilung, 827
Randwertaufgabe, 552, 986
Randwertproblem, 581
Hilbertsches, 665
Index, 666
homogenes, 581
inhomogenes, 581
lineares, 581
Rang
Matrix, 281
Vektorraum, 375
Raum
abstrakter, 49
Quaternionen – Rechnen, numerisches 1211
Analytische Geometrie, 214
Banach–Raum, 684
endlichdimensionaler, 700
geordneter normierter, 685
Hilbert–Raum, 687
isometrischer, 683
Kantorovich–Raum, 675
linearer, 668
L p –Raum, 711
mehrdimensionaler, 120
metrischer, 676
normierbarer, 684
normierter, Axiome, 683
Rieszscher–Raum, 675
separabler, 679
Sobolew–Raum, 685
unitärer, 687
Vektor–, 373
Euklidischer, 375
vollständiger, 679
Rauminversion, 294
Skalarprodukt, 295
Spatprodukt, 295
Transformationsmatrix, 294
Raumkurve, 262
begleitendes Dreibein, 263
Binormale, 263, 265
Gleichung, 223, 262
Hauptnormale, 263, 265
Koordinatengleichung, 265
Krümmung, 265
Krümmungskreisradius, 265
Normalebene, 263, 265
Richtung, 263
Schmiegungsebene, 263, 265
Tangente, 263, 265
Vektorgleichung, 263, 265
Windung, 267
Windungsradius, 267
Raumrichtung, 185, 217
Raumwinkel, 155
Rayleigh–Ritz–Algorithmus, 326
Reaktion, chemische, Konzentration, 118
Realteil, 34
Rechenregeln
elementare, reelle Zahlen, 1
Gradient, 724
Logarithmen, 9
Nablaoperaor, 729
Polynome, irreduzible, 372
Potenzen, 8
Produkte � ,7
Quaternionen, 299
Summen � ,6
Tensoren, 289
Wurzeln, 8
Rechenschieber, 10
logarithmische Skala, 116
Rechnen
mit Polynomen, 373
mit Potenzreihen, 482
Rechnen, numerisches, 1022
Computer, 1018
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1212 Rechnen, numerisches – Residuensatz
Genauigkeit, 1020
Grundoperationen, 1019
Rechte–Hand–Regel, 189, 736
Rechteck, 138
Rechteckformel
linksseitige, 977
rechtsseitige, 977
Rechteckimpuls, 770, 787
Rechtecksumme, 977
Rechtsdreiecksmatrix, 970
Rechtspol, 167
Rechtsschraube, 266, 736
Rechtssingulärvektor, 328
Rechtssystem, 214
Reduce, 1038
Reduktionsformeln
trigonometrische Funktionen, 79
Regel
Bernoulli–l’Hospitalsche, 56
Cramersche, 318
de Morgansche, 331
Descartessche, 45
Guldinsche, 1., 517
Guldinsche, 2., 518
Leibnizsche, 450
linguistische, 439
Nepersche, 173
Sarrussche, 286
Regelfläche, 274
Regression
lineare, 853
mehrdimensionale, 854
Regressionsanalyse, 852
Regressionsgerade, 853, 854
Regressionskoeffizient, 854
Regula falsi, 964
Regularisierungsparameter, 321
Regularisierungsverfahren, 328
Regularitätsbedingung, 937, 954
Reihen, 469
alternierende, 475
arithmetische, 18
binomische, 14
Clebsch–Gordan–, 352
Fourier–, 486
Hilbert–Raum, 690
komplexe Darstellung, 487
Funktionenreihen, 479
geometrische, 19
unendliche, 19, 471
harmonische, 471
hypergeometrische, 580
konstante Glieder, 471
Konvergenzsätze, allgemeine, 472
Konvergenzsätze, 471
MacLaurinsche, 484
Neumannsche, 640, 692
normierte Räume, 684
Banach–, 684
Potenzreihen, 481
asymptotische, 484
spezielle, konstante Glieder, 476
Taylor–, 454, 483
unendliche, 469
Zahlenfolgen, 469
Reihen, Eigenschaften
Divergenz, 471, 474
endliche, 18
Glied, allgemeines, 471
Grenzwert, 479
Konvergenz, 471, 474
absolute, 481
gleichmäßige, 480, 481
ungleichmäßige, 480
Konvergenzbereich, 479
Partialsumme, 471
Restglied, 471, 479
Summe, 471
unendliche, 469, 471
Reihen, Konvergenzkriterien
Integralkriterium (Cauchy), 474
Leibnitz–Kriterium, 475
Quotientenkriterium (d’Alembert), 473
Vergleichskriterium, 472
Weierstraß–Kriterium, 480
Wurzelkriterium (Cauchy), 473
Reihenentwicklungen, 792
Reihenfolgeproblem, 935
Reihenrest, 471
Abschätzung, 478
Rekombination, 945
diskrete, 945
intermediäre, 945
Rekonstruktion (System aus Zeitreihen), 902
Rekonstruktionsabbildung, 902
Rekonstruktionsraum, 903
Rekonstruktionssatz
Sauer, Yorke, Casdagli, 903
Takens, 902
Rektifizierung, 109
Relation, 338
Äquivalenzrelation, 340
binäre, 338
fuzzy–wertige, 432
inverse, 338
Kongruenzrelation, 402
n–stellige, 338
Ordnungsrelation, 340
Relationenprodukt, 338
Relationsmatrix, 338
Relaxationsparameter, 974
Relaxationsverfahren, 974
Relief, analytische Funktion, 745
Remes–Algorithmus, 1004
Rente
ewige, 24
nachschüssig konstante, 25
Rentenbarwert, 25
Rentenendwert, 25
Rentenrechnung, 24
Rényi–Dimension, 898
Repräsentanten, 370
Residualspektrum, Operator, 695
Residuensatz, 765, 767
Anwendungen, 768
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Residuum, 320, 766, 971
Resolvente, 640, 642, 659
Resolvente, Operator, 694
Resolventenmenge, Operator, 694
Resonanz–Torus, 917
Rest, quadratischer modulo m, 387
Restglied, 471
Restklasse, 385
prime, 386
primitive, 386
Restklassenaddition, 385
Restklassenmultiplikation, 385
Restklassenring, 370, 385
modulo m, 386
Restspektrum, Operator, 695
Rhombus, 138
Richtung
ebene Kurve, 249
Raum, 185, 217
Raumkurve, 263
Richtungsableitung, 722, 724
Skalarfeld, 722
Vektorfeld, 722
Richtungsfeld, 553
Richtungskoeffizient, 67, 188
Ebene, 200
Richtungskosinus, Raum, 217
Richtungstripel, 186
kartesische Koordinaten, 187
Richtungswinkel, Geodäsie, 148, 149
Riemann–Integral, 506
Vergleich mit Lebesgue–Integral, 518
Vergleich mit Stieltjes–Integral, 518
Riemannsche
Fläche, mehrblättrige, 758
Formel, 598
Funktion, 597
Methode, 597
Riemann–Summe, 506
Ring, 369
Faktorring, 371
Homomorphiesatz, 371
Polynom–, 370
Unterring, 370
Ringhomomorphismus, 371
Ringisomorphismus, 371
Risikotheorie, 21
Ritz–Verfahren, 632, 988
Robotik, 366
Romberg–Verfahren, 979
Rotation (Differentialoperator), 727
Hinweis, 723
mit Nablaoperator, 729
Potentialfeld, 728
Vektorfeld, 727
Vektorkomponenten, 732
verschiedene Koordinaten, 727
Rotation (Drehung)
Koordinatenachsen, 196
Koordinatensystem, 218
Objekt, 218
Rotations–Abbildung, 890
Rotationsellipsoid, 230
Residuum – Satz 1213
Rotationsfläche, 223
Rotationskörper, Mantelfläche, 514
Rotationsmatrix
Drehung mit Quaternionen, 304
Drehung um beliebige Nullpunktsachse, 303
Drehung um Cardan–Winkel, 302, 305
Drehung um Euler–Winkel, 302
Koordinatentransformationen, 237
Quaternionen, 301
Rotationsparaboloid, 232
Rotationszahl, 919
Rotator, raumfreier starrer, 613
Rückkehrpunkt, 257
Rückversetzung, 179
Rückwärtseinsetzen, 969
Rückwärtseinschnitt
Cassini, 153
Snellius, 152
Ruelle–Takens–Newhouse–Szenario, 917
Ruhelage, 870
hyperbolische (Senke, Quelle, Sattel), 877
Klassifizierung, 877
Stabilität, 877
Rundreiseproblem, 935
Rundung, 1019
Rundungsfehler, 1022
Runge–Kutta–Verfahren, 983
Saitenschwingungsgleichung, 592
Sarrussche Regel, 286
Sattel, 877, 885
Sattelpunkt, 560, 936
Satz
Abel, 481
abgeschlossener Graph, 692
Afraimovich–Shilnikov, 917
Andronov–Pontryagin, 887
Andronov–Witt, 877, 878
Apollonius, 205
Arzela–Ascoli, 700
Bairescher Kategoriensatz, 680
Banach, 693
Banach–Steinhaus, 692
Bayes, 823, 824
Berge, 419
Beschränktheit einer Funktion
eine Veränderliche, 62
mehrere Veränderliche, 126
binomischer, 12
Birkhoff, 403, 890
Block, Guckenheimer, Misiuriewicz, 902
Bogoljubov–Krylov, 890
Bolzano
eine Veränderliche, 61
mehrere Veränderliche, 126
Cayley, 347, 417
Chasles, 367
Chinesischer Restsatz, 387
Denjoy, 919
Differenzierbarkeit n. d. Anfangsbedingungen, 870
Dirac, 416
Douady–Oesterlé, 899
Euklid, (Sätze), 145
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1214 Satz – Schnitt
Euler, 389
Euler–Hierholzer, 414
Eulerscher Polyedersatz, 159
Fatou, 710
Fermat, 389, 452
Fermat–Euler, 389
Floquet, 876
Fundamentalsatz
Algebra, 43
elementare Zahlentheorie, 379
Girard, 169
Grobman–Hartman, 884, 886
Hadamard–Perron, 880, 885
Hahn (Fortsetzungssatz), 697
Hauptsatz
Funktionentheorie, 760
homogene lineare Differentialgleichung, 875
inhomogene lineare Differentialgleichung, 875
Integralrechnung, 506, 523
Hellinger–Toeplitz, 693
Hilbert–Schmidt, 702
Holladay, 1010
Hurwitz, 568
Integralsatz, Cauchy, 760
Kosinussatz, 146
polarer, 169
Seitenkosinussatz, 169
sphärischer, 169
Winkelkosinussatz, 169
Krein–Losanowskij, 693
Kugelschachtelungssatz, 680
Kupka–Smale, 902
Kuratowski, 420
Lagrange, 345
Lebesgue, 711
Ledrappier, 898
Leibniz, 475
Leray–Schauder, 705
Levi, B., 710
Liouville, 746, 874
Lyapunov
asamptotische Stabilität, 876
Maximalwert, analytische Funktion, 746
Meusnier, 272
Ore, 416
Oseledec, 893
Palis–Smale, 889
Pesin–Tempelman, 897
Picard–Lindelöf, 682, 870
Poincaré–Bendixson, 879
Posa, 416
Ptolemäus, 140
Pythagoras
Orthogonalraum, 688
rechtwinkliges Dreieck, 145
schiefwinkliges Dreieck, 146
Radon–Nikodym, 711
Riemann, 475
Riesz, 696
Riesz–Fischer, 690
Rolle, 453
Sauer, Yorke, Casdagli, 903
Schauder, 701
Schwarzscher Vertauschungs–, 460
Sharkovsky, 902
Shilnikov, 915
Shinai, 902
Shoshitaishvili, 905
Smale, 915
Stabilität in erster Näherung, 877
Stabilität zeitdiskreter Systeme, 885
Superpositionssatz, 742
Takens, 902
Taylor, 454
Tschebyscheff, 501
Tutte, 418
Variation der Konstanten, 875
vollständige Wahrscheinlichkeit, 823
Wedderburn, 369
Weierstrass, 480, 679
eine Veränderliche, 62
mehrere Veränderliche, 126
Whitney, 902
Wilson, 389, 390
Wintner–Conti, 873
Wurzelsatz, Vietascher, 44
Young, 897
Zentrumsmannigfaltigkeit
Abbildungen, 910
Differentialgleichungen, 905
Zerlegungssatz, 341
zum Euklidischen Algorithmus, 382
Schätzwert, 844, 852
Schaltalgebra, 404, 407
Schaltfunktion, 407
Schaltwert, 407
Scheitel
ebene Kurve, 256
Ellipse, 204
Hyperbel, 206
Parabel, 209
Scheitelpunkt, 131
Scheitelwinkel, 132
Schema, Falksches, 280
Schenkel, 131
Schieberegister, lineare, 373
Schiefkörper
Quaternionen, 296
Ringe, 369
Schießverfahren, 988
einfaches, 988
Schleppkurve, 107
Schlinge, Graph, 410
Schlüsselgleichung, 127
Schlupfvariable, 922
Schluß von n auf n +1,5
Schmiegkreis, 254
Schmiegungsebene, Raumkurve, 263, 265
Schnitt
α–, 427, 433
Dedekindscher, 335, 341
Fuzzy–Menge, 427, 428
goldener, 198
Mengen, 335
scharfer α–, 427
unscharfe Mengen, 428
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Schnittebene, 163
Schnittebenen–Verfahren, 955
Schnittkreis, 163
Schnittpunkt
Breitenkreis, 180
drei Ebenen, 226
Ebenen und Geraden, 228
Geraden, Ebene, 201
Geraden, Raum, 229
Kleinkreis–Breitenkreis, 181
Kleinkreis–Meridian, 182
Loxodrome– Äquator, 182
Loxodrome–Breitenkreis, 183
Loxodrome–Meridian, 184
Meridian– Äquator, 166
Orthodrome, 180
Orthodrome– Äquator, 180
Orthodrome–Meridian, 180
vier Ebenen, 226
zweier Loxodromen, 184
zweier Orthodromen, 184
Schnittwinkel, 164
Schönflies–Symbolik, 353
Schranke
Funktion, 51
Menge, 674
unscharfe, 432
Zahlenfolge, 469
Schraubung
Lie–Algebra, 368
Satz von Chasles, 367
Schraubenlinie, 266
Starrkörperbewegung, 367
Steigung, 367
Schrittweite, 982
Schrittweitenparameter, 975
Schrittweitensteuerung, 984
Schrödinger–Gleichung
lineare, 606
nichtlineare, 618, 620
radiale, 577
zeitabhängige, 607
zeitunabhängige, 607
Schwankung, Funktion, 62
Schwarz–Bunjakowski–Ungleichung, 687
Schwarz–Christoffel–Formel, 752
Schwarzscher Vertauschungssatz, 460
Schwarzsches Spiegelungsprinzip, 754
Schwerpunkt, 197, 222
beliebige ebene Figur, Integration, 518
Bogenstück, Integration, 517
Dreieck, 135
geschlossene Kurve, Integration, 517
Trapez, Integration, 518
Schwerpunktkoordinaten
Doppelintegral, 539
Dreifachintegral, 545
Kurvenintegral 1. Art, 529
Schwerpunktmethode, 437
parametrisierte, 437
verallgemeinerte, 437
Schwingung, harmonische, 83
Schnittebene – Simulation 1215
Schwingungsdauer
Pendel, 776
Schwingungen, 83
Scilab, 1026
Sehne, 144
schneidende, 142
Sehnensatz, 142
Sehnentangentenwinkel, 143
Sehnenvieleck, 140
Sehnenviereck, 139
Sehnenwinkel, 143
Seitenfläche, 155
Seitenhalbierende, 135, 146
Seitenkosinussatz, 169
Sekans, 78
hyperbolicus, 88
Sekansfunktion, 133
Sekante, 142
Sekantensatz, 142
Sekantentangentensatz, 143
Sekantentangentenwinkel, 143
Sekantenwinkel, 143
Sektorformel, 739
Selbstähnlichkeit, 896
Selbstberührungspunkt, 257
Selektion, 945
semimonoton, Norm, 685
Semiorbit, 870
Senke, 877, 885
Knoten, 421
Vektorfeld, 725
Sensitivität
bezüglich der Anfangszustände, 901
Separationsansatz, 592, 611
Separationskonstante, 611
Separatrixfläche, 879, 885
Separatrixschleife, 881, 915
Sesquilinearform, 377
hermitesche, 377
Sexagesimaleinteilung, 133
Shift–Abbildung, 893, 901
Sicherheit, statistische, 849, 850
Sieb des Erastosthenes, 378
Sierpinski
Drachen, 896
Teppich, 896
σ–Additivität, 707
σ–Algebra, 707
Borelsche, 708
Signal, 813
Signalanalyse, 813
Signalsynthese, 813, 814
Signatur, 402
Signifikanz, 852
Simplexschritt, revidierter, 930
Simplextableau, 926
Hilfsprogramm, 928
revidiertes, 929
Simplexverfahren, 925, 926
revidiertes, 929
Simpson–Formel, 978
Simulation
digitale, 856
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1216 Simulation – Stabilität
Monte–Carlo–, 856
Singleton, 426
Singulärwerte, 328, 893
Singulärwertzerlegung, 328
Singularität
analytische Funktion, 746
außerwesentliche, 766
hebbare, 746
isolierte, 765
wesentliche, 746, 766
Sinus, 76
hyperbolicus, 88
Sinus–Kosinussatz, 169
polarer, 170
Sinusfunktion, 133
hyperbolische, 134
Sinus–Gordon–Gleichung, 618, 621
sinusoidale Größen, 83
Sinussatz, 146, 169
Skala
Begriff, 116
Fluchtlinientafel, 128
geradlinige, 129
Kurven–, 129
logarithmische, 116
Skalar, 185
Drehinvarianzeigenschaft, 295
invarianter, 288
Skalarfeld, 716
Axialfeld, 716
ebenes, 716
Gradient (Differentialoperator), 723, 724
Koordinatendarstellung, 717
Richtungsableitung, 722
Zentralfeld, 716
Skalarmatrix, 277
Skalarprodukt, 188
Bilinearform, 377
Euklidisches, 376
Hilbert–Raum, 687
kartesische Koordinaten, 190
Koordinatendarstellung, 192
Matrizen, 279
Quaternionen, 297, 299
Vektoren, 280
zwei Funktionen, 998
Skalengleichung, 116
Slater–Bedingung, 938
Sobolew–Raum, 685
Solenoid, 900
Soliton
Anti–Soliton, 620
Antikink, 622
Boussinesc, 623
Burgers, 623
Hirota, 623
Kadomzev–Pedviashwili, 623
Kink, 622
Kink–Antikink, 622
Kink–Antikink–Dublett, 622
Kink–Antikink–Kollision, 622
Kink–Gitter, 622
Kink–Kink–Kollision, 622
Korteweg–de Vries, 619
nichtlineares Schrödinger–, 620
Solitonen, 617
dissipative, 619
Wechselwirkung, 618
SOR–Verfahren, 974
Spaltenpivotisierung, 970
Spaltensummenkriterium, 973
Spannungstensor, 288
Spannweite
Meßwerterfassung, 847
Stichprobenfunktionen, 845
Spatprodukt, 190
kartesische Koordinaten, 190
Koordinatendarstellung, 192
Spektralradius, linearer stetiger Operator, 692
Spektraltheorie, lineare Operatoren, 694
Spektrum
Fourier–Transformation, 800
kontinuierliches, 695
linearer Operator, 694
Operator, 694
stetiges, 695
Spiegelsymmetrie, Ebene, 136
Spiegelung
am Kreis, 749
am Punkt, 136
an der Geraden, 136
Ortskoordinaten, 294
Spiegelungsprinzip, Schwarzsches, 754
Spinoren, 296
Spirale, 105
Archimedische, 105
Cornusche, 107
hyperbolische, 106
logarithmische, 106, 257
Spline–Interpolation, 996
Splines
Ausgleichssplines, 1011
Basissplines, 1012
bikubische, 1012
Ausgleichssplines, 1013
Interpolationssplines, 1012
Interpolationssplines, 1010
kubische, 1010
Ausgleichssplines, 1011
Interpolationssplines, 1010
natürliche, 1010
normalisierte B–Splines, 1012
periodische, 1010
Sprung (Unstetigkeit), endlicher, 59
Sprung (Unstetigkeit), unendendlicher, 60
Sprungfunktion, 787
spezielle Definition, 770
Spur
Matrix, 277
Tensor, 291
Stabilität, 985
absolut stabil, 986
in erster Näherung, 877
invariante Mengen, 872
Lyapunov–, 876
orbitale, 876
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

periodische Orbits, 877
Ruhelagen, Klassifizierung, 877
Rundungsfehler, numerische Rechnung, 1022
Störung der Anfangswerte, 986
strukturelle, 886, 887
zeitdiskrete Systeme, 885
Stabschwingungsgleichung, 593
Stammfunktion, 492
Standardabweichung, 826, 864, 865, 867
Standardform, Kreisabbildung, 918, 919
Starrkörperbewegung, 366
Biquaternionen, 313
Gruppe SE(3), 363
Quaternionen, 312, 313
Robotersteuerung, 363
Satz von Chasles, 367
Schraubung, 367
Startpunkt, 410
Stationierung, freie, 151
Statistik, 818
Berechnung von Unsicherheiten, 861
beschreibende, 845
mathematische, 818, 843
Meßwerterfassung, 845
Schätzwert, 844
Stichprobenfunktion, 844
Steffensen–Verfahren, 964
Steigung, Tangente, 251
Steradiant, 155
Stereometrie, 154
Stetigkeit, Funktion, 59
eine Veränderliche, 58
elementare, 60
komplexe, 744
mehrere Veränderliche, 126
mittelbare, 61
Stichprobe, 827, 843
Umfang, 827
zufällige, 843
Stichprobenfunktion, 844
Stichprobenvariable, 843, 844
Stieltjes–Integral
Begriff, 518
Hinweis, 700
Vergleich mit Riemann–Integral, 518
Stieltjes–Transformation, 781
Stirlingsche Formel, 527
Stochastik, 818
Begriffe, 838
Störung (Differentialgleichungen), 603
Stokesscher Integralsatz, 739
Strahl, 131
Strahlensätze, 137
Strahlpunkt, 560
Strecke, 131
Streifen, charakteristische, 586
Streuung, 826
Meßwerterfassung, 847
Stichprobenfunktionen, 844
zweidimensionale Verteilung, 853
Strichliste, 846
Strom, Bogen, 421
Stromfunktion, 754
Stabilität – Symmetrie 1217
Strophoide, 96
Strudel, 877, 882
Sattelstrudel, 877, 882
zusammengesetzter, 907
Strudelpunkt, 560
Struktur
algebraische, 329
klassische algebraische, 343
Stützfunktional, 697
Stützhyperebene, 697
Stützpolygon, 1014
Stützstelle, 976, 996
äquidistante, 982
Stufenwinkel, 132
Sturm–Liouvillesches Problem, 582
Sturmsche
Funktion, 44
Kette, 44, 967
Subnormale, 252
Substitution
affine, 397
Eulersche, 500
Integrationsmethode, 496, 500, 503
Kryptologie, 397
Subtangente, 252
Subtraktion
komplexe Zahlen, 36
Matrizen, 279
numerisches Rechnen, 1020
Polynome, 11
Quaternionen, 299
rationale Zahlen, 1
Suchverfahren, numerisches, 941
Sugeno–Methode, 438
Summe, 6
algebraische, 429
drastische, 429
Rechenregeln, Summen, Produkte, 6
Summenzeichen, 6
Summenhäufigkeit, 846
Summenkonvention, Einsteinsche, 287
Summenregel, Differentiation, 444
Summensymbolik, Gaußsche, 999
Summierbarkeit, quadratische, 711
Superposition
Felder, 742
lineare, 609
nichtlineare, 620
Schwingungen, 83
Superpositionsprinzip, 609, 756
Superpositionssatz, 742
Differentialgleichungen, 566
Supplementsätze, 80
Supplementwinkel, 132
Supremum, 675
Sylvester, Trägheitsgesetz, 325
Symbol
Kronecker, 290
Landau, 57
Legendre, 387
Symmetrie
axiale, 136
Fourier–Entwicklung, 488
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1218 Symmetrie – Telefongesprächsverteilung
Spiegelsymmetrie, 136
zentrale, 136
Symmetriebrechung, Bifurkation, 910
Symmetrieelement, 353
Symmetriegruppen, 354
Kristallographie, 356
Quantenmechnik, 358
Symmetrieoperation, 353
Drehspiegelung, 354
Drehung, 354
Kristallgitterstrukturen, 357
ohne Fixpunkt, 353
Spiegelung, 354
System
aus vier Punkten, 223
chaotisches, nach Devaney, 901
Differentialgleichungen
höherer Ordnung, 563
kanonisches, 586
Lösungs–, 563
lineare, 570
Normal–, 587
dynamisches, 870
Bewegung, 870
chaotisches, 901
C r –glattes, 870
dissipatives, 871
ergodisches, 890
invertierbares, 870
konservatives, 871
mischendes, 891
Rekonstruktion aus Zeitreihen, 902
stetiges, 870
volumenerhaltendes, 871
volumenschrumpfendes, 871
zeitdiskretes, 870, 871, 885
zeitdynamisches, 871
zeitkontinuierliches, 870
Gleichungen
lineare, 316
nichtlineare, 974
numerische Lösung, 968
überbestimmtes, 320
kognitives, 439
lineares, 314
mischendes, 901
Normalgleichungen, 320
orthogonales, 689
orthonormiertes, 689
trigonometrisches, 689
vollständiges, 690
zeitdiskretes, strukturstabiles, 887
Systeme
dynamische, 870
Typen, 870
zeitdiskrete, 871
Tabelle mit doppeltem Eingang, 121
Tafelprojektion, 244
Tangens, 77
hyperbolicus, 88
Tangensformeln, 146
Tangensfunktion, 133
hyperbolische, 134
Tangenssatz, 146
Tangente
ebene Kurve, 250
Kreis, 142, 204
Raumkurve, 263, 265
Tangentenabschnitt, 251
Tangentenneigungswinkel, 251, 443
Tangentensteigung, 251
Tangentenvieleck, 140
Tangentenviereck, 140
Tangentenwinkel, 143
Tangentialebene, 163, 459
Fläche, 269, 270
Tangentialelement, 365
Tangentialvektor, 365
Tangiermeridian, 182
Tautologie
Aussagenlogik, 331
Boolesche Funktion, 406
Prädikatenlogik, 333
Taylor–Entwicklung, 57, 454
eine Veränderliche, 483
m Veränderliche, 462
Vektorfunktion, 716
zwei Veränderliche, 461
Taylor–Formel, 454
Taylor–Reihe, 454, 483
analytische Funktion, 764
eine Veränderliche, 483
m Veränderliche, 462
zwei Veränderliche, 461
Teilbarkeit, 378
Teilbarkeitskriterien, 380, 381
Teilbarkeitsregeln, elementare, 378
Teilchenbewegung (Quader), 610
Teilchenbewegung (symmetrisches Zentralfeld), 612
Azimutalgleichung, 614
Polargleichung, 614
Radialgleichung, 614
Teiler, 14, 378
größter gemeinsamer (ggT), 381
ganze Zahlen, 381
Linearkombination, 382
Polynome, 14
positiver, 380
teilerfremd, 5
indirekter Beweis, 5
Polynome, 14
Zahlen, 381
Teilgraph, 412
Teilmenge, 334
Teilraum, 669
affiner, 669
Teilung
äußere, 197
harmonische, 198
innere, 197
stetige, 198
Strecke
Ebene, 197
Raum, 222
Telefongesprächsverteilung, 842
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

Telegrafengleichung, 598
Tensor, 287
0. Stufe, 288
1. Stufe, 288
2. Stufe, 288
Addition, Subtraktion, 293
antisymmetrischer, 289
Definition, 287
Delta–, 290
dyadisches Produkt, 289
Eigenwert, 289
Epsilon–, 290
invarianter, 290
Komponenten, 287
Multiplikation, 293
n–ter Stufe, 287
Pseudo–, 294, 295
Rechenregeln, 289
schiefsymmetrischer, 289, 294
Spur, 291
symmetrischer, 289, 293
Überschiebung, 293
Verjüngung, 289, 293
Tensorinvariante, 290
Tensorprodukt, 289
Ansatz, 1013
Vektoren, 280
Term, 10
Termalgebra, 403
Termersetzungssystem, 402
Test
AKS–, 391
χ 2 –Anpassungs–, 848
Fermat–, 390
Normalverteilungs–, 847
Rabin–Miller–, 390
Testaufgabe, lineare, 986
Tetraeder, 158, 159, 223
Teufelstreppe (devil’s staircase), 920
Theorem, Sturmsches, 45
Thetafunktion, 778
Tilgung, 23
Tilgungsrechnung, 23
Todesprozeß, 842
Toleranz, 427
Tonnenkörper, 162
parabolischer, 162
topologisch
äquivalent, 883
konjugiert, 883
Torus, 162, 900, 901
Abspaltung, 912, 917
Auflösung, 916
Differentialgleichung auf dem, 876
Glattheitsverlust, 917
invariante Menge, 879
m–dimensionaler (Definition), 879
Resonanztorus, 917
Totalkrümmung, 267
Träger
Funktion, 647
Geradenbüschel, 202
Telegrafengleichung – Transformationsverfahren 1219
kompakter, 816
Maß, 889
Zugehörigkeitsfunktion, 423
Trägermenge, 402
Trägheitsgesetz, Sylvester, 325
Trägheitsindex, 325
Trägheitsmoment
Doppelintegral, 539
Dreifachintegral, 545
Integration, 516
Kurvenintegral 1. Art, 529
Trägheitstensor, 288
Trajektorie, 870
Traktrix, 107
Transformation (Geometrie)
2–dimensionale, 235
3–dimensionale, 239
affine, 236
Deformations–, 242
Drehung eines Objektes, 218
Eigenschaften, 236
geometrische, 145, 196, 235, 240, 301
Grund–, 237
Koordinaten–, 235, 301
rechtwinklige Koordinaten, 218
Drehung des Koordinatensystems, 218
Parallelverschiebung, 218
Rotation (Drehung), 235, 240
Skalierung, 236, 240
Spiegelung, 236, 239
Translation, 235, 240
Verbiegung, 243
Verdrehung, 243
Verjüngung, 242
Verkettung, 238
Verscherung, 236, 240
Transformation (Gruppen)
affine, 2–dimensionaler Raum, 363
Transformation (Integral–), 780
Carson–, 781
Fourier–, 797
Gabor–, 816
Hankel–, 781
Laplace–, 783
Mellin–, 781
Stieltjes–, 781
Übersicht, 781
Walsh–, 817
Wavelet–, 813
Z–, 806, 1145
Transformation (Operatoren)
lineare, 374
Transformation (Tensoren)
Drehung, Koordinatensystem, 287
lineare, Koordinatensystem, 287
Transformationsdeterminante, 219
Transformationsinvarianz, 290
Transformationsmatrix
Rauminversion, 294
Transformationsmatrizen, 237
Transformationsmodul, 9
Transformationsverfahren, 326
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1220 Transitivität – Van-Der-Polsche Differentialgleichung
Transitivität, 29
Translation
Koordinatenachsen, 196
Koordinatensystem, 290
primitive, 356
Translationsinvarianz, 290
Transportnetz, 421
Transportproblem, 932
Transposition
Kryptologie, 397
Matrizen, 283
Trapez, 138
Trapezformel, 977
Hermitesche, 978
Trapezsumme, 978
Hermitesche, 978
Trennbarkeit von Mengen, 697
Trennung
Mengen, konvexe, 697
Variablen–, 592
Trennungssätze, 697
Treppenfunktion, 807, 817
Triangulierung
FEM, 993
Vermessungstechnik, 151
Tridiagonalisierung, 326
Triederecke, 168
Trigonometrie
ebene, 145
sphärische, 163
Tripel, 337
Trochoide, 101
Tschebyscheff
Approximation, 1002
diskrete, 1004
Polynome, 88, 1002
Satz (Integration), 501
Ungleichung, 31
Tupel, n–Tupel, 120
Turbulenz, 871, 916
Tutte–Satz, 418
Typ, 402
Überdeckung, offene, 873
Übergangsmatrix, 839, 840
Übergangswahrscheinlichkeit, Stochastik, 839
Überschiebung, 291
Umfang
Ellipse, 205
Kreis, 143
Vieleck, 141
Umformung, identische, 11
Umgebung eines Punktes, 677
Umkehrfunktion, 52
Hyperbelfunktionen, 92
trigonometrische, 85
Umkehrtransformation, 780
Umkreis, 135
Dreieck, ebenes, schiefwinkliges, 146
Sehnenviereck, 139
Umlaufintegral, 527, 533
Vektorfeld, 734
Verschwinden, 535
Umlaufsinn
Figur, 136
Spiegelsymmetrie, 136
Unabhängigkeit
lineare
Elemente des Vektorraumes, 671
Gleichungssysteme, 315
vom Integrationsweg, 533, 760
Unbestimmtheit, 610
UND, 329
unendlich, 1
abzählbar, 342
überabzählbar, 342
Ungleichung, 28
1. Grades, 33
2. Grades, 33
arithmetisches Mittel, 30
Bernoullische, 31
Besselsche, 690
binomische, 31
Cauchy–Schwarzsche, 31
Dreiecks–, 30
geometrisches Mittel, 30
Höldersche, 32
Minkowskische, 33
quadratisches Mittel, 30
Schwarz–Bunjakowski–, 687
spezielle, 30
Tschebyscheffsche, 31, 827
verschiedene Mittelwerte, 30
Universalsubstitution, 503
Unschärfe, quantenmechanische, 610
Unschärferelation, 610
Unsicherheit
absolute, 865
fuzzy, 423
Meßergebnisse, 861
relative, 865
Unstetigkeit, hebbare, 59
Unstetigkeitsstelle, 58
Unterdeterminante, 284
Untergraph, 412
induzierter, 412
Untergruppe, 345
triviale, 345
zyklische, 345
Untergruppenkriterium, 345
Unterraum, 375
Unterraumkriterium, 375
Unterring, 370
trivialer, 370
Unterringkriterium, 370
Untervektorraum
instabiler, 880, 885
stabiler, 880, 885
Urbildbereich, Menge, 49
Urliste (Meßprotokoll), 845, 861
Urnenmodell, 827
Vagheit, 423
Valenzmatrix, 417
Van–Der–Polsche Differentialgleichung, 908
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Variable
abhängige, 48, 314
Aussagenvariable, 329
Boolesche, 405
freie, 332
gebundene, 332
künstliche, 928
linguistische, 424
unabhängige, 48, 120, 314
Variablentrennung, 592
Varianz, 826
Variation, 818, 819
mit Wiederholung, 819
ohne Wiederholung, 819
Variation der Konstanten, 567
Satz, 875
Variationsaufgabe, 988
allgemeinere, 632
einfache
eine Veränderliche, 625
mehrere Veränderliche, 631
Variationsgleichung, 877, 885, 894, 992
Variationsproblem, 624
1. Ordnung, 624
Dirichletsches, 631
höherer Ordnung, 624
Parameterdarstellung, 624
Variationsrechnung, 624
1. und 2. Variation, 633
numerische Lösung, 632
Ritz–Verfahren, 632
Varietät, 403
Vektor, 185, 278, 669
Absolutbetrag, 185
axialer, 185
Spiegelungsverhalten, 294
Darbouxscher, 267
Differentiationsregeln, 715
ebenes Flächenstück, 736
Einheitsvektor, 186
freier, 185
gebundener, 185
gemischtes Produkt, 190
Grundvektor, 191
kollinearer, 186
komplanarer, 186
Komponenten, 721
konjugierter, 944
Koordinaten, 187
Länge, 194
linienflüchtiger, 185
linkssingulärer, 328
Modul, 185
Nullvektor, 186
orthogonaler, 189
polarer, 185
Spiegelungsverhalten, 294
Radiusvektor, 186
rechtssingulärer, 328
reziproker, 191
reziproker Grundvektor, 191
skalar invarianter, 730
Spaltenvektor, 278
Variable – Vektorraum 1221
stochastischer, 839
Zeilenvektor, 278
Zerlegung, 187
Vektoralgebra, 185
Vektoranalysis
Feldtheorie, 715
Quaternionen, 312
Vektordiagramm, Schwingungen, 84
Vektoren
dyadisches Produkt, 280
Kommutativgesetz, 280
Skalarprodukt, 280
Tensorprodukt, 280
Winkel zwischen, 194
zyklische Vertauschung, 214
Vektorfeld, 718, 870
Divergenz (Differentialoperator), 725
Einheitsvektoren, 720
kartesische Koordinaten, 719
Komponenten, 721
Kreisfeld, 719
Kugelkoordinaten, 720
punktförmige Quellen, 741
Quelle, 725
Richtungsableitung, 722
Rotation (Differentialoperator), 727
Senke, 725
sphärisches, 719
kartesische Koordinaten, 721
Umlaufintegral, 734
zentrales, 718
Zylinderkoordinaten, 720
zylindrisches, 719
kartesische Koordinaten, 721
Vektorfunktion
Ableitung, 715
Hodograph, 715
lineare (Tensor), 292
skalare Variablen, 715
Taylor–Entwicklung, 716
Vektorgleichung
Ebene, 193
Gerade, 193
Raumkurve, 263, 265
Vektorgradient (Differentialoperator), 725
mit Nablaoperator, 729, 730
Vektoriteration, 326, 328
Vektorpotential, 741
Vektorprodukt, 188
doppeltes, 190
Hinweis, 281
kartesische Koordinaten, 190
Koordinatendarstellung, 192
Lie–Algebra, 368
Quaternionen, 297, 299
Vektorraum, 373, 668
alle Nullfolgen, 670
beschränkte Folgen, 670
B(T ), 670
C([a, b]), 670
C (k) ([a, b]), 670
Euklidischer, 375
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1222 Vektorraum – Vieleck
IR 3 (3–dimensionaler), 296
IR 4 (4–dimensionaler), 296
IR n (n–dimensionaler), 279
finite Zahlenfolgen, 670
Folgen, 669
F(T ), 670
Funktionen, 670
geordneter, 673
Halbordnung, 673
IK n , 669
komplexer, 669
konvergente Folgen, 670
L p , 711
l p , 670
n–dimensionaler, 374
Ordnungsrelation, 673
reeller, 373, 669
s aller Zahlenfolgen, 670
unendlichdimensionaler, 374
Vektorverbände, homomorphe, 675
Vektorverband, 675
Vektorzerlegung, 187
Venn–Diagramm, 335
Verband, 404
distributiver, 404
Verbiegung, 243
Verdrehung, 243
Vereinigung
Fuzzy–Mengen, 429
Mengen, 335
unscharfe Mengen, 428
Verfahren
Adams–Bashforth–, 984
Austausch–, 314
Bairstow–, 967
Bisektions–, 326
Cholesky–, 321, 971
Galerkin–, 988
Gauß–Newton–, 975
ableitungsfreies, 976
Gauß–Seidel–, 973
Graeffe–, 968
Gram–Schmidtsches, 323
Householder–, 321, 999
Iterations–, 326
Jacobi–, 326
Lanczos–, 326
Milne–, 984
Newton–, 963, 975
modifiziertes, 963
Orthogonalisierungs–, 321, 323
Picardsches Iterations–, 561
Prediktor–Korrektor–, 984
Ritz–, 988
Romberg–, 979
Runge–Kutta–, 983
Schnittebenen–, 955
SOR–, 974
Steffensen–, 964
Transformations–, 326
Vergleichsfunktion, Variationsaufgabe
eine Veränderliche, 626
mehrere Veränderliche, 631
Vergleichskriterium, 472
Verifizieren, Beweisführung, 5
Verjüngung, 289
Tensor, 293
Transformation, 242
Verkettung, 434
Verknüpfung
max–average, 435
max–min, 434
max–prod, 435
Verknüpfungsoperator, 434
Verknüpfungsprodukt, 434
Verknüpfungsregeln, 435
Verscherung, Transformation, 236
Versicherungsmathematik, 21
Versiera der Agnesi, 95
Vertauschbarkeit
Integrationsreihenfolge, 524
lineare Operatoren, 375
Vertauschung, zyklische
Seiten und Winkel, 145
Vektoren, 214
Vertauschungssatz, Schwarzscher, 460
Verteilung
Binomial–Verteilung, 827
χ 2 –Verteilung, 835
diskrete, 827
Fisher–Verteilung, 835
Häufigkeitsverteilung, 846
hypergeometrische, 827, 829
Logarithmische Normal–Verteilung, 832
Meßfehlerverteilungsdichte, 861
Normalverteilung, 830
Poisson–Verteilung, 830
stetige, 830
Student–Verteilung, 836
t–Verteilung, 836
Weibull–Verteilung, 834
Verteilungsdichte, mehrdimensionale, 827
Verteilungsfunktion, 824
stetige, 825
Verteilungsproblem, 935
Vertrauensgrenze
Mittelwert, 850
Regressionskoeffizient, 854
Streuung, 851
Vorgabe, 866
Vervollständigung, 682
Verzinsung, 22
Vieleck
ähnliches, 137
allgemeines, 140
Außenwinkel, 141
Basiswinkel, 141
ebenes, 140
Flächeninhalt, n–Eck, 141
Inkreisradius, 141
Innenwinkel, 141
regelmäßiges, konvexes, 140
Seitenlänge, 141
spezielle regelmäßige, 141
Umfang, 141
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Umkreisradius, 141
Zentriwinkel, 141
Vielfaches, 14
des Teilers, 378
kleinstes gemeinsames (kgV), 382
Vielflach, 155
Viereck, 138
allgemeines, 139
konvexes, 139
Sehnen–, 139
Tangenten–, 140
Umfang, 140
Vierergruppe, Kleinsche, 346
Vierervektor
homogene Koordinaten, 363
Quaternion, 297
Vietascher Wurzelsatz, 44
Vollrang, 320
Vollwinkel, 132
ebener, 133
räumlicher, 156
Volterrasche Integralgleichung, 682
1. Art, 635, 657
2. Art, 657
Volumen
Doppelintegral, 539
Dreifachintegral, 545
Hohlzylinder, 160
Kegel, 160
Keil, 158
Kugel, 161
Obelisk, 158
Polyeder, 156
Prisma, 156
Pyramide, 157
Quader, 156
Teilmenge, 707
Tetraeder, 223
Tonnenkörper, 162
Torus, 162
Würfel, 157
Zylinder, 159
Volumenableitung, 722–724
Volumenelement
beliebige Koordinaten, 543
kartesische Koordinaten, 540
Kugelkoordinaten, 542
Tabelle, 544
Vektorkomponenten, 732
Zylinderkkordinaten, 541
Volumenintegral, 539
Volumenskala, 117
Vorwärtseinschnitt
auf der Kugel, 177
durch zwei Strahlen, 151
ohne Visier, 152
Vorzeichenfunktion, 50
vrai sup, 711
Wärmeleitungsgleichung
dreidimensionale, 605, 740
eindimensionale, 596, 796
Wahrheitsfunktion, 329, 330
Vieleck – Wellengleichung 1223
Äquivalenz, 329
Disjunktion, 329
Implikation, 329
Konjunktion, 329
NAND–Funktion, 331
Negation, 329
NOR–Funktion, 331
Wahrheitstafel, 329
Wahrheitswert, 329
Wahrscheinlichkeit, 822
bedingte, 823
Flächeninterpretation, 825
vollständige, 823
Wahrscheinlichkeitsamplitude, 609
Wahrscheinlichkeitsdichte, 825
Wahrscheinlichkeitsintegral, 832
Wahrscheinlichkeitsmaß, 889
ergodisches, 893
invariantes, 890
Wahrscheinlichkeitspapier, 847
Wahrscheinlichkeitsrechnung, 818, 820
Wahrscheinlichkeitsvektor, 840
Walsh–Funktionen, 817
Walsh–Systeme, 817
Warteschlange, 842
Wavelet, 814
Daubechies–, 816
Haar–, 814
mexikanischer Hut, 814
orthogonales, 816
Wavelet–Transformation, 813, 815
diskrete, 816
Haar–Wavelet–Transformation, 816
dyadische, 815
schnelle, 816
Webersche Differentialgleichung, 616
Webersche Funktion, 575
Wechselwinkel, 132
Wechselwirkung
Kraftbegriff, 607
Solitonen, 618
Weg, Graph
alternierender, 419
zunehmender, 419
Wegberechnung, Integration, 516
Weibull–Verteilung, 834
Weierstrass
Approximationssatz, 679
elliptische Funktionen, 779
Satz, 480
eine Veränderliche, 62
mehrere Veränderliche, 126
Welle
ebene, 814
Entwicklung nach Kugelfunktionen, 578
nichtlineare, 618
Wellenfunktion
Entwicklung nach Eigenfunktionen, 609
Interpretation, statistische, 608
klassisches Problem, 604
Schrödinger–Gleichung, 606
Wärmeleitungsgleichung, 605
Wellengleichung
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1224 Wellengleichung – Zahlenebene
eindimensionale, 805
n–dimensionale, 604
Wellenlänge, 83
Welle–Teilchen–Dualismus, 609
Wendepunkt, 255, 454, 456
Wendepunktbestimmung
gemäß Gleichung, 260
gemäß höherer Ableitungen, 455
WENN–DANN–Regel
Fuzzy–Logik, 435
Logik, 329
Wert, wahrer, 863
Wertebereich
Funktion, 48
Menge, 49
Operator, 672
Wertesystem, 120
wertverlaufsgleiche Ausdrücke, 330, 407
Windung, Raumkurve, 267
Windungsradius, Raumkurve, 267
Windungszahl, 919
Winkel, 131
an Geraden, 132
an Parallelen, 132
Bogenmaß, 133
Cardan–, 220, 302
ebene Kurven, 252
Ebenen, 226
ebener, 155
entgegengesetzte, 133
Euler–, 221, 302
Gegenwinkel, 132
Gerade und Ebene, 229
Geraden, Raum, 229
gestreckter, 132
Gradmaß, 133
Raumwinkel, 155
rechter, 132
Rückversetzung, 179
spitzer, 132
Stufenwinkel, 132
stumpfer, 132
überstumpfer, 132
zwischen
ebenen Kurven, 252
Raumkurven, 271
Vektoren, 194
Winkelbegriff, 131
Winkelbezeichnungen, 132
Winkelfunktion, 76
Winkelhalbierende, 135, 146
Winkelkosinussatz, 169
Winkelsumme
ebenes Dreieck, 135
sphärisches Dreieck, 168
Wirbeldichte, 741
Wirbelfeld
quellenfreies, 741
reines, 741
Wirbelflußdichte, 742
Wirbellinien, 727
Wirbelpunkt, 561
Wort
IEEE–Standard, 1019
metrischer Raum, 677
Worthalbgruppe, 343
Wronski–Determinante, 566, 875
Würfel, 157, 159
Wurzel
Begriff, 8
Gleichung, 43
Wurzelbaum, 416
Wurzelkriterium (Cauchy), 473
Wurzelsatz, Vietascher, 44
Wurzelziehen
komplexe Zahl, 38
positive Zahl, 8
XOR (exklusives ODER), 406
Youngscher Rahmen, 353
Zahlen, 1
Approximation, 4
Bernoullische, 477
Carmichael–, 390
Clifford–, 296
Eulersche, 478
Fermatsche, 379
Fibonacci–Zahlen, 383, 920
explizite Formel, 383
Iterationsvorschrift, 920
Rekursionsformel, 383
ganze, 1
hyperkomplexe, 296
imaginäre, 34
irrationale, 1, 2, 341
komplexe, 34
Absolutbetrag, 35
Addition, 36
algebraische Form, 34
Argument, 35
Division, 37
Exponentialform, 36
Hauptwert, 35
Körper, 372
Modul, 35
Multiplikation, 37
Potenzieren, 38
Radizieren, 38
Subtraktion, 36
trigonometrische Form, 35
verallgemeinerte, 296
konjugiert komplexe, 36
Mersennesche, 379
natürliche, 1
nichtnegative ganze, 1
Primzahlen, 378
rationale, 1
reelle, 2
teilerfremd, 381
transzendente, 1, 2
zusammengesetzte, 378
Zahlendarstellung, interne, 1017
Zahlenebene
Gaußsche, 35
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

komplexe Abbildung, 757
Zahlenfolge, 469
beschränkte, 469, 670
Bildungsgesetz, 469
Divergenz, 470
finite, 670
Glieder, 469
Grenzwert, 470
Konvergenz, 470
monotone, 469
obere Schranke, 470
unendliche, 469
untere Schranke, 470
Zahlengerade, 1
erweiterte, 707
Zahlenintervall, 2
Zahlensystem, 1016
Konvertierung, 1016
Zahlentheorie, elementare, 378
Zeichendarstellung, interne, 1016
Zeichenregel, kartesische, 966
Zeilensummenkriterium, 973
Zeit–Frequenz–Analyse, 816
Zeitreihe, Ordnung p, 902
Zelt–Abbildung, 889
Zenit, 148
Zenitwinkel, 148
Zentralfeld, 716
Zentralprojektion, 243
Zentralwert, Stichprobenfunktionen, 845
Zentriwinkel, 133
Kreis, 144
Vieleck, 141
Zentrum, Vektorfeld, 718
Zentrumsmannigfaltigkeit, 905
Abbildungen, 910
Differentialgleichungen, 905
lokale, 910
Zerfällungskörper, 372
Zerfall
radioaktiver, 841
Torus, 917, 918
Zerlegung, 340
orthogonale, 688
Zerlegungssatz, 341
Differentialgleichungen, 566
Zielfunktion, lineare, 921
Zielpunkt, 410
Zigarrenform, Ellipsoid, 230
Zinsen, 22
Zinseszins, 22
Zinseszinsrechnung, 22
Zinssatz, 22
Zissoide, 96
Z–Transformation, 806
Bildfunktion, 807
Dämpfung, 809
Definition, 807
Differentation, 809
Differenzenbildung, 808
Faltung, 809
Integration, 809
inverse, 810
Zahlenebene – Zylinder 1225
Originalfolge, 807
Rechenregeln, 808
Summation, 808
Tabelle, 1145
Translation, 808
Z–transformierbar, 807
Zusammenhang
mit Laplace–Transformation, 809
Zufallserscheinung, 818
Zufallsgröße, 824
diskrete, 824
kontinuierliche, 824
stetige, 825
unabhängige, 852
zweidimensionale, 852
Zufallsvektor
mathematische Statistik, 843
mehrdimensionale Zufallsveränderliche, 827
Zufallsveränderliche, 824
mehrdimensionale, 827
unabhängige, 827
Zufallszahlen, 843, 856
Anwendung, 857
beliebige Verteilungsfunktion, 857
Erzeugung, 857
gleichverteilte, 856, 946
Erzeugung, 856, 946
Kongruenzmethode, 857
normalverteilte, 946
Erzeugung, 946
Pseudo–, 857
Tabelle, 1156
Zugehörigkeitsfunktion, 423, 424
glockenförmige, 425
trapezförmige, 424
Zugehörigkeitsgrad, 423
Zuordnungsproblem, 934
Zustand
entarteter, 612
stationärer, 607
Teilchen, 606
Zustandsfunktion, 608
Zustandsraum, Stochastik, 838
Zuverlässigkeitsuntersuchung, 842
Zuwachsfunktion, 985
Zweieck, sphärisches, 166
Zweifachintegral, 536
Zweiflach, 155
Zweikörperproblem, 587
Zwischenveränderliche, 446
Zwischenwertsatz
eine Veränderliche, 61
mehrere Veränderliche, 126
Zykloide, 101
Basis, 101
gewöhnliche, 101
kongruente, 101
verkürzte, 101
verlängerte, 101
Zyklus
Grenzzyklus, 908
Kette, 420
Zylinder, 159, 233
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)

1226 Zylinder – Zylinderkoordinaten
elliptischer, 233
hyperbolischer, 233
Invariantenvorzeichen
elliptischer, 234
hyperbolischer, 234
parabolischer, 234
parabolischer, 233
Zylinderabschnitt, 159
Zylinderfläche, 159, 223
Zylinderfunktionen, 575
Zylinderhuf, 159
Zylinderkoordinaten, 216
Vektorfeld, 720
Verlag Harri Deutsch – Bronstein: Taschenbuch der Mathematik – (978-3-8171-2008-6)