Experimentelle¨Ubungen I W1a - Jan-Gerd Tenberge
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Experimentelle Übungen I<br />
<strong>W1a</strong> – Stirlingmotor als Wärme-/Kältemaschine<br />
Protokoll<br />
1 Matrikel-Nr. 349658<br />
2 Matrikel-Nr. 350069<br />
<strong>Jan</strong>-<strong>Gerd</strong> <strong>Tenberge</strong> 1 Tobias Südkamp 2<br />
17. Juni 2009
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 1<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Theorie 2<br />
1.1 Wärmemenge und -kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2 Der Stirling-Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.3 Der Stirlingmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.4 Der Stirlingmotor als Kältemaschine . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
2 Durchführung 6<br />
2.1 Bestimmung der Reibungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.2 Bestimmung der Kühlleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.3 Bestimmung der Heizleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
3 Auswertung 7<br />
3.1 Bestimmung der Reibungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
3.2 Bestimmung der Kühlleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
3.3 Bestimmung der Heizleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
4 Diskussion 15
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 2<br />
1 Theorie<br />
1.1 Wärmemenge und -kapazität<br />
Zur Beschreibung des Stirling-Kreisprozesses werden einige wichtige Größen benötigt.<br />
Dazu zählen auch die Wärmemenge Q sowie die Wärmekapazität CW . Per<br />
Definitionem ist die Wärmemenge Q die Menge an Energie, die benötigt wird,<br />
um 1g Wasser von 14,5 ◦ C auf 15,5 ◦ C zu erhitzen. Daraus leitet sich eine Proportionalität<br />
zwischen der Wärmemenge und der Temperaturänderung ab:<br />
∆Q = CW · ∆T (1)<br />
Den Proportionalitätsfaktor CW bezeichnet man als Wärmekapazität. Diese ist<br />
wie durch den Zusammenhang<br />
∆Q = CW · ∆T = c · m · ∆T (2)<br />
beschrieben über die spezifische Wärmekapazität c von der Masse abhängig.<br />
1.2 Der Stirling-Kreisprozess<br />
Das in Abb. 1 dargestellte (p,V)-Diagramm bezeichnet man als Stirling-Kreisprozess.<br />
Dieser Kreisprozess verläuft in vier Schritten und endet wieder im Ausgangszustand<br />
1. Im Schritt 1 ⇒ 2 expandiert ein abgeschlossenes Gas isotherm, also<br />
bei konstanter Temperatur. Dazu ist eine Wärmezufuhr Q12 von Nöten, während<br />
das Gas Energie in Form von Arbeit (W12) abgibt. Danach kühlt das Gas bei<br />
konstantem Volumen (isochor) ab und gibt dabei die Wärme Q23 ab.<br />
Im Schritt 3 ⇒ 4 wird das Gas isotherm komprimiert. Dabei muss die Arbeit<br />
W34 am Gas verrichtet werden, während es die Wärmemenge Q34 abgibt. Zuletzt<br />
wird das Gas durch Wärmezufuhr von außen (Q41) isochor erhitzt.
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 3<br />
1.3 Der Stirlingmotor<br />
Abbildung 1: Stirling-Kreisprozess<br />
Eine Realisierung des Stirling-Kreisprozesses ist der Stirling-Motor. Dieser arbeitet<br />
wie in Abb.2 dargestellt in vier Takten. Zunächst dehnt sich die Luft im<br />
Zylinder durch die Wärmezufuhr ∆Q12 isotherm aus. Dadurch wird von dem Gas<br />
die Arbeit ∆W12 verrichtet.<br />
Schwingt der Arbeitskolben um seinen Tiefpunkt, so bleibt das Volumen des<br />
Gases nahezu konstant und es wird keine Arbeit verrichtet. Währenddessen bewegt<br />
der Verdrängerkolben die durch die Heizwendel erhitzte Luft in den vom<br />
Kühlwasser umflossenen Bereich des Zylinders, sodass diese die Wärmemenge<br />
∆Q23 an den Regenerator abgibt.<br />
Anschließend verdichtet der Arbeitskolben das Gas isotherm, wobei die Wärmemenge<br />
∆Q34 an das Kühlwasser abgegeben wird.<br />
Läuft der Arbeitskolben zuletzt um seinen Hochpunkt, wird wieder keine Arbeit<br />
verrichtet, während der Verdränger die kalte Luft nach oben treibt und dabei die<br />
Wärmemenge ∆Q41 an das Gas abgibt.<br />
Treibt man das Schwungrad von außen an, so fungiert der Stirling-Motor als
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 4<br />
Wärme- bzw. Kältemaschine.<br />
Abbildung 2: Der Stirlingmotor<br />
1.4 Der Stirlingmotor als Kältemaschine<br />
Im Uhrzeigersinn angetrieben, arbeitet der Stirlingmotor als Kältemaschine (s.Abb.3),<br />
d.h. er entzieht einer anstelle der Heizwendel angebrachten Probe die Wärme Q2.<br />
Dabei wird dem Kühlwasser die Wärmemenge Q1 zugeführt.<br />
Abbildung 3: Der Stirlingmotor als Wärme-/ Kältemaschine<br />
Diese setzt sich aus der vom äußeren Antrieb im Zylinder aufgebrachten Arbeit
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 5<br />
W und der Wärme Q2 zusammen:<br />
Q1 = W + Q2<br />
Treten im Zylinder Reibungsverluste auf, so ergibt sich für die Arbeit W :<br />
W = Q1 − Q2 − WR<br />
Dabei steht WR für die Reibungsverluste.<br />
Die Gleichung<br />
η = Q2<br />
W<br />
definiert den Wirkungsgrad der Kältemaschine. Der Stirlingmotor lässt sich durch<br />
Umkehrung der Antriebsrichtung auch als Wärmemaschine betreiben.<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 6<br />
2 Durchführung<br />
2.1 Bestimmung der Reibungsverluste<br />
Um die Heiz- bzw. Kühlleistung des Strirlingmotors korrekt zu bestimmen, muss<br />
man zunächst die Reibungsverluste des Gerätes ermitteln. Dazu misst man den<br />
Volumendurchsatz des Kühlwassers, d.h. die Menge an Kühlwasser, die den Zylinderkopf<br />
pro Zeiteinheit umfließt, indem man dem Ablauf der Kühlung eine<br />
bestimmte Zeit lang Wasser entnimmt. Mit einem Messkolben bestimmt man die<br />
Menge des Wassers und mit einer Stoppuhr die zugehörige Zeit.<br />
Ist dies geschehen, betreibt man das Gerät als Heiz- oder Kühlmaschine mit<br />
offenem Zylinderdeckel (man schaltet den Antriebsmotor mit beliebiger Umlaufrichtung<br />
aber fester Frequenz (ca. 3 Hz) ein, lässt die für das Reagenzglas vorgesehene<br />
Zylinderöffnung frei) und misst die maximale Temperaturänderung des<br />
Kühlwasserablaufs. Da die Maschine nun im Leerlauf arbeitet ist eine Erwärmung<br />
des Kühlwassers nur durch Reibungsverluste innerhalb des Kolbens bedingt.<br />
2.2 Bestimmung der Kühlleistung<br />
Zur Bestimmung der Kühlleistung schaltet man den Antriebsmotor ab, schließt<br />
den Kolben und füllt etwa 1 ml destilliertes Wasser in das Reagenzglas. Startet<br />
man den Antrieb mit der selben Frequenz wie in 3.1) im Uhrzeigersinn, so<br />
arbeitet der Stirlingmotor als Kältemaschine. Mit dem Computer kann man die<br />
Temperatur der Probe als Funktion der Zeit aufnehmen. Zusätzlich notiere man<br />
sich die Temperatur des Kühlwasserablaufs zu Beginn der Messung. Ist die Probe<br />
bis auf etwa −25 ◦ C heruntergekühlt, notiere man sich diese erneut.<br />
2.3 Bestimmung der Heizleistung<br />
Um die Heizleistung des Motors zu bestimmen, kehrt man lediglich die Umlaufrichtung<br />
des Antriebs um. Der Rest der Messung verläuft analog zur Bestimmung<br />
der Kühlleistung.
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 7<br />
3 Auswertung<br />
3.1 Bestimmung der Reibungsverluste<br />
Um den Reibungsverlust des Stirlingmotors bestimmen zu können, berechnet<br />
man den Volumendurchsatz mit den gemessenen Daten (Volumen V und Zeit t)<br />
wie folgt:<br />
v = V<br />
t<br />
V entspricht hierbei dem Volumen des umfließenden Wassers während der Zeit t.<br />
Aus den drei gemessenen Wertepaaren lassen sich für das Volumen und die Zeit<br />
Mittelwerte und deren Fehler berechnen. Der dazugehörige Fehler des Volumendurchsatzes<br />
wird wie folgt berechnet:<br />
∆v = ∆vstat + ∆vsys = τ ·<br />
5<br />
i=1<br />
(¯v − vi) 2<br />
4<br />
+<br />
∆V<br />
t<br />
2<br />
+<br />
<br />
V ∆t<br />
−<br />
t2 2 Da bei der Volumenmessung drei Mal der gleiche Werte gemessen wurde (V =<br />
85ml) fällt der statistische Fehler jedoch raus und es bleibt der systematische<br />
Fehler.<br />
Pro Sekunde fließen also VD = 4,25 ± 0,06ml Kühlwasser durch den Zylinderkolben.<br />
Da das Einstellen der Frequenz von f ′ = 3,0Hz nicht genau machbar war, wurde<br />
diese in einer weiteren Messreihe über eine Dauer von 30 Sekunden mittels<br />
Fast-Fourier-Transformation (kurz: FFT) überprüft. Diese Messung ergibt eine<br />
Frequenz von f = 3,05 ± 0,05Hz. Das Kühlwasservolumen pro Umlauf lässt sich<br />
nun wie folgt berechnen:<br />
VU = VD<br />
f<br />
Der Fehler ergibt sich über die Fehlerfortpflanzung:<br />
<br />
∆VD 2 <br />
∆VU =<br />
+ −<br />
f<br />
∆fVD<br />
f 2<br />
2 Dies entspricht also einem Durchsatz von (1,40 ± 0,03)g pro Umlauf bei einer<br />
Dichte ρWasser ≈ 1 g<br />
und einem Normaldruck.<br />
ml<br />
Mit der gemessenen Temperaturdiffernz ∆T = 0,4K, dem zuvor bestimmten<br />
Durchsatz pro Umlauf des Kühlwassers und der spezifischen Wärmekapazität<br />
lässt sich nun der Reibungsverlust bestimmen:<br />
c = 4,185 J<br />
gK<br />
WR = mc∆T = 2,34J
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 8<br />
Mit folgendem Fehler:<br />
∆WR =<br />
<br />
(∆mct) 2 (∆(∆T )cm) 2 = 1,17J<br />
3.2 Bestimmung der Kühlleistung<br />
=⇒ WR = 2,34 ± 1,17J (6)<br />
Wenn man die gemessenen Daten für Zeit t und Temperatur T gegeneinander<br />
aufträgt erhält man folgendes Diagramm:<br />
T e m p e ra tu r T [K ]<br />
3 0<br />
2 0<br />
1 0<br />
0<br />
-1 0<br />
-2 0<br />
-3 0<br />
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0<br />
Z e it t [s ]<br />
Abbildung 4: Temperatur T gegen Zeit t<br />
Um nun die Kühlleistung bestimmen zu können, ermittelt man zunächst die<br />
Steigung des Graphen in der Nähe der Raumtemperatur. Dafür lässt man die<br />
Messwerte mit einem Polynom hohen Grades, hier wurde Grad 9 gewählt, von<br />
Origin Pro 8 fitten (rote Linie).<br />
Nun kann man die Ableitung der Fit-Funktion zeichnen lassen und die Steigung<br />
an einem Punkt nah bei der Raumtemperatur ermitteln (vgl. Abb. 3.2).<br />
Die in Abbildung 3.2 eingezeichneten blauen Linien stellen den Punkt bei Raumtemperatur<br />
(≈ 22,5 ◦ C) dar.
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 9<br />
S te ig u n g m [K /s ]<br />
0 ,0 5<br />
0 ,0 0<br />
-0 ,0 5<br />
-0 ,1 0<br />
A b le itu n g d e s P o ly n o m ie lle n<br />
F its d e r T e m p e ra tu re n tw ic k lu n g<br />
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0<br />
Z e it t [s ]<br />
Abbildung 5: Ableitung des Fits der Kühlleistungskurve<br />
S te ig u n g m [K /s ]<br />
0 ,0 4<br />
0 ,0 2<br />
0 ,0 0<br />
-0 ,0 2<br />
-0 ,0 4<br />
-0 ,0 6<br />
-0 ,0 8<br />
-0 ,1 0<br />
N a h b e re ic h d e r A b le itu n g<br />
u m d ie R a u m te m p e ra tu r<br />
0 5 1 0 1 5 2 0<br />
Z e it t [s ]<br />
Abbildung 6: Vergrößerung der Ableitungskurve in der Nähe der Raumtemperatur<br />
An dem Graph der Ableitung liest man die Steigung mT = −0,06±0,01 K<br />
s ab.<br />
Der Fehler kommt zum Einen durch das Ablesen zustande. Außerdem wurde der
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 10<br />
Fehler großzügig bemessen, da der Polynomfit nicht 100%ig genau ist und einige<br />
Arbeitsschritte durchgeführt werden mussten um schlussendlich die Steigung ablesen<br />
zu können.<br />
Mit dem gemessenen Volumen des Wassers in dem Reagenzglas und der Steigung<br />
der Tangente lässt sich die Wärmemenge Q, die dem Wasser pro Sekunde entzogen<br />
wird, wie folgt berechnen:<br />
∆Q = cρW VW mT = cmW mT = 4,185 J<br />
gK<br />
· 1,0g · 0,06 = −0,251J<br />
s<br />
Wobei mW die Masse des Wassers im Reagenzglas ist (≈ 1g) und mT die Steigung<br />
des Fits. Auch der zugehörige Fehler lässt sich berechnen:<br />
<br />
∆(∆Q) = (∆mW cmT ) 2 + (∆mT cmW ) 2 = 0,04J<br />
=⇒ ∆Q = −0,251 ± 0,04J<br />
Bei einer Frequenz von 3,05 ± 0,2Hz ergibt das:<br />
Q2 = ∆Q<br />
J<br />
= −0,082<br />
f Umlauf<br />
<br />
∆(∆Q) 2 <br />
mit ∆Q2 =<br />
+ −<br />
f<br />
∆Q∆f<br />
f 2<br />
2 Somit hat die Kältemaschine eine Kühlleistung von 0,082 ± 0,014J pro Umlauf.<br />
Um den Wirkungsgrad η der Maschine zu bestimmen muss man zunächst die<br />
zugeführte Arbeit W berechnen:<br />
W = Q1 − Q2 − WR<br />
Der Reibungsverlust WR und die Kühlleistung Q2 wurde im vorherigen Abschnitt<br />
bestimmt.<br />
Q1 lässt sich aus der gemessenen Temperaturdifferenz und dem Volumendurchsatz<br />
des Kühlwassers pro Umlauf wie folgt bestimmen:<br />
Q1 = VU · ρW · c · ∆T = cmUW ∆T = 4,185 J<br />
· 1,41g · 1,4K = 8,26J<br />
gK<br />
<br />
mit dem Fehler ∆Q1 = (c∆m∆T ) 2 + (cm∆(∆T )) 2 = 1,185<br />
=⇒ Q1 = 8,26 ± 1,19J
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 11<br />
Nun lässt sich der Wirkungsgrad berechnen:<br />
η = Q2<br />
W =<br />
Q2<br />
Q1 − Q2 − WR<br />
= 1,39% (7)<br />
Der Fehler lässt sich mittels Fehlerfortpflanzung wie folgt berechnen:<br />
mit∆W =<br />
Der Wirkungsgrad ist also:<br />
<br />
∆Q2 2 <br />
∆η =<br />
+ −<br />
W<br />
Q2∆W<br />
W 2<br />
2 <br />
(∆Q1) 2 + (−∆Q2) 2 + (−∆WR) 2<br />
η = 1,39 ± 0,46% (8)
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 12<br />
3.3 Bestimmung der Heizleistung<br />
Analog zur Bestimmung der Kühlleistung wird wieder ein T-t-Diagramm erstellt.<br />
T e m p e ra tu r T [K ]<br />
4 0<br />
3 0<br />
2 0<br />
1 0<br />
0<br />
-1 0<br />
-2 0<br />
-3 0<br />
M e s s d a te n<br />
P o ly n o m ie lle r F it (G ra d 9 )<br />
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0<br />
Z e it t [s ]<br />
Abbildung 7: Temperatur T gegen Zeit t, rote Kurve entspricht Polynomfit<br />
Nun bestimmt man wieder anhand des Ableitungsfits die Steigung.<br />
T e m p e ra tu r T [K ]<br />
0 ,8<br />
0 ,6<br />
0 ,4<br />
0 ,2<br />
0 ,0<br />
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0<br />
Z e it t [s ]<br />
A b le itu n g d e s F its<br />
Abbildung 8: Ableitung der Heizleistungskurve
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 13<br />
T e m p e ra tu r T [K ]<br />
0 ,8<br />
0 ,6<br />
0 ,4<br />
0 ,2<br />
0 ,0<br />
2 3 0 2 3 2 2 3 4 2 3 6 2 3 8 2 4 0 2 4 2 2 4 4 2 4 6 2 4 8 2 5 0<br />
Z e it t [s ]<br />
A b le itu n g d e s F its<br />
Abbildung 9: Vergrößerung der Ableitung der Heizleistungskurve<br />
Man liest eine Steigung von mT = (0,26 ± 0,01) K ab. Wie beim vorherigen<br />
s<br />
Versuch berechnet man:<br />
∆Q = 1,0g · 4,185 J<br />
gK<br />
· 0,26 = 1,09 ± 0,07J<br />
Dies ergibt eine Heizleistung von Q2 = 0,357 ± 0,028J pro Sekunde.<br />
Nun lässt sich wieder der Wirkungsgrad η bestimmen:<br />
η = Q2<br />
W<br />
= 11,14 ± 5,84%<br />
Mit der Heizleistung lässt sich nun die Schmelzwärme von Eis berechnen. Aus<br />
den Messwerten lässt sich eine konstante Temperatur von 0 ◦ C über einen Zeitraum<br />
von 1,5 Sekunden ermitteln. Bei einer Masse von 1g beträgt die Schmelzwärme<br />
QSchmelz = Q2 · 1,5s<br />
= 0,357 ± 0,028 J<br />
· 1,5s<br />
s<br />
= 0,536 ± 0,083J (9)<br />
Um die spezifische Wärme zu bestimmen, wird in den Messwerten die Zeit<br />
abgelesen, die es gedauert hat das Eis von -1 ◦ C auf 0 ◦ C aufzuwärmen, sie ist<br />
t = 7s. Multipliziert mit der Heizleistung ergibt das einen Wert von ∆Q = 2,856J.
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 14<br />
Mit Hilfe der Formel ∆Q = cm∆T kann nun c bestimmt werden:<br />
c = ∆Q<br />
m∆T<br />
= 0,357 J<br />
s<br />
1g · 1K<br />
= 2,856 ± 0,084 J<br />
gK<br />
(10)
Experimentelle Übungen I <strong>W1a</strong> <strong>Tenberge</strong>, Südkamp 15<br />
4 Diskussion<br />
Die Messwerte lagen im Allgemeinen innerhalb unserer Erwartungswerte. Sämtliche<br />
Werte, die unter anderem unter zur Hilfe nahme der Änderung der Temperatur<br />
des Kühlwassers berechnet wurden sind mit Vorsicht zu genießen, da hier die<br />
Schwankung nur bei ∆T = 0,4 ◦ C lag und das bei einer Genauigkeit des Messgeräts<br />
von nur 0,1 ◦ C. Zudem fiel die Temperatur nach Abschluss der Versuche<br />
nicht wie erwartet wieder ab sondern blieb bei konstant 21 ◦ C, nachdem sie nach<br />
dem Start des Motors innerhalb von Sekunden auf eben diesen Wert gestiegen<br />
war. Ein möglicher Grund könnte sein, dass das Wasser im Behälter wärmer war<br />
als das, welches sich am Anfang unseres Versuchs bereits im Schlauch befand.<br />
Beim Starten der Pumpe wäre dann das kalte Wasser im Schlauch gegen warmes<br />
Wasser aus dem Behälter getauscht worden, was die am Ende gleichbleibende<br />
Temperatur erklären würde. Dies würde aber auch bedeuten, dass die Abwärme<br />
des Motors im Leerlauf zu gering war um überhaupt eine Temperaturänderung zu<br />
bewirken, was jedwede Berechnung der Verlustleistung überflüssig machen würde,<br />
da der Motor sicherlich nicht verlustfrei arbeitete.