Experimentelle¨Ubungen I W1a - Jan-Gerd Tenberge

Experimentelle Übungen I
W1a – Stirlingmotor als Wärme-/Kältemaschine
Protokoll
1 Matrikel-Nr. 349658
2 Matrikel-Nr. 350069
Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2
17. Juni 2009

Experimentelle Übungen I W1a Tenberge, Südkamp 1
Inhaltsverzeichnis
1 Theorie 2
1.1 Wärmemenge und -kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Der Stirling-Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Der Stirlingmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Der Stirlingmotor als Kältemaschine . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Durchführung 6
2.1 Bestimmung der Reibungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Bestimmung der Kühlleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Bestimmung der Heizleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Auswertung 7
3.1 Bestimmung der Reibungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Bestimmung der Kühlleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Bestimmung der Heizleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Diskussion 15

Experimentelle Übungen I W1a Tenberge, Südkamp 2
1 Theorie
1.1 Wärmemenge und -kapazität
Zur Beschreibung des Stirling-Kreisprozesses werden einige wichtige Größen benötigt.
Dazu zählen auch die Wärmemenge Q sowie die Wärmekapazität CW . Per
Definitionem ist die Wärmemenge Q die Menge an Energie, die benötigt wird,
um 1g Wasser von 14,5 ◦ C auf 15,5 ◦ C zu erhitzen. Daraus leitet sich eine Proportionalität
zwischen der Wärmemenge und der Temperaturänderung ab:
∆Q = CW · ∆T (1)
Den Proportionalitätsfaktor CW bezeichnet man als Wärmekapazität. Diese ist
wie durch den Zusammenhang
∆Q = CW · ∆T = c · m · ∆T (2)
beschrieben über die spezifische Wärmekapazität c von der Masse abhängig.
1.2 Der Stirling-Kreisprozess
Das in Abb. 1 dargestellte (p,V)-Diagramm bezeichnet man als Stirling-Kreisprozess.
Dieser Kreisprozess verläuft in vier Schritten und endet wieder im Ausgangszustand
1. Im Schritt 1 ⇒ 2 expandiert ein abgeschlossenes Gas isotherm, also
bei konstanter Temperatur. Dazu ist eine Wärmezufuhr Q12 von Nöten, während
das Gas Energie in Form von Arbeit (W12) abgibt. Danach kühlt das Gas bei
konstantem Volumen (isochor) ab und gibt dabei die Wärme Q23 ab.
Im Schritt 3 ⇒ 4 wird das Gas isotherm komprimiert. Dabei muss die Arbeit
W34 am Gas verrichtet werden, während es die Wärmemenge Q34 abgibt. Zuletzt
wird das Gas durch Wärmezufuhr von außen (Q41) isochor erhitzt.

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1.3 Der Stirlingmotor
Abbildung 1: Stirling-Kreisprozess
Eine Realisierung des Stirling-Kreisprozesses ist der Stirling-Motor. Dieser arbeitet
wie in Abb.2 dargestellt in vier Takten. Zunächst dehnt sich die Luft im
Zylinder durch die Wärmezufuhr ∆Q12 isotherm aus. Dadurch wird von dem Gas
die Arbeit ∆W12 verrichtet.
Schwingt der Arbeitskolben um seinen Tiefpunkt, so bleibt das Volumen des
Gases nahezu konstant und es wird keine Arbeit verrichtet. Währenddessen bewegt
der Verdrängerkolben die durch die Heizwendel erhitzte Luft in den vom
Kühlwasser umflossenen Bereich des Zylinders, sodass diese die Wärmemenge
∆Q23 an den Regenerator abgibt.
Anschließend verdichtet der Arbeitskolben das Gas isotherm, wobei die Wärmemenge
∆Q34 an das Kühlwasser abgegeben wird.
Läuft der Arbeitskolben zuletzt um seinen Hochpunkt, wird wieder keine Arbeit
verrichtet, während der Verdränger die kalte Luft nach oben treibt und dabei die
Wärmemenge ∆Q41 an das Gas abgibt.
Treibt man das Schwungrad von außen an, so fungiert der Stirling-Motor als

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Wärme- bzw. Kältemaschine.
Abbildung 2: Der Stirlingmotor
1.4 Der Stirlingmotor als Kältemaschine
Im Uhrzeigersinn angetrieben, arbeitet der Stirlingmotor als Kältemaschine (s.Abb.3),
d.h. er entzieht einer anstelle der Heizwendel angebrachten Probe die Wärme Q2.
Dabei wird dem Kühlwasser die Wärmemenge Q1 zugeführt.
Abbildung 3: Der Stirlingmotor als Wärme-/ Kältemaschine
Diese setzt sich aus der vom äußeren Antrieb im Zylinder aufgebrachten Arbeit

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W und der Wärme Q2 zusammen:
Q1 = W + Q2
Treten im Zylinder Reibungsverluste auf, so ergibt sich für die Arbeit W :
W = Q1 − Q2 − WR
Dabei steht WR für die Reibungsverluste.
Die Gleichung
η = Q2
W
definiert den Wirkungsgrad der Kältemaschine. Der Stirlingmotor lässt sich durch
Umkehrung der Antriebsrichtung auch als Wärmemaschine betreiben.
(3)
(4)
(5)

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2 Durchführung
2.1 Bestimmung der Reibungsverluste
Um die Heiz- bzw. Kühlleistung des Strirlingmotors korrekt zu bestimmen, muss
man zunächst die Reibungsverluste des Gerätes ermitteln. Dazu misst man den
Volumendurchsatz des Kühlwassers, d.h. die Menge an Kühlwasser, die den Zylinderkopf
pro Zeiteinheit umfließt, indem man dem Ablauf der Kühlung eine
bestimmte Zeit lang Wasser entnimmt. Mit einem Messkolben bestimmt man die
Menge des Wassers und mit einer Stoppuhr die zugehörige Zeit.
Ist dies geschehen, betreibt man das Gerät als Heiz- oder Kühlmaschine mit
offenem Zylinderdeckel (man schaltet den Antriebsmotor mit beliebiger Umlaufrichtung
aber fester Frequenz (ca. 3 Hz) ein, lässt die für das Reagenzglas vorgesehene
Zylinderöffnung frei) und misst die maximale Temperaturänderung des
Kühlwasserablaufs. Da die Maschine nun im Leerlauf arbeitet ist eine Erwärmung
des Kühlwassers nur durch Reibungsverluste innerhalb des Kolbens bedingt.
2.2 Bestimmung der Kühlleistung
Zur Bestimmung der Kühlleistung schaltet man den Antriebsmotor ab, schließt
den Kolben und füllt etwa 1 ml destilliertes Wasser in das Reagenzglas. Startet
man den Antrieb mit der selben Frequenz wie in 3.1) im Uhrzeigersinn, so
arbeitet der Stirlingmotor als Kältemaschine. Mit dem Computer kann man die
Temperatur der Probe als Funktion der Zeit aufnehmen. Zusätzlich notiere man
sich die Temperatur des Kühlwasserablaufs zu Beginn der Messung. Ist die Probe
bis auf etwa −25 ◦ C heruntergekühlt, notiere man sich diese erneut.
2.3 Bestimmung der Heizleistung
Um die Heizleistung des Motors zu bestimmen, kehrt man lediglich die Umlaufrichtung
des Antriebs um. Der Rest der Messung verläuft analog zur Bestimmung
der Kühlleistung.

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3 Auswertung
3.1 Bestimmung der Reibungsverluste
Um den Reibungsverlust des Stirlingmotors bestimmen zu können, berechnet
man den Volumendurchsatz mit den gemessenen Daten (Volumen V und Zeit t)
wie folgt:
v = V
t
V entspricht hierbei dem Volumen des umfließenden Wassers während der Zeit t.
Aus den drei gemessenen Wertepaaren lassen sich für das Volumen und die Zeit
Mittelwerte und deren Fehler berechnen. Der dazugehörige Fehler des Volumendurchsatzes
wird wie folgt berechnet:
∆v = ∆vstat + ∆vsys = τ ·
5
i=1
(¯v − vi) 2
4
+
∆V
t
2
+
V ∆t
−
t2 2 Da bei der Volumenmessung drei Mal der gleiche Werte gemessen wurde (V =
85ml) fällt der statistische Fehler jedoch raus und es bleibt der systematische
Fehler.
Pro Sekunde fließen also VD = 4,25 ± 0,06ml Kühlwasser durch den Zylinderkolben.
Da das Einstellen der Frequenz von f ′ = 3,0Hz nicht genau machbar war, wurde
diese in einer weiteren Messreihe über eine Dauer von 30 Sekunden mittels
Fast-Fourier-Transformation (kurz: FFT) überprüft. Diese Messung ergibt eine
Frequenz von f = 3,05 ± 0,05Hz. Das Kühlwasservolumen pro Umlauf lässt sich
nun wie folgt berechnen:
VU = VD
f
Der Fehler ergibt sich über die Fehlerfortpflanzung:
∆VD 2
∆VU =
+ −
f
∆fVD
f 2
2 Dies entspricht also einem Durchsatz von (1,40 ± 0,03)g pro Umlauf bei einer
Dichte ρWasser ≈ 1 g
und einem Normaldruck.
ml
Mit der gemessenen Temperaturdiffernz ∆T = 0,4K, dem zuvor bestimmten
Durchsatz pro Umlauf des Kühlwassers und der spezifischen Wärmekapazität
lässt sich nun der Reibungsverlust bestimmen:
c = 4,185 J
gK
WR = mc∆T = 2,34J

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Mit folgendem Fehler:
∆WR =
(∆mct) 2 (∆(∆T )cm) 2 = 1,17J
3.2 Bestimmung der Kühlleistung
=⇒ WR = 2,34 ± 1,17J (6)
Wenn man die gemessenen Daten für Zeit t und Temperatur T gegeneinander
aufträgt erhält man folgendes Diagramm:
T e m p e ra tu r T [K ]
3 0
2 0
1 0
0
-1 0
-2 0
-3 0
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0
Z e it t [s ]
Abbildung 4: Temperatur T gegen Zeit t
Um nun die Kühlleistung bestimmen zu können, ermittelt man zunächst die
Steigung des Graphen in der Nähe der Raumtemperatur. Dafür lässt man die
Messwerte mit einem Polynom hohen Grades, hier wurde Grad 9 gewählt, von
Origin Pro 8 fitten (rote Linie).
Nun kann man die Ableitung der Fit-Funktion zeichnen lassen und die Steigung
an einem Punkt nah bei der Raumtemperatur ermitteln (vgl. Abb. 3.2).
Die in Abbildung 3.2 eingezeichneten blauen Linien stellen den Punkt bei Raumtemperatur
(≈ 22,5 ◦ C) dar.

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S te ig u n g m [K /s ]
0 ,0 5
0 ,0 0
-0 ,0 5
-0 ,1 0
A b le itu n g d e s P o ly n o m ie lle n
F its d e r T e m p e ra tu re n tw ic k lu n g
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0
Z e it t [s ]
Abbildung 5: Ableitung des Fits der Kühlleistungskurve
S te ig u n g m [K /s ]
0 ,0 4
0 ,0 2
0 ,0 0
-0 ,0 2
-0 ,0 4
-0 ,0 6
-0 ,0 8
-0 ,1 0
N a h b e re ic h d e r A b le itu n g
u m d ie R a u m te m p e ra tu r
0 5 1 0 1 5 2 0
Z e it t [s ]
Abbildung 6: Vergrößerung der Ableitungskurve in der Nähe der Raumtemperatur
An dem Graph der Ableitung liest man die Steigung mT = −0,06±0,01 K
s ab.
Der Fehler kommt zum Einen durch das Ablesen zustande. Außerdem wurde der

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Fehler großzügig bemessen, da der Polynomfit nicht 100%ig genau ist und einige
Arbeitsschritte durchgeführt werden mussten um schlussendlich die Steigung ablesen
zu können.
Mit dem gemessenen Volumen des Wassers in dem Reagenzglas und der Steigung
der Tangente lässt sich die Wärmemenge Q, die dem Wasser pro Sekunde entzogen
wird, wie folgt berechnen:
∆Q = cρW VW mT = cmW mT = 4,185 J
gK
· 1,0g · 0,06 = −0,251J
s
Wobei mW die Masse des Wassers im Reagenzglas ist (≈ 1g) und mT die Steigung
des Fits. Auch der zugehörige Fehler lässt sich berechnen:
∆(∆Q) = (∆mW cmT ) 2 + (∆mT cmW ) 2 = 0,04J
=⇒ ∆Q = −0,251 ± 0,04J
Bei einer Frequenz von 3,05 ± 0,2Hz ergibt das:
Q2 = ∆Q
J
= −0,082
f Umlauf
∆(∆Q) 2
mit ∆Q2 =
+ −
f
∆Q∆f
f 2
2 Somit hat die Kältemaschine eine Kühlleistung von 0,082 ± 0,014J pro Umlauf.
Um den Wirkungsgrad η der Maschine zu bestimmen muss man zunächst die
zugeführte Arbeit W berechnen:
W = Q1 − Q2 − WR
Der Reibungsverlust WR und die Kühlleistung Q2 wurde im vorherigen Abschnitt
bestimmt.
Q1 lässt sich aus der gemessenen Temperaturdifferenz und dem Volumendurchsatz
des Kühlwassers pro Umlauf wie folgt bestimmen:
Q1 = VU · ρW · c · ∆T = cmUW ∆T = 4,185 J
· 1,41g · 1,4K = 8,26J
gK
mit dem Fehler ∆Q1 = (c∆m∆T ) 2 + (cm∆(∆T )) 2 = 1,185
=⇒ Q1 = 8,26 ± 1,19J

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Nun lässt sich der Wirkungsgrad berechnen:
η = Q2
W =
Q2
Q1 − Q2 − WR
= 1,39% (7)
Der Fehler lässt sich mittels Fehlerfortpflanzung wie folgt berechnen:
mit∆W =
Der Wirkungsgrad ist also:
∆Q2 2
∆η =
+ −
W
Q2∆W
W 2
2
(∆Q1) 2 + (−∆Q2) 2 + (−∆WR) 2
η = 1,39 ± 0,46% (8)

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3.3 Bestimmung der Heizleistung
Analog zur Bestimmung der Kühlleistung wird wieder ein T-t-Diagramm erstellt.
T e m p e ra tu r T [K ]
4 0
3 0
2 0
1 0
0
-1 0
-2 0
-3 0
M e s s d a te n
P o ly n o m ie lle r F it (G ra d 9 )
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
Z e it t [s ]
Abbildung 7: Temperatur T gegen Zeit t, rote Kurve entspricht Polynomfit
Nun bestimmt man wieder anhand des Ableitungsfits die Steigung.
T e m p e ra tu r T [K ]
0 ,8
0 ,6
0 ,4
0 ,2
0 ,0
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
Z e it t [s ]
A b le itu n g d e s F its
Abbildung 8: Ableitung der Heizleistungskurve

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T e m p e ra tu r T [K ]
0 ,8
0 ,6
0 ,4
0 ,2
0 ,0
2 3 0 2 3 2 2 3 4 2 3 6 2 3 8 2 4 0 2 4 2 2 4 4 2 4 6 2 4 8 2 5 0
Z e it t [s ]
A b le itu n g d e s F its
Abbildung 9: Vergrößerung der Ableitung der Heizleistungskurve
Man liest eine Steigung von mT = (0,26 ± 0,01) K ab. Wie beim vorherigen
s
Versuch berechnet man:
∆Q = 1,0g · 4,185 J
gK
· 0,26 = 1,09 ± 0,07J
Dies ergibt eine Heizleistung von Q2 = 0,357 ± 0,028J pro Sekunde.
Nun lässt sich wieder der Wirkungsgrad η bestimmen:
η = Q2
W
= 11,14 ± 5,84%
Mit der Heizleistung lässt sich nun die Schmelzwärme von Eis berechnen. Aus
den Messwerten lässt sich eine konstante Temperatur von 0 ◦ C über einen Zeitraum
von 1,5 Sekunden ermitteln. Bei einer Masse von 1g beträgt die Schmelzwärme
QSchmelz = Q2 · 1,5s
= 0,357 ± 0,028 J
· 1,5s
s
= 0,536 ± 0,083J (9)
Um die spezifische Wärme zu bestimmen, wird in den Messwerten die Zeit
abgelesen, die es gedauert hat das Eis von -1 ◦ C auf 0 ◦ C aufzuwärmen, sie ist
t = 7s. Multipliziert mit der Heizleistung ergibt das einen Wert von ∆Q = 2,856J.

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Mit Hilfe der Formel ∆Q = cm∆T kann nun c bestimmt werden:
c = ∆Q
m∆T
= 0,357 J
s
1g · 1K
= 2,856 ± 0,084 J
gK
(10)

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4 Diskussion
Die Messwerte lagen im Allgemeinen innerhalb unserer Erwartungswerte. Sämtliche
Werte, die unter anderem unter zur Hilfe nahme der Änderung der Temperatur
des Kühlwassers berechnet wurden sind mit Vorsicht zu genießen, da hier die
Schwankung nur bei ∆T = 0,4 ◦ C lag und das bei einer Genauigkeit des Messgeräts
von nur 0,1 ◦ C. Zudem fiel die Temperatur nach Abschluss der Versuche
nicht wie erwartet wieder ab sondern blieb bei konstant 21 ◦ C, nachdem sie nach
dem Start des Motors innerhalb von Sekunden auf eben diesen Wert gestiegen
war. Ein möglicher Grund könnte sein, dass das Wasser im Behälter wärmer war
als das, welches sich am Anfang unseres Versuchs bereits im Schlauch befand.
Beim Starten der Pumpe wäre dann das kalte Wasser im Schlauch gegen warmes
Wasser aus dem Behälter getauscht worden, was die am Ende gleichbleibende
Temperatur erklären würde. Dies würde aber auch bedeuten, dass die Abwärme
des Motors im Leerlauf zu gering war um überhaupt eine Temperaturänderung zu
bewirken, was jedwede Berechnung der Verlustleistung überflüssig machen würde,
da der Motor sicherlich nicht verlustfrei arbeitete.