Experimentelle¨Ubungen I M1 – Pendel Protokoll - Jan-Gerd Tenberge

Experimentelle Übungen I M1 Tenberge, Südkamp 5
1.3.2 Freier gedämpfter Fall
Wir betrachten hier eine Dämpfung die linear, proportional zur Winkelgeschwindigkeit
ist M = −r ˙ϕ. Die Bewegungsgleichung lautet dann in Normalform:
⇒ ¨ϕ + r
J
K
˙ϕ + ϕ = 0 (15)
J
r entspricht hierbei einer Dämpfungskonstanten. Wir verwenden folgende Abkürzungen:
2ρ = r
. Die Bewegungsgleichung lautet somit:
J sowie ω2 0 = K
J
¨ϕ + 2ρ ˙ϕ + ω 2 0ϕ = 0 (16)
Als Lösungsansatz wählt man die e-Funktion ϕ(t) = c · e λt und erhält durch
zweimaliges Differenzieren:
mit der Lösung:
λ 2 + 2ρλ + ω 2 0 = 0 (17)
λ1,2 = −ρ ±
ρ 2 − ω 2 0
(18)
Nun kann man zwischen 3 verschieden starke Dämpfungen unterscheiden. Im
Versuch wird aber nur der dritte Fall behandelt:
• Bei sehr starker Dämpfung tritt der Kriechfall auf. ρ ist größer als ω0 und
somit sind die beiden Lösungen von (18) beide reel und positiv. Eingesetzt
in den Lösungsansatz erhält man zwei langsam monoton abfallende Terme,
es kommt also zu keiner Schwingung.
• Falls die Dämpfung ρ genau so groß ist wie die Eigenfrequenz kommt es
zum aperiodischem Grenzfall. Es gibt dann nur eine Lösung von (18),
die reel und positiv ist. Es muss eine zweite linear unabhängige Lösung für
die Bewegungsgleichung gefunden werden. Mit dem Ansatz
ϕ(t) = (A + Bt) · e ωt
(19)
Mit den sinnvollen Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = ϕ0 und ˙ϕ(t = 0) = 0
erhält man:
ϕ(t) = ϕ0(1 − ω0t) · e −ω0t
(20)
• Für die geforderte schwache Dämpfung also für ρ < ω0 ergibt sich mit der
Abkürzung: ω 2 = ω 2 0 − ρ 2 0:
λ1,2 = −ρ ± √ −ω 2 = −ρ ± iω (21)
Als Lösung erhält man mit den Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = ϕ0 und
˙ϕ(t = 0) = 0:
ϕ(t) = ϕ0e −ρt cos (wt + δ) (22)