Experimentelle¨Ubungen I M2 – Gekoppelte Pendel Protokoll
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1 Matrikel-Nr. 349658<br />
2 Matrikel-Nr. 350069<br />
Experimentelle Übungen I<br />
<strong>M2</strong> <strong>–</strong> <strong>Gekoppelte</strong> <strong>Pendel</strong><br />
<strong>Protokoll</strong><br />
Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2<br />
3. Dezember 2008
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 1<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Theorie 2<br />
1.1 Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.3 Schwingung gekoppelter <strong>Pendel</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.4 Der Kopplungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.4.1 Statische Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.4.2 Dynamische Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2 Durchführung und Auswertung 8<br />
2.1 Kopplung mit der dunklen Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.2 Kopplung mit der hellen Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.3 Formelvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.4 Graphisch dargestellte Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
3 Diskussion 14
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 2<br />
1 Theorie<br />
1.1 Annahmen<br />
Um die Bewegung gekoppelter <strong>Pendel</strong> untersuchen zu können, wird das Experiment<br />
mit folgenden Bedingungen durchgeführt:<br />
• Die Schwingungsbewegung der beiden <strong>Pendel</strong> erfolgt in einer Ebene.<br />
• Beide <strong>Pendel</strong> werden als identische, mathematische <strong>Pendel</strong> betrachtet; d.h.<br />
sie haben die gleiche in jeweils einem Punkt vereinigte Masse m und die<br />
gleiche Länge L.<br />
• Die Auslenkung beider <strong>Pendel</strong> ist gegenüber L so gering, dass in guter<br />
Näherung mit sin ϕ ≈ ϕ gerechnet werden kann.<br />
• Weiterhin sei die Auslenkung so gering, dass x ≈ Lϕ gilt, sodass der horizontale<br />
Abstand x aus der Ruhelage näherungsweise als Maß für die Auslenkung<br />
der <strong>Pendel</strong> herhalten kann.<br />
1.2 Bewegungsgleichungen<br />
Somit vereinfacht sich die bekannte Bewegungsgleichung des mathematischen<br />
<strong>Pendel</strong>s,<br />
mL ¨ϕ = −mg sin ϕ, (1)<br />
zu<br />
m¨x = − mg<br />
x<br />
L<br />
(2)<br />
⇔ m¨x = −D0x (3)<br />
mit D0 := mg<br />
. Die Lösung dieser harmonischen DGL, liefert:<br />
L<br />
ω0 =<br />
D0<br />
m<br />
(4)<br />
T0 = 2π mD0 (5)<br />
Um zur Bewegungsgleichung von 2 gekoppelten <strong>Pendel</strong>n zu kommen, muss die<br />
zusätzliche Kraft, die ein <strong>Pendel</strong> durch die Feder auf das andere ausübt, berücksichtigt<br />
werden. Diese ist von der Auslenkung beider <strong>Pendel</strong> abhängig. Seien<br />
dabei x1 und x2 die Auslenkungen der <strong>Pendel</strong> P1 und P2 zu einem bestimmten<br />
Zeitpunkt, so ist die Feder um das Stück<br />
x ′ 1 − x ′ 2 = l<br />
L (x1 − x2) (6)
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 3<br />
Abbildung 1: gekoppeltes <strong>Pendel</strong><br />
gedehnt, wobei l die Höhe ist, in der die Feder zwischen den beiden <strong>Pendel</strong>n angebracht<br />
ist (gemessen vom Aufhängepunkt der beiden <strong>Pendel</strong>, vgl. Abbildung 1).<br />
Damit ergibt sich nach dem Hookeschen Gesetz eine Kraft zwischen den <strong>Pendel</strong>n<br />
von<br />
F1,2 = ±D ′ F (x ′ 1 − x ′ 2) (7)<br />
Dabei ist D ′ F die Federkonstante der eingespannten Feder. Skaliert man die Federkonstante<br />
noch abhängig von der Höhe l, in der die Feder aufgehängt ist, mit<br />
, so kommt man mit Gleichung (6) auf<br />
dem Faktor l<br />
L zu DF = l<br />
L D′ F<br />
F1,2 = ±DF (x1 − x2) (8)<br />
Somit erhält man als Bewegungsgleichungen für die beiden <strong>Pendel</strong><br />
P1 : m¨x1 = −D0x1 − DF (x1 − x2) (9)<br />
P2 : m¨x2 = −D0x2 + DF (x1 − x2) (10)<br />
Um dieses System von gekoppelten Differentialgleichungen zu entkoppeln führt<br />
man folgende Variablensubstitution ein<br />
z1 := x1 − x2 (11)<br />
z2 := x1 + x2 (12)<br />
und erhält damit die entkoppelten Differentialgleichungen:<br />
<br />
¨z1 + ω 2 0 + 2DF<br />
<br />
z1<br />
m<br />
= 0 (13)<br />
¨z2 + ω 2 0z2 = 0 (14)
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 4<br />
1.3 Schwingung gekoppelter <strong>Pendel</strong><br />
Je nach Anfangsbedingung können die <strong>Pendel</strong> vollkommen verschiedene Schwingungen<br />
durchführen. Es werden zuerst zwei Spezialfälle diskutiert, die sogleich<br />
die Grundschwingungen sind, um dann zur allgemeinen Lösung zu kommen.<br />
• gleichsinnige Bewegung: In diesem Spezialfall gilt x1 = x2 und damit z1 = 0.<br />
Es schwingen also beide <strong>Pendel</strong> genau synchron mit gleicher Auslenkung<br />
und gleicher Phase, und die Bewegung wird beschrieben durch Gleichung<br />
(14). Daraus ergibt sich, dass die <strong>Pendel</strong> mit der Geschwindigkeit<br />
ωgl := ω0<br />
(15)<br />
schwingen, d.h. das System der beiden <strong>Pendel</strong> schwingt genau mit der Eigenfrequenz<br />
eines einzelnen <strong>Pendel</strong>s.<br />
• gegensinnige Bewegung: Hier schwingen die <strong>Pendel</strong> genau gegengleich mit<br />
gleicher Amplitude, und es gilt x1 = −x2 und damit z2 = 0. Also wird die<br />
Bewegung durch Gleichung (13) beschrieben, und die <strong>Pendel</strong> schwingen mit<br />
der Geschwindigkeit<br />
<br />
ωgeg := ω02 + 2DF<br />
<br />
m<br />
= ω0 1 + 2DF<br />
, (16)<br />
D0<br />
d.h. mit einer Frequenz, die größer als die Eigenfrequenz der <strong>Pendel</strong> ist.<br />
Weil in diesem Versuch eine schwache Kopplung angenommen wird, d.h.<br />
DF ≪ D0, lässt sich die Wurzel per Taylorentwicklung annähern, und ωgeg<br />
vereinfacht sich zu.<br />
ωgeg ≈ ω0(1 + DF /D0) (17)<br />
Die allgemeinen Lösungen der DGLs (13) und (14) lauten:<br />
z1 = a ′ sin ωgegt + b ′ cos ωgegt = x1 − x2 (18)<br />
z2 = a sin ωglt + b cos ωglt = x1 + x2 (19)<br />
Um zu der dritten Schwingung zu kommen, die im Experiment durchgeführt wird,<br />
werden folgende Anfangsbedingungen benutzt:<br />
x1(0) = x0 x2(0) = 0 (20)<br />
˙x1(0) = 0 ˙x2(0) = 0 (21)<br />
Das bedeutet, dass zum Zeitpunkt t = 0 beide <strong>Pendel</strong> in Ruhe sind und P1<br />
maximal ausgelenkt ist. Um nun die Anforderungen an die Geschwindigkeiten bei
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 5<br />
Abbildung 2: Anfangsbedingungen der beiden Grundschwingungen<br />
t = 0 nutzen zu können, müssen zuerst die Gleichungen (18) und (19) differenziert<br />
werden:<br />
˙x1 − ˙x2 = a ′ ωgeg cos ωgegt − b ′ ωgeg sin ωgegt (22)<br />
˙x1 + ˙x2 = aωgl cos ωglt − bωgl sin ωglt (23)<br />
Setzt man nun die Anfangsbedingungen ein, erhält man<br />
b = x0 b ′ = x0 (24)<br />
a = 0 a ′ = 0 (25)<br />
Setzt man dies in (18) und (19) ein und addiert bzw. subtrahiert diese voneinander<br />
ergibt sich die spezielle Lösung:<br />
x1 = x0<br />
2 ( cos ωgegt + cos ωglt) (26)<br />
x2 = x0<br />
2 (− cos ωgegt + cos ωglt) (27)<br />
Nach Additionstheorem kann man diese umformen zu:<br />
x1 =<br />
<br />
1<br />
x0 cos<br />
2 (ωgeg<br />
<br />
1<br />
− ωgl)t · cos<br />
2 ωgeg<br />
x2 =<br />
<br />
+ ωgl)t<br />
<br />
1<br />
x0 sin<br />
2 (ωgeg<br />
<br />
1<br />
− ωgl)t · sin<br />
2 ωgeg<br />
<br />
+ ωgl)t<br />
(28)<br />
(29)<br />
Jeweils die ersten trigonometrischen Funktionen der Lösung mit dem Argument<br />
1<br />
2 (ωgeg −ωgl)t überlagern die sich schnell verändernden zweiten trigonometrischen<br />
Funktionen mit dem Argument 1<br />
2 ωgeg + ωgl)t. Es lässt sich also die Periodendauer
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 6<br />
der eigentlichen Schwingung (schnell veränderlich) und die Periodendauer der<br />
Schwebung ablesen:<br />
T =<br />
TS =<br />
1.4 Der Kopplungsgrad<br />
1.4.1 Statische Bestimmung<br />
4π<br />
ωgeg + ωgl<br />
4π<br />
ωgeg − ωgl<br />
(30)<br />
(31)<br />
Um den Kopplungsgrad statisch zu bestimmen, misst man die Auslenkung x2<br />
des zweiten <strong>Pendel</strong>s bei einer festgelegten Auslenkung x1 des ersten <strong>Pendel</strong>s. Der<br />
Kopplungsgrad k berechnet sich jetzt über den Quotienten dieser Auslenkungen:<br />
k = x2<br />
Da im Gleichgewichtszustand der statischen Auslenkung gilt<br />
folgt mit (32):<br />
x1<br />
(32)<br />
m ¨x2 = 0 = −D0x2 − DF (x2 − x1) (33)<br />
k = x2<br />
x1<br />
1.4.2 Dynamische Bestimmung<br />
=<br />
DF<br />
D0 + DF<br />
Mit Hilfe der relativen Frequenzaufspaltung<br />
ωgeg − ωgl<br />
ωgl<br />
= ∆ω<br />
ω0<br />
und den Gleichungen für die Grundschwingungen<br />
lässt sich der Kopplungsgrad zu<br />
(34)<br />
(35)<br />
mω 2 geg = mω 2 0 + 2DF = D0 + 2DF (36)<br />
mω 2 gl = mω 2 0 = D0 (37)<br />
k =<br />
DF<br />
D0 + DF<br />
= ω2 geg − ω 2 gl<br />
ω 2 geg + ω 2 gl<br />
beschreiben. Umgerechnet auf Schwingungsdauern erhält man<br />
k = T 2 gl − T 2 geg<br />
T 2 gl + T 2 geg<br />
(38)<br />
(39)
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 7<br />
Man kann nun aus Formel (38) die relatie Frequenzaufspaltung schreiben als<br />
<br />
∆ω 1 + k<br />
= − 1 (40)<br />
1 − k<br />
ω0<br />
Wegen der vorausgesetzten schwachen Kopplung ist auch die relative Frequenzaufspaltung<br />
und damit k klein, sodass die Wurzel per Taylorentwicklung<br />
angenähert werden kann. Nach dieser lassen sich Wurzeln bis zur dritten Potenz<br />
von k folgendermaßen abschätzen:<br />
√ 1 1<br />
1 + k = 1 + k −<br />
2 8 k2 + 1<br />
16 k3<br />
1<br />
√ = 1 +<br />
1 − k 1 3<br />
k +<br />
2 8 k2 + 5<br />
16 k3<br />
Durch Multiplizieren dieser beiden Formeln erhalten wir<br />
∆ω<br />
ω0<br />
=<br />
<br />
1 + k<br />
<br />
k2 k3<br />
− + · 1 +<br />
2 8 16<br />
k<br />
<br />
3k2 5k3<br />
+ + − 1 + O(k<br />
2 8 16<br />
4 )<br />
= 1 + k 3k2 5k3<br />
+ +<br />
2 8 16<br />
+ k k2 3k3<br />
+ +<br />
2 4 16<br />
− k2<br />
8<br />
− k3<br />
16<br />
+ k3<br />
16<br />
− 1 + O(k 4 )<br />
= k + k2<br />
2<br />
+ k3<br />
2 + O(k4 ) = ∆ω<br />
ω0<br />
(41)<br />
(42)<br />
(43)
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 8<br />
2 Durchführung und Auswertung<br />
Die beiden <strong>Pendel</strong> sind wie in der Theorie unter “Annahmen“ beschrieben aufgebaut.<br />
Neben einem der <strong>Pendel</strong> steht ein Ultraschall-Entfernungssensor, mit dem<br />
wir die Bewegung aufnehmen können.<br />
1. Um eine der Annahmen zu kontrollieren, haben wir beide <strong>Pendel</strong> ohne Federkopplung<br />
um x ausgelenkt und gleichzeitig schwingen lassen. Diese waren<br />
selbst nach einer Minute noch in Phase, sodass wir von zwei identischen<br />
<strong>Pendel</strong>n ausgehen können.<br />
2. Mit verschiedenen Kopplungen wird der Kopplungsgrad k statisch bestimmt,<br />
indem ein <strong>Pendel</strong> um x1 ausgelenkt wird und die Auslenkung x2 von dem<br />
anderen <strong>Pendel</strong> gemessen wird. Der Quotient beschreibt k.<br />
3. Mit den gleichen Kopplungen werden die <strong>Pendel</strong> zu den beiden Grundschwingungen<br />
angeregt und daraus werden die Periodenzeiten Tgl und Tgeg<br />
bestimmt.<br />
4. Ebenso wird eine Schwebung angeregt und die Periodenzeit der Schwebung<br />
TS bestimmt.<br />
Durch die Schwingung ohne Kopplung wird die Schwingungsdauer T0 durch Messung<br />
mit der Stoppuhr von 10 Perioden bestimmt zu: 10T0 = (24,80 ± 0,5)s ⇒<br />
T0 = (2,48 ± 0,05)s<br />
Nun werden 6 verschiedene Kopplungen mit 2 verschiedenen Federn realisiert,<br />
indem die Feder in verschieden Abständen l zum Aufhängepunkt befestigt<br />
werden.<br />
2.1 Kopplung mit der dunklen Feder<br />
Kopplungsgrad<br />
Die Tabelle 1 zeigt die Werte bei der statischen Bestimmung von k. Die Ableseungenauigkeit<br />
von x liegt bei ±0,1cm. Der Fehler des Kopplungsgrades wurde<br />
per Fehlerfortpflanzung berechnet.<br />
l in [cm] x1 [cm] ± 0,1cm x2 [cm] ± 0,1cm k ∆k<br />
111 20 4,6 0,23 0,005<br />
131 20 6,2 0,31 0,005<br />
153 20 7,7 0,39 0,005<br />
Tabelle 1: Statisch bestimmter Kopplungsgrad mit dunkler Feder
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 9<br />
Als nächstes werden die Werte der Periodenzeiten der Grundschwingungen<br />
aufgelistet (Tabelle 2 und 3). Die Periodenzeit kann man auf eine halbe Zehntelsekunde<br />
genau bestimmen, da zehn Perioden gemessen wurden und sich der<br />
Fehler so von einer halben Sekunde verkleinert.<br />
l [cm] Tgl [s] ∆Tgl [s] ωgl [1/s] ∆ωgl [1/s]<br />
111 2,47 0,05 2,55 0,10<br />
131 2,46 0,05 2,55 0,10<br />
153 2,47 0,05 2,55 0,10<br />
Tabelle 2: Periodenzeit und Kreisfrequenz der gleichsinnigen Grundschwingung<br />
l [cm] Tgeg [s] ∆Tgeg [s] ωgeg [1/s] ∆ωgeg [1/s]<br />
111 1,93 0,05 3,26 0,17<br />
131 1,77 0,05 3,56 0,20<br />
153 1,63 0,05 3,85 0,24<br />
Tabelle 3: Periodenzeit und Kreisfrequenz der gegensinnigen Grundschwingung<br />
Die experimentellen Werte der Schwebung und der berechnete Wert zeigt<br />
Tabelle 4. Der Fehler der Periodenzeit TS ändert sich hierbei, da unterschiedlich<br />
viele Perioden gemessen wurden; der Fehler des berechneten Wertes ist über<br />
Fehlerfortpflanzung bestimmt worden.<br />
l [cm] TS [s] ∆TS [s] T (berechnet)<br />
S [s] ∆T (berechnet)<br />
111 17,39 0,25 17,62<br />
S [s]<br />
4,89<br />
131 12,63 0,10 12,51 2,83<br />
153 9,65 0,17 9,50 1,86<br />
Tabelle 4: Schwebungsdauer experimentell bestimmt und berechnet aus der<br />
Grundschwingung<br />
Nun lässt sich die Frequenzaufspaltung ∆ω<br />
ω0<br />
l [cm]<br />
111<br />
∆ω<br />
ω0<br />
0,28<br />
∆ω ∆ ω0<br />
0,08<br />
131 0,39 0,10<br />
153 0,51 0,11<br />
= ωgeg−ωgl<br />
ωgl<br />
Tabelle 5: Frequenzaufspaltung (dunkle Feder)<br />
berechnen, Tabelle 5:
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 10<br />
2.2 Kopplung mit der hellen Feder<br />
Die Tabelle 6 zeigt analog zu der Kopplung mit der dunklen Feder die Werte bei<br />
der statischen Bestimmung von k:<br />
l [cm] ±0,1cm x1 [cm] ±0,1cm x2 [cm] ±0,1cm k ∆k<br />
111 20 2,5 0,13 0,005<br />
131 20 3,4 0,17 0,005<br />
153 20 4,4 0,22 0,005<br />
Tabelle 6: Statisch bestimmter Kopplungsgrad mit heller Feder<br />
Als nächstes werden wieder die Werte der Periodenzeiten der Grundschwingungen<br />
aufgelistet (Tabelle 7 und 8):<br />
l [cm] Tgl [s] ∆Tgl [s] ωgl [1/s] ∆ωgl [1/s]<br />
111 2,47 0,05 2,55 0,10<br />
131 2,47 0,05 2,54 0,10<br />
153 2,48 0,05 2,54 0,10<br />
Tabelle 7: Periodenzeit und Kreisfrequenz der gleichsinnigen Grundschwingung<br />
mit heller Feder<br />
l [cm] Tgeg [s] ∆Tgeg [s] ωgeg [1/s] ∆ωgeg [1/s]<br />
111 2,15 0,05 2,92 0,14<br />
131 2,06 0,05 3,05 0,15<br />
153 1,95 0,05 3,22 0,17<br />
Tabelle 8: Periodenzeit und Kreisfrequenz der gegensinnigen Grundschwingung<br />
mit heller Feder<br />
Die experimentellen Werte der Schwebung und der berechnete Wert zeigt<br />
Tabelle 9:<br />
l [cm] TS [s] ∆TS [s] T (berechnet)<br />
S [s] ∆T (berechnet)<br />
111 35,06 0,5 34,39<br />
S [s]<br />
16,03<br />
131 24,94 0,5 24,69 8,75<br />
153 18,45 0,25 18,30 5,18<br />
Tabelle 9: Schwebungsdauer experimentell bestimmt und berechnet aus der<br />
Grundschwingung (helle Feder)<br />
Nun lässt sich die Frequenzaufspaltung ∆ω<br />
ω0<br />
berechnen, Tabelle 10:
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 11<br />
2.3 Formelvergleich<br />
l [cm]<br />
111<br />
∆ω<br />
ω0<br />
0,14<br />
∆ω ∆ ω0<br />
0,08<br />
131 0,20 0,10<br />
153 0,27 0,11<br />
Tabelle 10: Frequenzaufspaltung (helle Feder)<br />
Wir sollen die Formeln (33) und (36) aus dem Praktikumsbegleitheft miteinander<br />
vergleichen. Formel (36) lautet k = k + 1<br />
2 k2 + 1<br />
2 k3 und Formel (33) k =<br />
<br />
1+k − 1. 1−k<br />
Um die beiden Formeln aussagekräftig vergleichen zu können, haben wir zunächst<br />
die Werte der beiden Formeln für k = 0,1; 0,2...0,9 berechnet und in unten stehender<br />
Tabelle 11 aufgetragen.<br />
k Formel (36) Formel (33)<br />
0,000 0,000 0,000<br />
0,100 0,106 0,106<br />
0,200 0,224 0,224<br />
0,300 0,359 0,363<br />
0,400 0,512 0,528<br />
0,500 0,688 0,732<br />
0,600 0,888 1,000<br />
0,700 1,117 1,380<br />
0,800 1,376 2,000<br />
0,900 1,670 3,359<br />
Tabelle 11: Werte für die Formeln (36) und (33) aus dem Praktikumsbegleitheft<br />
S. 22<br />
Anschließend haben wir den Quotienten der Werte beider Formeln gebildet<br />
und in einem Diagramm (Abbildung 3) gegen k aufgetragen:
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 12<br />
Q u o tie n t<br />
1 ,1<br />
1 ,0<br />
0 ,9<br />
0 ,8<br />
0 ,7<br />
0 ,6<br />
0 ,5<br />
0 ,4<br />
0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0<br />
Abbildung 3: Formelvergleich - Quotient gegen k<br />
An diesem Diagramm kann man gut erkennen, dass die Näherung der Formel<br />
für kleine k’s noch sehr gut funktioniert. Bis zu dem Wert k = 0,58 liegt der<br />
die Abweichung unter 10%. Da unser größter gemessener Wert noch kleiner ist,<br />
können wir die Näherung also sehr gut für unser Experiment verwenden.<br />
2.4 Graphisch dargestellte Schwebung<br />
Mit dem Ultraschall-Entfernungssensor ist unter anderem diese Schwebung aufgenommen<br />
worden:<br />
k
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 13<br />
A b s ta n d v o m M e s s g e ra e t [m ]<br />
0 ,6<br />
0 ,5<br />
0 ,4<br />
0 ,3<br />
0 ,2<br />
8 ,8 1 3 ,2 1 7 ,6 2 1 ,9 2 6 ,3 3 0 ,7 3 5 ,1 3 9 ,5 4 3 ,9 4 8 ,3<br />
Z e it [s ]<br />
Abbildung 4: Schwebung<br />
Anhand der Hilfslinien, die einen Abstand von 2,2s zueinander haben, kann<br />
man den Phasensprung beim Nulldurchgang der Schwebung sehr gut erkennen.<br />
Die Periodenzeit T beträgt in diesem Fall 2,2s; TS = (43,9 − 6,6)s = 18,65s.
Experimentelle Übungen I <strong>M2</strong> Tenberge, Südkamp 14<br />
3 Diskussion<br />
Die Versuchsergebnisse lassen in diesem Falle nur wenig Diskussionen zu, da es<br />
sich im Allgemeinen um direkt gemessene Größen oder daraus durch elementare<br />
Rechenoperationen gewonnene Werte handelt. Bei der Versuchsdurchführung hingegen<br />
ist erstaunlicherweise festzustellen, dass die Messung mit Hilfe der Stoppuhr<br />
wesentlich genauer und sicherer erfolgen konnte als die Computer gestützte Auswertung<br />
mit dem Ultraschallmessgerät dies zuließ. Wir haben zu diesem Zweck<br />
jeweils beide parallel mit je einer Stoppuhr gemessen und die Zeiten anschließend<br />
gemittelt, jeder Messwert im <strong>Protokoll</strong> entspricht also einem Mittelwert aus zwei<br />
unabhängigen Messungen. Wir haben zur Berechnung unserer Werte und Erstellung<br />
unserer Diagramme und Tabellen ausschließlich die mit der Hand bestimmten<br />
Zeiten zu Rate gezogen und damit sehr zuverläsige Werte erreicht, lediglich<br />
die Darstellung der Schwebung (Abb. 4) wurde mit dem Computer aufgezeichnet.