Experimentelle¨Ubungen I M2 – Gekoppelte Pendel Protokoll

1 Matrikel-Nr. 349658
2 Matrikel-Nr. 350069
Experimentelle Übungen I
M2 – Gekoppelte Pendel
Protokoll
Jan-Gerd Tenberge 1 Tobias Südkamp 2
3. Dezember 2008

Experimentelle Übungen I M2 Tenberge, Südkamp 1
Inhaltsverzeichnis
1 Theorie 2
1.1 Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Schwingung gekoppelter Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Der Kopplungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Statische Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Dynamische Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Durchführung und Auswertung 8
2.1 Kopplung mit der dunklen Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Kopplung mit der hellen Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Formelvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Graphisch dargestellte Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Diskussion 14

Experimentelle Übungen I M2 Tenberge, Südkamp 2
1 Theorie
1.1 Annahmen
Um die Bewegung gekoppelter Pendel untersuchen zu können, wird das Experiment
mit folgenden Bedingungen durchgeführt:
• Die Schwingungsbewegung der beiden Pendel erfolgt in einer Ebene.
• Beide Pendel werden als identische, mathematische Pendel betrachtet; d.h.
sie haben die gleiche in jeweils einem Punkt vereinigte Masse m und die
gleiche Länge L.
• Die Auslenkung beider Pendel ist gegenüber L so gering, dass in guter
Näherung mit sin ϕ ≈ ϕ gerechnet werden kann.
• Weiterhin sei die Auslenkung so gering, dass x ≈ Lϕ gilt, sodass der horizontale
Abstand x aus der Ruhelage näherungsweise als Maß für die Auslenkung
der Pendel herhalten kann.
1.2 Bewegungsgleichungen
Somit vereinfacht sich die bekannte Bewegungsgleichung des mathematischen
Pendels,
mL ¨ϕ = −mg sin ϕ, (1)
zu
m¨x = − mg
x
L
(2)
⇔ m¨x = −D0x (3)
mit D0 := mg
. Die Lösung dieser harmonischen DGL, liefert:
L
ω0 =
D0
m
(4)
T0 = 2π mD0 (5)
Um zur Bewegungsgleichung von 2 gekoppelten Pendeln zu kommen, muss die
zusätzliche Kraft, die ein Pendel durch die Feder auf das andere ausübt, berücksichtigt
werden. Diese ist von der Auslenkung beider Pendel abhängig. Seien
dabei x1 und x2 die Auslenkungen der Pendel P1 und P2 zu einem bestimmten
Zeitpunkt, so ist die Feder um das Stück
x ′ 1 − x ′ 2 = l
L (x1 − x2) (6)

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Abbildung 1: gekoppeltes Pendel
gedehnt, wobei l die Höhe ist, in der die Feder zwischen den beiden Pendeln angebracht
ist (gemessen vom Aufhängepunkt der beiden Pendel, vgl. Abbildung 1).
Damit ergibt sich nach dem Hookeschen Gesetz eine Kraft zwischen den Pendeln
von
F1,2 = ±D ′ F (x ′ 1 − x ′ 2) (7)
Dabei ist D ′ F die Federkonstante der eingespannten Feder. Skaliert man die Federkonstante
noch abhängig von der Höhe l, in der die Feder aufgehängt ist, mit
, so kommt man mit Gleichung (6) auf
dem Faktor l
L zu DF = l
L D′ F
F1,2 = ±DF (x1 − x2) (8)
Somit erhält man als Bewegungsgleichungen für die beiden Pendel
P1 : m¨x1 = −D0x1 − DF (x1 − x2) (9)
P2 : m¨x2 = −D0x2 + DF (x1 − x2) (10)
Um dieses System von gekoppelten Differentialgleichungen zu entkoppeln führt
man folgende Variablensubstitution ein
z1 := x1 − x2 (11)
z2 := x1 + x2 (12)
und erhält damit die entkoppelten Differentialgleichungen:
¨z1 + ω 2 0 + 2DF
z1
m
= 0 (13)
¨z2 + ω 2 0z2 = 0 (14)

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1.3 Schwingung gekoppelter Pendel
Je nach Anfangsbedingung können die Pendel vollkommen verschiedene Schwingungen
durchführen. Es werden zuerst zwei Spezialfälle diskutiert, die sogleich
die Grundschwingungen sind, um dann zur allgemeinen Lösung zu kommen.
• gleichsinnige Bewegung: In diesem Spezialfall gilt x1 = x2 und damit z1 = 0.
Es schwingen also beide Pendel genau synchron mit gleicher Auslenkung
und gleicher Phase, und die Bewegung wird beschrieben durch Gleichung
(14). Daraus ergibt sich, dass die Pendel mit der Geschwindigkeit
ωgl := ω0
(15)
schwingen, d.h. das System der beiden Pendel schwingt genau mit der Eigenfrequenz
eines einzelnen Pendels.
• gegensinnige Bewegung: Hier schwingen die Pendel genau gegengleich mit
gleicher Amplitude, und es gilt x1 = −x2 und damit z2 = 0. Also wird die
Bewegung durch Gleichung (13) beschrieben, und die Pendel schwingen mit
der Geschwindigkeit
ωgeg := ω02 + 2DF
m
= ω0 1 + 2DF
, (16)
D0
d.h. mit einer Frequenz, die größer als die Eigenfrequenz der Pendel ist.
Weil in diesem Versuch eine schwache Kopplung angenommen wird, d.h.
DF ≪ D0, lässt sich die Wurzel per Taylorentwicklung annähern, und ωgeg
vereinfacht sich zu.
ωgeg ≈ ω0(1 + DF /D0) (17)
Die allgemeinen Lösungen der DGLs (13) und (14) lauten:
z1 = a ′ sin ωgegt + b ′ cos ωgegt = x1 − x2 (18)
z2 = a sin ωglt + b cos ωglt = x1 + x2 (19)
Um zu der dritten Schwingung zu kommen, die im Experiment durchgeführt wird,
werden folgende Anfangsbedingungen benutzt:
x1(0) = x0 x2(0) = 0 (20)
˙x1(0) = 0 ˙x2(0) = 0 (21)
Das bedeutet, dass zum Zeitpunkt t = 0 beide Pendel in Ruhe sind und P1
maximal ausgelenkt ist. Um nun die Anforderungen an die Geschwindigkeiten bei

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Abbildung 2: Anfangsbedingungen der beiden Grundschwingungen
t = 0 nutzen zu können, müssen zuerst die Gleichungen (18) und (19) differenziert
werden:
˙x1 − ˙x2 = a ′ ωgeg cos ωgegt − b ′ ωgeg sin ωgegt (22)
˙x1 + ˙x2 = aωgl cos ωglt − bωgl sin ωglt (23)
Setzt man nun die Anfangsbedingungen ein, erhält man
b = x0 b ′ = x0 (24)
a = 0 a ′ = 0 (25)
Setzt man dies in (18) und (19) ein und addiert bzw. subtrahiert diese voneinander
ergibt sich die spezielle Lösung:
x1 = x0
2 ( cos ωgegt + cos ωglt) (26)
x2 = x0
2 (− cos ωgegt + cos ωglt) (27)
Nach Additionstheorem kann man diese umformen zu:
x1 =
1
x0 cos
2 (ωgeg
1
− ωgl)t · cos
2 ωgeg
x2 =
+ ωgl)t
1
x0 sin
2 (ωgeg
1
− ωgl)t · sin
2 ωgeg
+ ωgl)t
(28)
(29)
Jeweils die ersten trigonometrischen Funktionen der Lösung mit dem Argument
1
2 (ωgeg −ωgl)t überlagern die sich schnell verändernden zweiten trigonometrischen
Funktionen mit dem Argument 1
2 ωgeg + ωgl)t. Es lässt sich also die Periodendauer

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der eigentlichen Schwingung (schnell veränderlich) und die Periodendauer der
Schwebung ablesen:
T =
TS =
1.4 Der Kopplungsgrad
1.4.1 Statische Bestimmung
4π
ωgeg + ωgl
4π
ωgeg − ωgl
(30)
(31)
Um den Kopplungsgrad statisch zu bestimmen, misst man die Auslenkung x2
des zweiten Pendels bei einer festgelegten Auslenkung x1 des ersten Pendels. Der
Kopplungsgrad k berechnet sich jetzt über den Quotienten dieser Auslenkungen:
k = x2
Da im Gleichgewichtszustand der statischen Auslenkung gilt
folgt mit (32):
x1
(32)
m ¨x2 = 0 = −D0x2 − DF (x2 − x1) (33)
k = x2
x1
1.4.2 Dynamische Bestimmung
=
DF
D0 + DF
Mit Hilfe der relativen Frequenzaufspaltung
ωgeg − ωgl
ωgl
= ∆ω
ω0
und den Gleichungen für die Grundschwingungen
lässt sich der Kopplungsgrad zu
(34)
(35)
mω 2 geg = mω 2 0 + 2DF = D0 + 2DF (36)
mω 2 gl = mω 2 0 = D0 (37)
k =
DF
D0 + DF
= ω2 geg − ω 2 gl
ω 2 geg + ω 2 gl
beschreiben. Umgerechnet auf Schwingungsdauern erhält man
k = T 2 gl − T 2 geg
T 2 gl + T 2 geg
(38)
(39)

Experimentelle Übungen I M2 Tenberge, Südkamp 7
Man kann nun aus Formel (38) die relatie Frequenzaufspaltung schreiben als
∆ω 1 + k
= − 1 (40)
1 − k
ω0
Wegen der vorausgesetzten schwachen Kopplung ist auch die relative Frequenzaufspaltung
und damit k klein, sodass die Wurzel per Taylorentwicklung
angenähert werden kann. Nach dieser lassen sich Wurzeln bis zur dritten Potenz
von k folgendermaßen abschätzen:
√ 1 1
1 + k = 1 + k −
2 8 k2 + 1
16 k3
1
√ = 1 +
1 − k 1 3
k +
2 8 k2 + 5
16 k3
Durch Multiplizieren dieser beiden Formeln erhalten wir
∆ω
ω0
=
1 + k
k2 k3
− + · 1 +
2 8 16
k
3k2 5k3
+ + − 1 + O(k
2 8 16
4 )
= 1 + k 3k2 5k3
+ +
2 8 16
+ k k2 3k3
+ +
2 4 16
− k2
8
− k3
16
+ k3
16
− 1 + O(k 4 )
= k + k2
2
+ k3
2 + O(k4 ) = ∆ω
ω0
(41)
(42)
(43)

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2 Durchführung und Auswertung
Die beiden Pendel sind wie in der Theorie unter “Annahmen“ beschrieben aufgebaut.
Neben einem der Pendel steht ein Ultraschall-Entfernungssensor, mit dem
wir die Bewegung aufnehmen können.
1. Um eine der Annahmen zu kontrollieren, haben wir beide Pendel ohne Federkopplung
um x ausgelenkt und gleichzeitig schwingen lassen. Diese waren
selbst nach einer Minute noch in Phase, sodass wir von zwei identischen
Pendeln ausgehen können.
2. Mit verschiedenen Kopplungen wird der Kopplungsgrad k statisch bestimmt,
indem ein Pendel um x1 ausgelenkt wird und die Auslenkung x2 von dem
anderen Pendel gemessen wird. Der Quotient beschreibt k.
3. Mit den gleichen Kopplungen werden die Pendel zu den beiden Grundschwingungen
angeregt und daraus werden die Periodenzeiten Tgl und Tgeg
bestimmt.
4. Ebenso wird eine Schwebung angeregt und die Periodenzeit der Schwebung
TS bestimmt.
Durch die Schwingung ohne Kopplung wird die Schwingungsdauer T0 durch Messung
mit der Stoppuhr von 10 Perioden bestimmt zu: 10T0 = (24,80 ± 0,5)s ⇒
T0 = (2,48 ± 0,05)s
Nun werden 6 verschiedene Kopplungen mit 2 verschiedenen Federn realisiert,
indem die Feder in verschieden Abständen l zum Aufhängepunkt befestigt
werden.
2.1 Kopplung mit der dunklen Feder
Kopplungsgrad
Die Tabelle 1 zeigt die Werte bei der statischen Bestimmung von k. Die Ableseungenauigkeit
von x liegt bei ±0,1cm. Der Fehler des Kopplungsgrades wurde
per Fehlerfortpflanzung berechnet.
l in [cm] x1 [cm] ± 0,1cm x2 [cm] ± 0,1cm k ∆k
111 20 4,6 0,23 0,005
131 20 6,2 0,31 0,005
153 20 7,7 0,39 0,005
Tabelle 1: Statisch bestimmter Kopplungsgrad mit dunkler Feder

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Als nächstes werden die Werte der Periodenzeiten der Grundschwingungen
aufgelistet (Tabelle 2 und 3). Die Periodenzeit kann man auf eine halbe Zehntelsekunde
genau bestimmen, da zehn Perioden gemessen wurden und sich der
Fehler so von einer halben Sekunde verkleinert.
l [cm] Tgl [s] ∆Tgl [s] ωgl [1/s] ∆ωgl [1/s]
111 2,47 0,05 2,55 0,10
131 2,46 0,05 2,55 0,10
153 2,47 0,05 2,55 0,10
Tabelle 2: Periodenzeit und Kreisfrequenz der gleichsinnigen Grundschwingung
l [cm] Tgeg [s] ∆Tgeg [s] ωgeg [1/s] ∆ωgeg [1/s]
111 1,93 0,05 3,26 0,17
131 1,77 0,05 3,56 0,20
153 1,63 0,05 3,85 0,24
Tabelle 3: Periodenzeit und Kreisfrequenz der gegensinnigen Grundschwingung
Die experimentellen Werte der Schwebung und der berechnete Wert zeigt
Tabelle 4. Der Fehler der Periodenzeit TS ändert sich hierbei, da unterschiedlich
viele Perioden gemessen wurden; der Fehler des berechneten Wertes ist über
Fehlerfortpflanzung bestimmt worden.
l [cm] TS [s] ∆TS [s] T (berechnet)
S [s] ∆T (berechnet)
111 17,39 0,25 17,62
S [s]
4,89
131 12,63 0,10 12,51 2,83
153 9,65 0,17 9,50 1,86
Tabelle 4: Schwebungsdauer experimentell bestimmt und berechnet aus der
Grundschwingung
Nun lässt sich die Frequenzaufspaltung ∆ω
ω0
l [cm]
111
∆ω
ω0
0,28
∆ω ∆ ω0
0,08
131 0,39 0,10
153 0,51 0,11
= ωgeg−ωgl
ωgl
Tabelle 5: Frequenzaufspaltung (dunkle Feder)
berechnen, Tabelle 5:

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2.2 Kopplung mit der hellen Feder
Die Tabelle 6 zeigt analog zu der Kopplung mit der dunklen Feder die Werte bei
der statischen Bestimmung von k:
l [cm] ±0,1cm x1 [cm] ±0,1cm x2 [cm] ±0,1cm k ∆k
111 20 2,5 0,13 0,005
131 20 3,4 0,17 0,005
153 20 4,4 0,22 0,005
Tabelle 6: Statisch bestimmter Kopplungsgrad mit heller Feder
Als nächstes werden wieder die Werte der Periodenzeiten der Grundschwingungen
aufgelistet (Tabelle 7 und 8):
l [cm] Tgl [s] ∆Tgl [s] ωgl [1/s] ∆ωgl [1/s]
111 2,47 0,05 2,55 0,10
131 2,47 0,05 2,54 0,10
153 2,48 0,05 2,54 0,10
Tabelle 7: Periodenzeit und Kreisfrequenz der gleichsinnigen Grundschwingung
mit heller Feder
l [cm] Tgeg [s] ∆Tgeg [s] ωgeg [1/s] ∆ωgeg [1/s]
111 2,15 0,05 2,92 0,14
131 2,06 0,05 3,05 0,15
153 1,95 0,05 3,22 0,17
Tabelle 8: Periodenzeit und Kreisfrequenz der gegensinnigen Grundschwingung
mit heller Feder
Die experimentellen Werte der Schwebung und der berechnete Wert zeigt
Tabelle 9:
l [cm] TS [s] ∆TS [s] T (berechnet)
S [s] ∆T (berechnet)
111 35,06 0,5 34,39
S [s]
16,03
131 24,94 0,5 24,69 8,75
153 18,45 0,25 18,30 5,18
Tabelle 9: Schwebungsdauer experimentell bestimmt und berechnet aus der
Grundschwingung (helle Feder)
Nun lässt sich die Frequenzaufspaltung ∆ω
ω0
berechnen, Tabelle 10:

Experimentelle Übungen I M2 Tenberge, Südkamp 11
2.3 Formelvergleich
l [cm]
111
∆ω
ω0
0,14
∆ω ∆ ω0
0,08
131 0,20 0,10
153 0,27 0,11
Tabelle 10: Frequenzaufspaltung (helle Feder)
Wir sollen die Formeln (33) und (36) aus dem Praktikumsbegleitheft miteinander
vergleichen. Formel (36) lautet k = k + 1
2 k2 + 1
2 k3 und Formel (33) k =
1+k − 1. 1−k
Um die beiden Formeln aussagekräftig vergleichen zu können, haben wir zunächst
die Werte der beiden Formeln für k = 0,1; 0,2...0,9 berechnet und in unten stehender
Tabelle 11 aufgetragen.
k Formel (36) Formel (33)
0,000 0,000 0,000
0,100 0,106 0,106
0,200 0,224 0,224
0,300 0,359 0,363
0,400 0,512 0,528
0,500 0,688 0,732
0,600 0,888 1,000
0,700 1,117 1,380
0,800 1,376 2,000
0,900 1,670 3,359
Tabelle 11: Werte für die Formeln (36) und (33) aus dem Praktikumsbegleitheft
S. 22
Anschließend haben wir den Quotienten der Werte beider Formeln gebildet
und in einem Diagramm (Abbildung 3) gegen k aufgetragen:

Experimentelle Übungen I M2 Tenberge, Südkamp 12
Q u o tie n t
1 ,1
1 ,0
0 ,9
0 ,8
0 ,7
0 ,6
0 ,5
0 ,4
0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0
Abbildung 3: Formelvergleich - Quotient gegen k
An diesem Diagramm kann man gut erkennen, dass die Näherung der Formel
für kleine k’s noch sehr gut funktioniert. Bis zu dem Wert k = 0,58 liegt der
die Abweichung unter 10%. Da unser größter gemessener Wert noch kleiner ist,
können wir die Näherung also sehr gut für unser Experiment verwenden.
2.4 Graphisch dargestellte Schwebung
Mit dem Ultraschall-Entfernungssensor ist unter anderem diese Schwebung aufgenommen
worden:
k

Experimentelle Übungen I M2 Tenberge, Südkamp 13
A b s ta n d v o m M e s s g e ra e t [m ]
0 ,6
0 ,5
0 ,4
0 ,3
0 ,2
8 ,8 1 3 ,2 1 7 ,6 2 1 ,9 2 6 ,3 3 0 ,7 3 5 ,1 3 9 ,5 4 3 ,9 4 8 ,3
Z e it [s ]
Abbildung 4: Schwebung
Anhand der Hilfslinien, die einen Abstand von 2,2s zueinander haben, kann
man den Phasensprung beim Nulldurchgang der Schwebung sehr gut erkennen.
Die Periodenzeit T beträgt in diesem Fall 2,2s; TS = (43,9 − 6,6)s = 18,65s.

Experimentelle Übungen I M2 Tenberge, Südkamp 14
3 Diskussion
Die Versuchsergebnisse lassen in diesem Falle nur wenig Diskussionen zu, da es
sich im Allgemeinen um direkt gemessene Größen oder daraus durch elementare
Rechenoperationen gewonnene Werte handelt. Bei der Versuchsdurchführung hingegen
ist erstaunlicherweise festzustellen, dass die Messung mit Hilfe der Stoppuhr
wesentlich genauer und sicherer erfolgen konnte als die Computer gestützte Auswertung
mit dem Ultraschallmessgerät dies zuließ. Wir haben zu diesem Zweck
jeweils beide parallel mit je einer Stoppuhr gemessen und die Zeiten anschließend
gemittelt, jeder Messwert im Protokoll entspricht also einem Mittelwert aus zwei
unabhängigen Messungen. Wir haben zur Berechnung unserer Werte und Erstellung
unserer Diagramme und Tabellen ausschließlich die mit der Hand bestimmten
Zeiten zu Rate gezogen und damit sehr zuverläsige Werte erreicht, lediglich
die Darstellung der Schwebung (Abb. 4) wurde mit dem Computer aufgezeichnet.