Effiziente Algorithmen (SS11)

Effiziente Algorithmen (SS11)
Übungsblatt 4
Prof. A. Schulz Abgabe: 13.05.2011 14:00 Uhr
Thomas Kamps Briefkasten 96
Alle Antworten müssen begründet werden, bzw. der Lösungsweg muss nachvollziehbar
sein. Quellen sind anzugeben (auch aus dem Internet). Wenn Aufgaben
in Gruppenarbeit gelöst wurden, geben Sie alle Mitarbeiter an. Alle Laufzeiten
müssen bewiesen werden. Finden Sie Algorithmen mit schlechterer Laufzeit als
die geforderte, kann es dennoch einen Teil der Punkte geben.
Aufgabe 12 Präfixfunktion (4 Punkte)
Wir betrachten ein unendliches Wort w, welches durch eine Funktion ω : N → {0, 1} beschrieben
wird. Das heißt, w[i] := ω(i).
(a) Sei w1 nach folgendem Schema definiert: w ist die Konkatenation von Wörtern u1, u2, . . . ,
wobei
1
ui :=
i 0
wenn i ungerade,
i wenn i gerade.
Demnach beginnt w1 mit
100111000011111000000111111100000000 . . .
Bestimmen Sie die Präfixfunktion von w1 durch Angabe einer Funktion π : N → N.
(b) Sei w2 definiert als die Konkatenation von 01-Wörtern. Der Anfang von w2 lautet also
010101010101010101010101010101010101 . . .
Bestimmen Sie die iterierte Präfixfunktion von w2 durch Angabe einer Funktion
π ∗ : N → P(N) 1 .
Aufgabe 13 Knuth-Morris-Pratt für Bäume(6 Punkte)
Wir betrachten die folgende Modifikation des String Matching problems. Sei T ein Baum
mit ausgezeichneter Wurzel und n Knoten. Wir orientieren die Kanten in T so, dass jede
Kante auf den Knoten zeigt, der weiter von der Wurzel entfernt ist. Die Knoten aus T sind
mit Zeichen aus Σ beschriftet. Wir sagen, dass ein Treffer am Knoten v vorliegt, wenn es
einen gerichteten Pfad von v aus startend gibt, dessen Beschriftung (Zeichen des Pfades der
Reihenfolge nach gelesen) dem Suchmusters P ∈ Σ ∗ entspricht.
Wandeln Sie den Algorithmus von Knuth, Morris und Pratt so um, dass alle Treffer in T in
O(n + m) Zeit gefunden werden, wobei m = |P |.
1 P(X) bezeichnet die Potenzmenge von X, also die Menge aller Teilmengen von X

Übungsblatt 4 2
o
n
i
l
Ein Baum T mit einem Treffer für P = ear.
Aufgabe 14 Anzahl der Alignment Lösungen (6 Punkte)
In der Vorlesung haben wir gelernt, wie man mit Dynamischer Programmierung das (globale)
(Alignment) zweier Wörter X, Y in O(|X| · |Y |) Zeit bestimmt. Im Allgemeinen ist das
” Alignment“nicht eindeutig. Modifizieren Sie den Algorithmus der Art, dass auch die Anzahl
aller optimaler Alignments“ausgegeben wird. Achtung, wir betrachten folgende zwei
”
Ausrichtungen als unterschiedlich:
w
xa-y x-ay
x-by xb-y
Die Laufzeit soll weiterhin O(|X| · |Y |) Zeit betragen.
Effiziente Algorithmen (SS11) Übungsblatt 4
e
r
a
t