Übungsblatt 3

Prof. A. Schulz Universität Münster
Dr. I. Halupczok Wintersemester 2012/13
Berechenbarkeit
Übungsblatt 3
Aufgabe 1. Betrachten Sie den folgenden DEA über dem Alphabet {a, b}:
a a
A S B
a
a b a
b
C D E
b
a
a) Bestimmen Sie die äquivalenten Zustände mit Hilfe des Table-Filling-Algorithmus’
aus der Vorlesung.
b) Geben Sie den kollabierten Automaten an. 4 Punkte
Aufgabe 2. Betrachten Sie die folgenden Relationen auf Σ + mit Σ = {1, 2, . . . , 9}.
• w1 ≡1 w2 wenn die Differenz von w1 und w2, als Dezimalzahlen gelesen,
durch 9 teilbar ist.
• w1 ≡2 w2, wenn es eine Ziffer gibt, die in w1 und in w2 gleich oft auftaucht.
• w1 ≡3 w2, wenn w1 und w2 die gleiche Quersumme haben.
• w1 ≡4 w2, wenn w1 = w2 ist oder wenn sowohl w1 als auch w2 mindestens
zwei verschiedene Ziffern enthalten und die zweitgrößte Ziffer von w1 die
gleiche ist wie die von w2.
Welche dieser Relationen sind Äquivalenz-Relationen, welche sind rechtskongruent?
Welche der Äquivalenzrelationen saturieren die Sprache L = {11, 2}? Gibt
es eine Äquivalenzrelation, die eine andere verfeinert? Welche?
Zur Erinnerung: Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn Ihre Quersumme
durch 9 teilbar ist. 5 Punkte
(Bitte wenden.)
b
b
b

Die natürliche Relation einer Sprache L ⊆ Σ ∗ ist die Äquivalenzrelation auf Σ ∗
mit den Äquivalenzklassen L und Σ ∗ \ L.
Aufgabe 3. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie oder
geben Sie ein Gegenbeispiel an.
a) Die natürliche Relation einer beliebigen Sprache ist immer rechtskongruent.
b) Die natürliche Relation einer beliebigen Sprache ist nie rechtskongruent.
c) Zu jeder Äquivalenzrelation ≡ gibt es eine Sprache, die von ≡ saturiert
wird. 3 Punkte
Aufgabe 4. Der Linux-Befehl grep ermöglicht es, sämtliche Zeilen einer Datei
auszugeben, auf die ein bestimmer regulärer Ausdruck zutrifft. Die Syntax der regulären
Ausdrücke ist jedoch praxisorientierter als in der Vorlesung; eine genaue
Beschreibung befindet sich im Abschnitt „REGULÄRE AUSDRÜCKE“ unter
http://manpages.ubuntu.com/manpages/lucid/de/man1/grep.1.html.
Beispiel: „grep ’^[Bb]er\(echenbark\)\?eit’“ gibt alle Zeilen aus, die entweder
mit „Bereit“ oder mit „Berechenbarkeit“ beginnen. Außerdem kann das
„B“ am Anfang groß oder klein geschrieben sein.
Geben Sie einen grep-Befehl an, der alle Zeilen ausgibt, die ein Datum enthalten.
Genauer: Ein Datum besteht aus einer ein- oder zweistelligen Zahl, gefolgt von
einem Punkt, gefolgt von einer weiteren ein- oder zweistelligen Zahl, gefolgt
von einem weiteren Punkt, gefolgt von zwei oder vier beliebigen Ziffern. Direkt
vor oder nach dem Datum darf keine weitere Ziffer stehen. Bei der Tag- und
Monatangabe muss nicht geprüft werden, ob die Zahl im erlaubten Intervall
liegt; 0 soll jedoch nicht erlaubt sein. 3 Punkte
Abgabe bis Freitag, den 2.11., 12:00 Uhr
Die Übungsblätter können zu zweit bearbeitet und abgegeben werden.
Web-Seite: http: // cs. uni-muenster. de/ u/ schulz/ WS12/