Kapitel 17 Die Dynamik des Kristallgitters - TU Graz - Institut für ...
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Abbildung <strong>17</strong>.3: Dispersionsgesetz <strong>für</strong> die zweiatomige lineare Atomkette.<br />
ω− ist der akustische und ω+ der optische Schwingungszweig.<br />
mit den beiden Lösungszweigen (Bändern) ω−(q) und ω+(q), welche die Eigenschaften<br />
q = 0 q = π/a<br />
ω 2 +<br />
ω 2 −<br />
2f(M1+M2)<br />
M1M2<br />
0<br />
2f<br />
M2<br />
2f<br />
M1<br />
optisch<br />
akustisch<br />
(<strong>17</strong>.24)<br />
haben. Wie auch aus Abb. <strong>17</strong>.3 zu ersehen ist, beschreibt die Dispersionsrelation<br />
(<strong>17</strong>.23) zwei Energiebänder, welche durch einen ‘verbotenen’ Bereich<br />
voneinander getrennt sind. <strong>Die</strong> beiden Zweige werden der optische und der<br />
akustische Schwingungszweig genannt. Eine Erklärung <strong>für</strong> diese Bezeichnung<br />
findet man, wenn man aus (<strong>17</strong>.21) das Amplitudenverhältnis zweier benachbarter<br />
Teilchen bestimmt:<br />
c1<br />
c2<br />
<br />
±<br />
= −<br />
M1<br />
M2<br />
Für den langwelligen Grenzfall q → 0 erhält man<br />
<br />
c1 M1<br />
c1<br />
= + bzw. = −<br />
c2<br />
−<br />
M2<br />
bzw. <strong>für</strong> die Schwingungsamplituden (<strong>17</strong>.20)<br />
<br />
A1<br />
= 1 und<br />
<br />
A1<br />
A2<br />
−<br />
2f cos(qa/2)<br />
ω2 . (<strong>17</strong>.25)<br />
±M1 − 2f<br />
A2<br />
c2<br />
+<br />
+<br />
M2<br />
M1<br />
(<strong>17</strong>.26)<br />
= − M2<br />
. (<strong>17</strong>.27)<br />
M1<br />
In diesem Fall schwingen die Massen M1 und M2 im Falle <strong>des</strong> energetisch<br />
tieferen Ban<strong>des</strong> (ω=ω−) gleichsinnig,was <strong>für</strong> Schallwellen (akustische Wellen)<br />
typisch ist. Im Gegensatz dazu kann das energetisch höhere Band leicht<br />
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