Kapitel 17 Die Dynamik des Kristallgitters - TU Graz - Institut für ...

aus 2 Gleichungen, und wir erwarten für jeden Bloch ” vektor“ q zwei Eigenfrequenzen
und die entsprechenden Eigenvektoren, welche jeweils aus 2
Komponenten bestehen.
Weiters wird angenommen, daß die Kräfte zwischen den Atomen gleich sind
und so schnell abnehmen, daß nur die nächsten Nachbarn betroffen sind 2 .
Bezeichnen wir mit f die Federkonstante, so gelten die Bewegungsgleichungen
(M1 > M2):
M1
M2
∂ 2 s (1)
n
∂t 2
∂ 2 s (2)
n
∂t 2
mit dem Lösungsansatz:
c1(q)
s (1)
n (q) =
s (2)
n (q) =
√ M1
c2(q)
√ M2
= −f 2s (1)
n − s(2) n − s(2) n−1
= −f 2s (2)
n − s (1)
n+1 − s (1)
n
(17.18)
exp i q(n − 1
)a − ω(q)t
4
exp i q(n + 1
)a − ω(q)t , (17.19)
4
d. h. die erste bzw. die zweite Masse schwingen mit den Amplituden
A1 = c1(q)
√ M1
Setzt man diesen Ansatz in (17.18) ein, so ergibt sich
bzw. A2 = c2(q)
√ . (17.20)
M2
−ω 2 M1 c1 = − 2f
√ c1 +
M1
2f
√ c2 cos
M2
qa
2
−ω 2 M2 c2 = − 2f
√ c2 +
M2
2f
√ c1 cos
M1
qa
2
mit der Lösbarkeitsbedingung
2f
M1
− ω2 − 2f
√
qa
cos M1M2 2
− 2f
√
qa 2f
cos − ω2
M1M2 2 M2
(17.21)
= 0. (17.22)
Daraus ergibt sich die Dispersionsrelation
ω 2
1
±(q) = f +
M1
1
1
± f +
M2 M1
1
2 −
M2
4 2 qa
sin , (17.23)
M1M2 2
2 Wir machen eine sogenannte nearest-neighbor approximation.
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