Kapitel 17 Die Dynamik des Kristallgitters - TU Graz - Institut für ...
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geschrieben werden, was eine Umformung <strong>des</strong> potentiellen Energie-Ausdrucks<br />
in<br />
2W = <br />
ρ<br />
αi<br />
α ′ i ′<br />
Φ α′ i ′<br />
αi (Rρ)<br />
×c (j)<br />
αi (q)c(j′ )<br />
α ′ i ′(q ′ )e iq′ ·Rρ<br />
ermöglicht. Weiters erhält man<br />
2W = <br />
αi<br />
ρα ′ i ′<br />
Φ α′ i ′<br />
αi (Rρ)<br />
1<br />
N √ MαMα ′<br />
<br />
<br />
Qj(q,t)Qj ′(q′ ,t)<br />
jq<br />
e i(q+q′ )·Rn<br />
n<br />
<br />
=N δq,−q ′<br />
<br />
1<br />
N √ MαMα ′<br />
×c (j)<br />
αi (−q′ )c (j′ )<br />
α ′ i ′(q ′ )e iq′ ·Rρ .<br />
<br />
jj ′ q ′<br />
j ′ q ′<br />
Qj(−q ′ ,t)Qj ′(q′ ,t)<br />
<strong>Die</strong> unterstrichenen Teile der obigen Gleichung entsprechen der linken Seite<br />
der Gleichung (<strong>17</strong>.12) und sind demnach äquivalent mit<br />
αi<br />
jj ′ q ′<br />
ω 2 j ′(q′ )c (j′ )<br />
αi (q′ ),<br />
was zu<br />
2W = <br />
Qj(−q ′ ,t)Qj ′(q′ ,t) <br />
c<br />
αi<br />
(j)<br />
αi (−q′ )c (j′ )<br />
αi (q′ )<br />
<br />
=δj,j ′<br />
<br />
ω 2 j ′(q′ )<br />
führt. Berücksichtigt man abschließend noch die Eigenschaft (<strong>17</strong>.33)<br />
Qj(−q ′ ,t) = Q ∗ j(q ′ ,t),<br />
so erhält man <strong>für</strong> den Anteil der potentiellen Energie an der Hamiltonfunktion<br />
das Ergebnis<br />
W = 1<br />
2<br />
<br />
j<br />
q<br />
Q ∗ j(q,t)Qj(q,t)ω 2 j(q).<br />
Das Endergebnis (<strong>17</strong>.35) ergibt sich durch Addition der Anteile der kinetischen<br />
und der potentiellen Energie zu<br />
H = 1 <br />
∗ ∂ Qj (q,t) ∂ Qj(q,t)<br />
+ ω<br />
2 ∂ t ∂ t<br />
2 j(q)Q ∗ <br />
j(q,t)Qj(q,t) .<br />
j,q<br />
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