Kapitel 17 Die Dynamik des Kristallgitters - TU Graz - Institut für ...

17.5 Anhang: Die Hamiltonfunktion als Funktion
kollektiver Parameter
Ausgehend von den Gleichungen für die Hamiltonfunktion eines schwingenden
Gitters (17.30)
H = T + W =
2 Mα dsnαi
+
2 dt
1
Φ
2
n′ α ′ i ′
nαi snαisn ′ α ′ i ′.
nαi
nαi
n ′ α ′ i ′
und dem Ausdruck (17.31) für die Auslenkung des (nα)-ten Ions entlang der
kartesischen Koordinatenrichtung i
snαi(t) =
1
√ N Mα
j,q
Qj(q,t)c (j)
αi (q)eiq·Rn
soll nun die Hamiltonfunktion als Funktion der kollektiven Auslenkungen
Qj(q,t) dargestellt werden.
Setzt man die snαi(t) in den Anteil T (kinetische Energie) der Hamiltonfunktion
ein, so erhält man
T =
2 Mα dsnαi
=
2 dt
bzw.
nαi
=
nαi
=
αi
= 1
2
Mα
2
Mα
2
jj ′
q
j,q
j ′ ,q ′
1
NMα
1
NMα
j,q j ′ ,q ′
∂ Q∗ j (q,t)
∂ t
T = 1
2
j,q
∂ Q ∗ j(q,t)
∂ t
∂ Qj ′(q′ ,t)
c
∂ t
∗(j)
αi (q)c(j′ )
αi (q′ )e i(q−q′ )·Rn
N ∆(q − q ′ ) ∂ Q∗ j(q,t)
∂ t
∂ Qj ′(q,t)
∂ t
∂ Q ∗ j(q,t)
∂ t
αi
c ∗(j)
αi c(j′ )
αi
∂ Qj(q,t)
∂ t
,
∂ Qj ′(q′ ,t)
c
∂ t
∗(j)
αi c(j′ )
αi
wobei der Übergang von der vorletzten zur letzten Gleichung unter Verwendung
der Orthogonalitätsrelation (17.16) der Eigenvektoren c j erfolgt.
Für den Anteil W (potentielle Energie) ergibt sich
2W =
nαi n ′ α ′ i ′
Φ n′ α ′ i ′
nαi
1
N √ MαMα ′
×c (j)
αi (q)c(j′ )
α ′ i ′ e iq·Rn e iq ′ ·R n ′ .
Die beiden Exponentialterme können in der Form
Qj(q,t)Qj ′(q′ ,t)
jq
j ′ q ′
e iq·Rn e iq ′ ·R n ′ = e i(q+q ′ )·Rn e iq ′ ·(R n ′−Rn)
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