Kapitel 17 Die Dynamik des Kristallgitters - TU Graz - Institut für ...

Abbildung 17.1: Räumliche Position der Gitterionen.
Rn zeigt dabei von einem willkürlich gewählten Ursprung zum Zentrum der
n-ten WSZ. Rα zeigt von diesem Zentrum zum Gitterion α in dieser Zelle.
Besteht die Basis aus r Ionen, so läuft der Index α von 1 bis r, während
der Index n von 1 bis N läuft. Die momentane Auslenkung des Ions mit
den Indizes n und α aus seiner Gleichgewichtslage wird durch einen Auslenkungsvektor
snα(t) beschrieben, dessen Komponenten durch den weiteren
Index i = x,y,z gekennzeichnet werden.
Hat das α-te Basis-Ion die Masse Mα, so erhält man die kinetische Energie
des Systems als
T(t) =
nαi
Mα
2
2 dsnαi
;
dt
n = 1,...,N; α = 1,...,r; i = 1, 2, 3.
(17.2)
Entwickelt man die potentielle Energie nach steigenden Potenzen der Verschiebungen
snαi(t), so ergibt sich der Ausdruck
W(t) = W(Rnα) +
∂W(x)
snαi +
1
2
nαi
n ′ α ′ i ′
nαi
∂ 2 W(x)
∂snαi
∂snαi∂sn ′ α ′ i ′
x=Rnα
x=Rnα
snαi sn ′ α ′ i ′ + · · · (17.3)
In dieser Entwicklung steht x für alle aktuellen Ionenpositionen zum Zeitpunkt
t, und x = Rnα bedeutet, daß alle Ionen ihre Gleichgewichtslagen
einnehmen. Das erste Glied von (17.3) entspricht der potentiellen Energie
des Gitters im Gleichgewicht und wurde bereits als Kristallpotential in
den bisherigen Rechnungen berücksichtigt. Das zweite Glied enthält als Entwicklungskoeffizienten
die Kräfte, welche auf die in ihren Gleichgewichtspositionen
befindlichen Ionen wirken. Dementsprechend muß
∂W(x)
= 0
∂snαi
273
x=Rnα