Kapitel 17 Die Dynamik des Kristallgitters - TU Graz - Institut für ...

Die Gesamtenergie des Systems folgt schließlich unmittelbar aus der Schrödingergleichung:
ˆH |ψ〉 =
ωjq ˆnjq + 1
|ψ〉
2
oder
jq
= E |ψ〉
=
E =
j,q
jq
ωjq
ωjq
njq + 1
|ψ〉
2
njq + 1
. (17.46)
2
Der Operator der Auslenkung eines Gitterions (n,α) ist nun mit Hilfe der
Operatoren ˆb und ˆb † durch Vernichtung und Erzeugung von Phononen erklärbar.
Hiezu formt man zunächst um4 :
Weiters folgt
ˆ b †
−qj =
ˆ bjq + ˆ b †
−qj =
=
=
ˆ bqj =
1
2 ωjq
1
2 ω−qj
2
ωqj ˆ Qj(q).
Daraus folgt durch Einsetzen in (17.31):
ˆsnαi(t) =
jq
ω−qj ˆ Q †
j (−q) − i ˆ
Pj(−q)
1
ωqj
2 ωqj
ˆ Qj(q) + i ˆ P †
j (q)
ωqj ˆ Qj(q) + i ˆ P †
j (q) + ωjq ˆ Qj(q) − i ˆ P †
j (q)
N Mα 2ωjq
c (j)
αi (q)
ˆbqj + ˆb †
−qj e iq·Rn . (17.47)
Daraus erkennt man, daß die Auslenkung eines bestimmten Gitterions durch
eine kollektive Erzeugung und Vernichtung von Phononen beschrieben werden
kann.
4 Neben den Relationen (17.33) gilt für die Phononenfrequenzen das Kramer’sche Theo-
rem (1.62): ω−q,j = ωq,j.
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