4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
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klassischenOszillators.<br />
Φ(x,t + T) = e −iπ<br />
<br />
−1<br />
e −iωt/2<br />
∞<br />
n=0<br />
cnΨn(x) e −iωtn e −i2πn<br />
<br />
1<br />
(4.86)<br />
= −Φ(x,t) . (4.87)<br />
DernegativeVorfaktorhatkeinenEinflussaufMessgrößen.<br />
WirberechnennundaszeitlicheVerhaltenvon 〈 ˆ Q〉imZust<strong>an</strong>d |Φ(t)〉 =<br />
∞ n=0 cn e−i(n+1 2 )ωt |n〉,mitreellenKoeffizienten cn.AusdemEhrenfestschen<br />
Theoremwissenwirschon,dass 〈 ˆ Q〉dieklassischeBewegungsgleichung<br />
fürdenharmonischenOszillatorerfüllt.WirerwartendeshalbbeipassendenAnf<strong>an</strong>gsbedingungeneineSchwingungmitFrequenz<br />
ω.<br />
〈Φ(t)| ˆ Q |Φ(t)〉 = x0<br />
√2 〈Φ(t)|a † + a |Φ(t)〉<br />
= x0<br />
<br />
<br />
√2<br />
n=m+1<br />
= x0<br />
√2<br />
= x0<br />
√2<br />
n,m<br />
cn cm〈n| e i(n+1<br />
2 )ωt e −i(m+1<br />
2 )ωt √ m + 1 |m + 1〉 + h.c.<br />
<br />
m<br />
<br />
√<br />
m + 1 cm+1cm e iωt <br />
+ h.c.<br />
<br />
<br />
<br />
√<br />
m + 1 cm+1 cm 2 cos ωt . (4.88)<br />
m<br />
Hiersteht”h.c.”fürdashermiteschKonjugiertedesvorherigenTermsund<br />
wirhabenausgenutzt,dass 〈Φ|a † |Φ〉derzu 〈Φ|a|Φ〉hermiteschkonjugierteAusdruckist.<br />
ImErgebnissehenwirtatsächlich,dassderErwartungswertdesOrtsoperatorsinderRegelmitcosωtschwingt,allerdingsnur,fallsesimAnf<strong>an</strong>gszust<strong>an</strong>d<br />
|Φ0〉Terme cn+1cn = 0gibt.Ansonstenist 〈 ˆ Q〉z.B.ineinemEigenzust<strong>an</strong>d<br />
|n〉desHamiltonoperatorszeitunabhängigNull.<br />
EinbesondererFallsindkohärenteZustände(s.Übungen).DortistdieWellenfunktionzuallenZeitenGauß-förmigwieimGrundzust<strong>an</strong>ddesharmonischenOszillators,dahermitminimalerUnschärfe,undschwingtals<br />
G<strong>an</strong>zesmitderFrequenz ω.EinsolcherZust<strong>an</strong>distvonallenZuständen<br />
desqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischenharmonischenOszillatorseinemklassischenTeilchenamähnlichsten.<br />
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