4.7 Streuung an einer Potentialbarriere

FürmakroskopischeschwingendeTeilchenist x0sehrklein(x0 ≈ 10 −16 m
fürm=1gund ω=1/sec)undbeimakroskopischerAmplitudeentsprechend
dieQuantenzahl nsehrgroß.DannistderAbstandderNullstellensehr
vielkleineralsdieexperimentelleAuflösungunddieKurvenstimmen
auchquantitativüberein.
4.8.5 DynamikdesharmonischenOszillators
WirwollenhierdieZeitentwicklungderWellenfunktionimPotentialdes
harmonischenOszillatorsuntersuchen.ZurZeit t = 0seiderZustand
|Φ0〉.ZueinemspäterenZeitpunkt t > 0ister
t
−i
|Φ(t)〉 = e ˆ H
|Φ0〉 , (4.82)
daderHamilton-OperatordesharmonischenOszillatorsnichtexplizitvon
derZeitabhängt.WirentwickelndenAnfangszustand |Φ0〉nachdenEigenzuständendesharmonischenOszillators
|Φ0〉 =
∞
cn |n〉 (4.83)
n=0
cn = 〈n|Φ0〉 =
∞
−∞
〈n|x〉〈x|Φ0〉 dx =
∞
−∞
Ψ ∗ n(x)Φ0(x) dx . (4.84)
In1DimensionkönnenalleKoeffizienten cnreellgewähltwerden,wie
auchdieEigenfunktionen Ψn(x).EinsetzeninGl.(4.82)liefert
Φ(x,t) ≡ 〈x|Φ(t)〉 =
∞
n=0
= e −iωt/2
cnΨn(x) e −iωt(n+1
2 )
∞
cnΨn(x) e −iωtn
n=0
. (4.85)
DieWellenfunktionzurZeit tbestehtsomitauseinerSummevonSchwingungenmitFrequenzen
(n + 1
2 )ω.WeilalledieseFrequenzenganzzahlige
Vielfachevon ωsind,istdiegesamteWellenfunktionperiodischinder
Zeit,mitderPeriode T = 2π/ω.DiesistauchdieSchwingungsdauerdes
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