4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
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Zusammenmit 〈ˆn| ˆ Q|n〉 = 0erhaltenwirdieUnschärfe<br />
〈n|(∆ ˆ Q) 2 |n〉 = <br />
mω<br />
SpeziellfürdenGrundzust<strong>an</strong>d(n = 0)ist<br />
1<br />
(n +<br />
2 ) = x20 (n + 1<br />
) .<br />
2<br />
〈0|(∆ ˆ Q) 2 |0〉 = <br />
2mω = x20 2<br />
AnalogeÜberlegungenfürdenImpulsliefern<br />
(∆ ˆ P) 2 = ˆ P 2 = − mω †<br />
a − a<br />
2<br />
a − a †<br />
= − mω 2 † 2 † †<br />
a + a − a a − aa<br />
2<br />
<br />
〈n|(∆ ˆ P) 2 |n〉 = mω <br />
† †<br />
〈n| a a |n〉 + 〈n| a a |n〉<br />
2<br />
= mω (n + 1<br />
2 ) = 2p20 (n + 1<br />
) .<br />
2<br />
FürdenGrundzust<strong>an</strong>distdieUnschärfeimImpuls<br />
Zusammenfassend:<br />
〈0|(∆ ˆ P) 2 |0〉 = mω<br />
2<br />
〈n| ˆ Q|n〉 = 0<br />
= p 2 0 .<br />
〈n| ˆ P |n〉 = 0<br />
〈n|(∆ ˆ Q) 2 |n〉 = x2 0<br />
2n + 1<br />
2<br />
〈n|(∆ ˆ P) 2 |n〉 = p 2 <br />
0 2n + 1 ,<br />
FürdiegesamteUnschärfebeimharmonischenOszillatorerhaltenwir<br />
〈n| (∆ ˆ Q)(∆ ˆ P) |n〉 = x0<br />
.<br />
(<strong>4.7</strong>7)<br />
√<br />
2p0 (n + 1 <br />
) = (2n + 1) . (<strong>4.7</strong>8)<br />
2 2<br />
ImGrundzust<strong>an</strong>ddesharmonischenOszillatorsnimmtdieUnschärfesomitihrenminimalenWert<br />
<br />
2 <strong>an</strong>!<br />
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