4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
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4.8.2 EigenzuständeundErwartungswerte<br />
Wirwissennun,dassdern-te<strong>an</strong>geregteZust<strong>an</strong>dausdemGrundzust<strong>an</strong>d<br />
|0〉durchn-fachesAnwendenvon a † erzeugtwerdenk<strong>an</strong>n.Esgilt<br />
|n〉 =<br />
...<br />
=<br />
1<br />
√ n a † |n − 1〉<br />
1<br />
√ n ·<br />
1<br />
√ n − 1 ... 1 √ 1 (a † ) n |0〉<br />
|n〉 = 1<br />
√ n! (a † ) n |0〉 (<strong>4.7</strong>2)<br />
DiesistdereinzigeZust<strong>an</strong>dzurEnergie En = ω(n + 1<br />
2 ),dawirbereits<br />
allgemeingezeigthaben,dassgebundeneZuständeineindimensionalen<br />
Problemennichtentartetsind.UngebundeneZuständegibtesbeimharmonischenOszillatorwegendesunbeschränktenPotentialsnicht.<br />
WirwollennundiemittlereAuslenkung 〈n| ˆ Q|n〉,denmittlerenImpuls<br />
〈n| ˆ P |n〉unddieVari<strong>an</strong>zenimZust<strong>an</strong>d |n〉berechnen.Wirkönnendie<br />
RechnungenalgebraischmitHilfederOperatoren aund a † durchführen,<br />
ohnez.B. ˆ PalsDifferentialoperatorschreibenzumüssen.Dazudrücken<br />
wir ˆ Qund ˆ Pwiederdurch a und a † aus.MitGl.(4.57)gilt<br />
ˆQ =<br />
ˆP = i<br />
<br />
<br />
2mω (a† + a) =: x0<br />
√2 (a † + a) (<strong>4.7</strong>3)<br />
<br />
mω<br />
2<br />
(a † − a) =: ip0 (a † − a) (<strong>4.7</strong>4)<br />
HierhabenwiraucheinefürdenharmonischenOszillatorcharakteristischeLängenskala<br />
x0undeineImpulsskala p0definiert.(DerFaktor √ 2ist<br />
Konvention.)<br />
EinsetzenindieErwartungswertederAuslenkungunddesImpulseslie-<br />
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