4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
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DerVektor a |n〉istsomitzu |n − 1〉proportional:<br />
a |n〉 = c · |n−1〉 . (4.65)<br />
DasAdjungiertedieserGleichunglautet<br />
〈n|a † = 〈n−1|c ∗ . (4.66)<br />
Nachlinks<strong>an</strong>gew<strong>an</strong>dtwirktderErzeugungsoperatordaherwieeinVernichtungsoperator(undumgekehrt)!<br />
WirberechnennundenProportionalitätsfaktor.DieEigenvektoren |n〉sollennormiertsein.Zumeinengilt<br />
〈n|a † a|n〉 = 〈n| ˆ N|n〉<br />
<br />
n|n〉<br />
= n 〈n|n〉<br />
<br />
=1<br />
= n .<br />
Zum<strong>an</strong>derenkönnenwir a † nachlinksund <strong>an</strong>achrechts<strong>an</strong>wenden:<br />
〈n|a † a|n〉 = c ∗ c 〈n − 1|n − 1〉 = |c| 2<br />
DahermussderNormierungsfaktor |c| 2 = nerfüllen.Wirwählen c = √ n.<br />
Darausfolgt<br />
.<br />
a |n〉 = √ n |n − 1〉 (4.67)<br />
Insbesonderegilt a |0〉 = 0. AnalogeÜberlegungenfür a † |n〉<br />
liefern<br />
a † |n〉 = c |n + 1〉<br />
〈n|aa † |n〉 = |c| 2<br />
〈n|aa † |n〉 = 〈n|ˆ1 + ˆ N|n〉 = n + 1 ! = |c| 2<br />
a † |n〉 = √ n + 1 |n + 1〉 (4.68)<br />
WirkönnennunmiteinembeliebigenEigenzust<strong>an</strong>d |n〉beginnenundden<br />
Operator a wiederholt<strong>an</strong>wenden<br />
a |n〉 = √ n |n − 1〉<br />
a a |n〉 = n(n − 1) |n − 2〉<br />
a m |n〉 = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − m + 1) |n − m〉 (4.69)<br />
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