4.7 Streuung an einer Potentialbarriere

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Abbildung4.13:AufenthaltswahrscheinlichkeitenbeimStreuproblemfürdie dreidiskutiertenFälle V0 > E > 0, E > V0 > 0und E > 0 > V0. 134
4.8 DerHarmonischeOszillator ZumharmonischenOszillatorgehörtklassischdieHamiltonfunktion H = p2 k + 2m 2 x2 . (4.53) Damitwirdz.B.näherungsweisedieBewegungvoneinzelnenAtomenin einemFestkörperbeschrieben,hierin1Dimension.WenndieAtomein derGleichgewichtslagesind,sowirktkeineKraft.LenktmaneinAtom ausderRuhelageum xaus,sowirktaufdasAtomeinerücktreibende Kraft f(x).DieseKraftkannmanineineTaylorreiheentwickeln f(x) = f(0) − k · x + ... InderRuhelageverschwindetdieangreifendeKraft(f(0) = 0)undder Kraft −k · xentsprichtdasPotential k 2 x2 . DieklassischeBewegungsgleichung m · ¨x = −k · xhatdieLösung x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) mit ω 2 = k m (4.54) DieHamiltonfunktion Hlässtsichsomitauchschreibenals H = p2 2m + ω2m 2 x2 . (4.55) DerÜbergangzurQuantenmechanikerfolgtmittelsErsetzenderdynamischenVariablendurchOperatoren.DerHamilton-Operatorlautetdann ˆH = ˆ P 2 2m + ω2m ˆQ 2 2 . (4.56) Eristnichtexplizitzeitabhängig.Wirmüssendahernurdiestationäre Schrödingergleichung ˆH|ψ〉 = E|ψ〉 lösen.Eineeinfache,elegante,algebraischeLösungdiesesEigenwertproblemsgehtaufDiraczurück.SievermeidetdasexpliziteLöseneinerDifferentialgleichung.EinenvölliganalogenFormalismusbenutztmaninderVielteilchenphysikundderQuantenfeldtheoriezurBeschreibungvonSystemenmitvielenTeilchen. 135
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