4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
4.7 Streuung an einer Potentialbarriere
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<strong>4.7</strong> <strong>Streuung</strong><strong>an</strong><strong>einer</strong><strong>Potentialbarriere</strong><br />
Abbildung4.6:<strong>Streuung</strong><strong>an</strong>derPotential-Barriere.<br />
Wiruntersuchennunqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischdie<strong>Streuung</strong>vonTeilchen<strong>an</strong><br />
einemPotential.GebundeneZuständehabenwirbereitsimletztenAbschnittbeh<strong>an</strong>delt;wirkonzentrierenunshieraufungebundeneZustände.WirbetrachtensowohldenFall<strong>einer</strong>Potential-Barriere,sowieerinAbbildung(4.6)dargestelltist(V0<br />
> 0),alsauchdenFall<strong>einer</strong>Potential-Mulde<br />
(V0 < 0).InbeidenFälleninteressierenunsaberungebundeneZustände,<br />
d.h.Energien E > 0.<br />
VonlinkstreffenTeilchenaufdasPotential.WirwerdendieIntensität<br />
RderrückgestreutenunddieIntensität T dertr<strong>an</strong>smittiertenTeilchen<br />
berechnen. Rund Tbezeichnetm<strong>an</strong>auchalsReflexionskoeffizientenbzw.<br />
Tr<strong>an</strong>smissionskoeffizienten.Siesinddefiniertals<br />
R = Jrefl<br />
Jein<br />
T = Jtr<strong>an</strong>s<br />
Jein<br />
<strong>4.7</strong>.1 AllgemeineLösung<br />
KlassischeBeh<strong>an</strong>dlung<br />
= ZahlderreflektiertenTeilchen<br />
ZahldereinfallendenTeilchen<br />
= Zahldertr<strong>an</strong>smittiertenTeilchen<br />
ZahldereinfallendenTeilchen<br />
FürdieklassischeBeh<strong>an</strong>dlungistessinnvoll,dasPotentialabzurunden<br />
(sieheAbbildung(<strong>4.7</strong>)),damitkeine δ-förmigeKräftenauftreten.ZuBeginn,d.h.weitvorderPotential-Barriere,istdiekinetischeEnergie<br />
Ekin<br />
121<br />
.
Abbildung<strong>4.7</strong>:KlassischeBeh<strong>an</strong>dlungder<strong>Potentialbarriere</strong>.<br />
gleichderGesamtenergie E.ImBereichdesPotentialsgilt Ekin = E − V (x).<br />
DasTeilchenwirdjenachVorzeichendesPotentialsvonihmabgebremst<br />
oderbeschleunigt.EsmüssenklassischzweiFälleunterschiedenwerden:<br />
1.WenndieGesamtenergiegrößeristalsdiePotential-Barriere,wirddas<br />
TeilchennichtreflektiertundfliegtüberdiePotential-Barrierehinweg.<br />
DiesgiltinsbesonderefüreinePotential-Mulde(V0 < 0).<br />
2.IstdiePotential-BarrierehingegengrößeralsdieGesamtenergie,sowerdenalleTeilchen<strong>an</strong>derBarrierereflektiert.ZurRuhekommensiedabei<br />
<strong>an</strong>einemUmkehrpunkt x0,<strong>an</strong>dem Ekin = 0,d.h.wenn V (x0) = E.Klassischgiltdaher:<br />
1. V0 > E ⇒ R = 1,T = 0<br />
2. V0 < E ⇒ R = 0,T = 1<br />
IndieseÜberlegungengehtdietatsächlicheFormdesPotentialsnichtein.<br />
FürdieQu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ikistesleichter,mitdemrechteckigenPotential<br />
ausAbbildung(4.2)zurechnen.<br />
Qu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischeBeh<strong>an</strong>dlung<br />
IndenBereichenIundIIIistdieallgemeineLösung<br />
mitderWellenzahl k =<br />
ψ(x) = A1 · e ikx + A2 · e −ikx<br />
122<br />
2mE<br />
2 und E > 0. (4.43)
DieseWellenfunktionist,wiewirschongesehenhaben,nichtnormierbar,<br />
undbeschreibteinenStromvonnachrechtseinlaufendenundeinenStrom<br />
vonnachlinksreflektiertenTeilchen,mitderWellenzahl k.<br />
EinzelneTeilchendagegenentsprechenWellenpaketen,alsoLinearkombinationenvonLösungenzuverschiedenenWellenzahlen.UmdieRechnungeinfacherzuhalten,betrachtenwirimFolgendendieImpulseigenzuständeGl.(4.43).<br />
HinterderBarriere(BereichIII)k<strong>an</strong>nes,wegendervorgegebenenSitutationmitvonlinkseinlaufendenTeilchen,nurnachrechtsauslaufendeTeilchen(Wellen)geben.Dahermussdort<br />
A2 = 0sein.<br />
ImBereichIIgilt<br />
ψ(x) = B1 · e κx + B2 · e −κx<br />
mit κ =<br />
2m(V0 − E)<br />
2<br />
=<br />
|κ| E ≤ V0<br />
i|κ| E > V0<br />
, (4.44)<br />
d.h.dieWellenfunktionistimBereichIIwellenartig,wenn E > V0,und<br />
exponentiellwenn E < V0.<br />
DiegesamteWellenfunktionlautetsomit<br />
ψ(x) =<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A1 eikx + A2 e−ikx ; x ≤ −L 2<br />
B1 eκx + B2 e−κx ; −L 2<br />
C eikx ;x ≥ L<br />
2<br />
≤ x ≤ L<br />
2<br />
DieStetigkeitsbedingungenvon ψ(x)und ψ ′<br />
(x)liefern4R<strong>an</strong>dbedingungenzurFestlegungder5Unbek<strong>an</strong>nten.Zusätzlichmüssenwirnochfestlegen,wievieleTeilchenproZeiteinheiteinfallen.DieKonst<strong>an</strong>te<br />
A1hängt<br />
direktmitderStromdichteGl.(4.33)dereinfallendenTeilchenzusammen<br />
je = <br />
m |A1| 2 · k<br />
123<br />
.
UnsinteressierenderReflektions-undderTr<strong>an</strong>smissionskoeffizient<br />
R =<br />
<br />
jr<br />
2 2<br />
<br />
k |A2| |A2|<br />
= =<br />
je k |A1| 2 |A1| 2 je;jr ...einfallende;reflektierteStromdichte<br />
T =<br />
<br />
jt<br />
<br />
<br />
k |C|2 |C|2<br />
= =<br />
k |A1| 2 |A1| 2 .<br />
je<br />
DerStromdereinfallendenTeilchenwirdexperimentellvorgegeben.Wir<br />
könnenihnjedochbeliebigwählen,z.B. A1 = 1,dain Rund Tnurdie<br />
Verhältnisseeingehen.<br />
EsbleibtalsLösung<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
ψ(x) =<br />
⎪⎩<br />
e ikx + A e −ikx ; x ≤ −L<br />
2<br />
B1 eκx + B2 e−κx ; −L 2<br />
C eikx ; x ≥ L<br />
2<br />
≤ x ≤ L<br />
2<br />
. (4.45)<br />
DierestlichenKonst<strong>an</strong>tenk<strong>an</strong>nm<strong>an</strong>nunüberdieR<strong>an</strong>dbedingungenbestimmen.DieRechnungdazuistrelativaufwendig.SiewirdimFolgenden<br />
derVollständigkeithalberwiedergegeben.DasErgebnisstehtinGl.(4.48)<br />
und(4.49).<br />
ψ(− L<br />
L<br />
2 ) : eik(− 2 ) L<br />
−ik(− + A · e 2 ) L<br />
κ(− = B1 · e 2 ) L<br />
−κ(− + B2 · e 2 )<br />
ψ ′<br />
ψ( L<br />
L<br />
2 ) : C · eik( 2 ) L<br />
κ( = B1 · e 2 ) L<br />
−κ( + B2 · e 2 )<br />
(−L L L<br />
L L<br />
ik −κ κ<br />
2 ) : e−ik 2 − Ae 2 = −iρ(B1e 2 − B2e 2 )<br />
ψ ′<br />
( L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
κ −κ<br />
2 ) : Ceik 2 = −iρ(B1e 2 − B2e 2 )<br />
mit ρ := κ<br />
k .InMatrixschreibweiseundmitderAbkürzung q = eκL folgt<br />
i)<br />
ii)<br />
<br />
<br />
L<br />
−ik e 2<br />
0<br />
L<br />
−ik e 2<br />
0<br />
<br />
<br />
L<br />
ik + e 2<br />
L<br />
ik − e 2<br />
<br />
<br />
A<br />
C<br />
A<br />
C<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
= iρ<br />
q −1<br />
2 q 1<br />
2<br />
q 1<br />
2 q−1 2<br />
<br />
<br />
=:M<br />
124<br />
<br />
−q −1<br />
2 q 1<br />
2<br />
<br />
q 1<br />
2 −q −1<br />
2<br />
B1<br />
B2<br />
<br />
<br />
=:N<br />
<br />
<br />
B1<br />
B2<br />
<br />
.
DasInversederMatrix Mlautet<br />
M −1 1<br />
=<br />
(q − q−1 <br />
)<br />
−q −1<br />
2 q 1<br />
2<br />
q 1<br />
2 −q −1<br />
2<br />
Wirmultiplizieren i)vonlinksmit M−1 ⇒<br />
<br />
B1<br />
B2<br />
= M −1 ·<br />
L<br />
−ik e 2<br />
0<br />
L<br />
ik<br />
+ e 2 M −1<br />
<br />
<br />
A<br />
C<br />
=<br />
1<br />
(q − q −1 ) N<br />
<br />
(4.46)<br />
undsetzendasErgebnisin ii)ein.MitAbkürzungen sh := sinh(κL)und ch := cosh(κL)<br />
führtdaszu<br />
<br />
L<br />
ik<br />
e 2<br />
L<br />
−ik e 2<br />
0<br />
<br />
L<br />
ik<br />
− e 2<br />
<br />
<br />
ˆ1 + iρN M −1<br />
<br />
A<br />
C<br />
A<br />
C<br />
<br />
<br />
= iρN M −1<br />
=<br />
<br />
L<br />
−ik e 2<br />
0<br />
<br />
ˆ1 − iρN M −1<br />
<br />
<br />
L<br />
ik<br />
+ e 2 iρN M −1<br />
L<br />
−ik e 2<br />
0<br />
WirerhaltensomitfürdieKoeffizienten Aund CdasZwischenergebnis<br />
<br />
A<br />
= e<br />
C<br />
−ikL<br />
<br />
ˆ1 + iρN M −1<br />
−1 ˆ1 − iρN M −1<br />
<br />
<br />
1<br />
. (4.47)<br />
0<br />
<br />
K<br />
Nungiltes,dieMatrixKzuberechnen.Dazubenötigenwirzunächst<br />
N · M −1 =<br />
Darauserhaltenwir<br />
1<br />
q − q −1 N 2 =<br />
<br />
ˆ1 − iρN M −1<br />
<br />
<br />
ˆ1 + iρN M −1<br />
−1 =<br />
=<br />
1<br />
q − q−1 <br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 − iρch<br />
sh<br />
+ iρ<br />
sh<br />
1 + iρch<br />
sh<br />
= 1 ⎜<br />
⎝<br />
det<br />
q + q −1 −2<br />
−2 q + q −1<br />
− iρ<br />
sh<br />
⎛<br />
1 + iρch<br />
sh<br />
iρ<br />
sh<br />
125<br />
+ iρ<br />
sh<br />
1 − iρch<br />
sh<br />
− iρ<br />
sh<br />
1 + iρch<br />
sh<br />
iρ<br />
sh<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 + iρch<br />
sh<br />
−1<br />
<br />
⎞<br />
<br />
= 1<br />
<br />
sh<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
.<br />
<br />
ch −1<br />
−1 ch<br />
A<br />
C<br />
<br />
<br />
.
MitderDetermin<strong>an</strong>tenderMatrix (ˆ1 + iρN M −1 )<br />
det =<br />
<br />
1 + iρch<br />
2 sh<br />
berechnetsichdieMatrix Kzu<br />
K =<br />
sh<br />
(1 − ρ 2 ) + 2 iρch<br />
sh<br />
+ ρ2<br />
2 = 1 + 2iρch<br />
sh sh − ρ2ch2 − 1<br />
sh 2 = 1 − ρ2 + 2 iρch<br />
sh<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
(1 + ρ 2 ) 2 iρ<br />
sh<br />
2 iρ<br />
sh<br />
(1 + ρ 2 )<br />
MitGl.(4.47)undGl.(4.46)lautendieKoeffizienten<br />
<br />
<br />
A<br />
C<br />
B1<br />
B2<br />
<br />
<br />
=<br />
=<br />
=<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
e−ikL (1 − ρ2 ⎛<br />
(1 + ρ<br />
⎜<br />
⎝<br />
)sh + 2iρch<br />
2 ⎞<br />
)sh<br />
⎟<br />
⎠<br />
2iρ<br />
e−ikL/2 (1 − ρ2 )sh + 2iρch M−1<br />
<br />
(1 − ρ2 )sh + 2iρch + (1 + ρ2 )sh<br />
2iρ<br />
2e−ikL/2 (1 − ρ2 )sh + 2iρch M−1<br />
<br />
sh + iρch<br />
.<br />
iρ<br />
DasErgebnisfürdiegesuchtenKonst<strong>an</strong>tenderWellenfunktionlautet<br />
A = 1<br />
Z e−ikL (1 + ρ 2 ) sinh(κL)<br />
C = 1<br />
Z<br />
i 2ρ e−ikL<br />
B1 = − 1<br />
Z e−ikL/2 (1 − iρ) e −κL/2<br />
B1 = 1<br />
Z e−ikL/2 (1 + iρ) e +κL/2<br />
Z = (1 − ρ 2 ) sinh(κL) + 2iρ cosh(κL) .<br />
Darauserhältm<strong>an</strong><br />
126<br />
<br />
(4.48)
REFLEXIONS-UNDTRANSMISSIONSKOEFFIZIENT<br />
R = |A| 2 = (1 + ρ2 ) 2 · sinh 2 (κL)<br />
(1 + ρ 2 ) 2 sinh 2 (κL) + 4ρ 2<br />
T = |C| 2 =<br />
4ρ2 (1 + ρ2 ) 2 sinh 2 κ<br />
= 1 − R, mit ρ =<br />
(κL) + 4ρ2 k .<br />
(4.49)<br />
DiewegenderStromerhaltung je = jt + jrnotwendigeSummenregel<br />
R + T = 1istautomatischerfüllt.DieErgebnissehängenvondendimensionslosenGrößen<br />
ρ = κ/kund κLab,dieausdenursprünglich3Parametern<br />
L,V0und EdesProblemsgebildetsind.M<strong>an</strong>k<strong>an</strong>nsieauchals<br />
κL = 2π L<br />
λ mit λ :=<br />
und ρ ≡ κ<br />
k =<br />
<br />
V0<br />
− 1<br />
E<br />
<br />
2m(V0 − E)<br />
(4.50)<br />
schreiben.M<strong>an</strong>sieht,dassin κLdieLänge λauftaucht,dievonderDifferenz<br />
(V0 − E)abhängt,während ρeineFunktiondesVerhältnisses E/V0<br />
ist.<br />
WirwerdendiebeidenFälle<br />
1.hohePotential-Barriere(V0 > E > 0)<br />
2.niedrigePotential-Barrieremit E > V0 > 0<br />
oderPotential-Mulde E > 0 > V0,<br />
diesichauchklassischunterscheiden,imFolgendenseparatdiskutieren.<br />
127
<strong>4.7</strong>.2 HohePotential-Barriere(V0 > E > 0),Raster-Tunnel-<br />
Mikroskop<br />
WirbetrachtenzunächstdenFall,dassdieEnergiedesTeilchensklassisch<br />
nichtausreicht,dieBarrierezuüberwinden.DieSituationistinAbb.(4.8)<br />
skizziert.Hierist V0 > E > 0unddaher k ∈ Rund κ ∈ R.DieWel-<br />
Abbildung4.8: EnergiegeringeralsPotential-Barriere.<br />
lenfunktionzeigtsomitoszillierendesVerhaltenaußerhalbdesBarrieren-<br />
BereichsundeinenexponentiellenAbfall 2 imBarrieren-Bereich.Wiedie<br />
obigeRechnunggezeigthat,gibtesqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>isch–imWiderspruch<br />
zurklassischenErwartung–dennocheinenicht-verschwindendeWahrscheinlichkeit,dassdasTeilchendie<strong>Potentialbarriere</strong>überwindet.M<strong>an</strong><br />
sprichtvomTunneleffekt.IndenGleichungen(4.49)und(4.50)sindalle<br />
Größenreell.<br />
WirbetrachtendenSpezialfall<strong>einer</strong>sehrbreitenund/oderhohenBarriere<br />
1 > 1<br />
DerTr<strong>an</strong>smissionskoeffizientverschwindetdemnachexponentiellmitderBarrierenbreiteundderBarrierenhöhe.Erwirdabernurfürunendlichbreite<br />
oderunendlichhohe<strong>Potentialbarriere</strong>nzuNull.<br />
2 Derexponentiell<strong>an</strong>steigendeBeitragverschwindetnicht,wirdabervomabfallenden<br />
Teildominiert.<br />
128
EineinzwischenalltäglicheAnwendungdesTunneleffektesfindetsichin<br />
Flash-Speichern.DortwirdeinTr<strong>an</strong>sistor(MOSFET)miteinem„Floating<br />
Gate”benutzt,welchesg<strong>an</strong>zvon<strong>einer</strong>Isolatorschichtumgebenist.Durch<br />
Anlegen<strong>einer</strong>geeignetenSp<strong>an</strong>nungwerdendiePotentialesoeingestellt,<br />
dassElektronenaufdasFloatingGatetunneln,wosieohneäußereSp<strong>an</strong>nungl<strong>an</strong>geZeitbleiben.<br />
EineweitereAnwendungdesTunneleffektesistdas<br />
Raster-Tunnel-Mikroskop<br />
(Nobelpreis1986H.Rohrer,G.Binnig(IBM-Rüschlikon))<br />
BeimSc<strong>an</strong>ningTunnelingMikroscope(STM)wirdeineMetallspitzeüber<br />
eineProbenoberflächemittels„Piezo<strong>an</strong>trieb”geführt,sieheAbbildung(4.9).<br />
Dieleitende(oderleitendgemachte)Probewirdzeilenweiseabgetastet.<br />
ZwischenderSpitzeundderProbewirdeinPotential<strong>an</strong>gelegt,wodurch<br />
ein„Tunnel-Strom”fließt,dervomAbst<strong>an</strong>dderSpitzezurlokalenProbenoberflächeabhängt.MitHilfe<strong>einer</strong>Piezo-Mech<strong>an</strong>ikk<strong>an</strong>ndieSpitzeauchsenkrechtzurProbenoberflächebewegtwerden.EsgibtverschiedeneArten,dasTunnel-Mikroskopzubetreiben.In<strong>einer</strong>Betriebsartwird<br />
dieSpitzeimmersonachjustiert,dassderTunnel-Stromkonst<strong>an</strong>tist.Die<br />
hierfürnotwendigeVerschiebungisteinMaßfürdieHöhederProbenoberfläche.<br />
Abbildung4.9:Raster-Tunnel-Mikroskop.<br />
EinSTMhatatomareAuflösung.Daserscheintzunächstunglaubwürdig,<br />
dadieSpitzemakroskopischeDimensionenhat.DerGrundist,dasswegenderexponentiellenAbhängigkeitdesTunnel-StromesvomAbst<strong>an</strong>d<br />
129
das„untersteAtom”derSpitzedendomin<strong>an</strong>tenBeitragzumStromliefert(sieheAbbildung(4.10)).<br />
Abbildung4.10:SpitzedesRaster-Tunnel-Mikroskops.<br />
<strong>4.7</strong>.3 NiedrigePotential-Barriere(E > V0 > 0)<br />
oderPotential-Mulde(E > 0 > V0)<br />
WirbetrachtennundieFälle,indenendasTeilchenklassischnicht<strong>an</strong>der<br />
Barrierereflektiertwürde(R = 0; T = 1),alsodeninAbbildung(4.11)<br />
dargestelltenFall<strong>einer</strong>niedrigenPotential-Barriere,unddenFall<strong>einer</strong><br />
Potential-Mulde.Qu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischwirddieunshierinteressierende<br />
Abbildung4.11:EnergiegrößeralsPotential-Barriere.<br />
SituationebenfallsdurchdieGleichungen(4.49)und(4.50)beschrieben.<br />
Wegen E > V0sindnun κ, ρund λimaginär,undm<strong>an</strong>drücktdieGleichungenbesserüber<br />
|κ|und |ρ|aus.AusGl.(4.49)undGl.(4.50)wird<br />
wegen sinh 2 (i|κ|) = − sin 2 |κ|:<br />
130
REFLEXIONS-UNDTRANSMISSIONSKOEFFIZIENT(E > max{0,V0})<br />
T =<br />
4|ρ| 2<br />
(1 − |ρ| 2 ) 2 sin 2 (|κ|L) + 4|ρ| 2<br />
R = 1 − T<br />
mit |κ| =<br />
(4.51)<br />
<br />
2m<br />
2 (E − V0) , und |ρ| = |κ|<br />
k =<br />
<br />
1 − V0<br />
E . (4.52)<br />
ImBarrierenbereichistdieLösungnunauchoszillierend:<br />
ψII = B1e i|κ|x + B2e −i|κ|x<br />
mitderde-BroglieWellenlänge | λ| = 2π/|κ|.Qu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischk<strong>an</strong>n<br />
auchderklassischeWert T = 1(bzw. R = 0)erreichtwerden.Dasistimmerd<strong>an</strong>nderFall,wenn<br />
sin |κL| = 0,bzw. |κ|L = nπ.Anschaulichbedeutetdas,dassdieBarrierenbreiteeinhalbzahligesVielfachesderWellenlänge<br />
λistunddieWelleindie<strong>Potentialbarriere</strong>„hineinpasst”.Wennm<strong>an</strong><br />
dieAusbreitungeinesWellenpaketesuntersucht,sofindetm<strong>an</strong>,dassdas<br />
TeilchenindiesenFällenbesondersl<strong>an</strong>geimPotentialbereich<strong>an</strong>zutreffen<br />
ist.DiesesPhänomennenntm<strong>an</strong>Streureson<strong>an</strong>z.EsistauchalsRamsauer-<br />
Effektbek<strong>an</strong>nt,nachdem1921vonRamsauerbeobachtetenEffekt,dass<br />
ElektronenbestimmterEnergieninEdelgasennichtabsorbiertwerden.In<br />
Abbildung(4.12)istderTr<strong>an</strong>smissionskoeffizienteinmalalsFunktionder<br />
reduziertenEnergie ǫundeinmalalsFunktion<strong>einer</strong>reduziertenLänge λ<br />
aufgetragen.ImletzterenBilderkenntm<strong>an</strong>dasReson<strong>an</strong>zphänomen.<br />
DaobigeÜberlegungenauchfür V0 < 0gelten,besagtdiequ<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischeRechnung,dassesauch<strong>an</strong>niedrigenPotentialtöpfenundPotentialmuldenReflektionengibt.Dieswäreklassischkeinesfallsmöglich.<br />
131
Abbildung4.12:Tr<strong>an</strong>smissionskoeffizientalsFunktionvon ǫ := E/V0<br />
für λ := L/ = 7(links)undalsFunktionvon λfür ǫ = 1.05(rechts).<br />
√ 2m|V0|<br />
<strong>4.7</strong>.4 Aufenthaltswahrscheinlichkeiten<br />
DieAufenthaltswahrscheinlichkeiteinesqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischenTeilchens<br />
imIntervall (x,x + dx)errechnetsichausdenGleichungen(4.45),unterschiedlichfürdieGebieteI,II,undIII.<br />
•ImGebietIentstehendurchReflexionen<strong>an</strong>derPotential-Barriere<br />
auchWellen,dienachlinkslaufen.DarausresultierteineInterferenz,<br />
die,wieinAbbildung(4.13)dargestellt,zu<strong>einer</strong>oszillierendenAufenthaltswahrscheinlichkeitführt.<br />
|ψ(x)| 2 = 1 + |A| 2 + 2 Re (A ∗ e 2ikx )<br />
<br />
|A| cos(2kx−ϕ)<br />
A = |A| · e iϕ<br />
R = |A| 2<br />
|ψ(x)| 2 = 1 + R + 2 √ R cos(2kx − ϕ)<br />
132
II)ImGebietIIkommtesdarauf<strong>an</strong>,ob E < V0oder E > V0,d.h.ob κ<br />
reelloderimaginärist.Wenn κreellist,sofindetm<strong>an</strong>einexponentiellesAbklingen.Wenn<br />
κaberimaginärist,sobeobachtetm<strong>an</strong>auch<br />
imBereichder<strong>Potentialbarriere</strong>oszillierendesVerhalten.<br />
|ψ(x)| 2 = |B1| 2 e 2κx + |B2| 2 e −2κx + 2Re (B ∗ 1B2)<br />
III)ImGebietIIIläuftdieWellenurnachrechts,esk<strong>an</strong>ndaherkeineInterferenzgeben.DieAufenthaltswahrscheinlichkeitistüberallkonst<strong>an</strong>t.<br />
|ψ(x)| 2 = |C| 2 = T = 1 − R .<br />
DieAufenthaltswahrscheinlichkeitistinAbbildung(4.13)fürdiedreidiskutiertenFälleaufgetragen.<br />
WirhabenhiernurdeneherunrealistischenFallbeh<strong>an</strong>delt,dassdieeinlaufendenTeilchenineinemImpulseigenzust<strong>an</strong>dpräpariertwerdenund<br />
räumlichvölligunbestimmtsind.Derinteress<strong>an</strong>tereFallistsicherlichder,<br />
dassdieeinfallendenTeilchenalsWellenpaketpräpariertwerden.DiemathematischeBeh<strong>an</strong>dlungistd<strong>an</strong>nwesentlichkomplizierter,liefertaber<br />
dieselbenReflexions-undTr<strong>an</strong>smissionskoeffizienten.DieRechnungk<strong>an</strong>n<br />
z.B.imBuchvonSh<strong>an</strong>kharnachgelesenwerden.<br />
133
Abbildung4.13:AufenthaltswahrscheinlichkeitenbeimStreuproblemfürdie<br />
dreidiskutiertenFälle V0 > E > 0, E > V0 > 0und E > 0 > V0.<br />
134
4.8 DerHarmonischeOszillator<br />
ZumharmonischenOszillatorgehörtklassischdieHamiltonfunktion<br />
H = p2 k<br />
+<br />
2m 2 x2 . (4.53)<br />
Damitwirdz.B.näherungsweisedieBewegungvoneinzelnenAtomenin<br />
einemFestkörperbeschrieben,hierin1Dimension.WenndieAtomein<br />
derGleichgewichtslagesind,sowirktkeineKraft.Lenktm<strong>an</strong>einAtom<br />
ausderRuhelageum xaus,sowirktaufdasAtom<strong>einer</strong>ücktreibende<br />
Kraft f(x).DieseKraftk<strong>an</strong>nm<strong>an</strong>ineineTaylorreiheentwickeln<br />
f(x) = f(0) − k · x + ...<br />
InderRuhelageverschwindetdie<strong>an</strong>greifendeKraft(f(0) = 0)undder<br />
Kraft −k · xentsprichtdasPotential k<br />
2 x2 .<br />
DieklassischeBewegungsgleichung m · ¨x = −k · xhatdieLösung<br />
x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt)<br />
mit ω 2 = k<br />
m<br />
(4.54)<br />
DieHamiltonfunktion Hlässtsichsomitauchschreibenals<br />
H = p2<br />
2m + ω2m 2 x2 . (4.55)<br />
DerÜberg<strong>an</strong>gzurQu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ikerfolgtmittelsErsetzenderdynamischenVariablendurchOperatoren.DerHamilton-Operatorlautetd<strong>an</strong>n<br />
ˆH = ˆ P 2<br />
2m + ω2m ˆQ<br />
2<br />
2 . (4.56)<br />
Eristnichtexplizitzeitabhängig.Wirmüssendahernurdiestationäre<br />
Schrödingergleichung<br />
ˆH|ψ〉 = E|ψ〉<br />
lösen.Eineeinfache,eleg<strong>an</strong>te,algebraischeLösungdiesesEigenwertproblemsgehtaufDiraczurück.SievermeidetdasexpliziteLösen<strong>einer</strong>Differentialgleichung.Einenvöllig<strong>an</strong>alogenFormalismusbenutztm<strong>an</strong>inderVielteilchenphysikundderQu<strong>an</strong>tenfeldtheoriezurBeschreibungvonSystemenmitvielenTeilchen.<br />
135
4.8.1 MethodevonDirac<br />
DerHamilton-Operatorlässtsichzu<br />
ˆH = mω2<br />
2<br />
<br />
ˆQ 2 <br />
ˆP<br />
2 +<br />
mω<br />
umschreiben.Wirformenihnweiterum.WenndieOperatorenvertauschenwürden,könntedieeckigeKlammerals<br />
Qˆ ˆ <br />
P − i ˆQ ˆ <br />
P + i ge-<br />
mω mω<br />
schriebenwerden.AufgrundderVertauschungsrelationenerhaltenwir<br />
fürdiesesProduktjedoch<br />
<br />
ˆQ−i ˆ <br />
P<br />
ˆQ+i<br />
mω<br />
ˆ <br />
P<br />
mω<br />
=<br />
<br />
.<br />
ˆQ 2 <br />
ˆP<br />
2 + −<br />
mω<br />
i<br />
mω [ ˆ P, ˆ Q] =<br />
Damitk<strong>an</strong>nm<strong>an</strong>denHamilton-Operatorfolgendermaßenschreiben<br />
ˆH = mω2<br />
<br />
ˆQ − i<br />
2<br />
ˆ <br />
P<br />
mω<br />
= ω<br />
mω<br />
2<br />
ˆQ + i ˆ <br />
P<br />
mω<br />
<br />
ˆQ<br />
Pˆ<br />
<br />
− i<br />
mω<br />
mω<br />
2<br />
+ ω<br />
2 ˆ1<br />
<br />
ˆQ<br />
Pˆ<br />
<br />
+ i<br />
mω<br />
<br />
<br />
ˆQ 2 <br />
ˆP<br />
2 + −<br />
mω<br />
<br />
mω ˆ1 .<br />
+ 1<br />
2 ˆ1<br />
<br />
DieAusdrückeinKlammernnennenwir„Leiteroperatoren”oder<br />
ERZEUGUNGS-UNDVERNICHTUNGSOPERATOREN<br />
a † <br />
mω<br />
=<br />
2 ( ˆ Q − i ˆ P<br />
mω )<br />
<br />
mω<br />
a =<br />
2 ( ˆ Q + i ˆ P<br />
) .<br />
mω<br />
.<br />
(4.57)<br />
DieNamenwerdenspätererläutert.Weil ˆ Pund ˆ Qselbstadjungiertsind,<br />
sinddieseOperatorenzuein<strong>an</strong>deradjungiert:<br />
(a) † = a †<br />
und<br />
Wirdefinierennochdensogen<strong>an</strong>nten<br />
a † † = a . (4.58)<br />
136
ANZAHL-OPERATOR ˆ N<br />
ˆN = a † a , (4.59)<br />
Esgilt ˆ N † = ˆ N.DamitwirdderHamilton-Operatorformalsehreinfach:<br />
HAMILTON-OPERATORDESHARMONISCHENOSZILLATORS<br />
ˆH = ω (a † a + 1<br />
2 ˆ1) = ω ( ˆ N + 1<br />
2 ˆ1) . (4.60)<br />
BesonderswichtigsinddieVertauschungsrelationenvonErzeugungs-und<br />
Vernichtungsoperatoren<br />
[a ,a † ] = mω<br />
<br />
(<br />
2<br />
ˆ Q + i ˆ P<br />
mω ) , ( ˆ Q − i ˆ P<br />
mω )<br />
<br />
= mω<br />
<br />
[<br />
2<br />
ˆ Q, ˆ Q] + (<br />
<br />
=0<br />
i i<br />
)(−<br />
mω mω ) [ ˆ P, ˆ P]<br />
<br />
=0<br />
= ˆ1<br />
VERTAUSCHUNGSRELATIONENVON<br />
− i <br />
[ Q, ˆ P] ˆ − [ P, ˆ Q] ˆ<br />
mω <br />
<br />
ERZEUGUNGS-UNDVERNICHTUNGSOPERATOREN<br />
aa † − a † a ≡ [a ,a † ] = ˆ1<br />
[a ,a ] = 0<br />
[a † ,a † ] = 0<br />
137<br />
2[ ˆ Q, ˆ P]=2i ˆ1<br />
. (4.61)
DasichdieOperatoren ˆ H = ω ( ˆ N + 1<br />
2 ˆ1)und ˆ NnurumeinVielfaches<br />
desEinheitsoperatorsunterscheiden,habensiedieselbenEigenvektoren.<br />
Weilsiehermiteschsind,sinddieEigenwertereell.<br />
Wenn N|n〉 ˆ = n|n〉 , d<strong>an</strong>n H|n〉 ˆ<br />
1<br />
= ω (n + ) |n〉 .<br />
2<br />
Daherhat ˆ HdieEigenwerte ω(n + 1<br />
2 ).Wirmüssennunherausfinden,<br />
welcheEigenwerte ndesAnzahloperatorsmöglichsind.Dazubetrachten<br />
wirdieVertauschungsrelationenvon ˆ Nmit aund a †<br />
[ ˆ N,a † ] = [a † a ,a † ] = a † a a †<br />
<br />
a † −a<br />
a+ˆ1<br />
† a † a (4.62a)<br />
= a † a † a + a † − a † a † a = a †<br />
(4.62b)<br />
[ ˆ N,a ] = [a † a ,a ] = a † a a − a a †<br />
<br />
a † a (4.62c)<br />
a +ˆ1<br />
= a † a a − a † a a − a = −a (4.62d)<br />
WirwendendieVertauschungsrelation [ ˆ N,a † ] = a † aufeinenVektor |n〉<strong>an</strong><br />
undbenutzen ˆ N|n〉 = n|n〉:<br />
Analog<br />
[ ˆ N,a † ] |n〉 = a † |n〉<br />
⇔ ˆ Na † |n〉 − a † n |n〉 = a † |n〉<br />
⇔ ˆ Na † |n〉 = (n + 1)a † |n〉 (4.63)<br />
ˆN a |n〉 = (n − 1)a|n〉 (4.64)<br />
Wennalso |n〉Eigenvektorvon ˆ NzumEigenwert nist,soist<br />
a † |n〉 EigenvektorzumEigenwert(n+1)<br />
a |n〉 EigenvektorzumEigenwert(n–1)<br />
(M<strong>an</strong>nennt a † denErzeugungsoperatorund a denVernichtungsoperatorin<br />
AnalogiezurQu<strong>an</strong>tenfeldtheorie.DortwerdenformalgleichartigeOperatorenbenutztund<br />
nstehtfüreineTeilchenzahl.DieOperatoren a † und<br />
aänderndortdieTeilchenzahlum1.)<br />
138
DerVektor a |n〉istsomitzu |n − 1〉proportional:<br />
a |n〉 = c · |n−1〉 . (4.65)<br />
DasAdjungiertedieserGleichunglautet<br />
〈n|a † = 〈n−1|c ∗ . (4.66)<br />
Nachlinks<strong>an</strong>gew<strong>an</strong>dtwirktderErzeugungsoperatordaherwieeinVernichtungsoperator(undumgekehrt)!<br />
WirberechnennundenProportionalitätsfaktor.DieEigenvektoren |n〉sollennormiertsein.Zumeinengilt<br />
〈n|a † a|n〉 = 〈n| ˆ N|n〉<br />
<br />
n|n〉<br />
= n 〈n|n〉<br />
<br />
=1<br />
= n .<br />
Zum<strong>an</strong>derenkönnenwir a † nachlinksund <strong>an</strong>achrechts<strong>an</strong>wenden:<br />
〈n|a † a|n〉 = c ∗ c 〈n − 1|n − 1〉 = |c| 2<br />
DahermussderNormierungsfaktor |c| 2 = nerfüllen.Wirwählen c = √ n.<br />
Darausfolgt<br />
.<br />
a |n〉 = √ n |n − 1〉 (4.67)<br />
Insbesonderegilt a |0〉 = 0. AnalogeÜberlegungenfür a † |n〉<br />
liefern<br />
a † |n〉 = c |n + 1〉<br />
〈n|aa † |n〉 = |c| 2<br />
〈n|aa † |n〉 = 〈n|ˆ1 + ˆ N|n〉 = n + 1 ! = |c| 2<br />
a † |n〉 = √ n + 1 |n + 1〉 (4.68)<br />
WirkönnennunmiteinembeliebigenEigenzust<strong>an</strong>d |n〉beginnenundden<br />
Operator a wiederholt<strong>an</strong>wenden<br />
a |n〉 = √ n |n − 1〉<br />
a a |n〉 = n(n − 1) |n − 2〉<br />
a m |n〉 = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − m + 1) |n − m〉 (4.69)<br />
139
SoerhaltenwirdieEigenzustände |n −m〉zuimmerkl<strong>einer</strong>werdenden<br />
Eigenwerten (n − m)von ˆ N.Dasbedeutet,dassimPrinzipnegativeEigenwerteerzeugtwerdenkönnten.Esgiltaber<br />
m = 〈m| ˆ N|m〉 = 〈m|a †<br />
a|m〉<br />
<br />
〈ψ| |ψ〉<br />
= ||ψ|| 2 ≥ 0 .<br />
DahermussdieFolgeinGl.(4.69)abbrechen.Diesgeschiehtgenaud<strong>an</strong>n,<br />
wenn npositivg<strong>an</strong>zzahligist,weild<strong>an</strong>n a |0〉 = 0 auftritt.Wirerhalten:DieEigenwertedesAnzahloperators<br />
ˆ NsinddienatürlichenZahlen<br />
N0.Außerdemgilt,dassdieEigenwertevon ˆ Hnichtentartetsind(s.u.).<br />
DeshalbsinddieEigenzustände |n〉orthonormal.<br />
EIGENWERTEUNDEIGENVEKTORENDESANZAHL-OPERATORS<br />
ˆN|n〉 = n |n〉 ∀n ∈ N0 ,<br />
〈n|m〉 = δn,m .<br />
Darausfolgtschließlich<br />
• n ∈ N0<br />
EIGENWERTEDESHARMONISCHENOSZILLATORS<br />
(<strong>4.7</strong>0)<br />
En = ω(n + 1<br />
) (<strong>4.7</strong>1)<br />
2<br />
•DieEnergiedesHarmonischenOszillatorsistinEinheiten ωqu<strong>an</strong>tisiert.<br />
•ImGrundzust<strong>an</strong>dhatdasTeilchendieNullpunktsenergie ω<br />
2 .<br />
•OrtundImpulssindauchimGrundzust<strong>an</strong>dunscharf,wieschonaus<br />
derUnschärferelationfolgt.<br />
140
4.8.2 EigenzuständeundErwartungswerte<br />
Wirwissennun,dassdern-te<strong>an</strong>geregteZust<strong>an</strong>dausdemGrundzust<strong>an</strong>d<br />
|0〉durchn-fachesAnwendenvon a † erzeugtwerdenk<strong>an</strong>n.Esgilt<br />
|n〉 =<br />
...<br />
=<br />
1<br />
√ n a † |n − 1〉<br />
1<br />
√ n ·<br />
1<br />
√ n − 1 ... 1 √ 1 (a † ) n |0〉<br />
|n〉 = 1<br />
√ n! (a † ) n |0〉 (<strong>4.7</strong>2)<br />
DiesistdereinzigeZust<strong>an</strong>dzurEnergie En = ω(n + 1<br />
2 ),dawirbereits<br />
allgemeingezeigthaben,dassgebundeneZuständeineindimensionalen<br />
Problemennichtentartetsind.UngebundeneZuständegibtesbeimharmonischenOszillatorwegendesunbeschränktenPotentialsnicht.<br />
WirwollennundiemittlereAuslenkung 〈n| ˆ Q|n〉,denmittlerenImpuls<br />
〈n| ˆ P |n〉unddieVari<strong>an</strong>zenimZust<strong>an</strong>d |n〉berechnen.Wirkönnendie<br />
RechnungenalgebraischmitHilfederOperatoren aund a † durchführen,<br />
ohnez.B. ˆ PalsDifferentialoperatorschreibenzumüssen.Dazudrücken<br />
wir ˆ Qund ˆ Pwiederdurch a und a † aus.MitGl.(4.57)gilt<br />
ˆQ =<br />
ˆP = i<br />
<br />
<br />
2mω (a† + a) =: x0<br />
√2 (a † + a) (<strong>4.7</strong>3)<br />
<br />
mω<br />
2<br />
(a † − a) =: ip0 (a † − a) (<strong>4.7</strong>4)<br />
HierhabenwiraucheinefürdenharmonischenOszillatorcharakteristischeLängenskala<br />
x0undeineImpulsskala p0definiert.(DerFaktor √ 2ist<br />
Konvention.)<br />
EinsetzenindieErwartungswertederAuslenkungunddesImpulseslie-<br />
141
fert<br />
〈n| ˆ Q|n〉 =<br />
〈n| ˆ P |n〉 = i<br />
<br />
2mω<br />
mω<br />
2<br />
<br />
〈n| a|n〉<br />
<br />
√ n|n−1〉<br />
<br />
⊥=0<br />
<br />
〈n| a|n〉<br />
<br />
√ n|n−1〉<br />
<br />
⊥=0<br />
+ 〈n| a † <br />
|n〉 = 0<br />
<br />
√<br />
n+1|n+1〉<br />
<br />
⊥=0<br />
− 〈n| a † |n〉<br />
<br />
√ n+1|n+1〉<br />
<br />
⊥=0<br />
<br />
= 0<br />
IneinemEigenzust<strong>an</strong>dvon ˆ HsinddieErwartungswertesomitNull.Dies<br />
trifftaberi.a.nichtfüreineLinearkombinationvonEigenzuständenzu(s.<br />
Übungen).<br />
NunberechnenwirdenErwartungswertvon ˆ Q 2 imZust<strong>an</strong>d |n〉.<br />
〈n| ˆ Q 2 |n〉 =<br />
=<br />
=<br />
<br />
2mω 〈n|<br />
<br />
<br />
2mω 〈n|<br />
<br />
2mω<br />
2<br />
a + a †<br />
|n〉<br />
<br />
a 2 + a † 2 + a a † + a † a<br />
<br />
|n〉<br />
<br />
〈n| a 2 |n〉 + 〈n| a † 2 |n〉 + 〈n|a a † |n〉 + 〈n| a † <br />
a |n〉<br />
DieErwartungswertelassensichmitGl.(4.67)undGl.(4.68)leichtberechnen<br />
〈n| a 2 |n〉 ∼ 〈n|n − 2〉 =0<br />
〈n| a † 2 |n〉 ∼ 〈n|n + 2〉 =0<br />
〈n|a a † |n〉 = (n + 1) 〈n + 1|n + 1〉 =n + 1<br />
〈n|a † a |n〉 = 〈n| ˆ N|n〉 = n 〈n|n〉 =n .<br />
(<strong>4.7</strong>5)<br />
DieletztenbeidenTermevonGl.(<strong>4.7</strong>5)k<strong>an</strong>nm<strong>an</strong>auchmitHilfederVertauschungsrelation<br />
a a † − a † a ≡ [a,a † ] = ˆ1 vereinfachen:<br />
daher<br />
a a †<br />
<br />
=a † a+ˆ1<br />
+ a † a = 2a † a + ˆ1 = 2 ˆ N + ˆ1 , (<strong>4.7</strong>6)<br />
〈n|aa † + a † a |n〉 = 〈n| 2 ˆ N + ˆ1 |n〉 = 2n + 1 .<br />
142
Zusammenmit 〈ˆn| ˆ Q|n〉 = 0erhaltenwirdieUnschärfe<br />
〈n|(∆ ˆ Q) 2 |n〉 = <br />
mω<br />
SpeziellfürdenGrundzust<strong>an</strong>d(n = 0)ist<br />
1<br />
(n +<br />
2 ) = x20 (n + 1<br />
) .<br />
2<br />
〈0|(∆ ˆ Q) 2 |0〉 = <br />
2mω = x20 2<br />
AnalogeÜberlegungenfürdenImpulsliefern<br />
(∆ ˆ P) 2 = ˆ P 2 = − mω †<br />
a − a<br />
2<br />
a − a †<br />
= − mω 2 † 2 † †<br />
a + a − a a − aa<br />
2<br />
<br />
〈n|(∆ ˆ P) 2 |n〉 = mω <br />
† †<br />
〈n| a a |n〉 + 〈n| a a |n〉<br />
2<br />
= mω (n + 1<br />
2 ) = 2p20 (n + 1<br />
) .<br />
2<br />
FürdenGrundzust<strong>an</strong>distdieUnschärfeimImpuls<br />
Zusammenfassend:<br />
〈0|(∆ ˆ P) 2 |0〉 = mω<br />
2<br />
〈n| ˆ Q|n〉 = 0<br />
= p 2 0 .<br />
〈n| ˆ P |n〉 = 0<br />
〈n|(∆ ˆ Q) 2 |n〉 = x2 0<br />
2n + 1<br />
2<br />
〈n|(∆ ˆ P) 2 |n〉 = p 2 <br />
0 2n + 1 ,<br />
FürdiegesamteUnschärfebeimharmonischenOszillatorerhaltenwir<br />
〈n| (∆ ˆ Q)(∆ ˆ P) |n〉 = x0<br />
.<br />
(<strong>4.7</strong>7)<br />
√<br />
2p0 (n + 1 <br />
) = (2n + 1) . (<strong>4.7</strong>8)<br />
2 2<br />
ImGrundzust<strong>an</strong>ddesharmonischenOszillatorsnimmtdieUnschärfesomitihrenminimalenWert<br />
<br />
2 <strong>an</strong>!<br />
143
4.8.3 Grundzust<strong>an</strong>dinderOrtsdarstellung<br />
WirhabenbisherdieEigenzustände |n〉von ˆ Hnurabstraktausgedrückt.<br />
DieWellenfunktion,d.h.dieKoeffizientenvon |n〉inderOrtsdarstellung,<br />
sind<br />
〈x|n〉 =: ψn(x) . (<strong>4.7</strong>9)<br />
DiesistdieWahrscheinlichkeitsamplitude,dasqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischeTeilchenamOrt<br />
x<strong>an</strong>zutreffen,wennessichimEigenzust<strong>an</strong>d |n〉befindet.<br />
DieGrundzust<strong>an</strong>dswellenfunktion ψ0(x)k<strong>an</strong>nmitHilfevon a |0〉 = 0berechnetwerden.WirmultiplizierendieseGleichungvonlinksmit<br />
〈x|,d.h.<br />
wirbetrachtensieimOrtsraum:<br />
<br />
mω<br />
0 = 〈x|a |0〉 = 〈x|<br />
2<br />
ˆ Q |0〉 + i<br />
mω 〈 x| ˆ <br />
P |0〉<br />
<br />
mω<br />
= x ψ0(x) +<br />
2<br />
d<br />
mω dx ψ0(x)<br />
<br />
⇒ dψ0(x)<br />
= −<br />
dx<br />
x<br />
x2 ψ0(x) .<br />
0<br />
DieLösungdieserGleichungistdie<br />
GRUNDZUSTANDSWELLENFUNKTIONDESHARMONISCHEN<br />
OSZILLATORS<br />
ψ0(x) = πx 2 0<br />
DiesisteinenormierteGaußscheFunktionmit σ = x0.<br />
1 −<br />
−4 e<br />
x2<br />
2x2 0 (4.80)<br />
DieWahrscheinlichkeit,einTeilchenimIntervall (x,x + dx)<strong>an</strong>zutreffen,<br />
istqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>isch<br />
dP(x) = |ψ0(x)| 2 x2<br />
−<br />
x dx ∼ e 2 0 dx .<br />
Vergleich:BeimklassischenharmonischenOszillatoristdieWahrscheinlichkeitproportionalzurVerweildauer<br />
∆tdesTeilchensimbetrachteten<br />
Intervall<br />
P(x ′ ∈ (x,x + ∆x)) ∼ ∆t = ∆x<br />
.<br />
|v(x)|<br />
144
Bei<strong>einer</strong>klassischenOszillatorbewegungmitAmplitude Agilt<br />
x(t) = A · cos(ωt)<br />
|v(x)| = | ˙x| = |ω · A| · | sin(ωt)| = |ωA| 1 − cos2 (ωt)<br />
<br />
= ωA 1 − ( x<br />
A )2 .<br />
NachderNormierungauf1erhaltenwir<br />
dP(x ′ ∈ (x,x + dx)) = 1<br />
πA<br />
1<br />
dx x 1 − ( )2<br />
A<br />
DieklassischeAufenthaltswahrscheinlichkeitistvollständigdurchdiemaximaleAuslenkungAfestgelegt.DieseGrößekommtinderqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischenBeschreibungnichtvor.UmbeideVerteilungsfunktionenmitein<strong>an</strong>dervergleichenzukönnen,wählenwirdieParameterso,dassdie<br />
Energiengleichsind,nämlich<br />
ω2m 2 A2 = ω (n + 1<br />
) .<br />
2<br />
Esfolgt A 2 = <br />
mω (2n + 1) = x2 0 (2n + 1) .D<strong>an</strong>nsindauchdieVari<strong>an</strong>zen<br />
(∆Q) 2 klassischundqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischgleich!Bei n = 0istdaher A =<br />
x0.<br />
Abbildung4.14:VergleichderWahrscheinlichkeitsdichte ρ(x)desharmonischen<br />
Oszillators.GestrichelteLinie:klassischesErgebnis.DurchgezogeneLinie:qu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischesErgebnis<br />
ρ(x) = |ψn(x)| 2 für n = 0.DieAuslenkung xistin<br />
Einheitenvon x0<strong>an</strong>gegeben.<br />
InAbbildung(4.14)sinddieklassischeund(für n = 0)diequ<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischeWahrscheinlichkeitsdichtefürdenGrundzust<strong>an</strong>ddargestellt.Sie<br />
unterscheidensichdrastisch.<br />
145
4.8.4 AngeregteZuständeinderOrtsdarstellung<br />
Dern-te<strong>an</strong>geregteZust<strong>an</strong>dk<strong>an</strong>ndurchn-fachesAnwendendesErzeugungsoperatorsausdemGrundzust<strong>an</strong>derzeugtwerden.Daswollenwirausnutzen,umdie<strong>an</strong>geregtenZuständeinderOrtsdarstellungzubestimmen<br />
ψn(x) := 〈x|n〉 = 1<br />
√ n! 〈x|(a † ) n |0〉<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
(mit: z = x<br />
) =<br />
x0<br />
1<br />
√ (<br />
n! mω<br />
2<br />
1<br />
√ (<br />
n! mω<br />
2<br />
<br />
n<br />
) 2 〈x| ˆQ − i ˆ P<br />
<br />
n<br />
) 2<br />
1 n<br />
− √ 2 2 x<br />
n! −n<br />
<br />
0<br />
1<br />
√ n! 2<br />
n<br />
− 2<br />
1 n<br />
− √ 2 2<br />
n!<br />
x<br />
x0<br />
1<br />
4√ π<br />
x − <br />
mω<br />
<br />
x 2 0<br />
mω<br />
d<br />
dx<br />
n<br />
|0〉<br />
n<br />
ψ0(x)<br />
x − x 2 n d<br />
0 ψ0(x)<br />
dx<br />
− d<br />
d( x<br />
x0 )<br />
n 1<br />
4√<br />
π<br />
<br />
1<br />
√ z −<br />
x0<br />
d<br />
n e<br />
dz<br />
1<br />
√ e<br />
x0<br />
−(x/x 0 )2<br />
2<br />
z2<br />
− 2<br />
<br />
z= x<br />
x 0<br />
DieinderletztenKlammerauftretendenFunktionenbezeichnetm<strong>an</strong>als<br />
Hermite-Polynome.<br />
DIEANGEREGTENZUSTÄNDEINDERORTSDARSTELLUNG<br />
ψn(x) =<br />
1 n<br />
− √ 2 2<br />
n!<br />
1<br />
4√ π<br />
1<br />
<br />
z2<br />
−<br />
√ e 2 hn(z)<br />
x0<br />
z= x<br />
x0 hn(z) : Hermite-Polynomn-tenGrades<br />
• hn(z):reellesPolynomderOrdnung nin z<br />
• hn(z)hatgeradeoderungeradeParität: hn(−z) = (−1) n hn(z)<br />
146<br />
(4.81)
Beispiele:<br />
(z − d z2<br />
z2<br />
−<br />
)e− 2 = ze<br />
dz<br />
2 + ( 2z<br />
2<br />
)e− z2<br />
2 = 2z<br />
<br />
h1(z)<br />
z2<br />
−<br />
e 2<br />
(z − d<br />
dz )2 z2<br />
−<br />
e 2 = (z − d z2<br />
)2ze− 2 = 2(z<br />
dz 2 z2<br />
−<br />
e 2 − d z2<br />
(ze− 2 ))<br />
dz<br />
= 2(z 2 − 1 + z 2 z2<br />
−<br />
)e 2<br />
= 2(2z 2 − 1)<br />
<br />
h2(z)<br />
z2<br />
−<br />
e 2<br />
DieEigenvektoren |n〉deshermiteschenOperators ˆ Hsindvollständig,<br />
undzuein<strong>an</strong>derorthonormal.DarausfolgteineentsprechendeOrthogonalitätderHermite-Polynome<br />
〈n|m〉 =<br />
∞<br />
ψ<br />
∞<br />
∗ n(x)ψm(x) dx = δn,m ⇔<br />
∞<br />
e<br />
∞<br />
−z2<br />
hn(z)hm(z)dz = δn,m n! √ π 2 n .<br />
DieWahrscheinlichkeitsdichteeinigerZuständeistinAbbildung(4.15)<br />
dargestelltundmitdemErgebnisderklassischenMech<strong>an</strong>ikverglichen.<br />
DieWahrscheinlichkeitsdichtefürdenZust<strong>an</strong>d |n〉hatnNullstellen.Der<br />
<br />
Abst<strong>an</strong>dderNullstellenistungefähr ∆N.S. ≈ 2A/(n + 1) ≈ x0 8/nfür<br />
n ≥ 2.Qualitativnähertsichdasqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischeErgebnisfür n → ∞<br />
demklassischenErgebnis<strong>an</strong>.EsbleibenaberdeutlicheUnterschiede:<br />
• nNullstellen<br />
•dieMaximasinddoppeltsohochwiedieAmplitudeimklassischen<br />
Ergebnis.<br />
ExperimentellhabenwiraberimmereineendlicheAuflösung ∆x.DieexperimentelleWahrscheinlichkeitsdichteistdaher<br />
˜ρ(x) =<br />
x+∆x/2<br />
x−∆x/2<br />
147<br />
∆x<br />
ρ(x) dx
Abbildung4.15:VergleichderWahrscheinlichkeitsdichtedesharmonischenOszillators.GestrichelteLinie:klassischesErgebnis.DurchgezogeneLinie:qu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischesErgebnisfür<br />
n = 0, n = 1, n = 2und n = 20(vonobennach<br />
unten).DieAuslenkung xistwiederinEinheitenvon x0<strong>an</strong>gegeben.<br />
148
FürmakroskopischeschwingendeTeilchenist x0sehrklein(x0 ≈ 10 −16 m<br />
fürm=1gund ω=1/sec)undbeimakroskopischerAmplitudeentsprechend<br />
dieQu<strong>an</strong>tenzahl nsehrgroß.D<strong>an</strong>nistderAbst<strong>an</strong>dderNullstellensehr<br />
vielkl<strong>einer</strong>alsdieexperimentelleAuflösungunddieKurvenstimmen<br />
auchqu<strong>an</strong>titativüberein.<br />
4.8.5 DynamikdesharmonischenOszillators<br />
WirwollenhierdieZeitentwicklungderWellenfunktionimPotentialdes<br />
harmonischenOszillatorsuntersuchen.ZurZeit t = 0seiderZust<strong>an</strong>d<br />
|Φ0〉.ZueinemspäterenZeitpunkt t > 0ister<br />
t<br />
−i<br />
|Φ(t)〉 = e ˆ H<br />
|Φ0〉 , (4.82)<br />
daderHamilton-OperatordesharmonischenOszillatorsnichtexplizitvon<br />
derZeitabhängt.WirentwickelndenAnf<strong>an</strong>gszust<strong>an</strong>d |Φ0〉nachdenEigenzuständendesharmonischenOszillators<br />
|Φ0〉 =<br />
∞<br />
cn |n〉 (4.83)<br />
n=0<br />
cn = 〈n|Φ0〉 =<br />
∞<br />
−∞<br />
〈n|x〉〈x|Φ0〉 dx =<br />
∞<br />
−∞<br />
Ψ ∗ n(x)Φ0(x) dx . (4.84)<br />
In1DimensionkönnenalleKoeffizienten cnreellgewähltwerden,wie<br />
auchdieEigenfunktionen Ψn(x).EinsetzeninGl.(4.82)liefert<br />
Φ(x,t) ≡ 〈x|Φ(t)〉 =<br />
∞<br />
n=0<br />
= e −iωt/2<br />
cnΨn(x) e −iωt(n+1<br />
2 )<br />
∞<br />
cnΨn(x) e −iωtn<br />
n=0<br />
. (4.85)<br />
DieWellenfunktionzurZeit tbestehtsomitaus<strong>einer</strong>SummevonSchwingungenmitFrequenzen<br />
(n + 1<br />
2 )ω.WeilalledieseFrequenzeng<strong>an</strong>zzahlige<br />
Vielfachevon ωsind,istdiegesamteWellenfunktionperiodischinder<br />
Zeit,mitderPeriode T = 2π/ω.DiesistauchdieSchwingungsdauerdes<br />
149
klassischenOszillators.<br />
Φ(x,t + T) = e −iπ<br />
<br />
−1<br />
e −iωt/2<br />
∞<br />
n=0<br />
cnΨn(x) e −iωtn e −i2πn<br />
<br />
1<br />
(4.86)<br />
= −Φ(x,t) . (4.87)<br />
DernegativeVorfaktorhatkeinenEinflussaufMessgrößen.<br />
WirberechnennundaszeitlicheVerhaltenvon 〈 ˆ Q〉imZust<strong>an</strong>d |Φ(t)〉 =<br />
∞ n=0 cn e−i(n+1 2 )ωt |n〉,mitreellenKoeffizienten cn.AusdemEhrenfestschen<br />
Theoremwissenwirschon,dass 〈 ˆ Q〉dieklassischeBewegungsgleichung<br />
fürdenharmonischenOszillatorerfüllt.WirerwartendeshalbbeipassendenAnf<strong>an</strong>gsbedingungeneineSchwingungmitFrequenz<br />
ω.<br />
〈Φ(t)| ˆ Q |Φ(t)〉 = x0<br />
√2 〈Φ(t)|a † + a |Φ(t)〉<br />
= x0<br />
<br />
<br />
√2<br />
n=m+1<br />
= x0<br />
√2<br />
= x0<br />
√2<br />
n,m<br />
cn cm〈n| e i(n+1<br />
2 )ωt e −i(m+1<br />
2 )ωt √ m + 1 |m + 1〉 + h.c.<br />
<br />
m<br />
<br />
√<br />
m + 1 cm+1cm e iωt <br />
+ h.c.<br />
<br />
<br />
<br />
√<br />
m + 1 cm+1 cm 2 cos ωt . (4.88)<br />
m<br />
Hiersteht”h.c.”fürdashermiteschKonjugiertedesvorherigenTermsund<br />
wirhabenausgenutzt,dass 〈Φ|a † |Φ〉derzu 〈Φ|a|Φ〉hermiteschkonjugierteAusdruckist.<br />
ImErgebnissehenwirtatsächlich,dassderErwartungswertdesOrtsoperatorsinderRegelmitcosωtschwingt,allerdingsnur,fallsesimAnf<strong>an</strong>gszust<strong>an</strong>d<br />
|Φ0〉Terme cn+1cn = 0gibt.Ansonstenist 〈 ˆ Q〉z.B.ineinemEigenzust<strong>an</strong>d<br />
|n〉desHamiltonoperatorszeitunabhängigNull.<br />
EinbesondererFallsindkohärenteZustände(s.Übungen).DortistdieWellenfunktionzuallenZeitenGauß-förmigwieimGrundzust<strong>an</strong>ddesharmonischenOszillators,dahermitminimalerUnschärfe,undschwingtals<br />
G<strong>an</strong>zesmitderFrequenz ω.EinsolcherZust<strong>an</strong>distvonallenZuständen<br />
desqu<strong>an</strong>tenmech<strong>an</strong>ischenharmonischenOszillatorseinemklassischenTeilchenamähnlichsten.<br />
150