4.7 Streuung an einer Potentialbarriere

4.7 StreuunganeinerPotentialbarriere
Abbildung4.6:StreuunganderPotential-Barriere.
WiruntersuchennunquantenmechanischdieStreuungvonTeilchenan
einemPotential.GebundeneZuständehabenwirbereitsimletztenAbschnittbehandelt;wirkonzentrierenunshieraufungebundeneZustände.WirbetrachtensowohldenFalleinerPotential-Barriere,sowieerinAbbildung(4.6)dargestelltist(V0
> 0),alsauchdenFalleinerPotential-Mulde
(V0 < 0).InbeidenFälleninteressierenunsaberungebundeneZustände,
d.h.Energien E > 0.
VonlinkstreffenTeilchenaufdasPotential.WirwerdendieIntensität
RderrückgestreutenunddieIntensität T dertransmittiertenTeilchen
berechnen. Rund TbezeichnetmanauchalsReflexionskoeffizientenbzw.
Transmissionskoeffizienten.Siesinddefiniertals
R = Jrefl
Jein
T = Jtrans
Jein
4.7.1 AllgemeineLösung
KlassischeBehandlung
= ZahlderreflektiertenTeilchen
ZahldereinfallendenTeilchen
= ZahldertransmittiertenTeilchen
ZahldereinfallendenTeilchen
FürdieklassischeBehandlungistessinnvoll,dasPotentialabzurunden
(sieheAbbildung(4.7)),damitkeine δ-förmigeKräftenauftreten.ZuBeginn,d.h.weitvorderPotential-Barriere,istdiekinetischeEnergie
Ekin
121
.

Abbildung4.7:KlassischeBehandlungderPotentialbarriere.
gleichderGesamtenergie E.ImBereichdesPotentialsgilt Ekin = E − V (x).
DasTeilchenwirdjenachVorzeichendesPotentialsvonihmabgebremst
oderbeschleunigt.EsmüssenklassischzweiFälleunterschiedenwerden:
1.WenndieGesamtenergiegrößeristalsdiePotential-Barriere,wirddas
TeilchennichtreflektiertundfliegtüberdiePotential-Barrierehinweg.
DiesgiltinsbesonderefüreinePotential-Mulde(V0 < 0).
2.IstdiePotential-BarrierehingegengrößeralsdieGesamtenergie,sowerdenalleTeilchenanderBarrierereflektiert.ZurRuhekommensiedabei
aneinemUmkehrpunkt x0,andem Ekin = 0,d.h.wenn V (x0) = E.Klassischgiltdaher:
1. V0 > E ⇒ R = 1,T = 0
2. V0 < E ⇒ R = 0,T = 1
IndieseÜberlegungengehtdietatsächlicheFormdesPotentialsnichtein.
FürdieQuantenmechanikistesleichter,mitdemrechteckigenPotential
ausAbbildung(4.2)zurechnen.
QuantenmechanischeBehandlung
IndenBereichenIundIIIistdieallgemeineLösung
mitderWellenzahl k =
ψ(x) = A1 · e ikx + A2 · e −ikx
122
2mE
2 und E > 0. (4.43)

DieseWellenfunktionist,wiewirschongesehenhaben,nichtnormierbar,
undbeschreibteinenStromvonnachrechtseinlaufendenundeinenStrom
vonnachlinksreflektiertenTeilchen,mitderWellenzahl k.
EinzelneTeilchendagegenentsprechenWellenpaketen,alsoLinearkombinationenvonLösungenzuverschiedenenWellenzahlen.UmdieRechnungeinfacherzuhalten,betrachtenwirimFolgendendieImpulseigenzuständeGl.(4.43).
HinterderBarriere(BereichIII)kannes,wegendervorgegebenenSitutationmitvonlinkseinlaufendenTeilchen,nurnachrechtsauslaufendeTeilchen(Wellen)geben.Dahermussdort
A2 = 0sein.
ImBereichIIgilt
ψ(x) = B1 · e κx + B2 · e −κx
mit κ =
2m(V0 − E)
2
=
|κ| E ≤ V0
i|κ| E > V0
, (4.44)
d.h.dieWellenfunktionistimBereichIIwellenartig,wenn E > V0,und
exponentiellwenn E < V0.
DiegesamteWellenfunktionlautetsomit
ψ(x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A1 eikx + A2 e−ikx ; x ≤ −L 2
B1 eκx + B2 e−κx ; −L 2
C eikx ;x ≥ L
2
≤ x ≤ L
2
DieStetigkeitsbedingungenvon ψ(x)und ψ ′
(x)liefern4RandbedingungenzurFestlegungder5Unbekannten.Zusätzlichmüssenwirnochfestlegen,wievieleTeilchenproZeiteinheiteinfallen.DieKonstante
A1hängt
direktmitderStromdichteGl.(4.33)dereinfallendenTeilchenzusammen
je =
m |A1| 2 · k
123
.

UnsinteressierenderReflektions-undderTransmissionskoeffizient
R =
jr
2 2
k |A2| |A2|
= =
je k |A1| 2 |A1| 2 je;jr ...einfallende;reflektierteStromdichte
T =
jt
k |C|2 |C|2
= =
k |A1| 2 |A1| 2 .
je
DerStromdereinfallendenTeilchenwirdexperimentellvorgegeben.Wir
könnenihnjedochbeliebigwählen,z.B. A1 = 1,dain Rund Tnurdie
Verhältnisseeingehen.
EsbleibtalsLösung
⎧
⎪⎨
ψ(x) =
⎪⎩
e ikx + A e −ikx ; x ≤ −L
2
B1 eκx + B2 e−κx ; −L 2
C eikx ; x ≥ L
2
≤ x ≤ L
2
. (4.45)
DierestlichenKonstantenkannmannunüberdieRandbedingungenbestimmen.DieRechnungdazuistrelativaufwendig.SiewirdimFolgenden
derVollständigkeithalberwiedergegeben.DasErgebnisstehtinGl.(4.48)
und(4.49).
ψ(− L
L
2 ) : eik(− 2 ) L
−ik(− + A · e 2 ) L
κ(− = B1 · e 2 ) L
−κ(− + B2 · e 2 )
ψ ′
ψ( L
L
2 ) : C · eik( 2 ) L
κ( = B1 · e 2 ) L
−κ( + B2 · e 2 )
(−L L L
L L
ik −κ κ
2 ) : e−ik 2 − Ae 2 = −iρ(B1e 2 − B2e 2 )
ψ ′
( L
L
L
L
κ −κ
2 ) : Ceik 2 = −iρ(B1e 2 − B2e 2 )
mit ρ := κ
k .InMatrixschreibweiseundmitderAbkürzung q = eκL folgt
i)
ii)
L
−ik e 2
0
L
−ik e 2
0
L
ik + e 2
L
ik − e 2
A
C
A
C
=
= iρ
q −1
2 q 1
2
q 1
2 q−1 2
=:M
124
−q −1
2 q 1
2
q 1
2 −q −1
2
B1
B2
=:N
B1
B2
.

DasInversederMatrix Mlautet
M −1 1
=
(q − q−1
)
−q −1
2 q 1
2
q 1
2 −q −1
2
Wirmultiplizieren i)vonlinksmit M−1 ⇒
B1
B2
= M −1 ·
L
−ik e 2
0
L
ik
+ e 2 M −1
A
C
=
1
(q − q −1 ) N
(4.46)
undsetzendasErgebnisin ii)ein.MitAbkürzungen sh := sinh(κL)und ch := cosh(κL)
führtdaszu
L
ik
e 2
L
−ik e 2
0
L
ik
− e 2
ˆ1 + iρN M −1
A
C
A
C
= iρN M −1
=
L
−ik e 2
0
ˆ1 − iρN M −1
L
ik
+ e 2 iρN M −1
L
−ik e 2
0
WirerhaltensomitfürdieKoeffizienten Aund CdasZwischenergebnis
A
= e
C
−ikL
ˆ1 + iρN M −1
−1 ˆ1 − iρN M −1
1
. (4.47)
0
K
Nungiltes,dieMatrixKzuberechnen.Dazubenötigenwirzunächst
N · M −1 =
Darauserhaltenwir
1
q − q −1 N 2 =
ˆ1 − iρN M −1
ˆ1 + iρN M −1
−1 =
=
1
q − q−1
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1 − iρch
sh
+ iρ
sh
1 + iρch
sh
= 1 ⎜
⎝
det
q + q −1 −2
−2 q + q −1
− iρ
sh
⎛
1 + iρch
sh
iρ
sh
125
+ iρ
sh
1 − iρch
sh
− iρ
sh
1 + iρch
sh
iρ
sh
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
1 + iρch
sh
−1
⎞
= 1
sh
⎟
⎠ .
.
ch −1
−1 ch
A
C
.

MitderDeterminantenderMatrix (ˆ1 + iρN M −1 )
det =
1 + iρch
2 sh
berechnetsichdieMatrix Kzu
K =
sh
(1 − ρ 2 ) + 2 iρch
sh
+ ρ2
2 = 1 + 2iρch
sh sh − ρ2ch2 − 1
sh 2 = 1 − ρ2 + 2 iρch
sh
⎛
⎜
⎝
(1 + ρ 2 ) 2 iρ
sh
2 iρ
sh
(1 + ρ 2 )
MitGl.(4.47)undGl.(4.46)lautendieKoeffizienten
A
C
B1
B2
=
=
=
⎞
⎟
⎠ .
e−ikL (1 − ρ2 ⎛
(1 + ρ
⎜
⎝
)sh + 2iρch
2 ⎞
)sh
⎟
⎠
2iρ
e−ikL/2 (1 − ρ2 )sh + 2iρch M−1
(1 − ρ2 )sh + 2iρch + (1 + ρ2 )sh
2iρ
2e−ikL/2 (1 − ρ2 )sh + 2iρch M−1
sh + iρch
.
iρ
DasErgebnisfürdiegesuchtenKonstantenderWellenfunktionlautet
A = 1
Z e−ikL (1 + ρ 2 ) sinh(κL)
C = 1
Z
i 2ρ e−ikL
B1 = − 1
Z e−ikL/2 (1 − iρ) e −κL/2
B1 = 1
Z e−ikL/2 (1 + iρ) e +κL/2
Z = (1 − ρ 2 ) sinh(κL) + 2iρ cosh(κL) .
Darauserhältman
126
(4.48)

REFLEXIONS-UNDTRANSMISSIONSKOEFFIZIENT
R = |A| 2 = (1 + ρ2 ) 2 · sinh 2 (κL)
(1 + ρ 2 ) 2 sinh 2 (κL) + 4ρ 2
T = |C| 2 =
4ρ2 (1 + ρ2 ) 2 sinh 2 κ
= 1 − R, mit ρ =
(κL) + 4ρ2 k .
(4.49)
DiewegenderStromerhaltung je = jt + jrnotwendigeSummenregel
R + T = 1istautomatischerfüllt.DieErgebnissehängenvondendimensionslosenGrößen
ρ = κ/kund κLab,dieausdenursprünglich3Parametern
L,V0und EdesProblemsgebildetsind.Mankannsieauchals
κL = 2π L
λ mit λ :=
und ρ ≡ κ
k =
V0
− 1
E
2m(V0 − E)
(4.50)
schreiben.Mansieht,dassin κLdieLänge λauftaucht,dievonderDifferenz
(V0 − E)abhängt,während ρeineFunktiondesVerhältnisses E/V0
ist.
WirwerdendiebeidenFälle
1.hohePotential-Barriere(V0 > E > 0)
2.niedrigePotential-Barrieremit E > V0 > 0
oderPotential-Mulde E > 0 > V0,
diesichauchklassischunterscheiden,imFolgendenseparatdiskutieren.
127

4.7.2 HohePotential-Barriere(V0 > E > 0),Raster-Tunnel-
Mikroskop
WirbetrachtenzunächstdenFall,dassdieEnergiedesTeilchensklassisch
nichtausreicht,dieBarrierezuüberwinden.DieSituationistinAbb.(4.8)
skizziert.Hierist V0 > E > 0unddaher k ∈ Rund κ ∈ R.DieWel-
Abbildung4.8: EnergiegeringeralsPotential-Barriere.
lenfunktionzeigtsomitoszillierendesVerhaltenaußerhalbdesBarrieren-
BereichsundeinenexponentiellenAbfall 2 imBarrieren-Bereich.Wiedie
obigeRechnunggezeigthat,gibtesquantenmechanisch–imWiderspruch
zurklassischenErwartung–dennocheinenicht-verschwindendeWahrscheinlichkeit,dassdasTeilchendiePotentialbarriereüberwindet.Man
sprichtvomTunneleffekt.IndenGleichungen(4.49)und(4.50)sindalle
Größenreell.
WirbetrachtendenSpezialfalleinersehrbreitenund/oderhohenBarriere
1 > 1
DerTransmissionskoeffizientverschwindetdemnachexponentiellmitderBarrierenbreiteundderBarrierenhöhe.Erwirdabernurfürunendlichbreite
oderunendlichhohePotentialbarrierenzuNull.
2 DerexponentiellansteigendeBeitragverschwindetnicht,wirdabervomabfallenden
Teildominiert.
128

EineinzwischenalltäglicheAnwendungdesTunneleffektesfindetsichin
Flash-Speichern.DortwirdeinTransistor(MOSFET)miteinem„Floating
Gate”benutzt,welchesganzvoneinerIsolatorschichtumgebenist.Durch
AnlegeneinergeeignetenSpannungwerdendiePotentialesoeingestellt,
dassElektronenaufdasFloatingGatetunneln,wosieohneäußereSpannunglangeZeitbleiben.
EineweitereAnwendungdesTunneleffektesistdas
Raster-Tunnel-Mikroskop
(Nobelpreis1986H.Rohrer,G.Binnig(IBM-Rüschlikon))
BeimScanningTunnelingMikroscope(STM)wirdeineMetallspitzeüber
eineProbenoberflächemittels„Piezoantrieb”geführt,sieheAbbildung(4.9).
Dieleitende(oderleitendgemachte)Probewirdzeilenweiseabgetastet.
ZwischenderSpitzeundderProbewirdeinPotentialangelegt,wodurch
ein„Tunnel-Strom”fließt,dervomAbstandderSpitzezurlokalenProbenoberflächeabhängt.MitHilfeeinerPiezo-MechanikkanndieSpitzeauchsenkrechtzurProbenoberflächebewegtwerden.EsgibtverschiedeneArten,dasTunnel-Mikroskopzubetreiben.IneinerBetriebsartwird
dieSpitzeimmersonachjustiert,dassderTunnel-Stromkonstantist.Die
hierfürnotwendigeVerschiebungisteinMaßfürdieHöhederProbenoberfläche.
Abbildung4.9:Raster-Tunnel-Mikroskop.
EinSTMhatatomareAuflösung.Daserscheintzunächstunglaubwürdig,
dadieSpitzemakroskopischeDimensionenhat.DerGrundist,dasswegenderexponentiellenAbhängigkeitdesTunnel-StromesvomAbstand
129

das„untersteAtom”derSpitzedendominantenBeitragzumStromliefert(sieheAbbildung(4.10)).
Abbildung4.10:SpitzedesRaster-Tunnel-Mikroskops.
4.7.3 NiedrigePotential-Barriere(E > V0 > 0)
oderPotential-Mulde(E > 0 > V0)
WirbetrachtennundieFälle,indenendasTeilchenklassischnichtander
Barrierereflektiertwürde(R = 0; T = 1),alsodeninAbbildung(4.11)
dargestelltenFalleinerniedrigenPotential-Barriere,unddenFalleiner
Potential-Mulde.Quantenmechanischwirddieunshierinteressierende
Abbildung4.11:EnergiegrößeralsPotential-Barriere.
SituationebenfallsdurchdieGleichungen(4.49)und(4.50)beschrieben.
Wegen E > V0sindnun κ, ρund λimaginär,undmandrücktdieGleichungenbesserüber
|κ|und |ρ|aus.AusGl.(4.49)undGl.(4.50)wird
wegen sinh 2 (i|κ|) = − sin 2 |κ|:
130

REFLEXIONS-UNDTRANSMISSIONSKOEFFIZIENT(E > max{0,V0})
T =
4|ρ| 2
(1 − |ρ| 2 ) 2 sin 2 (|κ|L) + 4|ρ| 2
R = 1 − T
mit |κ| =
(4.51)
2m
2 (E − V0) , und |ρ| = |κ|
k =
1 − V0
E . (4.52)
ImBarrierenbereichistdieLösungnunauchoszillierend:
ψII = B1e i|κ|x + B2e −i|κ|x
mitderde-BroglieWellenlänge | λ| = 2π/|κ|.Quantenmechanischkann
auchderklassischeWert T = 1(bzw. R = 0)erreichtwerden.DasistimmerdannderFall,wenn
sin |κL| = 0,bzw. |κ|L = nπ.Anschaulichbedeutetdas,dassdieBarrierenbreiteeinhalbzahligesVielfachesderWellenlänge
λistunddieWelleindiePotentialbarriere„hineinpasst”.Wennman
dieAusbreitungeinesWellenpaketesuntersucht,sofindetman,dassdas
TeilchenindiesenFällenbesonderslangeimPotentialbereichanzutreffen
ist.DiesesPhänomennenntmanStreuresonanz.EsistauchalsRamsauer-
Effektbekannt,nachdem1921vonRamsauerbeobachtetenEffekt,dass
ElektronenbestimmterEnergieninEdelgasennichtabsorbiertwerden.In
Abbildung(4.12)istderTransmissionskoeffizienteinmalalsFunktionder
reduziertenEnergie ǫundeinmalalsFunktioneinerreduziertenLänge λ
aufgetragen.ImletzterenBilderkenntmandasResonanzphänomen.
DaobigeÜberlegungenauchfür V0 < 0gelten,besagtdiequantenmechanischeRechnung,dassesauchanniedrigenPotentialtöpfenundPotentialmuldenReflektionengibt.Dieswäreklassischkeinesfallsmöglich.
131

Abbildung4.12:TransmissionskoeffizientalsFunktionvon ǫ := E/V0
für λ := L/ = 7(links)undalsFunktionvon λfür ǫ = 1.05(rechts).
√ 2m|V0|
4.7.4 Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
DieAufenthaltswahrscheinlichkeiteinesquantenmechanischenTeilchens
imIntervall (x,x + dx)errechnetsichausdenGleichungen(4.45),unterschiedlichfürdieGebieteI,II,undIII.
•ImGebietIentstehendurchReflexionenanderPotential-Barriere
auchWellen,dienachlinkslaufen.DarausresultierteineInterferenz,
die,wieinAbbildung(4.13)dargestellt,zueineroszillierendenAufenthaltswahrscheinlichkeitführt.
|ψ(x)| 2 = 1 + |A| 2 + 2 Re (A ∗ e 2ikx )
|A| cos(2kx−ϕ)
A = |A| · e iϕ
R = |A| 2
|ψ(x)| 2 = 1 + R + 2 √ R cos(2kx − ϕ)
132

II)ImGebietIIkommtesdaraufan,ob E < V0oder E > V0,d.h.ob κ
reelloderimaginärist.Wenn κreellist,sofindetmaneinexponentiellesAbklingen.Wenn
κaberimaginärist,sobeobachtetmanauch
imBereichderPotentialbarriereoszillierendesVerhalten.
|ψ(x)| 2 = |B1| 2 e 2κx + |B2| 2 e −2κx + 2Re (B ∗ 1B2)
III)ImGebietIIIläuftdieWellenurnachrechts,eskanndaherkeineInterferenzgeben.DieAufenthaltswahrscheinlichkeitistüberallkonstant.
|ψ(x)| 2 = |C| 2 = T = 1 − R .
DieAufenthaltswahrscheinlichkeitistinAbbildung(4.13)fürdiedreidiskutiertenFälleaufgetragen.
WirhabenhiernurdeneherunrealistischenFallbehandelt,dassdieeinlaufendenTeilchenineinemImpulseigenzustandpräpariertwerdenund
räumlichvölligunbestimmtsind.DerinteressantereFallistsicherlichder,
dassdieeinfallendenTeilchenalsWellenpaketpräpariertwerden.DiemathematischeBehandlungistdannwesentlichkomplizierter,liefertaber
dieselbenReflexions-undTransmissionskoeffizienten.DieRechnungkann
z.B.imBuchvonShankharnachgelesenwerden.
133

Abbildung4.13:AufenthaltswahrscheinlichkeitenbeimStreuproblemfürdie
dreidiskutiertenFälle V0 > E > 0, E > V0 > 0und E > 0 > V0.
134

4.8 DerHarmonischeOszillator
ZumharmonischenOszillatorgehörtklassischdieHamiltonfunktion
H = p2 k
+
2m 2 x2 . (4.53)
Damitwirdz.B.näherungsweisedieBewegungvoneinzelnenAtomenin
einemFestkörperbeschrieben,hierin1Dimension.WenndieAtomein
derGleichgewichtslagesind,sowirktkeineKraft.LenktmaneinAtom
ausderRuhelageum xaus,sowirktaufdasAtomeinerücktreibende
Kraft f(x).DieseKraftkannmanineineTaylorreiheentwickeln
f(x) = f(0) − k · x + ...
InderRuhelageverschwindetdieangreifendeKraft(f(0) = 0)undder
Kraft −k · xentsprichtdasPotential k
2 x2 .
DieklassischeBewegungsgleichung m · ¨x = −k · xhatdieLösung
x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
mit ω 2 = k
m
(4.54)
DieHamiltonfunktion Hlässtsichsomitauchschreibenals
H = p2
2m + ω2m 2 x2 . (4.55)
DerÜbergangzurQuantenmechanikerfolgtmittelsErsetzenderdynamischenVariablendurchOperatoren.DerHamilton-Operatorlautetdann
ˆH = ˆ P 2
2m + ω2m ˆQ
2
2 . (4.56)
Eristnichtexplizitzeitabhängig.Wirmüssendahernurdiestationäre
Schrödingergleichung
ˆH|ψ〉 = E|ψ〉
lösen.Eineeinfache,elegante,algebraischeLösungdiesesEigenwertproblemsgehtaufDiraczurück.SievermeidetdasexpliziteLöseneinerDifferentialgleichung.EinenvölliganalogenFormalismusbenutztmaninderVielteilchenphysikundderQuantenfeldtheoriezurBeschreibungvonSystemenmitvielenTeilchen.
135

4.8.1 MethodevonDirac
DerHamilton-Operatorlässtsichzu
ˆH = mω2
2
ˆQ 2
ˆP
2 +
mω
umschreiben.Wirformenihnweiterum.WenndieOperatorenvertauschenwürden,könntedieeckigeKlammerals
Qˆ ˆ
P − i ˆQ ˆ
P + i ge-
mω mω
schriebenwerden.AufgrundderVertauschungsrelationenerhaltenwir
fürdiesesProduktjedoch
ˆQ−i ˆ
P
ˆQ+i
mω
ˆ
P
mω
=
.
ˆQ 2
ˆP
2 + −
mω
i
mω [ ˆ P, ˆ Q] =
DamitkannmandenHamilton-Operatorfolgendermaßenschreiben
ˆH = mω2
ˆQ − i
2
ˆ
P
mω
= ω
mω
2
ˆQ + i ˆ
P
mω
ˆQ
Pˆ
− i
mω
mω
2
+ ω
2 ˆ1
ˆQ
Pˆ
+ i
mω
ˆQ 2
ˆP
2 + −
mω
mω ˆ1 .
+ 1
2 ˆ1
DieAusdrückeinKlammernnennenwir„Leiteroperatoren”oder
ERZEUGUNGS-UNDVERNICHTUNGSOPERATOREN
a †
mω
=
2 ( ˆ Q − i ˆ P
mω )
mω
a =
2 ( ˆ Q + i ˆ P
) .
mω
.
(4.57)
DieNamenwerdenspätererläutert.Weil ˆ Pund ˆ Qselbstadjungiertsind,
sinddieseOperatorenzueinanderadjungiert:
(a) † = a †
und
Wirdefinierennochdensogenannten
a † † = a . (4.58)
136

ANZAHL-OPERATOR ˆ N
ˆN = a † a , (4.59)
Esgilt ˆ N † = ˆ N.DamitwirdderHamilton-Operatorformalsehreinfach:
HAMILTON-OPERATORDESHARMONISCHENOSZILLATORS
ˆH = ω (a † a + 1
2 ˆ1) = ω ( ˆ N + 1
2 ˆ1) . (4.60)
BesonderswichtigsinddieVertauschungsrelationenvonErzeugungs-und
Vernichtungsoperatoren
[a ,a † ] = mω
(
2
ˆ Q + i ˆ P
mω ) , ( ˆ Q − i ˆ P
mω )
= mω
[
2
ˆ Q, ˆ Q] + (
=0
i i
)(−
mω mω ) [ ˆ P, ˆ P]
=0
= ˆ1
VERTAUSCHUNGSRELATIONENVON
− i
[ Q, ˆ P] ˆ − [ P, ˆ Q] ˆ
mω
ERZEUGUNGS-UNDVERNICHTUNGSOPERATOREN
aa † − a † a ≡ [a ,a † ] = ˆ1
[a ,a ] = 0
[a † ,a † ] = 0
137
2[ ˆ Q, ˆ P]=2i ˆ1
. (4.61)

DasichdieOperatoren ˆ H = ω ( ˆ N + 1
2 ˆ1)und ˆ NnurumeinVielfaches
desEinheitsoperatorsunterscheiden,habensiedieselbenEigenvektoren.
Weilsiehermiteschsind,sinddieEigenwertereell.
Wenn N|n〉 ˆ = n|n〉 , dann H|n〉 ˆ
1
= ω (n + ) |n〉 .
2
Daherhat ˆ HdieEigenwerte ω(n + 1
2 ).Wirmüssennunherausfinden,
welcheEigenwerte ndesAnzahloperatorsmöglichsind.Dazubetrachten
wirdieVertauschungsrelationenvon ˆ Nmit aund a †
[ ˆ N,a † ] = [a † a ,a † ] = a † a a †
a † −a
a+ˆ1
† a † a (4.62a)
= a † a † a + a † − a † a † a = a †
(4.62b)
[ ˆ N,a ] = [a † a ,a ] = a † a a − a a †
a † a (4.62c)
a +ˆ1
= a † a a − a † a a − a = −a (4.62d)
WirwendendieVertauschungsrelation [ ˆ N,a † ] = a † aufeinenVektor |n〉an
undbenutzen ˆ N|n〉 = n|n〉:
Analog
[ ˆ N,a † ] |n〉 = a † |n〉
⇔ ˆ Na † |n〉 − a † n |n〉 = a † |n〉
⇔ ˆ Na † |n〉 = (n + 1)a † |n〉 (4.63)
ˆN a |n〉 = (n − 1)a|n〉 (4.64)
Wennalso |n〉Eigenvektorvon ˆ NzumEigenwert nist,soist
a † |n〉 EigenvektorzumEigenwert(n+1)
a |n〉 EigenvektorzumEigenwert(n–1)
(Mannennt a † denErzeugungsoperatorund a denVernichtungsoperatorin
AnalogiezurQuantenfeldtheorie.DortwerdenformalgleichartigeOperatorenbenutztund
nstehtfüreineTeilchenzahl.DieOperatoren a † und
aänderndortdieTeilchenzahlum1.)
138

DerVektor a |n〉istsomitzu |n − 1〉proportional:
a |n〉 = c · |n−1〉 . (4.65)
DasAdjungiertedieserGleichunglautet
〈n|a † = 〈n−1|c ∗ . (4.66)
NachlinksangewandtwirktderErzeugungsoperatordaherwieeinVernichtungsoperator(undumgekehrt)!
WirberechnennundenProportionalitätsfaktor.DieEigenvektoren |n〉sollennormiertsein.Zumeinengilt
〈n|a † a|n〉 = 〈n| ˆ N|n〉
n|n〉
= n 〈n|n〉
=1
= n .
Zumanderenkönnenwir a † nachlinksund anachrechtsanwenden:
〈n|a † a|n〉 = c ∗ c 〈n − 1|n − 1〉 = |c| 2
DahermussderNormierungsfaktor |c| 2 = nerfüllen.Wirwählen c = √ n.
Darausfolgt
.
a |n〉 = √ n |n − 1〉 (4.67)
Insbesonderegilt a |0〉 = 0. AnalogeÜberlegungenfür a † |n〉
liefern
a † |n〉 = c |n + 1〉
〈n|aa † |n〉 = |c| 2
〈n|aa † |n〉 = 〈n|ˆ1 + ˆ N|n〉 = n + 1 ! = |c| 2
a † |n〉 = √ n + 1 |n + 1〉 (4.68)
WirkönnennunmiteinembeliebigenEigenzustand |n〉beginnenundden
Operator a wiederholtanwenden
a |n〉 = √ n |n − 1〉
a a |n〉 = n(n − 1) |n − 2〉
a m |n〉 = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − m + 1) |n − m〉 (4.69)
139

SoerhaltenwirdieEigenzustände |n −m〉zuimmerkleinerwerdenden
Eigenwerten (n − m)von ˆ N.Dasbedeutet,dassimPrinzipnegativeEigenwerteerzeugtwerdenkönnten.Esgiltaber
m = 〈m| ˆ N|m〉 = 〈m|a †
a|m〉
〈ψ| |ψ〉
= ||ψ|| 2 ≥ 0 .
DahermussdieFolgeinGl.(4.69)abbrechen.Diesgeschiehtgenaudann,
wenn npositivganzzahligist,weildann a |0〉 = 0 auftritt.Wirerhalten:DieEigenwertedesAnzahloperators
ˆ NsinddienatürlichenZahlen
N0.Außerdemgilt,dassdieEigenwertevon ˆ Hnichtentartetsind(s.u.).
DeshalbsinddieEigenzustände |n〉orthonormal.
EIGENWERTEUNDEIGENVEKTORENDESANZAHL-OPERATORS
ˆN|n〉 = n |n〉 ∀n ∈ N0 ,
〈n|m〉 = δn,m .
Darausfolgtschließlich
• n ∈ N0
EIGENWERTEDESHARMONISCHENOSZILLATORS
(4.70)
En = ω(n + 1
) (4.71)
2
•DieEnergiedesHarmonischenOszillatorsistinEinheiten ωquantisiert.
•ImGrundzustandhatdasTeilchendieNullpunktsenergie ω
2 .
•OrtundImpulssindauchimGrundzustandunscharf,wieschonaus
derUnschärferelationfolgt.
140

4.8.2 EigenzuständeundErwartungswerte
Wirwissennun,dassdern-teangeregteZustandausdemGrundzustand
|0〉durchn-fachesAnwendenvon a † erzeugtwerdenkann.Esgilt
|n〉 =
...
=
1
√ n a † |n − 1〉
1
√ n ·
1
√ n − 1 ... 1 √ 1 (a † ) n |0〉
|n〉 = 1
√ n! (a † ) n |0〉 (4.72)
DiesistdereinzigeZustandzurEnergie En = ω(n + 1
2 ),dawirbereits
allgemeingezeigthaben,dassgebundeneZuständeineindimensionalen
Problemennichtentartetsind.UngebundeneZuständegibtesbeimharmonischenOszillatorwegendesunbeschränktenPotentialsnicht.
WirwollennundiemittlereAuslenkung 〈n| ˆ Q|n〉,denmittlerenImpuls
〈n| ˆ P |n〉unddieVarianzenimZustand |n〉berechnen.Wirkönnendie
RechnungenalgebraischmitHilfederOperatoren aund a † durchführen,
ohnez.B. ˆ PalsDifferentialoperatorschreibenzumüssen.Dazudrücken
wir ˆ Qund ˆ Pwiederdurch a und a † aus.MitGl.(4.57)gilt
ˆQ =
ˆP = i
2mω (a† + a) =: x0
√2 (a † + a) (4.73)
mω
2
(a † − a) =: ip0 (a † − a) (4.74)
HierhabenwiraucheinefürdenharmonischenOszillatorcharakteristischeLängenskala
x0undeineImpulsskala p0definiert.(DerFaktor √ 2ist
Konvention.)
EinsetzenindieErwartungswertederAuslenkungunddesImpulseslie-
141

fert
〈n| ˆ Q|n〉 =
〈n| ˆ P |n〉 = i
2mω
mω
2
〈n| a|n〉
√ n|n−1〉
⊥=0
〈n| a|n〉
√ n|n−1〉
⊥=0
+ 〈n| a †
|n〉 = 0
√
n+1|n+1〉
⊥=0
− 〈n| a † |n〉
√ n+1|n+1〉
⊥=0
= 0
IneinemEigenzustandvon ˆ HsinddieErwartungswertesomitNull.Dies
trifftaberi.a.nichtfüreineLinearkombinationvonEigenzuständenzu(s.
Übungen).
NunberechnenwirdenErwartungswertvon ˆ Q 2 imZustand |n〉.
〈n| ˆ Q 2 |n〉 =
=
=
2mω 〈n|
2mω 〈n|
2mω
2
a + a †
|n〉
a 2 + a † 2 + a a † + a † a
|n〉
〈n| a 2 |n〉 + 〈n| a † 2 |n〉 + 〈n|a a † |n〉 + 〈n| a †
a |n〉
DieErwartungswertelassensichmitGl.(4.67)undGl.(4.68)leichtberechnen
〈n| a 2 |n〉 ∼ 〈n|n − 2〉 =0
〈n| a † 2 |n〉 ∼ 〈n|n + 2〉 =0
〈n|a a † |n〉 = (n + 1) 〈n + 1|n + 1〉 =n + 1
〈n|a † a |n〉 = 〈n| ˆ N|n〉 = n 〈n|n〉 =n .
(4.75)
DieletztenbeidenTermevonGl.(4.75)kannmanauchmitHilfederVertauschungsrelation
a a † − a † a ≡ [a,a † ] = ˆ1 vereinfachen:
daher
a a †
=a † a+ˆ1
+ a † a = 2a † a + ˆ1 = 2 ˆ N + ˆ1 , (4.76)
〈n|aa † + a † a |n〉 = 〈n| 2 ˆ N + ˆ1 |n〉 = 2n + 1 .
142

Zusammenmit 〈ˆn| ˆ Q|n〉 = 0erhaltenwirdieUnschärfe
〈n|(∆ ˆ Q) 2 |n〉 =
mω
SpeziellfürdenGrundzustand(n = 0)ist
1
(n +
2 ) = x20 (n + 1
) .
2
〈0|(∆ ˆ Q) 2 |0〉 =
2mω = x20 2
AnalogeÜberlegungenfürdenImpulsliefern
(∆ ˆ P) 2 = ˆ P 2 = − mω †
a − a
2
a − a †
= − mω 2 † 2 † †
a + a − a a − aa
2
〈n|(∆ ˆ P) 2 |n〉 = mω
† †
〈n| a a |n〉 + 〈n| a a |n〉
2
= mω (n + 1
2 ) = 2p20 (n + 1
) .
2
FürdenGrundzustandistdieUnschärfeimImpuls
Zusammenfassend:
〈0|(∆ ˆ P) 2 |0〉 = mω
2
〈n| ˆ Q|n〉 = 0
= p 2 0 .
〈n| ˆ P |n〉 = 0
〈n|(∆ ˆ Q) 2 |n〉 = x2 0
2n + 1
2
〈n|(∆ ˆ P) 2 |n〉 = p 2
0 2n + 1 ,
FürdiegesamteUnschärfebeimharmonischenOszillatorerhaltenwir
〈n| (∆ ˆ Q)(∆ ˆ P) |n〉 = x0
.
(4.77)
√
2p0 (n + 1
) = (2n + 1) . (4.78)
2 2
ImGrundzustanddesharmonischenOszillatorsnimmtdieUnschärfesomitihrenminimalenWert
2 an!
143

4.8.3 GrundzustandinderOrtsdarstellung
WirhabenbisherdieEigenzustände |n〉von ˆ Hnurabstraktausgedrückt.
DieWellenfunktion,d.h.dieKoeffizientenvon |n〉inderOrtsdarstellung,
sind
〈x|n〉 =: ψn(x) . (4.79)
DiesistdieWahrscheinlichkeitsamplitude,dasquantenmechanischeTeilchenamOrt
xanzutreffen,wennessichimEigenzustand |n〉befindet.
DieGrundzustandswellenfunktion ψ0(x)kannmitHilfevon a |0〉 = 0berechnetwerden.WirmultiplizierendieseGleichungvonlinksmit
〈x|,d.h.
wirbetrachtensieimOrtsraum:
mω
0 = 〈x|a |0〉 = 〈x|
2
ˆ Q |0〉 + i
mω 〈 x| ˆ
P |0〉
mω
= x ψ0(x) +
2
d
mω dx ψ0(x)
⇒ dψ0(x)
= −
dx
x
x2 ψ0(x) .
0
DieLösungdieserGleichungistdie
GRUNDZUSTANDSWELLENFUNKTIONDESHARMONISCHEN
OSZILLATORS
ψ0(x) = πx 2 0
DiesisteinenormierteGaußscheFunktionmit σ = x0.
1 −
−4 e
x2
2x2 0 (4.80)
DieWahrscheinlichkeit,einTeilchenimIntervall (x,x + dx)anzutreffen,
istquantenmechanisch
dP(x) = |ψ0(x)| 2 x2
−
x dx ∼ e 2 0 dx .
Vergleich:BeimklassischenharmonischenOszillatoristdieWahrscheinlichkeitproportionalzurVerweildauer
∆tdesTeilchensimbetrachteten
Intervall
P(x ′ ∈ (x,x + ∆x)) ∼ ∆t = ∆x
.
|v(x)|
144

BeieinerklassischenOszillatorbewegungmitAmplitude Agilt
x(t) = A · cos(ωt)
|v(x)| = | ˙x| = |ω · A| · | sin(ωt)| = |ωA| 1 − cos2 (ωt)
= ωA 1 − ( x
A )2 .
NachderNormierungauf1erhaltenwir
dP(x ′ ∈ (x,x + dx)) = 1
πA
1
dx x 1 − ( )2
A
DieklassischeAufenthaltswahrscheinlichkeitistvollständigdurchdiemaximaleAuslenkungAfestgelegt.DieseGrößekommtinderquantenmechanischenBeschreibungnichtvor.UmbeideVerteilungsfunktionenmiteinandervergleichenzukönnen,wählenwirdieParameterso,dassdie
Energiengleichsind,nämlich
ω2m 2 A2 = ω (n + 1
) .
2
Esfolgt A 2 =
mω (2n + 1) = x2 0 (2n + 1) .DannsindauchdieVarianzen
(∆Q) 2 klassischundquantenmechanischgleich!Bei n = 0istdaher A =
x0.
Abbildung4.14:VergleichderWahrscheinlichkeitsdichte ρ(x)desharmonischen
Oszillators.GestrichelteLinie:klassischesErgebnis.DurchgezogeneLinie:quantenmechanischesErgebnis
ρ(x) = |ψn(x)| 2 für n = 0.DieAuslenkung xistin
Einheitenvon x0angegeben.
InAbbildung(4.14)sinddieklassischeund(für n = 0)diequantenmechanischeWahrscheinlichkeitsdichtefürdenGrundzustanddargestellt.Sie
unterscheidensichdrastisch.
145

4.8.4 AngeregteZuständeinderOrtsdarstellung
Dern-teangeregteZustandkanndurchn-fachesAnwendendesErzeugungsoperatorsausdemGrundzustanderzeugtwerden.Daswollenwirausnutzen,umdieangeregtenZuständeinderOrtsdarstellungzubestimmen
ψn(x) := 〈x|n〉 = 1
√ n! 〈x|(a † ) n |0〉
=
=
=
=
(mit: z = x
) =
x0
1
√ (
n! mω
2
1
√ (
n! mω
2
n
) 2 〈x| ˆQ − i ˆ P
n
) 2
1 n
− √ 2 2 x
n! −n
0
1
√ n! 2
n
− 2
1 n
− √ 2 2
n!
x
x0
1
4√ π
x −
mω
x 2 0
mω
d
dx
n
|0〉
n
ψ0(x)
x − x 2 n d
0 ψ0(x)
dx
− d
d( x
x0 )
n 1
4√
π
1
√ z −
x0
d
n e
dz
1
√ e
x0
−(x/x 0 )2
2
z2
− 2
z= x
x 0
DieinderletztenKlammerauftretendenFunktionenbezeichnetmanals
Hermite-Polynome.
DIEANGEREGTENZUSTÄNDEINDERORTSDARSTELLUNG
ψn(x) =
1 n
− √ 2 2
n!
1
4√ π
1
z2
−
√ e 2 hn(z)
x0
z= x
x0 hn(z) : Hermite-Polynomn-tenGrades
• hn(z):reellesPolynomderOrdnung nin z
• hn(z)hatgeradeoderungeradeParität: hn(−z) = (−1) n hn(z)
146
(4.81)

Beispiele:
(z − d z2
z2
−
)e− 2 = ze
dz
2 + ( 2z
2
)e− z2
2 = 2z
h1(z)
z2
−
e 2
(z − d
dz )2 z2
−
e 2 = (z − d z2
)2ze− 2 = 2(z
dz 2 z2
−
e 2 − d z2
(ze− 2 ))
dz
= 2(z 2 − 1 + z 2 z2
−
)e 2
= 2(2z 2 − 1)
h2(z)
z2
−
e 2
DieEigenvektoren |n〉deshermiteschenOperators ˆ Hsindvollständig,
undzueinanderorthonormal.DarausfolgteineentsprechendeOrthogonalitätderHermite-Polynome
〈n|m〉 =
∞
ψ
∞
∗ n(x)ψm(x) dx = δn,m ⇔
∞
e
∞
−z2
hn(z)hm(z)dz = δn,m n! √ π 2 n .
DieWahrscheinlichkeitsdichteeinigerZuständeistinAbbildung(4.15)
dargestelltundmitdemErgebnisderklassischenMechanikverglichen.
DieWahrscheinlichkeitsdichtefürdenZustand |n〉hatnNullstellen.Der
AbstandderNullstellenistungefähr ∆N.S. ≈ 2A/(n + 1) ≈ x0 8/nfür
n ≥ 2.QualitativnähertsichdasquantenmechanischeErgebnisfür n → ∞
demklassischenErgebnisan.EsbleibenaberdeutlicheUnterschiede:
• nNullstellen
•dieMaximasinddoppeltsohochwiedieAmplitudeimklassischen
Ergebnis.
ExperimentellhabenwiraberimmereineendlicheAuflösung ∆x.DieexperimentelleWahrscheinlichkeitsdichteistdaher
˜ρ(x) =
x+∆x/2
x−∆x/2
147
∆x
ρ(x) dx

Abbildung4.15:VergleichderWahrscheinlichkeitsdichtedesharmonischenOszillators.GestrichelteLinie:klassischesErgebnis.DurchgezogeneLinie:quantenmechanischesErgebnisfür
n = 0, n = 1, n = 2und n = 20(vonobennach
unten).DieAuslenkung xistwiederinEinheitenvon x0angegeben.
148

FürmakroskopischeschwingendeTeilchenist x0sehrklein(x0 ≈ 10 −16 m
fürm=1gund ω=1/sec)undbeimakroskopischerAmplitudeentsprechend
dieQuantenzahl nsehrgroß.DannistderAbstandderNullstellensehr
vielkleineralsdieexperimentelleAuflösungunddieKurvenstimmen
auchquantitativüberein.
4.8.5 DynamikdesharmonischenOszillators
WirwollenhierdieZeitentwicklungderWellenfunktionimPotentialdes
harmonischenOszillatorsuntersuchen.ZurZeit t = 0seiderZustand
|Φ0〉.ZueinemspäterenZeitpunkt t > 0ister
t
−i
|Φ(t)〉 = e ˆ H
|Φ0〉 , (4.82)
daderHamilton-OperatordesharmonischenOszillatorsnichtexplizitvon
derZeitabhängt.WirentwickelndenAnfangszustand |Φ0〉nachdenEigenzuständendesharmonischenOszillators
|Φ0〉 =
∞
cn |n〉 (4.83)
n=0
cn = 〈n|Φ0〉 =
∞
−∞
〈n|x〉〈x|Φ0〉 dx =
∞
−∞
Ψ ∗ n(x)Φ0(x) dx . (4.84)
In1DimensionkönnenalleKoeffizienten cnreellgewähltwerden,wie
auchdieEigenfunktionen Ψn(x).EinsetzeninGl.(4.82)liefert
Φ(x,t) ≡ 〈x|Φ(t)〉 =
∞
n=0
= e −iωt/2
cnΨn(x) e −iωt(n+1
2 )
∞
cnΨn(x) e −iωtn
n=0
. (4.85)
DieWellenfunktionzurZeit tbestehtsomitauseinerSummevonSchwingungenmitFrequenzen
(n + 1
2 )ω.WeilalledieseFrequenzenganzzahlige
Vielfachevon ωsind,istdiegesamteWellenfunktionperiodischinder
Zeit,mitderPeriode T = 2π/ω.DiesistauchdieSchwingungsdauerdes
149

klassischenOszillators.
Φ(x,t + T) = e −iπ
−1
e −iωt/2
∞
n=0
cnΨn(x) e −iωtn e −i2πn
1
(4.86)
= −Φ(x,t) . (4.87)
DernegativeVorfaktorhatkeinenEinflussaufMessgrößen.
WirberechnennundaszeitlicheVerhaltenvon 〈 ˆ Q〉imZustand |Φ(t)〉 =
∞ n=0 cn e−i(n+1 2 )ωt |n〉,mitreellenKoeffizienten cn.AusdemEhrenfestschen
Theoremwissenwirschon,dass 〈 ˆ Q〉dieklassischeBewegungsgleichung
fürdenharmonischenOszillatorerfüllt.WirerwartendeshalbbeipassendenAnfangsbedingungeneineSchwingungmitFrequenz
ω.
〈Φ(t)| ˆ Q |Φ(t)〉 = x0
√2 〈Φ(t)|a † + a |Φ(t)〉
= x0
√2
n=m+1
= x0
√2
= x0
√2
n,m
cn cm〈n| e i(n+1
2 )ωt e −i(m+1
2 )ωt √ m + 1 |m + 1〉 + h.c.
m
√
m + 1 cm+1cm e iωt
+ h.c.
√
m + 1 cm+1 cm 2 cos ωt . (4.88)
m
Hiersteht”h.c.”fürdashermiteschKonjugiertedesvorherigenTermsund
wirhabenausgenutzt,dass 〈Φ|a † |Φ〉derzu 〈Φ|a|Φ〉hermiteschkonjugierteAusdruckist.
ImErgebnissehenwirtatsächlich,dassderErwartungswertdesOrtsoperatorsinderRegelmitcosωtschwingt,allerdingsnur,fallsesimAnfangszustand
|Φ0〉Terme cn+1cn = 0gibt.Ansonstenist 〈 ˆ Q〉z.B.ineinemEigenzustand
|n〉desHamiltonoperatorszeitunabhängigNull.
EinbesondererFallsindkohärenteZustände(s.Übungen).DortistdieWellenfunktionzuallenZeitenGauß-förmigwieimGrundzustanddesharmonischenOszillators,dahermitminimalerUnschärfe,undschwingtals
GanzesmitderFrequenz ω.EinsolcherZustandistvonallenZuständen
desquantenmechanischenharmonischenOszillatorseinemklassischenTeilchenamähnlichsten.
150