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Aufgabe 11: Rotierender Dipol
Elektrodynamik Übungen
WS 2010/2011
Blatt 5, 16/17-12-2010
Wir betrachten das Strahlungsfeld eines rotierenden elektrischen Dipols in der Fernfeldnäherung.
Der Dipol rotiere in der xy-Ebene,
d(t) = d0(cos(ωt)ex + sin(ωt)ey).
a) Geben Sie d(t) in komplexer Schreibweise an.
b) Wie lautet das zeitabhängige magnetische Feld B(r,t)? Geben Sie es in komplexer
und reeller Schreibweise an. Benutzen Sie kartesische Koordinaten. Hinweis: elektrische
Dipolnäherung.
c) Berechnen Sie die Energiestromdichte (Poynting Vektor).
d) Zeigen Sie, dass der zeitliche Mittelwert der Energiestromdichte folgendermassen
geschrieben werden kann (in Kugelkoordinaten):
¯S(r) = µ0d 2 0ω 4
16π 2 c
(1 + cos 2 θ)
2r 2 N, N = r/r
e) Berechnen Sie den Fluss Φrot von ¯ S(r) durch eine Kugeloberfläche mit Radius R.
f) Für einen linearen Dipol in z-Richtung gilt (siehe 16.24 im Skriptum)
¯Slin = µ0d 2 0ω 4
16π 2 c
sin2 θ
N
2r2 Berechnen Sie auch den Fluss Φlin und berechnen Sie das Verhältnis Φrot/Φlin.
Aufgabe 12: Längenkontraktion
Ein Stab der Länge L0 (Koordinatensystem S ′ ) befindet sich parallel zu einer Photoplatte
(System S) und bewegt sich mit Geschwindigkeit v entlang seiner Längsachse. Ein Lichtblitz
(im System S) von vernachlässigbarer Dauer erhellt die Photoplatte und erzeugt
einen Schatten des Stabes auf der Platte.
a) Bestimmen Sie die Länge des Schattens im System S.
b) Wie lang erscheint der Schatten für einen Beobachter im System S ′ , der sich mit
dem Stab mitbewegt?
c) Da der Beobachter im System S ′ ruht, kennt er die wahre Länge des Stabes L0.
Warum erscheint der Schatten kürzer?
d) Um in einer Messung der Schattenlänge den Wert L0 zu erhalten, welche Zeitdifferenz
muss der Beobachter in S ′ zwischen die Messungen des Anfanges und Endes
des Schattens legen?
e) Wie gross erscheint diese Zeitdifferenz für einen Beobachter in S?

Aufgabe 13: Geschwindigkeitstransformation und π-Mesonen
Betrachten Sie zwei Koordinatensysteme S und S ′ . S ′ bewegt sich mit Geschwindigkeit β
entlang der x-Achse (c = 1). Ein Teilchen bewege sich im System S mit Geschwindigkeit
u, wobei der Geschwindigkeitsvektor einen Winkel θ mit der x-Achse einschließt.
a) Zeigen Sie, dass sich die Geschwindigkeit folgendermaßen transformiert:
u ′ cosθ ′ =
u cos θ − β
1 − βu cos θ
u ′ sin θ ′ =
u sin θ
γ(1 − βu cos θ)
b) Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit, u = 1. Zeigen Sie, dass damit
auch u ′ = 1 gilt, und berechnen Sie für diesen Fall die Transformation des Winkels
θ.
c) Neutrale π-Mesonen zerfallen in zwei Photonen (γ-Strahlung). Diese Strahlung wird
im Ruhesystem S ′ der Mesonen isotrop emittiert. Zeigen Sie, dass die Winkelverteilung
der Strahlung, die von Mesonen mit Geschwindigkeit v = βc emittiert wird,
im Laborsystem S gegeben ist durch:
P(θ)dθ =
sinθdθ
2γ 2 (1 − βcosθ) 2
Folgende Schritte sind hilfreich für die Rechnung:
c1) S sei das Laborsystem, und S ′ das Ruhesystem des Mesons. Isotrope Abstrahlung
bedeutet P(θ ′ ,φ ′ ) = 1
4π . Berechnen Sie P(θ′ )dθ ′ durch Integration von
P(θ ′ ,φ ′ ) über φ ′ = 0 → 2π.
c2) Die Wahrscheinlichkeit ist eine Erhaltungsgröße, d.h. eine Lorentzinvarinate:
P(θ ′ )dθ ′ = P(θ)dθ. Unter Benützung der Winkeltransformation (a), berechnen
Sie dθ ′ /dθ und damit P(θ).
d) Plotten Sie P(θ) als Funktion von θ. Finden Sie den Winkel, für den die Distribution
ein Maximum erreicht, für β = 0 und β = 0.5.