Kombiniertes Skript zu den Vorlesungen „Astronomie und Astrophysik”

Gemeinsames Skript zu den Vorlesungen
Astrophysik,
Relativitätstheorie
und Kosmologie
gehalten von Prof. Günter Wunner
und Apl. Prof. Jörg Main
mit Ergänzungen von Sebastian Boblest
1. Institut für Theoretische Physik
Pfaffenwaldring 57
Universität Stuttgart
70550 Stuttgart

Gemeinsames Skript zu den Vorlesungen
Astronomie und Astrophysik,
und
Spezielle und Allgemeine
Relativitätstheorie
mit Ergänzungen von Sebastian Boblest
Gehalten von
Prof. Günter Wunner
und Apl. Prof. Jörg Main
Entsprechend dem Inhalt
der Vorlesungen
im Wintersemester 2010/11 und
im Sommersemester 2011
1. Institut für Theoretische Physik
Pfaffenwaldring 57
Universität Stuttgart
70550 Stuttgart

Dieses Skript baut teilweise auf frühere Ausarbeitungen von Dominique Dudowski,
Swantje Bebenburg und Alexander Herzog zur Astrophysik sowie von Michael Klas zur
Allgemeinen Relativitätstheorie. In den Kosmologieteil sind viele Ideen von Dirk Meyer
eingegangen.
Dieses Skript ist immer noch in einem Entwurfsstatus. Diese Version wurde am
11. August 2011 veröffentlicht.
Korrekturen und Verbesserungsvorschläge bitte an:
sebastian.boblest@itp1.uni-stuttgart.de
Titelbild: Lichtablenkung durch ein Schwarzes Loch vor dem Milchstrassenpanorama. Das
Bild stammt aus der Doktorarbeit von Frank Grave. Für mehr Details zum Bild und dem
physikalischen Hintergrund siehe Abschnitt 15.1.7 auf Seite 203.

Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I Spezielle Relativitätstheorie 3
1 Einführung 5
1.1 Newtonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Transformationsverhalten der Maxwellgleichungen . . . . . . . . . 6
1.2.2 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Definitionen und Schreibweisen in der SRT 11
2.1 Matrixdarstellung von Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Spezielle Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Verknüpfung von Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Lorentz-Transformationen und klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . 13
3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation 15
3.1 Lorentz-Kontraktion bewegter Maßstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Bewegte Uhren: Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2 Verlust der Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3 Das Addititionstheorem der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . 17
3.1.4 Raum-Zeit-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Paradoxa der SRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Das Stab-Rahmen-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 Das Uhren-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Mathematischer Formalismus der SRT 25
4.1 Der Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.1 Definition des Minkowski-Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
iii

Inhaltsverzeichnis
4.1.2 Definition der Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Kontra- und kovariante Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Definition des kontravarianten Vierervektors . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2 Definition des kovarianten Vierervektors . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Transformationsverhalten der Differentiale und Koordinatenableitungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.4 Lorentz-Skalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 Definition von Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.2 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.3 Tensorverjüngung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.4 Tensor-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.5 Lorentz-Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.6 Das Differential der Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Relativistische Mechanik 37
5.1 Vierer-Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1 Vierer-Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.2 Vierer-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.3 Vierer-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.4 Beschreibung der kräftefreien Bewegung . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.5 Konstant beschleunigte Rakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.6 Relativistische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Äquivalenz von Masse und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.1 Konsequenzen der Äquivalenz von Masse und Energie . . . . . . . 47
5.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Drehimpulstensor und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Relativistische Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 51
6.1 Grundlagen der klassischen Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 Die homogenen Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.2 Die inhomogenen Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.3 Betrachtung für einen Boost in x-Richtung . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Lorentz-Tensoren 2. Stufe in der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Der Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Der kontravariante Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2.3 Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Kovariante Form der Erregungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
iv

Inhaltsverzeichnis
6.4 Kovariante Form der inneren Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4.1 Der duale Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4.2 Formulierung der inneren Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . 60
6.5 Kovariante Form der Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.6 Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . 62
6.6.1 Einführung des Energie-Impuls-Tensors . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6.2 Interpretation des Energie-Impuls-Tensors . . . . . . . . . . . . . 64
6.7 Der relativistische Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.7.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.7.2 Transformation in ein bewegtes Bezugsystem . . . . . . . . . . . . 66
6.7.3 Der longitudinale Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.7.4 Der transversale Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
II Astrophysik 69
7 Grundlagen der Astrophysik 71
7.1 Die Sonne als Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.1.1 Sonnenleuchtkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.1.2 Helligkeit von Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.1.3 Masse der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.4 Radius der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Der Schwarzschild-Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 Relativistische Fluchtgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2.2 Objekte mit einer Ausdehnung kleiner als der Schwarzschildradius 80
7.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.5 Der Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.6 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.6.1 Das Horizontsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.6.2 Das Äquatorsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.6.3 Ekliptikalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.6.4 Galaktisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.6.5 Störungen der Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8 Entstehung und Entwicklung von Sternen 93
8.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.1 Das Jeans-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.2 Ablauf des Kollapses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
v

Inhaltsverzeichnis
8.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.4 Charakteristische Zeitskalen der Sternentwicklung . . . . . . . . . 99
8.2 Energieproduktion in Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.1 Geschwindigkeitsverteilung der Nukleonen . . . . . . . . . . . . . 102
8.2.2 Der Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2.3 Proton-Proton-Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.2.4 Der Bethe-Weizsäcker-Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.3 Zustandsgleichungen für Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3.1 “Normale“ Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3.2 Entartete Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 Die Theorie Weißer Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Typische Radien Weißer Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.5 Masse-Radius-Beziehung von Monden und Planeten . . . . . . . . . . . . 120
Masse- und Radiusgrenze für Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.6 Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.7 Erhaltungsgrößen beim Kollaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7.1 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7.2 Erhaltung des magnetischen Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.8 Pulsare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
III Allgemeine Relativitätstheorie 137
9 Erweiterung der SRT zur ART zur Beschreibung der Gravitation 139
9.1 Ansatz über ein Skalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2 Ansatz über ein Viererpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Gravitation als Wirkung auf die Metrik des Raumes . . . . . . . . . . . . 140
10 Bewegung im Gravitationsfeld: Die Geodätengleichung der ART 143
11 Riemannsche Geometrie 147
11.1 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.1.1 Kontravariante Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.1.2 Kovariante Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.1.3 Tensoren höherer Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.1.4 Der metrische Tensor gµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.1.5 “Herunterziehen” von Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.1.6 Das Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
vi

Inhaltsverzeichnis
11.1.7 Linearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11.1.8 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Räume . . . . . . . 153
11.2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.2.2 Riemannsche Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.2.3 Tangentialraum und Kotangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.2.4 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.3 Tensoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.3.1 Parallelverschiebung und affine Zusammenhänge . . . . . . . . . . 155
11.3.2 Transformationsverhalten der Christoffelsymbole . . . . . . . . . . 158
11.3.3 Die kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.3.4 Ko- und kontravariantes Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.3.5 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.3.6 Rotation eines kovarianten Tensorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.3.7 Geodätische Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12 Die Krümmung des Raumes 163
12.1 Krümmung bekannter Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
12.1.1 Flache Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
12.1.2 Kugeloberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
12.2 Der Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.2.1 Herleitung über Parallelverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.2.2 Formale Definition des Krümmungstensors . . . . . . . . . . . . . 166
12.2.3 Symmetrien des Krümmungstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.2.4 Ricci-Tensor und Krümmungsskalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.2.5 Bianchi-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
12.2.6 Trägheitssatz von Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
13 Physikalische Grundlagen der ART – Das Äquivalenzprinzip 171
13.1 Äquivalenz von träger und schwerer Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
13.1.1 Träge Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
13.1.2 Schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
13.2 Fahrstuhlexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
13.3 Mathematische Bedeutung des Äquivalenzprinzips . . . . . . . . . . . . . 177
14 Die Einsteinschen Feldgleichungen 181
14.1 Die Bewegungsgleichungen der ART in nicht-relativistischer Näherung . . 181
14.1.1 Kugelsymmetrische Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 183
14.1.2 Krümmung der Metrik für schwache Felder . . . . . . . . . . . . . 183
vii

Inhaltsverzeichnis
14.2 Formulierung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
14.2.1 Der Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
14.2.2 Aufstellung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
15 Anwendungen der ART 189
15.1 Die Schwarzschild-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.1.1 Aufstellung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.1.2 Allgemeiner Ansatz für eine sphärisch-symmetrische Metrik . . . . 189
15.1.3 Lösung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
15.1.4 Folgerungen aus der Schwarzschild-Metrik . . . . . . . . . . . . . 193
15.1.5 Gravitationsrotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
15.1.6 Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
15.1.7 Lichtablenkung im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
15.1.8 Laufzeitverzögerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
15.1.9 Global Positioning System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15.2 Gravitationskollaps und schwarze Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
15.2.1 Freier Fall auf ein Schwarzes Loch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
15.2.2 Erweiterung der Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . 217
15.3 Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.3.1 Linearisierung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.3.2 Teilchen im Feld einer Gravitationswelle . . . . . . . . . . . . . . 229
15.3.3 Die Quadrupolnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
15.3.4 Nachweis von Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
15.4 Der Doppelpulsar 1913 + 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
15.4.1 Beschreibung des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
15.4.2 Relativistische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
IV Kosmologie 239
16 Kosmologie als Wissenschaft 241
17 Die Metrik des homogenen isotropen Raumes 243
17.1 Homogenität und Isotropie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
17.2 Existenz einer universellen Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
17.3 Die Friedmann-Robertson-Walker Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
17.3.1 Die zweidimensionale Metrik bei verschwindender Krümmung . . 245
17.3.2 Bestimmung der Metrik einer Kugeloberfläche . . . . . . . . . . . 245
17.3.3 Die Metrik der Pseudosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
viii

Inhaltsverzeichnis
17.4 Dreidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
17.5 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen 255
18.1 Der Ricci-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
18.2 Der Energie-Impuls-Tensor der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das gewählte Materiemodell . . . . . 258
18.3.1 Qualitative Diskussion der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18.3.2 Explizite Form der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante 267
19.1 Einsteins kosmologisches Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
19.2 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
19.2.1 Qualitative Diskussion der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 269
19.2.2 Λ-dominierte Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
19.2.3 Berechnung von Vmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
19.2.4 Quantitative Betrachtung der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 271
19.3 Der Hubble-Parameter als Maß für das Weltalter . . . . . . . . . . . . . 272
19.4 Die Eigendistanz zwischen Objekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie 277
20.1 Die kosmologischen Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
20.2 Die kosmologische Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
20.2.1 Primitive Überlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
20.2.2 Exakte Überlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
20.3 Die Arbeit von Edwin Hubble am Mt. Wilson Observatorium . . . . . . . 284
20.3.1 Entdeckung anderer Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
20.3.2 Entfernungsabhängige Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . 285
20.4 Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . 285
20.4.1 Die Strahlungsflussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
20.4.2 Die Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung . . . . . . . . . . . . . 287
20.4.3 Korrekturen der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung . . . . . . 290
20.4.4 Verwendung der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung zur Aufklärung
der Dynamik des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . 291
21 Die Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung 295
21.1 Energiedichte von Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
21.2 Transformationsverhalten des Planckspektrums . . . . . . . . . . . . . . 297
ix

Inhaltsverzeichnis
22 Die Frühphase des Universums 299
22.1 Verbesserter Ansatz für den Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . 299
Bedeutung des Energiesatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
22.2 Das strahlungsdominierte Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
22.3 Auswirkung von Quanteneffekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
22.4 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
22.4.1 Das Flachheitsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
22.4.2 Das Horizontproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
22.4.3 Das inflationäre Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung 307
23.1 Die Missionen COBE, WMAP und Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
23.2 Gaußsche Zufallsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
23.3 Die Zweipunktkorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
23.4 Interpretation des Winkelleistungsspektrums . . . . . . . . . . . . . . . . 313
23.5 Dichtestörungen im Photon-Baryon-Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
23.5.1 Der Zustand des Universums vor der Entkopplung . . . . . . . . . 314
23.5.2 Mathematische Betrachtung der Dichtestörungen . . . . . . . . . 315
23.6 Der Sachs-Wolfe Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
23.7 Akustische Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
23.8 Silk-Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
24 Unser heutiges Bild des Universums 329
24.1 Inhalt des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
24.2 Kosmologische Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
24.3 Die zeitliche Entwicklung des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
24.4 Die Zukunft des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Abbildungsverzeichnis 335
Tabellenverzeichnis 338
Index 339
Literaturverzeichnis 345
x

Einleitung
Das vorliegende Dokument enthält alle Inhalte der Vorlesungen Spezielle und Allgemeine
Relativitätstheorie wie sie von Herrn Apl. Prof Jörg Main gehalten wird, sowie die Inhalte
der Vorlesung Astronomie und Astrophysik, die Herr Prof. Wunner hält.
Es bietet sich an, zu diesen beiden Vorlesungen ein gemeinsames Skript zu erstellen,
da sich die Vorlesungsinhalte sehr gut ergänzen und zum Teil auch überschneiden. Das
liegt natürlich an der großen Bedeutung, die die Relativitätstheorie innerhalb der Astrophysik,
insbesondere in der Kosmologie, besitzt. Die Untersuchung der Entwicklung des
Universums ist in einem sinnvollen Rahmen ohne die Allgemeine Relativitätstheorie
nicht denkbar. Gleichzeitig werden viele Aussagen der Relativitätstheorie im Kontext
der Astrophysik erst experimentell überprüfbar. Darüber hinaus spielen aber auch speziellrelativistische
Themen eine wichtige Rolle wenn auch in geringerem Umfang, sei es
bei der Untersuchung von stellaren Objekten oder wiederum in der Kosmologie.
Der Text verknüpft aus diesem Grund die beiden angesprochenen Vorlesungen. Dabei
wird mit der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) begonnen worauf die Astrophysik mit
Ausnahme der Kosmologie folgt. Danach folgen Inhalte der Allgemeinen Relativitätstheorie
(ART). Allerdings finden sich auch in diesem Kapitel wieder einige Teile der
Astrophysik, die erst bei einer eingehenden Behandlung der ART verstanden werden
können. Der letzte Teil ist dann einer umfangreichen Behandlung der Kosmologie gewidmet
wie sie in der Astrophysikvorlesung besprochen wird. In die ART Vorlesung geht
dieser Teil nur in gekürzter Fassung ein. Allgemein sind in diesem Text einige Dinge
etwas ausführlicher formuliert als sie in den Vorlesungen behandelt werden können.
Zusätzlich wurden an vielen Stellen Verweise auf weiterführende Literatur oder bedeutende
wissenschaftliche Arbeiten angegeben. In vielen Fällen sind die zitierten Originalarbeiten
frei verfügbar. Besonders hervorgehoben werden muss in diesem Zusammenhang
die exzellente Homepage der WMAP-Mission. [1]
Zum besseren Zurechtfinden befindet sich am Ende des Textes ein Index. In diesem Index
sind alle Stichworte verzeichnet, die im Text durch Kapitälchen gekennzeichnet sind.
1

Inhaltsverzeichnis
Verwendung für die einzelnen Vorlesungen
Wenn dieses Skript als Vorbereitung für eine Prüfung in einer der beiden Vorlesungen
verwendet wird, so können einige Teile übersprungen werden.
Für die Astrophysikvorlesung sind folgende Kapitel relevant:
• Der zweite Teil komplett.
• Kapitel 13 bis 15 im ART-Teil, wobei die Herleitung der Einsteinschen Feldgleichungen
und der Schwarzschild-Metrik nicht relevant sind.
• Der Kosmologieteil komplett.
Für die Relativitätstheorie sind entsprechend die folgenden Kapitel wichtig:
• Der erste Teil komplett.
• Der dritte Teil komplett.
• Im Kosmologieteil die Kapitel 16 bis 21, in Grundzügen Kapitel 23 sowie Kapitel
24.
Je nach Interesse können dann bei Verweisen auf andere Kapitel dort weitere Details
gefunden werden.
2

Spezielle
Relativitätstheorie

1 Einführung
Die fundamentalsten Begriffe in der Physik sind wohl Raum und Zeit. Aus unserem Alltag
sind uns drei Raum- und eine Zeitdimension vertraut. Unsere klassische Vorstellung
ist daher die folgende:
• Jeder Raumpunkt ist beschreibbar durch Koordinaten (x,y,z) ∈ R 3 in einem beliebig
gewählten Koordinatensystem.
• Jeder Zeitpunkt ist beschreibbar durch die Zeit t relativ zu einem beliebig gewählten
Zeitnullpunkt (z.B. Greenwichzeit).
In dieser Raumzeit werden wichtige physikalische Theorien formuliert, z.B. die Newtonsche
Mechanik und die Elektrodynamik.
1.1 Newtonsche Mechanik
Für die Bewegung eines Punktteilchens mit Masse m gilt nach dem zweiten Newtonschen
Axiom
F = m · a = m¨x bzw. ¨x(t) = 1
F (x,t). (1.1)
m
Aus diesem Differentialgleichungssystem ergibt sich die Bahnkurve des Teilchens. Nach
dem klassischen Verständnis von Raum und Zeit gelten die Gesetze der Newtonschen
Mechanik in jedem Inertialsystem Unter Inertialsystemen versteht man dabei nichtbeschleunigte
Systeme.
Ein Wechsel des Inertialsystems in ein mit der Geschwindigkeit v bewegtes System erfolgt
über die Umrechnung
x ↦→ x ′ = x − v · t. (1.2)
Die allgemeinst mögliche Transformation zwischen Inertialsystemen in der Newtonschen
Mechanik heißt Galilei-Transformation mit der Gleichung
x ′ = D · x − v · t − x0
t ′ = t − t0.
(1.3)
Spezielle Relativitätstheorie 5

1 Einführung
Dabei bezeichnet D eine orthogonale Drehmatrix, v die Relativgeschwindigkeit zwischen
den Inertialsystemen und x0, t0 sind Verschiebungen des Raum- und Zeitursprungs.
Mit den jeweils drei freien Parametern von D, x0 und v und dem einen Parameter t0
ergeben sich insgesamt 10 Parameter für eine allgemeine Galileo-Transformation. Die
Menge der Galilei-Transformationen bildet daher ein 10-parametrige Gruppe. Unter allen
Transformationen in dieser Gruppe ist die Newtonsche Mechanik invariant. Dies ist
die zentrale Aussage dieses Abschnittes:
Die klassische Mechanik ist invariant unter Galilei-Transformation.
1.2 Elektrodynamik
Die Grundgleichungen der Elektrodynamik sind die Maxwellschen Gleichungen:
1
∇ × B − ε0 ˙ E = j, ∇ × E + ˙ B = 0,
µ0
∇ · E = 1
ϱ, ∇ · B = 0.
ε0
(1.4)
Die Maxwellschen Gleichungen sind ein Differentialgleichungssystem zur Bestimmung
der elektrischen und magnetischen Felder E(x,t) und B(x,t) bei gegebener Verteilung
der elektrischen Ladungen ϱ(x,t) und Ströme j(x,t).
Mögliche Lösungen sind beispielsweise statische Felder, die in der Elektro- und Magnetostatik
behandelt werden, oder elektromagnetische Wellen, die sich im Vakuum mit der
Lichtgeschwindigkeit
c = 1
√ = 299792458
ε0µ0
m
(1.5)
s
ausbreiten.
1.2.1 Transformationsverhalten der Maxwellgleichungen
Die Maxwellschen Gleichungen sind nicht invariant unter Galilei-Transformationen. Um
dies klar zu machen betrachten wir die Ausbreitung einer ebenen Welle in x-Richtung. In
einem bewegten System mit x ′ = x−v·ex·t breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit
c ′ = c+v = c aus. Diese Welle mit Geschwindigkeit c ′ ist keine Lösung der Maxwellschen
Gleichungen.
Es sind zwei mögliche Konsequenzen dieser Feststellung denkbar.
6

1.2 Elektrodynamik
Möglichkeit 1 Die Maxwellschen Gleichungen gelten nicht in beliebigen, sondern nur
in einem ausgezeichneten Inertialsystem, dem so genannten Weltäther.
Es wurden viele Experimente durchgeführt um diesen Weltäther nachzuweisen, allerdings
ohne Erfolg. Gleichzeitig konnte nachgewiesen, dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit in
allen Inertialsystemen gleich c ist unabhängig von der Bewegungsgeschwindigkeit des
Inertialsystems relativ zur Quelle. Es gilt also als gesichtert, dass es keinen Weltäther
gibt und die Maxwellschen Gleichungen in jedem Inertialsystem gelten.
Diese Möglichkeit kann daher ausgeschlossen werden!
Möglichkeit 2 Die Maxwellschen Gleichungen gelten in allen Inertialsystemen, aber
der Wechsel zwischen Inertialsystemen erfolgt nicht über die Galilei-Transformation!
1.2.2 Die Lorentz-Transformation
Vor Einstein war bereits bekannt, dass die Maxwellschen Gleichungen invariant unter
Lorentz-Transformationen sind. Wir wollen im Folgenden eine “Herleitung“, bzw. eine
Motivation der Lorentz-Transformation geben. Wir gehen aus von einem Spezialfall der
Galilei-Transformation mit D = 1, v = vex, x0 = 0, t0 = 0, also
x ′ = x − vt, y ′ = y, z ′ = z, t ′ = t. (1.6)
Wir betrachten einen im Raum-Zeit-Ursprung (x = 0, t = 0) startenden Lichtstrahl. Es
muss gelten:
x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 und x ′2 + y ′2 + z ′2 = c 2 t ′2 , (1.7)
also
x ′2 + y ′2 + z ′2 − c 2 t ′2 = 0 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 . (1.8)
Dagegen führt die Galilei-Transformation führt auf
(x − vt) 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 − 2xvt + v 2 t 2 . (1.9)
Der Term −2xvt + v 2 t 2 soll jetzt durch eine Transformation der Zeit beseitigt werden.
Dazu werden wir zwei Ansätze ausprobieren.
Als ersten Ansatz lassen wir für die Zeit eine einfache Verschiebung zu, d.h. statt (1.6)
haben wir
x ′ = x − vt, y ′ = y, z ′ = z, t ′ = t − α. (1.10)
Spezielle Relativitätstheorie 7

1 Einführung
Einsetzen führt statt (1.9) auf
x ′2 + y ′2 + z ′2 − c 2 t ′2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 − 2xvt + v 2 t 2 + 2αtc 2 − c 2 α 2 − c 2 t 2
=
1 − v2
c 2
x 2 + y 2 + z 2 +
1 − v2
c 2
c 2 t 2 .
(1.11)
Dabei wurde in der letzten Zeile α = xv/c 2 gesetzt. Die Faktoren (1 − v 2 /c 2 ) sind störend.
Der Ansatz führt also nicht zum gewünschten Ergebnis. Gleichzeitig sehen wir
aber, dass durch unsere Wahl für α vor x 2 und c 2 t 2 der gleiche Faktor steht. Das hilft
uns, einen verbesserten Ansatz zu finden
Dieser zweite Ansatz ist dementsprechend
x ′ =
1
1 − v2
c 2
(x − vt), y ′ = y, z ′ = z, t ′ =
1
1 − v2
c 2
t − xv
c 2
Bei Verwendung dieses Ansatzes erhalten wir das gewünschte Ergebnis
. (1.12)
x ′2 + y ′2 + z ′2 − c 2 t ′2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 . (1.13)
Wir haben in Gleichung (1.12) die spezielle Lorentz-Transformation für v = vex eingeführt.
Speziell soll hier bedeuten, dass die Transformation in ein parallel zu einer
Koordinatenachse bewegtes System, das nicht relativ zum ruhenden System gedreht ist,
erfolgt. Wir werden später noch genauer sehen, welche Eigenschaften Lorentz-Transformationen
charakterisieren und wie ein möglicher allgemeiner Ansatz aussehen könnte
um sie herzuleiten.
Wir möchten aber bereits hier einige Eigenschaften der gerade betrachteten Lorentz-
Transformation zusammenfassen, die von zentraler Bedeutung sind. Wir werden diese
Eigenschaften noch ausführlicher diskutieren.
8
1. Wir sehen aus (1.12) direkt, dass die hier betrachtete Lorentz-Transformation für
v ≪ c in die entsprechende Galilei-Transformation übergeht. Dies müssen wir natürlich
fordern, da bei kleinen Geschwindigkeiten die Galilei-Transformation korrekte
Vorhersagen liefert.
2. Die Größe s 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 ist invariant unter Lorentz-Transformationen.
3. Die Formeln für die spezielle Lorentz-Transformation gelten analog auch für v =
vey und v = vez, d.h. sich relativ zur y- und z-Achse bewegende Systeme.
4. Die Maxwellschen Gleichungen sind, wie bereits erwähnt, invariant unter der Lorentz-Transformation.
In der Notation wie in Gleichung (1.4) wird diese Invarianz

1.2 Elektrodynamik
nicht deutlich. Die Gleichungen lassen sich aber auf eine mathematisch sehr elegante
Form bringen, die kovariante Formulierung der Elektrodynamik, bei der die
Lorentz-Invarianz klar zu erkennen ist. Wir werden dieser Formulierung ein eigenes
Kapitel widmen.
Spezielle Relativitätstheorie 9

2 Definitionen und Schreibweisen in
der SRT
In diesem Kapitel werden wir die in der SRT verwendete Notation einführen. Damit
werden sich die auftretenden Gleichungen kompakter formulieren lassen. Außerdem ist
diese Notation später bei der Diskussion der ART notwendig.
2.1 Matrixdarstellung von Lorentz-Transformationen
Im Folgenden werden wir die folgenden Abkürzungen verwenden:
β Def.
= v Def.
, γ =
c
x 0 = ct
x 1 = x
x 2 = y
x 3 = z
1
1 − v2
c 2
=
1
. (2.1)
1 − β2 Wir messen in der SRT Geschwindigkeiten also immer bezüglich der Lichtgeschwindigkeit
c. Des Weiteren werden wir von nun an Ort und Zeit zur 4-dimensionalen Raum-Zeit
zusammenfassen:
⎫
⎪⎬
x
⎪⎭
µ ∈ R 4 . (2.2)
Dabei bezeichnet man x µ als Vierervektor und es gilt µ ∈ {0,1,2,3}. Die Zeitkoordinate
hat also den Index 0. Möchte man sich nur auf die Raumkoordinaten eines Vierervektors
beziehen, so werden lateinische Buchstaben verwendet, d.h. x i mit i ∈ {1,2,3}.
Die spezielle Lorentz-Tranformation in x-Richtung lautet in dieser Schreibweise dann
x ′0 = γ(x 0 − βx 1 ), x ′1 = γ(x 1 − βx 0 ), x ′2 = x 2 , x ′3 = x 3 . (2.3)
Spezielle Relativitätstheorie 11

2 Definitionen und Schreibweisen in der SRT
Die Lorentz-Transformation ist also eine lineare Transformation in den Raum-Zeit-
Koordinaten. In Matrix-Schreibweise ergibt sich
⎛
x
⎜
⎝
′0
x ′1
x ′2
x ′3
⎞
⎟
⎠ =
⎛
γ
⎜ −βγ
⎝ 0
−βγ
γ
0
0
0
1
⎞ ⎛
0 x
0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜
0 ⎠ ⎝
0 0 0 1
0
x1 x2 x3 ⎞
⎟
⎠ Def.
⎛
x
⎜
= Λ ⎜
⎝
0
x1 x2 x3 ⎞
⎟
⎠ , (2.4)
bzw. in Kurzschreibung
in Indexschreibweise.
x ′ = Λ · x oder x ′µ = Λ µ νx ν
2.1.1 Spezielle Lorentz-Transformationen
(2.5)
Sonderfälle der Lorentz-Transformationen sind die Boosts Λx, Λy und Λz in x-, y- und z-
Richtung, die wir bereits im ersten Kapitel kennengelernt haben, sowie reine Drehungen
ΛR:
Λx =
⎛
γ
⎜
⎜−βγ
⎝ 0
−βγ
γ
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
, Λy
⎛
γ
⎜
= ⎜ 0
⎝−βγ
0
1
0
−βγ
0
γ
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
,
Λz =
⎛
⎜
⎝
γ 0 0 −βγ
0 1 0 0
0 0 1 0
−βγ 0 0 γ
⎞
⎟
⎠ , ΛR
⎛
1
⎜
= ⎜ 0
⎝ 0
0
0 0
D
⎞
0
⎟
⎠ ,
mit einer Drehmatrix D, für die gilt D T D = DD T = 1.
2.1.2 Verknüpfung von Lorentz-Transformationen
(2.6)
Lorentz-Transformationen lassen sich miteinander verknüpfen. Seien Λ1, Λ2, . . . , Λn
Lorentz-Transformationen, dann ist auch
Λ = Λ1 · Λ2 · . . . · Λn
(2.7)
eine Lorentz-Transformation, wobei ”·” die normale Matrixmultiplikation ist. Als Beispiel
betrachten wir hier die Verknüpfung einer Drehung mit einem Boost und anschließender
12

2.2 Lorentz-Transformationen und klassische Mechanik
Rückdrehung, d.h. die Form ΛF = D −1 ΛD. In Matrixschreibweise ergibt dies
⎛
1 0 0 0
⎜
Λ = ⎜ 0
⎝
vx vy
− 0
v v
0 vy
⎞
⎟
vx 0 ⎠
v v
0 0 0 1
·
⎛
γ −βγ 0
⎜ −βγ γ 0
⎝ 0 0 1
0 0 0
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠
1
·
⎛
1
⎜ 0
⎝ 0
0
vx
v
−
0
vy
v
0
0
vy
⎛
γ −βγ
⎜
= ⎜
⎝
0
v
0
vx
v
0
⎞
⎟
0 ⎠
1
vx −βγ v
vy
v
−βγ
0
vx 1 + (1 − γ) v
v2 x
v2 (γ − 1) vxvy
v2 −βγ
0
vy
(γ − 1) v
vxvy
v2 1 + (1 − γ) v2 y
v2 0 0 0
⎞
⎟
0 ⎠
1
.
(2.8)
Hier haben wir eine Ähnlichkeitstransformation durchgeführt. Die resultierende Matrix
ist ein Boost in ein System, das sich Geschwindigkeit v = (vx, vy,0) bewegt.
2.2 Lorentz-Transformationen und klassische
Mechanik
Aus den bisherigen Bemerkungen könnte man folgern, dass sich die klassische Mechanik
nach der Galilei-Transformation und die Elektrodynamik nach der Lorentz-Transformation
transformiert.
Einsteins Verdienst war es zu erkennen, dass die Lorentz-Transformationen nicht auf
die Elektrodynamik beschränkt sind, sondern eine allgemeine Eigenschaft von Raum
und Zeit darstellen. Die, mit der Galilei-Transformation verknüpften, uns vertrauten
Eigenschaften von Raum und Zeit, z.B. die Existenz einer absoluten Zeit, gelten in der
Relativitätstheorie nicht mehr.
Spezielle Relativitätstheorie 13

3 Revolutionäre Konsequenzen der
Lorentz-Transformation
Aus der Anwendung der Lorentz-Transformation ergeben sich Vorhersagen, die unserem
Alltagsverständnis völlig widersprechen.
3.1 Lorentz-Kontraktion bewegter Maßstäbe
Wir betrachten zwei Koordinatensysteme K und K ′ , die sich relativ zueinander mit der
Geschwindigkeit v = vex bewegen, und eine Strecke parallel zur x-Achse zwischen zwei
Punkten A und B, die in K ′ ruhen, siehe Abbildung 3.1. Für die x-Koordinaten der
Punkte ergibt sich
x ′ A = 0 LT = γ(xA − vt) also xA(t) = vt,
x ′ B = l ′ LT = γ(xB − vt) also xB(t) = 1
γ l′ + vt.
In K ergibt sich der Abstand zwischen beiden Punkten zu
l = xB(t) − xA(t) = 1
γ l′
=
1 − v2
c 2 · l′ < l ′
(3.1)
(3.2)
für v = 0. Diese Erscheinung heißt Längenkontraktion: Bewegte Objekte erscheinen
in Bewegungsrichtung um den Faktor 1/γ = 1 − v 2 /c 2 verkürzt.
3.1.1 Bewegte Uhren: Zeitdilatation
Wir positionieren zwei baugleiche Uhren in den Koordinatenursprüngen von K und K ′ .
Die in K ′ ruhende Uhr zeigt die Zeit t ′ am Ort x ′ = 0. Im System K bewegt sich diese
Uhr mit Geschwindigkeit v. Wir rechnen die Koordinaten wieder ins System K um. Für
Spezielle Relativitätstheorie 15

3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation
ct
K
ct ′
v
l ′ /γ
K ′
Abbildung 3.1: Zur Lorentz-Kontraktion: Der Stab mit Länge l ′ im System
K ′ erscheint im unbewegten System K mit der verkürzten Länge l.
die x-Koordinate ergibt sich aus x ′ = 0 LT = γ(x − vt) also x(t) = vt und damit
t ′
LT
= γ t − v
x = γ t −
c2 v2
t = 1 −
c2 v2
t < t (3.3)
c2 für v = 0. Diese Erscheinung heißt Zeitdilatation: Bewegte Uhren gehen langsamer.
Bewegte Elementarteilchen Viele Elementarteilchen haben in ihrem Ruhesystem eine
kurze mittlere Lebensdauer, etwa Myonen µ − mit τ ≈ 2 · 10 −6 s. Ohne Zeitdilatation
ergäbe sich daraus eine mittlere Reichweite von maximal c·τ ≈ 600 m. Mit Zeitdilatation
dagegen erhält man eine mittlere Reichweite von maximal c·γτ ≈ 6000 m bei v = 0,995 c.
Im Teilchenbeschleuniger haben kurzlebige Teilchen daher eine lange Lebensdauer. Dieser
Effekt spielt beim Zwillingsparadoxon eine wichtige Rolle wie wir im nächsten
Abschnitt sehen werden.
3.1.2 Verlust der Gleichzeitigkeit
Wir betrachten zwei Systeme K und K ′ . In K ′ mögen zwei Ereignisse P1 und P2 gleichzeitig
an verschiedenen Orten stattfinden. Ein “Ereignis“ ist dabei gegeben durch Ort
und Zeit, d.h. alle vier Komponenten eines Vierervektors x µ :
16
l ′
x ′
P1 : (x ′ 1,t ′ ) , P2 : (x ′ 2, t ′ ) , mit x ′ 1 = x ′ 2. (3.4)
x

3.1 Lorentz-Kontraktion bewegter Maßstäbe
Uns interessieren die Zeitkoordinaten in K. Aus der Lorentz-Transformation ergibt sich
LT
= γ
. (3.5)
t ′ (1,2)
t(1,2) − v
x(1,2)
c2 Um diese Gleichungen auszuwerten, berechnen wir zuerst die x-Koordinate in K. Mit
LT
= γ x(1,2) − vt(1,2) folgt x(1,2) = x ′ (1,2) /γ + vt(1,2). Da beide Ereignisse in K ′ zur
x ′ (1,2)
gleichen Zeit stattfinden folgt weiter
t ′
= γ
= γ
t(1,2) − v
x(1,2)
c2 t ′ + v
c 2 x′ 2
t(1,2) − v
c 2
x ′ (1,2)
γ
+ vt(1,2)
= t(1,2)
γ
− v
c 2 x′ (1,2). (3.6)
Durch inverse Lorentz-Transformation folgt schließlich
t1 = γ t ′ + v
c2 x′ ⎫
⎬
1
t2 = γ
⎭ also t2 − t1 = γ v
c2 (x′ 2 − x ′ 1) = 0. (3.7)
Dabei ist die inverse Lorentz-Transformation in x-Richtung gegeben durch
bzw. in Matrixschreibweise
x = (x ′ + vt ′ ), t = γ
Λ −1 =
⎛
⎜
⎝
t ′ + v
x
c2 γ βγ 0 0
βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
, y = y ′ , z = z ′ , (3.8)
⎞
⎟
⎠ . (3.9)
Im System K finden die beiden Ereignisse also nicht zur gleichen Zeit statt!
3.1.3 Das Addititionstheorem der Geschwindigkeit
Gegeben seien drei Koordinatensysteme K, K ′ und K ′′ . K ′ bewege sich relativ zu K mit
Geschwindigkeit v1 parallel zur x-Achse, K ′′ bewege sich relativ zu K ′ mit Geschwindigkeit
v2, ebenfalls parallel zur x-Achse, siehe Abbildung 3.2.
Zu klären ist jetzt, wie sich das System K ′′ relativ zum System K bewegt. Laut Galilei-
Transformation ergäbe sich einfach v3 = v1 + v2. In der SRT dagegen gilt Λ3 = Λ2 · Λ1.
Spezielle Relativitätstheorie 17

3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation
ct
x
ct ′
x ′
ct ′′
K K ′ K ′′
v1(K, K ′ ) v2(K ′ , K ′′ )
v3(K, K ′′ )
Abbildung 3.2: Zum Geschwindigkeits-Additionstheorem: Gesucht ist die
Geschwindigkeit v3 des Systems K ′′ relativ zum System K in Abhängigkeit
von den Geschwindigkeiten v1 von K ′ relativ zu K und v2 von K ′′ relativ
zu K ′ .
Diese Bedingung ergibt für die relevanten Koordinaten
γ2 −β2γ2 γ1 −β1γ1
Λ3 =
−β2γ2 γ2 −β1γ1 γ1
γ1γ2(1 + β1β2) −γ1γ2(β1 + β2) != γ3 −β3γ3
=
−γ1γ2(β1 + β2) γ1γ2(1 + β1β2) −β3γ3 γ3
.
x ′′
(3.10)
Daraus lässt sich der Zusammenhang γ3 = γ1γ2(1 + β1β2) ableiten. Eine elementare
Umformung ergibt
γ3 =
1 −
1
.
2
(3.11)
β1+β2
1+β1β2
Mit der Definition des Lorentz-Faktors γ folgt dann das
Additionstheorem der Geschwindigkeit:
Für v1 < c, v2 = c ergibt sich z.B.
β3 = β1 + β2
√ , v3 =
1 + β1β2
v1 + v2
1 + v1v2
c2 . (3.12)
v3 = v1 + c
1 + v1c
c 2
Es gilt also in jedem Fall v3 ≤ c, wie erwartet.
18
= v1 + c
v1+c
c
= c. (3.13)

ct
zeitartig
(Zukunft)
Lichtkegel
x2 + y2 + z2 = c2t2 raumartig
zeitartig
(Vergangenheit)
3.2 Paradoxa der SRT
Abbildung 3.3: Raum-Zeit-Diagramm mit den raumartigen (s 2 > 0) und
zeitartigen Bereichen (s 2 < 0). Der Lichtkegel mit s 2 = 0 trennt diese Bereiche
voneinander.
3.1.4 Raum-Zeit-Diagramme
Abbildung 3.3 zeigt ein Raum-Zeit-Diagramm, wie es in der SRT zur Veranschaulichung
gut geeignet ist. Alle Punkte, für die s 2 > 0 gilt, heißen zeitartig, für s 2 < 0 raumartig
und für s 2 = 0 lichtartig. Raumartige Punkte können nicht kausal verbunden sein,
da keine Signalausbreitung mit v > c möglich ist. Die Weltlinien aller massebehafteten
Teilchen verlaufen im zeitartigen Teil, wie wir noch genauer sehen werden.
3.2 Paradoxa der SRT
Die Konsequenzen der SRT (Längenkontraktion, Zeitdilatation) widersprechen unseren
gewohnten Vorstellungen. Bereits kurz nach der Publikation 1905 haben deshalb verschiedene
Kritiker versucht, widersprüchliche Aussagen aus der Theorie zu gewinnen
und sie so “ad absurdum” zu führen.
3.2.1 Das Stab-Rahmen-Paradoxon
Wir betrachten einen bewegten Stab der Länge l und einen ruhenden Rahmen mit derselben
Länge l, siehe Abbildung 3.4. Wegen der Längenkontraktion passt der Stab bequem
Spezielle Relativitätstheorie 19

3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation
Rahmensystem K Stabsystem K ′
v
l/γ
x x ′
0 xA(t) xB(t) l 0 x l
′ 1 (t) x′ 2 (t)
Abbildung 3.4: Stab-Rahmen-Paradoxon: Im Ruhesystem K des Rahmens
gelte x1 = 0, x2 = l und im Ruhesystem K ′ des Stabes entsprechend x ′ A = 0
und x ′ B = l. Je nach Bezugssystem erscheint entweder der Rahmen oder der
Stab um den Faktor 1/γ verkürzt.
in den Rahmen. Kritiker wendeten hier ein:
“Im Bezugssystem des Stabes erfährt der Rahmen eine Längenkontraktion.
Der Stab passt nicht in den Rahmen.”
Damit ergibt sich ein scheinbarer Widerspruch zur Beobachtung im Bezugssystem des
Rahmens!
Erklärung des Paradoxons
Die Sprechweise: ”passt in den Rahmen” bedeutet Anfangs- und Endpunkt befinden sich
gleichzeitig innerhalb des Rahmens. Im Folgenden bewege sich der Stab mit Geschwindigkeit
v in x-Richtung, K sei das Ruhesystem des Rahmens. Wir wählen den Zeitnullpunkt
in K so, dass der Anfangspunkt xA des Stabes zur Zeit t = 0 den Anfangspunkt des
Rahmens erreicht: xA(t = 0) = 0.
Betrachtung im System K Für den Rahmen gilt
und für den Stab
20
x ′ A
x ′ B
γ
l/γ
v
x1(t) = 0, x2(t) = l (3.14)
LT
= γ(xA − vt) = 0 also xA(t) = vt,
LT
= γ(xB − vt) = l also xB(t) = 1
l + vt.
γ
(3.15)

3.2 Paradoxa der SRT
Bei t1 = 0 erreicht der Anfangspunkt des Stabes den Anfangspunkt des Rahmens. Wir
berechnen den Zeitpunkt t2, zu dem die beiden Endpunkte zusammenfallen:
xB(t) = 1
γ l + vt = x2 = l also folgt t2 = 1
1 −
v
1
l. (3.16)
γ
Fazit: Im Zeitintervall t1 = 0 < t < t2 =
innerhalb des Rahmens.
1 − 1
l
γ v
Betrachtung im System K ′ Für den Stab gilt
und für den Rahmen
x1
x2
befindet sich der Stab vollständig
x ′ A(t ′ ) = 0, x ′ B(t ′ ) = l (3.17)
inv. LT
= γ(x ′ 1 + vt ′ ) = 0 also x ′ 1(t ′ ) = −vt ′
inv. LT
= γ(x ′ 2 + vt ′ ) = l also x ′ 2(t ′ ) = 1
γ − vt′ .
(3.18)
Bei t ′ 1 = 0 erreicht der Anfangspunkt des Rahmens x ′ 1 den Anfangspunkt des Stabes x ′ A .
Der Endpunkt des Rahmens befindet sich zu diesem Zeitpunkt wegen der Längenkontraktion
des Rahmens bei x ′ 2(t ′ 1 = 0) = 1
γ l < l. Die Endpunkte des Rahmens x′ 2 und des
Stabes x ′ B treffen aufeinander, wenn gilt
x ′ 2(t ′ 2) = 1
γ l − vt′ 2 = x ′ B = l. (3.19)
Daraus folgt
t ′
1 l
2 = − 1 < 0. (3.20)
γ v
1
Das Kleinerzeichen gilt wegen − 1 < 0.
γ
Fazit: Es gilt t ′ 2 < t ′ 1, also befindet sich der Stab zu keinem Zeitpunkt vollständig
innerhalb des Rahmens. Das ist aber kein Widerspruch zur Beobachtung in K. Dort
erreicht der Endpunkt xB des Stabes den Punkt x2 des Rahmens bei t2 = (1 − 1/γ) l/v >
0 und x2 = l. Wir führen wieder eine Lorentz-Transformation ins System K ′ durch. Für
die Stabspitze gilt offensichtlich
x ′ 2(t) LT = γ (x2 − vt2) = γl − (γ − 1)l = l. (3.21)
Spezielle Relativitätstheorie 21

3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation
Die zugehörige Zeit lautet
t ′ 2
LT
= γ
t2 − v
x2
c2
= (γ − 1) l
v
v 1 l
− γ l = − 1
c2 γ v
< 0. (3.22)
Die Lösung des Paradoxons liegt in der Transformation der Zeit und einer dabei möglichen
Umkehr der zeitlichen Abfolge (raumartiger) Ereignisse. In System K haben wir
Ereignis 1: xA = x1 = 0 bei t1 = 0
Ereignis 2: xB = x2 = l bei t2 =
1 − 1
l
γ v
> t1.
In System K ′ vertauschen die beiden Ergeinisse ihre zeitliche Abfolge:
Ereignis 2: x ′ 2 = x ′ B = l bei t2 =
1 l
γ v
Ereignis 1: x ′ 1 = x ′ A = 0 bei t′ 1 = 0 > t2.
< 0
Für den “Abstand” zwischen den Ereignissen 1 und 2 erhalten wir
(∆s) 2 = c 2 (∆t) 2 − (∆x) 2 = c 2
1 − 1
2 2 l
γ v2 − l2 = − 2
γ + 1 l2 < 0. (3.23)
Der Abstand ist also raumartig, d.h. es besteht kein kausaler Zusammenhang zwischen
den beiden Ereignissen.
3.2.2 Das Uhren-Paradoxon
Wir betrachten zwei baugleiche Uhren. Uhr 1 ruht, Uhr 2 bewegt sich mit Geschwindigkeit
v. Uhr 2 läuft dann also wegen der Zeitdilatation langsamer als Uhr 1, siehe
Abbildung 3.5.
Kritiker bemerkten nun:
“Im Ruhesystem von Uhr 2 bewegt sich Uhr 1 und erfährt eine Zeitdilatation,
es läuft also Uhr 1 langsamer als Uhr 2, dies ist ein Widerspruch.“
Erklärung
Im Ruhesystem K von Uhr 1 ruht diese bei x1(t) = l, Uhr 2 bewegt sich mit Geschwindigkeit
v auf Uhr 1 zu, also gilt x2(t) = vt. Für Uhr 1 gilt in K genauer
22

Uhr 2 Uhr 1
v
0 l
x
3.2 Paradoxa der SRT
Abbildung 3.5: Uhrenparadoxon: Im Ruhesystem von Uhr 1 läuft die mit
Geschwindigkeit v bewegte Uhr 2 langsamer als Uhr 1.
E1 : (x = l, t = 0), E2 :
x = l, t = l
, ∆t1 =
v
l
. (3.24)
v
mit der Anzeige ∆t1 der Uhr 1 bei Kollision.
Für Uhr 2 gilt in K
E1 : (x = 0, t = 0), E2 : x = l, t = l
, ∆t2 =
v
l
. (3.25)
v
Jetzt führen wir die Lorentz-Transformation x ′ = γ(x − vt) und t ′ = γ t − xv
c2
von K
nach K ′ durch.
Für Uhr 1 in K ′ erhalten wir
E1 : x ′ = γl, t ′ = −γ vl
c2
, E2 : x ′ = 0, t ′ = 1
l
,
γ v
∆t ′ 1 = 1 l vl l
+ γ =
γ v c2 v γ
1
+ β2 =
γ2 l
v γ.
(3.26)
Für Uhr 2 gilt in K ′
E1 : (x ′ = 0, t ′ = 0), E2 :
x ′ = 0, t ′ = 1
l
, ∆t
γ v
′ 2 = 1 l
, (3.27)
γ v
mit der Anzeige ∆t ′ 2 der Uhr 2 bei Kollision. Wir berechnen die Zeitdilatation von Uhr
2 im System K. Diese ist definiert über
∆t ′ 2
∆t2
Eigenzeit der in K
=
′ ruhenden Uhr 2
Zeitdifferenz der Ereignisse für Uhr 2 in System K
= Anzeige Uhr 2 bei Kollision
Anzeige Uhr 1 bei Kollision .
(3.28)
Spezielle Relativitätstheorie 23

3 Revolutionäre Konsequenzen der Lorentz-Transformation
Mit den gerade berechneten Ergebnissen ergibt dies ∆t ′ 2/∆t2 = 1/γ < 1, die bewegte
Uhr 2 geht also langsamer.
Analog betrachten wir die Zeitdilatation von Uhr 1 im System K ′ :
∆t1
∆t ′ 1
=
= 1
γ
Eigenzeit der in K ruhenden Uhr 1
Zeitdifferenz der Ereignisse für Uhr 2 in System K ′
< 1 = Anzeige Uhr 1
Anzeige Uhr 2
(3.29)
Die bewegte Uhr 1 geht also langsamer.
Die in K ′ vergangene Zeit zwischen den Ereignissen E1 und E2 ist nicht die von Uhr 2
angezeigte Zeit.
Welche Uhr schneller oder langsamer geht, hängt also von der Wahl
des Bezugssystems ab!
3.2.3 Zwillingsparadoxon
Dies ist wahrscheinlich das bekannteste der Paradoxa der SRT. Betrachtet wird ein
Zwillingspaar. Einer der Zwillinge bleibt auf der Erde, der andere reist mit hoher Geschwindigkeit
und kehrt zur Erde zurück. Auf der Erde ist mehr Zeit vergangen als im
Raumschiff. Das Paradoxon bei dieser Situation ergibt sich, wenn man sie aus der Sicht
des anderen Zwillings betrachtet:
Lösung
Vom Raumschiff aus betrachtet bewegt sich der Zwilling auf der Erde mit
hoher Geschwindigkeit. Kommt es also Zeitdilatation auf der Erde?
Start und Ende der Reise ist auf der Erde, diese ist das gewählte Bezugssystem, wobei
im Raumschiff die Zeitdilatation auftritt. Der reisende Zwilling ist nicht während
der gesamten Reise im gleichen Inertialsystem, da er um zurückzukehren beschleunigen
muss. Wir betrachten das Zwillingsparadoxon nochmals quantitativ in Kapitel 5 zur
relativistischen Mechanik.
24

4 Mathematischer Formalismus der
SRT
Wir hatten bereits Vierervektoren x µ = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = (ct,x,y,z) und die Lorentz-
Transformation x ′µ = Λ µ νx ν kennengelernt. Die Lorentz-Transformation entspricht hier
einer Matrix-Vektor-Multiplikation, wobei wir die Einsteinsche Summenkonvention
benutzen, das heißt über mehrfach vorkommende Indizes wird summeriert:
x ′µ ≡
3
Λ µ νx ν . (4.1)
ν=0
Als Beispiel sei nochmals der Lorentz-Boost in x-Richtung gezeigt, d.h. die Transformation
in ein mit v = vex bewegtes System:
Λ µ ⎛
γ
⎜
ν = ⎜ −βγ
⎝ 0
−βγ
γ
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠ . (4.2)
0 0 0 1
Unter Lorentz-Transformationen ist die Größe
invariant, d.h. es gilt s 2 = s ′2 , bzw.
s 2 = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2
(4.3)
(x ′0 ) 2 − (x ′1 ) 2 − (x ′2 ) 2 − (x ′3 ) 2 = (x 0 ) 2 − (x 1 ) 2 − (x 2 ) 2 − (x 3 ) 2 . (4.4)
Bei nur positiven Vorzeichen in Gleichung (4.4) würde
||x ′ || 2 = ||x|| 2
(4.5)
gelten, d.h. Λ würde als Drehmatrix die Norm des Vektors erhalten, wie in der Euklidischen
Geometrie.
In diesem Kapitel werden wir die Mathematik zur Formulierung der SRT genauer dis-
Spezielle Relativitätstheorie 25

4 Mathematischer Formalismus der SRT
kutieren. Insbesondere die Struktur des Minkowski-Raumes und die mathematische Behandlung
von Tensoren sind hier wichtig, insbesondere auch um später die kovariante
Formulierung der Elektrodynamik besprechen zu können. Darüberhinaus ist dieser Formalismus
notwendig, um leichter die Verallgemeinerung hin zur Allgemeinen Relativitätstheorie
vornehmen zu können.
4.1 Der Minkowski-Raum
Die Relativitästheorie ist nicht in einem Euklidischen Raum definiert, sondern im Minkowski-Raum.
Im folgenden Abschnitt werden dessen Eigenschaften genauer diskutiert.
4.1.1 Definition des Minkowski-Raumes
Der Minkowski-Raum ist ein vierdimensionaler, reeller Vektorraum mit folgendem Skalarprodukt:
Seien a µ und b µ Vierervektoren. Das Skalarprodukt (a,b) ist gegeben durch:
mit der Minkowski-Metrik
(a,b) = aµb µ = a0b 0 + a1b 1 + a2b 2 + a3b 3
= a 0 b 0 − a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3
= ηµνa µ b ν ,
ηµν =
(4.6)
⎛
1
⎜
⎜0
⎝0
0
−1
0
0
0
−1
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠ , (4.7)
0 0 0 −1
dem kontravarianten Vektor b µ = (b 0 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ) mit hochgestelltem Index und dem
kovarianten Vektor aµ = (a0,a1,a2,a3) = ηµνa ν = (a 0 , − a 1 , − a 2 , − a 3 ) mit tiefgestelltem
Index.
Im Euklidischen Raum gilt
(x,x) > 0 ∀x = 0 und (x,x) = 0 ⇔ x = 0. (4.8)
Das Skalarprodukt ist hier also positiv definit. Im Gegensatz dazu folgt aus der Definition
des Skalarproduktes im Minkowski-Raum:
26
Das Skalarprodukt im Minkowski-Raum ist nicht positiv definit!

4.1 Der Minkowski-Raum
Tabelle 4.1: Vergleich von Schreibweisen im Euklidischen und im Minkowski-Raum.
Euklidischer Raum Minkowski-Raum
Skalarprodukt (a,b) =
i aibi aµb µ = ηµνa µ bν Matrix-Vektor-Multiplikation y = D · x y µ = A µ νx ν
yi =
j Aijxj
Matrizenmultiplikation C = A · B C µ ν = A µ
λ Bλ ν
Cij =
k AikBkj
Transponierte Matrix A T = A T
ij
= Aji
(A µ ν) = A µ
ν
= ηναη µβAα β
Die verschiedenen Schreibweisen im Euklidischen Raum und im Minkowski-Raum mit
Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention sind in Tabelle 4.1 verglichen. Die Matrix
ηµν = η µν ermöglicht im Minkowski-Raum das Herauf- und Herunterziehen von Indizes.
Darüber sind etwa die Größen a µ und aµ verknüpft, wie wir noch detailliert sehen werden.
4.1.2 Definition der Lorentz-Transformationen
Wir wollen in diesem Abschnitt die notwendige Eigenschaft für eine Matrix herleiten,
die sie zu einer Lorentz-Transformation macht. Bei dieser kurzen Rechnung folgen wir
der Argumentation von B. Zwiebach. [2] Dazu betrachten wir zwei Inertialsysteme S und
S ′ und einen Vierervektor mit Koordinaten x µ in S und x ′α in S ′ , sowie eine Lorentz-
Transformation, die von S nach S ′ transformiert, d.h. es ist x ′µ = Λ µ νx ν .
Aus der Invarianz von s 2 = x µ xµ unter Lorentz-Transformationen folgt dann
ηαβx α x β = ηµνx ′µ x ′ν . (4.9)
Wir setzen für x ′µ den durch die Lorentz-Transformation definierten Ausdruck ein und
erhalten
ηµνx ′µ x ′ν = ηµν (Λ µ αx α ) Λ ν βx β . (4.10)
Wir setzen dieses Ergebnis in (4.9) ein, und bringen alle Ausdrücke auf die linke Seite.
Dann haben wir
ξαβx α x β = 0, mit ξαβ = ηµνΛ µ αΛ ν β − ηαβ. (4.11)
Die Summe auf der linken Seite lässt sich wegen x δ x κ = x κ x δ für beliebiges δ und κ
Spezielle Relativitätstheorie 27

4 Mathematischer Formalismus der SRT
umschreiben als
ξαβx α x β = 1
2 (ξαβ + ξβα) x α x β . (4.12)
Diese Gleichung soll für jeden beliebigen Vektor x µ gelten, d.h. es muss
ξαβ + ξβα = 0 (4.13)
sein. Gleichzeitig ist ξαβ symmetrisch unter Vertauschung der Indizes wie man an der
Definition leicht erkennt. Dann muss ξαβ = 0 sein, bzw.
Λ µ αηµνΛ ν β = ηαβ. (4.14)
Dabei haben wir die Reihenfolge der Faktoren auf der linken Seite vertauscht. Die erste
Multiplikation in dieser Gleichung ist keine Matrizenmultiplikation, da µ sowohl in der
Lorentz-Transformation als auch in der Minkowski-Metrik ein Spaltenindex ist. Um
diese Gleichung als Matrixmultiplikation darzustellen, muss die erste Lorentzmatrix also
transponiert werden. Es ergibt sich dann die Bedingungsgleichung
Λ T ηΛ = η. (4.15)
für Lorentz-Transformationen. Diese Gleichung ist völlig analog zur Definition der orthogonalen
Drehmatrizen
D T 1D = 1 (4.16)
im Euklidischen Raum. Wir haben links lediglich noch zusätzlich die Einheitsmatrix
eingeschoben um die Analogie noch deutlicher zu machen. Wir können also zusammenfassen:
Die Lorentz-Transformationen sind die orthogonalen Transformationen
im Minkowski-Raum entsprechend den Drehungen im Euklidischen
Raum.
Wenn wir die Determinante von (4.15) bilden, so ergibt sich mit det (AB) = det A·det B
nach kürzen mit det η die Relation
det Λ = ±1. (4.17)
Wir können noch einen weiteren wichtigen Zusammenhang ableiten. Dazu wenden wir
die Minkowski-Metrik nochmals auf Gleichung (4.14) an:
28
η δα Λ µ αηµνΛ ν β = η δα ηαβ. (4.18)

Mit η δα ηαβ = δ δ β und ηδα Λ µ αηµν = Λ δ
ν folgt dann
Damit haben wir folgendes Ergebnis:
Die Größe
ist die inverse Lorentz-Transformation.
4.1 Der Minkowski-Raum
Λ δ
ν Λ ν β = δ δ β. (4.19)
Λ δ
ν = η δα Λ µ αηµν (4.20)
Wir machen uns diese Zusammenhänge noch an einigen Beispielen klar.
Als erstes betrachten wir wieder den Lorentz-Boost in x-Richtung:
Λ α ⎛
γ
⎜
β = ⎜ −βγ
⎝ 0
−βγ
γ
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠ . (4.21)
0 0 0 1
Hochziehen des zweiten Index geschieht über
Λ αµ = η βµ Λ α β = Λ α βη βµ . (4.22)
In Matrixdarstellung ausgeschrieben lautet diese Gleichung
Λ αµ ⎛
γ
⎜
= ⎜ −βγ
⎝ 0
−βγ
γ
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 1
·
⎛
1
⎜ 0
⎝ 0
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −1
=
⎛
γ
⎜ −βγ
⎝ 0
βγ
−γ
0
0
0
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −1
.
(4.23)
Herunterziehen des ersten Index erfolgt weiter durch
Λ µ
λ = ηλαΛ αµ . (4.24)
Diese Gleichung können wir wiederum in Matrixschreibweise darstellen:
Λ µ
λ =
⎛
1
⎜ 0
⎝ 0
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −1
·
⎛
γ
⎜ −βγ
⎝ 0
βγ
−γ
0
0
0
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −1
=
⎛
γ
⎜ βγ
⎝ 0
βγ
γ
0
0
0
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −1
.
(4.25)
Spezielle Relativitätstheorie 29

4 Mathematischer Formalismus der SRT
Damit können wir Gleichung (4.19) nun für den x-Boost in Matrixdarstellung auswerten.
Es ergibt sich dann
Λ µ
λ Λλ ⎛
γ
⎜
ν = ⎜ βγ
⎝ 0
βγ
γ
0
0
0
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 −1
·
⎛
γ
⎜ −βγ
⎝ 0
−βγ
γ
0
0
0
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠
⎛
γ
⎜
= ⎜
⎝
0 0 0 −1
2 (1 − β2 ) 0
0 γ
0 0
2 (1 − β2 )
0 0
⎞
0 0 ⎟
1 0 ⎠
0 0 0 1
=
⎛
1 0 0
⎜ 0 1 0
⎝ 0 0 1
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 1
= δµ ν ,
(4.26)
wie gefordert.
Bei diesen Beispielen wird auch erkennbar, dass in Einsteinscher Summenkonvention
dargestellte mathematische Operationen nicht immer oder nicht direkt als Matrixgleichung
dargestellt werden können. So muss in Gleichung (4.22) die Reihenfolge vertauscht
werden um eine gültige Matrixmultiplikation zu finden.
Sei im zweiten Fall eine Lorentz-Transformation durch eine reine Drehung gegeben, also
Λ µ
λ =
Dann ergibt sich ebenfalls
1 0
0 D
Λ µ
λ Λλ ν =
, mit DD T = D T D = 1. (4.27)
1 0
0 D T
1 0
0 D
4.2 Kontra- und kovariante Vektoren
= δ µ ν . (4.28)
Sei a µ ∈ V ein kontravarianter Vektor im Vektorraum V . Dann ist aµ = ηµνa ν ∈ V ∗ ein
kovarianter Vektor und ein Element des Dualraumes V ∗ der 1-Formen, d.h.
30
ϕa : V ↦→ R ist lineare Abbildung mit
aµ : b µ → (a,b) = aµb µ ∈ R.
(4.29)

4.2.1 Definition des kontravarianten Vierervektors
4.2 Kontra- und kovariante Vektoren
Jede vierkomponentige Größe a µ , die sich unter Lorentz-Transformation mit der Lorentz-
Matrix transformiert gemäß
a ′µ = Λ µ να ν , (4.30)
nennt man einen kontravarianten Tensor 1. Stufe.
4.2.2 Definition des kovarianten Vierervektors
Sei a µ kontravarianter Vektor mit a ′µ = Λ µ να ν , dann gilt
a ′ µ = ηµαa ′α = ηµαΛ α ν a ν
ηνβ = ηµαη
αβ
νβ Λ α νaβ = Λ β
µ aβ, (4.31)
mit der inversen Lorentz-Transformation Λ β
µ . Jede vierkomponentige Größe, die sich
mit der inversen Lorentz-Matrix transformiert gemäß
heißt kovarianter Tensor 1. Stufe.
a ′ µ = Λ ν
µ aν
4.2.3 Transformationsverhalten der Differentiale und
Koordinatenableitungen
Sei x µ kontravarianter Vektor. Es gilt dann
x ′µ = Λ µ νx ν
also auch dx ′µ = Λ µ νdx ν
Die Differentiale dx µ tranformieren sich wie kontravariante Vektoren.
Sei f = f(x µ ) skalare Funktion, dann gilt für ihr Differential:
Mit x ′µ = Λ µ νx ν bzw. x ν = (Λ −1 ) ν
µ x′µ folgt
df = ∂f
∂x ′µ dx′µ = ∂f
∂xν ∂xν ∂x ′µ dx′µ =
(4.32)
(4.33)
df = ∂f
∂x µ dxµ . (4.34)
Λ −1 ν
mit der inversen Lorentz-Transformation ∂x ν /∂x ′µ = (Λ −1 ) ν
µ .
µ
∂
∂xν
fdx ′µ
(4.35)
Spezielle Relativitätstheorie 31

4 Mathematischer Formalismus der SRT
Wir führen hier noch eine verkürzte Notation für die Koordinatenableitungen ein:
Ein Vergleich liefert dann folgendes wichtige Resultat:
∂
∂x µ ≡ ∂µ. (4.36)
Die Koordinatenableitungen ∂µ transformieren sich wie kovariante
Vektoren.
Dieser Eigenschaft trägt auch die Notation in (4.36) mit Index unten Rechnung.
4.2.4 Lorentz-Skalare
Ein Lorentz-Skalar ist eine reelle Größe, die invariant bleibt unter Lorentz-Transformation.
Wir betrachten zwei Beispiele:
Das Skalarprodukt zwischen Lorentz-Vektoren ist gegeben durch S = aµb µ . Im durch die
Lorentz-Transformation Λ erreichten System gilt
S ′ = a ′ µb ′µ = aαΛ α
µ Λ µ
β bβ = aαb β δ α β = aµb µ = S. (4.37)
Die Eigenzeit τ ist ebenfalls invariant unter Lorentz-Transformationen, denn das differentielle
Linienelement ds 2 = dxµdx µ = c 2 dt ′2 − (dx) 2 ist invariant unter Lorentz-
Transformation. Dann muss auch
dτ = 1 1
ds = dxµdx
c c
µ (4.38)
invariant unter Lorentz-Transformation sein. Damit ist schließlich die Eigenzeit
ein Lorentz-Skalar.
32
τ =
ˆτ2
τ1
dτ (4.39)

4.3 Tensoralgebra
4.3.1 Definition von Tensoren
Ein Tensor vom Typ (r,s) ist eine multilineare Abbildung
×
V × V
× ... × V
↦→ R
r mal
s mal
(ϕ,χ,...,ω;
u,v,...,w)
→ T (ϕ,χ,...,ω; u,v,...,w) ∈ R.
r mal s mal
T : V ∗ × V ∗ × ... × V ∗
4.3 Tensoralgebra
(4.40)
Dabei bezeichnen griechische Buchstaben Elemente des Dualraumes V ∗ und lateinische
Buchstaben Elemente von V . T heißt r-fach kontra und s-fach kovarianter Tensor.
Unter Multilinearität versteht man die Eigenschaft, linear in jedem Argument (bei Festhalten
der übrigen) zu sein. Ein Tensor χ lässt sich also zerlegen in
χ = aχ 1 + bχ 2 + . . . , (4.41)
mit den Koeffizienten a, b ∈ R in unserem Fall. Die Menge aller Tensoren des Typs (r,s)
bildet einen Vektorraum V r
s .
In Indexschreibweise kann diese Abbildung in der Form
dargestellt werden.
4.3.2 Tensorprodukt
r mal
α1...αr T
ϕα1χα2...ωαru
β1...βs
β1 β2 βs v ...w ∈ R (4.42)
s mal
Seien T ∈ V r
s und S ∈ V r′
′ , dann gilt
s
T ⊗ S ∈ V r
s × V r′ r+r′
s ′ = Vs+s ′ ,
T α1...αr
β1...βs Sα′ 1 ...α′
r ′
β ′ 1 ...β′
s ′ = U α1...αr α ′ 1 ...α′
r ′
β1...βs
β ′ 1 ...β′ .
s ′
Die Operation ”⊗“ heißt Tensorprodukt oder direktes Produkt.
(4.43)
Spezielle Relativitätstheorie 33

4 Mathematischer Formalismus der SRT
4.3.3 Tensorverjüngung
Sei T ∈ V r
s ein Tensor vom Typ (r,s). Indem in Komponentenschreibweise der k-te
kovariante und der j-te kontravariante Index das gleiche Symbol bekommen und über
diese zwei Indizes aufsummiert wird, erhält man einen Tensor aus V r−1
s−1 :
T α1...βj...αr
β1...βj...βs
Diese Operation heißt Tensorverjüngung oder Kontraktion.
Beispiele
Seien a µ und b µ ∈ V 1
0 kontravariante Vierervektoren. Dann ist
• ηµνa ν = aµ ∈ V 0
1 ein kovarianter Vektor
∈ V r
s = Sp k
j T ∈ V r−1
s−1 . (4.44)
• a µ b ν ∈ V 2
0 ein direktes Produkt und kontravarianter Tensor 2. Stufe
• c µ ν = a µ bν ∈ V 1
1 ein direktes Produkt und einfach kontra-, einfach kovarianter
Tensor
• c µ µ = a µ bµ ∈ V 0
0 = R eine Kontraktion und Tensor 0. Stufe, d.h. ein Skalar
4.3.4 Tensor-Transformationen
Sei die Transformation der kovarianten, bzw. kontravarianten Basisvektoren gegeben
durch
eα ′ = Aαα ′eα und ω β′
= A β′
β ωβ . (4.45)
Weiter gilt
Dies führt dann auf
T α1...αr
β1...βs eα1...eαrω β1 ...ω βs = T α ′ 1 ...α′ r
β ′ 1 ...β′ s eα ′ 1 ...eα ′ r ωβ′ 1...ω β′ s. (4.46)
T α′ 1 ...α′ r
β ′ 1 ...β′ s
= T α1...αr
β1...βs Aα′ 1
α1 ...Aα′ r
αrA β1
β ′ ...A
1
βs
β ′ . (4.47)
s
Das heißt also A, bzw. A −1 kommt für jeden ko-, bzw. kontravarianten Index einmal vor.
4.3.5 Lorentz-Tensoren
Der Begriff ”Tensor“ ist abstrakt. Tatsächlich sind wir einigen Tensoren bereits begegnet
und einige wollen wir jetzt zusätzlich einführen.
34

4.3 Tensoralgebra
Wir haben bereits gesehen, dass Vierervektoren, d.h. Vektoren aus R4 Tensoren sind.
Natürlich sind auch die Lorentz-Transformationen Λ µ ν und der metrische Tensor ηµν =
diag (1, − 1, − 1, − 1) Tensoren.
Neu hingegen ist die Tensoreigenschaft des Differentialoperators:
∂µ = ∂
=
∂x µ
∂ ∂ ∂ ∂
, , ,
∂(ct) ∂x ∂y ∂z
(4.48)
heißt Vierergradient. Bei Anwendung des Vierergradienten auf ein Lorentz-Skalar ϕ
ergibt sich ein kovarianter Vektor:
∂µϕ ≡ ϕµ. (4.49)
Bei Anwendung auf einen Vierervektor a µ ergibt sich dagegen ein Lorentz-Skalar:
Dieses heißt Viererdivergenz. Weiter ist
∂µa µ . (4.50)
∂νaµ − ∂µaν
ein antisymmetrischer, kovarianter Tensor 2. Stufe und heißt Viererrotation.
4.3.6 Das Differential der Eigenzeit
Im Ruhesystem eines in einem Inertialsystem ungleichförmig bewegten Teilchens gilt:
dx = dy = dz = 0 ⇒ (ds) 2 = c 2 (dτ) 2
(4.51)
(4.52)
mit der Eigenzeit τ im Ruhesystem des Teilchens. Das infinitesimale Wegelement (ds) 2
ist Lorentz-invariant, im Inertialsystem lautet es:
Mit dx = v(t) dt folgt daraus
Daraus folgt
(ds) 2 = c 2
(ds) 2 = dxµdx µ = c 2 (dt) 2 − (dx) 2 . (4.53)
1 − v2 (t)
c 2
(dt) 2 = c 2 (1 − β(t) 2 )(dt) 2 ! = c 2 (dτ) 2 . (4.54)
dτ = 1 − β(t) 2dt = 1
dt. (4.55)
γ(t)
Spezielle Relativitätstheorie 35

4 Mathematischer Formalismus der SRT
Integration dieser Gleichung liefert die Eigenzeit
τ =
ˆτ2
τ1
dτ = τ2 − τ1 =
ˆt2
t1
1 − β(t) 2 dt < t2 − t1. (4.56)
Die Eigenzeit ist ein Lorentz-Skalar wie wir bereits gesehen haben, aber wegabhängig!
36

5 Relativistische Mechanik
Wie wir bereits gesehen haben ist die Newtonsche Mechanik nicht kovariant unter
Lorentz-Transformation, zum Beispiel führt eine konstante Beschleunigung a auf v(t) =
at > c für t > c/a. Unser Ziel ist die Formulierung einer Lorentz-kovarianten Mechanik,
die bei kleinen Geschwindigkeiten in die Newtonsche Mechanik übergeht. Wir betrachten
dazu ein Punktteilchen in der 4-dimensionalen Raum-Zeit. Die Weltlinie des Teilchens
ist gegeben über
x µ = x µ (t) =
ct
x(t)
. (5.1)
Diese Größe entspricht der Bahnkurve in der Newtonschen Mechanik und entspricht der
Menge aller Ereignisse die auf der Bahn des Teilchens liegen. Deshalb ist auch oft die
Parametrisierung über die Eigenzeit üblich:
x µ [t(τ)] =
ct(τ)
x[t(τ)]
. (5.2)
Die Weltlinie ist kontravarianter Vierervektor, wie wir bereits gesehen haben. Unser Ziel
ist es jetzt die anderen, in der klassischen Mechanik auftretenden Größen kovariant zu
formulieren.
5.1 Vierer-Geschwindigkeit
Bei der Definition einer Vierergeschwindigkeit haben wir das Problem, dass t kein Lorentz-Skalar
ist, deshalb ist dx µ /dt nicht Lorentz-kovariant. Wir haben aber bereits
gesehen, dass die Eigenzeit τ ein Lorentz-Skalar ist. Deshalb ist
u µ = dxµ
dτ
(5.3)
ein kontravarianter Vierervektor und heißt Vierergeschwindigkeit. Mit der Definition
des Eigenzeitdifferentials folgt
u µ = γ(t) dxµ
dt
(5.4)
Spezielle Relativitätstheorie 37

5 Relativistische Mechanik
und daher wegen dx i /dt = ˙x i
u µ
c
= γ(t)
v
und uµ = ηµνu ν
c
= γ(t)
−v
Kontraktion der Vierergeschwindigkeit liefert dann ein Lorentz-Skalar:
. (5.5)
uµu µ = γ 2 c 2 − γ 2 v 2 = γ 2 c 2 (1 − β 2 ) = c 2 > 0. (5.6)
Es ist also uµu µ > 0 in jedem Fall und daher u µ ein zeitartiger Vektor.
5.1.1 Vierer-Beschleunigung
Analoges Vorgehen führt zur Vierer-Beschleunigung
Eine explizite Rechnung führt auf
⎡
Mit
folgt dann
b µ = γ duµ
dt
= γ d
dt
⎢
⎣ γ
b µ = duµ
⎛
⎜
⎝
c
˙x
˙y
˙z
dτ = d2x µ
dτ
⎞⎤
2 . (5.7)
⎛
⎟⎥
⎜
⎟⎥
⎠⎦
= γ ˙γ ⎜
⎝
c
˙x
˙y
˙z
⎞
⎟
⎠
+ γ2
˙γ = d 1
dt 1 − β2 = γ3β · ˙ 3 v · ˙v
β = γ
c2 b µ 4 v · ˙v
= γ
c2
c
v
Im Grenzfall v ≪ c gilt damit b µ ↦→
5.1.2 Vierer-Impuls
+ γ 2
0
0
˙v
˙v
=
γ2 ˙v + γ
, wie verlangt.
⎛
⎜
⎝
0
¨x
¨y
¨z
4 v· ˙v
γ c
4 v· ˙v
c2 v
⎞
⎟
⎠ . (5.8)
(5.9)
(5.10)
Die Ruhemasse eines Teilchens ist ein Lorentz-Skalar. Damit lässt sich der Vierer-Impuls
direkt einführen als
p µ = mu µ
c
= mγ .
v
(5.11)
38

5.1 Vierer-Geschwindigkeit
An dieser Stelle ist ein Hinweis angebracht: Man findet in der Literatur oft die Aussage,
dass die Masse eines Teilchens geschwindigkeitsabhängig ist über m(γ) = m0γ. Aus
(5.11) erkennt man aber, dass der Faktor γ zur Vierergeschwindigkeit gehört und nicht
zur Masse. Wir fassen diese wichtige Aussage nochmals zusammen:
Es gilt nicht
m(γ) = m0 · γ bzw. m(v) = m0
1 − v2
c2 . (5.12)
Die Ruhemasse eines Teilchens ist ein Lorentz-Skalar und nicht geschwindigkeitsabhängig.
Das γ in Gleichung (5.11) gehört zur Vierer-Geschwindigkeit und nicht zur Masse.
5.1.3 Vierer-Kraft
Bei Newton gilt
Also führen wir analog ein:
F µ = dpµ
dτ
= γ dpµ
dt = mbµ =
F N = ˙p. (5.13)
m
c γ4 · v · ˙v
mγ2 ˙v + mγ
4 v ˙v
c 2 · v
=
m
c γ4 v · ˙v
γF N
(5.14)
Dabei ist zu bemerken, dass die Identifikation F µ = dp µ /dτ nicht beweisbar ist, die
Identifikation mγ2 4 v· ˙v ˙v + mγ c2 v = γF N ist die kritische Stelle der SRT.
sich
Weiter ergibt
1
c γv · F N = γ
und damit
2 m v2
v · ˙v + γ4
c c2 m
c v · ˙v = γ 2 + γ 4 β 2
F µ N v·F
= γ
c
F N
γ 4
m
c
m
0
v · ˙v = γ4 v · ˙v = F
c
(5.15)
!= mb µ . (5.16)
Mit der eingeführten Vierer-Kraft lassen sich dann die relativistischen Bewegungsgleichungen
formulieren. Über
F N = F (x,v,t) (5.17)
folgt eine Differentialgleichung für x(t).
Spezielle Relativitätstheorie 39

5 Relativistische Mechanik
A
r(t) + δr(t)
Abbildung 5.1: Variation des Weges: Betrachtet werden kleine Variationen
δr(t) des Weges r(t) von Ereignis A zu Ereignis B, mit der Bedingung, dass
δr(tA) = δr(tB) = 0.
5.1.4 Beschreibung der kräftefreien Bewegung
Eine kräftefreie Bewegung ist beschreibbar als die kürzeste Verbindung zwischen zwei
Raum-Zeit-Ereignissen A und B. Die Berechnung erfolgt über Variation des Weges (Abb.
5.1), d.h.
ˆ
δ
B
A
|ds|
r(t)
B
!
= 0. (5.18)
Wir müssen hier den Betrag von ds benutzen, da für zeitartige Intervalle ds 2 < 0 gilt.
Den Weg parametrisieruen wir dabei über die Zeit t. Nach Einsetzen der Definition des
Linienelementes folgt
ˆ
δ
A
B
ˆ
c2 (dt) 2 − (dx) 2 − (dy) 2 − (dz) 2 = δ
A
B
c 2 − ˙r 2 dt = −
ˆ
A
B
˙rδ ˙r
dt
c2 2
− ˙r dt.
(5.19)
Im zweiten Schritt haben wir dabei die Variation entsprechend der Ableitungsregeln
umgeformt. Zur Auswertung des Integrals wenden wir die Produktintegration an. Wir
setzen
40
u =
˙r
c 2 − ˙r 2
und dv = δ ˙r · dt (5.20)

und erhalten nach Differentiation bzw. Integration
Dabei haben wir ausgenutzt, das gilt
5.1 Vierer-Geschwindigkeit
du = d ˙r
· dt und v = δr. (5.21)
dt c2 2
− ˙r
δ ˙r = δ dr
dt
d
= δr, (5.22)
dt
d.h. die Differentiationen sind vertauschbar. Wir setzen diese Ergebnisse ein und erhalten
˙r
−
· δr
c2 2
− ˙r
B
A
+
ˆB
A
δr(t) d ˙r
· dt = 0. (5.23)
dt c2 2
− ˙r
Da δr(A) = δr(B) = 0 verschwindet der erste Term. Jetzt haben wir
ˆB
A
δr(t) d ˙r
· dt = 0 für beliebige δr(t). (5.24)
dt c2 2
− ˙r
Diese Gleichung läßt sich für alle δr(t) nur erfüllen, wenn d( ˙r/ √ c 2 − v 2 )/dt = 0 gilt.
Wir führen die Ableitung aus und erhalten:
d ˙r
dt c2 2
− ˙r =
¨r
c 2 − ˙r 2 +
¨r ˙r 2
(c 2 − ˙r 2 ) 3
2
= ¨r ·
c 2
(c 2 − ˙r 2 ) 3
2
!
= 0. (5.25)
Das bedeutet ¨r = 0 oder ˙r = v = const. Durch Multiplikation der rechten Seite von
Gleichung (5.25) mit der Masse m0 erhalten wir eine Aussage über den relativistischen
Impuls p:
0 = d
dt
m0 · ˙r
√ c 2 − v 2
d m0 · ˙r
=
dt c v
mit β = . (5.26)
1 − β2 c
Dabei haben wir ˙r 2 der Übersichtlichkeit halber durch v 2 ersetzt. Die Lichtgeschwindigkeit
c ist eine Konstante und wird von der Ableitung daher nicht beeinflußt. Dann
folgt
0 = d m0 · ˙r
. (5.27)
dt 1 − β2 Dies ist die Gleichung für den relativistischen Impuls für den Fall, dass eine kräftefreie
Bewegung vorliegt. Er ist dann eine Erhaltungsgröße. Für den relativistischen Impuls
Spezielle Relativitätstheorie 41

5 Relativistische Mechanik
allgemein gilt:
p rel = m0 · ˙r
1 − β 2 = γp klass, mit γ =
1
. (5.28)
1 − β2 Wie in der klassischen Mechanik gilt also auch in der relativistischen Mechanik:
dp
dt
5.1.5 Konstant beschleunigte Rakete
= F . (5.29)
Als Anwendung der gerade hergeleiteten Zusammenhänge betrachten wir eine Rakete
die in ihrem Ruhesystem konstant mit a = g in x-Richtung beschleunigt wird.
a) Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichungen
Das Inertialsystem K bezüglich dem wir die Gleichungen aufstellen wollen sei die Erde,
das Ruhesystem der Rakete K ′ . Dann folgt
b ′µ ⎛ ⎞
0
⎜
= ⎜ g ⎟ inv. LT
⎝ 0 ⎠ ⇒ b
0
µ ⎛
γ
⎜
= ⎜ βγ
⎝ 0
βγ
γ
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠ · b′µ
(5.30)
0 0 0 1
und damit wegen v = vex
bx = γg = d
dτ ux = d d
(γv) = γ (γv) (5.31)
dτ dt
und damit
g = d
(γv).
dt
(5.32)
Mit den Anfangsbedingungen x(t = 0) = 0 und v(t = 0) = 0, sowie dx(t)/dt = v(t) folgt
γv = gt = γ dx
dt
und weiter dx
dt = v = cβ = 1 − β 2 gt. (5.33)
Mit c 2 β 2 = (1 − β 2 )g 2 t 2 , bzw. (c 2 + g 2 t 2 )β 2 = g 2 t 2 folgt dann
42
β =
gt
c 2 + g 2 t 2
bzw. v(t) =
gt
1 + g2 t 2
c 2
< c. (5.34)

v
c
t
5.1 Vierer-Geschwindigkeit
Abbildung 5.2: Relativistische Bewegungsgleichung der Rakete: Während
in der Newtonschen Mechanik die Geschwindigkeit der Rakete über alle Grenzen
wächst (gestrichtelte Linie), ist in der SRT die Lichtgeschwindigkeit c
die obere Schranke (durchgezogene Linie).
Die Geschwindigkeit bleibt also für alle Zeiten kleiner als die Lichtgeschwindigkeit, siehe
auch Abbildung 5.2.
Integration der Geschwindigkeit liefert
x(t) =
ˆ t
v(t
0
′ )dt ′ = c
g2
t ′2 + c2
t
0
= c2
g
⎡
⎣
1 +
2 gt
c
⎤
− 1⎦
. (5.35)
für kleine t gilt also x(t) ≈ g
2 t2 wie in der Newtonschen Mechanik, für große Zeiten
dagegen ist x(t) ≈ ct, unabhängig vom Wert der Beschleunigung, siehe Abbildung 5.3.
b) Betrachtung der Eigenzeit
Für die Eigenzeit τ = ´ t
1 − β2 (t ′ ′ )dt 0
(5.34)
erhalten wir nach Einsetzen von Gleichung
ˆ
t
τ = 1 − g2t ′2
c2 + gt ′2 dt′ = c
g ln
⎡
⎣ gt
c +
⎤
2 gt
1 + ⎦ =
c
c
q arsinhgt .
c
(5.36)
Auflösen nach t ergibt
0
t(τ) = c gτ
sinh . (5.37)
g c
Diese Ergebnisse erlauben uns eine genauere Betrachtung des Zwillingsparadoxons, das
wir bereits in Abschnitt 3.2 kurz angesprochen haben.
Spezielle Relativitätstheorie 43

5 Relativistische Mechanik
x
∼ gt 2 /2
∼ ct
Abbildung 5.3: Relativistische Bewegungsgleichung der Rakete: Während
in der Newtonschen Mechanik der zurückgelegte Weg x für alle Zeit mit g
2t2 pro Zeit t zunimmt (gestrichelte Linie), ändert er sich in der SRT für große
t proportional zu ct, unabhängig von der Beschleunigung g.
c) Anwendung auf das Zwillingsparadoxon
Wir nehmen an, einer der beiden Zwillinge reise 5 Jahre in seiner Eigenzeit mit Beschleunigung
g, dann 10 Jahre mit Beschleunigung −g und schließlich wieder 5 Jahre
mit Beschleunigung g, d.h. er kehrt nach 20 Jahren Eigenzeit zur Erde zurück. Für den
Zwilling auf der Erde ergibt sich aus Gleichung (5.37)
t
t(5 Jahre) = 84,4 Jahre. (5.38)
Der reisende Zwilling kehrt für ihn also erst nach 4t(5 Jahre) = 337,4 Jahren wieder
zurück. Die maximale Entfernung zwischen den beiden Zwillingen ergibt sich aus Gleichung
(5.35) zu 167 Lichtjahren. Eine umfassende Betrachtung des Zwillingsparadoxons
findet sich in Müller et. al. [3]
Eine Erweiterung auf expandierende Raumzeiten, die wir in der Kosmologie besprechen,
wird in Boblest et. al. [4] diskutiert.
5.1.6 Relativistische Energie
Schauen wir uns nochmal die Vierer-Kraft F µ = γ v · F N /c, F N T aus Gleichung (5.16)
an. Für die nullte Komponente gilt:
44
F 0 = m du0
dτ
N
d v · F
= mγ (γc) = γ . (5.39)
dt c

Daraus ersehen wir den Zusammenhang
d
dt (mγc2 ) = v · F N = F N · dx
dt
= dW
dt
5.1 Vierer-Geschwindigkeit
. (5.40)
Dabei ist zu beachten das dW = F N · dx auch relativistisch gilt. Damit ist die relativistische
Energie
W = γmc 2 = E (5.41)
eingeführt. Die auftretende Integrationskonstante haben wir so gewählt, dass die Energie
des ruhenden Teilchens E = mc 2 ist. Weiter folgt
E = γmc 2 = cp 0 bzw. p 0 = E
, (5.42)
c
also ist der Energie-Impuls-Vektor gegeben durch
p µ
E
= c
mγv
E
= c .
p
(5.43)
Für ihn gilt
pµp µ = E2
c 2 − p2 = m 2 c 2 , (5.44)
wobei das letzte Gleichheitszeichen in das Ruhesystem des Teilchens führt, wo p = 0
und γ = 1 gelten. Da pµp µ Lorentz-Skalar ist gilt schließlich
E 2 = m 2 c 4 + c 2 p 2 bzw. E = m 2 c 4 + c 2 p 2 . (5.45)
Damit ist der relativistische Energiesatz eingeführt. Für kleine Impulse lässt sich
der Ausdruck für E in Gleichung (5.45) in eine Taylorreihe entwickeln:
E = mc 2
1 + p2
m2 ≈ mc2
c2
1 + p2
2m2
+ ... =
c2 p2
2m + mc2 + O(p 4 ), (5.46)
mit der Ruheenergie mc 2 und der kinetischen Energie p 2 /(2m)+O(p 4 ). Wichtig ist, dass
für m > 0
E ↦→ ∞ für |v| ↦→ c (5.47)
gilt. Daraus folgt, dass sich Teilchen mit nicht verschwindender Ruheenergie langsamer
als Licht bewegen!
Spezielle Relativitätstheorie 45

5 Relativistische Mechanik
a) Photonen
Photonen haben keine Ruhemasse. Deswegen gilt
Daraus folgt dann
pµp µ = E2
c 2 − p2 = m 2 c 2 = 0. (5.48)
E = c|p| = ℏω = hc
.
λ
(5.49)
Mit den Zusammenhängen p = ℏk und E = hν = ℏω zwischen Impuls und Wellenvektor,
bzw. Energie und Frequenz für Photonen haben wir dann
p µ =
ω
= ℏ c = ℏk
k
µ , (5.50)
ℏω
c
ℏk
mit dem relativistischen Wellenvektor k µ .
b) Stöße
Ohne äußere Kräfte ist der Viererimpuls erhalten, also ist d
dτ pµ = F µ = 0. Für Stöße
zwischen zwei Teilchen gilt demnach
p µ
1 + p µ
2 = p ′µ
1 + p ′µ
2 . (5.51)
Dieser Zusammenhang gilt auch für Photonen (Compton-Streuung).
5.2 Äquivalenz von Masse und Energie
Wir betrachten noch einmal den Vierer-Impuls in Gleichung (5.11) p µ = (E/c, p) T mit
p = mγv. Da p µ Vierer-Vektor ist gelten die Lorentz-Transformationen (wie für x µ ).
Wir betrachten wie immer die spezielle Lorentz-Transformation in x-Richtung. Für x µ
gilt ct = γ(ct ′ + βx ′ ) und x = γ(x ′ + βct ′ ). Für p µ gilt entsprechend
E
c
′ E
= γ
c + βp′
x
und px = γ
p ′ x + β E′
c
Im Ruhesystem des Teilchens gilt p ′ x = 0 und E ′ = E ′ 0 = E0. Daraus folgt
46
E = γE0 und px = γβ E0
c
= γ vE0
c 2
. (5.52)
rel. Imp.
= mγv (5.53)

und damit
m1
−p
5.2 Äquivalenz von Masse und Energie
Abbildung 5.4: Zur Äquivalenz von Masse und Energie: Ein Teilchen, das
2 Photonen gleicher Energie in entgegengesetzte Richtung emittiert, ändert
seinen Impuls und entsprechend auch seine kinetische Energie nicht, es muss
also seine Ruhemasse verringern.
E0 = mc 2
für die Ruhenergie im Ruhesystem. Es ist also keine Integrationskonstante möglich!
5.2.1 Konsequenzen der Äquivalenz von Masse und Energie
m2
p
(5.54)
Wir betrachten ein Teilchen mit Masse m1, das zwei Photonen in entgegengesetzter
Richtung emittiert, so dass kein Rückstoss erfolgt, siehe Abbildung 5.4. Die Erhaltung
des Gesamt-Viererimpulses führt auf
Daraus folgt für E2
E1
c
0
=
|p|
−p
Daher können wir schliessen, dass weiter
+
E2
c
0
+
|p|
p
. (5.55)
E2 = E1 − 2c|p| bzw. m2c 2 = m1c 2 − 2c|p|. (5.56)
m2 = m1 − 2 p|
c = m1 − 2 EPhoton
c2 (5.57)
gilt. Abgestrahlte Energie, d.h. Photonen bzw. elektromagnetische Strahlung, verringert
also die Ruhemasse des Teilchens (z.B. ein angeregtes Atom). Zusammengefasst haben
wir damit die Äquivalenz von Masse und Energie:
Jeder Form von Energie kann eine träge Masse zugeordnet werden,
nach der Vorschrift
E = mc 2 . (5.58)
Spezielle Relativitätstheorie 47

5 Relativistische Mechanik
5.2.2 Beispiele
Bei den folgenden Situationen wird die Äquivalenz von Masse und Energie deutlich:
48
1. Angeregte Atome oder Moleküle sind schwerer als Atome oder Moleküle im Grundzustand.
Wir betrachten das Wasserstoffatom. Die Massen von Proton und Elektron
ergeben zusammen
mp + me = 1,67261 · 10 −27 kg + 9,11 · 10 −31 kg = 1,67352 · 10 −27 kg. (5.59)
Für Wasserstoff im Grundzustand findet man
mH = mp + me −
13,6 eV
c 2 ≈ 1,67352 · 10−27 kg − 10 −8 mp (5.60)
Die Masse des Wasserstoffatoms ist also kleiner als die Masse von Proton plus
Elektron. Man spricht vom Massendefekt, hier verursacht von der negativen
Bindungsenergie von Elektron und Proton. Für das Wasserstoffatom ist dieser
Effekt sehr klein.
2. Atomkerne zeigen ebenfalls einen Massendefekt. Die Gesamtmasse von Atomkernen
ist kleiner als die Summe der Massen der Protonen und Neutronen. Der Massendefekt
ergibt sich aus der Bindungsenergie EB/c 2 aufgrund der starken Wechselwirkung.
Die Masse des Atomkernes ist also
m(A,Z) = Zmp + (A − Z)mn + EB
, (5.61)
c2 wobei EB < 0 ist. Wir betrachten als Beispiel das Nuklid 12 C. Hier ist A = 12 und
Z = 6. Die atomare Masseneinheit ist
Im Vergleich ergibt sich
1
12 m 12 C = 1,6605 · 10 −27 kg. (5.62)
1
12 (6mp + 6mn) = 1
2 (1,67261 · 10−27 kg + 1,67482 · 10 −27 kg)
= 1,67372 · 10 −27 kg.
(5.63)
Das heißt etwa 0,8% der Masse der Protonen und Neutronen geht in die Bindungsenergie.
3. Teilchen und Antiteilchen können paarweise erzeugt oder vernichtet werden, z.B.

in der Reaktion
5.3 Drehimpulstensor und Drehmoment
e + + e − ←→ 2γ. (5.64)
Aus Elektron und Positron entstehen also zwei Photonen. Es gilt:
me = 9,11 · 10 −31 kg also Eγ ≥ mec 2 = 8,2 · 10 −14 J = 511 keV. (5.65)
Hier werden 100% der Masse in Energie umgewandelt. Die Ruheenergie der Elektronen
ist eine untere Grenze für die freiwerdende Energie, da die Elektronen auch
kinetische Energie besitzen.
5.3 Drehimpulstensor und Drehmoment
In der klassischen Mechanik gilt für den Drehimpuls
In Komponentenschreibweise ergibt dies
L = r × p. (5.66)
L i = x j p k − x k p j mit (i,j,k) = (1,2,3) und zyklischen Permutationen. (5.67)
Wir definieren analog dann den Lorentz-kovarianten Drehimpuls über
L µν = x µ p ν − x ν p µ = −L νµ . (5.68)
L µν ist also antisymmetrischer Tensor 2. Stufe. In der klassischen Mechanik gilt weiter
für das Drehmoment
M = dL
dt = r × F N . (5.69)
In kovarianter Formulierung erhalten wir entsprechend
d
dτ Lµν = d
dτ (xµ p ν − x ν p µ ) = u µ p ν µ dpν
+ x
dτ − uνp µ ν dpµ
− x
dτ
= x µ F ν − x ν F µ = M µν .
Dabei wurde ausgenutzt, dass sich die Terme u µ p ν und −u ν p µ zu Null addieren.
(5.70)
Spezielle Relativitätstheorie 49

5 Relativistische Mechanik
5.4 Relativistische Erhaltungssätze
Wir betrachten ein System von N Massepunkten, die keinen äußeren Kräften unterliegen.
Erhaltungsgrössen in der klassischen Mechanik sind für solch ein System der Gesamtimpuls,
der Gesamtdrehimpuls und die Gesamtenergie. In der SRT gilt entsprechend
also
E =
N
i=1
p µ
i
N
Ei = const, und p =
i=1
mit den relativistischen Energien Ei.
50
= const, (5.71)
N
pi =
i=1
N
miγivi = const, (5.72)
i=1

6 Kovariante Formulierung der
Elektrodynamik
Die Newtonsche Mechanik ist Galilei-invariant. Deshalb mussten wir im vorherigen Kapitel
eine kovariante Formulierung für eine relativistische Mechanik finden. Dies führte
zu einer Modifikation der Bewegungsgleichungen.
Im Gegensatz dazu ist die Elektrodynamik, d.h. die Maxwellschen Gleichungen, bereits
Lorentz-invariant. Dies kommt jedoch bei der Formulierung mit (E, B,j,ϱ) nicht explizit
zum Ausdruck, insbesondere sind E, B und j keine Vierervektoren und ϱ kein
Lorentz-Skalar. In diesem Kapitel wollen wir daher die Maxwellschen Gleichungen in
einer kovarianten Formulierung darstellen. Dies wird es uns möglich machen, direkt zu
sehen, wie sich die elektrischen und magnetischen Felder, sowie Ladungen und Ströme
transformieren.
6.1 Grundlagen der klassischen Elektrodynamik
Das elektrische Feld E ist definiert über die Kraft F el, die auf eine (ruhende) kleine
Probeladung q wirkt:
F el(r) = qE(r). (6.1)
Die magnetische Induktion ist definiert über die Kraft F m, die auf eine sich mit Geschwindigkeit
v bewegende Ladung q wirkt:
F m = q [v × B(r)] . (6.2)
Daraus ergibt sich die Lorentzkraft, die Kraft auf eine Probeladung q im elektromagnetischen
Feld, zu
F = q[E(r) + v × B(r)]. (6.3)
Spezielle Relativitätstheorie 51

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
6.1.1 Die homogenen Maxwellgleichungen
Für das elektrische und magnetische Feld gelten Nebenbedingungen, die homogenen
Maxwellgleichungen oder inneren Feldgleichungen. Zum einen
Daraus ergibt sich das Induktionsgesetz
ˆ
(∇ × E)df Stokes
ˆ
ˆ
= E · ds = Uind = −
F
mit dem magnetischen Fluss Φ = ´
∂F
∇ × E + ˙ B = 0. (6.4)
F
F
˙B · df = − ˙ Φ. (6.5)
B · df durch die Fläche F. Zum anderen haben wir
∇ · B = 0. (6.6)
Gleichung (6.6) besagt, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Mit Ergebnissen der
Vektoranalysis folgt, dass B darstellbar ist als Rotation eines Vektorpotentials, also
B = ∇ × A. Damit folgt aus (6.4)
∇ × E + ∇ × ˙ A = ∇ × (E + ˙ A) = 0. (6.7)
In der Vektoranalysis wird weiter gezeigt, dass sich ein Vektorfeld als Gradient eines skalaren
Feldes darstellen lässt, falls seine Rotation verschwindet. Also können wir schreiben
E + ˙ A = −∇ϕ, (6.8)
mit dem elektrodynamischen Potential ϕ. Aufgelöst nach dem elektrischen Feld ergibt
sich
E = −∇ϕ − ˙ A. (6.9)
Das skalare Potential und das Vektorpotential sind nicht eindeutig, man spricht in diesem
Zusammenhang von Eichfreiheit. Setzt man etwa A ′ = A + ∇χ, mit einer beliebigen
skalaren Funktion χ(r, t), so folgt daraus
52
∇ × A ′ = ∇ × A + ∇ × (∇χ) = ∇ × A = B, (6.10)
0

6.1 Grundlagen der klassischen Elektrodynamik
weil die Rotation des Gradienten einer beliebigen skalaren Funktion verschwindet. Für
das elektrische Feld ergibt sich dann
E = −∇ϕ − ˙ A ′ + ∇ ˙χ = −∇ (ϕ − χ ′ )
ϕ ′
− ˙ A ′ , (6.11)
Dabei heißt χ(r,t) Eichfunktion. Die Operation (A,ϕ) ↦→ (A ′ ,ϕ ′ ) heißt Eichtransformation.
6.1.2 Die inhomogenen Maxwellgleichungen
Die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen oder Erregungsgleichungen lauten
∇ × B = µ0(j + ε0 ˙ E), (6.12a)
∇ · E = ϱ
. (6.12b)
ε0
Einsetzen der Potentiale und Umformen liefert
∇ × ∇ × 1
A + ε0(∇ ˙ϕ + Ä) = j, (6.13a)
µ0
∇ · −∇ϕ − ˙
A = ϱ
. (6.13b)
Mit der Relation a × (b × c) = b · (a · c) − c · (a · b) kann Gleichung (6.13a) weiter
umgeformt werden zu
∇ ∇ · 1
A −
µ0
1
∆A + ε0∇ ˙ϕ + ε0 · Ä = j. (6.14)
µ0
Nutzt man nun die Eichfreiheit aus, so können die Potentiale so gewählt werden, dass
gilt. Dabei ist
ε0
ε0µ0 ˙ϕ + ∇ · A = 0 (6.15)
ε0µ0 = 1
. (6.16)
c2 Diese Eichung heißt Lorentz-Eichung. Die Eichfunktion χ(r,t) ist hier Lösung der
Differentialgleichung
1
1
¨χ − ∆χ = ˙ϕ + ∇ · A. (6.17)
c2 c2 Spezielle Relativitätstheorie 53

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
In Lorentz-Eichung gilt
1 ∂ ϕ
c ∂t c
Wir führen das Vierer-Potential
A µ =
+ ∇ · A = 0. (6.18)
ϕ
c
A
(6.19)
ein. Zusammen mit der kovarianten Ableitung ∂µ = 1 ∂
c ∂t , ∇ Eichung
gilt dann in Lorentz-
∂µA µ = 0. (6.20)
Die Lorentz-Eichung kann in jedem Bezugssystem gewählt werden. Damit ist ∂µA µ ein
Lorentz-Skalar. Dementsprechend ist A µ ein kontravarianter Lorentz-Tensor 1. Stufe,
transformiert sich also wie die Koordinaten mit der Lorentz-Transformation.
6.1.3 Betrachtung für einen Boost in x-Richtung
Bei einer speziellen Lorentz-Transformation in x-Richtung von System K nach System
K ′ mit Relativgeschwindigkeit v transformieren sich die Koordinaten über ct ′ =
γ (ct − β x), x ′ = γ(x − βct), y ′ = y, z ′ = z. Also gilt für das Viererpotential bei
diesem Koordinatenübergang
1
c ϕ′
1
= γ ϕ − βAx , A
c ′
x = γ Ax − β 1
c ϕ
, A ′ y = Ay, A ′ z = Az. (6.21)
In System K existiere nur ein statisches elektrisches Feld E = ∇ϕ und kein Magnetfeld,
also A = 0.
Der Beobachter im System K ′ sieht dann auch ein Magnetfeld B ′ = ∇ ′ × A ′ , falls ϕ
von y oder z abhängt. Um uns das klarzumachen, nehmen wir z.B. für das elektrodynamische
Potential und Vektorpotential, sowie das elektrische Feld in K die funktionellen
Abhängigkeiten
ϕ = −E0z, bzw. E = E0 · ez und A = 0 (6.22)
an. In K ′ ergibt sich dann
54
A ′ x = −γβ 1
c
v z = z′
ϕ = γE0z
c2 = v
c
2 γE0z ′
(6.23a)

und damit erhält man das Magnetfeld
Aus Gleichung (6.13b) folgt
B ′ = ∇ ′ × A ′ = γ v
c 2 E0 · ey =
Aus ∂µA µ folgt durch Zeitableitung weiter
6.1 Grundlagen der klassischen Elektrodynamik
c 2
vE0
1 − v2
c 2
· ey. (6.23b)
−∇ ˙ A − ∆ϕ = ϱ
. (6.24)
ε0
1
c 2 ¨ϕ = −∇ · ˙ A. (6.25)
Unter Verwendung der Gleichungen (6.24) und (6.25) finden wir schließlich
1
c 2
∂2 ∂t2 ϕ
− ∆ϕ
c c
= ∂µ∂ µ ϕ
c
= ϕ
c
= 1
c
ϱ
ε0
=
µ0
ε0
ϱ. (6.26)
Im letzten Schritt haben wir dabei Gleichung (6.16) eingesetzt. In dieser Gleichung haben
wir den d’Alembert-Operator
∂µ∂ µ = 1
c2 ∂2 − ∆ = (6.27)
∂t2 eingeführt. Unter Verwendung der Gleichungen (6.14), (6.16) und (6.18) können wir den
d’Alembert-Operator nun auf A anwenden und finden
A = µ0j + µ0ε0∇ϕ + ∇(∇ · A) = µ0j. (6.28)
Insgesamt haben wir dann die zu den vier Maxwellgleichungen äquivalente
Gleichung
A µ
µ0
ε0 =
ϱ
cϱ
= µ0 = µ0j
µ0 · j
j
µ , (6.29)
mit dem Viererstrom j µ , der ein kontravarianter Tensor 1. Stufe ist. Daraus ergibt
sich weiter, dass
∂µj µ = ˙ϱ + ∇ · j (6.30)
ein Lorentz-Skalar ist.
Spezielle Relativitätstheorie 55

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Wegen ∇ × B = µ0(j + ε0 ˙ E) aus Gleichung (6.12a) gilt
∇ · (∇ × B) = 0 = µ0(∇ · j + ε0∇ ˙ E) = µ0(∇ · j + ˙ϱ). (6.31)
Da der hintere Teil von Gleichung (6.31) ein Lorentz-Skalar ist, muss diese Gleichung in
allen Bezugssystemen gelten. Damit ist die Kontinuitätsgleichung
begründet, die in allen Inertialsystemen gilt.
Wir betrachten jetzt wieder die Beziehung
∂µj µ = ˙ϕ + ∇ · j = 0 (6.32)
∂µ∂ µ A ν = A ν = µ0j ν
(6.33)
in Gleichung (6.29). Im Vakuum gilt j µ = 0 und damit ergibt sich die Wellengleichung
A = 0 (6.34)
deren Lösung eine Superposition ebener Wellen darstellt:
mit dem kovarianten Wellenvektor
ω
kµ = c
−k
Damit ergibt sich für f die Gleichung:
f(x µ
1
) =
c2
∂
− ∆ f(x
∂t2 µ 2 ω
) =
Um diese Bedingung zu erfüllen muss
f(x µ ) = e (−ikµxµ ) = e i(k·x−ωt) , (6.35)
. (6.36)
c 2 − k2 )
!= 0. (6.37)
ω = c|k| (6.38)
gelten. Also ist kµ ein lichtartiger Vektor. Es folgt dann
A ν (x µ ˆ
) = Ã ν (k µ )δ[(k 0 ) 2 − k 2 ]e −ikµxµ
d 4 k (6.39)
wobei Ãν (k µ ) frei wählbar ist.
56
R 4

6.2 Lorentz-Tensoren 2. Stufe in der Elektrodynamik
6.2 Lorentz-Tensoren 2. Stufe in der Elektrodynamik
Das elektrische Feld und das Magnetfeld sind wie bereits diskutiert nicht Lorentzkovariant.
Es stellt sich nun die Frage, ob die Maxwell-Gleichungen auch für die Felder
in kovarianter Form geschrieben werden können.
Es zeigt sich, dass dies möglich ist, allerdings werden dann Lorentz-Tensoren 2. Stufe
benötigt. Wir werden diese Tensoren nicht herleiten, sondern direkt einführen und dann
ihre Eigenschaften betrachten.
6.2.1 Der Feldstärketensor
Die zentrale Größe zur kovarianten Formulierung der Elektrodynamik ist der Feldstärketensor.
Um ihn zu erhalten bilden wir die Vierer-Rotation des Vektorpotentials:
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (6.40)
Fµν ist also ein antisymmetrischer kovarianter Lorentz-Tensor 2.Stufe, wobei gilt
Aν = ηµνA µ =
Für die einzelnen Komponenten ergibt sich
und damit in Matrixschreibweise
⎛
ϕ
c
−A
. (6.41)
F00 = F11 = F22 = F33 = 0, (6.42a)
Fi0 = ∂iA0 − ∂0Ai = 1 ∂ϕ 1
+
c ∂xi c ˙ Ai = − 1
c Ei = −F0i, (6.42b)
F12 = − ∂A2 ∂A1
+
∂x1 ∂x2 = −B3 = −F21, (6.42c)
F13 = B2 = −F31, (6.42d)
F23 = −B1 = −F32, (6.42e)
Fµν =
⎜
⎝
0
Ex
c
Ey
c
Ez
c
− Ex
c 0 −Bz By
− Ey
c Bz 0 −Bx
− Ez
c −By Bx 0
⎞
⎟
⎠
(6.43)
Spezielle Relativitätstheorie 57

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Die Transformation des Feldstärketensors erfolgt über die inverse Lorentz-Transformation:
F ′ µν = Λ α
µ Λ β
ν Fαβ. (6.44)
Beim Wechsel zwischen Bezugssystemen (Inertialsystemen) transformieren sich also die
elektrischen und die magnetischen Felder zusammen. Eine getrennte Betrachtung ist
daher nicht sinnvoll.
6.2.2 Der kontravariante Feldstärketensor
Weiter lässt sich der kontravariante Feldstärketensor über den allgemeinen Zusammenhang
zwischen ko- und kontravarianten Tensoren definieren:
F µν = η µα η νβ Fαβ =
Außerdem gilt, zunächst ohne Beweis
⎛
⎜
⎝
0 − Ex
c
Ey
− c
Ez − c
Ex
c 0 −Bz By
Ey
c Bz 0 −Bx
Ez
c −By Bx 0
⎞
⎟
⎠ . (6.45)
FµνF µν = 2
c 2 (E2 − c 2 B 2 ) ist Lorentz-Skalar und E · B Pseudo-Skalar. (6.46)
Dabei verhält sich ein Pseudo-Skalar, abgesehen von einem Vorzeichenwechsel bei Raumspiegelungen,
wie ein gewöhnlicher Skalar.
6.2.3 Schlussfolgerungen
Mit den Ergebnissen des vorherigen Abschnittes erhalten wir folgende wichtige Aussagen:
58
1. Gilt E · B = 0, bzw. E ⊥ B in einem Inertialsystem, dann ist E · B = 0, bzw.
E ⊥ B in allen Inertialsystemen.
2. Gilt zusätzlich E 2 − c 2 B 2 > 0, dann gibt es ein System mit B ′ = 0, d.h. das
Magnetfeld lässt sich wegtransformieren. Gilt E 2 − c 2 B 2 < 0, dann gibt es ein
System mit E ′ = 0 und das elektrische Feld lässt sich wegtransformieren.
3. Gilt E · B = 0 in einem System, dann gilt es in allen Systemen, d.h. keines der
Felder lässt sich wegtransformieren.
4. Gilt E 2 − c 2 B 2 = 0 in einem System, dann ist |E| = c|B| in allen Systemen. Gilt
zusätzlich E · B = 0, dann bilden E, B und k ein Orthogonalsystem.

6.3 Kovariante Form der Erregungsgleichungen
6.3 Kovariante Form der Erregungsgleichungen
Mit Hilfe des Feldstärketensors lässt sich
∂νF µν = −µ0j µ
(6.47)
schreiben. Um zu zeigen, dass diese Gleichung erfüllt ist, werten wir sie im Einzelnen
aus.
Für µ = 0 haben wir
Für µ = 1 ergibt sich
∂νF 0ν = −µ0j 0 , mit ∂νF 0ν = − 1
c ∇ · E = −µ0cϱ, (6.48a)
bzw. ∇ · E = µ0c 2 ϱ = ϱ
.
∂νF 1ν = 1
∂By
Ex
˙ +
c2 ∂z
bzw. insgesamt für µ = i = 0:
ε0
∂Bz
−
∂y
= 1
Ex
˙ − (∇ × B)x, (6.48b)
c2 ∂νF iν = 1
c2 ˙ E − (∇ × B) = −µ0j, (6.48c)
bzw. 1
∇ × B − ε0 ˙ E = j.
Wir kommen damit zu folgendem wichtigen Ergebnis:
µ0
Die Gleichung ∂νF µν = −µ0j µ ist die kovariante Form der beiden
Erregungsgleichungen ∇ · E = ϱ/ε0 und 1
µ0 ∇ × B − ε0 ˙ E = j.
Spezielle Relativitätstheorie 59

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
6.4 Kovariante Form der inneren Feldgleichungen
Wir definieren zunächst den total antisymmetrischen Levi-Civita-Tensor:
ε κλµν ⎧
⎪⎨ 1 wenn {κλµν} gerade Permutation von 1, 2, 3, 4 ist,
=
⎪⎩
−1
0
wenn
sonst.
{κλµν} ungerade Permutation von 1, 2, 3, 4 ist,
(6.49)
Der Levi-Civita-Tensor ist Pseudo-Tensor 4. Stufe. Bei einem Koordinatenwechsel gilt
also wie üblich
Λ α κΛ β
λ Λγ µΛ δ νε κλµν = ε αβγδ . (6.50)
Bei Raumspiegelungen verhält sich ε κλµν aber anders als normale Tensoren, es tritt ein
Vorzeichenwechsel auf.
6.4.1 Der duale Feldstärketensor
Mit Hilfe des Levi-Civita-Tensor kann man den dualen Feldstärketensor definieren
als
F µν = 1
2 εµναβ ⎛
0
⎜ Bx
Fαβ = ⎜
⎝
−Bx
0
−By
Ez
c
−Bz
− Ey
By −
c
Ez
c 0
⎞
⎟
Ex ⎠ .
c
0
(6.51)
Bz
F µν ist auch ein Pseudo-Tensor, hat also einen Vorzeichenwechsel bei Raumspiegelungen.
Man erhält außerdem
Fµν F µν = − 1
B · E. (6.52)
4
Damit ist gezeigt, dass B · E ein Pseudo-Skalar ist, wie wir es bei der Einführung des
kontravarianten Feldstärketensors bereits ohne Beweis angemerkt hatten.
Ey
c
− Ex
c
6.4.2 Formulierung der inneren Feldgleichungen
Die inneren Feldgleichungen lassen sich nun schreiben als
Wir betrachten diese Gleichung wieder im Einzelnen:
60
∂ν F µν = 0. (6.53)

Für µ = 0 ergibt sich
Für µ = 1 haben wir
6.5 Kovariante Form der Lorentz-Kraft
∂ν F 0ν = −∇ · B = 0. (6.54a)
∂ν F 1ν = 1
c ˙ Bx + 1
−
c
∂Ey
∂z
und insgesamt für µ = i = 0:
∂Ez
+ =
∂y
1
Bx
˙ + (∇ × E)x , (6.54b)
c
∂ν F iν = 1
˙B + ∇ × E = 0. (6.54c)
c
Insgesamt ergibt sich als kovariante Form der Maxwellgleichungen
also
∂ν F µν = 0, (6.55a)
∂νF µν = −µ0j µ . (6.55b)
6.5 Kovariante Form der Lorentz-Kraft
Mit dem Feldstärketensor lässt sich die Lorentz-Kraft kovariant formulieren:
Für µ = i ∈ {1,2,3} ergibt sich
und für µ = 0
d
dτ pµ = q · Fµνu ν . (6.56)
d
dτ pi = γ d
dt pi = −γq(E + v × B) = − d
dτ pi , (6.57a)
d
dτ p0 = d
dτ
q
(mγc) = γ E · v, (6.57b)
c
Spezielle Relativitätstheorie 61

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
bzw.
Es gilt also
d
dt (γmc2 ) = qE · v = d
dt Erel = d ds
W = qE ·
dt dt .
dW = qE · ds, (6.58)
d.h. der Energiezuwachs ist gleich der vom elektrischen Feld geleisteten Arbeit. Alternativ
lässt sich schreiben:
d
dτ pµ = F µ = qη µα Fανu ν , (6.59)
mit der Minkowski-Kraft F µ . Wir definieren zusätzlich die Minkowski-Kraft-
Dichte f µ , indem wir die Ersetzungen q → ϱ0, quν → ϱuν = jν vornehmen. Wir
erhalten dann
f µ Def.
= η µα Fανj ν =
1j
· E c
ϱE + j × B
6.6 Der Energie-Impuls-Tensor des
elektromagnetischen Feldes
6.6.1 Einführung des Energie-Impuls-Tensors
. (6.60)
In der klassischen Elektrodynamik sind die nicht Lorentz-kovarianten Größen Feldenergie
w als
w = 1
ε0E
2
2 + 1
B 2
(6.61)
und der Poynting-Vektor (Energiestrom) S als
definiert.
µ0
S = 1
E × B (6.62)
µ0
Als entsprechende Lorentz-kovariante Grösse definieren wir den Energie-Impuls-Tensor
über
T ν
µ = 1
FµαF
µ0
αν + 1
4 ην µFαβF αβ
, (6.63a)
62

zw.
T µν = 1
µ0
6.6 Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes
η µβ FβαF αν + 1
4 ηµνFαβF αβ
. (6.63b)
Dabei ist η ν µ = δ ν µ und FαβF αβ = −2 E 2 /c 2 − B 2 nach Gleichung (6.46). Wir werten
nun die Komponenten von FµαF αν aus.
Für µ = ν = 0 ergibt sich einfach
und für µ = 0,ν = i
F0αF α0 = E2
, (6.64a)
c2 F0αF αi = 1
c (E × B)i = µ0
c (S)i
Mit diesen Ergebnissen können wir nun die Komponenten von T ν
µ bestimmen:
(6.64b)
T 0
0 = 1
1
µ0 c2 E2 − 1
2
E
2 c2
− B2 = 1
2
E
2µ0 c2
+ B2 = w, (6.65a)
T i
0 = 1
i , (6.65b)
T j
i
Dabei ist G j
i
= G j
i
c (S)i = −T 0
. (6.65c)
der Maxwellsche Spannungstensor. Insgesamt erhalten wir in Matrixschreibweise:
T ν
1 w
µ =
cST
und T µν
1 w
=
cST
. (6.66)
Dabei gilt
− 1
c
S G j
i
Der Tensor T ν
µ ist außerdem spurfrei:
1
c
S Gij
G ij = −G j
i . (6.67)
T µ
µ = Sp T ν
µ = 0. (6.68)
Spezielle Relativitätstheorie 63

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
E
Fläche ∆A
Abbildung 6.1: Zur Interpretation des Energie-Impuls-Tensor: Betrachtet
wird ein kleiner Quader im elektromagnetischen Feld
6.6.2 Interpretation des Energie-Impuls-Tensors
Um die Bedeutung des Energie-Impuls-Tensors klar zu machen, betrachten wir einen
kleinen Quader in einer elektromagnetischen Welle, die sich in x-Richtung ausbreitet,
d.h. für den Poynting-Vektor ergibt sich S = Sxex. Siehe auch Abbildung 6.1. Dann gilt:
bzw. umgeformt
∆W = Sx∆A · ∆t ! = Fx∆x = Fx c · ∆t. (6.69a)
Fx
∆A = pS = 1
c Sx = ∆px
∆A · ∆t
wobei pS den Strahlungsdruck bezeichnet. Weiter gilt
= c∆px , (6.69b)
∆V
∆px
∆V = Πx, (6.70)
mit der Impulsdichtekomponente Πx. Allgemein ist die Impulsdichte definiert über
64
Π = 1
S. (6.71)
c2

6.6 Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes
Der Maxwellsche Spannungstensor Gij bestimmt den Druck, den eine elektromagnetische
Kraft auf ein Volumenelement, hier der kleine Quader, ausübt:
F
∆A
= −G · n, (6.72)
mit dem Normalenvektor n senkrecht zum Flächenelement ∆A. Daraus folgt
F = −Gdf, (6.73)
mit df = n · dA. Die Dimension von T µν ist also gleich Energie durch Volumen, bzw.
Kraft pro Fläche also Druck. Aus ∂µF µν = −µ0j µ folgt
∂νT ν
µ = 1
(−µ0Fµαj
µ0
α ) = −Fµαj α , (6.74a)
∂νT µν = −η µβ Fβαj α = −f µ , (6.74b)
mit der Minkowski-Kraft-Dichte f µ . In Komponenten führt dies auf
∂w
+ ∇ · S = −j · E,
∂t
für µ = 0, (6.75a)
1
c2 ∂Si
∂t + ∇ · Gi = ϱEi + (j × B)i für µ = i. (6.75b)
dabei steht der Index i in G i für die entsprechende Zeile.
Betrachtung im Vakuum
Im Vakuum ist j µ = 0, also auch f µ = 0 und daher ∂νT µν = 0. Es existieren dann
insgesamt vier Kontinuitätsgleichungen:
∂ω
+ ∇ · S = 0,
∂t
1
c2 ∂Si
∂t + ∇ · Gi = 0,
(6.76)
mit 1
c 2 ∂Si/∂t = ∂Πi/∂t. G ij beschreibt also eine Impulsstromdichte. Man kann T µν
aufspalten über
T µν = T µν
em + T µν
mat, (6.77)
wobei T µν
em nur elektromagnetische Felder beschreibt und T µν
mat Materie, also Ladungen
und Ströme und auch andere Beiträge, etwa Teilchenfelder und Gravitationsfelder.
Spezielle Relativitätstheorie 65

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
6.7 Der relativistische Doppler-Effekt
Der Doppler-Effekt für Schwallwellen ist ein bekanntes Alltagsphänomen. Auch für elektromagnetische
Wellen kann im Rahmen der SRT ein entsprechender Effekt behandelt
werden.
6.7.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Elektromagnetische Wellen im Vakuum werden durch die Gleichungen
E(r, t) = E0 · e i(k·r−ωt)
B(r, t) = B0 · e i(k·r−ωt)
beschrieben, dabei gilt für diese ebenen Wellen
(6.78)
E0 ⊥ B0 ⊥ k, (6.79)
d.h. elektrisches und magnetisches Feld stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Mit
dem Vierer-Wellenvektor k µ = (ω/c,k) T = p µ /ℏ bzw. kµ = ηµνk ν = (ω/c, −k) T können
wir die ebene Welle wie in (6.35) in Einsteinscher Summenkonvention kovariant
formulieren.
6.7.2 Transformation in ein bewegtes Bezugsystem
Es stellt sich die Frage, welche Welle ein Beobachter in einem bewegten Bezugssystem
sieht. Wir betrachten dazu ein entlang der x-Achse bewegtes System. Eine Lorentz-
Transformation des Vierer-Wellenvektors ergibt
bzw.
mit
66
k ′0 = γ(k 0 − βk 1 ), k ′1 = γ(k 1 − βk 0 ), k ′2 = k 2 und k ′3 = k 3 , (6.80)
ω ′ = γ(ω − v · kx) =
n = k
|k|
ω − vkx
1 − β 2
1 − βnx
= ω , (6.81)
1 − β2 c
= k. (6.82)
ω

6.7 Der relativistische Doppler-Effekt
Der Zusammenhang |k| = ω/c folgt dabei direkt aus kµk µ = 0, siehe auch Gleichung
(6.38). Es gilt also
k ′ x = kx − β ω
c . (6.83)
1 − β2 6.7.3 Der longitudinale Doppler-Effekt
Sei eine sich parallel zur x-Achse und damit parallel oder antiparallel zur Bewegungsrichtung
des bewegten Beobachters ausbreitende Welle gegeben mit k = ±k · ex, d.h.
nx = ±1. Dann gilt
ω ′
1 ∓ β 1 ∓ β
1 ∓ β
= ω = ω √ √ = ω , (6.84a)
1 − β2 1 − β 1 + β 1 ± β
und
±k ′ ±k − βk
=
1 − β2 , bzw. k′
1 ∓ β
= k = k
1 − β2 1 ∓ β
1 ± β
Daraus folgt für die Frequenzverschiebung:
∆ω
ω = ω′ − ω
ω =
1 ∓ β
1 ± β
ω′
= . (6.84b)
c
− 1. (6.85)
Für die Wellenlängenverschiebung ergibt sich wegen λ = 2πc/ω dann
∆λ
λ = λ′ − λ
λ =
1 ± β
− 1. (6.86)
1 ∓ β
Für die nichtrelativistische Näherung für v ≪ c, β ≪ 1 folgt:
∆ω
ω
1 ∓ β + 1
2 β2
∓ ... − 1 ≈ ∓β + O(β 2 ), (6.87a)
∆λ
λ
1 ± β + 1
2 β2
± ... − 1 ≈ ±β + O(β 2 ). (6.87b)
In der Kosmologie heißt
z = ∆λ
λ
(6.88)
Spezielle Relativitätstheorie 67

6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Rotverschiebungsparameter. Die Rotverschiebung spielt dort eine sehr wichtige
Rolle ist aber i. A. nicht auf den Doppler-Effekt zurückzuführen sondern auf die Ausdehnung
des Raumes.
6.7.4 Der transversale Doppler-Effekt
Wir betrachten jetzt eine sich senkrecht zur Bewegungsrichtung des Beobachters ausbreitende
Welle mit k ⊥ v, d.h. nx = 0. Dann gilt
ω ′
ω
= = ω 1 +
1 − β2 1
2 β2
+ O(β 4 ). (6.89)
Wir nehmen der Einfachheit halber an es sei k = k · ez. Dann haben wir
k ′ x = − βk
1 − β 2 , k′ y = ky = 0, k ′ z = kz = k. (6.90)
Für einen bewegten Beobachter erscheint die Wellenfront gekippt um den Winkel α,
gegeben durch:
β
= −
. (6.91)
1 − β2 tan (α) = k′ x
k ′ z
Diese Erscheinung heißt Aberration. Im nichrelativistischen Grenzfall gilt
68
tan (α) −β = − v
. (6.92)
c

Astrophysik

7 Grundlagen der Astrophysik
In diesem Kapitel führen wir einige grundlegende Begriffe und Größen ein, die in den
späteren Kapiteln benötigt werden.
7.1 Die Sonne als Maß
Die Sonne ist der uns nächstgelegene Stern und deshalb für uns von größter Bedeutung.
In diesem Abschnitt diskutieren wir einige ihrer grundlegendsten Eigenschaften.
Es liegt nahe, Eigenschaften von anderen stellaren Objekten dann mit denen der Sonne
zu vergleichen, weil wir mit ihr am besten vertraut sind.
7.1.1 Sonnenleuchtkraft
Der über alle Wellenlängen integrierte Strahlungsfluss der Sonne, d.h. die pro Zeit- und
Flächeneinheit abgestrahlte Energie, der am Ort der Erde gemessen wird, ist gegeben
durch den Wert der Solarkonstante
S⊙ = 1,367 kW
. (7.1)
m2 Dieser Wert bildet die Grundgröße für alle Berechnungen zur Nutzung von Sonnenenergie
auf der Erde. Auf einen Fußballplatz der Fläche A = (100 m) 2 geht z.B. (bei senkrechtem
Sonnenstand) eine Strahlungsleistung von A · S⊙ = 1,37 · 10 7 W = 13,7 MW nieder,
die bei optimaler Konversion in entsprechende elektrische Leistung umgewandelt werden
könnte.
Die mittlere Entfernung zwischen Erde und Sonne beträgt
a = 1,496 · 10 8 km = 1 AE (7.2)
und wird Astronomische Einheit (AE) genannt. Damit können wir die Sonnenleuchtkraft
L⊙, d.h. die gesamte Energie, die pro Zeiteinheit von der Sonne abgestrahlt
wird, berechnen zu
L⊙ = 4πa 2 · S⊙ = 3,86 · 10 26 W, (7.3)
Astrophysik 71

7 Grundlagen der Astrophysik
d.h. der Wert der Solarkonstante multipliziert mit der Oberfläche einer Kugel mit einem
Radius a = 1 AE. Man merkt sich als Zahlenwert für die Sonnenleuchtkraft ∼ 4 · 10 26 W.
7.1.2 Helligkeit von Sternen
a) Scheinbare Helligkeit
Neben der (physikalischen) Strahlungsleistung kennzeichnet man Sterne in der Astronomie
auch durch ihre physiologisch empfundene scheinbare Helligkeit, auch Größenklasse
oder Magnitudo m genannt.
Von einem Stern S1 mit Größenklasse m1 erreiche uns auf der Erde der Strahlungsstrom
I1, von einem Stern S2 mit Größenklasse m2 der Strahlungsstrom I2. Der Unterschied in
der scheinbaren Helligkeit ist dann wie folgt definiert:
m2 = m1 − 2,5 lg I2
. (7.4)
Ist der Strahlungsstrom von Stern 2 beispielsweise 100 mal größer als der von Stern
1, d.h. I2/I1 = 100, so ist lg (I2/I1) = lg 100 = 2 und m2 = m1 − 5, also “negativer”
als m1. Ein Unterschied von 5 Größenklassen bedeutet damit einen Faktor 100 in der
empfangenen Intensität. Die Definition (7.4) trägt einem psychophysischen Grundgesetz
Rechnung: Die physiologisch empfundene Stärke, hier die empfundene Helligkeit, eines
Reizes, hier die physikalische Intensität des elektromagnetischen Spektrums, ist dem
Logarithmus des Reizes proportional. 1 Der in (7.4) vor dem Logarithmus auftretende
Faktor 2,5 sorgt dafür, dass die von arabischen und babylonischen Astronomen auf der
Grundlage der physiologischen Empfindung festgelegten scheinbaren Helligkeitsstufen,
die auch heute noch in Sternkarten verwendet werden, richtig wiedergegeben werden.
Beispiele für scheinbare Helligkeiten bekannter Himmelsobjekte finden sich in Tabelle
7.1. Die Grenze für die Sichtbarkeit mit bloßem Auge liegt bei Sternen sechster Größenklasse
(6 m ), mit den größten Teleskopen können Objekte bis zur scheinbaren Helligkeit
24 m nachgewiesen werden. Die Spannweite der scheinbaren Helligkeit sichtbarer astronomischer
Objekte erstreckt sich beim bloßen Auge somit über 32 Größenklassen, entsprechend
12 Zehnerpotenzen im Strahlungsstrom ((10 2 ) 32/5 ≈ 10 12 ), bei Teleskopen über
50 Größenklassen, entsprechend 20 Zehnerpotenzen im Strahlungsstrom. Umformen von
Gleichung (7.4) führt auf
I1
I2 = I1 × 10 0,4(m1−m2) = I1 × 2,512 (m1−m2) . (7.5)
1 Das gilt z.B. auch in der Akustik für die Lautstärke.
72

7.1 Die Sonne als Maß
Tabelle 7.1: Scheinbare Helligkeiten einiger Objekte. Sirius ist der hellste
Stern am Nachthimmel.
1 ′′
Objekt Scheinbare Helligkeit
Wega 0 m
Polarstern 2,12 m
Sirius −1,6 m
Vollmond −12,5 m
Sonne −26,87 m
1 pc
1 AE
Abbildung 7.1: In einer Entfernung von 1 Parsec erscheint der Abstand von
der Erde zur Sonne von 1 AE unter einem Winkel von einer Bogensekunde.
Die Abnahme bzw. Zunahme der Größenklasse um 1 bedeutet somit eine um einen
Faktor 2,512 geringere bzw. größere Strahlungsintensität. Dabei ist 2,512 ≈ 5√ 100. Tatsächlich
ist die scheinbare Helligkeit vom betrachteten Wellenlängenbereich abhängig,
man betrachtet daher in der Astronomie neben der bis jetzt besprochenen scheinbaren
visuellen Helligkeit mvisuell eines Sterns auch seine Helligkeiten mλ in definierten
Wellenlängenfenstern.
b) Absolute Helligkeit
Die Helligkeit, mit der uns ein Stern erscheint, hängt von seinem Abstand ab. Um eine
vom Abstand unabhängige Kenngröße für die Helligkeit eines Sterns zu finden, berechnet
man seine scheinbare Helligkeit in einem festgelegten Standardabstand von 10 Parsec,
und definiert diese als absolute Helligkeit M des Objekts. Dabei ist 1 Parsec (1
pc) die Entfernung, unter der der mittlere Abstand von der Erde zur Sonne unter dem
Winkel 1 ′′ erscheint, siehe Abbildung 7.1. Eine Bogensekunde ist im Bogenmaß
Astrophysik 73

7 Grundlagen der Astrophysik
1 ′′ = π/(180 · 60 · 60) = 1/206 265. (7.6)
Der Winkel α (im Bogenmaß), unter dem eine Länge a in großer Entfernung d erscheint,
ist gegeben durch α = a/d. Eine Bogensekunde entspricht daher z.B. dem Winkel, unter
dem 1 m in der Entfernung 206 265 m erscheint, also etwa ein 1 m großer Gegenstand in
München von Stuttgart aus betrachtet. Für a = 1 AE und α = 1 ′′ ergibt sich
d = 1 pc = 206 265 AE = 3,086 · 10 16 m = 3,26 ly, (7.7)
wobei ein Lichtjahr (1 ly) die Länge des Weges angibt, die Licht während eines Erdenjahres
im Vakuum zurücklegt:
1 ly = c · 365,25 Erdentage = c · 3,15 · 10 7 s = 9,46 · 10 15 m. (7.8)
Der für die Angabe der absoluten Helligkeit verwendete Normabstand von 10 pc = 32,6 ly
ist so gewählt, dass er typisch für sichtbare Sterne in der näheren Umgebung der Sonne
ist. So ist Sirius, der nächste Fixstern am Nordhimmel, etwa 10 ly und der nächste Stern
am Südhimmel, Proxima Centauri, ca. 4 ly entfernt
Als absolute Helligkeit der Sonne erhalten wir mit diesen Definitionen aus Gleichung
(7.4)
M⊙ = m⊙ − 2,5 lg I10 pc
I1 AE
(1 AE)2
= m⊙ − 2,5lg
(10 pc) 2 = +4,7m . (7.9)
Die Sonne wäre also ein schwacher, mit bloßem Auge gerade noch wahrzunehmender
Stern.
7.1.3 Masse der Sonne
Die Masse der Sonne beträgt
M⊙ = 1,9891 · 10 30 kg, (7.10)
als Zahlenwert merkt man sich ∼ 2·10 30 kg. Ein Weg, die Masse der Sonne zu “berechnen”,
führt über das dritte Keplersche Gesetz
74
G · M = ω 2 a 3 =
2 2π
a
T
3 . (7.11)

Setzen wir in (7.11) den Zahlenwert der Gravitationskonstanten
G = 6,6726 · 10 −11
7.1 Die Sonne als Maß
m3
, (7.12)
kg · s2 die Umlaufzeit der Erde um die Sonne T = 3,15·10 7 s, und den mittleren Sonnenabstand
der Erde a = 1,496 · 10 11 m ein, so erhalten wir nach kurzer Rechnung tatsächlich M⊙ ≈
2 · 10 30 kg.
Anmerkung: Eine leicht zu merkende Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes erhält
man durch die Betrachtung von Kreisbahnen mit Radien r von Trabanten der Masse
m um das Zentralobjekt mit Masse M: Die auf m wirkende Zentripetalkraft muss gleich
der auf m wirkenden Anziehungskraft sein, mω 2 r = GmM/r 2 , woraus sich nach Kürzen
von m auf beiden Seiten und Durchmultiplizieren mit r 2 sofort G · M = ω 2 r 3 ergibt.
Man beachte, dass beim Kräftegleichgewicht streng genommen in der Zentripetalkraft
die träge Masse mt, in der Anziehungskraft aber die schwere Masse ms (“Gravitationsladung”)
anzusetzen ist. Wir haben bei der Herleitung also die Gleichheit von
träger und schwerer Masse vorausgesetzt. Diese Annahme, das Äquivalenzprinzip
war der Ausgangspunkt von Albert Einstein, als er die Allgemeine Relativitätstheorie
formulierte. Wir besprechen das Äquivalenzprinzip in Kapitel 13.
7.1.4 Radius der Sonne
Der Sonnenradius beträgt
R⊙ = 6,9599 · 10 8 m ≈ 696 000 km. (7.13)
Man kann sich also etwa den Wert R = 700 000 km merken. Zum Vergleich: Der mittlere
Erdradius beträgt R ♁ = 6 378 km. Wir berechnen, unter welchem Winkeldurchmesser
die Sonne von der Erde aus betrachtet erscheint. Mit a = 2 R⊙ und d = 1 AE ergibt sich
α = a/d = 1,4 · 10 6 km/150 · 10 6 km ≈ 0,009, d.h. ausgedrückt in Bogenminuten
α⊙ = (180 ◦ /π) · 0,009 = 0,5 ◦ = 30 ′ , (7.14)
also ein halbes Grad. Auf dem in einer mittleren Entfernung von 1,52 AE umlaufenden
Mars beträgt der scheinbare Winkeldurchmesser der Sonne demnach ca. 20 ′ , auf dem
Jupiter in 5,2 AE Entfernung noch 6 ′ , auf Saturn (9,576 AE) ca. 3 ′ , auf dem fernen Pluto
(30,14 AE) dagegen nur noch 1 ′ .
In Tabelle 7.2 sind die wichtigsten charakteristischen Zahlenwerte der Sonne zusammengefasst.
Astrophysik 75

7 Grundlagen der Astrophysik
Tabelle 7.2: Wichtige Eigenschaften der Sonne. Da die Sonne der uns nächste
und bedeutendste Stern ist, vergleichen wir die Eigenschaften anderer
Objekte mit ihr.
Größe Symbol Wert
Radius R⊙ 695 990 km
Masse M⊙ 1,9891 × 10 30 kg
Winkeldurchmesser – 30 ′
Mittlere Entfernung 1 AE 149,6 × 10 6 km
Scheinbare Helligkeit m⊙ −26,87 m
Absolute Helligkeit M⊙ 4,7 m
Leuchtkraft L⊙ 3,86 × 10 26 W
Solarkonstante S⊙ 1,367 kW
m 2
7.2 Der Schwarzschild-Radius
Die potentielle Energie einer Probemasse m, die sich im Abstand r im Gravitationsfeld
einer kugelsymmetrischen Massenverteilung mit Gesamtmasse M befindet, ist in der
Newtonschen Gravitationstheorie gegeben durch
Vgr = − GMm
. (7.15)
r
In der SRT haben wir die Äquivalenz von Masse und Energie kennengelernt, siehe Abschnitt
5.2. Mit der Masse m ist die Ruheenergie E = mc 2 verknüpft. Man kann daher
auf den Gedanken kommen, die potentielle Energie (7.15) in Einheiten der Ruheenergie
zu messen:
2 GMm
Vgr = −mc
mc2r = −mc2
GM
c 2
r
. (7.16)
Da mc 2 die Einheit Energie hat, muss der Bruch dimensionslos sein. Dann muss die
im Zähler stehende Größe GM/c 2 die Dimension einer Länge haben. Konventionsgemäß
führt man noch einen Faktor 2 ein und definiert den Schwarzschild-Radius rS,
benannt nach K. Schwarzschild 2 , durch
2 Karl Schwarzschild, 1873 – 1916, deutscher Physiker.
76
rS = 2GM
c 2 . (7.17)

7.2 Der Schwarzschild-Radius
Tabelle 7.3: Zahlenwerte für den Schwarzschild-Radius und die Fluchtgeschwindigkeit
für verschiedene kosmische Objekte. Beteigeuze ist ein Riesenstern
im Sternbild Orion.
Objekt Radius Masse M vF rS
kl. Planetoid 3 km 3,4×10 14 kg 3,9 m/s 0,5 pm
mittl. Planetoid 20 km 1,0×10 17 kg 26 m/s 0,15 nm
gr. Planetoid 350 km 5,4×10 20 kg 450 m/s 0,8 µm
Mond 1 740 km 7,53×10 22 kg 2,4 km/s 0,11 mm
Erde 6 370 km 5,973×10 24 kg 11,2 km/s 8,9 mm
Jupiter 7 × 10 4 km 1,9×10 27 kg 60 km/s 2,8 m
Sonne 6,96 × 10 5 km 1,99×10 30 kg 620 km/s 2 950 m
Beteigeuze 5,22 × 10 8 km 4×10 31 kg 100 km/s 60 km
Die potentielle Energie lässt sich also durch den Schwarzschild-Radius ausdrücken in der
Form
Vgr = − 1 rS
mc2 . (7.18)
2 r
Das probemassenunabhängige Gravitationspotential φgr ist dann
φgr = − GM
r
= −1
2
rS
c2 . (7.19)
r
Der Schwarzschild-Radius ist somit das charakteristische Längenmaß für die Gravitationswirkung
der Masse M. Mit dem Werten für die Gravitationskonstante aus (7.12) und
der Lichtgeschwindigkeit
8 m
c = 2,99792458 · 10 (7.20)
s
lässt sich der Schwarzschild-Radius bei gegebener Masse M ausrechnen. Tabelle 7.3 gibt
Beispiele für den Schwarzschild-Radius verschiedener kosmischer Objekte.
Man merke sich, dass der Schwarzschild-Radius der Sonne etwa drei Kilometer, der
der Erde knapp einen Zentimeter beträgt. Die Kleinheit des Schwarzschild-Radius der
Erde veranschaulicht, warum man die Gravitation eine sehr schwache Wechselwirkung
nennt, denn der Schwarzschild-Radius ist ja zu vergleichen mit unserem Abstand vom
Erdmittelpunkt von R ♁ = 6 378 km. Das Verhältnis zwischen zwei Schwarzschild-Radien
ist vom Verhältnis der tatsächlichen Radien zweier Körper verschieden. Zum Beispiel
gilt für das Verhältnis der wirklichen Radien und Schwarzschild-Radien von Erde und
Astrophysik 77

7 Grundlagen der Astrophysik
Abbildung 7.2: Veranschaulichung zur Fluchtgeschwindigkeit: Zwei Körper
im Abstand r, die der wechselseitigen Gravitationskraft unterliegen. Um
das Gravitationsfeld der Masse M zu verlassen, benötigt die Masse m die
Anfangsgeschwindigkeit v0 = c rS
r .
Sonne
r♁ S
r ⊙ =
S
8,9 mm
2 950 m ≈ 3 · 10−6 und R♁ 6 370 km
R⊙ =
696 000 km ≈ 9 · 10−3 . (7.21)
Das rührt daher, dass die Schwarzschild-Radien linear, die tatsächlichen Radien jedoch
über das Volumen mit der dritten Wurzel von der Masse abhängen.
Es gibt einen alternativen Weg, um zum Schwarzschild-Radius zu gelangen. Wir betrachten
einen Körper K mit kugelsymmetrischer Massenverteilung der Gesamtmasse M, und
eine Probemasse m im Außenraum von K im Abstand r vom Mittelpunkt (Abb. 7.2).
Damit die Probemasse von ihrer Position bis ins Unendliche fliegen kann, muss man ihr
beim Start mindestens eine kinetische Energie mitgeben, die ihrer potentiellen Energie
am Ort r betragsmäßig gleich ist:
1
2 mv2 0 = mMG
. (7.22)
r
Daraus folgt für die Startgeschwindigkeit v 2 0 = 2MG/r. Ausgedrückt in Einheiten der
die Lichtgeschwindigkeit ergibt dies
v 2 0 = c
2 2MG
rc
2 = c2 rs
. (7.23)
r
Wieder erweist sich der Schwarzschild-Radius als die entscheidende Längenskala. Startet
die Probemasse direkt von der Oberfläche des Körpers K mit Radius R, so ist v0 die
Fluchtgeschwindigkeit der Masse M
vF = c
rS
. (7.24)
R
Man nennt die Fluchtgeschwindigkeit auch die 2. kosmische Geschwindigkeit des Objekts.
Die 1. kosmische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit vC, die notwendig ist, um das
78

7.2 Der Schwarzschild-Radius
kugelförmige Objekt knapp über seiner Oberfläche umkreisen zu können. Aus dem dann
herrschenden Gleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Gravitationskraft,
folgt unmittelbar
v 2 C = c
2 MG
Rc
2 = c2 rs
mv 2 C
R
= mMG
R 2
2R also vC
rS
= c
2R
(7.25)
= 1
√ 2 vF. (7.26)
Die Kreisbahngeschwindigkeit ist damit um einen Faktor 1/ √ 2 ≈ 0,707 kleiner als die
Fluchtgeschwindigkeit. Zahlenwerte für Fluchtgeschwindigkeiten unterschiedlicher kosmischer
Objekte sind in Tabelle 7.3 angegeben. Wir sehen, dass im Falle der Erde
eine Raumsonde, die zu einem anderen Planeten startet, die Anfangsgeschwindigkeit
11,2 km/s haben muss. Die Fluchtgeschwindigkeit gibt zugleich die Geschwindigkeit an,
mit der ein ursprünglich im Unendlichen ruhender Körper im freien Fall auf die Oberfläche
aufprallen würde. Als die Apollo-Astronauten zur Erde zurückkehrten, rasten sie
etwa mit dieser Geschwindigkeit wieder in die Erdatmosphäre hinein.
7.2.1 Relativistische Fluchtgeschwindigkeiten
Für die in Tabelle 7.3 betrachteten kosmischen Objekte sind die Fluchtgeschwindigkeiten
wegen der Kleinheit des Verhältnisses von Schwarzschild-Radius zu tatsächlichem Radius
allesamt nichtrelativistisch. Anders verhält es sich bei Neutronensternen. Bei diesen
Endstadien der Sternentwicklung sind die Schwarzschild-Radien in der Größenordnung
dessen der Sonne, rS ≈ 3 km, die Radien dieser kompakten Objekte betragen aber nur
r ∼ 10 km. Als Entweichgeschwindigkeit erhält man
rS
vF = c
R
3 km
= c
10 km
1
≈ c. (7.27)
2
Befindet sich ein Neutronenstern z.B. in einem Doppelsternsystem, so kann er unter
Umständen Material von seinem Begleiter “ansaugen”. Dieses fällt dann mit etwa der
halben Lichtgeschwindigkeit auf seine Oberfläche. Die dabei freigesetzten enormen Energiemengen
werden in Form von Röntgenstrahlung bei akkretierenden (aufschüttenden)
Röntgenpulsaren tatsächlich beobachtet. Siehe dazu auch Abschnitt 8.6.
Streng genommen müsste man bei solchen Geschwindigkeiten die relativistische Form
der kinetischen Energie in Gleichung (7.22) verwenden. Die relativistische Rechnung
bestätigt aber die Größenordnung des nichtrelativistischen Ergebnisses.
Astrophysik 79

7 Grundlagen der Astrophysik
7.2.2 Objekte mit einer Ausdehnung kleiner als der
Schwarzschildradius
Wir haben bisher immer vorausgesetzt, dass der Radius des Objekts größer als sein
Schwarzschild-Radius ist. Der Schwarzschild-Radius hat dann die Bedeutung einer charakteristischen
Rechengröße. Wird der Radius eines kosmischen Objekts jedoch kleiner
als rS, so bekommt der Schwarzschild-Radius eine wichtige physikalische Bedeutung:
Nach (7.23) würde für r = rS die für eine Masse notwendige Startgeschwindigkeit, um
ins Unendliche zu gelangen, gleich der Lichtgeschwindigkeit werden! Weder Teilchen noch
Licht könnten von unterhalb des Schwarzschild-Radius zu einem fernen Beobachter fliegen,
das Gebiet unterhalb des Schwarzschild-Radius bliebe unsichtbar, verborgen hinter
einem Horizont.
Diese Argumentation hat aber zwei kleine Haken. Erstens hätten wir für Fluchtgeschwindigkeiten
in der Nähe von c relativistisch rechnen müssen. Zweitens besitzen Lichtquanten
keine Ruhemasse und daher auch keine kinetische Energie, und unsere Herleitung ist
auch relativistisch nicht anwendbar. Trotzdem wird sich bei der exakten Behandlung der
Teilchen- und Lichtausbreitung in der allgemeinen Relativitätstheorie herausstellen, dass
der Schwarzschild-Radius für einen fernen Beobachter tatsächlich einen Ereignishorizont
darstellt: Licht, das am oder innerhalb des Schwarzschild-Radius abgestrahlt wird, kann
sich nicht mehr nach außen ausbreiten. Man spricht dann von einem Schwarzen Loch.
Eine quantitative Behandlung Schwarzer Löcher kann erst im Rahmen der ART erfolgen,
siehe Abschnitt 15.2.
7.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation
Die Gravitation ist die im Weltall dominierende Wechselwirkung. Quellen der Gravitationsfeldstärke
sind Massen, genauso wie die Quellen der elektrischen Feldstärke Ladungen
sind. Man nennt daher die gravitationserzeugende Eigenschaft eines Körpers auch seine
Gravitationsladung oder schwere Masse. Wie in der Elektrostatik Gleichungen gelten,
die den Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung, also felderzeugenden Ladungen
und erzeugten elektrischen Feldern herstellen, so lassen sich solche Gleichungen für die
Newtonsche Gravitationstheorie herleiten.
Ausgangspunkt ist dabei die formale Analogie zwischen der Kraft, die in der Elektrostatik
eine Ladung Q auf eine ruhende Probeladung q und in der Gravitationstheorie eine Masse
M auf eine Probemasse m ausübt:
80
F el(r) = 1
4πε0
· qQ
r 2 er ⇐⇒ F gr(r) = −G · mM
r 2 er (7.28)

7.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation
Dabei bedeutet er den Einheitsvektor in der Richtung von der Ladung Q (der Masse M)
zur Ladung q (der Masse m), r ist der Abstand der Ladungen bzw. Massen. Man erkennt,
dass das auf der linken Seite stehende Coulomb-Gesetz in das Gravitationsgesetz übergeht,
wenn man die elektrischen Ladungen durch die Massen (die Gravitationsladungen)
austauscht und die Ersetzung
1
⇐⇒ − G (7.29)
4πε0
vornimmt. Das Coulomb-Gesetz ist eine Konsequenz der Maxwell-Erregungsgleichung für
die als Kraft pro ruhender Probeladung definierte elektrische Feldstärke Eel = F el/q.
Sie lautet
divEel = ϱel
. (7.30)
wobei ϱel die elektrische Ladungsdichte ist. Führen wir in derselben Weise eine Gravitationsfeldstärke
als Kraft pro Probeladung ein, Egr = F gr/m, dann folgt mit der Ersetzung
(7.29), dass für Egr die analoge Erregungsgleichung
ε0
divEgr = −4π G ϱgr
(7.31)
gelten muss. Dabei bedeutet ϱgr gemäß der Ersetzungsregeln die Massendichte. Da
die elektrische Feldstärke in der Elektrostatik ein konservatives Kraftfeld ist, lässt sie
sich als negativer Gradient des elektrostatischen Potentials φel schreiben:
Eel = −∇φel. (7.32)
Analog existiert für die konservative Gravitationsfeldstärke ein Gravitationspotential φgr
mit
Egr = −∇φgr. (7.33)
Das Einsetzen von (7.32) in die Erregungsgleichung (7.30) führt in der Elektrostatik auf
die Poisson-Gleichung
△φel = − ϱel
. (7.34)
Setzen wir genauso (7.33) in (7.31) ein, gelangen wir zur Poisson-Gleichung der
Newtonschen Gravitationstheorie
ε0
△φgr = 4πGϱm. (7.35)
Diese gestattet es, bei beliebiger vorgegebener Massendichteverteilung ϱm(r) das Gravitationspotential
und daraus mit (7.33) die Gravitationsfeldstärke im Raum zum berechnen.
Astrophysik 81

7 Grundlagen der Astrophysik
Die Erregungsgleichung (7.31) kann wie in der Elektrostatik in eine integrale Form gebracht
werden. Dazu integrieren wir über ein beliebig vorgegebenes Volumen
ˆ
ˆ
divEgr · dV = −4πG ϱmdV
V
und wenden den Gaußschen Satz an, um das Volumenintegral über die Divergenz der
Gravitationsfeldstärke in ein Oberflächenintegral für den Fluss der Feldstärke zu überführen:
˛
ˆ
Egr · df = −4πG ϱmdV = −4πGM(V ). (7.36)
∂V
V
Das Integral auf der rechten Seite bedeutet nichts anderes als die vom Volumen V umschlossene
Masse M. Wir wollen hier speziell den Fall betrachten, dass die Massendichte
kugelsymmmetrisch ist, d.h.
ϱm(r) = ϱm(r), (7.37)
und ab einem Radius R verschwindet. Bei kugelsymmetrischer Massenverteilung ist keine
Richtung ausgezeichnet. Das Gravitationsfeld kann daher nur vom Abstand von Zentrum
der Massenverteilung abhängen und radial gerichtet sein, d.h. es hat die Form
V
Egr = Egr(r)er. (7.38)
Wir betrachten als erstes den Fall r ≤ R, d. h. wir befinden uns innerhalb der Dichteverteilung
(vgl. Abb. 7.3). Wir integrieren (7.36) über eine Kugel vom Radius r
˛
Egr · df = 4πr
S(V )
2 Egr(r) = −4πGM(r), (7.39)
wobei M(r) die bis zum Radius r umschlossene Masse bedeutet, d.h.
M(r) =
ˆ r
4πr
0
′2 ϱm(r ′ )dr ′ . (7.40)
Mit (7.38) und (7.39) erhalten wir für die Gravitationsfeldstärke den Ausdruck
Egr = −G M(r)
r 2 er . (7.41)
Man beachte, dass die Gravitationswirkung nur von der unterhalb des Radiuses r liegenden
Masse herrührt, und nicht von den darüber liegenden Schichten. Im zweiten Fall
sei r > R, wir befinden uns damit außerhalb der Dichteverteilung. Dann wird die umschlossene
Masse gleich der Gesamtmasse und wir haben das bekannte Ergebnis, dass
82

7.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns
Abbildung 7.3: Veranschaulichung zur Berechnung von Er, an der Stelle r
für r < R. Nur die Masse, die sich in der hellen Kugel mit Radius r befindet,
trägt zur Gravitationswirkung bei.
eine kugelsymmetrische Massenverteilung im Außenraum so wirkt, als wäre die Gesamtmasse
in ihrem Zentrum vereinigt, d.h.
Egr = −G M
r 2 er. (7.42)
7.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns
Die gravitative Bindungsenergie ist ein Maß für den Energiegehalt, den eine Massenansammlung
im Kosmos, zum Beispiel eine Galaxie, eine Gaswolke, ein Stern oder ein Planetoid,
auf Grund der gegenseitigen Anziehung ihrer einzelnen Massenelemente besitzt.
Sie entspricht zugleich der Energie, die nötig wäre, um die einzelnen Massenelemente zu
trennen und ins Unendliche zu transportieren.
Die Bindungsenergie sollte als potentielle Energie von der Form
Gravitationskonstante × Masse 2
Länge
sein. Die einzige Masse, die für eine Massenverteilung in Frage kommt, ist ihre Gesamtmasse
M, die einzige Länge ihre geometrische Ausdehnung 3 R. Die Bindungsenergie
sollte also von der Form
Ugr = −const · GM 2 /R (7.43)
sein. Allein die Konstante hängt noch von der Massenverteilung ab.
Als Beispiel wollen wir einen Stern als homogene Vollkugel mit Masse M und dem Radius
R0 modellieren und die Konstante in (7.43) berechnen. Für die konstante Dichte dieser
3 Wir betrachten hier Massenverteilungen mit hoher Symmetrie, also etwa Kugeln oder Ellipsoide. Für
eine beliebige geformte Gaswolke wäre der Zusammenhang natürlich etwas komplizierter.
Astrophysik 83

7 Grundlagen der Astrophysik
Kugel haben wir dann
ϱm(r) = M0
4π
3 R3 . (7.44)
0
Die bis zum Radius r umschlossene Masse ist M(r) = M0 · r 3 /R 3 0. Für r < R0 ist dann
die Gravitationsfeldstärke
Egr(r) = −G M(r)
r 3
r2 er = −GM0
r2R3 er = −G
0
M0
R3 0
· r · er, (7.45)
d.h. sie wächst linear mit dem Abstand an. Für das Gravitationspotential folgt durch
Integration über r:
φgr(r) = −
ˆ r
0
Egr(r) · dr =
ˆ r
0
G M0
R 3 0
Für r > R0 erhält man das bekannte Gravitationspotential
φgr = −G M0
r
· rdr = G M0
R3 r
0
2
+ C. (7.46)
2
. (7.47)
Das Potential muss als differenzierbare Funktion bei r = R0 stetig sein, d.h. es muss
−GM0/R0 = GM0/(2R0) + C gelten. Daraus ergibt sich als Wert der Konstanten C =
−3GM0/(2R0).
Die Gesamtenergie einer Massenverteilung ist allgemein gegeben durch
Ugr = 1
ˆ
2
φgrρmdV, (7.48)
wobei über den gesamten Raum zu integrieren ist. Im Beispiel der homogenen Vollkugel
ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden. Außerdem verschwindet
sie im Außenraum, so dass die Integration nur bis zum Radius R0 erfolgen muss:
Ugr = 1
2 ϱm
ˆ R0
+
0
GM0
R3 r
0
2
2
= − 4π
5 ϱmGM0R 2 0.
− 3
2
GM0
· 4πr 2 dr
Mit ϱm aus Gleichung (7.44) folgt nach Einsetzen und Umformen schließlich:
84
R0
(7.49)
Ugr = − 3 GM
5
2 0
. (7.50)
R0

7.5 Der Virialsatz
Dieses Ergebnis ist nach unserer Vorüberlegung nicht überraschend, für die homogene
Vollkugel ist die gesuchte Konstante also gleich 3/5.
Wir können die gravitative Bindungsenergie Ugr der homogenen Vollkugel mit ihrer relativistischen
Ruheenergie M0c 2 vergleichen. Das Verhältnis der beiden Größen ergibt sich
zu
Ugr
M0c
= −3 2 5
GM 2 0
3
= −
R0M0c2 10
2GM0
c 2
R0
= − 3
10
rS
R0
. (7.51)
Hier haben wir wieder den Schwarzschild-Radius rS als charakteristische Längeneinheit
verwendet. Wir sehen, dass die gravitative Bindungsenergie um das Verhältnis von
Schwarzschild-Radius zu tatsächlichem Radius kleiner als die Ruheenergie ist.
Für das Beispiel einer Sonnenmasse ergibt sich das Verhältnis
− 3
10 · r⊙ S
R ⊙ 0
= − 3
10 ·
2 950 m
696 · 106 m ≈ −1,3 · 10−6 . (7.52)
Die gravitative Bindungsenergie beträgt also nur etwa ein Millionstel der Ruheenergie.
Man kann die Bindungsenergie auch als einen “Massendefekt” zur Ruhemasse auffassen.
Genauso wie bei der Fusion von zwei Protonen und zwei Neutronen zu einem Heliumkern
die Ruheenergie des Heliumkerns um die durch die starke Wechselwirkung der Nukleonen
erzeugte Bindungsenergie kleiner ist als die Summe der Ruheenergien der Nukleonen vor
der Fusion, ist die Ruheenergie der Massenverteilung durch die gravitative Bindungsenergie
um den Faktor (7.52) vermindert. Diese Bindungsenergie muss ähnlich wie bei
der Fusion bei der Bildung der Massenansammlung freigesetzt werden, wie wir sehen
werden in Form von Wärme und Strahlung.
Bei der Kernfusion ist das Verhältnis von Massendefekt und Ruhemasse von der Größenordnung
∆mFusion
M ≈ 10−2 . (7.53)
Das heißt, wir haben bei der Fusion eine um den Faktor 10 4 höhere Effizienz als bei der
gravitativen Bindung. Das ist bereits ein starker Hinweis darauf, dass die hohe Leuchtkraft
der Sterne nicht von der Bindungsenergie der Gravitation verursacht werden kann,
sondern durch die in den Sternen stattfindende Fusion.
7.5 Der Virialsatz
Der Virialsatz macht eine Aussage über den Zusammenhang von mittlerer kinetischer
und mittlerer potentieller Energie eines Ensembles von Teilchen. Dieser Zusammenhang
wird später bei der Betrachtung der Entstehung von Sternen nützlich sein. Um den
Astrophysik 85

7 Grundlagen der Astrophysik
Virialsatz herzuleiten, betrachten wir zunächst ein Teilchen, auf das eine Kraft K wirken
soll:
m¨r = K. (7.54)
Im Folgenden bilden wir den Mittelwert der Größe K · r über einem Zeitintervall t2 − t1.
Mit dem Zwischenschritt
erhalten wir
1
t2 − t1
Damit gilt weiter
ˆt2
t1
K · r dt =
ˆt2
t1
m¨r · r dt = m ˙r · r
[m ˙r(t2)r(t2) − m ˙r(t1)r(t1)] − 1
K · r + m ˙r 2 = 1
t2 − t1
ˆt2
t2 − t1
t1
t2
t1
−
ˆt2
t1
m ˙r 2 dt = 1
m ˙r · ˙r dt (7.55)
ˆt2
t2 − t1
t1
K · rdt. (7.56)
[m ˙r(t2)r(t2) − m ˙r(t1)r(t1)] , (7.57)
wobei X den zeitlichen Mittelwert der Größe X bedeutet. Wenn wir nun das betrachtete
Zeitintervall sehr groß werden lassen, geht die rechte Seite von (7.57) gegen Null,
vorausgesetzt, dass der Ort und die Geschwindigkeit des Teilchens beschränkt sind, d.h.
das Teilchen hält sich für alle Zeit in einem bestimmten Volumen auf und seine Geschwindigkeit
übersteigt eine bestimmte Maximalgeschwindigkeit nicht. Wenn wir noch
berücksichtigen, dass m ˙r 2 = 2T mit der kinetischen Energie T ist (nicht die Temperatur),
erhalten wir den Virialsatz
K · r + 2T = 0. (7.58)
Wir drücken nun noch zusätzlich die Kraft durch den negativen Gradienten eines Potentials
V = αrn aus:
K = −∇V = −∇αr n
(7.59)
Dann folgt mit r = r · er
86
K · r = −∇V (r)r = −αr n−1 · n · rer · er = −nαr n = −V n. (7.60)

Für den Zeitmittelwert in (7.58) folgt damit:
Wir betrachten zwei Spezialfälle für n:
7.5 Der Virialsatz
2T = n · V . (7.61)
• Mit n = 2 ergibt sich
T = V = 1
E. (7.62)
2
Dies ist der Fall für einen harmonischen Oszillator mit Gesamtenergie E.
• Für n = −1 haben wir
Dieser Fall entspricht der Gravitation.
2T = −V ⇔ T = − 1
V . (7.63)
2
Um nun zu ermitteln, was beim Zusammenziehen einer galaktischen Gaswolke unter
Einwirkung der Gravitation passiert, müssen wir außerdem die kinetische und potentielle
Energie über die Teilchen des gesamten Esembles zu einem festen Zeitpunkt mitteln. Für
die Ensemblemittelwerte führen wir folgende Schreibweise ein:
〈T 〉 = 1
N
i
Ti, 〈V 〉 = 1
N
Vi, (7.64)
wobei Vi die potentielle Energie und Ti die kinetische Energie des Teilchens i darstellt.
Wir nehmen weiter an, dass für große Zeiten τ und sehr viele Teilchen die mittlere kinetische
und potentielle Energie pro Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt (Ensemblemittelwert)
gleich der zeitlich gemittelten kinetischen und potentiellen Energie eines
einzelnen Teilchens ist (Zeitmittelwert) man spricht hier von der Ergodenhypothese:
i
〈T 〉 = T , 〈V 〉 = V . (7.65)
Dann erhalten wir mit Hilfe des Virialsatzes für die Gravitation (7.63) den Zusammenhang
〈T 〉 = − 1
〈V 〉 (7.66)
2
zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie des Ensembles.
Im Anfangsstadium der Verdichtung einer Wolke ist die Dichte des Gases sehr gering,
so dass zwischen den einzelnen Teilchen kaum Wechselwirkungen stattfinden und die
Gesetze für ideale Gase Anwendung finden. Für ein ideales Gas mit der thermischen
Astrophysik 87

7 Grundlagen der Astrophysik
Energie U gilt
N · 〈T 〉 = U, (7.67)
wenn N die Anzahl der Moleküle oder Atome bezeichnet. Aus der Thermodynamik ist
bekannt, dass für ein einatomiges Gas die thermische Energie durch
Uth = 3
2 NkBT (7.68)
gegeben ist. Mit Hilfe des Virialsatzes können wir die thermische Energie nun auch über
die potentielle Energie ausdrücken:
Uth = − 1
2 Epot ⇔ 3kBT N = −G
M(R) ˆ
0
M(r)
dM(r). (7.69)
r
Erhöht sich also der Betrag der potentiellen Energie Epot, was genau dann passiert,
wenn die Gaswolke kontrahiert, dann erhöht sich auch die thermische Energie Uth. Allerdings
geht nur die Hälfte der freiwerdenden potentiellen Energie in die thermische
Energie. Aufgrund der Energieerhaltung muss der Rest als Wärmestrahlung freiwerden.
Bei Verkleinerung des Sterns gilt demnach
50% der bei der Kontraktion freiwerdenden potentiellen Energie führen
zu einer Erhöhung der thermischen Energie und 50% werden als
Strahlung freigesetzt.
7.6 Koordinatensysteme
Um die Position der Sterne zu kennzeichnen, können verschiedene Koordinatensysteme
verwendet werden. Diese werden im Folgenden erklärt. Vorab sollten jedoch einige
grundlegenden Begriffe erläutert werden:
Himmelskugel/ Hemissphäre Das ist eine scheinbare, den Beobachter allseitig umgebende
Kugel mit beliebig großem Radius. Die Gestirne kann man sich als Punkte
auf dieser Kugel vorstellen.
Zenit Dies ist der Punkt, der genau senkrecht über dem Beobachter liegt.
Nadir Der dem Zenit an der Himmelskugel gegenüberliegende Punkt.
88

7.6 Koordinatensysteme
Horizontebene Beschreibt die Ebene durch den Beobachtungspunkt senkrecht auf der
Lotgeraden (Zenit-Nadir).
Himmelspole Diejenigen Punkte am Himmel, an denen die verlängerte Erdachse die
Himmelskugel schneidet. Für einen Beobachter auf der Erde hat es den Anschein,
die am Himmel sichtbaren Objekte würden sich um die Himmelspole drehen.
Himmelsäquator Die Projektion des Äquators der Erde auf den Himmel. Er teilt die
Hemissphäre in eine nördliche und eine südliche Hälfte.
Ekliptik Sie ist der Kreis auf der Himmelssphäre, auf dem sich die Sonne im Laufe des
Jahres zu bewegen scheint. Die Richtung der Sonne verändert sich natürlich durch
die Bewegung der Erde um die Sonne. Die Ekliptik ist gegenüber dem Himmelsäquator
zur Zeit um 23 ◦ 27 ′ geneigt.
Meridian Der Himmelsmeridian ist der Großkreis durch Zenit, Nadir, die beiden Himmelspole
und durch den Nord- und Südpunkt am Horizont. Er teilt den Himmel
in eine östliche und eine westliche Himmelssphäre.
Frühlings-Herbstpunkt Der Himmelsäquator schneidet die Ekliptik in zwei Punkten.
An einem dieser Punkte befindet sich die Sonne am Frühlingsanfang. Am anderen
Punkt befindet sie sich zu Herbstbeginn.
7.6.1 Das Horizontsystem
Im Horizontsystem ruht der Beobachter auf der Erdoberfläche. Die Position eines Sterns
wird hier durch die Höhe h und den Azimut A beschrieben, wobei der Azimut der Winkel
zwischen Meridian und dem Vertikalkreis durch den Stern ist. Das Horizontsystem ist in
Abbildung 7.4 veranschaulicht.
Das Horizontsystem hat zwei Nachteile. Zum Einen verändern sich die Koordinaten durch
die Rotation der Erde. Zum Anderen sind die Koordinaten für verschiedene Beobachter
unterschiedlich. Zur einheitlichen Beschreibung sind diese Koordinaten deshalb nicht
geeignet. Um Himmelsobjekte zu katalogisieren werden andere Koordinaten benötigt.
7.6.2 Das Äquatorsystem
Das Äquatorsystem (Abb. 7.5) ist durch die Erdachse (Polachse) und durch den Himmelsäquator
gekennzeichnet. Den geographischen Längenkreisen entsprechen im Äquatorsystem
die Stundenkreise und den Breitenkreisen entsprechen die Parallelkreise. Man
Astrophysik 89

7 Grundlagen der Astrophysik
N
Horizont
Zenit
z
W
Nadir
*
h
Meridian
Abbildung 7.4: Himmelskugel im Horizontsystem. Aus dem Buch von Weigert
et. al. [5]
unterscheidet das “feste” und das “bewegliche” Äquatorialsystem. Beim festen Äquatorialsystem
wird die Position eines Objekts durch die Deklination δ und den
Stundenwinkel t beschrieben. Die Deklination ist dabei der Winkelabstand zwischen
Parallelkreis des Sterns und Himmelsäquator. Der Stundenwinkel wird längs des Himmelsäquators
gemessen. Als Nullpunkt wird der Schnittpunkt von Himmelsäquator und
Meridian gewählt. Da sich die Erde in 24 Stunden einmal um ihre eigene Achse, also um
360 ◦ , dreht, ändert sich der Stundenwinkel in einer Stunde um 15 ◦ .
Beim festen Äquatorsystem ändert sich der Stundenwinkel mit der Zeit. Außerdem ist
er von der geographischen Länge des Beobachters und von der Jahreszeit abhängig.
Somit ist dieses Koordinatensystem auch nicht zu einer einheitlichen Beschreibung geeignet.
Beim beweglichen Äquatorsystem wird der Nullpunkt für den Stundenwinkel anders
gewählt. Der Winkel zwischen dem Frühlingspunkt und dem Schnittpunkt Himmelsäquator/Stundenkreis
des Sterns heißt Rektaszension α. Er wird vom Frühlingspunkt
aus entgegen der täglichen Bewegung der Himmelssphäre im Zeitmaß von 0 h bis 24 h
gemessen. Die Deklination ist in beiden Systemen gleich.
Im beweglichen Äquatorsystem, das sich mit der Erde bewegt, sind die Koordinaten
eines Objektes zeitunabhängig. Zur Katalogisierung von Sternen wird deshalb dieses
Koordinatensystem verwendet. Ein Beispiel für den Aufbau eines Sternkatalogs findet
sich in Tabelle 7.4.
7.6.3 Ekliptikalsystem
Im Ekliptikalsystem dient als Bezugsebene die Ekliptik, also die Bahnebene der Erde.
90
A
S

1.4. KOORDINATENSYSTEME 13
1.4.2 Das Äquatorsystem
Das Äquatorsystem (Abb.1.4) ist durch die Erdachse (Polachse) und durch den
Himmelsäquator gekennzeichnet. Den geographischen Längenkreisen entsprechen
im Äquatorsystem die Stundenkreise und den Breitenkreisen 7.6 Koordinatensysteme
entsprechen
die Parallelkreise. Man unterscheidet das feste“ und das bewegliche“ Äquato-
” ”
rialsystem.
ϕ
UK
Pol
N
S Horizont
Äquator
τ
*
δ
α t
Abbildung 1.4: Himmelskugel im Äquatorialsystem
Abbildung 7.5: Himmelskugel im Äquatorsystem. Aus dem Buch von Weigert
et. al. [5]
Beim Tabelle festen7.4: Äquatorialsystem Beispiel für denwird Aufbau die Position eines Sternenkatalogs.
von einem Objekt durch die
sog. Deklination δ und den sog. Stundenwinkel t beschrieben.
Katalognummer Sternbild α δ Art Helligkeit · · ·
⊲ Die Deklination δ ist der Winkelabstand zwischen Parallelkreis des Sterns
NGC2252und Äquator. Einhorn 6
⊲ Der Stundenwinkel t wird längs des Himmelsäquators gemessen. Als Nullpunkt
wird der Schnittpunkt von Himmelsäquator und Meridian gewählt. Da
h34m42s +5◦22 ′
NGC2610 Wasserschlange 8h33m23s −16◦09 ′
A30 Krebs 8h46,8m +17◦53 ′
.
sich die Erde in 24 Stunden einmal um ihre eigene Achse (also um 360 ◦ ) dreht,
ändert sich der Stundenwinkel in einer Stunde um 15 ◦ .
Beim festen Äquatosystem ändert sich der Stundenwinkel mit der Zeit. Außer-
• Die ekliptische dem ist erBreite von derβgeographischen ist der Winkel Länge zwischen des Beobachters Ekliptikund und vondem der Jahreszeit Objekt.
abhängig.
• Die ekliptische Somit ist Länge dieses Koordinatensystem λ wird längs derauch Ekliptik nicht zu gemessen. einer einheitlichen Wie beim BeschreiÄquatorialsystembung ist der geeignet. Frühlingspunkt der Nullpunkt für die ekliptische Länge.
Dieses SystemBeim ist beweglichen für Körper des Äquatorsystem Sonnensystems wird(Planeten, der Nullpunkt Asteroiden, für den Stundenwin- Kometen) von
Bedeutung. kel anders gewählt. Der Winkel zwischen dem Frühlingspunkt und dem Schnittpunkt
Himmelsäquator/Stundenkreis des Sterns heißt Rektaszension α. Er
wird vom Frühlingspunkt aus entgegen der täglichen Bewegung der Himmels-
7.6.4 Galaktisches sphäre im Zeitmaß System von 0h bis 24h gemessen. Die Deklination ist in beiden
Systemen gleich.
Das galaktische System benutzt die Ebene der Milchstraße, die galaktische Äquatorebene,
als Grundkreis. Im beweglichen Der Nullpunkt Äquatorsystem, ist das das Zentrum sich mitder der Milchstraße.
Erde bewegt, sind die Koordinaten
eines Objektes zeitunabhängig. Zur Katalogisierung von Sternen wird
• Die galaktische deshalb dieses Breite Koordinatensystem b bezeichnet verwendet. den Winkel zwischen dem Objekt und der
Ebene durch die Milchstraße.
Beispiel für Sternkatalog:
• Die galaktische Länge l ist der Winkel zwischen der Verbindungslinie Sonne –
Zentrum der Milchstraße und dem Schnittpunkt des Längenkreises des Objektes
mit der galaktischen Äquatorebene.
OK
θ
Astrophysik 91

7 Grundlagen der Astrophysik
Galaktische Koordinaten werden hauptsächlich bei Untersuchungen verwendet, bei denen
die Raumverteilung von Objekten in unserer Galaxie von Bedeutung ist.
7.6.5 Störungen der Koordinaten
Die Bewegung der Erde unterliegt Einflüssen, welche langzeitliche Schwankungen hervorrufen.
Deshalb reicht es nicht aus nur die Koordinaten anzugeben. Zusätzlich wird
in Sternkatalogen auch noch das Äquinoktium, d.h. der Zeitpunkt oder die Epoche, der
Messung angegeben, auf welches sie sich beziehen.
Zu den wichtigsten Störungsquellen gehört die durch die Gravitationskräfte des Mondes
hervorgerufene Präzessionsbewegung der Erde. Dabei beschreibt die Erdachse
eine gleichmäßige Drehung längs eines Kegels mit einer Öffnung von 23.5 ◦ um den Pol
der Ekliptik. Ein vollständiger Umlauf dauert ca. 26 000 Jahre. Daneben führt die Nutation
führt zu einer Änderung der Rotationsachse und somit zu einer Änderung der
Winkelgeschwindigkeit.
Durch diese Effekte (es gibt noch weitere Störungen, die allerdings nicht so drastisch
sind) verändern sich Deklination und Rektaszension eines Sterns mit der Zeit. Auch
die Position des Frühlingspunktes, der Himmelspole und des Polarsterns verändern sich
deshalb.
92

8 Entstehung und Entwicklung von
Sternen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Phasen eines Sternlebens.
Wir diskutieren wie Sterne entstehen, welche Prozesse sie stabilisieren, und wie
die Endprodukte von Sternen beschaffen sind.
8.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
Gaswolken kosmischer Größe tendieren dazu, sich unter der Einwirkung ihrer Eigengravitation
zu kontrahieren. Beobachtet man dagegen eine Gaswolke im Labor, so nimmt
diese jedes ihr zur Verfügung gestellte Volumen ein, um sich auszudehnen. Dies liegt
daran, dass für solch kleine Objekte die Gravitation keine Rolle spielt (Abb. 8.1). Man
nimmt heute an, dass die Kontraktion der für die Sternbildung entscheidende Effekt ist.
8.1.1 Das Jeans-Kriterium
Die Voraussetzung für die Kontraktion ist, dass die Gravitationsenergie die thermische
Energie übersteigt. Das ist das Jeans-Kriterium für das Einsetzen der “Gravitationsinstabilität”,
d.h. der Kontraktion. Der Begriff bezieht sich auf J. H. Jeans 1 , der die
Abbildung 8.1: Kontraktion einer Gaswolke unter Einwirkung der Eigengravitation.
Im Labor wird der umgekehrte Prozess beobachtet, da hier die
Gravitation keine Rolle spielt.
1 Sir James Hopwood Jeans, 1877 – 1946, Englischer Physiker, Astronom und Mathematiker und Mitbegründer
der britischen Kosmologie.
Astrophysik 93

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Ausbreitung von Dichtestörungen in einem Fluid unter Einfluss der Gravitation 1902
untersuchte. [6]
Für die thermische Energie gilt zunächst nach Gleichung (7.68) Uth = 3kBNT/2, bzw.
mit der Teilchenanzahl ausgedrückt durch den Quotienten von Gesamtmasse M und der
mittleren Molekül- bzw. Atommasse µ:
Uth = 3
2 kBT · M
µ . (8.1)
Bei homogener Dichte gilt für die Gravitationsenergie nach Gleichung (7.50):
Ugr = 3 2 M
G ·
5 R
(8.2)
Nach Voraussetzung muss die Gravitationsenergie die thermische Energie übersteigen.
Es ergibt sich eine Ungleichung:
2 3 M
G ·
5 R
3
>
2 kBT · M
µ . (8.3)
Um diese Gleichung auszuwerten, drücken wir R durch die Masse und die Dichte aus.
Aus ϱm = M/( 4π
3 R3 ) folgt direkt
M
R =
4π
3 ϱm
In (8.3) eingesetzt ergibt sich nach kurzer Rechnung dann
M >
1/3
. (8.4)
375
32π ·
3/2 kBT 1
· √ . (8.5)
µG ϱm
Diese Größe wird manchmal auch als kritische Jeansmasse bezeichnet. Sie gibt eine
untere Schranke der Masse an, ab der die Gaswolke bei gegebener Dichte kollabiert.
Als Beispiel betrachten wir kosmische Gaswolken, die aus neutralem Wasserstoffgas bestehen
und eine Temperatur von T = 100 K besitzen. Wasserstoff besitzt die atomare
Masse
mH = 1,67 · 10 −27 kg. (8.6)
Wir nehmen an, dass sich in einem Volumen von 1 cm 3 100 Wasserstoffatome befinden.
Dann erhalten wir eine Dichte von ϱm = 1,67·10 −19 kg/m 3 . Für die Gravitationskonstante
94

8.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
nehmen wir den Wert aus (7.12) und für die Boltzmann-Konstante
Einsetzen dieser Werte ergibt dann
−23 J
kB = 1,38 · 10 . (8.7)
K
M 6,5 · 10 33 kg ≈ 3 250 · M⊙. (8.8)
Gaswolken mit einer Masse von M ≈ 104M⊙ kontrahieren somit sicher. Da aber die
massereichsten bisher beobachteten Sterne nur Massen M < 50M⊙ haben (mit Ausnahme
von η Carinae in der südlichen Milchstraße, der mit M ≈ 100M⊙ wahrscheinlich
der massereichste Stern unseres Milchstraßensystems ist), entstehen bei der Kontraktion
nicht einzelne Sterne, sondern Sternhaufen. Darüber hinaus kondensiert nicht alles Gas
zu Sternen. Die Entstehung dieser Sternhaufen findet statt, während die Gaswolke kollabiert.
Durch den Kollaps entstehen lokale Dichtevariationen. Dabei bilden sich durch
Reibung und Magnetfelder Turbulenzen aus, die eine rein radiale Kompression stören
und zu lokalen Dichteschwankungen führen.
Die lokalen Teilgebiete höherer Dichte können dann für sich jeweils gravitativ instabil
werden und kollabieren, da nach (8.5) die für einen Kollaps nötige Masse mit der Dichte
über M ∼ ϱ −1/2
m zusammenhängt.
8.1.2 Ablauf des Kollapses
Während des Kollapses steigt mit der Dichte ϱm auch der Gasdruck an, während die potentielle
Energie sinkt. Solange dabei die Dichte klein genug bleibt, kann die freiwerdende
Energie ∆Epot als Strahlungsenergie nach außen abgegeben werden. Die Temperatur der
Gaswolke steigt also nicht wesentlich an. Da nun bei dieser isothermen Kontraktion mit
der Dichte die kritische Jeans-Masse mit M ∼ ϱ −1/2
m abnimmt, können Teilmassen bei
räumlicher Dichtefluktuation in Richtung ihrer eigenen Massezentren kollabieren. Aus
der ursprünglichen Wolke bilden sich also einzelne Fragmente, aus denen dann letztendlich
die Sterne entstehen. Deshalb entstehen Sterne in Haufen, in denen im Allgemeinen
alle Sterne etwa dasselbe Alter haben.
Nimmt die Dichte so weit zu, dass die Wolke optisch dicht wird, kann die Strahlung
nicht mehr aus der Wolke entweichen. Die Wolke wird aufgeheizt. Damit steigt dann
aber der Druck p ∼ ϱmkBT stärker an als die Dichte. Ferner kann die Strahlung aus den
Randgebieten viel eher entweichen als aus dem Inneren der Fragmente. Die Temperatur
der kollabierenden Wolke steigt also im Inneren stärker an als in den Randgebieten. So
entsteht dann ein Zentralgebiet mit hohem Druck und hoher Temperatur. Bei genügend
hohem Gasdruck kompensieren die Druckkräfte die Gravitation schließlich. Der Kollaps
Astrophysik 95

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
wird dadurch abgebremst und das Zentralgebiet stabilisiert.
Allerdings stürzen die Randschichten weiterhin auf das Zentrum und heizen dieses weiter
auf. Die Temperatur, und mit ihr der Gasdruck, steigt also weiter an und die kritische
Jeansmasse erreicht Größenordnungen der Sonnenmasse. Das so entstehende Gebilde
heißt Protostern. Für Protosterne charakteristisch ist, dass sie die bei der Kontraktion
erzeugte Strahlung absorbieren. Es erfolgt also keine Energieabgabe. Der Vorgang geschieht
adiabatisch. Der rasche Druckanstieg mit pV γ = const bremst den Kollaps bei einer
Temperatur von etwa 100 K ab. Dadurch verlangsamt sich die Kontraktion, während
die Temperatur auf einige tausend Kelvin steigt. Diese Temperatur liefert hinreichend
Energie für die Dissoziation des Wasserstoffs. Die hierzu aufgewendete Dissoziationsenergie
geht auf Kosten der kinetischen Energie der Teilchen, so dass sich Temperaturund
Druckanstieg verlangsamen, während der Gravitationsdruck aufgrund zunehmender
Dichte unvermindert ansteigt. Dadurch erhöht sich die Kontraktionsgeschwindigkeit nun
wieder.
Der Kollaps setzt sich solange fort, bis alle H2-Moleküle dissoziiert sind. Nun wird keine
Energie mehr zur Dissoziation aufgewandt, so dass die Zentraltemperatur wieder ansteigen
kann. Dabei ist die Hülle weiter optisch dicht, so dass die Strahlung absorbiert
wird und die Hülle eine Aufheizung auf TH ≈ 700 K erfährt. Durch die unverminderte
Gravitation stürzt mehr und mehr Materie der Hülle in den Kern. Da damit aber auch
die absorbierende Funktion der Hülle verloren geht, wird der Kern während seiner Massenzunahme
sichtbar. Durch die weitere Kontraktion erhöht sich die Temperatur derart,
dass Wasserstoff ionisiert wird. Mit der gleichen Argumentation für die Energiebilanz wie
bei der Dissoziation wird dadurch die Kontraktionsgeschwindigkeit abgebremst. Hat die
Zentraltemperatur eine Größenordnung von etwa 10 5 K erreicht, so ist alles Gas ionisiert.
Schließlich gelangt der Stern ins so genannte Hydrostatische Gleichgewicht, bei
dem der Gasdruck die Gravitation kompensiert.
8.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht
Ein Grundproblem bei der Sternentstehung ist die Beantwortung der Frage, warum der
Stern nicht unter seiner Eigengravitation immer weiter kollabiert, bzw. durch was er
stabilisiert wird. Es zeigt sich, dass dafür ein Druckgradient nötig ist, so dass jede einzelne
Kugelschale des Sternes davon getragen wird.
a) Herleitung der Gleichgewichtsbedingung
Zur Herleitung der Gleichgewichtsbedingung betrachten wir einen kleinen Zylinder im
Stern zwischen den Kugelschalen bei r und r + dr, siehe Abb. 8.2. Aufgrund der Radialsymmetrie
wirken auf den Zylinder nur Drücke in radialer Richtung, zum einen der
96

+ dr
r
dS
dS
8.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
δm
p(r + dr)
F g
p(r)
M(r) + dm
M(r)
Abbildung 8.2: Zur Herleitung des hydrostatischen Gleichgewichtes. Betrachtet
wird ein Zylinder im Stern zwischen den Kugelschalen bei r und
r + dr, die die Massen M(r) bzw. M(r) + dm umschließen. Die Masse des
Zylinders ist δm = ϱ(r) dr dS. Auf den Zylinder wirken aufgrund der Radialsymmetrie
lediglich Drücke in radialer Richtung, sowie die Gravitation.
Druck p(r) von unten, zum anderen der Druck p(r +dr) von oben. Zusätzlich wirkt noch
die Gewichtskraft des Zylinders, diese ergibt sich zu
F g = G M(r)δm
r 2 , (8.9)
mit der von der Kugel mit Radius r umschlossenen Masse M(r) und der Masse des Zylinders
δm = ϱ dr dS, wobei dS die Grundfläche des Zylinders bezeichnen soll. Aufgrund
der Druckdifferenz ergibt sich eine resultierende Kraft
F ∆p = [p(r) − p(r + dr)]dS. (8.10)
Im Gleichgewicht müssen sich diese beiden Kräfte aufheben. Für die weitere Betrachtung
linearisieren wir den Ausdruck für p(r) und erhalten
p(r + dr) = p(r) + dp
dr + O(dr
dr r
2 ). (8.11)
Da wir δm durch ϱ(r) · dr · dS ersetzen können, ergibt sich
F ∆p = − dp
dr · dS = −
dr r
dp
dr
r
· δm
. (8.12)
ϱ(r)
Astrophysik 97

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Gleichsetzen von (8.12) und (8.9) führt schließlich auf
dp
dr
= −ϱ(r)GM(r)
r 2 . (8.13)
Alternativ können wir dr durch dM ausdrücken über dr = dM/(4πr 2 ϱ(r)) und erhalten
dp
dM
Durch diesen Druckgradienten wird der Stern stabilisiert.
b) Abschätzung des Druckes
M
= −G . (8.14)
4πr(M) 4
Aus Gleichung (8.14) können wir formal einen Zusammenhang zwischen Druck und umschlossener
Masse innerhalb eines Sternes herleiten:
ˆ
p(M) − p(0) = p(M) − pc = −G
0
M
M ′ dM ′
4πr(M ′ . (8.15)
) 4
Mit dem Druck pc im Zentrum. Auf der Oberfläche des Sternes (M = M(R)) ist der
Druck Null und wir erhalten
ˆM
pc = G
0
M ′ dM ′
4πr(M ′ . (8.16)
) 4
Da der Zusammenhang r(M) zwischen Radius und eingeschlossener Masse aber i.A.
nicht bekannt ist, muss eine Abschätzung vorgenommen werden. Wir verwenden dafür
statt r(M) den Sternradius R. Dies ist natürlich der maximale Wert den r(M) annehmen
kann, der tatsächliche Druck ist also größer als unser Ergebnis. Mit dieser Abschätzung
lässt sich (8.16) leicht integrieren und wir erhalten
98
ˆ
pc G
0
M
M ′ dM ′
2 M
= G
4πR4 8πR
4 . (8.17)

8.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
Mit der mittleren Dichte ¯ϱ = M/( 4π
3 R3 ) des Sternes und durch Einsetzen des Schwarzschildradius
rS = 2GM/c 2 erhalten wir schließlich
pc 3 rS
ϱc2 . (8.18)
4 R
Größenordnungsmäßig ergibt sich damit folgender wichtige Zusammenhang
¯p
¯ϱc
2 ≈ rS
. (8.19)
R
Dabei ist ¯p der mittlere Druck und ¯p/(¯ϱc 2 ) die Ruheenergiedichte.
8.1.4 Charakteristische Zeitskalen der Sternentwicklung
Bei der Untersuchung der Entwicklung und Dynamik von Sternen spielen einige charakteristische
Zeitskalen eine Rolle. Bevor Kernfusion bekannt war, dachte man darüber
nach, ob Sterne aufgrund ihrer gravitativen Bindungsenergie leuchten und wie lange
dafür in diesem Fall genügend Energie vorhanden wäre. Diese Überlegungen führen zur
Kelvin-Helmholtz-Zeitskala. Andere Überlegungen beziehen sich auf die Fusion als Energiequelle,
dies führt zur nuklearen Zeitskala. Daneben diskutieren wir noch die typische
Zeitspanne, in der ein Stern auf eine Störung reagiert, die hydrostatische Zeitskala.
a) Kelvin-Helmholtz-Zeitskala
In diesem Abschnitt analysieren wir, wie lange ein Stern aufgrund seiner gravitativen
Bindungsenergie leuchten könnte.
Wir betrachten als Beispiel die Sonne mit den Werten M⊙ = 2 · 10 30 kg und R⊙ =
7 · 10 8 m. Nach Gleichung (7.50) berechnet sich die potentielle Energie der Sonne zu
Epot = 3
5 GM2
R
= 2,29 · 1041 kg · m2
s 2 . (8.20)
Für die Leuchtkraft der Sonne hatten wir in Abschnitt 7.1.1 L⊙ = 3,86 × 10 26 J/s. Das
Verhältnis von Epot und L⊙ bezeichnet die Kelvin-Helmholtz-Zeitskala:
τKH = Epot
L⊙ ≈ 5,9 · 1014 s ≈ 18,8 Mio. Jahre. (8.21)
Als reiner Gravitationseffekt ergäbe sich also eine Lebensdauer für den Stern im Bereich
von einigen zehn Millionen Jahren. Dies stellte im 19. Jahrhundert, als Kernfusion noch
Astrophysik 99

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
unbekannt war, ein großes Problem dar, da die Lebensdauer der Sonne damit unverträglich
mit geologischen Erkenntnissen zum Alter der Erde und Darwins Untersuchungen
zur Evolution war.
b) Hydrostatische Zeitskala
Wird das Gleichgewicht eines Sternes gestört, so reagiert der Stern auf einer Zeitskala τh.
Um diese zu ermitteln betrachten wir, wie lange eine Druckstörung mit Schallgeschwindigkeit
braucht, um den Stern zu durchqueren.
Für die Schallgeschwindigkeit vS in einem Stern ergibt sich bei Vernachlässigung von
Zahlenfaktoren der Ordnung 1 bei Verwendung von Gleichung (8.19)
p
vS =
ϱ ≈
G M
R =
rS
R c2 . (8.22)
Die Zeit um den Stern zu durchqueren ist dann
τh = R
=
vS
R
R
. (8.23)
c rS
Für die Sonne ergibt sich als Beispiel τ ⊙ h
c) Nukleare Zeitskala
≈ 1 000 s.
Nimmt man an, dass Sterne ihre Strahlungsenergie durch nukleare Prozesse erhalten, so
kann man damit analog zu Gleichung (8.21) eine Größenordnung für die Lebensdauer
eines Sternes berechnen:
τN = EN
L ≈ 1012 a. (8.24)
Dabei bezeichnet EN die Energie, die ein Stern durch nukleare Prozesse erzeugen kann.
Die Berechnung der in einem Stern durch Fusionsprozesse insgesamt erzeugbaren Energie
soll hier nicht gezeigt werden. Wir werden aber im nächsten Abschnitt die in Sternen
auftretenden Fusionsprozesse genauer betrachten.
Die Annahme, dass Sterne aufgrund von Fusionsprozessen leuchten wurde zuerst von A.
Eddington 2 geäußert und löste das Altersproblem der Sonne.
2 Arthur Eddington, 1882-1944. Britischer Astrophysiker, bekannt u.a. für die Eddington-Grenze für
die maximale Leuchtkraft eines Sterns.
100

8.2 Energieproduktion in Sternen
8.2 Energieproduktion in Sternen
Die quantitative Bestimmung der Prozesse, die in Sternen die nötige Energie liefern,
gelang erst in den 1930er Jahren durch C. F. v. Weizsäcker 3 und H. A. Bethe 4 . [7]
Bethe erhielt für seine Berechnungen zu diesem Thema 1967 den Nobelpreis für Physik.
Es wird uns in diesem Abschnitt darum gehen, darzustellen, wie Atomkerne fusionieren
können. Betrachten wir als Beispiel die Fusion zweier Protonen:
p + p → D + e + + νe + 0,42 MeV. (8.25)
In einem Stern herrschen Temperaturen in der Größenordnung von T ∼ 10 7 K. Dies
entspricht einer thermischen Energie E ∼ 800 eV, also weit über der Ionisierungsenergie
von Wasserstoff. Die leichten Atome werden in Sternen also ionisiert vorliegen. Protonen
stoßen sich aber aufgrund der elektromagnetischen Wechselwirkung ab. Nähert sich ein
Proton einem anderen, so muss es den Coulombwall überwinden, d.h. so lange gegen
die elektromagnetische Abstoßung laufen, bis die starke Wechselwirkung zur Kernreaktion
führen kann.
Um abzuschätzen, wie groß der Coulombwall ist nehmen wir für den Radius eines Protons
etwa rp 10 −15 m an. Bei “Berührung” der Protonen haben die Mittelpunkte einen
Abstand von 2rp. Damit ergibt sich für die potentielle Energie
V (2rp) = e2 1
. (8.26)
4πε0 2rp
Wir wollen diese Energie mit der Bindungsenergie des Wasserstoffatoms vergleichen.
Dazu drücken wir den Protonenradius rp durch den Bohrradius aB = 1/2 · 10 −10 m aus.
Es ist also rp 2ab × 10 −5 . Wenn wir noch die Definition des Bohrradius aB = ¯λe/α als
Verhältnis von Compton-Wellenlänge des Elektrons
¯λe = ℏ
mec
zur Sommerfeldschen 5 Feinstrukturkonstante
αel = 1
4πɛ0
e 2
ℏc
≈ 1
137
(8.27)
(8.28)
3 Carl Friedrich von Weizsäcker, 1912 – 2007, Deutscher Physiker und Philosoph. Bruder des ehemaligen
Bundespräsidenten Richard von Weizsäcker
4 Hans Albrecht Bethe, 1906 – 2005, Deutsch-Amerikanischer Physiker, Nobelpreis 1967.
5 Arnold J. W. Sommerfeld, 1868 – 1951, Deutscher Physiker.
Astrophysik 101

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
benutzen, so erhalten wir nach kurzer Umformung
mit der Rydbergenergie
V (2rp) = 1
2 ERyd × 10 5
(8.29)
ERyd = 1
2 α2 mec 2 = 13,6057 eV. (8.30)
Der Coulombwall beträgt also etwa V (2rp) = 6,8 × 10 5 eV. Er ist demnach viel größer
als die thermischen Energien im Bereich von 1 keV.
Das dennoch Fusionsprozesse stattfinden hat zwei Gründe. Zum einen haben nicht alle
Protonen bzw. Atomkerne die gleiche Geschwindigkeit, stattdessen liegt eine Geschwindigkeitsverteilung
vor. Zum anderen kann es durch den quantenmechanischen Tunneleffekt
zu Fusionsprozessen kommen, die klassisch nicht möglich wären.
8.2.1 Geschwindigkeitsverteilung der Nukleonen
Die Nukleonen bzw. ionisierten Atomkerne im Plasma des Sterns haben nicht alle die
gleiche Geschwindigkeit. Stattdessen gehorcht die Verteilung der auftretenden Geschwindigkeiten
der Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Teilchengeschwindigkeiten
in einem idealen Gas.
Die Beschreibung als ideales Gas mag an dieser Stelle etwas überraschen, sie ist aber sehr
gut gerechtfertigt, da durch die hohen Temperaturen die Wechselwirkungen der Teilchen
untereinander vernachlässigbar gegen die thermische Energie sind.
Für die Beträge der Geschwindigkeiten ergibt sich in diesem Fall die Wahrscheinlichkeitsdichte
3/2 m
p(v) = 4π
v
2πkBT
2
exp − mv2
.
2kBT
(8.31)
Entsprechend ergibt sich eine Energieverteilung
g(E) = 2
E
πk 3 exp
3
BT
− E
. (8.32)
kBT
Der Anteil hochenergetischer Teilchen nimmt exponentiell mit der Energie ab, es gibt
aber immer einen kleinen Anteil an Teilchen, mit sehr hoher Energie. In Abbildung 8.3
ist die Maxwell-Energieverteilung skizziert.
102

g(E)
hochenergetischer Anteil
8.2 Energieproduktion in Sternen
Abbildung 8.3: Skizze der Maxwell-Energieverteilung. Es gibt immer auch
einen kleinen Anteil von Teilchen mit sehr hoher Energie.
8.2.2 Der Tunneleffekt
Um den Tunneleffekt zu verstehen, greifen wir auf die Gamowsche 6 Theorie des α-Zerfalls
zurück. Wir betrachten vereinfacht einen Atomkern mit Ladungszahl Z und Radius
rN. Für ein α-Teilchen, dass diesen Kern verlassen möchte ist die potentielle Energie
aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung gegeben durch
V (r) = ZαZK
4πε0
E
e2 , (8.33)
r
siehe Abbildung 8.4. Dabei ist ZK = Z − 2 die Ladung des Restkerns und Zα = 2.
Die hier gezeigten Ergebnisse sind aber auf andere Fälle verallgemeinerbar. Die Transmissionswahrscheinlichkeit
durch die Barriere bis zu einer Radialkoordinate b ist dann
gegeben durch
ˆ b
T = exp −2
rN
κ(r) dr , mit κ(r) = 2mα|V (r) − E|. (8.34)
6 George Anthony Gamow, 1904 – 1968, Russischer Physiker, der lange Zeit in den USA lebte. Arbeitete
an Themen der Atomphysik und der Urknall-Theorie.
Astrophysik 103

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
V
E
rN b
Abbildung 8.4: Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit kann ein α-Teilchen
durch den Coulombwall tunneln und so den Kern verlassen.
Die Auswertung des Integrals führt auf
T = exp
−4 ZαZK e
4πε0
2
. (8.35)
ℏv
Es ist also wegen v ∼ √ E die Wahrscheinlichkeit proportional zu exp(1/ E/Ecr), wobei
die kritische Energie in diesem Fall gegeben ist durch
Ecr = 4π 2 Z 2 αZ 2 AαAK
K
Aα + AK
r
· 0,986 MeV. (8.36)
Dabei bezeichnet Ai die jeweiligen Atomgewichte. Die vorliegenden Energien sind also
viel kleiner als die kritische Energie.
8.2.3 Proton-Proton-Reaktionen
Es ist sinnvoll zuerst Reaktionen zu untersuchen, bei denen die kritische Energie möglichst
klein wird, denn dann kann die höchste Reaktionsrate erwartet werden. Wegen der
Abhängigkeit von Ecr von den Ladungszahlen und Atommassen ist dies für kleinstmögliches
Z und A der Fall, führt uns also wieder auf unsere bereits am Anfang gezeigte
104

Reaktion
8.2 Energieproduktion in Sternen
1 H + 1 H → D + e + + νe + 0,42 MeV (8.37)
mit A0 = Z0 = A1 = Z1 = 1. Dabei haben wir hier die übliche Notation mit Elementsymbolen
verwendet. Wenn man für diese Reaktion die diskutierten Gleichungen
auswertet, so kommt man auf eine Reaktionsrate von 1 : 1,2 × 10 11 a. Die mittlere Lebensdauer
eines Kerns ist also in der Größenordnung des Alters des Universums von
etwa 13,7 Milliarden Jahren, wie wir im Kosmologieteil sehen werden.
Durch die hohe Dichte im Sterninneren von etwa σ = 100 g/cm 3 , d.h. etwa 10 25 Protonen
pro Kubikzentimeter Sternmasse, ist dieser Prozess aber dennoch wirksam und ausreichend
um die Energieproduktion in der Sonne zu erklären. Gleichzeitig ermöglicht die
geringe Reaktionsrate überhaupt erst Lebensdauern für Sterne im Bereich von Milliarden
von Jahren.
Die Folgereaktion von (8.37) verläuft dagegen sehr schnell mit einer Lebensdauer von
etwa 1,4 s:
D + 1 H → 3 He + γ + 5,49 MeV. (8.38)
An dieser Stelle gibt es drei mögliche Folgereaktionen, die in der Sonne unterschiedlich
häufig auftreten:
• Proton-Proton-Reaktion I: Hier fusionieren mit einer Lebensdauer von etwa 10 6
Jahren zwei 3 He Kerne zu 4 He:
3 He + 3 He → 4 He + 1 H + 1 H + 12,86 MeV. (8.39)
Diese Reaktion ist vorherrschend bei Temperaturen von 1,0×10 7 −1,4×10 7 Kelvin
und findet in der Sonne etwa mit einem Anteil von 91% statt.
• Proton-Proton-Reaktion II: Hier wird in einer dreistufigen Reaktionskette mit einem
als Katalysator wirkenden 4 He-Kern ein weiterer 4 He-Kern erzeugt:
3 He + 4 He → 7 Be + γ + 1,59 MeV
7 Be + e − → 7 Li + νe
7 Li + 1 H → 4 He + 4 He + 17,35 MeV.
(8.40)
Diese Reaktion ist mit einem Anteil von 9% in der Sonne beteiligt und läuft vorrangig
im Bereich 1,4 × 10 7 − 2,3 × 10 7 Kelvin ab.
• Proton-Proton-Reaktion III: Auch hier dient ein 4 He-Kern als Katalysator für die
Erzeugung eines weiteren 4 He-Kerns. Der erste Reaktionsschritt ist dabei gleich
Astrophysik 105

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
wie bei der PPR II:
3 He + 4 He → 7 Be + γ + 1,59 MeV
7 Be + 1 H → 8 B + γ + 0,14 MeV
8 B → 8 Be + e + + νe
8 Be → 4 He + 4 He.
(8.41)
Diese Reaktion ist mit einem sehr geringen Anteil im Bereich 0,1% in der Sonne
beteiligt, läuft aber bei Temperaturen über 2,3 × 10 7 Kelvin bevorzugt ab. 7 Im
letzten Teilschritt zerfällt hier ein 8 Be-Kern mit einer mittleren Lebensdauer von
6,7 × 10 −17 s in zwei 4 He-Kerne. Wäre die Masse des 8 Be-Kernes nur um einen
Bruchteil 1 : 10 −5 kleiner, so wäre dieser Zerfall nicht möglich. Dies hätte weitreichende
Folgen, denn dann könnten in Sternen, aber auch schon nach dem Urknall,
schwerere Elemente gebildet werden und die heutige Elementzusammensetzung des
Universums sähe völlig anders aus.
Da dieser Kern instabil ist, können in Sternen und auch in der Frühphase des
Universums aber nur Elemente bis Lithium erbrütet werden. Erst am Ende ihres
Lebens wenn Sternen der Wasserstoffvorrat langsam zu neige geht kann die Fusion
schwerer Elemente bis Eisen bzw. in Supernovae auch darüber stattfinden.
8.2.4 Der Bethe-Weizsäcker-Zyklus
Neben der gerade besprochenen Reaktionskette gibt es noch einen weiteren bedeutenden
Zyklus, der schwerere Elemente mit einschließt. Da wie gerade diskutiert in Sternen nur
Elemente bis einschließlich Lithium entstehen können, müssen diese Elemente bei der
Entstehung des Sterns bereits vorhanden sein. Das ist möglich, wenn der entsprechende
Stern Supernovareste eines vorher explodierten Sternes enthält. Diese Reaktionskette
existiert also nur bei Sternen ab der zweiten Generation. Des Weiteren können Reaktionen
von 4 He mit 1 H nicht stattfinden, da kein Nuklid mit Massenzahl A = 5 existiert.
Die Reaktionen von Protonen mit Deuterium, Lithium, Beryllium und Bor laufen alle
sehr schnell ab und verbrauchen die Reaktionspartner daher in kurzer Zeit. Aus diesem
Grund sind diese Elemente sowohl auf der Sonne als auch auf der Erde relativ selten.
7 Die hier betrachteten Reaktionen sind noch bei einem ganz anderen physikalischen Problem von Bedeutung.
Durch Kenntnis der Reaktionsabläufe lässt sich gut bestimmen, wie viele Elektronneutrinos
pro Zeit etwa auf der Erde zu erwarten sind. Tatsächlich beobachtet man aber weit weniger dieser
Teilchen. Es wird daher angenommen, dass Neutrinos eine endliche Ruhemasse haben und sich Elektronneutrinos
in andere Neutrinos umwandeln können. Die Bestimmung der Neutrinomassen ist das
Ziel mehrerer Experimente.
106

8.3 Zustandsgleichungen für Sterne
Kohlenstoff dagegen ist ein relativ häufiges Element und hat einen Anteil von etwa 1%
an neu gebildeten Sternen. Der Grund dafür ist die Existenz eines Zyklus, bei dem
Kohlenstoff als Katalysator für die Fusion von Protonen zu Helium wirkt:
12 C + 1 H → 13 N + 1,95 MeV
13 N → 13 C + e + + νe + 1,37 MeV
13 C + 1 H → 14 N + γ + 7,45 MeV
14 N + 1 H → 15 O + γ + 7,35 MeV
15 O → 15 N + e + + νe + 1,86 MeV
15 N + 1 H → 12 C + 4 He + 4,96 MeV
(8.42)
Die Lebensdauern bei den einzelnen Schritten sind dabei 1,3 × 10 7 a für Schritt 1, 7
Minuten für Schritt drei und für die Schritte 4 bis 6 2,7 × 10 6 a, 3,2 × 10 8 a, 82 Sekunden
und 1,12 × 10 5 a. Bei diesem Prozess wird der Kohlenstoff also effektiv nicht verbraucht.
8.3 Zustandsgleichungen für Sterne
Unter Zustandsgleichungen verstehen wir generell Gleichungen, die die Materie beschreiben,
aus der der Stern besteht. Allgemein sind solche Gleichungen von der Form
p = p(ϱ, T ), (8.43)
d.h. sie liefern einen Zusammenhang zwischen Druck, Dichte und Temperatur. Es ist
Konvention, Zustandsgleichungen in der Form
f(ϱ, T ) Def.
= p(ϱ, T )
anzugeben. Die Größe f ist dabei dimensionslos.
8.3.1 “Normale“ Sterne
ϱc 2
(8.44)
Wir betrachten zunächst ”normale” Sterne mit stationärem H-Brennen, in denen also
durch Fusion von Wasserstoff Helium entsteht. Für diese Sterne kann die Materie im
Sterninneren wie bereits erwähnt als ideales Gas angesehen werden, da die Wechselwirkung
der Teilchen untereinander vernachlässigbar ist gegen die hohe thermische Energie.
Astrophysik 107

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Die Zustandsgleichung lautet also
pVH = NHkBT ⇔ pVH
nH
= kBT. (8.45)
Hierin sind V das Volumen und NH die Teilchenzahl. Der Index H soll deutlich machen,
dass es sich bei dem Gas im Wesentlichen um Wasserstoff handelt. Die Masse des
Wasserstoff-Atoms ist mH = 1,6 · 10 −27 kg. Nun berechnen wir die Ruheenergie. Dazu
benutzen wir zunächst die Zustandsgleichung (8.44) des vorhergehenden Abschnittes:
f(ϱ,T ) = p pVH kBT
= = . (8.46)
ϱHc2 nHmHc2 mHc2 Diese Zustandsgleichung ist nur von der Temperatur T abhängig. Wir betrachten die
Temperatur im Sterninnern. Mit Gleichung (8.19) erhalten wir einfach f ≈ rS/R.
Mit der Zustandsgleichung aus (8.46) ergibt sich dann weiter
kBT
mHc
2 ≈ rS
. (8.47)
R
Radius und Temperatur sind also im Gleichgewicht miteinander verknüpft. Bei einem
Hauptreihenstern haben wir, wie in Abschnitt 8.2 diskutiert, etwa eine Temperatur von
T ≈ 10 7 K, was einer thermischen Energie kBT ≈ 0,8 keV entspricht. Außerdem beträgt
die Ruheenergie von Protonen und Neutronen etwa mc 2 ≈ 1 GeV. Dann ergibt sich für
das Verhältnis (8.47):
0,8 keV
1 GeV
≈ 103
10 9 = 10−6 . (8.48)
Für die Sonne hatten wir den Schwarzschild-Radius rS ≈ 3 km und den Radius R ≈
7·10 5 km angenommen. Damit haben wir f ≈ 0.43·10 −5 . Ein Vergleich mit dem typischen
Verhältnis (8.48) bei einer Fusion zeigt, dass unsere Sonne in etwa in dieser Region und
zur Fusion fähig ist.
8.3.2 Entartete Sterne
Nach Ende des thermonuklearen Brennens von Wasserstoff kann die hohe Temperatur
im Sterninnern nicht mehr aufrecht erhalten werden und der Stern kühlt ab. Aus Gleichung
(8.47) wird klar, dass dadurch der Gleichgewichtsradius des Sternes wächst und er
expandiert gegen die Eigengravitation. Als eine weitere Folge beginnt der komplizierte
sogenannte Prozess des Schalenbrennens, das heißt, Helium wird jetzt bei der Fusion
in Lithium überführt usw. Die Details dieser Entwicklung können in diesem Rahmen
108

8.3 Zustandsgleichungen für Sterne
Abbildung 8.5: Delokalisierung der Elektronen zu einem Fermigas beim
Kollaps eines Sternes.
allerdings nicht behandelt werden.
Durch die fortlaufende Fusion entstehen so schwerere Elemente. Der Energieumsatz dabei
ist allerdings geringer als beim Wasserstoff. Dieser Prozess kann, abhängig von der Größe
des Sterns, maximal bis Eisen fortgeführt werden. Dies ist das letzte Element, bei dem
die Fusion noch Energie liefert. Spätestens jetzt reicht die Energie nicht mehr aus, um
den Stern in neue Gleichgewichtszustände zu überführen; die Gaskugel kollabiert, der
Druck und die Dichte steigen sehr stark an.
Es setzt nun ein neuer Effekt ein: Die Elektronen sind nicht länger bei den Kernen lokalisiert,
siehe Abbildung 8.5. Wir sprechen in diesem Fall allgemein von entarteter
Materie Dieser Zustand entspricht einer globalen Wellenfunktion und es liegt quasimetallisches
Verhalten vor. Die frei beweglichen Elektronen lassen eine Behandlung des
Gases als freies Elektronengas oder Fermi-Gas zu. Wir wollen hier allerdings nicht
streng formal vorgehen und verweisen für die detaillierte Behandlung auf entsprechende
Lehrbücher der Quantenmechanik.
a) Fermieenergie der Elektronen
In einem freien Elektronengas lassen sich die verschiedenen Quantenzustände der Elektronen
durch den Impuls, bzw. den Ort der Elektronen klassifizieren. Eine Klassifizierung
über den Ort erfordert eine Konzentration der Einelektronwellenfunktionen auf ein
Volumen der Größe d 3 , d.h. außerhalb dieses Volumens hat das Elektron eine vernachlässigbare
Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Durch diese Einschränkung auf ein bestimmtes Volumen ergibt sich aber für die Elektronen
aus der Unschärferelation über
pi · d = ℏ. (8.49)
ein Impuls pi ≈ ℏ/d pro Raumrichtung. Verallgemeinert man diesen Ausdruck auf drei
Astrophysik 109

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Dimensionen, so ergibt sich
p 2 F =
3
i=1
p 2 i ≥ 3ℏ 2 /d 2 . (8.50)
Diesem Fermi-Impuls entspricht eine Fermi-Energie,
EF = m2 ec4 + c2p2 F , (8.51)
die mit zunehmender Elektronendichte ansteigt. Wir haben hier den relativistischen
Ausdruck für die Energie benutzt, siehe Abschnitt 5.1.6. Im Folgenden werden wir zum
einen näherungsweise nichtrelativistische oder hochrelativistische Elektronen betrachten
und den Energieausdruck entsprechend nähern.
Allgemein ist aber für entartete Materie die Elektronendichte so hoch, dass EF ≫ kBT
gilt, d.h. die thermische Energie ist vernachlässigbar gegen die Fermienergie. Wir können
daher in den folgenden Betrachtungen die Temperatur T = 0 setzen.
b) Zustandsdichte im Impulsraum
Im Folgenden wollen wir nun die Zustandsdichten im Impulsraum betrachten. Dabei
werden wir über die Fermi-Energie zu einem Ausdruck gelangen, der es uns erlauben wird
den Begriff “entartete Materie“ anhand unserer Zustandsgleichung (8.44) zu spezifizieren.
Zustandsgleichung des freien Elektronengases im nichtrelativistischen Fall Die
differentielle Zustandsdichte im Impulsraum für den Fermi-Impuls ist gegeben durch:
dN = 2 · 4πp2 dp
h 3 dV, (8.52)
wobei der Faktor 2 wegen der beiden Spineinstellungsmöglichkeiten in der Gleichung
steht. Eine strenge Rechtfertigung dafür wird in der Quantenmechanik erbracht. Integration
dieser Gleichung liefert
ˆ
N =
dN = 2 ·
V · 4π
h 3
ˆ pF
0
p 2 dp = 8π
3
· V
h 3 · p3 F. (8.53)
Mit dem mittleren Teilchenabstand d ergibt sich die Teilchendichte n = N/V = 1/d 3 .
Dann folgt p 3 F = 3nh3 /(8π) = 3(h/d) 3 /(8π), bzw. nach dem Fermi-Impuls aufgelöst
110
pF =
1/3 3
·
8π
h
d
1 h
≈ ·
2 d
also pF · d ≈ h
. (8.54)
2

8.3 Zustandsgleichungen für Sterne
Unter der Annahme, dass die kinetische Energie der Elektronen klein gegen die Ruheenergie
ist, können wir Gleichung (8.51) wie in Abschnitt 5.1.6 nach pF entwickeln und
erhalten
EF ≈ mec 2 + p2F + O
2me
p 4
F . (8.55)
Die Ruheenergie mec2 ist eine für die Zustandsgleichung unerhebliche Konstante und
wird daher weggelassen. Für die Fermi-Energie folgt dann im nichtrelativistischen Fall
EF = p2 F
2me
=
2/3 3
·
8π
h2 . (8.56)
2med2 Um nun zu einer Zustandsgleichung zu gelangen, machen wir eine kleine Anleihe bei
der Thermodynamik. Dort ist die innere Energie U eine Summe aus Wärme Q und
verrichteter Arbeit A. Infinitesimal gilt also
dU = dA + dQ. (8.57)
Dies ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik. Als am System verrichtete Arbeit ist
Volumenarbeit, sowie Änderung der Teilchenzahl denkbar:
dA = −pdV + µdN. (8.58)
Dabei bezeichnet µ das chemische Potential. Ferner gilt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:
Qrev
T
= S, (8.59)
wenn T die Temperatur und S die Entropie bedeutet. Eingesetzt in den ersten Hauptsatz
ergibt sich
dU = T dS − pdV + µdN. (8.60)
Die innere Energie ist also eine Funktion, die gegeben ist durch Entropie, Volumen und
Teilchenzahl:
U = U(S,V,N). (8.61)
Dieser Zusammenhang ist ungünstig, da die Änderung der Entropie experimentell nicht
erfassbar ist. Um dem Dilemma zu entgehen, definiert man die freie Energie zu
Infinitesimal gilt dann
F = U − T S. (8.62)
dF = dU − T dS − SdT. (8.63)
Astrophysik 111

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Setzt man die innere Energie aus Gleichung (8.60) ein, so erhält man
dF = −SdT − pdV + µdN. (8.64)
Die freie Energie ist dann eine Funktion der Temperatur T , des Volumens V und der
Teilchenzahl N, also
F = F (T,V,N). (8.65)
Dann kann man dF auch schreiben als:
∂F ∂F
∂F
dF = dT + dV + dN. (8.66)
∂T V,N ∂V T,N ∂N T,V
Hieraus ersieht man die Zusammenhänge
∂F
− = S und
∂T V,N
∂F
= −p. (8.67)
∂V T,N
Nimmt man wie bereits erwähnt an, dass die thermische Energie der Elektronen vernachlässigbar
ist gegenüber der Fermi-Energie, also kBT ≪ EF , bzw. T ≈ 0, so ist die
freie Energie gerade gleich der inneren Energie. Also ist auch die innere Energie nun eine
Funktion von V und N.
Um die innere Energie unseres Fermi-Gases zu berechnen, müssen wir über die Energie
E(N) integrieren:
ˆ ˆ
EF
EF dN
U = E(N)dN = E dE.
dE
(8.68)
0
Wir setzen für dN die differentielle Zustandsdichte der Gleichung (8.52) ein und erhalten
mit p 2 = 2mE und dp = m/(2E) dE
ˆ
U =
EF
0
2 4πV
me
h3
2meE E dE = 4πV
h3 0
(2me) 3 · 2
5 E5/2
3
F =
5 NEF. (8.69)
Der letzte Schritt bedarf dabei einigen Erläuterungen. Um von E 5/2
F zu einem Term linear
in der Fermi-Energie zu kommen, potenzieren wir Gleichung (8.56) mit 3/2. Daraus folgt
E 3/2
F
3
=
8π ·
h3
(2me) 3 . (8.70)
d3 Zusammen mit V = Nd 3 erhalten wir dann das gezeigte Ergebnis. Ziehen wir nun unsere
112

8.3 Zustandsgleichungen für Sterne
Beziehung für den Druck aus Gleichung (8.67) zusammen mit F = U heran, so ergibt
sich wegen N = V · n
∂U
p = − =
∂V T
2
5 nEF . (8.71)
Teilt man diese Gleichung durch ϱc 2 und drückt die Dichte ϱ durch mittlere Teilchenmasse
µ mal Teilchendichte n aus, so erhält man
p 2 EF 2
= n =
ϱc2 5 µnc2 5
EF
. (8.72)
µc2 Setzt man den oben ermittelten Wert für die Fermi-Energie (8.56) ein und bedenkt dass
n eine Teilchendichte darstellt, die wiederum ausgedrückt werden kann als Massendichte
pro mittlere Teilchenmasse, dann folgt
p 2 hr ϱ
= ·
ϱc2 5µc2 8me µ · 3
2/3 . (8.73)
π
Bei Vernachlässigung der konstanten Zahlenfaktoren und Erweiterung der rechten Seite
mit me ergibt sich
p ℏ2
∼
ϱc2 m2 me
· 2
ec µ ·
2/3 ϱ
.
µ
(8.74)
Wir benutzen wieder die Compton-Wellenlänge ¯λe = ℏ/(mec) aus Gleichung (8.27)
und erhalten
p
ϱc2 ∼ ¯λe 2 · me
µ ·
2/3 ϱ
=
µ
me
¯λe
µ
3 2/3 ϱ
.
µ
(8.75)
Definiert man dann noch die kritische Dichte zu
ϱcrit = µ
3 , (8.76)
¯λe
d.h größenordnungsmäßig ein Teilchen in einem Volumen der Größe ¯λe 3 , so folgt
p m0
∼
ϱc2 µ ·
2/3 ϱ
. (8.77)
ϱcrit
Dies ist die Zustandsgleichung für entartete Materie. Sie gilt für den nichtrelativistischen
Grenzfall ϱ/ϱcrit ≪ 1.
Aus dieser Gleichung können wir wichtige Zusammenhänge ableiten: Für die kritische
Dichte ϱcrit wird das Verhältnis vom Druck p, der durch den Fermi-Druck der Elek-
Astrophysik 113

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
tronen erzeugt wird, und Massenenergiedichte ϱc 2 , die durch die Kerne bewirkt wird,
proportional zum Massenverhältnis von Elektron und Kern. Um die Grenzen dieser Zustandsgleichung
zu diskutieren, betrachten wir die Unschärferelation für ein Elektron,
das auf einer Länge im Bereich seiner Compton-Wellenlänge gefangen ist:
pF · ℏ
me · c ≥ ℏ das heißt pF ≥ mec. (8.78)
Man kann sich diese Beziehung folgendermaßen veranschaulichen: Sperrt man Elektronen
auf ein Raumgebiet ¯λe 3 der Compton-Wellenlänge ein, dann strebt ihre Geschwindigkeit
v gegen die Lichtgeschwindigkeit. Ihre Gesamtenergie wird dann groß gegen ihre Ruheenergie
mec 2 . Die Elektronen verhalten sich dann relativistisch und Gleichung (8.77) gilt
nicht mehr. Aus diesem Grund soll im Folgenden eine Diskussion der Zustandsgleichung
für den relativistischen Fall erfolgen.
Zustandsgleichung des freien Elektronengases im relativistischen Fall Wird der
Fermi-Impuls so groß, dass die Gesamtenergie viel größer wird, als die Ruheenergie des
Elektrons, bzw. pF ≫ mec, so können wir Gleichung (8.51) durch
E ≈ c · p. (8.79)
annähern. Diese Näherung charakterisiert den hochrelativistischen Grenzfall.
Analog zu unserem Vorgehen beim nichtrelativistischen Fall nehmen wir eine Phasenraumabzählung
vor, was wieder auf dN = V/h 3 ·2·4πp 2 ·dp führt, siehe Gleichung (8.52).
Hier müssen wir nun allerdings die hochrelativistische Energie-Impulses Beziehung aus
Gleichung (8.79) verwenden und erhalten dann
dN = V
h 3 c 3 · 8π · E2 · dE. (8.80)
Als nächsten Schritt werden wir diese Gleichung integrieren. Hierbei nehmen wir an,
dass sich nahezu alle Fermionen relativistisch verhalten. Wir vernachlässigen also den
Beitrag der wenigen nichtrelativistischen Fermionen. Deshalb wählen wir als untere Integrationsgrenze
den Wert Null:
114
N =
ˆEF
V
h
0
3c3 · 8π · E2 · dE = 8π V
·
3 h3c3 E3 F . (8.81)

Daraus erhalten wir hier dann die Fermi-Energie
und für die innere Energie ergibt sich
F (T = 0) = U =
1/3 3 N
EF = hc
8π V
ˆEF
0
E
8.3 Zustandsgleichungen für Sterne
(8.82)
dN
dE =
dE
3
4 NEF. (8.83)
Setzt man die oben berechnete Fermi-Energie für den relativistischen Grenzfall ein, so
ergibt sich
U = 3
3
Nhc ·
4 8π N
1/3 · V −1/3 . (8.84)
Der Druck ist wieder durch Gleichung (8.67) gegeben. Hier erhalten wir
∂U
p = −
∂V
= − 3
3
Nhc ·
4 8π N
1/3
· − 1
· V
3
−4/3 = 1
4 nEF. (8.85)
Mit der gleichen Argumentation wie beim nichtrelativistischen Fall erhalten wir
p 1
=
ϱc2 4
EF h
=
µc2 4µc
3
8π
1/3 N
=
V
h
3
4µc 8π
1/3 ϱ
∼
µ
¯λe me
·
mec µ ·
ϱ
1/3 . (8.86)
m
Ebenfalls völlig analog zum nichtrelativistischen Grenzfall können wir die Compton-
Wellenlänge und mit ihr die kritische Dichte einsetzen und erhalten so für den hochrelativistischen
Grenzfall die Zustandsgleichung
1/3 p me ϱ
∼ , für ϱ/ϱC ≫ 1. (8.87)
ϱc2 µ ϱcrit
Wir können nun unsere Ergebnisse aus der nichtrelativistischen und der relativistischen
Betrachtung zusammenfassen. Bis auf Zahlenfaktoren der Ordnung 1 gilt, wenn wir die
Formeln (8.77) und (8.87) verwenden:
p
ϱc
∼
mpc2 2 ∼ EF
me
mp
ϱ
·
ϱC
n/3
mit
n = 2 für ϱ ≪ ϱC
n = 1 für ϱ ≫ ϱC.
(8.88)
Astrophysik 115

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
E
EF
Kontraktion
EF
R R ′
Abbildung 8.6: Entstehung des Fermi-Drucks: Der Stern lässt sich stark
vereinfacht als Potentialtopf auffassen, dessen Durchmesser R mit dem Sternradius
verknüpft ist. Sinkt der Radius, so steigt die Energie der Niveaus im
Topf an. Es muss also Energie aufgebracht werden, um den Stern zu kontrahieren.
c) Anschauliche Interpretation des Fermi-Drucks
Die Eigenschaft der delokalisierten Elektronen, einen Gegendruck gegen die Gravitation
aufzubauen, lässt sich verstehen, wenn man sich den Stern stark vereinfacht als Potentialtopf
vorstellt, siehe Abbildung 8.6. Den Elektronen steht als möglicher Aufenthaltsort
nur das Sternvolumen zur Verfügung. Wie im einfachen Modell des Potentialtopfes sind
dadurch die möglichen Energieniveaus der Elektronen diskret.
Da für Elektronen als Fermionen das Pauliprinzip gilt, können nur jeweils zwei Elektronen
ein Niveau besetzen, alle weiteren müssen in höhere Niveaus. Die Energie des
höchsten besetzten Niveaus entspricht der Fermi-Energie. Wenn der Radius des Sternes
sinkt, so steigt die Energiedifferenz zwischen den verschiedenen Energieniveaus und
damit auch die Fermi-Energie. Es kostet also Energie, dass System zu komprimieren.
8.3.3 Zusammenfassung
Die bisherigen Resultate können kompakt in folgender Aussage zusammengefasst werden:
Normale Sterne können als ideales Gas behandelt werden, die Zustandsgleichung ist nur
von der Temperatur abhängig: f(ϱ, T ) = f(T ). In entarteten Sterne ist die Fermi-Energie
116

entscheidend, die thermische Energie ist vernachlässigbar. Es gilt also
f(ϱ, T ) = p
ϱc2
f(T ),
f(p),
für normale Sterne
für entartete Sterne.
8.4 Die Theorie Weißer Zwerge
8.4 Die Theorie Weißer Zwerge
(8.89)
Die Grundgleichungen des Sternaufbaus aus Kapitel 8.1 zusammen mit den Zustandsgleichungen
für entartete Materie erlauben uns jetzt die Behandlung von Weißen Zwergen,
den Überresten ausgebrannter Sterne. Wir hatten in Gleichung (8.13) den Zusammenhang
dp/dr = −ϱ(r)GM(r)/r2 . Für die eingeschlossene Masse M(r) gilt
M(r) = 4π
ˆ r
ϱ(r
0
′ )r ′2 ′
dr . (8.90)
Des Weiteren bekommen wir aus (8.88) einen nichtrelativistischen bzw. relativistischen
Ausdruck der Form p/(ϱc 2 ) = f(ϱ). Mit Hilfe dieser Gleichungen ergäbe sich eine komplizierte
Integro-Differentialgleichung für ϱ(r).
Das Wesentliche lässt sich aber bereits aus Abschätzungen von Größenordnungen herleiten.
Sei p0 der mittlere Druck im Sterninnern, R0 und M0 der Sternradius sowie seine
Masse und ¯ϱ die mittlere Massendichte. Wir nehmen einen linearen Druckverlauf im
Stern von p0 im Inneren bis p = 0 an der Oberfläche an, d.h. dp/dr = −p0/R0. Zusammen
mit dem Ausdruck für dp/dr in Gleichung (8.13) erhalten wir dann
und damit direkt
p0
R0
≈ GM0
R 2 0
f(ϱ) = p0 GM 1
= =
¯ϱc2 R0c2 2
· ¯ϱ (8.91)
rS
R0
. (8.92)
Diesen Ausdruck können wir mit (8.88) vergleichen. Wir wollen zunächst R0 aus (8.92)
eliminieren. Wir haben, bei Vernachlässigung von Zahlenfaktoren R0 = (M0/¯ϱ) 1/3 und
damit f(ϱ) = G(M 2 0 ¯ϱ) 1/3 /c 2 . Umformen nach M0 ergibt
M0 = c3 f(ρ)3/2
· √
G3/2 ϱ
(8.93)
Astrophysik 117

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
und mit f(ρ) = me/mp · (ϱ/ϱcrit) n/3 :
M0(¯ϱ) = c3 1
· √ ·
G3/2 ¯ϱ
3/2 me
mp
Dabei ergibt sich ϱcrit aus (8.76) hier mit µ = mp zu
¯ϱ
·
ϱcrit
n/2
. (8.94)
10 kg
ϱcrit ≈ 3 × 10 . (8.95)
m3 Abhängig von n unterscheiden wir wieder zwischen zwei Fällen. Für den nicht-relativistischen
Fall, wenn n = 2 und ¯ϱ ≪ ϱcrit ist, gilt:
M(¯ϱ) = c3 1
· √ ·
G3/2 ¯ϱ
me
3/2
·
m
¯ϱ
ϱcrit
mec
=
2
Gm
3/2
Im relativistischen Fall, wenn n = 1 und ¯ϱ ≫ ϱcrit ist, ergibt sich dagegen
M(¯ϱ) = c3 1
· √ ·
G3/2 ¯ϱ
me
3/2
·
m
√ ¯ϱ
√ ϱcrit
mec
=
2
Gm
3/2
·
·
√
¯ϱ
. (8.96)
ϱcrit
1
√ . (8.97)
ϱcrit
Dieses Ergebnis ist sehr bemerkenswert. Die Masse M(ϱ) steigt mit der Wurzel aus der
Dichte ϱ an, bis die kritische Dichte ϱcrit erreicht ist. Dort hat die Masse eines stabilen
weißen Zwerges eine obere Grenze MC = Mϱcrit für ϱ = ϱcrit aus Gleichung (8.76). Sie
heißt Chandrasekhar-Grenzmasse nach ihrem Entdecker S. Chandrasekhar 8 :
MC =
mec 2
Gmp
3/2
¯λe
·
3
mp
1/2
ℏc
= mp ·
Gm 2 p
3/2
. (8.98)
Dabei wurde die Definition der kritischen Dichte aus Gleichung (8.76) eingesetzt. Mit
der Chandrasekhar-Masse können wir die Zusammenhänge in Gleichungen (8.96) und
(8.97) kompakt zusammenfassen:
Die Masse von Weißen Zwergen ist abhängig von ihrer mittleren Dichte
gegeben durch
¯ϱ/ϱcrit für ¯ϱ ≪ ϱcrit
M(¯ϱ) = MC
(8.99)
1 für ¯ϱ ≫ ϱcrit.
8 Subrahmanyan Chandrasekhar, 1910 - 1995. Amerikanischer Astrophysiker. Physik-Nobelpreis 1983
für seine Arbeiten zur Sternentwicklung.
118

8.4 Die Theorie Weißer Zwerge
In Abschnitt 7.3 wurden einige Parallelen zwischen Gravitation und Elektrostatik aufgezeigt.
Jetzt begegnet uns eine weitere Parallele. Eine wichtige Kenngröße in der Elektrostatik
und der Atomphysik ist die in Gleichung (8.28) eingeführte Feinstrukturkonstante
αel = e 2 /(ℏc)/(4πε0) ≈ 1/137. Wir erinnern uns an die Ersetzungsvorschrift
1/ε0 ↔ −4πG und q ↔ m in Gleichung (7.29), die wir in den Poissongleichungen benutzt
haben. Benutzen wir diese Analogie für die Sommerfeld-Konstante, so bekommen
wir eine entsprechende Konstante für die Gravitationstheorie:
αgr = G · m2 p
ℏc ≈ 6 · 10−39 . (8.100)
Das ist die Feinstrukturkonstante verbunden mit der „Gravitationsladung” eines Protons.
Mit dieser Konstante können wir die Chandrasekhar-Grenzmasse sehr kompakt
darstellen:
MC = (αgr) −3/2 · mp ≈ 2 · 10 57 mp ≈ 3 · 10 30 kg = 1,5 · M⊙. (8.101)
Daraus können wir noch eine sehr interessante Tatsache lernen, denn in die Definition
von αgr geht das Plancksche Wirkungsquantum direkt ein. Damit haben wir folgende
wichtige Aussage:
Das Plancksche Wirkungsquantum bestimmt nicht nur die Struktur
des Mikrokosmos, sondern auch die Massenskala und den Aufbau entarteter
Sterne.
Es ist klar, dass dies so sein muss, denn der Fermidruck ist wegen des Pauli-Prinzips ein
quantenmechanischer Effekt. Sterne aus entarteter Materie sind somit quantenmechanisch
bestimmt.
Folgende Punkte sind aber zu beachten:
• Die angegebene Grenzmasse gilt für den weißen Zwerg, also für die Restmasse
eines Sterns, der in sein Endstadium übergeht. Da der Stern vor diesem Vorgang
seine Hülle abstößt und dabei einen erheblichen Teil seiner Masse verliert, kann
die Masse des ursprünglichen Sterns durchaus größer sein als 1,5 · M⊙.
• Wir haben bei unseren Betrachtungen vorausgesetzt, dass der Stern nicht rotiert.
Bei schneller Rotation des weißen Zwerges erlaubt die Zentrifugalkraft, die einen
Teil der Schwerkraft kompensiert, eine größere Grenzmasse.
• Die Grenzmasse MC hängt streng genommen von der chemischen Zusammensetzung
des Weißen Zwerges ab. Dies ist an (8.98) leicht zu erkennen, denn in diesem
Ausdruck steht die Protonenmasse stellvertretend für die Atomkernmasse.
Astrophysik 119

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Typische Radien Weißer Zwerge
Um typische Radien weißer Zwerge berechnen zu können, müssen wir die Elimination
durch die mittlere Dichte in (8.92) wieder rückgängig machen. Mit R(¯ϱ) = (M(¯ϱ)/¯ϱ) 1/3
und M(ϱ) aus (8.99) folgt im nichtrelativistischen Fall
R(¯ϱ) =
1/3 MC
ϱcrit
·
1/6 ϱcrit
= RC ·
¯ϱ
1/6 ϱcrit
. (8.102)
¯ϱ
Dabei bezeichnet RC den kritischen Radius oder Chandrasekhar-Radius. Um für
diesen eine Größenordnung zu bekommen, setzen wir die Definition von MC in (8.101)
und der kritischen Dichte in (8.76) ein:
1/3 MC
RC =
ϱcrit
=
¯λe 3
(αgr) −3/2 · mp ·
mp
Einsetzen der entsprechenden Werte ergibt
1/3
= (αgr) −1/2 · ¯λe. (8.103)
RC ≈ 5 · 10 3 km. (8.104)
Der charakteristische Radius weißer Zwerge bewegt sich also in einem Bereich von einigen
Tausend Kilometern, was der Größe der kleinen Planeten im Sonnensystem entspricht.
Aus (8.99) und (8.102) folgt außerdem
M(¯ϱ) · R(¯ϱ) 3 = MC ·
¯ϱ
ϱcrit
1/2
· R 3
¯ϱ
C ·
ϱcrit
−1/2
Das bedeutet, die Radien weißer Zwerge fallen mit steigender Masse.
= MC · R 3 C = const. (8.105)
8.5 Masse-Radius-Beziehung von Monden und
Planeten
Wir haben im vorangegangenen Abschnitt einen Zustandsgleichung für entartete Materie
hergeleitet. Wir haben auch gesehen, dass es für weiße Zwerge eine Maximalmasse
MC gibt. In diesem Abschnitt betrachten wir, die Zusammenhänge für deutlich kleinere
Massen, also den Massenbereich von Monden und Planeten.
Die Argumentation in diesem Kapitel folgt dabei eng dem Buch Weiße Zwerge - Schwarze
Löcher von R. und H. Sexl. [8]
Wie wir in Abschnitt 8.3 dargelegt haben, lautet die Zustandsgleichung für weiße Zwerge
120

im nichtrelativistischen Fall
Dann folgt also für den Druck
p ∼ ϱc 2 · me
8.5 Masse-Radius-Beziehung von Monden und Planeten
f(ρ, T ) ∼ me
mp
ϱ
·
(ρ/ρcrit)
mp
2/3 . (8.106)
ϱcrit
2/3
ϱ
= MC ·
ϱcrit
. (8.107)
Für verschwindende Dichte sagt diese Gleichung also einen verschwindenden Druck voraus.
Tatsächlich stellt man aber fest, dass die Dichte kalter Materie auch bei verschwindendem
Druck nicht Null wird, d.h. es ist ϱ(p = 0) = ϱ0 = 0. Der Grund dafür ist
darin zu suchen, dass die Dichte von der chemischen Zusammensetzung abhängig ist.
Beispielsweise gilt für Wasserstoff-Atome im Abstand aBohr = ¯λe/αel
ϱ0 = mp
a 3 Bohr
≈ 8 000 kg g
= 8
m3 cm
3 . (8.108)
Dieser Wert ist typisch für Planeten und Monde. Die Stabilität ist durch den atomaren
Aufbau, d.h. durch die elektromagnetische Wechselwirkung und nicht durch den Fermi-
Druck bestimmt. Innerhalb gewisser Grenzen ist also der atomare Aufbau unabhängig
vom Druck. Wenn allerdings die Masse zu groß wird, bricht die atomare Struktur zusammen
und auch solche Objekte werden kollabieren, bis der Fermidruck der Elektronen
sie wieder stabilisiert. Für p < p0 gilt also ϱ = ϱ0, sowie die Masse-Radius-Beziehung für
Monde und Planeten. Diese ist nichts anderes als die aus dem Alltag bekannte Relation
d.h.
Masse = Dichte × Volumen,
M ∼ = ϱ0 · R 3
Ist allerdings p > p0, dann ergibt sich
p = ϱc 2 · m0
mp
also M ∼ R 3 . (8.109)
ϱ
·
ϱcrit
2/3
, (8.110)
sowie die Masse-Radius-Beziehung für weiße Zwerge mit entarteter Materie
MR 3 = MCR 3 C also M ∼ 1
. (8.111)
R3 Astrophysik 121

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Masse- und Radiusgrenze für Planeten
Die maximale Masse Mp von Planeten können wir unter Verwendung von (8.99) leicht
berechnen zu
MP = MC ·
ϱ0
ϱcrit
= MC · α 3/2 ≈ 2 · 10 27 kg. (8.112)
Zum Vergleich: Die Erde besitzt eine Masse von M ♁ = 6 · 10 24 kg. Gleichzeitig ist dies
dann auch die untere Massegrenze für Weiße Zwerge
Weiße Zwerge können also nur in dem engen Massenbereich Mp < MWZ < MC existieren.
Im Vergleich zur Masse der Sonne ergibt dies
10 −3 · M⊙ < MWZ < 1,5 · M⊙. (8.113)
Das sind 3 Größenordnungen. Der Massenbereich für Planeten ist dagegen enorm und
bewegt sich im Bereich von 54 Größenordnungen, wobei die Masse des Wasserstoffatoms
die (extreme) Untergrenze darstellt:
2 · 10 −27 kg < MP < 2 · 10 27 kg. (8.114)
Um den maximalen Radius RP für Planeten zu bestimmen, nutzen wir den Zusammen-
, d.h.
hang ϱ0 = MP/R 3 P
1/3 MP
RP =
ϱ0
≈ 10 8 m. (8.115)
Der Chandrasekhar-Radius betrug 10 7 m also etwa ein Zehntel dieses Wertes. Zum Vergleich:
Der Radius von Jupiter ist 7 × 10 7 m, also relativ nahe an dieser Grenze.
Eine übersichtliche Darstellung dieser Zusammenhänge erhält man durch logarithmische
Auftragung der Masse-Radius-Beziehungen für Planeten und für Weiße Zwerge in einem
Diagramm, siehe Abbildung 8.7.
8.6 Neutronensterne
Ist die Dichte im Inneren eines Sternes großer Masse in seinem Endstadium nach Erlöschen
der Kernreaktion größer als die oben berechnete kritische Dichte eines weißen
Zwerges, so muss zur Kompensation des Gravitationsdruckes die Fermi-Energie sehr
stark ansteigen. Übersteigt EF E den kritischen Wert
122
E crit
F E ≥ (mn − mp − me)c 2

MC
MP
logM
Planeten
WZ
RC RP logR
8.6 Neutronensterne
Abbildung 8.7: Masse-Radius-Beziehungen von Planeten und Weißen
Zwergen schematisch. Weiße Zwerge können nur im Massenbereich MP <
MWZ < MC existieren. Für Planeten gilt M ∼ R 3 , für Weiße Zwerge dagegen
M ∼ R −3 .
so sind die energetischen Voraussetzungen für den inversen β-Zerfall gegeben:
e + p → n + νe. (8.116)
Dazu muss mindestens die Energie, die der Massendifferenz von Neutron und Proton
plus Elektron entspricht, verfügbar sein. Mit mn = 939,565 MeV, mp = 938,272 MeV
und me = 0,511 MeV ergibt sich eine Mindestenergie von etwa 0,782 MeV.
Durch den inversen β-Zerfall entstehen bei steigender Dichte immer mehr Neutronen und
bauen neutronenreiche Atomkerne auf. Die Elektronen werden sozusagen in die Protonen
“hineingequetscht”. Die Elektronendichte ist dann niedriger als oben angenommen,
insbesondere fällt für ϱ > ϱC die Gleichgewichtsmasse M(ϱ) mit der Dichte, d.h. der
Fermi-Druck der Elektronen kann den Stern nicht mehr stabilisieren und er kollabiert.
Ab einer Dichte von etwa 10 16 kg/m 3 überlappen sich die Wellenfunktionen individueller
Kerne. Es entsteht entartete Kernmaterie, welche vornehmlich aus Neutronen besteht.
Diese Neutronen bilden einen Fermidruck aus, wie beim Weißen Zwerg die Elektronen.
Das den Neutronen zur Verfügung stehende Volumen wird dabei so klein, dass der Entartungsdruck
der Neutronen stark ansteigt. Der zentrale Teil des Sterns kollabiert bis ein
Volumen erreicht ist, bei dem der Entartungsdruck der Neutronen den Gravitationsdruck
gerade kompensiert. Diesen Vorgang kann man sich wieder anhand des Potentialtopfmodells
klarmachen, siehe Abbildung 8.8). Es gilt also:
Astrophysik 123

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
E
EF
R ′
EF
Kontraktion Kontraktion
Abbildung 8.8: Kollaps zum Neutronenstern: Wir knüpfen hier an Abb.
8.6 an. Übersteigt die Dichte der entarteten Materie den kritischen Wert
ϱC, so findet inverser β-Zerfall statt und es bilden sich Neutronen (grün)
aus Elektronen (rot) und Protonen. Dadurch fehlen Elektronen zum Aufbau
des Fermidrucks, der Stern kollabiert. Die entstehenden Neutronen sind wie
die Elektronen Fermionen und besetzen Energieniveaus in ihrem eigenen
Potentialtopf. Schließlich wird der Fermidruck der Neutronen so groß, dass
er den Stern stabilisiert.
Während bei weißen Zwergen die Stabilisierung durch den Fermi-
Druck der Elektronen zustande kommt, sind bei Neutronensternen
die Neutronen für den stabilisierenden Fermi-Druck verantwortlich.
Analog zu der Behandlung der weißen Zwerge können wir unsere Zustandsgleichung
(8.44) heranziehen, wenn wir die Elektronenmasse durch die Neutronenmasse ersetzen.
f(ϱ) = p
ϱc2 n/3
n/3
mn ∼ ϱ ϱ
n = 2 für ϱ < ϱ1
= ≈
mit
(8.117)
n = 1 für ϱ > ϱ1,
mp
ϱ1
ϱ1
wobei ϱ1 die kritische Dichte für einen Neutronenstern bedeutet. Diese ergibt sich analog
zur kritischen Dichte für einen Weißen Zwerg, wenn man die Compton-Wellenlänge des
Elektrons durch die des Neutrons ersetzt. Da die Masse der Neutronen etwa 1838 größer
als die der Elektronen ist, ist ϱ1 etwa um einen Faktor 6 × 109 größer also für einen
Weißen Zwerg:
∼ 20
3 = 10 kg
. (8.118)
m3 ϱ1 = mp mp
3 =
¯λn ℏ
mnc
Bei ϱ ≥ ϱ1 ist die Fermienergie von der Größenordnung der Ruheenergie der Neutronen.
124
R ′′
EF
R ′′′

8.6 Neutronensterne
Dann bewegen wir uns im Bereich relativistischer Geschwindigkeiten. Wie für Weiße
Zwerge erhalten wir
ϱ
Mcrit · ϱ1
M(ϱ) =
Mcrit
für
für
ϱ < ϱ1
ϱ > ϱ1.
(8.119)
Mit
Mcrit =
ℏc
Gm 2 p
3/2
· mp. (8.120)
Hierbei ist zu beachten, dass die Masse mn nicht in dieser Formel auftritt, also ist Mcrit
unabhängig von der Ruhemasse der Teilchen, die die entartete Materie bilden.
Dabei ist aber eine Einschränkung zu beachten: Die Zustandsgleichung ist für Neutronensterne
nicht streng gültig. Sie wird durch die starke Wechselwirkung der Hadronen
untereinander stark modifiziert. Leider ist eine theoretische Behandlung dieses Zustandes
sehr schwierig.
Radien von Neutronensternen
Wir wollen nun die kritischen Radien von Neutronensternen abschätzen. Dazu betrachten
wir noch einmal die Radien Rcrit ∼ = ¯λe · (αgr) −1/2 ≈ 10 7 m weißer Zwerge aus (8.103).
Dabei ist αgr = Gµ 2 /(ℏc) = 6 · 10 −39 die Feinstrukturkonstante der Gravitation aus
Gleichung (8.100). Wir ersetzen ¯λe durch ¯λn = ¯λe/1 836 und erhalten
Rcrit ∼ = ¯λn · (αgr) −1/2 ∼ = 10 7 m
1 838
≈ 10 km. (8.121)
Wir runden hier auf 10 km auf, da wir einige Zahlenfaktoren sowieso weggelassen haben.
Für Neutronensterne gilt also
R ≈ 10 km und M ≈ 1,5 M⊙ sowie ϱ ≈ 2 · 1030 kg
(10 4 m)
3 = 2 · 1018 kg
. (8.122)
m3 Für den Schwarzschild-Radius eines Körpers dieser Masse gilt etwa rS ≈ 3 km und man
erhält für Neutronensterne dann rS/R ≈ 1/3. Bei diesem Verhältnis werden allgemein
relativistische Effekte bedeutsam. Im Bereich, in dem die Gleichgewichtsmasse mit ϱ
fällt, d.h. für Dichten 10 11 kg/m 3 < ϱ < 10 16 kg/m 3 , gibt es keine stabilen Sterne. Dies
ist leicht einzusehen, wenn man sich klar macht, dass Sterne keine statischen Objekte
sind, sondern etwa Schwingungen ausführen können. Wenn bei einer Schwingung eines
Sterns in diesem Dichtebereich sich die Dichte etwas erhöht, so ist bei der höheren Dichte
nur eine kleinere Masse stabil und der Stern kollabiert weiter. Wenn sich die Dichte
Astrophysik 125

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
logM
(̺)
M(̺ + δ̺) < M(̺)
δ̺
̺ ̺ + δ̺
log̺
Abbildung 8.9: In dem Dichtebereich zwischen Weißen Zwergen und Neutronensternen
fällt die Gleichgewichtsmasse M(ϱ) mit zunehmender Dichte.
Es gibt daher in diesem Bereich keine stabilen Sterne. Vergrößert sich die
Dichte eines Sternes in diesem Bereich etwas, etwa bei einer Schwingung des
Sternes, so ist bei der neuen Dichte nur noch eine kleinere Masse stabil, der
Stern kollabiert. Verringert sich die Dichte aber, so ist eine größere Masse
stabil, der Stern kann zurückschwingen zur alten Dichte.
dagegen verringert, so ist eine größere Masse stabil, der Stern kann seine Schwingung
weiterführen und kehrt zur alten Dichte zurück, siehe Abbildung 8.9.
Ausblick
Es bleibt die Frage, was passiert, wenn die Sternmasse so groß ist, dass auch der Fermidruck
der Neutronen ihn nicht mehr stabilisieren kann. Nach heutigem Kenntnisstand
der Physik gibt es dann keinen Prozess mehr, der den Kollaps aufhalten könnte. 9 Der
Stern kollabiert dann immer weiter und es entsteht ein Schwarzes Loch. Schwarze Löcher
sind die Endprodukte von Sternen mit Anfangsmassen, die größer als die zehnfache
Sonnenmasse sind. Ihre Eigenschaften lassen sich allerdings ohne allgemeine Relativitätstheorie
nicht verstehen. Im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie werden wir
Schwarze Löcher dann diskutieren.
9 Als hypothetischer Zwischenschritt werden Quarksterne diskutiert, die teilweise aus einem
Quark-Gluon-Plasma bestehen.
126

8.7 Erhaltungsgrößen beim Kollaps
8.7 Erhaltungsgrößen beim Kollaps
Wir wollen uns nun den Erhaltungsgrößen eines stellaren Objektes beim Kollaps zuwenden.
Diese Überlegungen zeigen auf, das insbesondere Neutronensterne, abgesehen
von ihrer sehr hohen Dichte, weitere extreme Eigenschaften haben, die auch bei der
Beobachtung dieser Objekte wichtig sind.
8.7.1 Drehimpulserhaltung
Beim Kollaps eines stellaren Objektes liegt Erhaltung des Drehimpulses vor. Dies ist
klar, da an dem Stern kein Drehmoment angreift. Für den Drehimpuls gilt
L = θ · ω = a · MR 2 · ω ≈ const. (8.123)
Dabei ist θ das Trägheitsmoment, das bis auf konstante Vorfaktoren der Masse des
Sternes mal seinem Radius im Quadrat entspricht. Da kein äußeres Drehmoment vorliegt,
d.h. ˙ L = 0 und weiter M ∼ const gilt, haben wir die Relation
ω · R 2 ∼ const. bzw. T ∼ R 2 , (8.124)
wegen ω ∼ 1/T . Beim Kollaps zum weißen Zwerg erfolgt eine Reduktion des Radius
um einen Faktor 10 −2 ; beim Kollaps zum Neutronenstern beträgt die Reduktion des
Radius etwa 1 : 10 −5 . Betrachten wir als typische Rotationsdauer eines Sternes die
Periodendauer der Sonne T ≈ 28 d ≈ 2,5 · 10 6 s. Wir haben also eine Größenordnung von
T ≈ 10 6 s bis 10 7 s. Für einen Weißen Zwerg erhalten wir dann entsprechend eine um
einen Faktor 10 −4 verkürzte Periodendauer:
TWZ ≈ 10 2 s bis 10 3 s, (8.125)
d.h. im Bereich von Minuten bis wenige Stunden. Für Neutronensterne ergibt sich sogar
eine um einen Faktor 10 −10 verkürzte Periodendauer:
d.h. im Größenordnungsbereich von Millisekunden!
Tn ∗ ≈ 10−4 s bis 10 −3 s, (8.126)
Astrophysik 127

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
8.7.2 Erhaltung des magnetischen Flusses
Neben der Erhaltung des Drehimpulses ist auch der magnetische Fluss eines kollabierenden
Sternes eine zeitliche Konstante. Für den magnetischen Fluss gilt
‹
φ = BdF , (8.127)
F
wenn B das Vektorfeld der magnetischen Induktion ist, das von der Fläche F umschlossenen
ist. Bei einem Stern gilt dann also:
φ ∼ R 2 . (8.128)
Um zu verstehen, warum der Fluss erhalten ist, brauchen wir einige Überlegungen aus
der Magnetohydrodynamik, d.h. über leitende Flüssigkeiten.
Da das Plasma des Sternes viele Ionen und Elektronen, d.h. freie Ladungsträger enthält,
besitzt es eine hohe Leitfähigkeit. Das Plasma hat die Eigenschaft, dass in ihm die
Leitungsströme j sehr viel größer sind als die Verschiebungsströme ˙ D. Das Ohmsche
Gesetzt liefert die Beziehung zwischen elektrischem und magnetischem Feld und der
elektrischen Stromdichte:
j = σ(E + v × B). (8.129)
Durch die vielen freien Ladungsträger ist die Leitfähigkeit des Plasmas extrem hoch, σ →
∞. Damit dennoch j endlich bleibt, muss E = −v×B gelten. Mit dem Induktionsgesetz
rotE = −∂B/∂t folgt daher
∂B
∂t
= ∇ × (v × B) ⇔ 0 = ∂B
∂t
− ∇ × (v × B). (8.130)
Wir integrieren über ein Flächenelement, das sich in der Flüssigkeit mit bewegt10 :
ˆ ˆ
∂B
0 = · dF −
∂t
ˆ ˆ
∂B
rot(v × B) · dF = · dF − (v × B) · ds.
∂t
(8.131)
Dabei wurde im zweiten Schritt der Satz von Stokes verwendet. Unter Ausnutzung der
Regel für das Spatprodukt (v × B) · ds = −B · (v × ds) können wir weiter umformen zu
ˆ ˆ
∂B
0 = · dF + B · (v × ds). (8.132)
∂t
Zur Interpretation des zweiten Terms betrachten wir als Flächenelement ein kleines Par-
10 Genauer: Die Teilchen, die seinen Rand definieren, bewegen sich mit der Flüssigkeit mit.
128

a
F 1
F 2
a + vdt
ds
8.7 Erhaltungsgrößen beim Kollaps
Abbildung 8.10: Die Änderung der Seite a und damit der gerichteten
Fläche F während der Bewegung ist durch den Term v × ds gegeben.
allelogramm mit Seiten a und ds (Abb. 8.10).
Zum Zeitpunkt t = 0 ist die gerichtete Fläche des Parallelogrammes gegeben durch
F 1 = a × ds. Ein Zeitintervall dt später ist die eine Seite des Parallelogramms gegeben
durch a + vdt. Die Änderung der Seite ds ist von höherer Ordnung und wird daher
vernachlässigt. Damit ergibt sich die neue Fläche des Parallelogramms zu F 2 = (a +
v dt) × ds. Die Änderung der Fläche ergibt sich also zu
F 2 − F 1 = (v × ds) · dt, d.h. dF
dt
ds
= v × ds. (8.133)
Das zweite Integral charakterisiert also die Änderung der Fläche in der Fortbewegung.
Insgesamt haben wir damit
ˆ ˆ
∂B
0 = · dF + B · (v × ds) =
∂t d
ˆ
B · dF . (8.134)
dt
Der magnetische Fluss durch die bewegte Fläche ist also erhalten. Die Magnetfeldlinien
sind im Plasma als ideal leitendes Medium “eingefroren“ (frozen magnetic flux), das heißt
sie nehmen an seiner Bewegung unmittelbar teil.
Wir wenden nun dieses Resultat auf die Situation während des Kollapses an. Seien Bin
und Rin das Magnetfeld und der Radius des Sterns vor dem Kollaps und Bfi und Rfi
Magnetfeld und Radius nach dem Kollaps. Dann gilt:
Bin · F ∝ Bin · R 2 in = φ0 = Bfi · R 2 fi
(8.135)
Astrophysik 129

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
und damit
Bfi = Bin ·
Rin
Rfi
2
. (8.136)
Als typischen Wert für Bin nehmen wir Werte im Bereich des Magnetfeldes der Sonne,
d.h.
Bin ∼ (10 3 − 10 4 ) G = (10 −1 − 10 0 ) T. (8.137)
Für einen Weißen Zwerg erhalten wir dann aus (8.135)
und für einen Neutronenstern
BWZ ∼ (10 7 − 10 8 ) G = (10 3 − 10 4 ) T, (8.138)
Bn ∗ ∼ (101 3 − 10 1 4) G = (10 9 − 10 10 ) T, (8.139)
Vor allem in Neutronensternen treten also extrem starke Magnetfelder auf.
Für Weiße Zwerge konnten diese theoretischen Vorhersagen auch durch spektroskopische
Messungen der Spektren von Atomen in den Atmosphären dieser Sterne bestätigt
werden. Durch den Zeeman Effekt und die gravitative Rotverschiebung der Spektren
lassen sich nämlich sowohl Rückschlüsse auf die Masse, als auch auf die vorhandenen
Magnetfelder bei diesen Sternen schließen.
Die angegebenen Periodendauern sind untere Grenzen, d.h. eher etwas zu niedrig. Dies
liegt daran, dass der kollabierende Stern seine Hülle abwirft und nur der Kern kollabiert.
Der Kern selbst wird eher um einen kleineren Faktor schrumpfen, als die hier
angenommenen Werte.
8.8 Pulsare
Der Krebsnebel im Sternbild Stier ist der Überrest einer Supernova, die sich am 04.
Juli 1054 ereignete. Chinesische Astronomen beschrieben, dass die Supernova für einige
Wochen selbst bei hellem Tageslicht sichtbar war.
Als 1967 die Doktorandin Jocelyn Bell unter der Leitung von Antony Hewish periodisch
wiederkehrende Radiosignale aus der Gegend dieses Nebels beobachtete, hatten zunächst
weder Bell noch ihr Doktorvater Hewish eine vernünftige Erklärung für diese Entdeckung.
Die kurze Pulsdauer wies jedoch darauf hin, dass der abstrahlende Körper nicht größer
als ein kleiner Planet sein konnte. Kurzzeitig vermuteten sie deshalb und wegen der enormen
Regelmäßigkeit der Signale sogar eine Botschaft außerirdischer Wesen aufgespürt
zu haben. Daher bekam der erste Pulsar die Bezeichnung LGM1 für ”Little Green Men
1“. [9] 1968 dann vermutete Thomas Gold, dass die Signale von einem rotierenden Neu-
130

8.8 Pulsare
tronenstern stammen. Für das starke Magnetfeld nimmt man eine reine Dipolstruktur
an. Die Magnetosphäre des Pulsars lässt sich in den Bereich der geschlossenen und den
Bereich der offenen Feldlinien einteilen. Plasma kann nur von den Polkappen entlang der
offenen Feldlinien fließen und die Magnetosphäre verlassen. Die Rotationsachse schließt
mit der Magnetachse einen bestimmten Winkel ein. Durch die Rotation bewegen sich
die Magnetfeldlinien und mit ihnen die abgestrahlten elektromagnetischen Wellen wie
der Lichtstrahl eines Leuchtturms über den Raum. Wird die Erde von diesem Doppelkegel
überstrichen kann also eine periodische, gepulste Strahlung beobachtet werden. Da
Pulsare durch das Abstrahlen elektromagnetischer Wellen Energie verlieren verlangsamt
sich die Rotationsgeschwindigkeit mit der Zeit.
Der Röntgenpulsar Hercules X-1
Die bisherigen Betrachtungen galten isolierten Neutronensternen. Zum Abschluss dieses
Kapitels möchten wir einen Pulsar ausführlicher diskutieren, der einen normalen
Begleitstern umkreist.
Das Wechselspiel dieser beiden Himmelskörper führt zu einer Vielzahl interessanter Eigenschaften.
a) Messungen an HZ Her
In den 1970er Jahren wurden nahe dem bereits bekannten normalen Stern HZ Her im
Sternbild Herkules eine neue Röntgenquelle gefunden.
Es wurde ein Röntgensignal gemessen, dessen Intensität mit einer Periode von 1,24 s
schwankte (Abb.8.11(a)). Langzeitbeobachtungen zeigten weiter, dass die Intensität der
Röntgenstrahlung alle 1,7 Tage für 5,7 Stunden auf Null zurückging. Bereits vorher war
bekannt, dass die Intensität des Sterns im optischen Bereich mit der gleichen Periode
schwankte. Mit dem Rückgang der Röntgenintensität ging ein Rückgang der Intensität
im optischen Bereich einher (Abb. 8.11(b)).
b) Interpretation der Messung
Die Messergebnisse wurden so interpretiert, dass HZ Her von einem Neutronenstern
begleitet wird, der mit einer Periodendauer von 1,24 s rotiert und den Stern in 1,7 Tagen
umkreist (Abb. 8.12). Der Neutronenstern zieht Materie vom Stern ab und um ihn herum
bildet sich eine Akkretionsscheibe. Durch das starke Magnetfeld des Neutronensterns
wird Materie aus der Scheibe zu seinen Polen transportiert.
Auf diese Weise stürzen pro Sekunde etwa 10 11 Tonnen Materie auf den Neutronenstern,
wobei sie eine Freifallgeschwindigkeit von etwa 40% der Lichtgeschwindigkeit erreichen
Astrophysik 131

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
132
(a) (b)
Abbildung 8.11: Messungen am HZ Her-System.
Abbildung a): Kurzzeitmessungen des Röntgensignals zeigen eine Periodizität
der Intensität von t = 1,24 s.
Abbildung b): Langzeitmessungen zeigen zusätzlich eine Unterbrechung des
Röntgensignals für 5,7 Stunden alle 1,7 Tage (oben), die einhergeht mit einer
Abnahme der Intensität im optischen Bereich (unten). Aus Atoms in strong
magnetic fields. [10]
1,7 Tage
7700 K
8 × 10 9 m
11700 K
HZ Her (gewöhnlicher Stern)
HZ Her X-1 (n ∗ , Röntgenquelle)
1,24 s
Akkretionsscheibe
Abbildung 8.12: Das Hercules System besteht aus einem normalen Stern,
der von einem Neutronenstern umkreist wird, der wiederum mit einer Periode
von 1,24 s rotiert. Die starke Röntgenstrahlung des Neutronensterns
erhitzt jeweils die ihm zugewandte Seite des normalen Sterns. Dessen Temperatur
und Leuchtkraft schwanken daher. Der Neutronenstern zieht Materie
vom normalen Stern ab, um ihn bildet sich eine Akkretionsscheibe.

Röntgenstrahlen
1 km
Neutronenstern
Akkretionsrate
∼ 10 11 T/s
Fallgeschwindigkeit
∼ 0,4 c
B ∼ 10 8 T
"hot spot"
T ∼ 10 8 K
L ∼ 10 30 W
Abbildung 8.13: Materie aus der Akkretionsscheibe stürzt entlang der Magnetfeldlinien
auf die Pole des Neutronensterns. Dabei erreicht sie eine Fallgeschwindigkeit
im Bereich von 0,4c. Beim Aufprall der geladenen Teilchen
auf die Oberfläche des Sterns wird Röntgenbremsstrahlung frei.
8.8 Pulsare
(Abb. 8.13). Beim Aufprall der ionisierten Materie auf die Oberfläche des Neutronensterns
entsteht Röntgenbremsstrahlung (”hot spot“), die abgestrahlte Leistung beträgt
etwa 10 30 W, entspricht also etwa dem 2000-fachen der Sonnenleuchtkraft.
Die Röntgenstrahlung erhitzt den normalen Stern von einer Seite, dadurch schwanken
seine Temperatur und Leuchtintensität. Wenn der Pulsar sich hinter dem Stern befindet
fällt zum einen das Röntgensignal aus, zum anderen ist dann die kalte, leuchtschwache
Seite des normalen Sterns der Erde zugewandt.
c) Absorptionslinien im Spektrum
Im Röntgenspektrum des Neutronensternes konnten außerdem Absorptionslinien bei
54 keV und 108 keV nachgewiesen werden (Abb. 8.14). Zur Erklärung dieser Absorptionslinien
existieren drei Möglichkeiten:
1. Atomare Übergänge als Ursprung: Als mögliches Element käme dafür allerdings nur
77-fach ionisiertes Platin mit nur noch einem Elektron in Frage. Diese Möglichkeit
wurde daher ausgeschlossen.
2. Kernübergänge als Ursprung: Hier wäre Americium 241 ein möglicher Kandidat,
Astrophysik 133

8 Entstehung und Entwicklung von Sternen
134
∼ 54 keV
∼ 108 keV
Abbildung 8.14: Röntgenspektrum von Her X-1 aus Trümper et. al.: [11]
Es zeigen sich Absorptionsdips bei 54 keV und 108 keV . Die Interpretation
als Zyklotronübergänge gibt einen Hinweis auf die entsprechenden Magnetfeldstärken.
Aus der Zyklotronfrequenz ω = eB und E = ℏω folgt
me
B ∼ 5 × 108 T.

dies erschien allerdings auch abwegig.
8.8 Pulsare
3. Die sinnvollste Erklärung nimmt Zyklotronübergänge an, d.h. Übergänge von Elektronen
zwischen verschiedenen Landau-Niveaus. Diese Interpretation ist deshalb
sehr interessant, weil dann aus der Energiedifferenz des Übergangs über die Zyklotronfrequenz
ω = eB
(8.140)
und den Zusammenhang E = ℏω direkt auf die herrschenden Magnetfeldstärken
geschlossen werden kann.
Aus einer Energiedifferenz von 54 keV folgt eine Magnetfeldstärke von B = 5 ×
10 5 T. Dies war die erste direkte Messung eines solch starken Magnetfeldes. Die
108 keV-Absorptionslinie lässt sich dann als zweite harmonische des Übergangs
erklären.
me
Astrophysik 135

Allgemeine
Relativitätstheorie

9 Erweiterung der SRT zur ART
zur Beschreibung der Gravitation
In diesem Kapitel möchten wir zeigen, dass die SRT bei der Beschreibung der Gravitation
versagt und deshalb eine Erweiterung zur ART nötig wird. Zur Behandlung von Kräften
hatten wir in der SRT die Viererkraft F µ = mb µ = d
dτ pµ eingeführt.
Nach heutigem Kenntnisstand existieren in der Natur vier elementare Kräfte, die Starke
Wechselwirkung, die für die Bindung der Neutronen und Protonen im Kern verantwortlich
ist, die Schwache Wechselwirkung, die beim Betazerfall wichtig ist, Elektromagnetische
Kräfte und die Gravitation.
Dabei sind die ersten beiden kurzreichweitige Kräfte und die beiden letzten langreichweitige
Kräfte. Die Newtonsche Gravitationskraft F N auf ein Teichen mit Masse m ergab
sich zu
F N (x) = −m∇Φ(x), (9.1)
mit dem Gravitationspotential Φ(x) als Lösung der Poisson-Gleichung
∆Φ(x) = 4πGϱ(x), (9.2)
mit der Gravitationskonstanten G = 6,673 · 10 −11 Nm 2 /kg 2 und der Massendichte ϱ(x).
Wir brauchen eine kovariante Formulierung der Gravitationskraft analog zur elektromagnetischen
Kraft. Um dies zu erreichen sind mehrere Ansätze denkbar, die letztlich aber
alle an nicht überwindbaren Problemen scheitern.
9.1 Ansatz über ein Skalarfeld
Der einfachster Ansatz für eine Beschreibung der Gravitation ergibt sich durch ein
Lorentz-invariantes skalares Feld Φ(x µ ). Dann gilt:
F µ = m d
dτ uµ = m∂ µ Φ, bzw.
d
dτ uµ = ∂ µ Φ. (9.3)
Allgemeine Relativitätstheorie 139

9 Erweiterung der SRT zur ART zur Beschreibung der Gravitation
Es gibt eine kovariante Feldgleichung für Φ(x, t):
1
Φ =
c2 ∂2
− ∆ Φ = −4πGϱ. (9.4)
∂t2 Der Ansatz über ein Skalarfeld ist allerdings problematisch, denn Gleichung (9.4) liefert
unphysikalische Gravitationswellen im Vakuum. 1 Eine weitere Problematik erkennt man,
wenn man Φ nach der Eigenzeit entlang einer Weltlinie x µ (τ) ableitet:
dΦ
dτ
∂Φ
=
∂x µ
dx µ
dτ =
d
dτ uµ
u µ = 1 d
2 dτ (uµu µ ) = 1 d
2 dτ c2 = 0, (9.5)
unter Verwendung von Gleichungen (5.6) und (9.3). Dies führt auf Φ = const, was
physikalisch sinnlos ist.
9.2 Ansatz über ein Viererpotential
Der nächste naheliegende Ansatz ist ein Vierer-Potential mit zugehörigem Viererstrom
für die Massen, also
A µ
Φ/c
=
A
und j µ
ϱ/c
=
j
(9.6)
in Anlehnung an die Elektrodynamik. Diesen Ansatz hat bereits Maxwell versucht.
Allerdings ergeben sich auch hier Probleme. Bei der Gravitation gibt es nur anziehende
Kräfte, daraus folgt eine negative Energie des Gravitationsfeldes. M. Abraham 2 zeigte
1912, dass ein Gravitierender Oszillator keine Strahlungsdämpfung erfährt, sondern die
Schwingung durch die Abstrahlung von Gravitationswellen noch angefacht würde. Dies
ist unphysikalisch.
9.3 Gravitation als Wirkung auf die Metrik des
Raumes
Einstein schlussfolgerte aus diesen Problemen, dass die Gravitation die Metrik des Raumes
beeinflusst. Dadurch ergeben sich bedeutende Konsequenzen, etwa die Lichtablenkung
1 Diese haben andere Eigenschaften als die Gravitationswellen der ART, die in Abschnitt 15.3 besprochen
werden.
2 Max Abraham, 1875 – 1922, Deutscher theoretischer Physiker. Führte einen umfangreichen Briefwechsel
mit Einstein und war ein heftiger Kritiker der ART.
140

9.3 Gravitation als Wirkung auf die Metrik des Raumes
im Gravitationsfeld oder die Gravitationsrotverschiebung. In der SRT war das Linienelement
definiert als
ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 = ηµνdx µ dx ν , (9.7)
mit dem metrischen Tensor des Minkowski-Raumes
⎛
1
⎜
ηµν = ⎜ 0
⎝ 0
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
0 0 0 −1
In der ART ist das Linienelement analog definiert:
⎞
⎟
⎠ . (9.8)
ds 2 = gµνdx µ dx ν . (9.9)
Hier ist der metrische Tensor jetzt aber raum-zeitabhängig, d.h.
gµν = gµν(x λ ). (9.10)
Die Hauptaufgabe der ART wird es sein, die Metrik gµν(x µ ) bei gegebener Massenverteilung
zu bestimmen.
Die ART erfordert die Behandlung gekrümmter Räume, d.h. die mathematischen Methoden
der Differentialgeometrie zur Beschreibung Riemannscher Mannigfaltigkeiten und ist
daher mathematisch weitaus aufwändiger als die SRT.
Allgemeine Relativitätstheorie 141

10 Bewegung im Gravitationsfeld:
Die Geodätengleichung der ART
Wir wollen nun die Bewegungsgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie (Differentialgleichung
der Geodäten) betrachten. Wir haben bereits gesehen, dass
ds = gµνdx µ dx ν (10.1)
gilt. Wie in der SRT soll ein Teilchen auf solch einer Bahn laufen, dass die Variation
ˆ
δ ds = 0 (10.2)
verschwindet. Wir können nun für ds Gleichung (10.1) einsetzen und noch mit ds erweitern.
Für das Integral folgt dann:
ˆ ˆ
gµνdx ds =
µ dxν · ds
(10.3)
ds
Zieht man jetzt das ds im Nenner des Bruches unter die Wurzel, so kann man dem
Ausdruck unter dem Integral ein Funktional der Form L(x α ,dx α /ds) zuordnen. Man
erhält nämlich
ˆ
δ ds = δ
ˆ
gµνdx µ dxν ˆ
dx
= δ gµν
µ
ds
dxν ˆ
ds = δ
ds
L x α , dxα
ds. (10.4)
ds
Dabei ist die Funktion L gleich 1 entlang des Weges. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung
zur Variation
ˆ
δ L x α , dxα
d ∂L
ds = 0, d.h.
ds
ds ∂ dxα
−
ds
∂L
= 0 (10.5)
∂xα folgt mit
∂L
∂ dx α
ds
= 1
dx
gαν
2L
ν
ds
+ gµα
dx µ
gαµ = gµα
=
ds
1
L gαν
dxν ds
(10.6)
Allgemeine Relativitätstheorie 143

10 Bewegung im Gravitationsfeld: Die Geodätengleichung der ART
und
die Gleichung
Unter Ausnutzung von
ergibt sich
1 ∂gαν
L ∂x µ
dx µ dx
ds
ν
ds
d 1
ds L gαν
+ 1
L gαν
∂L 1 ∂gµν
=
∂xα 2L ∂xα dx µ dx
ds
ν
ds
dxν
−
ds
1 ∂gµν
2L ∂xα dx µ dx
ds
ν
ds
d
ds gαν = ∂gαν
∂x µ
dx µ
ds
d 2 xν 1
−
ds2 L2 ∂L
∂s gαν
dxν ds
(10.7)
= 0. (10.8)
1 ∂gµν
−
2L ∂xα dx µ dx
ds
ν
ds
(10.9)
= 0. (10.10)
Da L = 1 entlang des Weges ist, folgt ∂L/ds = 0, d.h. der entsprechende Term verschwindet.
Die übrigbleibende Gleichung wird mit L durchmultipliziert um auf
∂gαν
∂x µ
dx µ
ds
dx ν
ds
+ gαν
d 2 xν 1 ∂gµν
−
ds2 2 ∂xα dx µ dx
ds
ν
ds
= 0 (10.11)
zu kommen. Im folgenden Schritt nutzen wir aus, dass aufgrund der Symmetrie von gµν,
d.h. gµν = gνµ, auch
∂gαν
1
=
∂x µ
∂gαν
2
1
+
∂x µ
∂gνα
2 ∂x µ
(10.12)
geschrieben werden kann. Da über µ und ν summiert wird, können wir diese Indizes im
zweiten Term auch vertauschen und kommen auf
d
gαν
2 xν
1 ∂gαν ∂gµα ∂gµν
+ + −
ds2 2 ∂x µ ∂xν ∂xα µ dx dx
ds
ν
= 0. (10.13)
ds
Dabei heißt der Faktor
1 ∂gαν
2 ∂x
∂x
∂x α
∂gµα ∂gµν
+ − µ ν
Def
= Γαµν
(10.14)
Christoffelsymbol 1. Art. Durchmultiplizieren mit g σα unter Berücksichtigung von
g σα gαν = δ σ ν ergibt schließlich
144
d 2 xσ ds2 + gσα dx
Γαµν
µ dx
ds
ν
ds
= 0. (10.15)

Führt man noch die Christoffelsymbole 2. Art
ein, so folgt die
Γ σ µν = g σα Γαµν = 1
2 gσα
Geodätengleichung der ART
∂gαν
∂x
d 2 xσ ds2 + Γσ dx
µν
µ dx
ds
ν
ds
∂x
∂x α
∂gµα ∂gµν
+ − µ ν
= 0. (10.17)
(10.16)
In der Geodätengleichung steckt die Gravitation also über den metrischen Tensor in den
Christoffel-Symbolen. Es sei angemerkt, dass das Christoffelsymbol 2. Art kein Tensor
ist, wie wir später zeigen werden!
Allgemeine Relativitätstheorie 145

11 Riemannsche Geometrie
11.1 Tensoralgebra
Sei x µ Vektor in einer beliebig gewählten n-dimensionalen Basis. Gesucht wird das Transformationsverhalten
verschiedener Größen bei einer Koordinatentransformation, d.h. einem
Wechsel der Basis
x µ ↦→ ¯x ν = ¯x ν (x µ ). (11.1)
Die Betrachtung in diesem Kapitel ist eine Verallgemeinerung der Ergebnisse in Kapitel
4.
11.1.1 Kontravariante Tensoren
Die Differentiale dx µ transformieren sich über
d¯x ν = ∂¯xν
∂x µ dxµ . (11.2)
Jede n-komponentige Größe A µ , die sich wie die Differentiale transformiert, also nach
der Vorschrift
Ā ν = ∂¯xν
Aµ
(11.3)
∂x µ
heißt kontravarianter Tensor 1.Stufe.
11.1.2 Kovariante Tensoren
Um das Transformationsverhalten der Ableitungen ∂/∂x µ zu bestimmen, betrachten wir
eine Funktion f(¯x ν ). Für diese gilt
∂
∂¯x ν f(¯xν ) = ∂xµ
∂¯x ν
∂
∂x µ f(xµ (¯x ν )). (11.4)
Allgemeine Relativitätstheorie 147

11 Riemannsche Geometrie
Jede n-komponentige Größe Bν, die sich wie die Koordinatenableitungen (n-dim. Gradient)
transformiert, also nach der Vorschrift
heißt kovarianter Tensor 1. Stufe.
11.1.3 Tensoren höherer Stufe
¯B ν = ∂xµ
Bµ
(11.5)
∂¯x ν
Das Transformationsverhalten von Tensoren höherer Stufe ergibt sich wie gehabt. Sei
z.B. C µ ν einfach kontra- und einfach kovarianter Tensor. Dann ist
¯C µ ν = ∂¯xµ
∂xα ∂xβ ∂¯x ν Cαβ . (11.6)
Das Tensorprodukt und die Tensorverjüngung (Ausspuren) sind ebenfalls analog zur
SRT definiert, z.B.
D µν = A µ B ν , (11.7)
bzw. das Skalarprodukt
In diesem Fall ist C Tensor 0. Stufe bzw. ein Skalar.
11.1.4 Der metrische Tensor gµν
Das infinitesimale Wegelement besitzt die Form
C = A µ Bµ. (11.8)
ds 2 = gµνdx µ dx ν . (11.9)
In n-dimensionalen minkowskischen Koordinaten gilt gµν = ηνν und damit
ds 2 = ηµνdx µ dx ν . (11.10)
Wir betrachten eine Koordinatentransformation x µ = x µ (¯x α ), dx µ = ∂xµ
∂¯x α d¯xα .
Dann ist das Linienelement gegeben über
148
ds 2 ∂x
= ηµν
µ
∂¯x α
∂xν ∂¯x β d¯xα d¯x β = ¯gαβd¯x α d¯x β , (11.11)

mit
Allgemein gilt
11.1 Tensoralgebra
¯gαβ = ∂xµ
∂¯x α
∂xν ∂¯x β ηµν. (11.12)
¯gαβ = ∂xµ
∂¯x α
Das heißt gµν ist ein symmetrischer kovarianter Tensor 2. Stufe!
11.1.5 “Herunterziehen” von Indizes
∂x ν
∂¯x β gµν. (11.13)
Das Herauf- und Herunterziehen von Indizes geschieht wie in der SRT mit Hilfe des
metrischen Tensors. So ist etwa Aµ = gµνA ν kovarianter Tensor 1. Stufe. Für Tensoren
höherer Stufe gilt analog
Aµν... = gµαgνβ....A αβ.... . (11.14)
Um Indizes „heraufzuziehen“ benötigen wir g µν . Um die Form dieses Tensors zu bekommen,
benutzen wir, dass
g µν Aν = g µν gµαA α = A µ
(11.15)
gelten muss, d.h. es ist
g µν gνα = δ µ α. (11.16)
Damit ist g µν das „Inverse“ von gµν. Zur Erläuterung betrachten wir einige Beispiele,
wobei wir uns aber auf die Raumanteile von gµν beschränken.
a) Zwei- und dreidimensionaler Euklidischer Raum
Für die zweidimensionale Ebene ergibt sich in kartesischen Koordinaten x1 = x, x2 = y
und ds2 = dx2 + dy2 , d.h. wir haben
gµν =
1 0
0 1
. (11.17)
Wir gehen über zu Polarkoordinaten mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, d.h. ¯x 1 = r, ¯x 2 = ϕ.
Der metrische Tensor in Polarkoordinaten ergibt sich über
¯gαβ = ∂xµ
∂¯x α
∂xν ∂¯x β gµν. (11.18)
Allgemeine Relativitätstheorie 149

11 Riemannsche Geometrie
Es folgt also für die einzelnen Komponenten:
¯g11 = ∂x ∂x ∂y ∂y
+ = 1,
∂r ∂r ∂r ∂r
¯g22 = ∂x ∂x ∂y ∂y
+
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = (−r sin ϕ)2 + (r cos ϕ) 2 = r 2 ,
¯g12 = ¯g21 = ∂x ∂x ∂y ∂y
+ = cos ϕ(− sin ϕ) + sin ϕ cos ϕ = 0,
∂r ∂ϕ ∂r ∂ϕ
Für das Linienelement folgt also:
mit dem metrischen Tensor
(11.19)
ds 2 = ¯gµνd¯x µ d¯x ν = dr 2 + r 2 dϕ 2 = (d¯x 1 ) 2 + (¯x 1 ) 2 (d¯x 2 ) 2 , (11.20)
¯gµν =
1 0
0 r 2
=
1 0
0 (¯x 1 ) 2
. (11.21)
Die Koordinaten ¯x 1 und ¯x 2 sind nicht kartesisch, aber der Raum ist flach!
Wenn wir zum dreidimensionalen Raum übergehen, gilt analog zur Ebene x 1 = x, x 2 = y,
x 3 = z, ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 und gµν = diag (1, 1, 1). Wir gehen über zu Kugelkoordinaten
x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, und z = r cos ϑ. Das bedeutet die neuen
Koordinaten sind ¯x 1 = r, ¯x 2 = ϑ und ¯x 3 = ϕ. Daraus folgt für das Linienelement
mit dem metrischen Tensor
ds 2 = dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2
= (d¯x 1 ) 2 + (¯x 1 ) 2 (d¯x 2 ) 2 + (¯x 1 ) 2 sin 2 (¯x 2 )(d¯x 3 ) 2 ,
gµν =
⎛
⎝
1 0 0
0 (¯x 1 ) 2 0
0 0 (¯x 1 ) 2 sin 2 (¯x 2 )
⎞
(11.22)
⎠ . (11.23)
Die Koordinaten ¯x 1 , ¯x 2 und ¯x 3 sind wieder nicht kartesisch, aber der Raum ist flach!
b) Oberfläche der Einheitskugel
Die Oberfläche der Einheitskugel ist ein zweidimensionaler gekrümmter Raum. Die Beschreibung
der Kugeloberfläche ohne Einbettung in den dreidimensionalen Raum erfolgt
150

durch Koordinaten x 1 = ϑ, x 2 = ϕ mit metrischem Tensor
gµν =
Das Linienelement ist also
1 0
0 sin 2 ϑ
=
1 0
0 sin 2 (x 1 )
11.1 Tensoralgebra
. (11.24)
ds 2 = (dx 1 ) 2 + sin 2 (x 1 )(dx 2 ) 2 = (dθ) 2 + sin 2 (θ)(dϕ) 2 . (11.25)
Hier ergibt sich ein wichtiger Unterschied zu den bisher betrachteten Fällen, denn die
Metrik gµν ist für x 1 = 0 oder x 1 = π nicht invertierbar! Es existieren also Koordinatensingularitäten.
Die Christoffelsymbole 1. Art Γαµν = (gαν,µ + gµα,ν − gµν,α) /2 ergeben
sich mit
∂g22
zu
∂gij
= 2 sin ϑ cos ϑ und = 0 sonst (11.26)
∂x1 ∂xk Γ111 = Γ112 = Γ121 = Γ222 = Γ211 = 0,
Γ122 = − sin θ cos θ,
Γ212 = Γ221 = sin θ cos θ.
Aus der Geodätengleichung d2xα ds2 + Γα µν dxµ dx
ds
ν
ds
und für α = 2
d 2 ϑ
− sin ϑ cos ϑ
ds2 sin 2 ϑ d2ϕ + 2 sin ϑ cos ϑ
ds2 = 0 folgt für α = 1
(11.27)
2 dϕ
= 0 (11.28)
ds
dϑ
ds
dϕ
= 0. (11.29)
ds
Diese Gleichungen sind äquivalent zu den Lagrange’schen Gleichungen für
11.1.6 Das Volumenelement
L = 1
˙ϑ 2 2 2
+ sin ϑ ˙ϕ =
2
1
2 gµν ˙x µ ˙x ν . (11.30)
In kartesischen Koordinaten ist das Volumenelement durch
dV =
n
dx i
i=1
(11.31)
Allgemeine Relativitätstheorie 151

11 Riemannsche Geometrie
gegeben. Bei Transformation der Koordinaten durch x µ = x µ (¯x α ) und dx µ = ∂xµ
d¯xα
∂¯x α
ergibt sich für das Volumenelement
n
dV = dx
i=1
i i ∂x
= det
∂¯x j
n
d¯x
k=1
k = d ¯ i ∂x
V , mit der Jacobi-Matrix J =
∂¯x j
.
(11.32)
In kartesischen Koordinaten gilt weiter gµν = δµν und damit ¯gαβ = ∂xµ
∂¯x α
∂xν ∂¯x β δµν. Mit
g = det(gµν) (11.33)
folgt, bei Ausnutzung der Separierbarkeit der Determinante, d.h. det(A·B) = det A·det B
und unter Berücksichtigung von det(δµν) = 1 in kartesischen Koordinaten
¯g =
det
∂x µ
∂¯x α
2
. (11.34)
Damit folgt d ¯ V = √ ¯g n i=1 d¯xi . Allgemein gilt für krummlinige Koordinaten
d ¯ V = √ g
d¯x µ . (11.35)
11.1.7 Linearformen
Sei V ein Vektorraum mit Basis e1,...,en. Eine Abbildung f ↦→ R heißt linear, wenn gilt
µ
f(ax + by) = af(x) + bf(y) für alle a,b ∈ R und x,y ∈ V. (11.36)
Man sagt f ist Linearform über V.
Die Gesamtheit der linearen Abbildungen V ↦→ R heißt Dualraum V ∗ . Wenn durch
(e1, . . . , en) eine Basis in V gegeben ist, so existiert im Dualraum eine eindeutig bestimmte
Basis (ē 1 , . . . ,ē n ) mit
ē i (ej) = δ i j. (11.37)
Ein Tensor der Stufe (p,q) (p-fach kontra-, q-fach kovariant) ist eine in allen Argumenten
lineare Abbildung (V ∗
1 ,...,V ∗
p ,Vp+1,...,Vp+q) ↦→ R, d.h. eine Multilinearform. Mit der
Basis
152
(e j1...jq
i1...ip ) = (ej1 ⊗ ... ⊗ eip ⊗ ē j1 ⊗ ... ⊗ ē jq ) (11.38)

ergeben sich die Komponenten des Tensor zu
11.1.8 Metrische Räume
11.2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Räume
T i1...ip
j1....jq
Eine Metrik ist ein symmetrischer Tensor vom Typ (0,2):
= T (ej1...jq
). (11.39)
i1...ip
g(u,v) = gµνu µ u ν und gµν = g(eµ,eν) = gνµ. (11.40)
Die Umkehrung wird mit g ∗ bezeichnet, ist entsprechend Tensor der Stufe (2,0) und es
gilt
g ∗ (ū,¯v) = g µν und g µν = g ∗ (ē µ ,ē ν ) = g νµ . (11.41)
Für g und g ∗ gilt
g ∗ (ē µ ,ē α )g(eα,eν) = g µα gαν = δ µ ν . (11.42)
Das Skalarprodukt zwischen x µ und x ν ist dementsprechend definiert als
gµνx µ x ν . (11.43)
11.2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
Riemannsche Räume
11.2.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Eine n-dim. Mannigfaltigkeit M n ist ein topologischer Raum mit folgenden Eigenschaften:
1. Jeder Punkt besitzt eine Umgebung:
U ↔ R n , σ(P ) = x 1 (P ),...,x n (P ) . (11.44)
2. Der ganze Raum ist durch endlich viele (abzählbar viele) Umgebungen überdeckbar.
3. Zu je zwei Punkten existieren disjunkte Umgebungen (Hausdorffscher Raum).
4. M n ist zusammenhängend.
Allgemeine Relativitätstheorie 153

11 Riemannsche Geometrie
M n heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit, wenn zwei sich überlappende Koordinatensysteme
xi und xi′ formation
durch eine (r-fach) stetig differenzierbare Koordinatentrans-
x i′
= x i′
(x 1 ,...,x n ), i = 1,...,n (11.45)
mit nicht singulärer Funktionaldeterminante verknüpft sind.
11.2.2 Riemannsche Räume
Eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M n mit einem fest vorgegebenen
und nicht singulären, positiv definiten symmetrischen kovarianten Tensorfeld 2. Stufe,
d.h. einer Metrik, heißt n-dimensionaler Riemannscher Raum.
Ist die Metrik des betrachteten Raumes nicht positiv definit, wie in der ART, so spricht
man von einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit.
11.2.3 Tangentialraum und Kotangentialraum
Sei f = f(xi ) koordinatenmäßige Darstellung einer skalaren Funktion auf M n . In jedem
Punkt P sind n Tangentialvektoren ∂i, i = 1,...,n gegeben:
∂i|P (f) ≡ ∂f
∂xi
≡ f,i|
P . (11.46)
Dabei bezeichnet TP den Tangentialraum im Punkt P.
Zur Definition des Kotangentialraums betrachten wir df längs einer Kurve x i = x i (s):
df = ∂f
∂x i dxi , (11.47)
mit ∂f
∂x i = f,i ∈ TP und dx i ∈ T ∗ P , mit dem Kotangentialraum T ∗ P .
11.2.4 Koordinatentransformationen
Für Koordinatentransformationen ¯x ν = ¯x ν (x µ ) gilt
154
d¯x ν = ∂¯xν
∂x µ dxµ = α ν
µ dx µ und ∂ν
¯ = ∂ ∂xµ
=
∂¯x ν ∂¯x ν
∂
∂x µ = αµ ν
∂
, (11.48)
∂x µ

11.3 Tensoranalysis
mit den zueinander inversen Transformationen α ν
µ und α µ ν. Mit den neu eingeführten
Größen α lässt sich auch die Transformation des metrischen Tensors schreiben als
11.3 Tensoranalysis
¯gµ ′ ν ′ = αϱ
µ ′α σ ν ′gϱσ. (11.49)
11.3.1 Parallelverschiebung und affine Zusammenhänge
In diesem Abschnitt werfen wir noch einmal einen Blick auf die mathematische Bedeutung
der Christoffelsymbole, die wir bei der Aufstellung der Geodätengleichung eingeführt
haben.
a) Parallelverschiebung im zweidimensionalen Euklidischen Raum
Wir betrachten den zweidimensionalen Euklidischen Raum. Gegeben sei ein Vektorfeld
F µ (x ν ). F bezeichne den parallel verschobenen Vektor. In kartesischen Koordinaten (x,y)
mit Linienelement ds 2 = dx 2 + dy 2 gilt einfach F µ = F µ . Wir möchten nun aber in
Polarkoordinaten (r,ϕ) rechnen. Für das Linienelement ergibt sich dann ds 2 = dr 2 +
r 2 dϕ 2 , und für die Komponenten des Vektors
F r = F cos ϑ, F ϕ = F
sin ϑ
. (11.50)
r
Dabei ist F = gµνF µ F ν . Die Komponenten ergeben sich leicht aus der Invarianz von
F , siehe Abbildung 11.1.
Bei Verschiebung entlang r ergibt sich nun
F r = F r , F ϕ =
Bei Verschiebung entlang ϕ erhalten wir
r
r + ∆r F ϕ ≈ F ϕ − ∆r
r F ϕ . (11.51)
F r = F cos(ϑ − ∆ϕ) F cos ϑ + F sin ϑ∆ϕ = F r + F ϕ r∆ϕ,
F ϕ = F
sin(ϑ − ∆ϕ)
r
F
sin ϑ
r
cos ϑ
− F
r = F ϕ r ∆ϕ
− F
r .
Die gewonnenen Ergebnisse lassen sich kompakt darstellen in der Form
(11.52)
F µ (x + ∆x) = F µ (x) − F λ Γ µ
νλ (x)∆xν , (11.53)
Allgemeine Relativitätstheorie 155

11 Riemannsche Geometrie
mit
y
ϑ
(r, ϕ)
F
ϑ
F
(r + ∆r, ϕ)
x
y
(r, ϕ + ∆ϕ)
F
ϑ
(r, ϕ)
Abbildung 11.1: Paralleltransport eines Vektors im Euklidischen Raum
entlang der r und ϕ-Koordinate.
b) Verallgemeinerung
Γ r rr = 0, Γ r rϕ = 0, Γ r ϕr = 0, Γ r ϕϕ = −r,
Γ ϕ rr = 0, Γ ϕ rϕ = 1
r , Γϕϕr = 1
r , Γϕϕϕ = 0.
F
x
(11.54)
Wir betrachten die Parallelverschiebung eines Vektor A µ vom Punkt P1 zum Punkt P2.
Wir legen in P1 eine lokal Euklidische Basis zugrunde und verschieben A µ (P1) in dieser
Basis parallel. Der parallel verschobene Vektor hat dann in P2 die Komponenten
A µ
(P2) = A µ (P1) + δA µ (A α , dx β ). (11.55)
Es ist zu brachten, dass A µ als geometrisches Objekt unverändert bleibt, es ändert sich
nur die Projektion auf die mitgeführte Basis. Die Abweichung δA µ wird verursacht durch
Änderung der Richtung der Koordinatenlinien. Für kleine Abstände zwischen P1 bei x β
und P2 bei x β + dx β hängt δA µ (A α , dx β ) linear von A α und dx β ab, d.h. es gilt
δA µ = −Γ µ
αβ Aα dx β . (11.56)
Die Γ µ
αβ heißen in diesem Zusammenhang Übergangskoeffizienten, bzw. Koeffizienten
des affinen Zusammenhangs. Γ µ
αβ ist die µ-te Komponente der Änderung des
Basisvektors eα bei Parallelverschiebung längs eines Basisvektors eβ.
Zur Berechnung der Übergangskoeffizienten betrachten wir den Skalar gµνA µ Aν , der sich
156

ei Parallelverschiebung nicht ändert. Es gilt also
0 = δ (gµνA µ A ν ) = gµν,βA µ A ν dx β + gµν(δA µ )A ν + gµνA µ δA ν
= gµν,βA µ A ν dx β − gµνΓ µ
αβAαA ν dx β − gµνA µ Γ µ
= gµν,βA µ A ν − gανΓ α µν − gµαΓ α µ ν β
νβ A A dx .
αβ Aα dx β
11.3 Tensoranalysis
(11.57)
Da A µ und dx β beliebig gewählt werden können, ergibt sich zur Bestimmung der Γ das
lineare Gleichungssystem
Es ergibt sich als eine Lösung
gµν,βA µ A ν − gανΓ α µν − gµαΓ α νβ = 0. (11.58)
Γ α µβ = 1
2 gασ (gσβ,µ + gµσ,β − gµβ,σ) . (11.59)
D.h. die Übergangskoeffizienten entsprechen den Christoffelsymbolen. 1 Um dies zu erkennen,
setzen wir diese Lösung in (11.58) ein. Unter Berücksichtigung von gανg ασ = δ σ ν
führt dies auf
gµν,β − 1
2 (gνβ,µ + gµν,β − gµβ,ν) − 1
2 (gµβ,ν + gνµ,β − gνβ,µ) = 0. (11.60)
Wobei gνµ,β = gµν,β benutzt wurde. Die Lösung ist allerdings nicht eindeutig, Gleichung
(11.58) liefert wegen der Symmetrie von gµν nur n 2 ·(n+1)/2 unabhängige Gleichungen für
n 3 unbekannte Γ α µβ . Im Allgemeinen gilt Γα µν = Γ α νµ. In der Riemannschen Geometrie
bezeichnet
T α µν = Γ α µν − Γ α νµ
(11.61)
den Torsionstensor. In der ART werden symmetrische Übergangskoeffizienten gewählt
mit
Γ α µν = Γ α νµ. (11.62)
1 Streng genommen sind die Christoffelsymbole und die Übergangskoeffizienten nicht allgemein dasselbe.
In der mathematischen Literatur werden Christoffelsymbole in der Form geschrieben. Die
Übergangskoeffizienten ergeben sich dann über
Γ κ µν =
κ
µν
+ 1 κ
Tν µ + T
2
κ
µ ν + T κ
µν .
Dabei bezeichnet T κ µν den Torsionstensor. In allen hier betrachteten Raumzeiten verschwindet der
Torsionstensor allerdings, deshalb gehen wir auf diese Unterscheidung nicht ein. Details zu diesem
Thema finden sich in dem exzellenten Buch Geometry, Topology, and Physics von M. Nakahara. [12]
κ
µν
Allgemeine Relativitätstheorie 157

11 Riemannsche Geometrie
D.h. der Torsionstensor verschwindet.
11.3.2 Transformationsverhalten der Christoffelsymbole
Die Christoffel-Symbole 1. Art hatten wir in Gleichung (10.14) eingeführt als Γµνλ =
(gµν,λ + gµλ,ν − gνλ,µ) und die Christoffel-Symbole 2.Art wurden in (10.16) über Γ µ
νλ =
g µϱ Γϱνλ definiert.
Sie transformieren sich nach der Gleichung
¯Γ µ′
ν ′ λ ′ = α ϱ
ν ′ α σ
λ
′ α µ′
τ Γ τ ϱσ + ∂2 x ϱ
∂¯x ν′ ∂¯x λ′
∂¯x µ′
∂x ϱ
(11.63)
das heißt die Christoffel-Symbole 2.Art sind keine Tensoren wie bereits erwähnt wurde.
11.3.3 Die kovariante Ableitung
Sei A ν ein kontravarianter Vektor, dann ist
Ā ν = α ν
µ A µ . (11.64)
Die Ableitungen eines kontravarianten Vektors sind gegeben über
A µ ,ν = ∂Aµ
. (11.65)
∂xν Wir untersuchen nun das Transformationsverhalten für A µ ,ν. Es ergibt sich
Ā µ′
,ν ′ = ∂
Āµ′
ν′ ∂¯x
= α ϱ
ν ′
∂
∂xϱ
α µ′
λ Aλ
= α ϱ
ν ′ α µ′
λ
∂Aλ ϱ
+ α
∂xϱ ν ′ λ ∂ µ′
A α
∂xϱ λ . (11.66)
Q
Wir untersuchen den mit Q bezeichneten Term näher. Falls α koordinatenabhängig ist,
was wir in der ART ja explizit zulassen wollen, wird dieser nicht verschwinden. Unter
Verwendung einer zu Gleichung (11.63) analogen Beziehung ergibt sich
∂ µ′
α
∂xϱ λ = ∂2 ¯x µ′
∂xϱ µ′
= α
∂xλ σ Γ σ ϱλ − α ν′
ϱ α σ′
λ Γ µ′
ν ′ σ ′. (11.67)
Damit transformiert sich A µ ,ν nicht wie ein Tensor! Wir setzen den für Q gewonnenen
Ausdruck wieder in (11.66) ein, wobei wir den Summationsindex σ in λ umbenennen um
158

11.3 Tensoranalysis
geschickt vereinfachen zu können und kommen auf
Ā µ′
,ν ′ = α ϱ
ν ′ α µ′
λ ∂A
λ
∂xϱ + ΓλϱσA σ
− α σ′
λ Γ µ′
ν ′ λ
σ ′A . (11.68)
Den mit R bezeichneten Term formen wir um zu
α σ′
λ Γ µ′
ν ′ σ ′A λ = Γ µ′
ν ′ σ ′Āσ′ . (11.69)
Wir setzen wieder in Gleichung (11.68) ein und sehen dann dass
Ā µ′
,ν ′ + Γ µ′
ν ′ σ ′Āσ′ = α ϱ
ν ′ α µ′ λ
λ A ,ϱ + Γ λ ϱσA σ
R
(11.70)
gilt. Darin erkennen wir wieder ein Tensortransformationsverhalten. Wir definieren daher
die kovariante Ableitung über
∇νA µ ≡ A µ ;ν = A µ ,ν + Γ µ νσA σ . (11.71)
A µ ;ν ist Tensor der Stufe (1,1). Entsprechend ergibt sich die kovariante Ableitung eine
kovarianten Vektors Aµ zu
∇νAµ ≡ A µ;ν = A µ,ν − Γ σ µνA σ
und die kovariante Ableitung von Tensoren höherer Stufe zu
∇γT α...
β... = ∂
∂x
Mehrfache kovariante Ableitung
γ T α...
alle kovarianten
varianten Indizes Indizes
(11.72)
β... + Γ α γλT λ...
β... − Γ
alle kontra-
λ γβT α...
λ... . (11.73)
Ein Tensor kann natürlich auch mehrfach kovariant abgeleitet werden. Sei A µ kontrava-
Tensor der Stufe (1,1) und
rianter Tensor 1. Stufe, dann ist A µ
;β
Tensor der Stufe (1,2). Außerdem gilt
µ
A ;β
;γ
= Aµ
;βγ
A µ
,βγ = Aµ
,γβ aber im Allgemeinen A µ
;βγ = Aµ
;γβ
(11.74)
(11.75)
Allgemeine Relativitätstheorie 159

11 Riemannsche Geometrie
11.3.4 Ko- und kontravariantes Differential
Sei A µ (x β ) ein kontravariantes Vektorfeld, dann ist
DA µ ≡ dA µ − δA µ = A µ
,β dxβ + Γ µ
αβ Aα dx β = A µ
;β dxβ
(11.76)
ebenfalls ein kontravariantes Vektorfeld. Sei weiter Bµ(bβ ) kovariantes Vektorfeld, dann
ist auch
DBµ ≡ dBµ − δBµ = B µ,β dx β − Γ α µβBαdx β = B µ;β dx β
(11.77)
ein kovariantes Vektorfeld. Der Ausdruck für δBµ lässt sich einfach aus der Parallelverschiebung
eines Skalarproduktes bestimmen. Aus δ (A µ Bµ) = 0 folgt
0 = δ (A µ Bµ) = (δA µ )Bµ + A µ δBµ = −Γ µ
αβ Aα dx β Bµ + A µ δBµ
= A α δBα − Γ µ
αβ Bµdx β .
Da A α beliebig ist folgt daraus
11.3.5 Divergenz
Wir definieren die Divergenz eines Vektorfeldes A µ als
Mit det(gµν) = g und
ergibt sich
(11.78)
δBα = Γ µ
αβ Bµdx β . (11.79)
A µ ;µ = A µ ,µ + Γ µ αµA α . (11.80)
Γ µ αµ = 1
2 gµσ (gσµ,α + gασ,µ − gαµ,σ) = 1
√ g
A µ ;µ = A µ ,µ + 1 ∂
√
g
√ g
∂xα Aα = 1
√
g
11.3.6 Rotation eines kovarianten Tensorfeldes
Wir definieren die Rotation eines kovarianten Tensorfeldes über
160
∂ √ g
, (11.81)
∂xα ∂
∂x µ (Aµ√ g) . (11.82)
ϕµν = Bν;µ − Bµ;ν. (11.83)

11.3 Tensoranalysis
Sie ist damit ein antisymmetrischer kovarianter Tensor 2. Stufe. Bei verschwindender
Torsion gilt weiter
Bν;µ − Bµ;ν = Bν,µ − Γ σ νµBσ − Bµ,ν + Γ σ µνBσ = Bν,µ − Bµ,ν. (11.84)
11.3.7 Geodätische Linien
Mit der kovarianten Ableitung lassen sich Geodäten einfach definieren. Sei die Vierergeschwindigkeit
u µ = dx µ /ds über die Ableitung nach der Bogenlänge gegeben. Eine
Geodäte ist dann in Analogie zur klassischen Mechanik (Geschwindigkeit bleibt konstant)
über das Verschwinden der kovarianten Ableitung der Geschwindigkeit definiert:
Du σ
ds
duσ
=
ds + Γσ µ dxν
µνu
ds = d2xσ ds2 + Γσ dx
µν
µ dx
ds
ν
ds
Die kompakte Darstellung der Geodätengleichung ist also
Du σ
ds
= 0. (11.85)
= 0. (11.86)
Allgemeine Relativitätstheorie 161

12 Die Krümmung des Raumes
In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, wie wir qualitativ und quantitativ feststellen
können, ob ein Raum gekrümmt ist. Diese Aussage wird sich direkt nicht an Hand des
metrischen Tensors gµν oder der affinen Zusammenhänge Γ α µν treffen lassen. Zwar steckt
die Information über die Krümmung natürlich in der Metrik, sie kann an dieser aber nicht
einfach abgelesen werden. Dies ist leicht einzusehen, denn auch bei Euklidischen, also
flachen Räumen mit krummlinigen Koordinaten, etwa Polarkoordinaten sind die Metrik
und die affinen Zusammenhänge nicht trivial.
12.1 Krümmung bekannter Flächen
In diesem Abschnitt betrachten wir einige bekannte Flächen hinsichtlich ihrer Krümmung
um ein Gefühl für diesen Begriff zu bekommen. Ob eine Fläche gekrümmt ist oder
nicht, wollen wir dabei über die Auswirkung einer Parallelverschiebung eines Vektors
auf verschiedenen Wegen in der jeweiligen Fläche charakterisieren.
12.1.1 Flache Räume
Als erstes Beispiel betrachten wir flache Räume. Der einfachste Fall ist eine Ebene. Sei F µ
ein Vektor. Wird F µ entlang eines geschlossenen Weges parallelverschoben, so stimmen
der ursprüngliche und der parallelverschobene Vektor überein, d.h. es ist δF µ = 0, siehe
Abbildung 12.1.
Auch beim Zylinder ist die Richtung des Vektors wegunabhängig, d.h. es gilt immer
δF µ = 0.
12.1.2 Kugeloberfläche
Gegeben sei nun ein Vektor F µ auf der Oberfläche einer Kugel (Abb. 12.2). Die natürliche
Definition des Paralleltransportes entlang eines Großkreises in diesem Fall ist so,
dass der Winkel zwischen dem Vektor und dem Großkreis fest bleibt. Wird F entlang C
und C ′ von p nach q paralleltransportiert, so zeigen die resultierenden Vektoren in ent-
Allgemeine Relativitätstheorie 163

12 Die Krümmung des Raumes
F µ
Abbildung 12.1: Beim Paralleltransport eines Vektors in der Ebene stimmen
der ursprüngliche und der parallelverschobene Vektor nach einem geschlossenen
Weg überein.
gegengesetzte Richtungen. Die Richtung des Vektors F µ (q) hängt also vom genommenen
Weg ab.
12.2 Der Krümmungstensor
In den vorangegangenen Beispielen haben wir gesehen, dass die Wegabhängigkeit der
Änderung δF µ eines Vektors bei Parallelverschiebung für verschiedene Räume unterschiedlich
ist. Es liegt nahe, dass über diese Eigenschaft die Krümmung des Raumes
charakterisiert werden kann.
12.2.1 Herleitung über Parallelverschiebung
Für eine strenge Behandlung betrachten wir ein infinitesimales Parallelogramm pqrs mit
Koordinaten x µ , x µ + ε µ , x µ + ε µ + δ µ und x µ + δ µ (Abb. 12.3). Bei Paralleltransport
von F µ entlang C = pqr erhalten wir den Vektor F µ
C (r). Bei q ergibt sich
164
F µ
C (q) = F µ − F κ Γ µ νκε ν . (12.1)

Dann folgt
p
C ′
F
q
12.2 Der Krümmungstensor
Abbildung 12.2: Paralleltransport eines Vektors auf einer Kugeloberfläche
entlang der Großkreise. Die Richtung, in die F µ zeigt, ist wegabhängig.
F µ
µ
C (r) = F C (q) − F κ C(q)Γ µ νκ(q)δ ν
= F µ
0 − F κ 0 Γ µ νκε ν − F κ 0 − F ρ
0 Γ κ ξρ(p)ε ξ × Γ µ νκ(p) + Γ µ
νκ,λ (p)ελ δ ν
F µ
0 − F κ 0 Γ µ νκ(p)ε ν − F κ 0 Γ µ νκ(p)δ ν − F κ µ
0 Γ νκ,λ (p) − Γρ
λκ (p)Γµ νρ(p) ε λ δ ν
(12.2)
bei Berücksichtigung von Termen bis zweite Ordnung in δ und ε. Analog ergibt sich
F µ
C ′(r) F µ
0 −F κ 0 Γ µ νκ(p)δ ν −F κ 0 Γ µ νκ(p)ε ν −F κ µ
0 Γ λκ,ν (p) − Γρνκ(p)Γ µ
λρ (p) ε λ δ ν . (12.3)
Für die Differenz der beiden Vektoren ergibt sich dann schließlich
FC ′(r) − FC(r) F κ µ
0 Γ νκ,λ (p) − Γµ
λκ,ν (p) − Γρ
λκ (p)Γµ νρ(p) + Γ ρ νκ(p)Γ µ
λρ (p) ε λ δ ν
= F κ 0 R µ
κλνελδ ν .
(12.4)
Dabei bezeichnet
R µ
κλν = Γµ
νκ,λ − Γµ
λκ,ν − Γρ
λκΓµ νρ + Γ ρ νκΓ µ
λρ
C
(12.5)
Allgemeine Relativitätstheorie 165

12 Die Krümmung des Raumes
s
p
x µ + δ µ
x µ
C ′
F C ′
F
C
r
q
x µ + ε µ + δ µ
x µ + ε µ
Abbildung 12.3: Paralleltransport eines Vektors F von p nach r.
den Krümmungstensor oder Riemann-Tensor mit Stufe (1,3).
12.2.2 Formale Definition des Krümmungstensors
Wir hatten bereits gesehen, dass kovariante Ableitungen im Allgemeinen nicht vertauschen,
siehe Gleichung (11.75). Formal lässt sich der Krümmungstensor über die Differenz
von zweifachen kovarianten Ableitungen definieren. Sei A µ ein kontravarianter Tensor 1.
Stufe, dann ist
(∇γ∇β − ∇β∇γ) A µ = A µ
;βγ − Aµ
;γβ = −Rµ αβγAα . (12.6)
Um dies zu sehen, werten wir die entsprechenden Ausdrücke explizit aus und erhalten
A µ
;βγ = A µ
β + Γµ
,γ γλAλ ;β − Γ λ γβA µ
λ
= A µ
,β + Γµ
βλAλ λ
+ Γµ
,γ γλ A ,β + Γ λ βσA σ − Γ λ µ
(12.7)
γβ A ,λ + Γµ
λσAσ und analog A µ
;γβ
. Unter Beachtung der Vertauschbarkeit der Ableitungen Aµ
,αβ
und der Symmetrie der Christoffelsymbole ergibt sich dann
A µ
;βγ − Aµ
;γβ = − Γ µ
αβ,γ − Γµ
αγ,β + Γµ
λβΓσαγ − Γ µ σγΓ σ αβ
FC
FC
F C ′
= Aµ
,βα
A α = −R µ
αβγ Aα . (12.8)
Mit Hilfe der Metrik erhält man wie üblich den vierfach kovarianten Krümmungs-
166

tensor. [13]
Rαβγδ = gασR σ βγδ
= Γαβδ,γ − Γαβγ,δ + Γ µ
βγ Γµαδ − Γ µ
βδ Γµαγ
= 1
2 (gαδ,βγ + gβγ,αδ − gαγ,βδ − gβδ,αγ) + Γ µ
βγ Γµαδ − Γ µ
βδ Γµαγ.
12.2.3 Symmetrien des Krümmungstensors
12.2 Der Krümmungstensor
(12.9)
Nicht alle Komponenten des Krümmungstensors sind unabhängig. Aus der Definition
(12.9) erkennt man leicht die folgenden Relationen
R µ
αβγ = −Rµ αγβ
In analoger Weise ergibt sich
sowie
und Rµ
αβγ + Rµ
γαβ + Rµ
βγα . (12.10)
R µαβγ = −R µαγβ, R µαβγ = −Rαµβγ, Rµαβγ = Rβγµα, (12.11)
Rµαβγ + Rµβγα + Rµγαβ = 0. (12.12)
Aus diesen Relationen folgt, dass der Krümmungstensor in 4 Dimensionen nur 20 unabhängige
Komponenten besitzt.
12.2.4 Ricci-Tensor und Krümmungsskalar
Durch Verjüngung des Krümmungstensors erhält man den Ricci-Tensor:
Rµν = R λ µλν = Γ α µα,ν − Γ α µν,α − Γ α σαΓ σ µν + Γ α σνΓ σ µα. (12.13)
Der Ricci-Tensor ist ein symmetrischer Tensor 2. Stufe, d.h. es gilt
Rαβ = Rβα. (12.14)
Um dies zu zeigen, benutzt man den Zusammenhang Γ µ αµ = 1/ √ g · ∂ √ g/∂x α aus Gleichung
(11.81). Dann erhält man
Γ µ ∂
αµ,β =
∂xβ
1
√g
∂ √ g
∂xα
= − 1 ∂
g
√ g
∂xβ ∂ √ g 1
+ √
∂xα g
∂2√g ∂xα = Γµ
∂xβ βµ,α . (12.15)
Allgemeine Relativitätstheorie 167

12 Die Krümmung des Raumes
Eine weitere Verjüngung des Ricci-Tensors führt auf den Krümmungsskalar
12.2.5 Bianchi-Identität
Es gilt
R = R µ µ = g µν Rµν. (12.16)
R µ
ναβ;γ + Rµ
νγα;β + Rµ
νβγ;α = 0. (12.17)
Um dies zu zeigen benutzen wir folgende Überlegung: Wir betrachten diese Gleichung an
einem bestimmten Punkt P0 der Mannigfaltigkeit. Durch Wahl geeigneter Koordinaten
können wir erreichen, dass
Γ µ
αβ (P0) = 0 (12.18)
gilt. Dann gilt am Punkt P0 weiter
und damit
R µ
ναβ = Γµ
νβ,α − Γµ
να,β
(12.19)
R µ
ναβ;γ = Rµ
ναβ,γ = Γµ
νβ,αγ − Γµ
να,βγ . (12.20)
Die anderen Größen ergeben sich entsprechend. Bei zyklischer Vertauschung der letzten
drei Indizes heben sich diese Terme auf. Wegen der Tensoreigenschaft gilt die Bianchi-
Identität dann allgemein.
12.2.6 Trägheitssatz von Sylvester
Für die mathematische Formulierung der ART ist der Trägheitssatz von J. J. Sylvester
1 zentral: Die Metrik gµν lässt sich in einer Orthonormalbasis als Diagonalmatrix
mit Einträgen ±1 darstellen. Hat die Matrix r Einträge +1 und s Einträge −1, so
spricht man von einer Metrik mit Trägheit, bzw. Signatur (r,s). Beispielsweise hat
die Minkowski-Metrik die Signatur (r,s) = (1,3). Für die ART hat dieser Satz wichtige
Konsequenzen:
Die Gravitation lässt sich lokal wegtransformieren, d.h. in einer genügend
kleinen Umgebung eines Punktes existieren Koordinaten, so
dass sich “kräftefreie” Teilchen auf Geraden bewegen.
Dies ist anschaulich klar, denn die obige Aussage heißt nichts anderes, als dass die Metrik
gµν lokal in geeigneten Koordinaten auf die Form ηµν gebracht werden kann, also in die
1 J. J. Sylvester, 1814 - 1897, englischer Mathematiker
168

12.2 Der Krümmungstensor
Form der Minkowski-Metrik des flachen Raumes. Damit dies möglich ist, müssen zwei
Eigenschaften der Natur postuliert werden:
1. Die Welt ist eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension 4 und der
Trägheit (r,s) = (1,3).
2. Die Weltlinien von Massepunkten, die nur gravitativen Kräften unterliegen, sind
zeitartige metrische Geodäten.
Wir werden noch sehen, dass diese Aussagen eng mit dem Äquivalenzprinzip zusammenhängen,
das am Anfang der Entwicklung der ART stand.
Allgemeine Relativitätstheorie 169

13 Physikalische Grundlagen der
ART – Das Äquivalenzprinzip
Grundlage für die Entwicklung der ART waren einfache Grundüberlegungen Einsteins,
die zum Äquivalenzprinzip führten, welches in diesem Abschnitt diskutiert wird. Den
Kern bilden Einsteins berühmte Fahrstuhlgedankenexperimente. Die Aussage dieses Prinzips
ist die postulierte Äquivalenz von träger und schwerer Masse, die es dann erlaubt,
Rückschlüsse auf die Eigenschaften der Gravitation zu ziehen.
13.1 Äquivalenz von träger und schwerer Masse
Um eine Aussage über schwere und träge Masse machen zu können, müssen wir zunächst
diese Begriffe genauer charakterisieren.
13.1.1 Träge Masse
Wirke eine Kraft auf einen Massenpunkt. Durch diese Krafteinwirkung wird der Massepunkt
seinen Bewegungszustand ändern. Allerdings versucht die Masse sich gegen diese
äußere Krafteinwirkung zu wehren und in ihrem Bewegungszustand zu verharren. Die
Masse hemmt also gewissermaßen die Krafteinwirkung. Aus diesem Grund nennt man
diese Masse, die das Trägheitsprinzip erfüllt, die träge Masse.
Wir halten also fest: Die träge Masse ist die Masse die einer Kraft einen Widerstand entgegen
setzt. Je größer diese träge Masse ist, desto mehr Kraft muss aufgewendet werden,
um den Bewegungszustand zu ändern. Betrachten wir als Beispiel die zwei Massen mt1
und mt2 in Abbildung 13.1. Wir bringen beide Massen an gleiche Federn an und dehnen
die Federn um eine Strecke ∆x aus der Ruhelage.
Wenn wir nun loslassen, so wirkt auf beide Massen die gleiche Kraft. Für die jeweiligen
Beschleunigungen gilt also F = mt1 ¨r1 = mt2 ¨r2, d.h.
¨r2 = mt1
¨r1. (13.1)
mt2
Allgemeine Relativitätstheorie 171

13 Physikalische Grundlagen der ART – Das Äquivalenzprinzip
Abbildung 13.1: Zwei gleiche Federn werden um die gleiche Strecke aus
ihrer Ruhelage ausgelenkt. An den beiden Federn hängen die Massen mt1
und mt2 . Lässt man nun die Federn los, so werden beide Massen beschleunigt.
Das Verhältnis der Beschleunigungen ist dabei ¨r2 = (mt1 /mt2 )¨r1.
13.1.2 Schwere Masse
Die schwere Masse ist die Eigenschaft eines Körpers im Gravitationsfeld einer anderen
Masse eine Kraft zu erfahren. Wir bezeichnen diese Masse daher in Anlehnung an die
Elektrodynamik als Gravitationsladung q im Gravitationsfeld der Gravitationsladung Q:
¨r1
¨r2
F grav = − qQ
· α · er.
r2 Die Massen mt1 und mt2 erfahren im Feld von Q eine Kraft. Sie haben also auch eine
schwere Masse q1, q2.
Durch Fallexperimente kommt man zu folgendem experimentellem Befund: Die beiden
Massen „fallen gleich schnell”, unabhängig von ihrer trägen Masse.
Genauer:
Es ist immer ¨r1 = ¨r2, unabhängig von der Größe ihrer (trägen) Massen mt1 und mt2.
Dies kann man folgendermaßen formulieren:
Damit erhält man
172
mt1
mt2
= FQq1
FQq2
mt1|¨r1| = |F Qq1|
mt2|¨r1| = |F Qq2|.
= q1
q2
bzw. mt1
q1
mt1
mt2
(13.2)
= mt2
. (13.3)
q2

13.2 Fahrstuhlexperimente
Dieses Verhältnis von träger zu „schwerer” Masse ist für jedes Objekt dasselbe. Wenn
wir die Einheit der schweren Masse geeignet wählen, können wir erreichen, dass das
Verhältnis 1 ist. Wir halten als fundamentale Aussage fest:
Objekte mit unterschiedlicher träger Masse erfahren im Schwerefeld
bei gleichen Anfangsbedingungen dieselbe Beschleunigung. Das Verhältnis
von schwerer und träger Masse mt/ms ist also für alle Körper
gleich und bei geeigneter Wahl der Einheiten gilt mt/ms = 1.
13.2 Fahrstuhlexperimente
Die folgenden Gedankenexperimente gehen direkt auf Einstein zurück, der diese Überlegungen
selbst als “glücklichsten Einfall seines Lebens” bezeichnete.
Wir betrachten einen Experimentator (Hans) in einem geschlossenen Fahrstuhl, der sich
in einem homogenen Schwerefeld befinde (Einstein-Labor).
a) Weight-Watchers-Experiment
Im ersten Fall steht (ruht) der Fahrstuhl im Schwerefeld. Eine Waage zeigt für Hans eine
Kraft G von 80 kp 1 an. G berechnet sich zu
G = ms · g. (13.4)
Im zweiten Fall wird der Fahrstuhl im leeren Raum konstant mit g beschleunigt. Auch
hier zeigt die Waage für Hans eine Kraft von 80 kp an.
Für G gilt diesmal
G = mt · g. (13.5)
Frage: Kann Hans durch irgendein mechanisches, elektrodynamisches oder
sonstiges Experiment feststellen, ob er im Schwerefeld ruht oder mit g im
schwerelosen Raum beschleunigt wird?
Die Antwort lautet NEIN!
Damit erhalten wir folgende Aussage:
1 Das Kilopond ist eine veraltete Einheit der Kraft. Es ist 1 kp = 9,81 N, d.h. die Gewichtskraft einer
Masse von einem Kilogramm im Schwerefeld der Erde.
Allgemeine Relativitätstheorie 173

13 Physikalische Grundlagen der ART – Das Äquivalenzprinzip
g g g
g g g
Waage: 80 kp
(a)
g g g
g g g
g
Waage: 80 kp
Abbildung 13.2: In Abbildung a) ruht der Fahrstuhl im homogenen Schwerefeld
g. In Abbildung b) befindet sich der Fahrstuhl im schwerelosen Raum
und wird konstant mit Beschleunigung ¨r = g nach oben beschleunigt.
„Die Vorstellung eines ruhenden Koordinatensystems, in dem ein
Schwerefeld herrscht, ist äquivalent mit der Vorstellung eines entsprechend
beschleunigten Koordinatensystems ohne Schwerefeld”.
b) Frei-Fall-Experiment
Im ersten Fall ruhe der Fahrstuhl im schwerelosen Raum (Abb. 13.3(a)). Die Waage zeigt
für Hans eine Kraft von 0 kp an. Im zweiten Fall falle der Fahrstuhl frei im konstanten
Schwerefeld (Abb. 13.3(b)). Alles im Fahrstuhl fällt mit der gleichen Geschwindigkeit,
es gibt keine Relativbewegung. Im Fahrstuhlsystem gilt
Wegen mt = ms und ¨x0 = g folgt
x(t) = x0(t) + x ′ und mt¨x = mt(¨x0 + ¨x ′ ) = msg. (13.6)
Die Waage zeigt also auch hier 0 kp an.
(b)
¨x ′ = 0. (13.7)
Frage: Gibt es ein Experiment, dass die beiden Situationen unterscheidbar
macht?
Die Antwort lautet wieder NEIN!
Diese Ergebnisse können wir im schwachen Äquivalenzprinzip zusammenfassen:
174

Waage: 0 kp
(a)
g g g
g g g
x(t)
x ′ (t)
Waage: 0 kp
(b)
g
x0(t)
13.2 Fahrstuhlexperimente
g g g
g g g
Abbildung 13.3: In Abbildung a) ruht der Fahrstuhl im schwerelosen
Raum, in Abbildung b) fällt der Fahrstuhl frei im homogenen Schwerefeld
g. In beiden Fällen zeigt die Waage 0 kp an.
„In einem kleinen Labor, das in einem Schwerefeld fällt, sind die mechanischen
Phänomene dieselben wie jene, die in Abwesenheit eines
Schwerefeldes in einem Newtonschen Inertialsystem beobachtet werden“.
Einstein ging 1907 noch weiter, indem er den Ausdruck ”mechanische Phänomene” auf
”Gesetze der Physik“ erweiterte. Damit ergibt sich das starke Äquivalenzprinzip:
„In einem kleinen Labor, das in einem Schwerefeld fällt, sind die Gesetze
der Physik dieselben wie jene, die in Abwesenheit eines Schwerefeldes
in einem Newtonschen Inertialsystem beobachtet werden“.
Wäre das anders, also das Äquivalenzprinzip verletzt, so würde die Idee, die Gravitation
in eine, für alle Körper gleiche, gekrümmte Raum-Zeit zu packen, nicht funktionieren.
Deshalb ist ein analoges Vorgehen bei der Elektrodynamik nicht möglich, da dort die
Ladung und die träge Masse eines Teilchens unabhängig voneinander sind.
Da Gravitationsfelder inhomogen sind, muss darauf geachtet werden, dass ein der Gravitation
ausgesetztes Labor relativ klein ist, so dass die Abweichung von der Homogenität
keine Rolle spielt (Abb. 13.4).
Allgemeine Relativitätstheorie 175

13 Physikalische Grundlagen der ART – Das Äquivalenzprinzip
176
t0
t1
M
Abbildung 13.4: Aufgrund der Inhomogenität von Graviationsfeldern muss
das betrachtete Labor so klein sein, dass die Inhomogenität vernachlässigbar
ist. Das schwarze Labor ist zu groß, die schwarzen Kugeln nähern sich
einander. Das grüne Labor ist klein genug, dass die Inhomogenität vernachlässigbar
wird.

13.3 Mathematische Bedeutung des Äquivalenzprinzips
Streng genommen ist nur für jeden Punkt ein infinitesimal kleines frei fallendes System
definiert (lokales Inertialsystem, freifallendes Bezugssystem).
Insofern stellen diese Überlegungen eine Einschränkung gegenüber der SRT dar, bei
der das Inertialsystem beliebig groß sein kann. Andererseits ist dieses Prinzip aber viel
allgemeiner, weil nun auch beschleunigte Systeme behandelt werden können.
c) Lichtablenkung im Schwerefeld
Das Äquivalenzprinzip führt bereits direkt auf die Lichtablenkung im Schwerefeld. Betrachten
wir in Abb. 13.5(a) ein frei fallendes Labor. Wird in diesem Labor auf einer
Seite zum Zeitpunkt t0 ein Laserstrahl ausgesendet, so kommt er auf der anderen Seite
auf dem Detektor zur Zeit t1 auf gleicher Höhe an, da dieses Labor äquivalent zu einem
ruhenden Labor im schwerelosen Raum ist.
Von außen gesehen hat sich das Labor aber in der Zeit t1 − t0 nach unten bewegt.
Der Laserstrahl erscheint also gekrümmt. Andererseits können wir auch ein konstant
beschleunigtes Labor betrachten wie in Abbildung 13.5(b). Wird hier ein Laserstrahl
losgeschickt, so bleibt er hinter dem Labor zurück, er kommt auf der anderen Seite
etwas tiefer an. Dies ist leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dass dieser Laserstrahl
von außen betrachtet geradlinig verlaufen muss.
Dieses beschleunigte Labor ist äquivalent zu einem im Schwerefeld ruhenden Labor.
Daher muss auch dort der Lichtstrahl gekrümmt verlaufen.
13.3 Mathematische Bedeutung des
Äquivalenzprinzips
Mathematisch bedeutet das Äquivalenzprinzips, dass die Raum-Zeit mit Gravitation
lokal minkowskisch ist. Wird die Raum-Zeit durch die Koordinaten x α beschrieben, so
existiert für jeden Punkt P der Raum-Zeit eine Koordinatentransformation
x α → ξ α
die von x µ abhängt, so dass sich die Metrik mittransformiert über
(13.8)
gµν(x α ) → g µν(ξ α ) mit g µν(ξ α P ) = ηµν (13.9)
Allgemeine Relativitätstheorie 177

13 Physikalische Grundlagen der ART – Das Äquivalenzprinzip
178
t0
t1
Laser
Laser
(a) In einem frei fallenden Labor wird ein Laserstrahl zum Zeitpunkt t0 von einer
Seite zur anderen geschickt (rot). Da das frei fallende Labor einem Labor im schwerelosen
Raum entspricht, kommt der Laserstrahl auf der andern Seite zum Zeitpunkt t1
auf gleicher Höhe am Detektor an. Von außen gesehen wird er also abgelenkt (grün).
Laser
g
Detektor
Laser
(b) Links: In einem konstant beschleunigten Labor wird ein Laserstrahl ausgesendet.
Da er von außen gesehen eine geradlinige Bewegung ausführt und sich das Labor
währenddessen nach oben bewegt, kommt er auf der anderen Seite etwas weiter unten
an.
Rechts: Dem konstant beschleunigten Labor entspricht ein im homogenen Schwerefeld
ruhendes Labor. Aufgrund des Äquivalenzprinzips muss der Laserstrahl auch dort
abgelenkt werden.
Abbildung 13.5: Aus dem Äquivalenzprinzip folgt bereits die Lichtablenkung
im Schwerefeld. Um dies einzusehen vergleicht man einerseits ein frei
fallendes Labor mit einem im schwerelosen Raum und andererseits ein im
Schwerefeld ruhendes Labor mit einem konstant beschleunigten Labor.
g
Detektor
Detektor Detektor
g

in einer Umgebung des Punktes P = ξα P , d.h.
∂gµν(ξ α )
∂ξβ
13.3 Mathematische Bedeutung des Äquivalenzprinzips
ξ α P
= 0. (13.10)
Höher Ableitungen verschwinden aber im Allgemeinen nicht, d.h. die Metrik hat die
Form
g µν(ξ α P ) = ηµν + 1
2 ∂ gµν
2 ∂ξα∂ξ β ξαξ β
. (13.11)
Man kann hier leicht sehen, dass die Aussage des Satzes von Sylvester zusammen mit
dem Postulat, dass die Natur eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit ist, praktisch
die gleiche Aussage wie das Äquivalenzprinzip beinhaltet.
Allgemeine Relativitätstheorie 179

14 Die Einsteinschen
Feldgleichungen
Die Hauptaufgabe der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es, aus einer vorhandenen
Massen- und Energieverteilung die entsprechende Metrik der Raumzeit berechnen zu
können und umgekehrt.
Eine berühmte Zusammenfassung dieser Zusammenhänge stammt von J. A. Wheeler 1
”Matter tells space how to curve and spacetime tells matter how to
move!“
Dazu ist eine Gleichung nötig, die die entsprechenden Größen miteinander verknüpft.
Bevor wir zur Formulierung dieser Gleichung kommen, untersuchen wir die nichtrelativistische
Näherung der Bewegungsgleichungen der ART. Die Ergebnisse werden uns
später dann behilflich sein.
14.1 Die Bewegungsgleichungen der ART in
nicht-relativistischer Näherung
Eine Anforderung an die ART ist, dass sich die Newtonschen Bewegungsgleichungen
als Grenzfall für schwache Felder aus den Geodätengleichungen erhalten lassen. Dies erscheint
aufgrund der ganz unterschiedlichen Form der Gleichungen zunächst sehr schwierig.
• In der Formulierung der ART steckt die Gravitation in der Metrik gµν. Die Bewegungsgleichungen
für Punktteilchen im Schwerefeld sind die Geodätengleichungen
d 2 x µ dx
+ Γµ
ds2 αβ
α dx
ds
β
ds
1 John Archibald Wheeler, 1911-2008, Amerikanischer theoretischer Physiker
= 0. (14.1)
Allgemeine Relativitätstheorie 181

14 Die Einsteinschen Feldgleichungen
• In der Newtonschen Theorie bewegt sich das Teilchen in einem Gravitationspotential
und die Bewegungsgleichung hat die Form
m¨x = −∇V. (14.2)
Die Newtonschen Bewegungsgleichungen folgen aus einem Variationsprinzip, dem Hamiltonschen
Prinzip. Sei L = T − V − mc 2 die Lagrangefunktion des betrachteten Systems,
wobei wir hier zur kinetischen Energie auch die Ruheenergie mc 2 hinzuzählen, so gilt für
die Bahn des Teilchens vom Punkt P1 zum Punkt P2
ˆ
δ
P1
P2
Ldt = 0. (14.3)
Für die Lagrangefunktion finden wir die explizite Form
L = mc 2
−1 + ˙x2
1
− φ = −mc
2c2 c2 2
1 − ˙x2 2φ
+
c2 c2
, (14.4)
mit dem Gravitationspotential φ = V/m und dem Zusammenhang 1 + x/2 ≈ √ 1 + x.
Einsetzen in das Variationsprinzip liefert
ˆ
δ
P1
P2
ˆ
Ldt = −mc · δ
P1
P2
ˆ
= −mc · δ
P1
P2
(cdt) 2 − ˙x 2 dt 2 + 2φdt 2
(cdt) 2
In der ART gilt auch ein Variationsprinzip:
ˆ
δ
P1
P2
ˆ
ds = δ
1 − + 2φ
c2
− dx2 − dy2 − dz2 = 0.
Durch Vergleich der beiden Formeln ergibt sich für 2φ/c2 ≪ 1
ds 2 = c 2 dt 2
1 + 2φ
c2
182
P1
P2
(14.5)
gµνdx µ dx ν = 0. (14.6)
− dx 2 − dy 2 − dz 2 = 0, (14.7)

zw.
gµν =
14.2 Formulierung der Feldgleichungen
⎛
1 + 2φ/c
⎜
⎝
2 0
0
0
−1
0
0
0
−1
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 −1
= ηµν + hµν. (14.8)
D.h. die Gravitation steckt in der kleinen Störung
⎛
2φ/c
⎜
hµν = ⎜
⎝
2 0
0
0
0
0
0
0
0
⎞
0
0 ⎟
0⎠
. (14.9)
0 0 0 0
14.1.1 Kugelsymmetrische Massenverteilung
Für eine kugelsymmetrische Massenverteilung mit Gesamtmasse M ergibt sich φ(r) =
−GM/r und daher
g00 = 1 − 2 GM
c 2 r
rS
= 1 − , (14.10)
r
mit dem Schwarzschild-Radius rS = 2GM/c2 . Dieser beträgt für die Sonne etwa
r ⊙ S = 3 km und für die Erde r♁ S = 9 mm. Im Vergleich zu den wirklichen Radien dieser
Körper ist der Schwarzschild-Radius also sehr klein. Damit ist auch die gravitative
Wirkung der Sonne und der Erde klein.
14.1.2 Krümmung der Metrik für schwache Felder
Für die oben berechnete Metrik ergeben sich die folgenden Christoffelsymbole und Komponenten
des Krümmungstensors und Ricci-Tensors:
mit
Γ i 00 = 1
c2 ∂φ
∂xi , Ri0j0 = 1
c2 ∂2φ ∂xi∂xj für i, j ∈ {1,2,3}, und R00 = 1
∆φ, (14.11)
c2 ˆ
φ = −G
14.2 Formulierung der Feldgleichungen
ϱ(x ′ )
|x − x ′ | d3 x ′ . (14.12)
In diesem Abschnitt werden wir die Feldgleichungen nun ”herleiten”. Da diese die Metrik
mit der Materie- und Energieverteilung verknüpfen sollen, benötigen wir zunächst eine
Allgemeine Relativitätstheorie 183

14 Die Einsteinschen Feldgleichungen
Größe, die diese beschreibt. Dies führt auf den Energie-Impuls-Tensor, den wir bereits
in der SRT kennengelernt haben.
14.2.1 Der Energie-Impuls-Tensor
Für das Gravitationspotential gilt die Poisson-Gleichung
Daraus folgt also
∆φ = 4πGρ(x). (14.13)
R00 = 4πG
ϱ. (14.14)
c2 Das Problem dieser Gleichung ist, dass R00 nur Komponente eines Tensors ist und die
Gleichung daher nicht die richtigen Transformationseigenschaften besitzt. Gesucht wird
eine Gleichung der Form Rµν = Tµν mit einem Tensor Tµν, der von der Masseverteilung,
aber auch der Impulsdichte abhängt. Dieser Tensor heißt dann Energie-Impuls-Tensor.
In Kapitel 6.6 hatten wir einen Ausdruck für den Energie-Impuls-Tensor der elektromagnetischen
Felder im Minkowskiraum gefunden. Er hat die Form
T ν
µ = 1
FµαF
µ0
αν + 1
4 δν µFαβF αβ
1 ω
=
cST
j , (14.15)
S Gi mit dem Feldstärketensor F µν .
a) Eigenschaften des Energie-Impuls-Tensors
Für den Energie-Impuls-Tensor der elektromagnetischen Felder gelten im Vakuum die
vier Kontinuitätsgleichungen ∂ω/∂t∇ · S = 0 und ∂Si/∂t/c 2 + ∇ · T i = 0 in Gleichung
(6.76). Diese Gleichungen entsprechen der Forderung der Divergenzfreiheit von T µν :
− 1
c
T µν ,ν = 0. (14.16)
Dies soll auch für den Energie-Impuls-Tensor der Materie gelten.
b) Ansatz für den Energie-Impuls-Tensor der Materie
Allgemein macht man für eine beliebige Massenverteilung für den Energie-Impuls-Tensor
den Ansatz
T µν = ϱ0u µ u ν = ϱ0γ 2
2 c
cv
cv
vivj
. (14.17)
184

14.2 Formulierung der Feldgleichungen
Für den Spezialfall ruhender Materie ergibt dies einfach
T µν ⎛
ϱ0c
⎜
= ⎜
⎝
2 0
0
0
0
0
0
0
0
⎞
0
0 ⎟
0⎠
, (14.18)
0 0 0 0
mit der Ruheenergiedichte ϱ0c 2 der Materie. Mit diesem Ansatz ist die Divergenzfreiheit
des Energie-Impuls-Tensors gewährleistet. Für gekrümmte Räume muss statt der
normalen Ableitung in Gleichung (14.16) die kovariante Ableitung verwendet werden:
14.2.2 Aufstellung der Feldgleichungen
∇νT µν = T µν ;ν = 0. (14.19)
Für die rechte Seite der Feldgleichungen haben wir mit dem Energie-Impuls-Tensor eine
geeignete Größe gefunden. Für die linke Seite kann aber nicht Rµν direkt verwendet
werden, denn im Allgemeinen ist R µν ;ν = 0.
a) Forderungen an die linke Seite der Feldgleichungen
Wir postulieren folgende Anforderungen an die linke Seite der Feldgleichungen
1. Die linke Seite ist symmetrischer Tensor 2. Stufe wie Tµν
2. Auf der linken Seite sollen keine höheren als zweite Ableitungen von gµν stehen.
3. Die zweiten Ableitungen sollen nur linear auftreten.
4. Die linke Seite soll wie T µν divergenzfrei sein.
5. In der minkowskischen Raum-Zeit soll die linke Seite identisch verschwinden.
Aus den Bedingungen 1-3 folgt, wie durch Hermann Weyl 2 bewiesen wurde, für die
Feldgleichungen
Rµν + a · gµνR + b · gµν = κ · Tµν, (14.20)
wobei a, b und κ freie Parameter sind. Die Bedingung 4 liefert
R µν ;ν + a (g µν R) ;ν + b · g µν ;ν
2 Weyl, Hermann Klaus Hugo, 1885-1955, Deutscher Mathematiker und Physiker
!
= 0. (14.21)
Allgemeine Relativitätstheorie 185

14 Die Einsteinschen Feldgleichungen
Da die Metrik divergenzfrei ist, d.h. g µν ;ν = 0, lässt sich b nicht aus dieser Bedingung
bestimmen. Im Folgenden zeigen wir, dass sich a = −1/2 ergibt.
b) Bestimmung der Konstante a
Aus der Bianchi-Identität in Gleichung (12.17) folgt bei Verjüngung unter Verwendung
der Symmetrieeigenschaften des Riemann-Tensors
R µ
αµβ;γ + Rµ
αγµ;β + Rµ
αβγ;µ = Rαβ;γ − Rαγ;β + R µ
αβγ;µ = 0. (14.22)
Wir multiplizieren diese Gleichung mit g αβ und erhalten
R;γ − R β
γ;β + gαβ g µλ gλνR ν αβγ;µ = 0. (14.23)
Dabei haben wir im dritten Term den Faktor g µλ gλν = δ µ ν eingeschoben. Damit lässt sich
der dritte Term weiter umformen über
g αβ g µλ gλνR ν αβγ;µ = g µλ gλνR ν γ;µ = g µλ Rλγ;µ = R µ γ;µ. (14.24)
Wir nennen in diesem Ausdruck µ in β um und setzen ihn in Gleichung (14.23) ein.
Dann haben wir R;γ − 2 · R β
γ;β = 0, bzw. multipliziert mit 1/2 und mit δβ γ eingeschoben:
Abschließend ziehen wir γ hoch und kommen auf R βγ
;β
R β 1 β
γ;β − δγ R
2
= 0. (14.25)
;β
1 βγ − g R = 0. Damit haben
2 ;β
wir einen divergenzfreien Ausdruck der Form der linken Seite der Feldgleichungen (14.20)
gefunden, denn es gilt
R µν − 1
R · gµν
2
= 0. (14.26)
Damit haben wir gezeigt, dass für a = −1/2 die linke Seite der Feldgleichungen divergenzfrei
ist.
c) Bestimmung von b und κ
Mit den Ergebnissen des letzten Abschnittes haben wir jetzt
186
;ν
Rµν − 1
2 · gµνR + b · gµν = κ · Tµν. (14.27)

Multiplikation mit g µν führt wegen g µν gµν = 4 auf
Wir setzen in (14.27) ein und erhalten
14.2 Formulierung der Feldgleichungen
−R + 4b = κT, bzw. R = 4b − κT. (14.28)
Rµν − bgµν = κT ∗ µν, mit T ∗ µν = Tµν − 1
2 T gµν. (14.29)
Um nun b und κ zu bestimmen benutzen wir die Ergebnisse für g00 und R00 im nichtrelativistischen
Grenzfall und für T µν für ruhende Materie in den Gleichungen (14.8),
(14.14) und (14.18). Es ergibt sich dann
In diesem Fall reduzieren sich die Feldgleichungen auf
T = ϱc 2 und T ∗ 00 = 1
2 ϱc2 . (14.30)
R00 − bg00 = κT ∗ 00. (14.31)
Einsetzen ergibt
4πG
c2 ϱ − bg00 = 1
2 κϱc2 . (14.32)
Um die 5. Bedingung zu erfüllen muss b = 0 gelten3 , denn im minkowskischen Grenzfall
gilt ϱ → 0. Damit ergibt sich schließlich κ zu
d) Der Einstein-Tensor
Man definiert den Einstein-Tensor als
κ = 8πG
. (14.33)
c4 Gµν = Rµν − 1
2 R · gµν. (14.34)
Damit können wir die Feldgleichungen ohne kosmologische Konstante formulieren:
3 Genauer muss b sehr klein sein, so dass die Abweichung nur auf kosmologischen Skalen wichtig wird.
Man spricht bei b der kosmologischen Konstante und verwendet gewöhnlich das Symbol Λ.
Allgemeine Relativitätstheorie 187

14 Die Einsteinschen Feldgleichungen
oder alternativ
Der Wert von κ ist sehr klein, es ergibt sich
Gµν = 8πG
c 4 Tµν (14.35)
Rµν = 8πG
c 4 T ∗ µν. (14.36)
c 2 κ = 8πG
m
= 1,86 × 10−26 . (14.37)
c2 kg
Da Rµν und R bzw. Gµν 2. Ableitungen und Quadrate der 1. Ableitungen des metrischen
Tensors enthalten, sind die Feldgleichungen nichtlineare Differentialgleichungen 2.
Ordnung. Das Superpositionsprinzip gilt daher nicht.
188

15 Anwendungen der ART
15.1 Die Schwarzschild-Metrik
Wir betrachten die exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für den statischen
kugelsymmetrischen Fall, da hier eine analytische Lösung gefunden werden kann und
sich hier sehr einfache aber interessante Folgerungen ergeben. Das Gravitationsfeld im
Außenraum einer sphärisch-symmetrischen Massenverteilung mit der Gesamtmasse M
ist gegeben durch
φ(r) = −G M
. (15.1)
r
15.1.1 Aufstellung der Feldgleichungen
Wir suchen die zugehörige Metrik der ART. Gesucht werden also die sphärisch symmetrischen
Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen (14.35). Im Vakuum gilt Tµν = 0.
Damit ergibt sich die zu lösende Gleichung
Rµν − 1
2 Rgµν = 0. (15.2)
Wegen Tµν = 0 ist auch T = 0 und mit R = −κT aus Gleichung (14.28) für b = 0 auch
R = 0. Damit ergibt sich schließlich
in diesem Fall.
Rµν = 0 (15.3)
15.1.2 Allgemeiner Ansatz für eine sphärisch-symmetrische
Metrik
Die Metrik des flachen Euklidischen Raumes R 3 lautet
dx 2 = dr 2 + r 2 dΩ 2 , (15.4)
Allgemeine Relativitätstheorie 189

15 Anwendungen der ART
mit dΩ 2 = dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 . Für die allgemeine sphärisch-symmetrische Metrik in der
ART machen wir dann den Ansatz
ds 2 = a(r,t)dt 2 − b(r,t)dr 2 − c(r,t)drdt − d(r,t)dΩ 2 . (15.5)
Wir wollen eine statische Metrik annehmen, dann muss c(r,t) = 0 sein um Zeitumkehrinvarianz
zu gewährleisten und die anderen Funktionen sind zeitunabhängig.
Wir transformieren auf geeignete Koordinaten r → ˜r, so dass d(r,t) = ˜r 2 , wie bei gewöhnlichen
Kugelkoordinaten. Wir bezeichnen ˜r direkt wieder als r, dann haben wir
ds 2 = f(r)c 2 dt 2 − q(r)dr 2 − r 2 dΩ 2 , (15.6)
wobei f(r) und q(r) dimensionslos sind. Der metrische Tensor ist dann also
⎛
f(r) 0 0 0
⎜
gµν = ⎜ 0 −q(r) 0 0
⎝ 0 0 −r2 0
0 0 0 −r2 sin2 ⎞
⎟
⎠
ϑ
bzw. gµν ⎛ 1 0 0 0
f(r)
⎜
= ⎜ 0 −
⎝
1 0 0
q(r)
0 0 − 1
r2 0
0 0 0 − 1
r2 sin2 ⎞
⎟
⎠
ϑ
(15.7)
Für die so bestimmte Metrik ergeben sich die folgenden nichtverschwindenden Christoffelsymbole
Γ 0 01 = Γ 0 10 = 1
2 g00 (g01,0 + g00,1 − g01,0) = 1
Γ 1 00 = 1
2 g11 (g10,0 + g01,0 − g00,1) = 1
2q
∂f
∂r
2f
∂f
∂r
′ f
= , (15.8a)
2f
′ f
= , (15.8b)
2q
Γ 1 11 = 1
2 g11 (g11,1 + g11,1 − g11,1) = q′
, (15.8c)
2q
Γ 1 22 = 1
2 g11 (−g22,1) = 1
2q
Γ 1 33 = 1
2 g11 (−g33,1) = 1
Γ 2 21 = Γ 2 12 = 1
(−2r) = −r , (15.8d)
q
2q (−2r sin2 ϑ) = − r sin2 ϑ
,
q
(15.8e)
2 g22 (g22,1) = 1 1
(2r) = ,
2r2 r
2
(15.8f)
g33 1
(g33,1) =
,
r
(15.8g)
Γ 3 31 = Γ 3 13 = 1
2r2 sin2 ϑ (2r sin2 ϑ) = 1
Γ 3 32 = Γ 3 23 = cot ϑ, (15.8h)
Mit den Christoffelsymbolen lassen sich der Krümmungstensor und der Ricci-Tensor
190

15.1 Die Schwarzschild-Metrik
bestimmen. Da für die Feldgleichungen nur der Ricci-Tensor wichtig ist, geben wir nur
seine nichtverschwindenden Komponenten an:
R00 = 1 f
2
′′ 1 f
−
q 4
′ ′ f q′
+ +
q f q
1 f
r
′
, (15.9a)
q
R11 = − 1 f
2
′′ 1 f
+
f 4
′ ′ f q′
+ +
f f q
1 q
r
′
, (15.9b)
q
R22 = r
′ f q′
− +
2q f q
1
− 1, (15.9c)
q
15.1.3 Lösung der Feldgleichungen
R 33 = sin 2 ϑ · R22. (15.9d)
Setzt man die Ergebnisse für den Ricci-Tensor in die Gleichung Rµν = 0 ein, so erhält
man ein Differentialgleichungssystem:
f ′′ − 1
′
′ f q′
f + +
2 f q
2
r f ′ = 0, (15.10a)
f ′′ − 1
′
′ f q′
f + −
2 f q
2 q′
f = 0, (15.10b)
r q
′ r f q′
− +
2q f q
1
− 1 = 0. (15.10c)
q
Wir bilden die Differenz der Gleichungen (15.10a) und (15.10b) und erhalten
Dieses Ergebnis setzen wir in (15.10c) ein und erhalten
f ′
f
= −q′ . (15.11)
q
rq ′ − q + q 2 = 0, bzw. rq ′ = q − q 2 . (15.12)
Wir formen nochmals um und erhalten 1/r = q ′ /(q − q 2 ). Wir benutzen die Identität
q ′ = dq/dr, multiplizieren mit dr durch und integrieren:
ˆ ˆ
dr
= −
r
dq
.
q(q − 1)
(15.13)
Allgemeine Relativitätstheorie 191

15 Anwendungen der ART
Nach Ausführung der Integration haben wir dann
ln(r) = ln Aq
. (15.14)
q − 1
mit der Integrationskonstante A. Exponentieren auf beiden Seiten und Auflösen nach q
führt uns auf
q(r) = 1
1 − A
r
. (15.15)
Aus df/f = −dq/q aus Gleichung (15.11) folgt weiter ln(f) = − ln(q)+const = ln(1/q)+
const und daher
f(r) = C
= C 1 −
q(r) A
.
r
(15.16)
Die Bestimmung der Konstanten A und C erfolgt über die Betrachtung des nichtrelativistischen
Grenzfalls und des Grenzfalls r → ∞.
a) Bestimmung von C aus dem Übergang zur Minkowski-Raumzeit
Für r → ∞ soll gµν in den Minkowski-Raum übergehen, da im Unendlichen die Massenverteilung
keinen Einfluss mehr auf die Metrik haben sollte. Es folgt dann die Bedingung
Dann ist also f(r) = 1 − A/r.
lim
r→∞ f(r) ! = 1 und damit C = 1. (15.17)
b) Bestimmung von A aus dem Newtonschen Grenzfall
Im Newtonschen Grenzfall gilt g00 = 1 + 2φ/c 2 mit φ = −GM/r. Dies führt auf die
Bedingung
f(r) = 1 − A
r
!
= 1 − 2G M
c2r Dabei bezeichnet rS den Schwarzschild-Radius.
192
und damit A = 2G M
c 2 = rS. (15.18)
Damit ergibt sich schließlich die Schwarzschild-Metrik:
ds 2
= 1 − rS
c
r
2 dt 2 − dr2
1 − rS
r
mit dΩ 2 = dϑ 2 + sin 2 (ϑ)dϕ 2 .
− r 2 dΩ 2 , (15.19)

15.1.4 Folgerungen aus der Schwarzschild-Metrik
15.1 Die Schwarzschild-Metrik
Aus der Schwarzschild-Metrik lassen sich wichtige physikalische Konsequenzen ableiten
die sich in der Nähe einer sphärisch symmetrischen Massenverteilung ergeben.
a) Messung der Radialkoordinate
Zur Messung der Radialkoordinate r zu einem bestimmten Zeitpunkt t wollen wir annehmen,
dass gilt
dr = 0, dt = 0, dϑ = 0, dϕ = 0. (15.20)
D.h. wir betrachten alle Punkte mit einer festen Radialkoordinate, deren Wert wir allerdings
nicht kennen. Über die Kraft, die die Massenverteilung ausübt, können wir aber
erreichen, dass alle betrachteten Punkte die gleiche Radialkoordinate haben. Wir schreiben
dann
dsϕ = r sin ϑdϕ, dsϑ = rdϑ. (15.21)
Für ein Flächenelement gilt wie in gewöhnlichen Kugelkoordinaten
Integration liefert ‹
dF = dsϕdsϑ = r 2 sin ϑdϑdϕ. (15.22)
‹
dF =
dsϕdsϑ = 4πr 2 . (15.23)
Alternativ können wir auch eine Umfangsmessung durchführen, indem wir uns auf Punkte
mit ϑ = π
2 beschränken:
˛
dsϕ = rdϕ ⇔ dsϕ = 2πr. (15.24)
Über die Messung der Fläche oder des Umfanges kann man also die Radialkoordinate
bestimmen.
b) Abstand von Punkten mit unterschiedlicher Radialkoordinate
Nun wollen wir den Abstand von Punkten mit unterschiedlicher Radialkoordinate betrachten,
d.h. es soll gelten
dr = 0, dt = 0, dϑ = 0, dϕ = 0. (15.25)
Allgemeine Relativitätstheorie 193

15 Anwendungen der ART
Es folgt dann
1
dsr = dr ≥ dr. (15.26)
rS 1 − r
Der Abstand solcher Punkte ist entsprechend gegeben über
∆s =
ˆr2
r1
dsr > r2 − r1
(15.27)
und nicht über die Differenz der Radialkoordinaten. Wir werden im Folgenden Kapitel
Schwarze Löcher behandeln, d.h. Massenansammlungen mit einer Ausdehnung kleiner
als der Schwarzschildradius und dann sehen, dass sich bei r = rS ein Ereignishorizont
befindet. Für den Abstand zum Ereignishorizont ergibt sich
∆s = rS
r
rS
+ rS
2 ln
Damit erhalten wir die wichtige Aussage
2 r
− 1 + 2
rS
r
rS
r
rS
− 1
. (15.28)
Die Radialkoordinate r ist nicht der Abstand vom Zentrum der kugelsymmetrischen
Massenverteilung.
Abbildung 15.1 zeigt die Eigenradiallänge ∆s zum Ereignishorizont in Abhängigkeit von
der Radialkoordinate r entsprechend Gleichung (15.28), normiert bezüglich des Schwarzschildradiuses
rS.
c) Bedeutung der Koordinatenzeit t
Man kann noch eine weitere Folgerung aus der Schwarzschild-Lösung ziehen. Wir wollen
uns dazu mit der Bedeutung von t befassen. Es ist klar, dass dies die Laborzeit im Unendlichen
sein muss, da dort die Schwarzschild-Metrik in die Minkowski-Metrik übergeht.
Wir betrachten einen an einem festen Koordinatenpunkt ruhenden Beobachter, d.h. mit
Für ihn folgt:
194
ds 2 = c 2
dr = dΩ = 0. (15.29)
1 − rS
r
dt 2 =: c 2 dτ 2
(15.30)

∆s
3
2
1
0
Horizont
Photonenorbit
0 1 2
rS/r
15.1 Die Schwarzschild-Metrik
Abbildung 15.1: Eigenradiallänge ds zum Ereignishorizont eines Schwarzen
Loches in Abhängigkeit von der Radialkoordinate r, normiert bezüglich
des Schwarzschildradiuses rS. Zur Orientierung ist der Photonenorbit
r = 1,5rS eingezeichnet. Dort wird Licht bereits so stark abgelenkt, dass es
auf einer Kreisbahn um das Schwarze Loch läuft.
mit der Zeit τ im Ruhesystem des Experimentators.
Man sieht direkt, dass gilt
dτ = 1 − rS
dt < dt.
r
(15.31)
Diese Beziehung lässt einen revolutionären Schluss zu:
Eine ruhende Uhr in einem Schwerefeld geht langsamer als eine ruhende
Uhr ohne Anwesenheit eines Schwerefeldes.
15.1.5 Gravitationsrotverschiebung
Zur Zeitmessung benötigt man einen periodischen Vorgang. Ein solcher Vorgang ist
beispielsweise ein atomarer Übergang zwischen zwei Niveaus mit hν0 = h/T0, mit der
Periodendauer T0. Bei einem solchen Übergang wird vom Atom Licht emittiert, welches
im Schwerefeld durch die Zeitdehnung entsprechend Gleichung (15.31) rotverschoben
werden sollte. Wir betrachten ein Atom in Ruhe bei der Radialkoordinate r. Setzen
wir nun für das Eigenzeitintervall die Periode T0 eines solchen Übergangs in Gleichung
(15.31) ein, so erhält man:
∆t =
T0
1 − rS
r
= T (r) > T0. (15.32)
Allgemeine Relativitätstheorie 195

15 Anwendungen der ART
Dann folgt für die Frequenz des empfangen Lichtes:
ν(r) = 1
T (r) =
1 − rS 1
r
= 1 − rS
r ν0 < ν0. (15.33)
Setzt man nun noch für die Wellenlänge des emittierten Lichtes λ = c/ν ein, so ergibt
sich
1
λ(r) = λ0 > λ0. (15.34)
rS 1 − r
Diese Ungleichung drückt die Gravitationsrotverschiebung aus.
Zur Messung der Gravitationsrotverschiebung benötigt man zwei unterschiedliche Höhen,
bei denen die Frequenz eines Lichtsignals gemessen wird. Wir definieren r2 :=
r1 + h. Wählen wir nun h klein gegen r1, so können wir ohne großen Fehler eine Taylor-
Entwicklung um r1 vornehmen, die wir nach dem in h linearen Term abbrechen:
ν(r2) = ν(r1 + h) = ν(r1) + dν
dr (r1) · h + O(h 2 )
= 1 − rS
· ν0 −
r1
1 ν0rS
2 r2
1 1 − rS
· h.
r1
Dann ergibt sich für die Frequenzverschiebung:
∆ν = 1
2 ·
r 2 1 ·
Nimmt man für r1 den Erdradius an, so kann man den Term
T0
(15.35)
ν0 · rSh
1 − rS
. (15.36)
r1
1 − rS
r1
für den Schwarz-
schildradius rS gegenüber r1 im Wurzelausdruck vernachlässigen. Es ergibt sich dann die
Abschätzung:
∆ν ≈ 1 ν0 · rS
2 r2 · h. (15.37)
1
Für die Erde gilt: rS = 9 mm, r1 = R = 6350 km , r2 = R + h, h = 30 m, womit wir die
Abschätzung
∆ν = rS h ∼ −15
= 3 · 10 (15.38)
2r1 r1
bekommen. Die Frequenzverschiebung wurde mit Hilfe der Mössbauer-Spektroskopie1
an 57Fe nachgewiesen. Der Mößbauer-Effekt erlaubt Messungen an Kernübergängen
1 Mößbauer, Rudolf, 1929- . Deutscher Physiker. Nobelpreis 1961 für den nach ihm benannten Effekt.
196

15.1 Die Schwarzschild-Metrik
mit einer Genauigkeit im Bereich der natürlichen Linienbreite des Übergangs in der
Größenordnung von z ∼ 10 −15 . Dabei ist die Rotverschiebung z definiert über
z = ∆λ
. (15.39)
λ
Abbildung 15.2 zeigt skizzenhaft den Aufbau eines Experimentes zur Messung der Gravitationsrotverschiebung.
Eine angeregte Probe 57Fe emittiert γ-Strahlung mit E =
14,4 keV. Eine um die Strecke h höher gelegene Probe 57Fe kann die γ-Strahlung aufgrund
der Rotverschiebung nicht resonant absorbieren. Durch Bewegen der Probe und den dadurch
auftretenden Dopplereffekt kann die Rotverschiebung kompensiert und über die
nötige Geschwindigkeit vR bestimmt werden. Pound und Rebka [14] erhielten 1960 mit
h = 22.6 m in ihren Messungen einen Wert von z = (2,57 ± 0,26) · 10−15 , bzw. ein
Verhältnis
∆νexp
∆νtheo
= 1,05 ± 0,10. (15.40)
Der Wert liegt also durchaus innerhalb der Fehlergrenzen. Eine genauere Messung von
Pond und Snider 1965 [15] lieferte sogar
15.1.6 Periheldrehung
∆νexp
∆νtheo
= 0,9990 ± 0,0076. (15.41)
In der Newtonschen Mechanik sind die Bahnen von Teilchen im Zentralgravitationspotential
φ(r) = −GM/r Kegelschnitte, also z.B. Keplerellipsen. In diesem Abschnitt
untersuchen wir, wie sich der Bahnverlauf in der ART ändert.
a) Aufstellen der Bewegungsgleichungen
Eine Möglichkeit für diese Untersuchung wäre die Lösung der Geodätengleichungen für
die Schwarzschild-Metrik. Wir untersuchen hier stattdessen die Bewegungsgleichungen
mit Hilfe der Lagrangefunktion L = gµν dx
2
µ dx
dτ
ν
dτ .
Für eine Bewegung in der Äquatorebene bei θ = π/2 mit dϑ = 0 erhalten wir
L = 1
1 −
2
rS
c
r
2
2 dt
−
dτ
1
1 − rS
2 dr
− r
dτ r
2
2
dϕ
= L(r,˙t, ˙r, ˙ϕ), (15.42)
dτ
wobei wir im zweiten Schritt nach τ abgeleitete Größen mit einem Punkt kennzeichnen:
˙q = dq/dτ. Wir sehen, dass die Lagrangefunktion nicht von den Koordinaten t und ϕ
Allgemeine Relativitätstheorie 197

15 Anwendungen der ART
198
Counts
vR
v
h
Detektor
57 Fe
γ
57 Fe ∗
Abbildung 15.2: Nachweis der gravitativen Rotverschiebung: Eine angeregte
Probe 57 Fe emittiert γ-Strahlung mit E = 14,4 keV. Eine um die Strecke
h höher gelegene Probe 57 Fe kann die γ-Strahlung aufgrund der Rotverschiebung
zuerst kaum absorbieren. Durch Bewegen der Probe und den dadurch
auftretenden Dopplereffekt kann die Rotverschiebung bei einer bestimmten
Geschwindigkeit vR kompensiert und über den Wert von vR bestimmt werden.
v

15.1 Die Schwarzschild-Metrik
abhängt 2 und diese also zyklisch sind. Entsprechend muss es zwei Erhaltungssätze geben.
Zum einen der Energiesatz
1 ∂L
c ∂ ˙t =
zum anderen der Drehimpulssatz
∂L
∂ ˙ϕ
Als dritte Gleichung ergibt sich
2 ds
=
dτ
1 − rS
r
2
c 2
1 − rS
r
= r2 dϕ
dτ
c dt
dτ
2 dt
−
dτ
1
1 − rS
r
= A = const, (15.43)
= B = const. (15.44)
2 dr
− r
dτ
2
2 dϕ
= c
dτ
2 , (15.45)
wobei das letzte Gleichheitszeichen wegen ds = cdτ für Masseteilchen gilt.
b) Lösung der Bewegungsgleichungen
Wir suchen die Bahnkurve r(ϕ). Dazu führen wir in einem ersten Schritt die Substitutionen
r = 1
u ,
dϕ
dτ = Bu2 , c dt
dτ =
A
1 − rSu und
dr du
= −B
dτ dϕ
(15.46)
durch. Der Ausdruck für dr/dτ ergibt sich aus
dr
dτ
d 1
=
dτ u
1
= −
u2 du
dτ
B du
= − dϕ dτ
dτ
du
= −B . (15.47)
dϕ
Einsetzen der Gleichungen (15.43), (15.44) und (15.47) in (15.45) führt mit der Notation
q ′ = dq/dϕ auf
A 2 − B 2 u ′2 − B 2 u 2 (1 − rSu) = c 2 (1 − rSu). (15.48)
Eine weitere Ableitung nach ϕ ergibt
−2B 2 u ′ u ′′ − 2B 2 uu ′ + 3B 2 rSu 2 u ′ = −c 2 rSu ′ . (15.49)
2 Da wir ϑ = const gewählt haben, hängt L davon natürlich in jedem Fall nicht ab.
Allgemeine Relativitätstheorie 199

15 Anwendungen der ART
Schließlich multiplizieren wir mit (−2B 2 u ′ ) −1 und erhalten
u ′′ + u ′ = c2 rS
2B
3 2
+ rSu 2
2
K
= G M 3
+
B2 2 GM
c2 u2 . (15.50)
Der mit K bezeichnete Term ist dabei eine Erweiterung im Vergleich zur Newtonschen
Mechanik.
Behandlung mit klassischer Störungstheorie Für Planetenbewegungen gilt
rSu = rS
r
≪ 1, (15.51)
der Term 3
2 rSu 2 kann daher als kleine Störung behandelt werden um dann eine Lösung
mit Hilfe der klassischen Störungstheorie zu berechnen. Dazu betrachten wir zuerst die
Lösung u0(ϕ) der Gleichung
2B2 (15.52)
der Newtonschen Mechanik ohne den Zusatzterm der ART. Die Lösung ergibt sich zu
u ′′
0 + u0 = c2 rS
u0(ϕ) = c2rS (1 + ε cos ϕ) (15.53)
2B2 und beschreibt wie bereits erwähnt Kegelschnitte. Der Vorfaktor lässt sich auch ausdrücken
über
c2rS 1
=
2B2 a (1 − ε2 .
)
(15.54)
mit der großen Halbachse a und der Exzentrizität ε. Für Ellipsen gilt 0 ≤ ε < 1, siehe
(Abb. 15.3). Eine bessere Lösung u1(ϕ) erhalten wir dann durch Einsetzen von u0 in den
Störterm und Lösen der resultierenden Gleichung. Diese lautet
u ′′
1 + u1 ≈ c2 rS
3
+
2B2 Die Lösung dieser Gleichung ist
200
u1(ϕ) = u0(ϕ) + 3c4 r 3 S
8B 4
2 rSu 2 0 ≈ c2rS 2B2 + 3c4r3 S
8B4 ⎧
⎪⎨
1 + εϕ sin ϕ +
⎪⎩
A
ε2
2
1 + 2ε cos ϕ + ε 2 cos 2 ϕ . (15.55)
1 − 1
3 cos(2ϕ)
⎫
⎪⎬
. (15.56)
⎪⎭

f2
b
c
a
f1
15.1 Die Schwarzschild-Metrik
Abbildung 15.3: Kenngrößen einer Ellipse: Große und kleine Halbachse a
und b, sowie der Abstand c der Brennpunkte vom Mittelpunkt.
Der mit A bezeichnete Term ist proportional zu ϕ und wächst daher bei vielen Umdrehungen
an. Die anderen Zusatzterme sind dagegen vernachlässigbar. Wir setzen den
Ausdruck für u0(ϕ) ein und erhalten dann
u1(ϕ) ≈ c2 rS
2B 2
≈ c2 rS
2B 2
1 + ε cos ϕ + ε 3c2
rS
ϕ sin ϕ + . . .
4B2
1 + ε cos
ϕ ,
1 − 3c2 rS
4B 2
(15.57)
wobei trigonometrische Additionstheoreme verwendet wurden. Wir betrachten das Argument
des Cosinus. Dieses wird gleich 2π, für
ϕ = 2π 1 + 3c2r3 S
4B2
. (15.58)
Daraus ergibt sich der Winkel der Periheldrehung für nichtrelativistische Geschwindigkeiten
zu
∆ϕ = 3π c2 r 2 S
2B
rS
= 3π 2 a(1 − ε2 . (15.59)
)
Nur das reine Coulomb-Potential −1/r führt also nichtrelativistisch auf geschlossene,
periodische Bahnen; jede Störung führt zu einer Präzession der Ellipse und zu Rosettenbahnen.
Die Störung durch die Wechselwirkung mit den anderen Planeten war im
19. Jahrhundert bereits quantitativ bekannt. Für Merkur beträgt sie 531,5 ± 0.3 ′′ pro
Jahrhundert. Langjährige Beobachtungen lieferten aber 574.3 ± 0.4 ′′ . Die Differenz von
Allgemeine Relativitätstheorie 201

15 Anwendungen der ART
Abbildung 15.4: Effekt der Periheldrehung: Durch die Abweichung vom
1/r-Potential ist die Bahnkurve des Planeten nicht geschlossen. Die Punkte
Pi sind die aufeinander folgenden sonnennächsten Punkte (Perihel), die
Punkte Ai die sonnenfernsten (Aphel).
42.7 ± 0.5 ′′ war trotz verschiedener Erklärungsversuche nicht befriedigend zu erklären. 3
Es gilt also
∆ϕ ∼ Schwarzschild-Radius
. (15.60)
Bahn-Radius
In Abb. 15.4 ist der Effekt der Periheldrehung skizziert. Pi bezeichnen die sonnennächsten
(Perihel) und Ai die sonnenfernsten (Aphel) Punkte der Bahn. Wegen der reziproken
Abhängigkeit vom Bahnradius kann bei Merkur die stärkste Periheldrehung erwartet
werden. Für ihn gilt
aMerkur = 57,91 × 10 6 km = 0,387 AE und aMerkur = 0,206, (15.61)
zum Vergleich lauten die Werte für die Erde aErde = 149,6 × 106km und εErde = 0,0167.
Die allgemein-relativistische Perihelbewegung des Merkur pro Jahrhundert beträgt
= 43.03“, (15.62)
∆ϕMerkur
100 Jahre
für Venus dagegen 8.6 ′′ und für die Erde nur 3.8 ′′ .
3 Z.B. postulierte der Astronom Urbain Le Verrier 1859 den Planeten Vulkan innerhalb der Merkur-
Bahn, der für die Abweichung verantwortlich sein sollte.
202

15.1 Die Schwarzschild-Metrik
Die Erklärung der Differenz von beobachteter und mit der Newtonschen Theorie vorhergesagten
Periheldrehung durch Einstein war der erste große Triumph der Allgemeinen
Relativitätstheorie. 4 Einstein schrieb in einem Brief an Paul Ehrenfest 5 :
“Ich war einige Tage fassungslos vor freudiger Erregung.”
15.1.7 Lichtablenkung im Gravitationsfeld
In diesem Abschnitt diskutieren wir die Lichtablenkung im Gravitationsfeld. Dazu gehen
wir zuerst analog zur Periheldrehung vor und dann mit Hilfe einer anderen Form der
Schwarzschild-Metrik.
Untersuchung analog zur Periheldrehung Zur Untersuchung der Lichtablenkung im
Gravitationsfeld benutzen wir den zu Gleichung (15.45) äquivalenten Zusammenhang 6
ds 2
= 1 − rS
2 c
r
2 dt 2 − dr2
1 − rS
r
− r 2 dϕ 2 = 0, (15.63)
wegen der Bedingung ds 2 = 0 für Photonen. Die weitere Behandlung ist analog zur
Betrachtung der Periheldrehung und führt auf die Differentialgleichung
und
A 2 − B 2 u ′2 − B 2 u 2 (1 − rSu) = 0. (15.64)
u ′′ + u = 3
2 rSu 2 , (15.65)
mit der kleinen Störung 3
2 rSu 2 . Wieder benutzen wir die klassische Störungstheorie und
lösen zuerst die Gleichung
ohne Störungsterm. Dies führt auf
u ′′
0 + u0 = 0 (15.66)
u0(ϕ) = 1
R
sin ϕ, bzw. r(ϕ) = , (15.67)
R sin ϕ
4 Als Einstein seine Berechnungen durchführte, war die Schwarzschild-Metrik noch nicht gefunden.
Einstein verwendete daher auch für die Metrik eine Näherung für schwache Felder.
5 Paul Ehrenfest, 1880-1933. Österreichischer Physiker, vor allem bekannt durch das Ehrenfest-Theorem.
6 Für Licht kann keine Eigenzeit definiert werden, daher verwendet man i.A. den affinen Parameter λ.
Wir haben dieses Notationsproblem durch Multiplikation mit dτ umgangen.
Allgemeine Relativitätstheorie 203

15 Anwendungen der ART
R
ϕ
r
Abbildung 15.5: Zur Lichtablenkung im Schwerefeld: Eine in der θ =
π/2-Ebene laufende Gerade wird in sphärischen Polarkoordinaten durch die
Gleichung r(ϕ) = R/ sin(ϕ) beschrieben.
also eine Gerade, wobei R den minimalen Abstand zum Zentrum bedeutet, siehe Abbildung
15.5 Einsetzen von u0 in den Störungsterm führt auf die Gleichung
mit der Lösung
R = r sin ϕ
u ′′
1 + u1 = 3rS
2R 2 sin2 ϕ (15.68)
u1(ϕ) = 1 3rS
sin ϕ +
R 4R2
1 + 1
3 cos(2ϕ)
. (15.69)
Asymptotisch gilt u = 0 für r → ∞, d.h. für einen aus dem Unendlichen kommenden
Lichtstrahl gilt
1 3rS
sin ϕ +
R 4R2
1 + 1
3 cos(2ϕ)
= 0. (15.70)
Für ϕ ≈ 0 gilt dann
Die Gesamtablenkung ist dann
ϕ 3rS
+
R 4R2
1 + 1
3
α = |2ϕ∞| = 2 rS
R
= 0, d.h. ϕ∞ ≈ − rS
. (15.71)
R
M
= 4G
c2 . (15.72)
R
Resultat in Newtonscher Theorie Man kann für die Lichtablenkung auch in Newtonscher
Theorie einen Wert berechnen, wenn man Licht als impulsbehaftetes Teilchen
204

15.1 Die Schwarzschild-Metrik
betrachtet, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Analog zu(15.53) haben wir dann
1
r(ϕ) = u(ϕ) = c2rS (1 + ε sin ϕ). (15.73)
2B2 wegen rdϕ/dt = c für Photonen bei ϑ = π/2 gilt
2 dϕ Rdϕ
B = r = R = Rc. (15.74)
dt dt
Einsetzen in (15.73) liefert R −1 = rS/(2R 2 ) (1 + ε) bei ϕ = π/2. Aufgelöst nach ε erhält
man
ε = 2 R
wegen R ≫ rS. Für r → ∞ in (15.73) ergibt sich
rS
− 1 ≈ 2 R
, (15.75)
rS
0 = rS
2R 2 (1 + ε sin ϕ∞) (15.76)
und damit für ε ≫ 1, was aus (15.75) ersichtlich ist, schließlich
ϕ∞ = − 1
ε
Die Gesamtablenkung nach dieser Rechnung ist also
rS
= − . (15.77)
2R
αNewton = 2|ϕ∞| = rS
, (15.78)
R
d.h. der halbe Wert der allgemein-relativistischen Rechnung.
Die isotrope Schwarzschild-Metrik Ein alternativer Weg für die quantitative Untersuchung
der Lichtablenkung im Gravitationsfeld führt über die isotrope Schwarzschild-Metrik.
Um diese einzuführen definieren wir die neue Radialkoordinate ¯r über
r = 1 + rS
2 r. (15.79)
4r
Dann folgt für das Quadrat des infinitesimalen Raum-Zeit-Elementes:
(ds) 2 rS 1 − 4r =
1 + rS
2 (d(ct))
4r
2
− 1 + rS
4 dx
4r
2 mit
⎛
r sin ϑ cos ϕ
x = ⎝ r sin ϑ sin ϕ
r cos ϑ
⎞
⎠ . (15.80)
Allgemeine Relativitätstheorie 205

15 Anwendungen der ART
In der SRT ist die Lichtausbreitung charakterisiert durch (ds) 2 = 0. Dies ist die Gleichung
der „Nullgeodäten”. Wegen des Äuivalenzprinzips gilt dies dann auch in der ART
mit der jeweils zutreffenden Metrik. Es folgt dann
Weiter ergibt sich
dx
dt =
rS 1 − 4r
1 + rS
2 c
4r
2 (dt) 2
=
1 + rS
4r
4
(dx) 2 . (15.81)
1 − rS
r
1 + rS
· c ≈ 1 −
r
rS
c = vLicht < c. (15.82)
r
Das Licht in der Schwarzschild-Metrik hat also eine geringere Geschwindigkeit, als die
Lichtgeschwindigkeit in der Minkowski-Metrik 7 . Formal können wir diesem Sachverhalt
durch die Einführung eines ortsabhängigen Brechungsindex Rechnung tragen:
c
vLicht
= n ≈ 1 + rS
. (15.83)
r
Licht wird im Gravitationsfeld also „gebeugt”. Aus der geometrischen Optik ist uns die
Eikonal-Gleichung bekannt:
d
(ns0) = ∇n. (15.84)
ds0
Wobei s0 der Tangentialvektor an die Bahnkurve des Lichtes ist (Abb. 15.6). Bezeichnet
man α als den Krümmungswinkel und R als den „Stoßparameter“ des Lichtes relativ zu
einem Streuer (eben ein Gravitationsfeld), so folgt nach kurzer Rechnung wiederum
Für die Sonne ist R = R⊙ = 7 · 10 5 km, rS = 3 km und daher
α = 2rS
. (15.85)
R
α⊙ ≈ 1.75 ′′ . (15.86)
Sterne, die am Himmel der Sonne sehr nahe stehen, erscheinen aufgrund der Lichtablenkung
etwas weiter von der Sonne entfernt, als ihre tatsächliche Position (Abb. 15.7).
7 Bei dieser Aussage bezieht man sich auf eine globale Eigenschaft, etwa die Messung der Laufzeit des
Lichts bis zu einem anderen Planeten. Es ist wichtig, dass jeder Beobachter stets lokal die Lichtgeschwindigkeit
c misst!
206

s0
α
r
s0
15.1 Die Schwarzschild-Metrik
Abbildung 15.6: Die Wirkung von Massen kann beschrieben werden als
scheinbarer ortsabhängiger Brechungsindex der Raumzeit. Die Änderung des
Tangentialvektors s0 ist durch die Eikonal-Gleichung gegeben.
Da diese Sterne aber normalerweise von der Sonne überstrahlt werden, ist dieser Effekt
nicht sichtbar. Wird während einer Sonnenfinsternis die Sonne verdeckt, so kann die
scheinbare Positionsveränderung dieser Sterne bestimmt werden.
Durch Messungen während der Sonnenfinsternis am 29 Mai 1919 konnte von A. Eddington
die Lichtablenkung erstmals nachgewiesen werden und die Newtonsche Vorhersage
ausgeschlossen werden. [16]8 Die Bekanntgabe dieser Resultate erfolgte am 6.11.1919 in
einer eigens dafür einberufenen Sitzung der Royal Astronomical Society in London und
machte Einstein auch außerhalb der Physik weltberühmt. So schrieb etwa die New York
Times am 9.11.1919:
“Lights all askew in the Heavens - Men of science more or less agog over results of
eclipse observations - Einstein Theory triumphs.”
Der Effekt der Lichtablenkung wird auch als Gravitationslinseneffekt bezeichnet,
da das massive Objekt, in diesem Fall die Sonne ähnlich wie eine Linse wirkt. Es
besteht allerdings ein wichtiger Unterschied: Bei einer Linse wird das Licht umso stärker
8 Heutzutage gibt es Zweifel daran, ob mit Eddington’s Versuchsanordnung dieser Nachweis überhaupt
möglich war und er nicht bei ihm auftretende systematische Fehler weit unterschätzte.
Allgemeine Relativitätstheorie 207

15 Anwendungen der ART
Abbildung 15.7: Während einer Sonnenfinsternis erscheinen Sterne, die am
Himmel der Sonne nah sind, aufgrund der Lichtablenkung scheinbar weiter
entfernt von der Sonne (rot) als ihre tatsächliche Position ist (orange).
abgelenkt, je weiter es vom Mittelpunkt der Linse entfernt auf sie auftrifft. Die Lichtablenkung
im Gravitationsfeld dagegen wird dann immer kleiner. Eine “Gravitationslinse“
hat daher keinen Brennpunkt.
Eine sehr gute und leicht verständliche Abhandlung über die Lichtablenkung im Schwerefeld
auch unter einem geschichtlichen Aspekt findet sich in. [17]
Lichtablenkung außerhalb des Sonnensystems Mit den leistungsfähigsten Teleskopen
ist es heutzutage möglich, diesen Effekt auch außerhalb des Sonnensystems zu beobachten.
Läuft etwa Licht einer weit entfernten Galaxie an einem sehr massiven Objekt,
etwa einem Galaxiehaufen vorbei, bevor es die Erde erreicht, so tritt hier wiederum eine
Lichtablenkung auf. Durch die viel größeren Massen kann die Lichtablenkung hier
noch deutlich größer sein. Licht, das vom selben Gebiet der beobachteten Galaxie in
verschiedene Richtungen ausgesandt wurde, kann so abgelenkt werden, dass es bei uns
aus verschiedenen Richtungen ankommt. Das betrachtete Objekt erscheint uns dann
ringförmig verzerrt. Man spricht dann von einem Einstein-Ring.
Durch quantitative Messungen dieses Effektes kann dann wiederum Rückschluss auf die
Masse des ablenkenden Objektes gezogen werden. Durch Vergleich mit Berechnungen
anhand der sichtbaren Masse in diesem Objekt zeigt sich, dass viel mehr Masse für
die beobachtete Lichtablenkung nötig ist, als sichtbar ist. Dies ist einer der aktuellen
Hinweise auf Dunkle Materie.
Visualisierung von Einstein-Ringen Einstein-Ringe sind, wie viele andere Phänomene,
die die ART voraussagt, nur schwer vorstellbar. Man kann sich anhand von Skizzen
zwar einigermaßen klarmachen, wie die Ringstrukturen zustande kommen (Abb. 15.8),
aber eine Vorstellung vom exakten Aussehen dieses Effektes kann dadurch nicht geliefert
208

Beobachter
Lichtstrahl
Schwarzes Loch
Objekt
Einstein-Ring
15.1 Die Schwarzschild-Metrik
Abbildung 15.8: Ein Schwarzes Loch, bzw. ein anderes sehr massives Objekt,
lenkt Lichtstrahlen von dahinter befindlichen Objekten extrem ab. Aus
Symmetriegründen erscheint das Objekt dem Beobachter als Ring um das
Schwarze Loch. Das Bild stammt aus der Doktorarbeit von F. Grave. [18]
werden.
Mit Hilfe moderner Computer ist es möglich, Einstein-Ringe physikalisch korrekt zu simulieren.
Am stärksten ausgeprägt ist dieser Effekt natürlich in der Nähe von Schwarzen
Löchern, denn dort sind relativistische Effekte am stärksten. Durch die hohe Symmetrie
der Schwarzschild-Metrik erscheint dort der Ring perfekt kreisförmig. Abbildung 15.9
zeigt ein Bild der Milchstraße im flachen Raum im Vergleich mit der selben Situation,
wenn sich ein Schwarzes Loch zwischen der Milchstraße und dem Beobachter befindet. [19]
15.1.8 Laufzeitverzögerung
Aus der Krümmung der Bahn des Lichtes folgt, dass eine Zeitverzögerung für von den
Planeten Merkur und Venus reflektierte Radiowellen bei Konjunktion von Erde, Sonne
und jeweiligem Planet vorliegen muss, denn wegen des Gravitationseffektes läuft das
Signal nicht auf direktem Wege hin und her, sondern auf einer gekrümmten Bahn (Abb.
15.10). Wiederum kann auch im Rahmen der Newtonschen Theorie für ein sich mit
Lichtgeschwindigkeit bewegendes, impulsbehaftetes Teilchen eine Laufzeitverzögerung
Allgemeine Relativitätstheorie 209

15 Anwendungen der ART
(a) (b)
Abbildung 15.9: Visualisierung von Einstein-Ringen. Abbildung a): Bild
der Milchstraße im flachen Raum. Abbildung b): Bild der Milchstraße mit
Schwarzem Loch im Vordergrund. Durch die starke Lichtablenkung erscheinen
Teile der Milchstraße als Einstein-Ring um den dunklen Bereich, aus
dem kein Licht den Beobachter erreicht. Das Bild stammt aus der Doktorarbeit
von F. Grave. [18]
berechnet werden. Die Ergebnisse der Rechnungen lassen sich zusammenfassen zu
∆t = (1 + γ) rS
c ln
4r1r2
b2
, (15.87)
mit den Distanzen r1 und r2 von Erde und jeweiligem Objekt und dem Stoßparameter b.
Die allgemein-relativistische Rechnung führt auf γ = 1, die Newtonsche auf γ = 0, also
wieder der halbe Effekt wie bei der Lichtablenkung.
Zusätzlich zur Laufzeitverzögerung tritt auch noch eine Dopplerverschiebung des Signals
auf:
ygr = ∆ν d∆t
1 db
= = −2(1 + γ)rS . (15.88)
ν dt c b dt
Im Fall ① in Abbildung 15.10 ist die Laufzeit des Radarsignals wegen des Brechungsindexeffektes
größer als nach der Newtonschen Theorie für die Venus. Es ergibt sich
etwa
∆t = 240µs bzw. ∆t · c = 36 km. (15.89)
In einem Experiment 1968 konnte I.I. Shapiro [20] diese Laufzeitverzögerung bis auf 3%
bestätigen (d.h. Bestimmung des Abstandes Erde-Venus auf 1 km).
210

15.1 Die Schwarzschild-Metrik
Abbildung 15.10: Laufzeitverzögerung des Lichts: Durch die Lichtablenkung
durch die Sonne ist in Konstellation ① die Lichtlaufzeit größer als durch
die Newtonsche Theorie vorhergesagt. In Konstellation ② ist die Abweichung
der Lichtlaufzeit gering.
Neue Messung mit Hilfe der Cassini-Raumsonde Mit Hilfe der Cassini-Raumsonde
konnte 2002, als sich die Sonde in Sonnenkonjunktion befand eine deutlich genauere
Messung vorgenommen werden. [21] Die Messungen führten auf
γ = 1 + (2,1 ± 2,3) × 10 −5 . (15.90)
Auf ihrem Weg zum Saturn befand sich die Sonde um den 6. und 7. Juli 2002 herum
in Konjunktion zur Sonne, d.h. in maximaler Entfernung zur Erde hinter der Sonne,
allerdings nicht exakt in der Erdebene, sodass sie nicht von der Sonne verdeckt war.
Da im Gegensatz zur Messung mit Hilfe der Venus in diesem Fall das Signal nicht
einfach reflektiert, sondern von der Sonde empfangen und analysiert und aktiv ein Signal
zurückgeschickt werden konnte, war es möglich in diesem Fall die Größe ygr sehr genau
zu messen und eine viel höhere Präzision zu erreichen.
15.1.9 Global Positioning System
Für den Betrieb des Global Positioning System (GPS) sind sowohl speziell- als allgemeinrelativistische
Effekte sehr wichtig weshalb wir hier kurz darauf eingehen wollen. GPS
besteht aus 24 Satelliten, die auf 6 Bahnen mit jeweils 4 Satelliten kreisen 9 (Abb. 15.11).
Die Satelliten befinden sich in einer Höhe von etwa 20200 km über der Erdoberfläche und
umkreisen die Erde zweimal pro Tag. Aufgrund der wegen der großen Entfernung zur
Erde schwächeren Gravitation gehen die Uhren der Satelliten pro Tag etwa um 45 µs vor.
Wegen der Bahngeschwindigkeit von etwa 3 − 4 km/s allerdings gehen sie um etwa 7 µs
nach. In der Summe ergibt sich eine Zeitdifferenz von 38 µs. Da GPS die Positionen des
9 Im realen Betrieb sind es u.a. aus Reservegründen etwas mehr Satelliten.
Allgemeine Relativitätstheorie 211

15 Anwendungen der ART
ϕ
Abbildung 15.11: Aufbau von GPS: Auf 6 Bahnen laufen jeweils 4 Satelliten,
insgesamt also 24 Stück. Alle Bahnen sind um ϑ = 55° gegen den
Äquator gekippt und gegeneinander um ϕ = 60° verdreht. Im Bild sind
wegen Positionsüberschneidungen nur 18 Satelliten gezeigt.
Nutzers über Lichtsignale bestimmt, würde dies auf einen Fehler von etwa
38 µs × 299792458 m/s = 11,4 km (15.91)
pro Tag führen! Es ist daher unumgänglich, dass bei der Positionsbestimmung mit GPS
relativistische Effekte mitberücksichtigt werden.
15.2 Gravitationskollaps und schwarze Löcher
In diesem Abschnitt befassen wir uns nochmals näher mit der Schwarzschild-Metrik in
Gleichung (15.19). Die Stelle r = rS ist problematisch, denn dort gilt, wie man sofort sieht
g00 = 0 und g11 → −∞. Wir betrachten im Folgenden eine zeitartige, radiale Geodäte der
Schwarzschild-Metrik, d.h. entsprechend Gleichung (15.45), jedoch mit dΩ = 0. Dann
gilt wegen ds 2 = c 2 dτ 2
212
L t, ˙t, r, ˙r
= 1 − rS
c
r
2
2 dt
−
dτ
1
1 − rS
r
ϑ
2 dr
= c
dτ
2 . (15.92)

15.2 Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Dabei bezeichnet ein Punkt die Ableitung bezüglich τ. Die Koordinatenzeit t tritt in
diesem Ausdruck nicht auf, ist also eine zyklische Koordinate und
1 ∂L
2c
t, ˙t, r, ˙r
= 1 −
∂ ˙t
rS
c
r
dt
= C = const. (15.93)
dτ
Die Konstante 1/(2c) haben wir dabei so gewählt, dass wir diesen Ausdruck gleich geschickt
verwenden können. Eine kleine Umformung von Gleichung (15.92) führt dann
nämlich auf C 2 − (dr/dτ) 2 = c 2 (1 − rS/r), bzw.
und
dr
dτ
= ±
dt
dτ
C 2 − c 2
C
=
c
1 − rS
r
1 − rS
r
(15.94a)
−1
. (15.94b)
Wir nehmen nun an, die Ausdehnung der Masse M, welche die Schwarzschild-Metrik
erzeugt, sei kleiner als der Schwarzschild-Radius, d.h. es soll sich um ein Schwarzes Loch
handeln.
15.2.1 Freier Fall auf ein Schwarzes Loch
In diesem Abschnitt wollen wir den freien Fall eines Teilchens in ein Schwarzes Loch
untersuchen. Dabei interessieren uns besonders die unterschiedlichen Beobachtungen,
eines mit dem Teilchen mitfallenden und eins weit entfernten Beobachters. In beiden
Fällen soll das Teilchen bei r = R > rS starten.
a) Betrachtung für mitfallenden Beobachter
Für die Eigenzeit eines mitbewegten Beobachters folgt mit Gleichung (15.94a)
τ(r) = −
ˆ r
R
dr ′
C 2 − c 2 1 − rS
r ′
. (15.95)
Einsetzen der Anfangsbedingung r = R und (dr/dτ)|r=R = 0 in Gleichung (15.92) führt
auf
1 − rS
c
R
2
2 dt
= c
dτ
2 bzw.
dt
dτ =
1
. rS 1 − R
(15.96)
Allgemeine Relativitätstheorie 213

15 Anwendungen der ART
Zusammen mit Gleichung (15.93) kann damit die Konstante C bestimmt werden zu
C = c 1 − rS
. (15.97)
R
Einsetzen dieses Wertes in Gleichung (15.95) führt uns auf den Ausdruck
τ(r) = 1
ˆ R
c r
1 − rS
R
dr ′
− 1 − rS
r ′
ˆ R
1
=
c r
dr ′
rS
r ′ − rS
R
(15.98)
für die vergangene Eigenzeit beim Fall bis zur Radialkoordinate r. Wir verwenden zur
Lösung die Substitution r ′ = R sin 2 x, dr ′ = 2R sin x cos x dx und erhalten
τ(r) = 2 R
R
c rS
ˆ π
2
sin 2 x dx = R
R r
2
2c R
arcsin √ r
R
rS
r2
− + arccos 2
R2 r
− 1
R
. (15.99)
Bei r = R gilt τ(R) = 0. Wir setzen nun r = rS in (15.99) und erhalten als Fallzeit bis
zum Ereignishorizont
τ(rS) = R
R rS
2
2c rS R − r2
S
+ arccos 2
R2 rS
− 1
R
. (15.100)
Das Teilchen erreicht also nach endlicher Eigenzeit den Schwarzschild-Radius. Weiter
gilt für r = 0 wegen arccos(−1) = π:
τ(0) = π
2
R R
. (15.101)
c rS
Das Teilchen erreicht also auch nach endlicher Eigenzeit das Zentrum des Schwarzen
Loches. Wir führen an dieser Stelle die Zykloidenkoordinate η über
r = R
(1 + cos η) (15.102)
2
ein. Dann gilt r(η = 0) = R und r(η = π) = 0 und wir erhalten den einfachen Ausdruck
τ(η) = R
R
(η + sin η) . (15.103)
2c rS
214

15.2 Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Diese Funktion ist für η ∈ [0,π] stetig. Das Teilchen passiert in seinem Ruhesystem
demnach den Schwarzschild-Radius ohne auf eine Singularität zu stoßen.
b) Betrachtung für einen weit entfernten Beobachter
Um auszuwerten, was ein weit entfernter Beobachter sieht, betrachten wir den Ausdruck
t(r) = 1 − rS
ˆ R
1
1 −
R c r
rS
r ′
−1 dr ′
rS
r ′ − rS
(15.104)
R
für die vergangene Koordinatenzeit beim Fall bis zur Radialkoordinate r. Dabei haben
wir den Zusammenhang zwischen dt und dτ in (15.94b) zusammen mit dem Ausdruck
für C aus Gleichung (15.97) benutzt um von τ(r) auf t(r) zu kommen.
Wir sehen sofort, dass der Faktor (1 − rS/r ′ ) −1 bei r ′ = rS singulär wird. Zur genauen
Auswertung des Integrals verwenden wir wieder die Zykloidenkoordinate und erhalten
nach Integration
t(η) = rS
c
⎧
⎨
⎩ ln
⎡
⎣
R
rS
R
rS
− 1 + tan η
2
− 1 − tan η
2
⎤
⎦ +
R
rS
− 1 η + R
(η + sin η)
2rS
⎫ ⎬
. (15.105)
⎭
Dieser Ausdruck divergiert, wenn das Argument des Logarithmus divergiert, also wenn
R
− 1 = tan η
(15.106)
2
rS
ist. Diese Bedingung kann umgeschrieben werden zu (R/rS −1) = (1−cos η)/(1+cos η),
bzw.
cos η = 2 rS
− 1. (15.107)
R
Wenn wir diesen Ausdruck jetzt wieder in (15.102) einsetzen, so ergibt sich
D.h. für r → rS gilt t → ∞.
c) Konsequenzen
r = R
2 (1 + cos η) = rS. (15.108)
Für den Beobachter erreicht das Teilchen also niemals den Schwarzschild-Radius rS.
D.h. bei rS ist ein “Ereignishorizont“, Informationen über Ereignisse bei r < rS können
Allgemeine Relativitätstheorie 215

15 Anwendungen der ART
0
0,2 0,6 0,8
1
1,2 1,5 2
Abbildung 15.12: Bei Annäherung an den Schwarzschildradius verengen
sich die Lichtkegel immer weiter. Am Schwarzschildradius sind sie dann zu
einer Linie entartet und öffnen sich innerhalb des Schwarzschildradius entlang
der Raumachse. Die Zeitkoordinate wird hier also r und t ist raumartige
Koordinate.
den äußeren Beobachter nicht erreichen. Dies gilt auch für Photonen, aus dem Bereich
r < rS entweicht also kein Licht, deshalb spricht man von einem ”Schwarzen Loch“. Die
Beobachtung, bzw. der Nachweis Schwarzer Löcher ist daher nur indirekt möglich.
Für die Schwarzschild-Metrik ergeben sich auch mathematische Konsequenzen. Bei Annäherung
an den Schwarzschild-Radius tritt eine Singularität in ds 2 auf, der Bereich
r ≤ rS ist in den Koordinaten (t,r) nicht zugänglich. Im Eigensystem eines radial fallenden
Beobachters tritt keine Singularität bei r = rS auf, die Singularität ist also
koordinatenabhängig. Um dies zu verdeutlichen betrachten wir einen radialen Lichtkegel
mit
d.h.
ds 2
= 1 − rS
c
r
2 dt 2
− 1 − rS
−1 dr
r
2 = 0, (15.109)
dr
dt
= ±c
1 − rS
r
. (15.110)
Die Lichtkegel verengen sich bei Annäherung an den Schwarzschild-Radius. Für r > rS
sind sie entlang der Zeitachse geöffnet, für r < rS öffnen sich die Lichtkegel entlang
der Raumachse, d.h. r wird eine zeitartige und t eine raumartige Koordinate, siehe
Abbildung 15.12. Wir werden im übernächsten Abschnitt geeignetere Koordinaten zur
Beschreibung geodätischer Linien einführen.
216

d) Visualisierung des Falls auf ein Schwarzes Loch
15.2 Gravitationskollaps und schwarze Löcher
T. Müller [22] hat in seiner Doktorarbeit visualisiert, was ein in ein Schwarzes Loch stürzender
Beobachter sehen würde. Bei diesem Sturz überlagern sich zwei Effekte, zum
einen die Lichtablenkung aufgrund der Gravitation und zum anderen die Aberation aufgrund
der hohen Geschwindigkeit während des Sturzes. Betrachtet man zuerst einen
statischen Beobachter, der sich einem Schwarzen Loch zwar nähert, aber, etwa durch
den Antrieb seines Raumschiffes, seine Geschwindigkeit sehr klein hält, so ergeben sich
die Bilder in Abbildung 15.13. Gezeigt ist jeweils eine Panoramadarstellung des gesamten
Gesichtsfelds. Der Beobachter blickt direkt in das Schwarze Loch hinein. Je näher
am Ereignishorizont sich der Beobachter befindet, desto mehr erscheint das gesamte Universum
auf einen kleinen Ausschnitt des gesamten Blickfeldes gegenüber dem Schwarzen
Loch zusammengedrückt. Dagegen wird dieser Effekt im freien Fall wieder größtenteils
durch die Aberration aufgehoben, siehe Abbildung 15.14. In diesen Bildern sind Rotund
Blauverschiebungseffekte, sowie eine sich ändernde Intensitätsverteilung nicht berücksichtigt.
Eine umfassendere Behandlung dieses Themas mit weiteren Bildern findet
sich in. [23]
15.2.2 Erweiterung der Schwarzschildmetrik
Bei Betrachtung der Schwarzschildmetrik in Gleichung (15.19) erkennt man zwei Singularitäten,
eine bei r = rS und eine bei r = 0. Andererseits haben wir in den vorangegangenen
Abschnitten bereits gesehen, dass für einen Beobachter nichts besonderes passiert,
wenn er den Schwarzschildradius überquert. Außerdem zeigt sich, dass die invarianten,
die Krümmung ausdrückenden Größen, die sich durch Kontraktion des Riemanntensors
ergeben bei r = rS alle einen endlichen Wert haben. [13, 24] Es liegt daher die Vermutung
nahe, dass diese beiden Singularitäten sehr verschiedenen Charakter haben, wie es dann
auch mehrere Autoren, unter anderen auch Einstein, in verschiedenen Arbeiten ab 1921
zeigten. [25] In Tabelle 15.1 werden die beiden auftretenden Singularitäten in Kurzform
verglichen.
Man kann sich die Tatsache, dass bei r = rS keine physikalische Singularität auftritt am
besten klar machen, indem man auf Koordinaten transformiert, in denen diese Singularität
nicht auftritt. Einen ersten Schritt in diese Richtung kann man durch die Einführung
der Eddington-Finkelstein-Koordinaten machen.
a) Eddington-Finkelstein-Koordinaten
[26, 27]
Die ursprünglich von A. Eddington 1924 gefundenen und von D. Finkelstein 1958
wieder entdeckten Koordinaten beruhen auf der Betrachtung frei auf das Schwarze Loch
Allgemeine Relativitätstheorie 217

15 Anwendungen der ART
218
Abbildung 15.13: Statische Annäherung an ein Schwarzes Loch. Im Hintergrund
das Milchstrassenpanorama; Abstand (von oben nach unten): ri/rS =
4,0, 3,0, 2,0, 1,5, 1,3, 1,2 und 1,1. Darstellung mit Panoramakamera mit
Sichtfeld 360 ◦ × 90 ◦ . Visualisierung von T. Müller. [22]

15.2 Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Abbildung 15.14: Annäherung an ein Schwarzes Loch im Freien Fall. Im
Hintergrund das Milchstrassenpanorama; Abstand (von oben nach unten):
ri/rS = 4,0, 3,0, 2,0, 1,5, 1,3, 1,2 und 1,1. Darstellung mit Panoramakamera
mit Sichtfeld 360 ◦ × 90 ◦ . Visualisierung von T. Müller. [22]
Allgemeine Relativitätstheorie 219

15 Anwendungen der ART
Tabelle 15.1: Vergleich der in Schwarzschildkoordinaten auftretenden Singularitäten.
Die Singularität bei r = 0 ist eine Eigenschaft der Metrik, während
sich die Singularität bei r = rS durch eine geeignete Koordinatentransformation
beseitigen lässt.
r Krümmungsinvarianten
Metrik singulär
0 Unendlich Ja Ja
rS Endlich Nein Ja
Schwarzschildkoordinaten
singulär
fallender Photonen. Es wird die neue Koordinate V eingeführt als
mit dem Ausdruck
V = t + r ∗
r ∗
r
= r + rS ln − 1 , bzw. dr
rS
∗ = dr
1 − rS
r
(15.111)
(15.112)
ein. In den neuen Koordinaten (V, r, ϑ, ϕ) lautet die Metrik
ds 2
= 1 − rS
dV
r
2 − 2dVdr − r 2 dΩ 2 . (15.113)
Man erkennt die Anpassung an radial fallende Photonen wenn man deren Lichtkegel
betrachtet. Aus ds 2 = 0 folgen die beiden Bedingungen
dV
= 0
dr
für nach innen laufende Photonen und (15.114a)
dV 2
=
dr 1 − rS
r
für nach außen laufende Photonen. (15.114b)
In das Schwarze Loch fallende Photonen laufen also auf Flächen mit V = const. Für
radial nach außen laufende Photonen tritt allerdings bei r = rS immer noch eine Singularität
auf. Analog kann man statt V die Koordinate U = t − r ∗ zur Beschreibung
radial auslaufender Photonen einführen. Hier tritt dann bei r = rS eine Singularität für
einlaufende Photonen auf.
220

) Kruskal-Szekeres-Koordinaten
15.2 Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Um die Probleme im letzten Abschnitt vollständig zu beseitigen wird ein sphärisch symmetrisches
Koordinatensystem (u,v, ϑ, ϕ) gesucht in dem radial verlaufende Lichtstrahlen
überall die Steigung dx 1 /dx 0 = ±1 wie im flachen Raum haben. M. D. Kruskal wählte
dafür den Ansatz
ds 2 = f 2 (u,v) dv 2 − du 2 − r 2 (u,v)dΩ 2
(15.115)
für das Linienelement. [25] Dabei bezeichnet v die zeitartige und u die raumartige Koordinate.
Die Funktion f soll nur von r abhängen und für v = u = 0 endlich und ungleich
Null bleiben. Die Forderung, dass
f 2 (u,v) dv 2 − du 2
= 1 − rS
c2 2 ∗2
dt − dr
r
(15.116)
gelten soll, führt auf die Transformationsgleichungen
und
u = ±
v = ±
r
rS
r
u = ±
rS
r
2r − 1e S cosh ct
2rS
r
2r − 1e S sinh ct
2rS
1 − r
rS
v = ± 1 − r
rS
e r
2r S sinh ct
2rS
e r
2r S cosh ct
2rS
⎫
⎬
⎭ für r > rS (15.117a)
⎫
⎬
⎭ für r < rS. (15.117b)
Für die Koordinaten u und v erhält man mit diesen Resultaten die Beziehungen
u 2 − v 2
r
= − 1
und
Schließlich hat f 2 dann die Form
rS
rS
e r
r S (15.118)
r
2uv = − 1 sinh ct
. (15.119)
rS
f 2 = 4 r3 r
S r
e− S . (15.120)
r
Allgemeine Relativitätstheorie 221

15 Anwendungen der ART
Dieser Ausdruck ist größer Null für r > 0 und nur bei r = 0 singulär. Das Linienelement
in Kruskalkoordinaten lautet dann
ds 2 = 4r3 S
r e r S r
dv 2 − du 2 − r 2 dΩ 2 , mit r = r(u,v). (15.121)
Dabei ist v/u = tanh(ct/2rS) für r > rS. Kurven mit konstanter Zeit t = const führen
also auf u/v = const und sind daher Geraden im (u,v)-Diagramm. Kurven konstanter
Radialkoordinate r = const sind dagegen Hyperbeln im (u,v)-Diagramm.
Speziell gilt für r = rS wegen (15.118) u 2 − v 2 = 0, d.h. u = ±v, hier ergibt sich also
der Spezialfall von Geraden, und für r = 0 ist u 2 − v 2 = −1, bzw. v = ± √ 1 + u 2 . Für
zeitartige Weltlinien gilt dv 2 > du 2 , bzw. dv > |du| wegen ds 2 > 0.
Die Kruskal-Raumzeit erweitert die Schwarzschildraumzeit. In Abbildung 15.15 werden
ihre Eigenschaften genauer dargestellt. Die Kruskalraumzeit lässt sich in 4 Bereiche unterteilen.
Abbildung a) zeigt den von den Schwarzschildkoordinaten abgedeckten Bereich
grau markiert. Dieser Teil entspricht dem grau markierten Teil ① in den Abbildungen b)
- d). Abbildung 15.15(b) zeigt Geraden konstanter Zeit t. Die Geraden mit Steigung ±1
entsprechen t = ±∞. Die dunkelgrau untermalten Bereiche entsprächen r < 0 und sind
nicht Teil der Raumzeit. Abbildung c) zeigt die Hyperbeln konstanter Raumkoordinate
r. Die Geraden r = rS liegen im u − v Diagramm exakt auf den t = ±∞ Geraden. Für
unendliche Zeiten wird der Ereignishorizont also auf diese Geraden abgebildet, während
sämtliche Punkte der Raumzeit mit r = rS für endliche Zeiten auf den Punkt u = v = 0
abgebildet werden. Abbildung d) zeigt die Lichtkegel von drei Beobachtern A, B und C.
A befindet sich im Schwarzschild-Teil der Raumzeit bei rA > rS. Sein Zukunftslichtkegel
enthält Weltlinien, die zu größeren Radialkoordinaten r1 laufen. Beobachter B dagegen
befindet sich bei rB < rS. Alle von dort ausgehenden Weltlinien enden bei r = 0 in der
Singularität. Damit sind wir bei folgender wichtigen Aussage:
Jedes Teilchen, das den Schwarzschild-Radius durchquert (r < rS),
wird immer in der Singularität bei r = 0 enden!
Dieser Bereich heißt deshalb Schwarzes Loch. Kein Objekt, dass in diesen Bereich
kommt, kann ihn wieder verlassen es endet unweigerlich bei r = 0. Gleichzeitig sieht
man, dass alle Objekte die in das Schwarze Loch gelangen wollen, die Zeitlinie t = ∞
überqueren müssen. Dies ist konform zu der bereits gezeigten Aussage, dass ein weit
entfernter Beobachter das Objekt nie hinter den Ereignishorizont laufen sieht.
Beobachter C schließlich befindet sich bei rC < rS in Bereich ④. Alle Weltlinien von
dort laufen zu größeren Radialkoordinaten hin. In diesen Bereich kann also kein Objekt
eindringen und alle dort befindlichen Objekte wandern von dort heraus. Man spricht in
222

S
(a) Von den Schwarzschildkoordinaten abgedeckter
Bereich der Raumzeit.
r = 3rS/2
r = rS
③
r = 0
v
④
r = 0
r = rS
r
r = 3rS/2
(c) Linien konstanter Raumkoordinate r.
②
①
u
15.2 Gravitationskollaps und schwarze Löcher
③
v
④
②
(b) Linien konstanter Zeit t.
v
rB
rC
①
B A
C
rA r1
t = ∞
t = rS/c
t = 0
u
t = −rS/c
t = −∞
(d) Zukunftslichtkegel verschiedener Beobachter
Abbildung 15.15: Die Schwarzschildkoordinaten decken nur den in (a)
grau markierten Teil der Raumzeit ab. Dieser Bereich ist in den weiteren
Abbildungen ebenfalls grau eingezeichnet. Die dunklen Bereiche entsprechen
dort r < 0 und liegen nicht in der Raumzeit. Kurven konstanter Zeit sind
in Kruskal-Koordinaten Geraden (b), Kurven konstanter Radialkoordinate
sind Hyperbeln, wobei diese für den Fall r = rS zu Geraden entartet sind
(c). Diese Geraden liegen auf den t = ±∞-Geraden. Der Horizont r = rS
wird für endliche Zeiten daher auf den einen Punkt u = v = 0 abgebildet.
Alle in (d) von Beobachter B bei rB < rS ausgehenden Weltlinien laufen in
die Singularität. Bei A dagegen existieren auch solche Weltlinien, bei denen
r größer wird. Bei C schließlich existieren nur Weltlinien mit zunehmendem
r. Beobachter B befindet sich im Schwarzen Loch (Bereich ②), C im Weißen
Loch (Bereich ④).
u
Allgemeine Relativitätstheorie 223

15 Anwendungen der ART
diesem Fall deshalb von einem Weißen Loch. Die Weltlinien überqueren dabei allerdings
die Zeitlinie t = −∞. Wenn Weiße Löcher also existieren sollten, dann hätte es
sie bereits vor der Entstehung des Universums geben müssen, die Anfangsbedingung für
die Existenz eines Weißen Loches ist daher in einem endlich alten Universum nicht zu
erfüllen. Abschließend sei erwähnt, dass Bereich ③ wiederum einer Schwarzschildraumzeit
entspricht. Allerdings zeigt dort der Zeitpfeil in Richtung kleiner werdender Zeit t.
Dies wird klar wenn man bedenkt, dass von Beobachter C kommende Lichtstrahlen die
Gerade t = ∞ überqueren um in Bereich ③ zu kommen und die Weltlinien von Objekten,
die ins Schwarze Loch fallen über die Linie t = −∞ wandern.
15.3 Gravitationswellen
Die ART sagt voraus, dass beschleunigte Massen Gravitationswellen abstrahlen, die sich
mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Zur Behandlung dieses Phänomens betrachten wir
kleine Störungen der Raum-Zeit. Dann können wir die Feldgleichungen linearisieren.
Dadurch vernachlässigen wir Rückwirkungen der Energie der Wellen auf die Raum-Zeit.
Die Behandlung der linearisierten Feldgleichungen erfolgt dann analog zur Behandlung
elektromagnetischer Wellen in der Elektrodynamik.
15.3.1 Linearisierung der Feldgleichungen
Die Linearisierung der Feldgleichungen erfolgt in der Schwachfeldnäherung, die wir bereits
einmal benutzt haben um den Zusammenhang zwischen der Newtonschen Theorie
und der ART herzustellen.
Wir gehen aus von einer flachen Raum-Zeit mit kleinen Störungen, das heißt es ist
gµν = ηµν + hµν mit |hµν ≪ 1| und |∂λhµν| ≪ 1. (15.122)
Dabei bezeichnet ηµν wie üblich die Minkowski-Raumzeit und hµν ist ein symmetrischer
Tensor. Für die Christoffelsymbole ergibt sich dann in erster Ordnung
Γ λ µν = 1
= 1
2
2 ηλκ (hκµ,ν + hνκ,µ − hµν,κ) + O(h 2 )
h λ µ,ν + h λ ν,µ − h ,λ
µν
.
(15.123)
Dabei steht vor der Klammer in der ersten Zeile direkt η λκ , weil die Störungen in g λκ
durch die Beschränkung auf die erste Ordnung in h in jedem Fall herausfallen.
Damit können wir dann weiter den Ricci-Tensor in erster Ordnung berechnen, wobei sich
224

15.3 Gravitationswellen
direkt eine große Vereinfachung dadurch ergibt, dass wir alle Produkte von Christoffelsymbolen
direkt vernachlässigen können, da diese nur Terme in zweiter Ordnung in h
ergeben würden:
Rµν = ∂λΓ λ µν − ∂νΓ λ λµ + O(h 2 ). (15.124)
Wir setzen in diesen Ausdruck unsere Ergebnisse für die Christoffelsymbole ein und
erhalten mit Γλ λµ = ∂µhλ λ + ∂λhλ µ − ∂λ
hλµ /2 den Ausdruck
Rµν = 1
∂λ∂νh
2
λ µ + ∂λ∂µh λ ν − ∂λ∂ λ h − ∂ν∂µh λ λ − ∂ν∂λh λ µ + ∂ν∂ λ
hµν
= − 1
2
hµν − ∂λ∂µh λ ν − ∂λ∂νh λ µ + ∂µ∂νh λ
λ .
(15.125)
Wir spalten den letzten Term in dieser Summe auf und fügen ihn je zur Hälfte zum zweiten
und dritten Term hinzu. Dann haben wir eine linearisierte Form der Feldgleichungen
Rµν = 8πG/c 4 T ∗ µν in der Form
−hµν + ∂µ
∂λh λ ν − 1
2 ∂νh λ
λ + ∂ν ∂λh λ µ − 1
2 ∂µh λ
λ = 16πG
c4 T ∗ µν, (15.126)
wobei wir beide Seiten mit 2 durchmultipliziert haben.
a) Transformation auf harmonische Koordinaten
Wir nutzen im folgenden unsere Freiheit bei der Wahl des Koordinatensystems. Wir
müssen lediglich die Form gµν = ηµν + hµν erhalten. Unter dieser Einschränkung suchen
wir dann Koordinaten in denen die Feldgleichungen (15.126) möglichst einfach sind.
Konkret bedeutet dies, dass wir die beiden Ausdrücke in den Klammern verschwinden
lassen möchten.
Wir suchen also Koordinaten, in denen
∂λh λ ν − 1
2 ∂νh λ λ = 0 (15.127)
ist. Dies entspricht einer Eichbedingung, wie wir sie auch in der Elektrodynamik in
Kapitel 6 verwendet haben. Dort haben wir das Viererpotential in Gleichung (6.20) so
gewählt, dass ∂µA µ = 0 gilt.
Die Freiheit der Wahl des Koordinatensystems in der ART entspricht in diesem Sinne
also der Eichfreiheit für die Potentiale in der Elektrodynamik. Wir verwenden zur
Allgemeine Relativitätstheorie 225

15 Anwendungen der ART
Umrechnung in das neue Koordinatensystem eine Transformation der Form
x µ → x ′µ + ε µ (x) mit |∂νε µ | ≪ 1, (15.128)
wobei aber ε µ selbst beliebig groß sein kann. Dies führt auf
g ′ µν = ηµν + h ′ µν mit h ′ µν = hµν − ∂µεν − ∂νεµ. (15.129)
Koordinaten, die die von uns geforderte Eichbedingung erfüllen heißen harmonische
Koordinaten, die durch die Eigenschaft
gµνΓ λ µν
Def.
= Γ λ = 0 (15.130)
charakterisiert sind. Wir werten diese Bedingung explizit aus, um zu zeigen, dass damit
die Erfüllung der Eichbedingung sichergestellt ist:
gµνΓ λ µν 1
µν = η ∂νh
2
λ µ + ∂µh λ ν − ∂ λ
hµν
= 1 µ λ
∂ h µ + ∂µh
2
λµ − ∂ λ h µ
µ
= ∂µh λµ − 1
2 ∂λh µ µ.
(15.131)
Harmonische Koordinaten lassen sich immer einführen mit ελ , die die Differentialgleichung
ε λ = Γ λ
(15.132)
im alten Koordinatensystem erfüllen. Auf den Beweis dieses Satzes verzichten wir.
b) Lösung der linearisierten Feldgleichungen
Nach der Transformation auf harmonische Koordinaten lauten die Feldgleichungen
hµν = − 16πG
c 4 T ∗ µν. (15.133)
Wieder erkennen wir eine Analogie zur Elektrodynamik wo wir zur die Gleichung A µ =
4π
c jµ mit dem Viererstrom j µ gelangten. Damit können wir T ∗ µν als Quelle für die Erzeugung
von Gravitationswellen identifizieren. Da auf der linken Seite in (15.133) der
d’Alembert-Operator steht, ist auch sofort klar, dass sich Gravitationswellen mit Lichtgeschwindigkeit
ausbreiten.
226

Die retardierte Lösung der inhomogenen Gleichung ergibt sich zu
hµν(x, t) = 4G
c4
ˆ ∗ Tµν x, t − |x−x′
|
c
|x − x ′ |
15.3 Gravitationswellen
d 3 x ′ . (15.134)
Dabei bezeichnet man diese Lösung als retardiert wegen der Berücksichtigung der Lichtlaufzeit
|x − x ′ |/c bei der Auswertung des Integrals.
Die Ausbreitung der Gravitationswellen im Vakuum wird durch die homogene Lösung
von (15.133) beschrieben, d.h. die Lösung der Gleichung
hµν = 0. (15.135)
Als Ansatz für die homogene Lösung wählen wir eine ebene Welle:
ikλxλ hµν(x, t) = eµνe + e ∗ −ikλxλ µνe . (15.136)
Dabei müssen wir wegen dem Tensorcharakter von hµν auch einen Amplitudentensor eµν
ansetzen. Zusammen mit den 4 Parametern von kλ haben wir in dieser Gleichung also
20 Parameter. Wir setzen diesen Ansatz in (15.135) ein, was uns auf
hµν = ∂λ∂ λ hµν = −kλk λ hµν = 0 (15.137)
führt. Daraus folgt sofort, das kµ ein lichtartiger Vektor sein muss, d.h.
kµk µ = 0. (15.138)
Von den 20 Parametern in (15.136) sind nicht alle unabhängig. Die zu erfüllende Eichbedingung
führt auf
kµe µ ν − 1
2 kνe µ µ = 0, (15.139)
dies entspricht 4 Bedingungen, die Symmetrie eµν = eνµ liefert weitere 6 Bedingungen,
so dass insgesamt 10 Freiheitsgrade übrig bleiben.
Innerhalb der bereits gewählten harmonischen Koordinaten haben wir immer noch Freiheiten
bei der Koordinatenwahl. Wir wählen die TT-Eichung, wobei die Abkürzung
TT für “transversal and traceless” steht. Diese Eichung erreichen wir durch die Wahl
e µ µ = 0. (15.140)
Für eine Gravitationswelle, die sich in Richtung ei ausbreitet, führt dies auf e µ
0 = 0
und e µ
i = 0. Wir betrachten jetzt speziell eine Gravitationswelle, die sich in z-Richtung
Allgemeine Relativitätstheorie 227

15 Anwendungen der ART
ausbreiten soll. Dann gilt für den Wellenvektor
kµ = ω
c (1, 0, 0, −1)T , d.h. kµx µ = ωt − kzz, (15.141)
mit kz = ω/c. Daraus folgt in TT-Eichung
⎛
0
⎜
eµν = ⎜0
⎝
0
e11
0
e12
⎞
0
0 ⎟
⎠ . (15.142)
0 e12 −e11 0
0 0 0 0
Für eµν bleiben also nur 2 Freiheitsgrade. Wir können eµν im Falle linearer Polarisation
dann in eine Linearkombination der zwei Tensoren
e + ⎛
0
⎜
µν = ⎜0
⎝0
0
1
0
0
0
−1
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 0
und e× ⎛
0
⎜
µν = ⎜0
⎝0
0
0
1
0
1
0
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 0
aufteilen. In dieser Form lautet der Ausdruck für hµν dann
Wir setzen
hµν (x, t) = A + e + µν + A × e × µν
Für das Wegelement ergibt sich dann
(15.143)
e i(ωt− ω
c z) + c.c.. (15.144)
h = A +
cos ωt − ω
c z
, (15.145a)
k = A ×
cos ωt − ω
c z
. (15.145b)
ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 + h dx 2 − dy 2 + 2kdxdy. (15.146)
Wir betrachten jetzt eine Raumdrehung um eine Achse parallel zur Ausbreitungsrich-
tung. Neben z = z ′ und t = t ′ erhalten wir dann
228
x
y
=
cos α − sin α
sin α cos α
x ′
y ′
. (15.147)

Daraus folgt
′ h
k ′
=
cos 2α − sin 2α
sin 2α cos 2α
h
k
15.3 Gravitationswellen
. (15.148)
Das heißt h und k und damit die Polarisation drehen sich doppelt so schnell wie das
Koordinatensystem. Man sagt die Gravitation besitzt die Helizität 2. Daraus folgt
auch, dass das Quantum der Gravitation, das Graviton, wenn es existiert, den Spin 2
haben muss.
15.3.2 Teilchen im Feld einer Gravitationswelle
Wir wollen uns jetzt mit der Frage beschäftigen, was mit einem ruhenden Teilchen passiert,
das von einer Gravitationswelle überlaufen wird. Für ein zum Zeitpunkt τ = 0
ruhendes Teilchen gilt
dxi = 0. (15.149)
dτ
Die Geodätengleichung für dieses Teilchen vereinfacht sich dann zu
d 2 xσ dτ 2 + Γσ dx
00
0 dx
dτ
0
dτ
Wir werten die Christoffelsymbole aus. Es ergibt sich
= 0. (15.150)
Γ σ 00 = 1
2 (∂0h σ 0 + ∂0h σ 0 − ∂ σ h00) = 0. (15.151)
Das zweite Gleichheitszeichen folgt wegen der Form der Störung hµν in (15.142). Daraus
folgt dann für ein anfangs ruhendes Teilchen
d 2 x σ
dτ 2 = 0 d.h. xi (τ) = const. (15.152)
Die Koordinaten des Teilchens bleiben also konstant. Aber die Abstände ∆l zwischen
Teilchen ändern sich aufgrund der Zeitabhängigkeit der Metrik:
(∆l) 2 = −∆s 2 = (1 − h)∆x 2 + (1 + h)∆y 2 − 2k∆x∆y. (15.153)
Als Beispiel betrachten wir Teilchen auf einem Kreis in der (xy)-Ebene, d.h. x = R cos ϕ
und y = R sin ϕ. Für die Abstände zum Ursprung ergibt sich
(∆l) 2 = (1 − h)R 2 cos 2 ϕ + (1 + h)R 2 sin 2 ϕ − 2kR 2 sin ϕ cos ϕ
= R 2 (1 − h cos(2ϕ) − k sin(2ϕ)
(15.154)
Allgemeine Relativitätstheorie 229

15 Anwendungen der ART
ωt = 0
ωt = π/2
ωt = π
y
x
Polarisation + (k = 0) Polarisation × (h = 0)
Abbildung 15.16: Teilchen auf einem Kreis in der (x,y)-Ebene um den Ursprung
unter der Wirkung einer Gravitationswelle. Während sich die Koordinaten
der Teilchen konstant bleiben, ändert sich der Abstand zum Ursprung
mit der Zeit, abhängig von der Stärke und der Polarisation der Gravitationswelle.
Der Winkelunterschied zwischen den beiden Polarisationen beträgt
ϕ = π/4.
mit h und k aus Gleichung (15.145). In Abbildung 15.16 ist die zeitliche Entwicklung
des Abstandes ∆l skizziert.
15.3.3 Die Quadrupolnäherung
Wir betrachten jetzt wieder die retardierte Lösung (15.134) der inhomogenen Feldgleichung.
Sei R der Radius der Quelle mit Schwerpunkt bei RS = 0. Wir nehmen an, das
für alle Teilchen der Quelle die Geschwindigkeit viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit
ist. Aus v ≪ c folgt dann R ≪ λ, wobei λ die Wellenlänge der Gravitationswelle
bezeichnen soll.
Dann lässt sich hµν(x, t) für |x| = r ≫ λ ≫ R, d.h. in der Fernfeldnäherung, in eine Multipolreihe
entwickeln. Wenn man diese Entwicklung vornimmt, so erkennt man, analog
zur Elektrodynamik, dass der Monopolterm verschwindet. Im Gegensatz zur Elektrodynamik
verschwindet allerdings auch der Dipolterm, die niedrigste nichtverschwindende
ist der Quadrupolterm:
230
hjk(x, t) = 2G
c 6
d 2
Tjk
dt2
t − r
, (15.155)
c
x

mit dem reduzierten Quadrupolmoment
ˆ
Tjk = T 00
x j x k − 1 2
δjkr
3
15.3 Gravitationswellen
d 3 x (15.156)
der Quelle. Dies liegt daran, dass es im Gegensatz zu elektrischen Ladungen keine negativen
Massen gibt.
Die Quadrupolnäherung erlaubt die Berechnung der Energieabstrahlung durch eine Gravitationswelle.
15.3.4 Nachweis von Gravitationswellen
Gravitationswellen sollten durch scheinbare Längenänderungen von Objekten messbar
sein, wenn diese von einer Gravitationswelle überlaufen werden. Allerdings sind die erwarteten
Abweichungen vom flachen Raum minimal, etwa im Bereich einer relativen
Größe von
h ∼ 10 −20 . . . 10 −24 . (15.157)
In den 1960er Jahren glaubte J. Weber mit Resonanzdetektoren, die aus Aluminiumzylindern
von etwa 1 − 2 m Größe bestanden, Gravitationswellen nachgewiesen zu haben. [28]
Diese Ergebnisse konnten aber, auch mit Experimenten mit höherer Empfindlichkeit,
nicht reproduziert werden. Man geht deshalb heute davon aus, dass die Ergebnisse auf
nicht berücksichtigte Störeinflüsse zurückgehen. Bisher gilt der direkte Nachweis von
Gravitationswellen daher als nicht gelungen. Es laufen aber weltweit mehrere neue Projekte
zum Nachweis von Gravitationswellen. Eines davon ist GEO 600 in der Nähe von
Hannover. [29]
Das Experiment besteht aus einem Interferometer mit zwei 600 m langen Armen. Durchläuft
eine Gravitationswelle den Aufbau, so sollte sie die beiden Arme unterschiedlich
beeinflussen und durch Interferenzen nachweisbar sein. Ähnliche Experimente sind LI-
GO [30] (USA) mit 3 km langen Armen und weitere Anlagen in Japan und Italien (Abb.
15.17).
In Planung ist außerdem das weltraumgestützte Experiment LISA. [31] Dieses wird aus 3
Satelliten im gegenseitigen Abstand von 5 Millionen Kilometern bestehen die auf der Umlaufbahn
der Erde um die Sonne kreisen. Ein indirekter Nachweis von Gravitationswellen
ist allerdings schon gelungen. Dazu dienten genaue und langjährige Beobachtungen eines
Doppelpulsarsystems, die wir im nächsten Abschnitt vorstellen wollen.
Allgemeine Relativitätstheorie 231

15 Anwendungen der ART
600 m Armlänge
Laser
Spiegel
Messapparatur
(a)
5 × 10 6 km
Armlänge
(b)
Erde
Abbildung 15.17: Nachweis von Gravitationswellen. Abbildung a): GEO
600 besteht aus 2 nahezu senkrecht aufeinanderstehenden Interferometerarmen
mit 600 m Länge. Abbildung b): Das Experiment LISA wird aus 3
Satelliten im gegenseitigen Abstand von 5 Millionen Kilometern bestehen,
die auf der Bahn der Erde um die Sonne kreisen.
15.4 Der Doppelpulsar 1913 + 16
Die Messungen am Doppelpulsarsystem 1913 + 16 können als das Prunkstück der ART
angesehen werden, da hier alle bedeutenden speziell- und allgemein-relativistischen Effekte
gleichzeitig auftreten und sehr genau gemessen bzw. analysiert werden konnten. [32–34]
15.4.1 Beschreibung des Systems
Der Doppelpulsar 1913+16 wurde von R. A. Hulse und J. H. Taylor Jr. mit Hilfe des Arecibo
Radioteleskops in Puerto Rico entdeckt. Für ihre Forschungen an 1913+16 erhielten
die beiden 1993 den Physik-Nobelpreis. Das System besteht aus zwei Neutronensternen
die sich auf nahezu elliptischen Bahnen umkreisen, wobei der Bahndurchmesser etwa
700 000 km und die Umlaufzeit etwa 7,75 h beträgt. Einer der beiden Neutronensterne
ist ein Radiopulsar und so ausgerichtet, dass von der Erde aus Signale mit einer Periode
von etwa 60 ms empfangen werden können (Abb. 15.18). Eine umfassende Zusammenstellung
der wichtigsten Systemeigenschaften findet sich in Tabelle 15.2. Durch sehr
genaue und lange Analyse der Pulsfrequenz der Radiosignale war es möglich, die Einflüsse
verschiedener relativistischer Effekte bei diesem System sehr genau zu bestimmen
und mit theoretischen Vorhersagen zu vergleichen.
232

TR
15.4 Der Doppelpulsar 1913 + 16
③ +
① ①
③
TU
②
S
④
④
Richtung Erde
Abbildung 15.18: Das Doppelpulsarsystem 1913 + 16. Die beiden Neutronensterne
umkreisen sich mit einer Periodendauer von TU = 7,75 h. Einer
der beiden Neutronensterne ist ein Radiopulsar, der so ausgerichtet ist, dass
Signale bei der Erde ankommen. Seine Rotationsperiode beträgt TR ≈ 60 ms.
Tabelle 15.2: Eigenschaften des Doppelpulsars 1913 + 16.
②
Symbol Wert
Projizierte große Halbachse a⊥ 702069 km
Rotationsperiode ω 0,05903 s
Änderung der Periode ˙ω 8,63×10−18 s·s−1 Bahnexzentrizität e 0,617
Bahnperiode
Änderung der Bahnperiode
Pb
Pb
˙
27906,98 s
−2,40×10−12 s·s−1 Relativistische Periastrondrehung ˙ϕ 4◦ ,2263 a−1 Amplitude von Gravitationsrotverschiebung
und quadratischem Dopplereffekt
γ 4,38 ms
Massenfunktion f(m1,m2) 0,1322
Masse des Pulars m1 1,445 M⊙
Masse des Begleiters m2 1,384 M⊙
Bahnneigung i sin i = 0,72
Allgemeine Relativitätstheorie 233

15 Anwendungen der ART
15.4.2 Relativistische Effekte
Es ist klar, dass bei diesem System starke relativistische Effekte auftreten. Neutronensterne
sind generell Objekte, bei denen relativistische Effekte bedeutsam sind, und in
diesem Fall umkreisen sich zwei Neutronensterne in sehr geringem Abstand. Alle diese
Effekte können aus der Analyse der Frequenz der Radiosignale bzw. der zeitlichen Änderung
der Frequenz abgeleitet werden. Im Einzelnen konnten folgende Effekte beobachtet
werden:
a) Speziell-relativistische Effekte
• Aufgrund des Dopplereffektes erhöht sich die Frequenz der Signale, wenn sich die
beiden Sterne im Periastron 10 befinden (Situation ①) und wird niedriger im Apastron
(Situation ③). Außerdem tritt auch der quadratische Dopplereffekt auf, d.h.
auch in Situation ② kommt es aufgrund der Relativgeschwindigkeit des Pulsars zu
einer Frequenzveränderung.
• Aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit trifft das Signal verfrüht bei der Erde
ein, wenn sich der Radiopulsar auf seiner Bahn am erdnächsten Punkt befindet
(Situation ②). Im Gegensatz dazu trifft das Signal verspätet ein, wenn er sich
am erdfernsten Punkt befindet. Entsprechend dem Bahndurchmesser von etwa
700 000 km summiert sich dieser Effekt auf etwa 2 s.
b) Allgemein-relativistische Effekte
• In Konfiguration ④ kommen die Signale aufgrund der Laufzeitverzögerung später
bei der Erde an, da sie das Gravitationsfeld des Begleiters durchlaufen müssen.
• Es kommt zur relativistischen Periastrondrehung, wie wir sie für Merkur bereits
besprochen haben. Allerdings sind hier die Effekte weitaus größer, da dieser Effekt
proportional zum Verhältnis Schwarzschild-Radius zu Bahnradius ist. Beim Merkur
war der Bahnradius etwa 57,91 Millionen Kilometer, d.h. etwa 80 mal größer als
in diesem System. Deshalb wird hier eine Periastrondrehung von 4.23 ◦ pro Jahr
beobachtet, was einer Winkeländerung pro Tag entspricht, wie sie bei Merkur in
100 Jahren beobachtet wird.
• In Konfiguration ④ sind die Signale zusätzlich gravitationsrotverschoben. Dieser
Effekt ist wiederum überlagert vom quadratischen Dopplereffekt. Insgesamt ergibt
10 Der Punkt ihrer Bahn, an dem sich die beiden Sterne am nächsten sind. Da es sich nicht um Planeten
der Sonne handelt spricht man hier nicht vom Perihel.
234

sich für die Amplitude der Frequenzveränderung
mit der Gesamtmasse M des Systems.
15.4 Der Doppelpulsar 1913 + 16
γ = Gm2
2πac2
1 + m2
Pb · e, (15.158)
M
• Der Lense-Thirring-Effekt: [35] Bei der Herleitung der Schwarzschild-Metrik
wurde eine nichtrotierende Masse angenommen. Im Allgemeinen rotieren aber v.a.
Neutronensterne sehr schnell und mit der Schwarzschild-Metrik kann dieser Fall
nur näherungsweise behandelt werden. 11 Vereinfacht gesagt führt die Rotation des
einen Neutronensterns dazu, dass um ihn herum die Raumzeit mitgerissen und
verdreht wird, ähnlich wie eine zähe Flüssigkeit. Dadurch ändert sich die Lage des
anderen Neutronensternes geringfügig.
• Es konnte nachgewiesen werden, dass die beiden Sterne sich mit der Zeit nähern,
d.h. das System verliert Energie. Bereits Einstein konnte zeigen, dass für die Abnahme
der Bahnperiode infolge von Energieverlust durch Abstrahlung von Gravitationswellen
näherungsweise gilt
Pb
˙ = −96
5
G3m1m2M a4c5 Pb
1 + 73
24 e2 + 37
96 e4
1 − e 2 −7/2 . (15.159)
Ein Vergleich der Veränderung der Periodendauer mit theoretischen Berechnungen
mit Hilfe dieser Gleichung zeigte eine hervorragende Übereinstimmung, [36] siehe
Abbildung 15.19. Dies war der erste indirekte Nachweis der Existenz von Gravitationswellen!
Aufgrund des Energieverlustes nähern sich die beiden Sterne pro
Umlauf etwa 3,1 mm, bzw. 3,5 m pro Jahr und werden in etwa 300 Millionen Jahren
verschmelzen.
Anmerkung zur Massefunktion
In diesem Abschnitt soll kurz die Bedeutung der Massefunktion f(m1, m2) erläutert
werden. Das 3. Keplersche Gesetz liefert einen Zusammenhang zwischen großer Halbachse
a und Umlauffrequenz für Körper im Schwerefeld der Masse M:
11 Die exakte Metrik für rotierende Massen ist die Kerr-Metrik. [24]
GM = ω 2 a 3 , für M ≫ m. (15.160)
Allgemeine Relativitätstheorie 235

15 Anwendungen der ART
236
Abbildung 15.19: Veränderung der Rotationsdauer beim System 1913+16.
Die Messpunkte liegen exzellent auf der theoretisch berechneten Kurve, die
unter Annahme der Energieabstrahlung durch Gravitationswellen erstellt
wurde.
zur Erde
Bahnebene
a⊥ = a sin i
i
a
Abbildung 15.20: Bei der Beobachtung des Doppelpulsars 1913 + 16 von
der Erde aus ergibt sich nur Information über die projizierte Halbachse a⊥.

15.4 Der Doppelpulsar 1913 + 16
Falls die Massen der sich umkreisenden Körper aber vergleichbar große werden, so muss
mit der reduzierten Masse
µ = m1m2
(15.161)
m1 + m2
gerechnet werden. Ein weiteres Problem ergibt sich daraus, dass von der Erde aus die
große Halbachse nicht direkt bestimmt werden kann. Information liegt zunächst nur über
die auf die Himmelsebene projizierte Halbachse
vor (Abb. 15.20). Einsetzen dieser Zusammenhänge führt auf
ω 2 (a sin i) 3
G
a⊥ = a sin i (15.162)
= (m2 sin i) 3
(m1 + m2) 2
Def.
= f(m1,m2). (15.163)
Man erhält also aus den messbaren Größen a sin i und ω Information über das Verhältnis
der beiden Masse.

Kosmologie

16 Kosmologie als Wissenschaft
Die Kosmologie beschäftigt sich mit dem Aufbau sowie der Entstehung und Entwicklung
des Kosmos als Ganzem.
Fragen, auf die die Kosmologie Antworten sucht sind also beispielsweise, etwas pathetisch
formuliert:
“In was für einem Universum leben wir?”
oder
“Wie ist die Dynamik des Universums?”
Seit Beginn des 20. Jahrhunderts ist es mit Hilfe immer leistungsstärkerer Teleskope im
Zusammenspiel mit der neu entwickelten ART möglich geworden, die Kosmologie als
Naturwissenschaft zu betreiben, nachdem sie vorher eher eine philosophische Disziplin
war.
Besonders in den letzten Jahren haben neue Erkenntnisse unsere Vorstellungen über das
Universum, sehr erweitert und verändert. Insbesondere die Beobachtungen weit entfernter
Supernovae mit dem Hubble Space Telescope und die Analyse des Mikrowellenhintergrundes
durch die Satelliten COBE und WMAP haben hier unser Wissen vermehrt
und es sind bereits weitere Experimente in Planung oder bereits gestartet, wie etwa der
Planck–Satellit, die hoffentlich weitere Erkenntnisse liefern werden, um unser Bild des
Kosmos weiter zu verfeinern. Wir werden detailliert auf diese Missionen und die mit
ihrer Hilfe gewonnenen Einsichten eingehen.
Zuvor aber werden wir verschiedene kosmologische Modelle diskutieren. Diese Modelle
werden mit Hilfe der ART entwickelt, wobei zusätzliche Annahmen über das Universum
eingehen, um dann daraus Ansätze für mögliche Metriken des Universums zu erhalten
und schließlich die Einsteinschen Feldgleichungen aufzustellen und auszuwerten.
Durch Vergleich der theoretischen Vorhersagen mit den Beobachtungsergebnissen kann
dann Aufschluss darüber gewonnen werden, welches Modell unser Universum am besten
beschreibt.
Kosmologie 241

17 Die Metrik des homogenen
isotropen Raumes
Es ist offensichtlich, dass eine mathematische Beschreibung des Universums und seiner
Dynamik nur möglich sein kann, wenn dazu vereinfachende Annahmen getroffen werden.
Diese Annahmen müssen natürlich durch Beobachtungen des tatsächlichen Universums
gestützt werden oder darauf begründet sein.
17.1 Homogenität und Isotropie des Raumes
Grundlage der folgenden Überlegungen ist das Einsteinsche Kosmologische Prinzip
von 1917:
Der Raum ist homogen, d.h. es ist kein Punkt ausgezeichnet, und
isotrop, d.h. es ist keine Richtung ausgezeichnet.
Man stellt sich das Universum also als homogen mit Materie und Energie gefüllt vor, z.B.
vereinfacht wechselwirkungsfreier Staub oder Photonen. Es ist klar, das diese Annahme
nur gilt, wenn über entsprechend große Raumbereiche gemittelt wird. Die typische Längenskala,
ab der diese Näherung gut wird, sind etwa 10 8 Lichtjahre. [13]
17.2 Existenz einer universellen Zeit
Aus den Forderungen nach Homogenität und Isotropie folgt, dass es eine universelle Zeitkoordinate
t geben muss, die nicht vom Ort abhängt, d.h. die Zeit verstreicht an jedem
Punkt in der selben Weise. Wäre dies nicht so und an einem Punkt würde die Zeit z.B.
langsamer vergehen, so wäre die Homogenität des Raumes gebrochen, im Widerspruch zu
Einsteins Kosmologischen Prinzip. Aus der geforderten Existenz einer universellen Zeit
folgt, dass Raum und Zeit in der Metrik entkoppelt sind, d.h. die Metrik hat allgemein
die Form
ds 2 = c 2 dt 2 − gijdx i dx j = c 2 dt 2 − dl 2 , (17.1)
mit dem räumlichen Abstand dl 2 .
Kosmologie 243

17 Die Metrik des homogenen isotropen Raumes
17.3 Die Friedmann-Robertson-Walker Metrik
Die allgemeinste Form einer mit den gerade eingeführten Annahmen verträglichen Metrik
ist die Friedmann-Robertson-Walker Metrik1,2,3 (FRW-Metrik). [37–40] Bei
Verwendung der Koordinaten (t,r,ϑ, ϕ) lautet ihr Linienelement
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 2 dr
(t)
1 − qr2 + r2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2
. (17.2)
Die FRW-Metrik beschreibt Räume mit konstanter Krümmung, wobei folgende drei
Fälle unterschieden werden:
Für q = 0 erhält man einen Euklidischen Raum, für q = 1 einen Sphärischen Raum und
für q = −1 einen Pseudosphärischen Raum. Wir werden im nächsten Abschnitt genauer
auf diese drei Fälle eingehen. Die zeitabhängige Funktion a(t) ist dabei ein zunächst
unbestimmter Längenskalierungsfaktor.
Die Eigenschaften der FRW-Metrik lassen sich gut anschaulich im zweidimensionalen
Fall diskutieren. Wir leiten in diesem Abschnitt daher die Metriken mehrerer Räume
explizit her. Dabei betrachten wir nur den raumartigen Anteil des Linienelementes. Da
wir keine Kopplungsterme zwischen Raum- und Zeitanteilen zugelassen haben und die
Komponente g00 des metrischen Tensors trivial ist, können wir diese Einschränkung ohne
weiteres vornehmen. Damit erhalten wir das diesem Kapitel zugrundeliegende Linienelement
2 dr
. (17.3)
dl 2 = a 2 (t)
1 − qr 2 + r2 dϕ 2
Es ist anschaulich klar, dass nur Räume mit konstanter Krümmung die Bedingungen der
Homogenität und Isotropie erfüllen, im zweidimensionalen Fall also z.B. die Ebene mit
Krümmung Null oder die Kugeloberfläche mit Krümmung 1/a, wobei a den Kugelradius
bezeichnet.
Auf der Ebene und auf der Kugeloberfläche sind für ein Flächenelement kein Punkt
und keine Richtung ausgezeichnet. Dagegen würde eine ortsabhängige Krümmung die
Homogenität zerstören.
1 Alexander Friedmann, 1888 – 1925, Russischer Kosmologe und Mathematiker
2 Howard Percy Robertson, 1903 – 1961, Amerikanischer Physiker und Mathematiker
3 Arthur Geoffrey Walker, 1909 – 2001, Englischer Mathematiker
244

17.3 Die Friedmann-Robertson-Walker Metrik
17.3.1 Die zweidimensionale Metrik bei verschwindender
Krümmung
Setzen wir in Gleichung (17.3) q = 0, so erhalten wir
dl 2 = a 2 (t) dr 2 + r 2 dϕ 2 . (17.4)
Man erkennt sofort die Metrik der Euklidischen Ebene in Polarkoordinaten, allerdings
mit einem zusätzlichen Skalenfaktor a(t). Auf der Ebene können sich also die Abstände
ruhender Punkte mit der Zeit ändern. Ein anschauliches Beispiel dazu wäre ein, allerdings
unendlich ausgedehntes, Gummituch, das man dehnen oder stauchen kann.
17.3.2 Bestimmung der Metrik einer Kugeloberfläche
Wir betrachten als nächstes die Metrik einer Kugeloberfläche, also für den Fall q = 1.
Dabei denken wir uns die Kugel in einen dreidimensionalen Euklidischen Raum ˆx1, ˆx2,
ˆx3 eingebettet. 4 Wir wollen dabei wieder zulassen, dass sich der Radius a der Kugel mit
der Zeit ändert.
Für den Abstand zweier infinitesimal benachbarter Punkte auf der Kugeloberfläche gilt
dann
dl 2 = dˆx 2 1 + dˆx 2 2 + dˆx 2 3, (17.5)
mit der Nebenbedingung, dass die betrachteten Punkte auf der Kugeloberfläche liegen:
ˆx 2 1 + ˆx 2 2 + ˆx 2 3 = a 2 bzw. ˆx1dˆx1 + ˆx2dˆx2 + ˆx3dˆx3 = 0. (17.6)
Damit kann man die abhängige Variable ˆx3 und ihr Differential dˆx3 aus dem Linienelement
eliminieren und erhält
dl 2 = dˆx 2 1 + dˆx 2 2 + (ˆx1dˆx1 + ˆx2dˆx2) 2
a 2 − ˆx 2 1 − ˆx 2 2
= (a2 − ˆx 2 2)dˆx 2 1 + 2ˆx1ˆx2dx1dx2 + (a2 − ˆx 2 1)dˆx 2 2
a2 − ˆx 2 1 − ˆx 2 .
2
Wir transformieren auf sphärische Polarkoordinaten über
(17.7)
ˆx1 = a sin ϑ cos ϕ, ˆx2 = a sin ϑ sin ϕ, (ˆx3 = a cos ϑ). (17.8)
Dabei haben wir die Transformationsgleichung für ˆx3 nur der Vollständigkeit halber
4 Dieser darf nicht mit dem Raum-Zeit-Kontinuum verwechselt werden, das hier auch dreidimensional
ist. Die Koordinaten ˆx1, ˆx2 und ˆx3 sind alle raumartig.
Kosmologie 245

17 Die Metrik des homogenen isotropen Raumes
angegeben. Eine elementare Umrechnung ergibt dann
dl 2 = a 2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 . (17.9)
Dies ist die Metrik der Oberfläche einer Kugel mit Radius a. Anschaulich wird die Kugel
also zeitabhängig entsprechend a(t) aufgeblasen oder geschrumpft.
Wir führen eine weitere Transformation durch über die Zuordnung
und erhalten dadurch
r = sin ϑ, dr = cos ϑ dϑ, dϑ 2 = dr2
1 − r 2
(17.10)
dl 2 = a 2 2 dr
(t)
1 − r2 + r2dϕ 2
, (17.11)
mit der Beschränkung r ∈ [0,1].
In dieser Form erkennen wir die FRW-Metrik im zweidimensionalen Fall für q = 1. Die
Bezeichnung sphärischer Raum wird über den Zusammenhang zur Kugeloberfläche klar.
Die Koordinatenlinien entsprechend dabei denen in Polarkoordinaten, lediglich der r-
Maßstab ist durch den Faktor (1 − r 2 ) −1/2 gedehnt, für das Raumintervall zwischen dem
Punkt bei r = 0 und einem zweiten Punkt bei r = r1 mit ϑ und ϕ beliebig folgt also
ˆ
l =
dr
√ = arcsin(r).
1 − r2 (17.12)
Die Radialkoordinate hat also, wie bei der Schwarzschild-Metrik, nicht die Bedeutung
eines Abstandes. Abbildung 17.1 zeigt Kreisbögen, bei denen sich das Raumintervall
jeweils um einen konstanten Wert ändert, man vergleiche mit Abbildung 15.1 auf Seite
195. Die Radialkoordinate r dagegen ändert sich nicht äquidistant. Der maximal zulässige
Wert für r ist auch in diesem Diagramm natürlich 1.
a) Konform-Euklidische Koordinaten
Eine alternative Darstellung dieser Metrik erhalten wir über die Transformation
¯r = 2 tan ϑ
2
, d¯r = dϑ
cos 2 ϑ
2
, dϑ = d¯r
1 + ¯r2
. (17.13)
4
Um in (17.9) den Ausdruck sin 2 ϑ durch ¯r auszudrücken, benutzen wir die trigonometrische
Relation sin 2 ϑ = 4 sin 2 (ϑ/2) cos 2 (ϑ/2). Wir können weiter umformen mit Hilfe der
246

Relation
17.3 Die Friedmann-Robertson-Walker Metrik
Abbildung 17.1: Äquidistante Raumintervalllinen in der Metrik der Kugeloberfläche.
Die blauen Kreisbögen haben jeweils bezüglich der Metrik
(17.11) den gleichen Raumabstand. Man sieht aber sofort, dass die Radialkoordinaten
nicht äquidistant sind. Alle betrachteten Kreisbögen liegen im
Wertebereich r ∈ [0, 1].
2 ϑ ϑ
4 sin cos2
2 2
= 4
1 − 1
1 + ¯r2
4
1
1 + ¯r2
4
=
r
¯r 2
¯r 1 + 2 2 , (17.14)
4
die aus cos 2 (ϑ/2) = [1 + tan(ϑ/2)] −1 und sin 2 (ϑ/2) = tan 2 (ϑ/2) · [1 + tan(ϑ/2)] −1 folgt,
und kommen auf
dl 2 = a2 (t)
¯r 1 + 2
2 2 2
2 d¯r + ¯r dϕ
4
. (17.15)
Abschließend transformieren wir wieder auf Polarkoordinaten über
¯x = ¯r cos ϕ, ¯y = ¯r sin ϕ, ¯r 2 = ¯x 2 + ¯y 2
(17.16)
und erhalten
dl 2 = a2 (t)
¯r 1 + 2
2 2
2 d¯x + d¯y
4
. (17.17)
Dies entspricht einer stereographischen Projektion der Kugeloberfläche auf die Ebene,
siehe Abbildung 17.2. Diese Form der FRW-Metrik wird ebenfalls oft verwendet. Eine
gute Zusammenfassung der verschiedenen häufig verwendeten Koordinaten für die FRW-
Metrik findet sich im Catalogue of Spacetimes. [24]
Kosmologie 247

17 Die Metrik des homogenen isotropen Raumes
N
O
S
x2, y2
ϑ2, ϕ2
ϑ1, ϕ1
x1, y1
Abbildung 17.2: Stereographische Projektion der Kugeloberfläche auf die
Ebene.
17.3.3 Die Metrik der Pseudosphäre
Im Fall q = −1 führt die Nebenbedingung
ˆx 2 1 + ˆx 2 2 − ˆx 2 3 = −a 2 , (17.18)
die ein zweischaliges Rotationshyperboloid, auch “Pseudosphäre“ genannt, beschreibt,
zum Ziel. Abbildung 17.3 zeigt ein solches Rotationshyperboloid. Dabei nehmen wir
außerdem eine Pseudo-Euklidische Metrik der Form
dl 2 = dˆx 2 1 + dˆx 2 2 − dˆx 2 3
an. Analog zur Kugeloberfläche führen wir neue Koordinaten ein über
(17.19)
ˆx1 = a sinh ϑ cos ϕ, ˆx2 = a sinh ϑ sin ϕ, (ˆx3 = a cosh ϑ). (17.20)
Wieder lässt sich die ˆx3 Koordinate durch die Nebenbedingung (17.18) und ihre differentielle
Form eliminieren. Entsprechend dem vorherigen Abschnitt kommen wir damit
auf das räumliche Abstandsquadrat
248
dl 2 = a 2 dϑ 2 + sinh 2 ϑdϕ 2 . (17.21)

17.3 Die Friedmann-Robertson-Walker Metrik
Abbildung 17.3: Zweischaliges Rotationshyperboloid ˆx 2 1 + ˆx2 2 − ˆx2 3 = −a2
mit Einbettungszylinder ˆx3 = ˆx 2 1 + ˆx2 2 . Die beiden Pole befinden sich bei ±a.
N
Statt der Transformation in (17.10) benutzen wir dieses mal analog
und kommen sofort auf
S
r = sinh ϑ, dr = cosh ϑ dϑ, dϑ 2 = dr2
1 + r 2
(17.22)
dl 2 = a 2 2 dr
(t)
1 + r2 + r2dϕ 2
. (17.23)
Wieder erkennen wir die zweidimensionale Form der Robertson-Walker Metrik, hier für
q = −1. Die Koordinatenlinien entsprechend wieder denen in Polarkoordinaten bis auf
eine Stauchung des r-Maßstabs durch den Faktor (1 + r 2 ) −1/2 . Für das Raumintervall
zwischen dem Punkt bei r = 0 und einem zweiten Punkt bei r = r1 mit ϑ und ϕ beliebig
folgt in diesem Fall
siehe auch Abbildung 17.4.
ˆ
l =
dr
√ 1 − r 2
= arsinh(r), (17.24)
Kosmologie 249

17 Die Metrik des homogenen isotropen Raumes
Abbildung 17.4: Äquidistante Raumintervalllinen in der Metrik der Pseudosphäre.
Die blauen Kreisbögen haben jeweils bezüglich der Metrik (17.23)
den gleichen Raumabstand. In diesem Fall ist die Radialkoordinate nicht
beschränkt.
a) Poincaré-Modell
Analog zur Einführung Konform-Euklidischer Koordinaten bei positiver Krümmung setzen
wir
¯r = 2 tanh ϑ
,
2
dϑ
d¯r = 2 ϑ cosh
2
r
, dϑ = d¯r
1 − ¯r2
. (17.25)
4
Lediglich die Verwendung des Tangens Hyperbolicus statt des gewöhnlichen Tangens
und einige Vorzeichenunterschiede in den entsprechenden trigonometrischen Relationen
unterscheiden diese Transformation von (17.13). Ebenso können wir (17.14) unter Verwendung
der gleichen trigonometrischen Relationen auf die Hyperbolischen Funktionen
übertragen. Damit erhalten wir
dl 2 = a2 (t)
¯r 1 − 2
4
2
d¯r 2 + ¯r 2 dϕ 2 . (17.26)
Schließlich können wir wieder die Transformation in Gleichung (17.16) vornehmen und
gelangen dadurch zu
dl 2 = a2 (t)
¯r 1 − 2
2 2
2 dx + dy
4
. (17.27)
Dies ist das Poincaré-Modell der Lobachevsky-Metrik. Im Vergleich zu (17.17) steht hier
im Nenner des ersten Terms ein Minuszeichen. Für mehr Details sei auf Literatur zur
hyperbolischen Geometrie verwiesen.
250

17.3 Die Friedmann-Robertson-Walker Metrik
Abbildung 17.5: Die Rotationsfläche der Traktrix oder Schleppkurve. Die
zweidimensionale FRW-Metrik lässt sich im Fall q = −1 auf die Metrik
dieser Rotationsfläche transformieren.
b) Kleinsches Modell
Eine weitere Form ergibt sich schließlich durch
1 + iw
1 − iw
Diese Transformation führt auf
¯x + i¯y
= , mit w = u + iv. (17.28)
2
ds 2 = du2 + dv 2
v 2 , mit v > 0. (17.29)
Dies ist die Metrik der Rotationsfläche der Traktrix 5 , siehe Abbildung 17.5.
5 Die Traktrix ist die Kurve, die ein Punkt beschreibt, der an einer Stange gezogen wird. Sie heißt
daher auch Schleppkurve.
Kosmologie 251

17 Die Metrik des homogenen isotropen Raumes
17.4 Dreidimensionaler Fall
Das Vorgehen ist analog zum zweidimensionalen Fall. Wir verzichten daher auf die Darstellung
der expliziten Rechnungen, die keine neuen Einsichten erlauben, und skizzieren
diese nur für den Fall q = 1, d.h. die 3-Sphäre, die Oberfläche der 4-dimensionalen Kugel,
die wir in den 4-dimensionalen Euklidischen Raum mit Koordinaten ˆx1, ˆx2, ˆx3, ˆx4
einbetten. Es folgt dann
dl 2 = dˆx 2 1 + dˆx 2 2 + dˆx 2 3 + (ˆx1dˆx1 + ˆx2dˆx2 + ˆx3dˆx3) 2
a2 − ˆx 2 1 − ˆx 2 2 − ˆx 2 . (17.30)
3
Dabei lässt sich ˆx4 wiederum über die Nebenbedingung, dass nur Punkte auf der Kugeloberfläche
betrachtet werden, eliminieren. Mit Hilfe der 4-dimensionalen sphärischen
Polarkoordinaten
ˆx1 = a sin χ sin ϑ cos ϕ, ˆx2 = a sin χ sin ϑ sin ϕ, ˆx3 = a sin χ cos ϑ, (ˆx4 = a cos χ)
(17.31)
erhalten wir direkt das Linienelement
dl 2 = a(t) 2 dχ 2 + sin 2 χ dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2
analog zu (17.9). Weiter erhalten wir das zu (17.11) äquivalente Linienelement
dl 2 = a 2 2 dr
(t)
1 − r2 + r2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2
über die Transformation r = sin χ.
(17.32)
(17.33)
Auch die Transformation auf Konform-Euklidische Koordinaten ist analog möglich über
¯r = 2 tan (χ/2). Die Metrik ergibt sich damit zu
dl 2 = a2 (t)
¯r 1 + 2
4
bzw. mit x = ¯r sin ϑ cos ϕ, y = ¯r sin ϑ sin ϕ und z = ¯r cos ϕ auf
252
2
dl 2 = a2 (t)
¯r 1 + 2
4
d¯r 2 + ¯r 2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 , (17.34)
2
dx 2 + dy 2 + dz 2 . (17.35)

17.5 Verallgemeinerung
17.5 Verallgemeinerung
Man kann allgemein beweisen, dass aus der Forderung von Homogenität und Isotropie
die von uns anschaulich gefundenen Lösungen mit verschwindender bzw. konstant positiver
oder konstant negativer Krümmung folgen. Wir betrachten für diese abschließende
Zusammenfassung wieder das volle Linienelement ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2 .
Alle Fälle lassen sich dann in folgender Metrik zusammenfassen:
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 2 dr
(t)
1 − qr2 + r2 dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2
, für q = 0, ±1 (17.36a)
ds 2 = c 2 dt 2 − a2 (t)
2 1 + q ¯r 2
4
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (t) dχ 2 ⎧
⎨
+
⎩
dx 2 + dy 2 + dz 2 , für q = 0, ±1, (17.36b)
sin 2 χ
χ 2
sinh 2 χ
⎫
⎧
⎬
⎪⎨ für q = 1
2 2 2
dϑ + sin ϑdϕ für q = 0
⎭
⎪⎩
für q = −1.
(17.36c)
Die Metriken in Gleichung (17.36) und insbesondere (17.36c) sind der Ausgangspunkt
für die folgenden Betrachtungen.
Eine wesentliche Aufgabe der Kosmologie ist es, den Wert von q und die Form von
a(t) zu bestimmen. Dazu sind zum einen Beobachtungen und Experimente nötig, zum
anderen aber auch theoretische Überlegungen und weitere Modellannahmen, um die
experimentellen Ergebnisse mit a und q in Form von mathematische Gleichungen zu
verknüpfen. Auf diese Überlegungen gehen wir im nächsten Kapitel ein.
Kosmologie 253

18 Die Einsteinschen
Gravitationsgleichungen
Wir hatten in Abschnitt 14 die Einsteinschen Feldgleichungen eingeführt. Unser Ziel
wird es jetzt sein, diese Gleichungen für die FRW-Metrik explizit aufzustellen und zu
lösen. Wir gehen dabei von der Form der Feldgleichungen in (14.36) aus:
Rµν = −κT ∗ µν. (18.1)
Unsere Aufgabe ist es nun, den Ricci-Tensor Rµν aus der Form der FRW-Metrik zu
berechnen und für den Energie-Impuls-Tensor T ∗ µν = Tµν− 1
2 gµνT einen geeigneten Ansatz
aus unseren Grundannahmen zur Struktur des Universums zu finden.
Mit diesen Größen werden wir dann allgemeine Feldgleichungen erhalten, die aber aufgrund
der hohen Symmetrie der FRW-Metrik eine relativ einfache Form aufweisen.
18.1 Der Ricci-Tensor
Um den Ricci-Tensor der FRW-Metrik zu berechnen, erinnern wir uns an die Definition
der Christoffelsymbole 2. Art in Gleichung (10.16) und des Ricci-Tensor (12.13):
Γ σ µν = 1
2 gσα (gαν,µ + gµα,ν − gµν,α) ,
Rµν = Γ α µα,ν − Γ α µν,α − Γ α σαΓ σ µν + Γ α σνΓ σ µα.
Für die Metrik (17.36a) haben wir die nichtverschwindenden Metrikkomponenten
(18.2)
g00 = c 2 , g11 = − a(t)2
1 − qr 2 , g22 = −a(t) 2 r 2 , g33 = −a(t) 2 r 2 sin 2 ϑ. (18.3)
Kosmologie 255

18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen
Einsetzen in die Definition der Christoffelsymbole führt auf die nichtverschwindenden
Ausdrücke
Γ 0 11 = a(t)˙a(t)
c2 (1 − qr2 ) , Γ022 = r2a(t)˙a(t) c2 , Γ 0 33 = r2 sin2 ϑa(t)˙a(t)
c2 , (18.4a)
Γ 1 11 = qr
1 − qr 2 , Γ1 10 = ˙a(t)
a(t) , Γ1 22 = −(1 − qr 2 )r, Γ 1 33 = −(1 − qr 2 )r sin ϑ,
(18.4b)
Γ 2 12 = 1
r , Γ224 = ˙a(t)
a(t) , Γ233 = − sin ϑ cos ϑ, (18.4c)
Γ 3 13 = 1
r , Γ323 = cot ϑ, Γ 3 03 = ˙a(t)
.
a(t)
(18.4d)
Alle anderen Christoffelsymbole verschwinden oder entsprechen bei Vertauschung der
unteren Indizes einem der aufgelisteten. Einsetzen der entsprechenden Christoffelsymbole
in die Definition von Rµν in (18.2) führt auf
Rµν =
⎛
⎜
⎝
3 ä
a 0 0 0
0 − 1
1−qr 2 A 0 0
0 0 −r 2 A 0
0 0 0 −r 2 sin 2 ϑA
⎞
⎟
1
⎠ , mit A =
c2 2
a(t)ä(t) + 2˙a(t) + 2q.
(18.5)
Die einfache Struktur des Ricci-Tensor ist natürlich kein Zufall. In ihr spiegelt sich die
Annahme eines homogenen und isotropen Raumes wider, die wir als Bedingung an die
FRW-Metrik gestellt hatten.
18.2 Der Energie-Impuls-Tensor der Materie
Wir betrachten allgemein die Materie im Raum näherungsweise als homogen; d.h. wir
mitteln über so große Raumbereiche (die natürlich immer noch klein gegenüber dem
gesamten Weltall sind), dass wir insgesamt die Materie als gleichverteilt ansehen können.
Lokale Schwankungen werden dabei vernachlässigt. Zusätzlich wollen wir annehmen, dass
es keine Wechselwirkung der Materieteilchen untereinander gibt. Man denkt sich also das
Universum homogen mit wechselwirkungsfreiem Staub erfüllt.
Der Energietensor der Materie enthält dann keine Beiträge von Wechselwirkungsenergien
und Deformationsenergie. In einem Minkowski-Raum hat der Energietensor dann die
256

18.2 Der Energie-Impuls-Tensor der Materie
Form
T µν = σu µ u ν = σ dxµ dx
dτ
ν
, (18.6)
dτ
dabei ist σ die Ruhedichte der Materie, d.h. die von einem mitbewegten Koordinatensystem
aus gemessene Dichte der Materie im üblichen Sinne, u µ die Komponenten der
Vierergeschwindigkeit und dτ = 1 − β2 dt das Differential der Eigenzeit.
Beim Übergang zur ART müssen wir im Energietensor den Lorentzskalar dτ durch den
allgemeinen Skalar ds ersetzen. Es ist daher
T µν = σ dxµ
dτ
dx ν
dτ
= σc2 dxµ
ds
Wir benötigen den kovarianten Tensor Tµν = gµαgνβT αβ , dies führt auf
Tµν = σc 2 dx
gµαgνβ
µ
ds
dxν . (18.7)
ds
dxν . (18.8)
ds
Wir nehmen weiter an, dass wegen der Homogenität des Raumes der Staub, d.h. die
Materie global keine Geschwindigkeitskomponente hat und dass außerdem die lokalen
Geschwindigkeiten der Materieteilchen zueinander ungeordnet und sehr viel kleiner als c
sind. In dem von uns verwendeten mitbewegten Koordinatensystem ist dann die Materie,
wenn man ihre ungeordnete lokale Bewegung vernachlässigt, lokal immer in Ruhe. Offensichtlich
ist eine derartige Wahl für ein isotropes Modell vernünftig. Bei einer anderen
Wahl würde die Geschwindigkeitsrichtung der Materie eine scheinbare Nichtäquivalenz
der verschiedenen Richtungen im Raum hervorrufen.
Anschaulich können wir dies wieder in einem zweidimensionalen Beispiel verdeutlichen:
Ameisen laufen annähernd gleichverteilt ungeordnet auf einer Kugel herum während die
Kugel größer oder kleiner wird, d.h. ihr Radius ist a = a(t). Das Koordinatennetz auf der
Kugel wird mit “aufgeblasen”, die Ameisen entfernen sich zwar voneinander, sind aber
lokal bezüglich des Koordinatennetzes an jedem Punkt der Kugeloberfläche im Mittel in
Ruhe. Von jedem Punkt aus gesehen laufen alle anderen Punkte “radial” weg.
Für lokale Geschwindigkeiten v ≈ 0 ≪ c gilt
damit folgt direkt
ds 2 ≈ c 2 dt 2 , (18.9)
T µν ≈ σ dxµ
dt
dxν . (18.10)
dt
Kosmologie 257

18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen
Es ist dann nur T 00 = 0 mit
T 00 0 dx
≈ σ
dt
2
= σ, (18.11)
alle anderen Komponenten verschwinden. Der Ruheenergiedichtetensor hat also die Form
Man beachte:
(T µν ) = diag (σ, 0, 0, 0). (18.12)
Die Ruhedichte σ ist kein Skalar sondern die 00-Komponente eines
Tensors.
Da nur die 00-Komponente von T µν nicht verschwindet gilt für den kovarianten Tensor
Tµν = gµ0gν0T 00 = δµ0δν0g 2 00T 00 . (18.13)
Dabei folgt das zweite Gleichheitszeichen aus der Diagonalgestalt der Metrik. Also haben
wir den sehr einfachen Ausdruck
(Tµν) = c 4 · diag (σ, 0, 0, 0). (18.14)
Außerdem haben wir für die vollständige Kontraktion von Tµν dann
und damit
T ∗ µν = Tµν − 1
2 gµνT
= 1
2 c2 σ · diag
T = g µν Tµν = g 00 T00 = c 2 σ (18.15)
c 2 ,
a2 1 − qr2 , a2r 2 , a 2 r 2 sin 2
ϑ .
18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das
gewählte Materiemodell
(18.16)
Nachdem wir den Ricci-Tensor für die FRW-Metrik und den Energie-Impuls-Tensor für
unser Materiemodell berechnet haben, können wir nun die Einsteinschen Feldgleichungen
258

18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das gewählte Materiemodell
diskutieren. Mit Rµν aus Gleichung (18.5) und T ∗ µν aus Gleichung (18.16) ergibt sich
⎛
⎜
⎝
3 ä
a 0 0 0
0 − 1
1−qr 2 A 0 0
0 0 −r 2 A 0
0 0 0 −r 2 sin 2 ϑA
⎞
⎟
⎠ = −κ
2 c2 ⎛
c
⎜
σ ⎜
⎝
2 0
0 0 0
a2 1−qr2 0 0
0 0 a2r2 0
0 0 0 a 2 r 2 sin 2 ϑ
(18.17)
mit A = [a(t)ä(t) + 2˙a(t) 2 ] /c 2 + 2q ebenfalls aus Gleichung (18.5). Die Gleichungen sind
für die Nichtdiagonalelemente mit µ = ν trivial erfüllt. Für µ = ν erhält man im Fall
µ = 1,2,3 dieselbe Gleichung, nämlich
1
c2 2
aä + 2˙a + 2q = κ 1
2 c2σa 2 bzw. aä + 2˙a 2 + 2qc 2 = 4πGσa 2 . (18.18)
Dies ist kein Zufall sondern ergibt sich zum einen daraus, dass die FRW explizit für einen
homogenen und isotropen Raum aufgestellt wurde und zum anderen unser Materiemodell
ebenfalls homogen und isotrop ist.
Für µ = ν = 0 erhält man nach kleiner Umformung weiter
Einsetzen von (18.19) in (18.18) ergibt
⎞
⎟
⎠ ,
ä = − 4
πGσa. (18.19)
3
˙a 2 + qc 2 − 8π
3 Gσa2 = 0. (18.20)
Um einen weiteren sehr nützlichen Zusammenhang zu erhalten, bilden wir die Zeitableitung
von (18.20). Dies führt auf
2˙aä − 8
3 Gπ 2σa˙a + ˙σa 2 = 0. (18.21)
Dabei tritt auch die Zeitableitung der Ruhedichte σ auf, die sicherlich zeitabhängig ist.
Wieder setzen wir für ä Gleichung (18.19) ein. Dann erhalten wir
− 8
3a πG σa 2 ˙a + ˙σa 3 = 0. (18.22)
Dabei haben wir als weiteren Schritt aus der Klammer einen zusätzlichen Faktor 1/a
ausgeklammert. Dies hat den Vorteil, dass die Klammer jetzt die Zeitableitung des Aus-
Kosmologie 259

18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen
drucks σa 3 darstellt und wir daher schließlich den Zusammenhang
d 3
σa
dt
= σa 2 ˙a + ˙σa 3 = 0 und damit σa 3 = const = M (18.23)
erhalten. Da dieser Ausdruck die Dimension einer Masse hat, führen wir dafür das Symbol
M ein. Dieses Ergebnis setzen wir nun wieder in Gleichung (18.18) ein und erhalten
dann die Einstein-Gleichung
˙a 2 + qc 2 − 8
3 πGM
a
18.3.1 Qualitative Diskussion der Lösungen
= 0. (18.24)
Unser Ziel ist es natürlich, die Einstein-Gleichung (18.24) zu lösen. Man kann aber
bereits durch eine qualitative Untersuchung dieser Gleichung viel über die Eigenschaften
der Lösungen lernen. Dazu benutzen wir die Form
˙a 2 − 8
3 πGM
a = −qc2 . (18.25)
Abgesehen von Zahlenfaktoren ist dies eine Gleichung der Form Ekin + Epot = Eges für
ein Teilchen mit Geschwindigkeit ˙a im −1/a-Potential.
Abhängig vom Wert von q erhalten wir daher drei Lösungstypen:
1. Für q = 1 ist die Gesamtenergie negativ. Dies entspricht einer gebundenen Bewegung
des Teilchens. In unserem Fall bedeutet dies, dass das Universum sich bis zu
einer maximalen Ausdehnung aMax ausdehnt und dann wieder kollabiert.
2. Für q = 0 ist die Gesamtenergie Null. Dies entspricht dem Grenzfall, in dem das
Teilchen exakt die nötige Energie hat um aus dem Potential zu entkommen. Für
dieses Universum ergibt sich eine immer langsamer werdende Expansion, d.h. ˙a
geht gegen Null. Dennoch steigt der der Skalenfaktor über alle Grenzen.
3. Für q = −1 ist die Gesamtenergie größer als Null. Dies entspricht einem ungebundenen
Teilchen. Auch in diesem Fall dehnt sich das Universum für alle Zeit aus,
die Expansionsgeschwindigkeit ˙a ist höher als im Fall q = 0 und geht nicht gegen
Null.
In Abbildung 18.1 sind diese Zusammenhänge noch einmal verdeutlicht.
260

V
18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das gewählte Materiemodell
aMax
˙a = 0
q = −1
q = 0
a
q = 1
Abbildung 18.1: Qualitative Betrachtung zu Gleichung (18.24). Fasst man
diese Gleichung analog zur Energiebilanz eines Teilchens im −1/a-Potential
auf, so entspricht der Fall q = 1 negativer Gesamtenergie. In diesem Fall
erreicht das Universum daher eine maximale Ausdehnung und muss dann
wieder kollabieren. Die Fälle q = 0, bzw. q = −1 entsprechen verschwindender,
bzw. positiver Gesamtenergie. Hier dehnt sich das Universum für alle
Zeit aus.
18.3.2 Explizite Form der Lösungen
In diesem Abschnitt soll die Einstein-Gleichung (18.24) nun gelöst werden. Für die expliziten
Rechnungen setzen wir
a0 = 4πGM
3c2 (18.26)
und erhalten die kompaktere Ausgangsform
˙a 2 2 a0
− 2c
a = −qc2 . (18.27)
Die spezielle Wahl für a0 führt nachher auf eine übersichtliche Darstellung der Lösungen.
a) Lösung für q = 0
Für q = 0 erhalten wir
Integration liefert
˙a = da
dt
2a0
= ±c
a , bzw. √ a da = √ 2a0 c dt. (18.28)
2
3 a3/2 = c √ 2a0(t − t0), (18.29)
Kosmologie 261

18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen
mit der Integrationskonstante t0. Wir fordern a(0) = 0, damit ergibt sich t0 = 0. Auflösen
nach a führt schließlich auf
a = 3c a0
2/3 · t
2
2/3 , (18.30)
siehe Abbildung 18.2. Weiter erhalten wir
˙a = 2
3c
3
a0
2
2/3
Wir führen an dieser Stelle noch die Hubblekonstante
H(t) = ˙a(t)
a(t)
· t −1/3 . (18.31)
(18.32)
ein, auf deren Bedeutung wir später zurückkommen. Es muss betont werden, dass diese
Größe konstant heißt, weil sie zu jedem Zeitpunkt überall im Universum den gleichen
Wert hat. Sie darf sich aber mit der Zeit t ändern, was man ja aus der Definition bereits
sieht.
Für das spezielle a(t) und ˙a(t) in diesem Fall ergibt sich
b) Lösung für q = 1
Für q = +1 haben wir
˙a 2 =
2a0
a
H(t) = 2 1
. (18.33)
3 t
− 1 c 2 , bzw.
da
2a0
a
− 1
= ±c dt. (18.34)
Wir benutzen den Ansatz a = a0(1 − cos η) und da = a0 sin η dη. Daraus folgt
±cdt = a0
√
sin η dη 1 − cos η
= a0 √ sin η dη.
− 1 1 + cos η
(18.35)
2
1−cos η
An dieser Stelle führen wir über x = cos η und dx = − sin η dη eine weitere Transformation
durch, die auf
√
1 − x
±c dt = −a0 √ dx
1 + x
(18.36)
262

18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das gewählte Materiemodell
führt. Integration dieser Gleichung führt mit der Relation arccos(x) = π/2 − arcsin(x)
auf
±c (t − t0) = −a0 − arccos x + √ 1 − x2
. (18.37)
Mit dieser Form lässt sich die Rücktransformation sehr leicht durchführen und führt auf
±c (t − t0) = a0 (η − sin η) . (18.38)
Aus der Bedingung a = 0 für t = 0 folgt η0 = 0 als Anfangswert. Dies führt dann wieder
auf t0 = 0. Damit haben wir die Parameterdarstellung der Lösung
a = a0 (1 − cos η)
ct = a0 (η − sin η) ,
(18.39)
die ebenfalls in Abbildung 18.2 gezeigt ist.
Gleichung (18.39) ist die Darstellung einer gewöhnlichen Zykloide mit dem Radius a0
des rollenden Kreises und dem Wälzwinkel η. Im Gegensatz zum Fall q = 0 ist dies also
eine periodische Lösung, a wird erst größer, erreicht einen Maximalwert und geht dann
wieder auf Null zurück.
c) Lösung für q = −1
Das Vorgehen ist demjenigen für q = 1 sehr ähnlich. Man erhält zuerst
˙a 2 =
2 a0
+ 1 c
a 2 ,
da
= ±c dt. (18.40)
a0 2 + 1 a
Der Ansatz a = a0 (cosh η − 1) und da = a0 sinh η dη führt dann auf
±c dt = a0
√
sinh η dη cosh η + 1
= a0 √ sinh η dη.
+ 1 cosh η − 1
(18.41)
2
cosh η−1
Analog zu oben setzt man x = cosh η, dx = sinh η dη und erhält
√
x − 1
±c dt = a0 √ dx. (18.42)
x + 1
Integration führt dann auf
c(t − t0) = a0
√
x2 − 1 − arcosh(x) . (18.43)
Kosmologie 263

18 Die Einsteinschen Gravitationsgleichungen
a(t)
2a0
a0
c π
q = −1
∼ t
q = 0
∼ t 2/3
˙a = 0,
η = π q = +1
Abbildung 18.2: Lösungen der Einstein-Gleichung. Für q = 1 ergibt sich
ein geschlossenes Universum mit der Gleichung einer Zykloide. Für q = 0
und q = −1 resultieren sich unendlich ausdehnende Universen, wobei für
q = 0 die Expansionsrate für große Zeiten gegen Null und für q = −1 gegen
Eins strebt.
Nach Rücktransformation ergibt sich hier
c(t − t0) = a0 (sinh η − η) . (18.44)
Aus der Bedingung a = 0 für t = 0 folgt wieder η0 = 0 als Anfangswert und es muss
wieder t0 = 0 sein. Damit haben wir die Parameterdarstellung der Lösung
a = a0 (cosh η − 1)
ct = a0 (sinh η − η) ,
analog zur Darstellung im Fall q = 1, die ebenfalls in Abbildung 18.2 gezeigt ist.
d) Zusammenfassung der Lösungen
t
(18.45)
Wie wir bei der qualitativen Untersuchung bereits gesehen haben, entspricht der Fall
q = 1 einem geschlossenen Universum 1 , das sich bis auf einen Maximalwert ausdehnt
1 Unsere Verwendung des Begriffes “geschlossenes Universum” ist nicht ganz präzise. Eigentlich ist damit
gemeint, ob der betrachtete Raum endlich, d.h. geschlossen, wie etwa eine Kugeloberfläche, ist oder
nicht. Wir verstehen darunter aber ein Universum, das nach einer Ausdehnungsphase rekollabiert.
Bei Modellen mit kosmologischer Konstante sind diese beiden Dinge nicht mehr gleichwertig. Wir
behalten hier unsere ungenaue aber in diesem Kontext passende Sprechweise bei. Mehr zu diesem
264

18.3 Auswertung der Feldgleichungen für das gewählte Materiemodell
und dann wieder kollabiert. Für den Fall q = 0 haben wir a ∼ t 2/3 und ˙a ∼ t −1/3 , d.h.
wie erwartet geht die Expansionsrate gegen Null, das Universum dehnt sich aber über
alle Grenzen aus. Diese Lösung heißt auch Einstein-De-Sitter-Universum. Für den
Fall q = −1 haben wir keine explizite Form a(t). Wir können aber aus Gleichung (18.45)
ablesen, dass für große η
ct
a
gilt. Das bedeutet, für große Zeiten ist
ct
tanh η, und damit lim
η↦→∞ a
= 1 (18.46)
a ∼ t, bzw. ˙a = c. (18.47)
Die Expansionsrate bleibt in diesem Fall für alle Zeiten größer als Null, wie wir bereits in
unserem einfachen Potentialbild gesehen haben. Abbildung 18.2 zeigt die verschiedenen
Lösungstypen im Vergleich. Alle Lösungen starten bei a = 0, dem “Urknall“ oder Big
Bang. Das q = 1-Modell endet auch bei a = 0, dem Big Crunch.
Alle in diesem Kapitel diskutierten Standardmodelle der Kosmologie zeigen gebremste
Expansion. Wie wir noch sehen werden, deuten Beobachtungen aber auf eine beschleunigte
Expansion des Universums hin. Um ein solches Universum beschreiben zu können,
muss die Einstein-Gleichung modifiziert werden. Damit befassen wir uns im nächsten
Kapitel.
Thema findet sich in D. Meyers Diplomarbeit. [41]
Kosmologie 265

19 Weltmodelle mit kosmologischer
Konstante
Wir werden in diesem Abschnitt die Feldgleichungen um die kosmologische Konstante erweitern,
die Einstein nachträglich eingeführt hat. Dadurch ergibt sich eine Fülle weiterer
Lösungen mit zum Teil neuen Eigenschaften.
19.1 Einsteins kosmologisches Glied
Die bisher diskutierten Lösungen waren bereits bekannt, bevor klar war, dass wir tatsächlich
in einem expandierenden Universum leben. Einstein ging zu dieser Zeit davon
aus, dass das Universum statisch ist, seine Feldgleichungen ließen diese Lösung aber nicht
zu. Aus diesem Grund schlug er 1917 eine Modifikation seiner Feldgleichungen mit einem
zusätzlichen Term Λgµν vor. [42] Wir hatten in Gleichung (14.36) diesen Term bereits
ohne Begründung mitgeführt.
An dieser Stelle soll kurz Einsteins Argumentation skizziert werden, weil wir diese an
anderer Stelle noch einmal aufgreifen werden. Aus Betrachtungen über das Verhalten des
Gravitationspotentials im Unendlichen in der Newtonschen Gravitationstheorie heraus,
betrachtete Einstein statt der Poisson-Gleichung
die Helmholtz-Gleichung
∆φ = 4πGϱ (19.1)
∆φ − Λφ = 4πGϱ, (19.2)
mit dem freien Parameter Λ. Im Unterschied zur Poisson-Gleichung hat diese Gleichung
eine nichtverschwindende Lösung für eine räumlich konstante Dichte ϱ0:
φ = − 4πG
Λ ϱ0. (19.3)
Lokale Schwankungen der Materiedichte führen dann zu Korrekturen ˜ φ dieses Potentials.
Für kleine Werte von Λ würde ˜ φ sich dann beliebig ähnlich einem Newtonschen
Kosmologie 267

19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante
Gravitationspotential verhalten.
Man erkennt leicht denn Sinn hinter dieser Überlegung: Mit dem Korrekturterm Λφ
wird ein statisches Universum mit überall konstanter Dichte möglich. In analoger Weise
argumentierte Einstein dann für einen zusätzlichen Term Λgµν in den Einsteinschen
Feldgleichungen. Mit der Entdeckung durch E. Hubble, dass das Universum expandiert,
die wir noch genauer betrachten werden, verlor die kosmologische Konstante ihre Berechtigung
und es wurde allgemein angenommen, dass sie verschwindet.
Beobachtungen weit entfernter Supernovae in den 1990er Jahren legten allerdings nahe,
dass das Universum beschleunigt expandiert und die kosmologische Konstante daher
einen sehr kleinen aber nichtverschwindenden Wert besitzt. Wir werden diese Beobachtungen
noch ausführlicher diskutieren.
In der heutigen Kosmologie spielt Λ also wieder eine wichtige Rolle, wenn auch eine
ganz andere als von Einstein ursprünglich beabsichtigt: Statt eine statische Lösung der
Feldgleichungen zu ermöglichen, sorgt die kosmologische Konstante heute für die Beschleunigung
der Expansion.
19.2 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung
Wird die kosmologische Konstante in den Berechnungen mitgeführt, so sieht man leicht,
dass man statt Gleichung (18.20) den modifizierten Zusammenhang
˙a 2 + qc 2 − 8π
3 Gσa2 − Λ
3 c2 a 2 = 0 (19.4)
erhält. Gleichzeitig ergibt sich anstatt Gleichung (18.19) die Erweiterung
ä = − 4 Λ
πGσa +
3 3 c2a. (19.5)
Bildet man wie oben die Zeitableitung von Gleichung (19.4) und setzt Gleichung (19.5)
ein, so kürzen sich die Terme, die Λ enthalten. Dadurch bleibt der Zusammenhang σa 3 =
M aus Gleichung (18.23) weiter gültig.
Einsetzen in Gleichung (19.4) führt also auf
˙a 2 − 8π
3 GM
a
Diese Gleichung heißt Friedmann-Lemaître-Gleichung. 1
− Λ
3 c2 a 2 = −qc 2 . (19.6)
1 Georges Lemaître, 1894 – 1966, Belgischer Astrophysiker und katholischer Priester. Er schlug als
erster die Urknalltheorie vor, die daraufhin von vielen Wissenschaftlern zunächst abgelehnt wurde,
268

19.2.1 Qualitative Diskussion der Lösungen
19.2 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung
Wie für die Gleichungen ohne kosmologisches Glied wollen wir zuerst eine qualitative
Diskussion durchführen. Gleichung (19.6) kann wieder als eine Energiebilanz betrachtet
werden, wenn wir das effektive Potential
Veff = − 8π
3 GM
a
− Λ
3 c2 a 2
(19.7)
einführen. Abbildung 19.1 zeigt Potentialverläufe für verschiedene Werte von Λ. Das
Verhalten der Lösungen hängt stark vom genauen Wert von Λ ab. Ist Λ > 0 so existieren
folgende Möglichkeiten:
• Ist Λ groß genug, so dehnt sich das Universum unabhängig vom Wert von q für
alle Zeit aus, dieser Fall entspricht Λ1 in Abbildung 19.1.
• Ist Λ kleiner, so gibt es für q = 1 wiederum ein geschlossenes Universum, das eine
maximale Ausdehnung erreicht und dann wieder kollabiert (Λ2).
• Zwischen diesen beiden Fällen existiert ein Wert für Λ, bei dem das Maximum der
potentiellen Energie für q = 1 exakt der Gesamtenergie entspricht. In diesem Fall
nähert sich a asymptotisch dem Maximalwert, während ˙a gegen Null geht (ΛE). Es
ergibt sich dann also nach einer gewissen Zeit ein statisches Universum. Alternativ
ergibt sich für die Anfangsbedingung ˙a = 0 ein völlig statisches Universum ohne
Urknall, das exakt an diesem Punkt liegt. Dieses Modell wurde von Einstein in Verbindung
mit der Einführung der kosmologischen Konstante vorgeschlagen. Es ist
allerdings instabil, da jede Abweichung von Λ vom korrekten Wert das Universum
entweder kollabieren oder expandieren lässt.
Der Fall Λ < 0 entspricht für alle Werte von q einem gebundenen Teilchen. Jede Lösung
dieses Typs muss wieder kollabieren (Λ3).
19.2.2 Λ-dominierte Dynamik
Wir betrachten hier nur den Fall Λ > 0. Für große Werte von a werden die Terme 8π
und qc 2 vernachlässigbar gegenüber dem Term der kosmologischen Konstante und statt
Gleichung (19.6) ergibt sich
3
G M
a
˙a 2 − Λ
3 c2a 2
Λ
= 0, bzw. ˙a = ± ca. (19.8)
3
weil sie zu sehr an die christliche Schöpfungslehre angelehnt sei.
Kosmologie 269

19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante
V
aMax
˙a = 0
Λ1
ΛE
Λ3
Λ2
q = −1
q = 0
a
q = 1
Abbildung 19.1: Qualitative Betrachtung zur Friedmann-Lemaître-Gleichung
(19.6). Für Λ < 0 sind nur geschlossenen Universen möglich, die wieder
kollabieren, dies entspricht der Kurve für Λ3. Für Λ > 0 expandieren
alle Universen mit q = 0 oder q = −1. Je nach dem Wert von Λ kollabieren
Universen mit q = 1, dies entspricht der Kurve für Λ1 oder sie expandieren,
dies entspricht der Kurve für Λ2. Zusätzlich existiert der Grenzfall ΛE, der
ein Universum beschreibt, das asymptotisch auf einen Maximalwert expandiert
und damit letztlich statisch erscheint, bzw. je nach Anfangsbedingung
für alle Zeit bereits in diesem Zustand war.
Wir betrachten nur den Fall für positives Vorzeichen. Diese Gleichung kann leicht integriert
werden und wir erhalten
Λ
a(t) = a0 exp
3 ct
. (19.9)
Die resultierende Metrik heißt de-Sitter-Metrik. Sie beschreibt ein materiefreies,
flaches Universum. Wie wir aber gerade gesehen haben, verhält sich jedes unendlich
expandierende Universum mit kosmologischer Konstante asymptotisch wie die de-Sitter-
Raumzeit.
Die de-Sitter-Metrik ist die im steady-state-Modell von H. Bondi und T. Gold auftretende
Raumzeit. [43] Dieses Modell wurde 1948 als Alternative zur Urknallhypothese vorgestellt,
ist aber inzwischen durch Beobachtungen widerlegt. Dennoch wird die de-Sitter-
Raumzeit, auch aufgrund ihrer einfachen Metrik, die es möglich macht viele Rechnungen
noch analytisch auszuführen, auch heute noch in theoretischen Arbeiten oft betrachtet.
Eine verwandte Raumzeit, die Anti-de-Sitter-Raumzeit spielt auch in der String-Theorie
eine wichtige Rolle.
270

19.2.3 Berechnung von Vmax
19.2 Die Friedmann-Lemaître-Gleichung
Der Wert für a, bei dem das effektive Potential für Λ > 0 maximal wird, lässt sich leicht
berechnen. Die Bedingung dVeff/da = 0 führt auf 4πGM/a 2 = Λc 2 a und damit auf
4πGM
a =
Λc2 1/3
. (19.10)
Der Wert des Potentials Vmax = V (amax) an dieser Stelle ergibt sich weiter zu
Vmax = − 8π
3 GM
4πGM
Λc 2
−1/3
− Λ
3 c2
4πGM
Λc2 2/3
> 0
≤ − 8π
3 GM
19.2.4 Quantitative Betrachtung der Lösungen
4πGM
Λc 2
−1/3
.
(19.11)
Der zusätzliche Term aufgrund des kosmologischen Termes erschwert die Lösung der
Friedmann-Lemaître-Gleichung im Vergleich zur Einstein-Gleichung sehr. Nicht für alle
Werte der Parameter können analytische Lösungen gefunden werden. Der einfachste
Fall ergibt sich für verschwindende Materie und Krümmung q = 0. Damit erhalten wir
wieder die de-Sitter-Metrik aus Abschnitt 19.2.2. Generell sind leere Universen für die
Kosmologie wenig interessant. Einige dieser Modelle spielten aber historisch wichtige
Rollen [44] oder haben, wie etwa die Anti-De-Sitter Metrik, Einzug in moderne Theorien
gefunden. Abbildung 19.2 zeigt die Skalenfaktoren für leere Universen. Es existieren
nur für 6 der 9 möglichen Kombinationen von Λ und q Lösungen für die Friedmann-
Gleichung, bei den anderen Kombinationen wird der Ausdruck für ˙a 2 negativ.
Für ein nichtleeres Universum, d.h. mit M = 0 kann nur im Fall verschwindender Krümmung
q = 0 eine analytische Lösung angegeben werden. Je nach Vorzeichen von Λ lautet
diese
4πGM
a(t) =
Λ
4πGM
a(t) =
|Λ|
cosh( √
3Λt) − 1
1/3
1 − cos(
|3Λ|t)
1/3 für Λ > 0, (19.12a)
für Λ < 0. (19.12b)
Die Raumzeit in Gleichung (19.12a) beschreibt ein anfangs abgebremst expandierendes
und später beschleunigt expandierendes Universum und ist daher ein durch neueste
Beobachtungen unterstützter möglicher Kandidat für unser Universum. [13] Abbildung
Kosmologie 271

19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante
19.3 zeigt die Lösungen der Friedmann-Gleichung für alle Wertekombinationen von Λ
und q. Die Modelle mit Λ = 0 entsprechen den in Kapitel 18 besprochenen und in
Abbildung 18.2 bereits gezeigten Lösungen.
Für Λ > 0 und q = 1 hängt das Verhalten vom genauen Wert von Λ ab. Ist der Wert
größer als ΛE für ein statisches Universum, so liegt auch hier beschleunigte Expansion
vor. Für Λ = ΛE hängt die Dynamik zusätzlich sensibel von den Anfangsbedingungen
ab. Bei der richtigen Wahl ergibt sich das von Einstein bezweckte, statische Universum,
ansonsten entweder ein sich aus einem Urknall heraus entwickelndes Universum, bei
dem der Skalenfaktor sich einem festen Wert nähert, oder ein Universum, bei dem der
Skalenfaktor sich von einem festen Wert ausgehend über alle Schranken vergrößert. Diese
Eigenschaften haben wir in der qualitativen Analyse und im Text zu Abbildung 19.1
bereits ausführlich diskutiert. Für Λ < ΛE schließlich ergibt sich wieder ein geschlossenes
Universum oder alternativ ein von unendlicher Ausdehnung kommendes und über einen
minimalen Wert sich wieder zu unendlicher Ausdehnung entwickelndes Universum.
19.3 Der Hubble-Parameter als Maß für das Weltalter
In Gleichung (18.32) hatten wir den Hubble-Parameter H(t) = ˙a/a eingeführt. Der Wert
H −1 kann als Abschätzung des Alters des Universums betrachtet werden. Die Tangente
an die Kurve a(t) an einer Stelle t0 hat die Steigung ˙a(t0). Der Wert von H −1 wäre also
das Alter des Universums, wenn es sich für alle Zeit linear ausgedehnt hätte, denn dann
wäre a(t0) = ˙a(t0)t0.
Bei abgebremster Expansion wird bei dieser Abschätzung das Alter des Universums
überschätzt und bei beschleunigter Expansion unterschätzt. Abbildung 19.4 zeigt diese
beiden Fälle.
19.4 Die Eigendistanz zwischen Objekten
Es ist eine nichttriviale Aufgabe, auf kosmologischen Längenskalen eine Entfernung zu
definieren, da die entsprechenden Raumzeiten ja vom Expansionsfaktor a(t) abhängen.
Insbesondere kann die Koordinate χ nicht dazu dienen, die Entfernung zwischen zwei
Punkten zu charakterisieren, da sich offensichtlich die Entfernung zwischen zwei ruhenden
Objekten, d.h. mit konstantem χ. mit a(t) ändert. Eine Möglichkeit ergibt sich
über die Eigendistanz. Das ist diejenige Entfernung, die sich ergeben würde, wenn
es möglich wäre, zu einem festen Zeitpunkt t zwischen zwei Punkten, deren Entfernung
ermittelt werden soll, unendlich viele Beobachter zu positionieren und deren momentane
Entfernungen zueinander aufzusummieren.
272

Λ < 0
Λ = 0
Λ > 0
a(t)
1.1
a(t)
2.1
a(t)
3.1
t
t
t
1.2
a(t)
2.2
a(t)
3.2
19.4 Die Eigendistanz zwischen Objekten
q = −1 q = 0 q = 1
Abbildung 19.2: Skalenfaktoren a(t) für leere Weltmodelle mit M = 0. Es
existiert nicht für alle Kombinationen von Λ und q eine Lösung, wie man aus
(19.6) leicht sehen kann. Bild 1.1 zeigt die Anti-de-Sitter Metrik, Bild 2.1
zeigt lineare Ausdehnung. Ein solches Universum wurde von Milne 1933 diskutiert.
[44] Bild 3.2 zeigt den Skalenfaktor der urknallfreien De-Sitter Metrik.
Die Metriken in 3.1 und 3.3 sind allerdings auch in die De-Sitter Raumzeit
eingebettet. Für mehr Details zu diesen Modellen sei auf W. Rindlers Buch
verwiesen. [13]
t
t
1.3
2.3
a(t)
3.3
t
Kosmologie 273

19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante
274
Λ < 0
Λ = 0
Λ > 0
a(t)
1.1
a(t)
2.1
a(t)
3.1
a(t)
q = −1 q = 0 q = 1
t
t
t
a(t)
a(t)
1.2
a(t)
2.2
a(t)
3.2
a(t)
3.3 a) t 3.3 b) t 3.3 c)
Λ > ΛE Λ = ΛE Λ < ΛE
Abbildung 19.3: Skalenfaktoren a(t) für alle nichtleeren Weltmodelle. Die
Modelle mit Λ = 0 entsprechen den in Kapitel (18) besprochenen und in
Abbildung 18.2 bereits gezeigten Lösungen. Bild 1.2 und 3.2 sind die in Gleichung
(19.12) dargestellten Skalenfaktoren, wobei 3.2 vermutlich der tatsächlichen
Dynamik unseres Universums am nächsten kommt. Die Fälle 1.1, 1.3
und 3.1 sind nur qualitativ dargestellt, da für diese Parametersätze keine
analytischen Lösungen der Friedmann-Gleichung existieren. Bild 3.3 wurde
nochmals unterteilt, da für Λ > 0 und q = 1 die Dynamik sehr vom Wert
von Λ abhängt. Für Λ = ΛE sind abhängig von den Anfangsbedingungen ein
expandierendes Universum mit Schranke für a, ein statisches und ein von einem
endlichen Wert unendlich expandierendes Universum möglich. Dieses
Bild ist angelehnt an eine Skizze aus dem Lehrbuch von E. Rebhan. [45]
t
t
t
a(t)
1.3
a(t)
2.3
t
t
t

a(t)
H −1
(a)
t0
t
a(t)
19.4 Die Eigendistanz zwischen Objekten
H −1
Abbildung 19.4: Mit der Größe H −1 = a/˙a kann das Alter des Universums
abgeschätzt werden. Bei abgebremster Expansion ist der Schätzwert zu groß,
bei beschleunigter Expansion zu klein.
a(t1)
Abbildung 19.5: Ein durch die rote Linie angedeutetes Photon startet bei
t = t1 bei ϑ1 = 0 auf einer Kugeloberfläche zu einem Punkt bei ϑ = ϑ2. Wenn
es dort zum Zeitpunkt t2 ankommt, beträgt die Distanz zum Ausgangspunkt
d = a(t2)ϑ2.
Wir betrachten der Einfachheit halber die Situation auf einer sich aufblasenden Kugel.
Wenn wir etwa bei ϑ1 = 0 zum Zeitpunkt t0 ein Photon zu einem Objekt bei ϑ2
losschicken, das dort zur Zeit t2 ankommt, so hat das Photon dort die Distanz
d2 = a(t2)ϑ2
a(t2)
ϑ2
(b)
t0
t
(19.13)
zum Ausgangspunkt, siehe Abbildung 19.5. Wegen der Bedingung ds 2 = 0 für Licht
ergibt sich weiter c dt = a(t) dϑ und daher
ˆ
d2 = a(t2)
t1
t2
c dt ′
a(t ′ . (19.14)
)
Kosmologie 275

19 Weltmodelle mit kosmologischer Konstante
Eine analoge Beziehung ergibt sich dann für dϑ = dϕ = 0 für die FRW-Metrik in
Gleichung (17.36c), wenn man ϑ durch χ ersetzt:
276
d = a(t)χ. (19.15)

20 Beobachtung unseres
Universums und Vergleich mit
der Theorie
Die bisherigen Überlegungen waren sehr allgemein. Um herauszufinden, durch welches
Modell unser Universum beschrieben wird, ist der Vergleich mit Beobachtungen unumgänglich.
Bei kosmologischen Untersuchungen steht man vor dem Problem, dass die
interessanten Größen nicht direkt gemessen werden können. So kann bei einer weit entfernten
Galaxie etwa die Helligkeit und das Spektrum vermessen werden, die Entfernung
der Galaxie lässt sich aber nicht direkt bestimmen. Um die gesuchten Größen bestimmen
zu können müssen daher Zusammenhänge über die messbaren Größen hergestellt
werden.
20.1 Die kosmologischen Parameter
Wir haben mit der Massendichte σ(t), der Hubblekonstante H(t) sowie der kosmologischen
Konstante Λ und der Krümmung q alle für die Friedmann-Gleichung wichtigen
Faktoren eingeführt. Wir können aber durch Umformung der Friedmann-Gleichung aus
diesen Größen andere Parameter bilden, die sich komfortabler behandeln lassen. Dazu
multiplizieren wir in einem ersten Schritt Gleichung (19.6) mit a −2 durch. Dies führt uns
auf
˙a 2
a
8π M
− G 2 3 a3
σ
− Λ
3 c2 + qc2
= 0. (20.1)
a2 Mit der Definition der Hubblekonstante in Gleichung (18.32) ist hier der erste Term
einfach H 2 (t). Wir multiplizieren weiter mit H −2 (t) durch und bringen die anderen
Terme auf die andere Seite. Dann haben wir
1 = 8π
3H2 Λc2
Gσ(t) +
(t) 3H2 (t) −
qc2 H2 . (20.2)
(t)a(t) 2
Kosmologie 277

20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie
Auf der rechten Seite dürfen nur dimensionslose Größen stehen. der Faktor vor σ(t) muss
daher die Einheit einer inversen Massendichte haben. Dementsprechend definieren wir
die kritische Dichte
σcrit(t) = 3H2 (t)
. (20.3)
8πG
Abschließend führen wir für die drei Terme in Gleichung (20.2) neue Bezeichnungen ein:
Einen Parameter, der aus der Massendichte resultiert:
Def.
Ωm
σ(t)
= . (20.4a)
σcrit
Einen Parameter, der von der kosmologischen Konstante herrührt:
ΩΛ
Sowie einen Parameter, der aus der Krümmung folgt:
Ωq
Def. Λc
= 2
. (20.4b)
3H(t) 2
Def. qc
= − 2
H(t) 2 . (20.4c)
a2 Wegen (20.2) gilt für diese Parameter die wichtige Summenregel
für alle Zeiten t.
Ωm(t) + ΩΛ(t) + Ωq(t) = 1, (20.5)
Man kann diesen Zusammenhang grafisch im so genannten Kosmischen Dreieck darstellen,
das von Bahcall et. al. eingeführt wurde, siehe Abbildung 20.1. Das kosmische
Dreieck ist gleichseitig und so aufgebaut, dass an jedem Punkt im Dreieck die Summenregel
(20.5) erfüllt ist. Je nach den Werten der drei Parameter ergeben sich unterschiedliche
Universen mit unterschiedlicher Dynamik. Das heute favorisierte Modell heißt ΛCDM.
Dabei steht CDM für “Cold Dark Matter” und das Λ deutet an, dass in diesem Modell
die kosmologische Konstante ungleich Null ist.
In der modernen Kosmologie wird diese meist als Dunkle Energie bezeichnet und ihr
Ursprung ist unklar. Die dunkle Energie ist die Ursache für die beschleunigte Expansion.
Dass die Expansion des Universums momentan beschleunigt wird, folgert man aus der
Beobachtung weit entfernter Supernovae, wie wir noch diskutieren werden.
278

20.1 Die kosmologischen Parameter
Abbildung 20.1: Das Kosmische Dreieck, aus einer Arbeit von Bahcall
et. al. 1999. [46] Die Bezeichnung Ωk entspricht unserem Ωq. Je nach den
Werten der drei Parameter ergeben sich unterschiedliche Universen mit unterschiedlicher
Dynamik. Eingezeichnet sind die drei bedeutenden Modelle
OCDM (Open Cold Dark Matter), SCDM (Standard Cold Dark Matter) und
das heute favorisierte ΛCDM, das Modell mit kalter dunkler Materie und
dunkler Energie. Dabei ist der Raum flach und die Expansion beschleunigt.
Kosmologie 279

20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie
20.2 Die kosmologische Rotverschiebung
Um die kosmologische Rotverschiebung untersuchen zu können, müssen wir uns mit der
Lichtausbreitung in FRW-Universen beschäftigen. Dazu verwenden wir die FRW-Metrik
in der Form (17.36c):
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (t) dχ 2 ⎧
⎨
+
⎩
sin 2 χ
χ 2
sinh 2 χ
20.2.1 Primitive Überlegung
⎫
⎧
⎬
⎪⎨ für q = 1
2 2 2
dϑ + sin ϑdϕ für q = 0
⎭
⎪⎩
für q = −1.
(20.6)
In diesem Abschnitt möchten wir die kosmologische Rotverschiebung im Sinne Hubbles,
als durch eine Fluchtgeschwindigkeit verursacht, betrachten. Es sei aber darauf hingewiesen,
dass dieses Bild nicht korrekt ist, die betrachteten Galaxien sind im Mittel in
Ruhe, aber der Raum zwischen uns und den Galaxien dehnt sich aus. Dennoch kann
man mit diesem einfachen Bild für kleine Rotverschiebungen gute Ergebnisse erzielen.
Wir betrachten einen Beobachter bei χ = ϑ = ϕ = 0 und einen Spiralnebel, der bei
χ,ϑ,ϕ ruht. Der Abstand zur festen Zeit t (dt = dϑ = dϕ = 0) ergibt sich zu
ds 2 = a 2 (t)dχ 2 bzw. ds = a(t)dχ oder s = a(t)χ. (20.7)
Zur Erinnerung: Im 2-dimensionalen Fall wäre s = a(t)ϑ auf der Kugel.
Das Problem an dieser Situation ist die konstante Zeit, dt = 0. Die Messung der Distanz
bei fester Zeit durchzuführen ist schwierig. Es ist aber prinzipiell möglich mit Hilfe
vieler, streng genommen unendlich vieler, Beobachter B1, . . . ,Bn, die auf der Strecke
verteilt sind. Jeder von ihnen misst zur Zeit t den Abstand zum Nachbarn und ihre
Messergebnisse werden aufsummiert. Mathematisch führt dies auf
l =
ˆ χ
χ=0
ds =
ˆ χ0
χ=0
a(t)dχ ′ . (20.8)
Dies ist dann die bereits in Abschnitt 19.4 eingeführte Eigendistanz. Wichtig ist dabei,
dass die Integration hier bei konstanter Zeit durchgeführt wird. Die Methode ist allerdings
nicht realistisch, s = a(t)χ ist eine Näherung, wenn s von der Erde aus gemessen
wird. Es ist
˙s = ˙a(t)χ = ˙a
˙a ˙s
s = Hs also H = = (20.9)
a a s
mit der Hubbleschen Konstante H, die wir bereits eingeführt haben. Die “Flucht-
280

20.2 Die kosmologische Rotverschiebung
geschwindigkeit” mit der sich der Spiralnebel entfernt ist also proportional zur Entfernung.
Die Größe ˙s wird mit Hilfe des Dopplereffektes gemessen. Sei λ0 die emittierte
Wellenlänge und λ1 die bei uns gemessene Wellenlänge. Wir definieren den Rotverschiebungsparameter
z = λ(t1) − λ(t0)
λ(t0)
= λ(t1)
− 1. (20.10)
λ(t0)
Dabei ist t1 der Zeitpunkt der Beobachtung und t0 der Zeitpunkt der Emission des
entsprechenden Photons. Die Frequenzverschiebung aufgrund des Dopplereffektes ist ge-
geben durch
ω0 = ω1
√
1 + β
√ ≈ ω1
1 − β
1 + β
1 +
2
β
≈ ω1(1 + β). (20.11)
2
Dabei berücksichtigen wir natürlich nur den transversalen Dopplereffekt, siehe Abschnitt
6.7.3. Also ergibt sich
ω0 − ω1
ω1
= β = v
c
= z, d.h. v = ˙s = cz und H = cz . (20.12)
s
Der Rotverschiebungsparameter misst also die scheinbare Fluchtgeschwindigkeit in Einheiten
der Lichtgeschwindigkeit. Diese primitive Überlegung ist allerdings nur für χ ≪ 1,
s ≪ a und ˙s ≪ c richtig.
20.2.2 Exakte Überlegung
Wir betrachten Licht, dass zu einem Zeitpunkt t0 ausgesandt wurde. Licht bewegt sich
im isotropen Raum, von uns aus gesehen, radial (kürzeste Verbindung = “Großkreis”).
also dϑ = 0, dϕ = 0. Für Licht gilt ds = 0 also
Integration dieser Gleichung liefert
0 = c 2 dt 2 − a 2 (t)dχ 2 ⇒ c dt = a(t)dχ. (20.13)
ˆ
χ = c
t0
t1
dt
, (20.14)
a(t)
wobei t0 den Zeitpunkt der Emission und t1 den Zeitpunkt der Ankunft bei uns bedeutet.
Für den Fall, dass a(t) = a = const gilt, ergibt sich einfach χ = c
a (t1 − t0), bzw. s = aχ
wie im letzten Abschnitt, denn im Zeitintervall [t0,t1] legt das Licht die Raumdistanz
Kosmologie 281

20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie
a −1 (t)
χ
t0 t1 tm 2tm
Abbildung 20.2: Zur Berechnung der kosmologischen Rotverschiebung: Die
Radialkoordinate χ einer beobachteten Galaxie ist proportional zur Fläche
unter der Kurve a −1 (t) über den Zeitraum der Lichtlaufzeit.
sL = c(t1 − t0) zurück. Der Wert von χ ist also proportional zur Fläche unter der Kurve
a −1 (t) in Abbildung 20.2.
Der für uns entscheidende Punkt ist, das die Koordinate χ der betrachteten Galaxie
zeitunabhängig, d.h. fest im mitbewegten Koordinatensystem ist. Wir betrachten nun
von der Galaxie ausgesandtes Licht, genauer zwei aufeinander folgende Wellenberge der
elektromagnetischen Welle.
• Der 1. Wellenberg startet zur Zeit t0 und erreicht uns zur Zeit t1.
• Der 2. Wellenberg startet zur Zeit t0 + ∆t0, erreicht uns zur Zeit t1 + ∆t1.
Da sich χ nicht ändert muss also gelten
χ =
ˆt1
t0
dt
a(t) =
wobei für typische Lichtfrequenzen ν0 ungefähr
∆t0 = 1
ν0
t1+∆t1 ˆ
t0+∆t0
dt
, (20.15)
a(t)
∼ 10 −10 s (20.16)
gilt. Während dieser Zeitspanne kann die Expansion völlig vernachlässigt werden und a
als konstant betrachtet werden. Die beiden Integrale in Gleichung (20.15) unterscheiden
sich nur um kleine Anteile, siehe Abbildung 20.3. Das erste Integral beinhaltet einen
282
t

a −1 (t)
t0
t1
t0 + ∆t0 t1 + ∆t1
20.2 Die kosmologische Rotverschiebung
Abbildung 20.3: Bestimmung der kosmologischen Rotverschiebung: Die
in Gleichung (20.15) vorkommenden Integrale unterscheiden sich nur um
kleine Anteile. Die graue Fläche ist in beiden Integralen beinhaltet, die grüne
Fläche wird zusätzlich in der Integration von t0 bis t1 berücksichtigt und die
gelbe bei der Integration von t0 + ∆t0 bis t1 + ∆t1.
zusätzlichen Anteil ∆t0/a(t0), das zweite eine zusätzlichen Anteil ∆t1/a(t1). Damit folgt
direkt
D.h. wir haben
und für den ergibt sich
∆t0
a(t0)
= ∆t1
a(t1) , mit ∆t1 = 1
a(t0)ν0 = a(t1)ν1, bzw. ω0
z = λ(t1) − λ(t0)
λ(t0)
ω1
= a(t1)
− 1, bzw.
a(t0)
ν1
= a(t1)
a(t0)
a(t1)
a(t0)
t
. (20.17)
(20.18)
= 1 + z, (20.19)
d.h. die Rotverschiebung ist nur vom Verhältnis der Skalenfaktoren bei der Emission und
bei der Ankunft abhängig, aber nicht von der zeitlichen Entwicklung in der Zwischenzeit.
Der Parameter z wird direkt durch Analyse von Spektren gemessen. Je größer z ist, umso
weiter blicken wir in die Vergangenheit zurück.
• In seiner Arbeit von 1929 betrachtete E. Hubble Galaxien mit Rotverschiebung bis
etwa z ≤ 0,004. [47] Er interpretierte die kosmologische Rotverschiebung wie bereits
erwähnt fälschlicherweise als vom Dopplereffekt aufgrund einer Fluchtgeschwindig-
Kosmologie 283

20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie
keit der Galaxien herrührend. In dieser Interpretation entsprechen die betrachteten
Rotverschiebungen einer Fluchtgeschwindigkeit von v ≤ 1100 km/s.
• Mit dem Hubble-Weltraumteleskop wurden Supernovae vom Typ Ia mit Rotverschiebungen
im Bereich 0,5 < z < 1,7 beobachtet. Diese Beobachtungen erlaubten
Rückschlüsse auf die Dynamik der Expansion des Universums, wie wir später noch
sehen werden.
Natürlich treten bei der Beobachtung der Rotverschiebung mehrere Probleme und mögliche
Fehlerquellen auf:
• Die Eigenbewegung unserer Milchstraße im lokalen Nebelhaufen führt zu einem
wirklichen Dopplereffekt. Dieser ist durch Mittelung und Annahme einer statistischen
Geschwindigkeitsverteilung zu beseitigen.
• Die Galaktische Rotation, diese ergibt eine systematische Rot- oder Blauverschiebung
mit v ≈ 215 km/s je nach Beobachtungsrichtung. Diese ist durch vektorielle
Subtraktion zu beseitigen.
• Die lokale Geschwindigkeit der Galaxien relativ zum Koordinatennetz führt zu Abweichungen,
diese wird ebenfalls durch statistisches Mitteln beseitigt, d.h. werden
viele Galaxien beobachtet, so sollten sie sich im Mittel nicht relativ zu uns bewegen.
20.3 Die Arbeit von Edwin Hubble am Mt. Wilson
Observatorium
Die Entdeckungen Edwin Hubbles 1 haben unser Verständnis des Universums stark
verändert. Hubbles benutzte für seine Arbeit das 1917 in Betrieb genommene Hooker
Teleskop mit einem 2,5 m Spiegel, das bis 1948 das größte Teleskop der Welt war. [48]
Hubbles wichtigste Entdeckungen waren die Entdeckung von anderen Galaxien außer
der Milchstraße und die entfernungsabhängige Rotverschiebung der Spektren anderer
Galaxien.
20.3.1 Entdeckung anderer Galaxien
Als Hubble 1919 an das Mt. Wilson Observatorium kam, war die vorherrschende Meinung,
dass das Universum nur aus der Milchstraße besteht. Hubble gelang es in mehreren
1 Edwin Hubble, 1889 – 1953, Amerikanischer Astronom
284

20.4 Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung
Spiralnebeln, von denen damals unklar war, ob sie einfach Nebel innerhalb der Milchstraße
oder eigene Galaxien waren, veränderliche Sterne, so genannte Cepheiden zu
entdecken. Diese haben, wie H. S. Leavitt2 1908 entdeckte eine enge Beziehung zwi-
[49, 50]
schen Periodendauer P und Leuchtkraft M:
M = −2,81 log P − 1,43. (20.20)
Sie können daher als Standardkerzen zur Entfernungsmessung verwendet werden. Hubble
konnte nachweisen, dass diese Sterne viel zu weit entfernt waren, als dass sie Teil der
Milchstraße sein konnten.
20.3.2 Entfernungsabhängige Rotverschiebung
Bereits 1912 hatte V. Slipher 3 die spektrale Rotverschiebung von Galaxien entdeckt. [51]
Hubble konnte nun da er die Entfernung von Galaxien mit der gerade erwähnten Methode
bestimmen konnte, die von Slipher bestimmten Rotverschiebungen mit seinen Entfernungsmessungen
verknüpfen. Dies führte ihn zu der berühmten Hubble Beziehung, nach
der die Fluchtgeschwindigkeit mit der sich eine Galaxie von uns wegbewegt, proportional
zu ihrer Entfernung ist. [47] Hubble interpretierte die kosmologische Rotverschiebung
dabei wie bereits mehrfach gesagt fälschlicherweise als Dopplereffekt.
Bereits 1927 hatte aber G. Lemaître sich Gedanken über ein expandierendes Universum
gemacht und die Expansion vorhergesagt.
20.4 Beziehung zwischen Helligkeit und
Rotverschiebung
Außer der Rotverschiebung kann man natürlich auch die scheinbare Helligkeit einer Galaxie
messen. Wir werden sehen, dass eine Verknüpfung dieser beiden Größen Aufschlüsse
über die Entwicklung unseres Universums erlaubt. Dazu werden wir als nächstes die
Strahlungsflussdichte einer weit entfernten Galaxie berechnen.
20.4.1 Die Strahlungsflussdichte
Wir betrachten eine weit entfernte Galaxie. Als Strahlungsflussdichte bezeichnet man die
bei uns gemessene Energie der Strahlung dieser Galaxie pro Zeit und Fläche bei einer
2 Henrietta Swan Leavitt, 1868 – 1921, Amerikanische Astronomin
3 Vesto Slipher, 1875 – 1969, Amerikanischer Astronom
Kosmologie 285

20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie
bestimmten Frequenz:
S = E
. (20.21)
F · ∆t
Die Strahlungsflussdichte wird von der insgesamt vom Objekt bei einer bestimmten
Frequenz abgestrahlten Leistung I0, von der Koordinate χ der betrachteten Galaxie,
sowie vom Emissionszeitpunkt t0 und vom Zeitpunkt t1, bei dem die Strahlung bei uns
ankommt, abhängen:
S = S(I0, t0, t1, χ). (20.22)
Dabei ist I0 proportional zur absoluten Helligkeit der Galaxie. Sei N die Anzahl der in
∆t0 emittierten Photonen mit ω0. Dann gilt
N = n0∆t0, (20.23)
wenn n0 den Photonenzahlstrom bezeichnet, d.h. die pro Zeiteinheit mit Kreisfrequenz
ω0 emittierten Photonen. Die Gesamtenergie dieser Photonen ist
E(t0) = Nℏω0 = I0∆t0, (20.24)
Die im Zeitintervall ∆t0 emittierten Photonen kommen innerhalb eines Zeitintervalls ∆t1
bei uns an, d.h. es gilt auch
N = n1∆t1
(20.25)
und
E(t1) = Nℏω1 = I1∆t1. (20.26)
Die beobachtete Energie pro Zeit und Fläche ist dann bei Kombination von (20.24) und
(20.25)
S = E
F ∆t1
= n1ℏω1
. (20.27)
F
Wir schieben in diesen Ausdruck eine Eins in der Form ω0n0/(ω0n0) ein und kommen
auf
S = n0ℏω0 n1 ω1
=
F n0 ω0
I0 ∆t0 ω1
.
F ∆t1 ω0
(20.28)
Dabei haben wir ausgenutzt, dass wir das Verhältnis n1/n0 durch das Verhältnis ∆t0/∆t1
der Zeitintervalle ausdrücken können. Schließlich sind die Verhältnisse ∆t0/∆t1 und
ω1/ω0 jeweils durch das Verhältnis der Skalenfaktoren gegeben, daher haben wir schließ-
lich
286
S = I0
F
2 a(t0)
. (20.29)
a(t1)

20.4 Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung
Wir nehmen für F die Oberfläche einer Kugel mit Radius a(t1)χ an, dann ist
dsϑ(dχ = 0,dϕ = 0) = af(χ)dϑ,
dsϕ(dχ = 0,dϑ = 0) = af(χ) sin ϑdϕ,
dF = dsϑ · dsϕ = a 2 f 2 (χ) sin ϑdϑdϕ.
(20.30)
Dabei steht f(χ) stellvertretend für die drei Ausdrücke sin χ, χ und sinh χ für q = 1,
q = 0 oder q = −1. Integration liefert dann
‹
F =
dF = a 2 f 2 (χ)
ˆ
0
2π
ˆ
0
π
sin ϑdϑdϕ = 4πa 2 f 2 (χ). (20.31)
Wir setzen diesen Ausdruck in die Strahlungsflussdichte ein. Damit ergibt sich schließlich
der kompakte Ausdruck
S = I0
4π
a2 (t0)
a4 (t1)f 2 . (20.32)
(χ)
20.4.2 Die Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung
Wir haben mit Gleichung (20.32) nun einen Ausdruck für S in Abhängigkeit von a.
Wie wir bereits erwähnt haben, suchen wir aber eine Verknüpfung zwischen scheinbarer
Helligkeit und der Rotverschiebung, d.h. einen Ausdruck der Form S(z). Wir müssen
daher die Abhängigkeit von a nach z auflösen.
Dazu benutzen wir den Ausdruck für χ in Gleichung (20.15) und die Definition von z
in (20.19). Wir können nur für kleine z diese Rechnung analytisch durchführen. Dazu
entwickeln wir a(t) um t1 in eine Taylorreihe:
a(t) = a(t1) + ˙a(t1)(t − t1) + ä(t1)
2 (t − t1) 2 + O (t − t1) 3
= a(t1) 1 + H(t1)(t − t1) − 1
2 bH2 (t1)(t − t1) 2
+ O (t − t1) 3 ,
mit der Hubblekonstante H(t1) zum Zeitpunkt t1 und dem Bremsparameter
(20.33)
b = − a(t1)ä(t1)
˙a 2 . (20.34)
(t1)
Kosmologie 287

20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie
Eingesetzt ergibt sich
und
χ ≈ c
a(t1)
≈ c
a(t1)
z ≈
ˆt1
t0
dt
1 + H(t1)(t − t1) − 1
2 bH2 (t1)(t − t1) 2
(t1 − t0) + H(t1)
(t1 − t0)
2
2
,
(20.35)
1
1 + H(t1)(t − t1) − 1
2bH2 − 1. (20.36)
(t1)(t − t1) 2
Umgeformt ist (20.36) eine quadratische Gleichung für t1 − t0 mit der Lösung
Weiter gilt dann
t1 − t0 ≈ z
H(t1)
1 −
1 + b
2
Einsetzen von (20.37) und (20.38) in (20.35) führt auf
z
. (20.37)
(t1 − t0) 2 = z2
H(t1) 2 + O(z3 ). (20.38)
χ ≈
cz
a(t1)H(t1)
1 −
(1 + b)z
2
. (20.39)
Mit s = aχ folgt aus Gleichung (20.12) bereits H = cz/(aχ) für z ≪ 1. Hier haben
wir diesen Zusammenhang in höherer Ordnung abgeleitet, d.h. eine Erweiterung des
Hubble-Gesetzes.
Wir benutzen jetzt die Taylorentwicklungen sin χ ≈ χ + O(χ 3 ) und sinh χ ≈ χ + O(χ 3 ).
Diese sind in erster Ordnung gleich. Das ist ein wichtiges Ergebnis, denn damit erhalten
wir für jeden Wert von q einfach f ≈ χ und damit
a 2 (t1)f 2 (χ) ≈ c2
H 2 (t1) z2 [1 − (1 + b)z] . (20.40)
Jetzt bekommen wir mit dem Zusammenhang a 2 (t0)/a 2 (t1) = (1 + z) −2 , der direkt aus
der Definition der Rotverschiebung z in Gleichung (20.19) folgt, schließlich folgenden
Ausdruck
288
S ≈ I0
4π
a2 (t0)
a2 (t1)a2 I0
≈
(t1)χ2 4π
1
(1 + z) 2
H 2 (t1)
c 2 z 2
1
. (20.41)
1 − (1 + b)z

20.4 Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung
Wir nehmen, noch einmal unter der Annahme, dass z ≪ 1 gilt, die Näherungen (1 +
z) −2 ≈ 1−2z und (1−(1+b)z) −1 ≈ 1+(1+b)z vor und erhalten damit das Endergebnis
S = I0H 2 (t1)
4πc2 1 − (1 − b)z
z2 . (20.42)
Diesen Zusammenhang können wir dann direkt auch auf beliebige Frequenzen oder das
Gesamtspektrum übertragen.
Üblicherweise betrachten wir statt der Strahlungsflussdichte die absolute Helligkeit eines
kosmischen Objektes. Um auf einen Ausdruck für die absolute Helligkeit zu kommen
müssen wir Gleichung (20.42) etwas ausführlicher umformen. Zuerst multiplizieren wir
mit 4πc 2 /(I0H 2 (t1)) durch, logarithmieren dann beide Seiten und multiplizieren mit -1.
Auf der rechten Seite haben wir dann
1 − (1 − b)z
− lg
z2
= lg z 2 − lg(1 − (1 − b)z) ≈ 2 lg z + lg e · (1 − b)z. (20.43)
Im zweiten Schritt haben wir dabei eine Taylorentwicklung vorgenommen. Wir gehen
davon aus, dass h = −(1 − b)z ≪ 1 gilt. Dann können wir den Logarithmus um 1, d.h.
h = 0 herum entwickeln und erhalten lg(1 + h) = lg(1) + d
dh lg(1 + h)|0 · h, wobei für die
Ableitung d
dh
lg(1 + h) = lg e/(1 + h) gilt. Entsprechend der Definition des Unterschiedes
zwischen Größenklassen in Gleichung (7.4) multiplizieren wir dann noch mit 2,5 durch.
Insgesamt sind wir dann bei
−2,5 lg(S) + 2,5 lg(I0H(t1) 2 /4πc 2 ) = 5 lg z + 2,5 lg e · (1 − b)z (20.44)
angelangt. Der erste Term links stellt bereits die scheinbare Helligkeit m dar. Um auf die
absolute Helligkeit zu kommen erweitern wir den zweiten Term links mit einem, zunächst
allgemein gehaltenen, Referenzradius im Quadrat durch und trennen den zweiten Term
in zwei Teilterme auf:
−2,5 lg(S) + 2,5 lg(I0H(t1) 2 /4πc 2 2
I0
H (t1)R
) = m + 2,5 lg + 2,5 lg
2 ref
c2
4πR 2 ref
= m − M + 5 [lg(Rref) + lg(H(t1)/c)] .
(20.45)
Im letzten Schritt müssten wir um völlig korrekt vorzugehen die Einheiten der Größen
voneinander trennen, um zwei dimensionslose Größen in den beiden Logarithmen zu
erhalten und Rref = 10 pc setzen.
Wenn wir nun die linke Seite und rechte Seite unserer ursprünglichen Gleichung wieder
Kosmologie 289

20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie
zusammenführen, erhalten wir den Zusammenhang
m = M − 5 1 + lg H(t1)
+ 5 lg z + 2,5 lg e(1
− b)z + O(z
c
≈ 1,086
2 ). (20.46)
Damit haben wir also einen Ausdruck gefunden, der die bei uns beobachtete scheinbare
Helligkeit m eines Objektes mit dessen absoluter Helligkeit M und seiner Rotverschiebung
z verknüpft. Über die Hubblekonstante H(t1) und den Bremsparameter b geht auch
die Dynamik des Universums in die Formel ein. Bei gleichzeitiger Messung von m und z
kann daher, vorausgesetzt die absolute Helligkeit des betrachteten Objektes ist bekannt,
Rückschluss auf den Verlauf der Expansion des Universums geschlossen werden.
20.4.3 Korrekturen der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung
Der bisher hergeleitete Ausdruck S(z) für die Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung ist
noch in zwei Punkten sehr ungenau und erfordert eine Modifizierung durch Korrekturterme.
a) Die K-Korrektur
In Gleichung (20.46) steht die über alle Wellenlängen integrierte scheinbare Helligkeit.
Beobachtungsinstrumente sind aber nur in einem bestimmten Wellenlängenbereich sensitiv.
Aufgrund der Rotverschiebung ist das bei uns empfangene Spektrum der Quelle
ein anderes, als am Ort der Quelle selbst, welches nicht direkt bekannt ist. In die Bestimmung
dieser Korrektur müssen daher Modellannahmen eingehen. Zusammengefasst
gehen diese Korrekturen dann als Term K(z) in (20.46) ein.
b) Die E-Korrektur
In (20.46) steckt implizit die Annahme, dass sich die Leuchtkraft des beobachteten Objektes
nicht mit der Zeit ändert. Dies kann nicht richtig sein, denn Sterne ändern innerhalb
ihres Lebens ihre Leuchtkraft. Dann ändert sich auch die Leuchtkraft einer Galaxie
mit der Zeit. Je größer z für ein bestimmtes Objekt ist, desto früher in der Vergangenheit
beobachten wir dieses Objekt und dementsprechend groß kann der Leuchtkraftunterschied
aufgrund der Evolution des Objektes sein. Dieser Unterschied geht in Form des
Evolutionstermes E(z) in (20.46) ein. In diesen Term gehen Modelle zur Galaxienentwicklung
und darüber auch Modelle zur Sternentwicklung ein.
290

c) Korrigierte Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung
20.4 Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung
Mit den gerade diskutierten Korrekturen erhält man die korrigierte Formel
m = M − 5 1 + lg H(t1)
+ 5 lg z + 1,086 (1 − b)z − K(z) − E(z) + O(z
c
2 ) (20.47)
für den Zusammenhang zwischen scheinbarer Helligkeit und Rotverschiebung. Der Vergleich
mit Beobachtungen zeigt, dass ohne diese Korrekturen keine Übereinstimmung
mit den Messergebnissen erzielt werden kann. Gleichzeitig gehen damit aber zusätzliche
Modellannahmen in (20.47) ein, die die Auswertung zusätzlich kompliziert machen.
Weitere Details zu diesen Zusammenhängen finden sich im Buch von H. Goenner. [52]
20.4.4 Verwendung der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehung
zur Aufklärung der Dynamik des Universums
Wir haben bereits am Anfang dieses Abschnittes darauf hingewiesen, dass eine Beziehung
zwischen Helligkeit und Rotverschiebung eines Objektes Aufschluss über die Dynamik
des Universums geben kann. Diese Aussage wollen wir nun begründen. Dazu machen wir
uns zuerst klar, dass die Helligkeit eines Objektes ein Maß für die Entfernung ist. Für eine
gegebene absolute Helligkeit M wird uns ein Objekt umso dunkler erscheinen, je weiter
es von uns entfernt ist. Wir nehmen nun an, wir hätten ein kosmisches Objekt beobachtet
und festgestellt, dass sein Spektrum eine Rotverschiebung von z.B. z = 1 aufweist. Aus
Gleichung (20.10) sehen wir dann sofort, dass das Verhältnis des Skalenfaktors a(t1) heute
zum Skalenfaktor als das Licht vom Objekt ausgesandt wurde gleich 0,5 ist, unabhängig
von der zeitlichen Entwicklung des Skalenfaktors in der Zwischenzeit.
Die Lichtlaufzeit und damit die Entfernung des Objektes von uns allerdings wird von
der zeitlichen Entwicklung abhängen. Dies wird anhand von Abbildung 20.4 klar. In einem
beschleunigt expandierenden Universum ist das Licht zu einem früheren Zeitpunkt
tb emittiert worden als in einem konstant beschleunigten Universum (tk) oder einem
abgebremst expandierenden Universum (tg). Das beobachtete Objekt wird also in einem
beschleunigt expandierenden Universum dunkler erscheinen als in einem konstant
beschleunigten Universum, in einem abgebremst expandierenden Universum dagegen
heller.
Helligkeits-Rotverschiebungsmessungen an Supernovae Ia
Die gerade diskutierte Methode wurde in den 1990er Jahren von zwei Gruppen mit
Hilfe von Supernovae vom Typ Ia durchgeführt. Unter diesem Typ versteht man die
Explosion eines Weißen Zwerges, der, bereits nahe an der Chandrasekhar-Grenzmasse,
Kosmologie 291

20 Beobachtung unseres Universums und Vergleich mit der Theorie
Gas von einem Begleiter einsammelt, bis seine Masse überkritisch wird. Daraufhin kommt
es zur thermonuklearen Zündung von Kohlenstoff und der Weiße Zwerg explodiert. Diese
Supernovae haben die wichtige Eigenschaft, dass auf ihre Helligkeit durch Untersuchung
der zeitlichen Entwicklung der Leuchtkraftkurve sehr genau Rückschluss gezogen werden
kann. Dies liegt vor allem daran, das der ablaufende Prozess in jedem Fall ähnlich sein
muss, da die Grenzmasse für Weiße Zwerge immer gleich ist.
Die absolute Helligkeit dieser Sternexplosionen ist also relativ gut bestimmbar. Abbildung
20.5 zeigt Ergebnisse von Messungen der Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehungen
von Supernovae dieses Typs. Diese Resultate deuten auf eine beschleunigte Expansion
des Universums hin.
292

a(t)
a(t1)
1
2 a(t1)
20.4 Beziehung zwischen Helligkeit und Rotverschiebung
tg
tk
tb
Abbildung 20.4: Zusammenhang zwischen Helligkeit und Rotverschiebung
eines kosmischen Objektes. Die Rotverschiebung des empfangenen Spektrums
hängt nur vom Verhältnis des Skalenfaktors heute zum Skalenfaktor
bei Emission des beobachteten Lichtes ab. Die Lichtlaufzeit dagegen ist in
einem beschleunigt expandierenden Universum mit Emissionszeitpunkt tb
länger als in einem konstant expandierenden Universum mit Expansionszeitpunkt
tk und dort wiederum länger als in einem abgebremst expandierenden
Universum mit Emissionszeitpunkt tg. Die Helligkeit des beobachteten
Objektes wird daher in einem beschleunigt expandierenden Universum am
kleinsten, in einem abgebremst beschleunigten Universum am größten sein.
Abbildung 20.5: Ergebnisse der Messung von Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehungen
für Supernovae Ia. Die Ergebnisse lassen auf eine beschleunigte
Expansion des Universums schließen. Das Bild stammt aus einer Publikation
von Bahcall et. al. [46]
t1
t
Kosmologie 293

21 Die Kosmische
Mikrowellenhintergrundstrahlung
Nachdem die Beobachtungen von E. Hubble und die Überlegungen von G. Lemaître darauf
hindeuteten, dass unser Universum expandiert, lag es nahe anzunehmen, dass es aus
einem Zustand sehr kleiner Ausdehnung und hoher Dichte hervorgegangen war. Bereits
in den 1940er Jahren spekulierte G. Gamow, dass die Strahlung aus dieser Zeit heute
noch erkennbar sein sollte und sagte eine Temperatur von etwa 5 K voraus. [53] Zusammen
mit R. A. Alpher [54] arbeitete er an Erklärungen zur Entstehung der Elemente, die
schließlich als Alpher-Bethe-Gamow-Theorie 1 bekannt wurden. [55]
Der tatsächliche Nachweis der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung, im englischen
“Cosmic Microwave Background” (CMB), gelang erst viel später durch A. Penzias
und R. Wilson. [56, 57] Die beiden erhielten für diese Entdeckung 1979 den Physiknobelpreis.
Der CMB weist bis auf winzige Abweichungen ein hochpräzises Planck-Spektrum
auf. In diesem Kapitel werden wir die Eigenschaften eines solchen Spektrums untersuchen.
Durch die Analyse der Abweichungen des CMB von der perfekten Planckform
konnten in den letzten Jahren viele revolutionäre Erkenntnisse über die Entwicklung des
Universums gewonnen werden, mit denen wir uns in einem eigenen Kapitel beschäftigen.
21.1 Energiedichte von Photonen
In der Einstein- und der Friedmann-Gleichung in den Kapiteln 18 und 19 spielt die
Massedichte des Universums eine zentrale Rolle bei der Bestimmung der Dynamik des
Universums. Bei der Untersuchung der Mikrowellenhintergrundstrahlung müssen wir uns
nun mit der Energiedichte der Photonen beschäftigen. Tatsächlich können wir dann auch
die Friedmann-Gleichung erweitern, um den Einfluss der Photonen ebenfalls zu berücksichtigen.
Wie bei der Massendichte wird die Zahl der Photonen pro Volumen proportional
zu a −3 (t) sein. Zusätzlich ist die Energie eines Photons aber gegeben über E = hν
1 H. Bethe war an der Ausarbeitung dieser Theorie nicht beteiligt und wurde von Gamow nur scherzeshalber
als Autor hinzugefügt um Autorinitialen entsprechend den ersten Buchstaben α, β, γ des
griechischen Alphabets zu erhalten.
Kosmologie 295

21 Die Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung
und die Frequenz ist proportional zu a−1 (t). Damit ergibt sich für die Energiedichte εr(t)
der Photonen
εr(t) ∝ 1
a4 ,
(t)
(21.1)
im Gegensatz zur Massenenergiedichte εm(t), für die
εm(t) = σm(t)c 2 = M
a 3 (t) c2
(21.2)
gilt. Dies ist ein wichtiges Ergebnis, denn daraus lässt sich folgern, dass, wenn auch
heutzutage die Energiedichte der Strahlung vernachlässigbar gegen die Massenenergiedichte
ist, es Zeiten in der Frühphase des Universums gab, als die Strahlungsenergiedichte
die dominierende Größe war.Wenn wir mit diesen Ergebnissen die Friedmann-Gleichung
(19.6) erweitern, so erhalten wir
˙a 2 − 8π
3 GM
a
− 8π
3
P Λ
G −
a2 3 c2a 2 = −qc 2 . (21.3)
Dabei soll P für ein Massenäquivalent der Photonen stehen. Die Massenenergiedichte und
die Strahlungsdichte zu einem beliebigen Zeitpunkt ergeben sich abhängig vom heutigen
Wert εm(t0), bzw. εr(t0) zu
εm(t) = εm(t0)
3 a(t0)
a(t)
und εr(t) = εr(t0)
4 a(t0)
. (21.4)
a(t)
Aus diesen Zusammenhängen können wir den Skalenfaktor a(tG) und darüber den Zeitpunkt
tG berechnen, bei dem beide Energiedichten gleich groß waren. Die Bedingung
εm(tG) = εr(tG) ergibt
a(tG) = εr(t0)
εm(t0) a(t0). (21.5)
Bei einer doppelt logarithmischen Auftragung lassen sich diese Zusammenhänge sehr
einfach darstellen, siehe Abbildung 21.1.
Der Zeitraum t < tG ist die strahlungsdominierte Epoche des Universums, während
der Strahlung und Materie, im Wesentlichen Protonen und Elektronen, im thermischen
Gleichgewicht waren. Die Photonen müssen dann ein Schwarzkörperspektrum entsprechend
der herrschenden Temperatur Tr gezeigt haben. Da mit der Ausdehnung des Universums
die mittlere Photonenenergie wie a −1 (t) abgenommen haben sollte, ist für die
296

log ε
strahlungsdominiert materiedominiert
21.2 Transformationsverhalten des Planckspektrums
a(tG)
εm
εr
log a(t)
Abbildung 21.1: Entwicklung von Materiedichte und Strahlungsdichte
über dem Skalenfaktor. Da die Strahlungsdichte εr proportional zu a −4 , die
Materiedichte dagegen proportional zu a −3 verläuft, muss es eine Phase in
der Entwicklung des Universums gegeben haben, bei der die Strahlung die
Entwicklung dominant beeinflusst hat.
Temperatur ebenfalls ein Zusammenhang
Tr(t) ∝ 1
a(t)
(21.6)
zu erwarten. Als die durchschnittliche Energie der Photonen nicht mehr zur Ionisierung
von Wasserstoff ausreichte, kam es zur Entkopplung von Materie und Strahlung,
aus Protonen und Elektronen bildeten sich Atome und das Universum wurde transparent
für Strahlung. Das Spektrum der Strahlung behielt aber weiterhin eine Planck-
Charakteristik, d.h. für die heutige Temperatur erwartet man
Tr(t0) = Tr(tG) a(tG)
. (21.7)
a(t0)
21.2 Transformationsverhalten des Planckspektrums
Wir zeigen in diesem Abschnitt kurz, dass das Planck-Spektrum der kosmischen Hintergrundstrahlung
bei der Expansion des Universums erhalten bleibt und sich lediglich die
Kosmologie 297

21 Die Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung
entsprechende Temperatur ändert. Die Plancksche Strahlungsformel ist gegeben durch
dNν(t) = 8πν2
V (t)
c3 exp
dν
hν
kBT (t)
. (21.8)
− 1
Dabei bezeichnet dNν(t) die Anzahl Photonen im Frequenzintervall [ν,ν+dν] im Volumen
V (t). Für dieselbe Gruppe Photonen ergibt sich zur Zeit t ′ wegen der kosmologischen
Rotverschiebung die Frequenz ν ′ = a(t)/a(t ′ ) · ν und entsprechend dν ′ = a(t)/a(t ′ ) · dν.
Das Volumen hat sich in der Zwischenzeit geändert zu V (t ′ ) = V (t)(a(t ′ )/a(t)) 3 . Aus
diesen Zusammenhängen folgt
V (t)ν 2 dν = V (t ′ )ν ′2 dν ′ . (21.9)
Gleichzeitig muss die Anzahl der Photonen gleich bleiben, d.h. dN ′ ν ′(t′ ) = dNν(t). Einsetzen
dieser Relationen in (21.8) ergibt
dN ′ ν ′(t′ ) = 8π
c 3 ν′2 V ′
exp
dν ′
hν ′ a ′ /a
kBT ′
. (21.10)
− 1
D.h. die Planck-Form des Spektrums bleibt erhalten, lediglich die Temperatur ändert
sich mit a −1 (t). Die heutige Temperatur des CMB beträgt 2,725 K.
298

22 Die Frühphase des Universums
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einigen Eigenschaften des ganz jungen Universums,
die nicht direkt mit der Untersuchung der Anisotropie der Mikrowellenhintergrundstrahlung
zusammenhängen, die wir dann anschließend ausführlich diskutieren.
22.1 Verbesserter Ansatz für den Energie-Impuls-
Tensor
In der Herleitung des Energie-Impuls-Tensors in Abschnitt 18.2 haben wir die Materie
als wechselwirkungsfrei angenommen. In der Wirklichkeit stimmt dies spätestens dann
nicht, wenn die Dichte groß wird, es baut sich dann ein Druck auf. In diesem Abschnitt
betrachten wir deshalb als verbessertes Modell den Energie-Impuls-Tensor für eine ideale
Flüssigkeit.
Aus der relativistischen Hydrodynamik erhält man für eine ideale Flüssigkeit der Ruhedichte
σ und des Druckes p den Energie-Impuls-Tensor
T µν
= σ + p
c2
u µ u ν − pg µν . (22.1)
Dann folgt weiter für die Kontraktion
T = gµνT µν =
σ + p
c 2
gµνu µ u ν
c 2
−p gµνg µν
= σc
4
2 − 3p. (22.2)
Insgesamt bekommen wir dann für T ∗ µν = Tµν − 1
2 gµνTµν den Ausdruck
T ∗ µν =
σ + p
c2
uµuν − 1
2 gµν
2
σc − p . (22.3)
Wieder wollen wir annehmen, dass die Materie im Mittel in Ruhe ist. Mit ui = 0 für
i = 1,2,3 und u0 = g0µu µ = g00u 0 = c 2 folgt dann
T ∗
ii = 1
2 c2
σ − p
c2
gii, i = 1,2,3 (22.4)
Kosmologie 299

22 Die Frühphase des Universums
und
T ∗ 00 = 1
2 c4
σ + 3 p
c2
. (22.5)
Die Nichtdiagonalelemente verschwinden wegen der Diagonalgestalt der Metrik auch
hier. Damit haben wir statt den Gleichungen (18.18) und (18.19)
aä + 2˙a 2 + 2qc 2
= 4πκ σ − p
c2
a 2 ,
3ä = −4πκ σ + 3
(22.6a)
p
c2
a. (22.6b)
Einsetzen von b) in a) liefert die Einstein-Gleichung analog zu (18.24)
˙a 2 + qc 2 = 8π
3 κσa2
(22.7)
Allerdings ergibt sich hier ein wichtiger Unterschied: Aus der Forderung der Divergenzfreiheit
des Energie-Impuls-Tensor, T µν
;ν = 0, siehe Abschnitt 14.2.1, erhalten wir den
Energiesatz
d 3
σa
da
= − 3
c2 pa2 . (22.8)
Im vereinfachten Ansatz stand hier auf der rechten Seite eine Null. Zusammen mit der
Zustandsgleichung der Materie
p = p(σ) (22.9)
haben wir damit die drei fundamentalen Gleichungen der dynamischen Kosmologie.
Bedeutung des Energiesatzes
Wir möchten noch kurz auf die Bezeichnung “Energiesatz” für Gleichung (22.8) eingehen.
Durchmultiplizieren mit 4πc2 /3da führt auf
d
= −4πpa 2 da. (22.10)
4π
3 a3 c 2 σ
Da σc 2 eine Energiedichte und 4πa 3 /3 das Volumen einer Kugel mit Radius a darstellt,
können wir dem Ausdruck auf der linken Seite eine Energie U zuordnen. Der Ausdruck
−4πa 2 da auf der rechten Seite entspricht dem Volumendifferential dV einer Kugel mit
Radius a. Wenn wir diese Ausdrücke einsetzen erhalten wir eine Gleichung der Form
300
dU = −pdV. (22.11)

22.2 Das strahlungsdominierte Universum
Gleichung (22.8) ist also von der Form des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik.
Die Änderung der Inneren Energie entspricht der verrichteten Arbeit. Daraus wird die
Bezeichnung “Energiesatz” klar.
22.2 Das strahlungsdominierte Universum
Wir haben bereits gesehen, dass in der Frühphase des Universums die Massenenergiedichte
vernachlässigbar klein gegen die Energiedichte der Strahlung war. Wenn wir daher
in Gleichung (21.3) den Materieterm und den kosmologischen Term aufgrund des kleinen
Skalenfaktors a nicht berücksichtigen, so erhalten wir mit σr = P/a 4 die Gleichung
˙a 2 = 8π P
G
3 a2 − qc2 . (22.12)
Für sehr kleine a dominiert auf der rechten Seite der erste Term. Damit ergibt sich für
q = 0 bzw. allgemein für a → 0 die Differentialgleichung
ˆ
8π 1
ada
˙a = GP , bzw.
3 a 8π
3 GP
ˆ
= dt, (22.13)
mit der Lösung
a(t) =
32π
3 GP
1/4 √t
(22.14)
unter der Anfangsbedingung a(0) = 0. In der allerersten Entwicklungsphase entwickelt
sich der Skalenfaktor also proportional zu t1/2 , unabhängig von der Krümmung q.
Für spätere Zeiten, aber immer noch so früh, dass der kosmologische Term vernachlässigbar
ist, haben wir die allgemeinere Gleichung
˙a = 1
8π
a 3 GP − qc2a2 , bzw.
Die Integration ergibt
ˆ
ada
8π
3 GP − qc2a2 ˆ
=
dt. (22.15)
1
qc2
8π
3 GP − qc2a2 = t + D. (22.16)
Wir müssen D so wählen, dass a(0) = 0 gilt. Nach elementaren Umformungen erkennt
man, dass dies für D = ± 8πGP/3/(qc 2 ) erfüllt ist. Wir müssen das negative Vorzeichen
wählen, so dass a zumindest für einen gewissen Zeitraum nach t = 0 reell ist. Damit
Kosmologie 301

22 Die Frühphase des Universums
haben wir
a
q = 0
q = 1
q = −1
Abbildung 22.1: Entwicklung des Skalenfaktors a(t) im strahlungsdominierten
Universum abhängig von der Krümmung. Im Fall q = 1 rekollabiert
32πG
das Universum zum Zeitpunkt tf = 3 P /(qc2 ).
a(t) =
32πG
tf
t
3 P t − qc2 t 2 . (22.17)
Für t → 0 haben wir also immer a(t) = 8π
3 GP 1/4 √ t entsprechend Gleichung (22.14).
Zum Vergleich: Bei Materie war die Abhängigkeit proportional zu t 2/3 . Dies bedeutet
auch, dass ˙a für t → 0 divergiert. Im Fall q = 1 ergäbe sich ein Universum, das nach
der Zeit tf = 32πGP/3/(qc 2 ) rekollabiert. Allerdings sind solche Überlegungen sehr
theoretisch, da ab einer gewissen Ausdehnung ja die Materie dominierend die Dynamik
bestimmt. Abbildung 22.1 zeigt den Skalenfaktor a(t) für die drei Fälle q = 0, ±1.
22.3 Auswirkung von Quanteneffekten
Wenn man immer frühere Stadien der Entwicklung des Universums betrachtet, so werden
ab einem bestimmten Zeitpunkt Quanteneffekte wichtig sein. Um abschätzen zu
können, bei welchen Längen- oder Zeitskalen dies der Fall ist, benötigen wir eine mit
einem mikroskopischen Teilchen verknüpfte typische Länge. Wir hatten bereits in den
Kapiteln 8.4 und 8.6 bei der Behandlung von Weißen Zwergen und Neutronensternen
die de-Broglie Wellenlänge λ = h/p für ein Teilchen mit Impuls p eingeführt. Für relativistische
Impulse p mc führte dies auf die Compton-Wellenlänge ¯λ = ℏ/mc als
charakteristische Quantenlänge für eine Masse m. Des Weiteren haben wir eine charakteristische
Länge bei gravitativer Wechselwirkung, den Schwarzschildradius rS. Man
kann also davon ausgehen, dass Quanteneffekte dann wichtig sind, wenn diese beiden
302

Tabelle 22.1: Zusammenfassung der Planck-Einheiten.
22.3 Auswirkung von Quanteneffekten
Name Term SI-Einheiten Speziellen Einheiten
Grundgrößen
Planck-Masse mPl = ℏc/G 2,1764×10 −8 kg 1,311×10 19 u
Planck-Länge lPl = ℏG/c 3 1,6163×10 −35 m 3,054×10 −25 a0
Planck-Zeit tPl = ℏG/c 5 5,3912×10 −44 s
Planck-Ladung qPl = √ ℏc4πε0 1,8756×10 −18 C 1,171×10 1 e
Planck-Temperatur TPl =
ℏc5/k 2 B G 1,4168×10−32 K
Abgeleitete Größen
Planck-Energie EPl = ℏc5/G 1,9561×10 9 J 1,221×10 19 GeV
Planck-Impuls pPl = ℏc2/G 6,5249×10 0 kg m s −1
Planck-Dichte ϱPl = c 5 /(ℏG 2 ) 5,1550×10 96 kg m −3
Größen etwa gleich sind. Um Zahlenfaktoren zu vermeiden wählen wir die Bedingung
¯λ = rS/2. Damit können wir nach m auflösen. Der Wert, den wir dann erhalten heißt
Planck-Masse:
ℏc
mPl = . (22.18)
G
Einsetzen der entsprechenden Zahlenwerte führt auf mPl = 2,17644 × 10 −8 kg. Entsprechend
lässt sich auch die Planck-Energie definieren als EPl = mPlc 2 . Dies führt auf etwa
EPl = 1,2209 × 10 19 GeV. Um ein Gefühl für diese Größen zu bekommen vergleiche man
sie mit der Masse und entsprechenden Energie eines Protons: mp = 1,672621 × 10 −27 kg
und Ep = 938,272 MeV. Es lassen sich dann noch weitere elementare Größen ableiten,
die Planck-Länge als Compton-Wellenlänge eines Teilchens der Planck-Masse, die
Planck-Zeit, als die Zeit, die Licht benötigt um die Planck-Länge zurückzulegen, die
Planck-Temperatur über den Zusammenhang kBTPl = EPl und die Planck-Dichte über
σPl = mPl/l 3 Pl .1
Quanteneffekte werden sicherlich wichtig sein wenn die Temperatur die Größenordnung
der Planck-Temperatur erreicht. Analoges kann man auch für die Dichte aussagen bzw.
für Zeiträume in der Größenordnung der Planck-Zeit nach dem Urknall.
1 Die Planck-Einheiten wurden erstmals von Planck eingeführt, nachdem er das Wirkungsquantum
hergeleitet hatte. Sie stellen in einem gewissen Sinn “natürliche” Einheiten dar, denn in ihnen haben
die fundamentalen Konstanten G, ℏ und c jeweils den numerischen Wert 1. Um etwa die Planck-Länge
zu konstruieren sucht man Zahlen α, β und γ, so dass lPl = G α c β ℏ γ die Einheit einer Länge hat. [2]
Kosmologie 303

22 Die Frühphase des Universums
22.4 Inflation
Bei der Betrachtung der Frage, welche Anfangsbedingungen auf das Universum geführt
haben, das wir heute beobachten, sind die Kosmologen auf große Probleme gestoßen. Es
zeigt sich nämlich, dass die Anfangsbedingungen extrem genau gewählt werden müssen,
damit ein Universum wie unseres entstehen kann. Gleichzeitig stellt die hohe Homogenität
des CMB ein großes Kausalitätsproblem dar. Erst 1981 wurde von A. Guth
ein Vorschlag erarbeitet, wie diese Probleme gelöst werden können. [58] Danach durchlief
unser Universum sehr kurz nach dem Urknall eine Phase extremer Expansion.
22.4.1 Das Flachheitsproblem
Das erste Problem betrifft die Flachheit des Universums. In Gleichung (20.4) wurden
die drei Größen Ωm, ΩΛ und Ωq eingeführt, die in der Summe gleich Eins sind. Dabei ist
Ωm = ϱ/ϱcrit. Um bei einer sehr kleinen kosmologischen Konstante ein flaches Universum
zu erreichen, muss die heutige Dichte sehr nahe an der kritischen Dichte sein. Wegen
ϱcrit = 3H 2 (t)/(8π) erfordert dies eine sehr genaue Festlegung der anfänglichen Werte 2
von H und ϱ. Weichen die Werte von den geeigneten Werten ab, so führt dies entweder
auf ein geschlossenes Universum, dass viel zu schnell wieder kollabiert, so dass kein Leben
entstehen kann, oder auf ein offenes Universum, das so schnell expandiert, dass sich keine
Sterne bilden können weil die Materiedichte zu schnell abnimmt. Guth gibt die nötige
Präzision mit |ϱ − ϱcrit|/ϱ < 10 −55 an, wenn man die Anfangswerte bei einer Temperatur
von T = 10 17 GeV/kB nimmt. Der Vergleich mit dem Wert der Planck-Energie von etwa
10 19 GeV in Tabelle 22.1 zeigt, dass dieser sehr hohe Wert sinnvoll ist und bereits weit
unter der Planck-Skala liegt. Diese extrem hohe Sensibilität für die Anfangswerte stellt
ein ästhetisches Problem dar, denn sie müssen als gegeben in die Theorie eingesetzt
werden. Befriedigender wäre es durch eine physikalische Theorie erklären zu können,
warum sich genau dieser Wert für die Dichte einstellen muss.
22.4.2 Das Horizontproblem
Ein weiteres Problem betrifft die hohe Homogenität des Universums. Wir werden im
folgenden Kapitel die winzigen Anisotropien der Mikrowellenhintergrundstrahlung betrachten.
Abgesehen davon aber scheint das Universum extrem homogen zu sein. Das
führt zu einem Problem, denn man kann zeigen, dass die zur Zeit der Rekombination kausal
verknüpften Bereiche heute nur einen Winkeldurchmesser von etwa 1 ◦ am Himmel
2 Der Begriff Anfangswert ist in diesem Kontext etwas schwierig, den bei t = 0 befindet man sich in einer
physikalischen Singularität. Stattdessen sind hier damit die Werte zu einem sehr frühen Zeitpunkt
nach dem Urknall gemeint.
304

22.4 Inflation
haben. Dennoch ist die Mikrowellenhintergrundstrahlung über den gesamten Himmel
homogen. Anders gesagt: Von überall erreicht uns ein Planck-Spektrum der gleichen
Temperatur, obwohl die betreffenden Regionen gar nicht die Möglichkeit hatten in ein
thermisches Gleichgewicht zu kommen.
22.4.3 Das inflationäre Universum
Der Vorschlag, den Guth machte um diese Probleme zu lösen, beschreibt ein Universum,
das am Anfang seiner Entwicklung eine kurze inflationäre Phase durchlebte, in der sich
der Skalenfaktor enorm vergrößerte. Die heute am Himmel kausal nicht verknüpften
Bereiche wären dann vor der inflationären Phase viel kleiner gewesen und hätten Zeit
gehabt, ins thermische Gleichgewicht zu kommen. Weiter kann man zeigen, dass dann
auch die anfängliche Abweichung der Dichte vom kritischen Wert von der Größenordnung
Eins sein dürfte.
Um die Inflation anzutreiben wird ein Zustand der Materie benötigt, der seine Energiedichte
σ nicht schnell senken kann. Es gibt verschiedene, allerdings spekulative Ansätze
für einen solchen Zustand. [59] Betrachten wir dann Gleichung (18.20) für q = 0 und unter
der Annahme, dass σ nicht von a abhängt, so erhalten wir
was sofort auf
˙a 2 = 8π
3 Gσa2 , (22.19)
a(t) ∝ exp
8π
3 Gσ
(22.20)
führt.
Allerdings benötigt man um diese Probleme zu beseitigen eine Ausdehnung des Skalenfaktors
in der inflationären Phase um einen Faktor der Größenordnung 10 27 . Man
geht davon aus, dass das Universum etwa im Zeitraum von 10 −35 s − 10 −32 s diese Phase
durchlebt hat.
Kosmologie 305

23 Anisotropie der kosmischen
Hintergrundstrahlung
Die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung ist wie bereits erwähnt hochgradig isotrop,
aber auf Winkelskalen von etwa 1 ◦ gibt es Temperaturunterschiede gegen den mittleren
Temperaturwert T = 2,725 K von einigen Mikrokelvin. Dies muss auch so sein, den
in einem völlig isotropen Universum könnten sich keine Strukturen bilden. Damit sich
Materie in Galaxien sammeln kann, muss bereits am Anfang eine winzige Fluktuation
in der Dichteverteilung bestanden haben. Wir werden sehen, dass Schwankungen in der
Verteilung der Materie gekoppelt sind an Schwankungen in der Temperatur, so dass wir
diese heute im CMB immer noch sehen können sollten.
Die Analyse dieser Schwankungen erlaubt daher Rückschlüsse über die Entstehungsgeschichte
des Universums und viele weitere Eigenschaften. Bevor wir die Methoden
diskutieren, wie man an diese Informationen kommen kann, möchten wir drei bedeutende
Experimente kurz vorstellen, die die Daten über die Mikrowellenhintergrundstrahlung
geliefert haben, bzw. liefern werden.
23.1 Die Missionen COBE, WMAP und Planck
Der Cosmic Background Explorer (COBE) war der erste Satellit, der den CMB erforschte
und Anisotropien nachweisen konnte. Zuvor war der CMB mit Hilfe von erdgebundener
oder in Ballonen untergebrachter Experimente untersucht worden. Dabei konnte aber
nie der gesamte Himmel beobachtet werden. COBE wurde 1989 gestartet und hatte eine
Winkelauflösung von 7 ◦ . 2006 erhielten J. C. Mather und G. F. Smoot den Nobelpreis in
Physik für die Entdeckungen, die mit Hilfe von COBE gemacht wurden. Der Nachfolger
von COBE ist der Wilkinson Microwave Anisotropy Explorer (WMAP). Dieser hat eine
im Vergleich zu COBE deutlich verbesserte Auflösung von 13 ′ . Abbildung 23.1 zeigt
Karten der Temperaturverteilung wie sie von COBE und von WMAP gewonnen wurden
im Vergleich mit der Auflösung, die A. Penzias und R. Wilson. [56, 57] erreichen konnten.
Der Planck-Satellit schließlich ist der von der ESA 2009 gestartete Nachfolger von WMAP.
Er soll noch weiter verfeinerte Ergebnisse liefern und zusätzlich weitere Ziele verfolgen,
etwa die Bestimmung der Verteilung sehr früher Galaxienhaufen. [61]
Kosmologie 307

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
308
Abbildung 23.1: Vergleich einer COBE Karte der Anisotropien des CMB
mit einer Karte der WMAP Mission. Die Auflösung der WMAP-Karte ist
etwa 30 mal höher. Für Penzias und Wilson waren diese Anisotropien nicht
auflösbar. Das rote Band in der Mitte der Bilder ist die Milchstraße und
als einige Abweichung auch bei Penzias und Wilson erkennbar. Für mehr
Details siehe z.B. Bennet et. al. [60]
Credit: NASA / WMAP Science Team. [1]

23.2 Gaußsche Zufallsfelder
23.2 Gaußsche Zufallsfelder
Bilder der Temperaturverteilung wie in Abbildung 23.1 sind beeindruckend, für wissenschaftliche
Auswertungen aber müssen andere Werkzeuge benutzt werden. Die Analyse
der Anisotropien des CMB erfolgt mit Hilfe statistischer Methoden. Wir werden in
Grundzügen die zugrundeliegende mathematische Theorie in diesem und dem nächsten
Abschnitt einführen. Dazu betrachten wir in diesem Abschnitt die Theorie gaußverteilter
Zufallsfelder. Diese bilden die mathematische Grundlage zur Beschreibung der Temperaturfluktuationen
der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung. Die Diskussion in
diesem Abschnitt folgt dabei eng dem 4. Kapitel der Diplomarbeit von Dirk Meyer. [41]
Unser Ausgangspunkt ist eine Zufallsvariable U mit einem kontinuierlichen gaußverteilten
Wertebereich. Wenn wir also wissen wollen, mit welcher Wahrscheinlichkeit U einen
Wert im Intervall [u, u + du] annimmt, so erhalten wir dafür die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
1
P (u) = √
2πσ2 exp
− 1
2 (u − µ)2 /σ 2
. (23.1)
Dabei bezeichnet µ den Mittelwert der Verteilung und σ2 die Varianz. Die statistischen
Eigenschaften von U sind damit vollständig beschrieben.
Im nächsten Schritt verallgemeinern wir unsere Betrachtung auf p Zufallsvariablen, die
jeweils einzeln gaußverteilt sein sollen. Wenn wir für jede der Variablen den Mittelwert
und die Varianz angeben sind in diesem Fall die statistischen Eigenschaften noch nicht
vollständig beschrieben. Wir benötigen noch Informationen über die Korrelationen
bzw. die Kovarianz der Variablen. Die Korrelation ergibt sich dabei durch eine Normierung
der Kovarianz und bedeutet eine statistische paarweise Abhängigkeit der Zufallsvariablen
untereinander. 1 Die statistischen Abhängigkeiten der Variablen untereinander
fasst man in der Kovarianzmatrix Σ zusammen:
⎛
⎞
⎜
Σ = ⎝
.
σ2 1 σ2 12 . . .
σ2 12 σ2 2 . . .
.
⎟
⎠ . (23.2)
. ..
Eine positive Korrelation zwischen U1 und U2 bedeutet grob, dass für den Fall, dass U1
einen Wert über dem Mittelwert annimmt, U2 tendenziell auch einen Wert über dem
1 Es soll an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass korrelierte Größen nicht auch kausal verknüpft
sein müssen! Beispielsweise wird in heißen Sommern sowohl der Trinkwasserverbrauch, als
auch die Anzahl der Menschen mit Kreislaufbeschwerden steigen. Aber dennoch verursacht ein hoher
Wasserkonsum keine Kreislaufbeschwerden oder umgekehrt. In diesem Fall sind die beiden Größen
indirekt über eine weitere Größe, die hohen Temperaturen, gekoppelt, es ist aber auch möglich, dass
gar kein kausaler Zusammenhang besteht.
Kosmologie 309

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
u2
u2
u1
u1
Abbildung 23.2: Darstellung multivariater Gaußverteilungen von zwei Zu-
fallsvariablen u1 und u2. Links: Keine Korrelation zwischen u1 und u2.
Rechts: Starke positive Korrelation der beiden Variablen. In beiden Fällen
sind die Grenzdichten reine Gaußverteilungen.
Mittelwert annimmt und negative Korrelation entsprechend das Gegenteil. Die multiva-
riate Gaußverteilung, d.h. die Wahrscheinlichkeit P (u), dass der p-komponentige Vektor
u einen Wert im Intervall [u, u + du] annimmt, ist gegeben über
P (u) =
1
(2π) p/2√ detΣ exp
(u − µ) T Σ −1 (u − µ)
. (23.3)
Die Korrelation zwischen den Zufallsvariablen bestimmt die Verteilung der Ergebnisse
stark. Abbildung 23.2 vergleicht Stichproben für den unkorrelierten und den stark positiv
korrelierten Fall bei zwei Zufallsvariablen. Im unkorrelierten Fall gilt offensichtlich Σ =
diag (σ 2 1,σ 2 2). In jedem Fall aber sind die einzelnen Variablen normalverteilt, gehorchen
also einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie in Gleichung (23.1).
Nun gehen wir zu einem zweidimensionalen Kontinuum von Zufallsvariablen über, d.h.
jeder Punkt x auf der Ebene, bzw. der Kugeloberfläche ist eine eigene Zufallsvariable.
Das bedeutet der Vektor der Mittelwerte geht in eine Funktion über und analog die
Kovarianzmatrix in die Kovarianzfunktion:
µ → µ(x) und Σ → Σ(x1, x2) = cov(x1, x2). (23.4)
310

23.3 Die Zweipunktkorrelationsfunktion
Für die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung nehmen wir Homogenität, bzw. auf
der Kugeloberfläche Isotropie, der statistischen Eigenschaften an. Dies folgt direkt aus
dem kosmologischen Prinzip. Dann muss der Mittelwert ortsunabhängig sein
µ(x) = µ, (23.5)
und die Kovarianzfunktion darf nur vom Abstand der Punkte x1 und x2 abhängen:
cov(x1, x2) = cov (|x1 − x2|) . (23.6)
Auf der Kugeloberfläche entspricht der Abstand einer Winkeldifferenz ϑ12. Die von diesem
Zwischenwinkel abhängende Funktion cov(ϑ12) heißt Zweipunktkorrelationsfunktion.
23.3 Die Zweipunktkorrelationsfunktion
Wir gehen nach der eher allgemeinen Theorie im vorherigen Abschnitt wieder konkreter
auf die Betrachtung des CMB ein. Die Temperaturabweichung ∆T vom Mittelwert Tmittel
können wir als Funktion der Winkel ϑ und ϕ schreiben: ∆T = ∆T (ϑ, ϕ). Im Folgenden
betrachten wir die dimensionslose Funktion f(ϑ, ϕ) = ∆T (ϑ, ϕ)/Tmittel.
Diese Funktion lässt sich dann nach Kugelflächenfunktionen Ylm entwickeln, da die Menge
der Kugelflächenfunktionen {Ylm} ein vollständiges Funktionensystem auf der Kugeloberfläche
darstellt. Das heißt wir haben
f(ϑ,ϕ) =
∞
m
l=0 l=−m
almYlm(ϑ,ϕ). (23.7)
Rein zum besseren Verständnis der Vorgehensweise führen wir zusätzlich eine Zeitabhängigkeit
ein und definieren den Fluss
f(ϑ,ϕ, t) =
alm(t)Ylm(ϑ,ϕ). (23.8)
Die Zweipunktkorrelation ergibt sich dann als das Zeitmittel
〈f ∗ (ϑ1, ϕ1)〉 Zeitmittel = 1
τ
l,m
ˆτ/2
−τ/2
f ∗ (ϑ1,ϕ1, t)f(ϑ2,ϕ2,t)dt (23.9)
Kosmologie 311

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
im Grenzübergang τ → ∞. Da die Kugelflächenfunktionen zeitunabhängig sind erhalten
wir daraus
〈f ∗ (ϑ1, ϕ1)〉 Zeitmittel =
〈a ∗ l ′ m ′(t)alm(t)〉 × Yl ′ m ′(ϑ1,ϕ1)Ylm(ϑ2,ϕ2). (23.10)
l ′ ,m ′ ,l,m
Falls die Koeffizienten untereinander nicht korreliert sind, ergibt sich 〈al ′ m ′(t)alm(t)〉 = 0,
außer für l ′ = l und m ′ = m. Damit ergibt sich im nächsten Schritt
〈f ∗ (ϑ1, ϕ1)〉 Zeitmittel =
|alm(t)| 2 × Yl ′ m ′(ϑ1,ϕ1)Ylm(ϑ2,ϕ2). (23.11)
l,m
Aufgrund der Isotropie ist keine Raumrichtung ausgezeichnet. Die m-Abhängigkeit der
Koeffizienten muss daher verschwinden. 2 Mit für das Folgende geeigneter Normierung
können wir dann einen neuen Ausdruck einführen über
|alm(t)| 2 Def. Cl
= . (23.12)
2l + 1
Darin ist die Summierung über die 2l + 1 verschiedenen Werte von m berücksichtigt,
sodass wir im letzten Schritt folgenden Zusammenhang erhalten:
〈f ∗ (ϑ1, ϕ1)〉 Zeitmittel =
l
Cl
m
Y ∗
lm(ϑ1,ϕ1)Ylm(ϑ2,ϕ2) . (23.13)
m=−l
2l+1
4π
Pl(cos ϑ12)
Dabei ist ϑ12 = ϑ2 − ϑ1 und Pl bezeichnet das jeweilige Legendrepolynom. Entscheidend
ist, dass mit Pl grob gesprochen Winkelstrukturen von der Größenordnung π/l aufgelöst
werden können. Siehe dazu auch Abbildung 23.3, in der die Legendrepolynome P0 bis
P4, sowie P10 abgebildet sind. Zum Abschluss müssen wir jetzt aber die künstlich eingeführte
Zeitabhängigkeit der Koeffizienten wieder eliminieren. Dazu benutzen wir wie
bei der Einführung des Virialsatzes in Abschnitt 7.5 die Ergodenhypothese: Das von uns
durchgeführte Zeitmittel für feste Winkel (ϑ1,ϕ1, ϑ2, ϕ2) entspricht der Mittelung über
alle Punkte mit gleicher Winkeldifferenz zu einem festen Zeitpunkt.
Der letzte Punkt ist hierbei besonders wichtig: Es wird nicht über alle Winkel ϑ1, etc.
gemittelt, sondern über alle Punkte mit gleichen Winkeldifferenzen zueinander! Die dabei
2 Man kann sich die hier vorgestellten Zusammenhänge so ähnlich vorstellen wie bei einer Fourierentwicklung.
Wird ein beliebiges Signal in ein Frequenzspektrum zerlegt, so interessieren meist nur die
Frequenzen ω, die hier den Multipolmomenten l entsprechen, nicht aber eventuelle Phasenverschiebungen
ϕω. Diese entsprechen den m und würden dann herausgemittelt.
312

-1
1
1
23.4 Interpretation des Winkelleistungsspektrums
Abbildung 23.3: Darstellung der ersten Legendrepolynome P0 bis P4, sowie
P10 zum Vergleich. Pl hat l Knoten und unter Verwendung der ersten l
Polynome können Winkelstrukturen bis hinunter zur Größenordnung π/l
aufgelöst werden.
gewonnenen Entwicklungskoeffizienten werden im Winkelleistungsspektrum dargestellt
und können dann mit theoretischen, modellabhängigen Vorhersagen verglichen werden.
23.4 Interpretation des Winkelleistungsspektrums
Abbildung 23.4 zeigt das Winkelleistungsspektrum, wie es in einer Arbeit von Larson
et. al. 2011 auf Grund der Messergebnisse der ersten sieben WMAP Missionsjahre veröffentlicht
wurde. [60] Man erkennt einen Bereich ohne ausgeprägte Struktur für kleine l
auf den mehrere ausgeprägte Peaks ab etwa l = 200 folgen. Um aus diesen Ergebnissen
nun Rückschlüsse auf die Entwicklung unseres Universums ziehen zu können, benötigen
wir eine Vielzahl von theoretischen Überlegungen über den Zustand des Universums vor
der Entkopplung von Strahlung und Materie.
Mit den jeweils gewonnenen Ergebnissen können wir dann das Spektrum immer detaillierter
interpretieren.
23.5 Dichtestörungen im Photon-Baryon-Fluid
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Entstehung von Strukturen in der Temperaturverteilung
des CMB bei der Entkopplung. Wir haben gesehen das in der kosmischen
Hintergrundstrahlung typischerweise die Fluktuationen in Winkelbereichen von ca.
1 ◦ korreliert sind. Dem muss ein typischer Längenbereich zum Zeitpunkt der Entkopplung
entsprechen. Nach einer kurzen qualitativen Betrachtung wollen wir quantitativ
-1
P0
P1
P2
P3
P4
P10
Kosmologie 313

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
Temperature Fluctuations [µK 2 ]
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
10
Multipole moment l
100 500 1000
90° 2° 0.5° 0.2°
Angular Size
Abbildung 23.4: Winkelleistungsspektrum aus den WMAP-Daten der ersten
sieben Missionsjahre entsprechend Larson et. al. 2011. [62]
Credit: NASA / WMAP Science Team [1]
überlegen, wie eine solche Längenskala entstehen kann. Dabei werden wir vereinfacht
nichtrelativistisch rechnen.
23.5.1 Der Zustand des Universums vor der Entkopplung
Vor der Entkopplung liegt ein Plasma vor, das im Wesentlichen aus Baryonen, Elektronen
und Photonen besteht. Dabei überwiegt die Energiedichte der Photonen und die meisten
Baryonen werden Protonen sein. Wir werden dieses Plasma als ein Photon-Baryon-Fluid
(PBF) beschreiben. Die außerdem vorhandenen Elektronen tragen zur Masse nur vernachlässigbar
bei. Sie spielen aber eine wichtige Rolle, da sie sowohl mit den Photonen
durch Streuung, als auch mit den Baryonen über elektromagnetische Kräfte wechselwirken
und so die Baryonen an die Photonen koppeln. Wir betrachten die Elektronen
in diesem Kontext also als die Austauschteilchen für die Wechselwirkung zwischen den
Photonen und den Baryonen.
Wir nehmen an, dass es in diesem Fluid primordiale Dichtestörungen, die kurz nach
dem Urknall aus quantenmechanischen Fluktuationen entstanden sind und durch die
Inflation auf kosmologische Skalen vergrößert wurden, gibt. Diese Dichtestörungen wirken
gravitativ auf das Fluid und versuchen es zu komprimieren. Der Strahlungsdruck
der Photonen wirkt der Kompression entgegen. Insgesamt entstehen dadurch Dichteoszillationen
in der Form stehender Wellen im Fluid, die wir als Schallwellen bezeichnen
wollen. Mit den Dichtestörungen gehen Temperaturschwankungen einher.
314

23.5 Dichtestörungen im Photon-Baryon-Fluid
Zum Zeitpunkt der Entkopplung werden diese Schwankungen dann immer noch vorhanden
sein. Es sind diese Fluktuationen, auf die dann die bereits besprochenen statistischen
Analysen angewendet werden.
23.5.2 Mathematische Betrachtung der Dichtestörungen
In diesem Kapitel orientieren wir uns an Rechnungen von J. H. Jeans. Diese Rechnungen
sind uns in Abschnitt 8.1 zur Entstehung von Sternen schon einmal begegnet.
Wir werden am Ende dieses Abschnittes sehen, was diese auf den ersten Blick völlig
unterschiedlichen Gebiete miteinander zu tun haben.
Zur quantitativen Betrachtung benötigen wir die Massendichte ϱ(r, t), bzw. die Energiedichte
ϱc 2 , das Geschwindigkeitsfeld v(, r, t) und das Gravitationspotential φ(r, t) für
das Fluid. Der Druck ergibt sich dann aus einer Zustandsgleichung p = p(ϱ).
Zur Beschreibung des Fluids haben wir drei miteinander gekoppelte Gleichungen: 3
• Die Kontinuitätsgleichung
∇ · (ϱ · v) + ∂ϱ
= 0, (23.14)
∂t
d.h. in diesem Fall die mathematische Formulierung der Masseerhaltung.
• Die Euler-Gleichung
∂v
∂t
+ (v · ∇) v = −1 ∇p − ∇φ. (23.15)
ϱ
Diese beschreibt die Strömung eines reibungsfreien Fluids. Man beachte das die
linke Seite nichts anderes ist, als die totale zeitliche Ableitung des Geschwindig-
keitsfeldes:
mit vx = dx/dt usw.
• Die Poisson-Gleichung
dv
dt
= ∂v
∂t
für das Gravitationspotential φ.
+ ∂v
∂x
dx ∂v dy ∂v dz
· · + ·
dt ∂y dt ∂z dt
(23.16)
∆φ = 4πGϱ (23.17)
3 Eigentlich haben wir noch Abhängigkeiten des Drucks von der Entropiedichte und der Temperatur,
sowie eine vierte Gleichung für die Entropiedichte. Wir wollen diese in unserer Betrachtung aber nicht
berücksichtigen.
Kosmologie 315

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
Zur Lösung entwickeln wir alle vorkommenden Größen um eine noch nicht näher bestimmte
Gleichgewichtslage:
ϱ(r, t) = ϱ0 + εϱ1(r, t) + O(ε 2 ) (23.18a)
v(r, t) = v0 + εv1(r, t) + O(ε 2 ) (23.18b)
φ(r, t) = φ0 + εφ1(r, t) + O(ε 2 ) (23.18c)
p(r, t) = p0 + εp1(r, t) + O(ε 2 ). (23.18d)
Im Gleichgewicht ist ε = 0. Wir wollen nun feststellen, ob eine zeitlich und räumlich
konstante Lösung, d.h. mit ϱ0 = const, v0 = const, φ0 = const und p0 = const möglich
sind. Dabei soll zusätzlich ϱ0 = 0 sein.
Einsetzen konstanter Größen in Gleichungen (23.14) und (23.15) zeigt sofort, dass diese
dann erfüllt sind. Dagegen bekommen wir bei Gleichung (23.17) ein Problem: Die linke
Seite ∆φ0 verschwindet identisch, daraus folgt ϱ = 0, was wir explizit ausgeschlossen
haben. Um dieses Problem zu lösen machen wir eine Annahme: In der Poisson-Gleichung
sollen nur die Abweichungen von der konstanten Dichte ϱ0 eingehen. Wir nehmen diese
Gleichung also erst ab der ersten Ordnung in ε mit. Diese Annahme ist nicht einfach zu
rechtfertigen, ihrer Diskussion ist deshalb ein eigener Abschnitt im Anschluss gewidmet.
Wir setzen weiter o.B.d.A. v0 = 0. Dies ist prinzipiell durch eine Galilei-Transformation
erreichbar. In erster Ordnung erhalten wir dann aus (23.14) ∇ · [(ϱ0 + εϱ1) εv1] +
ε∂ϱ1/∂t = 0. Wir wollen nur Terme linear in ε mitnehmen und erhalten damit ϱ0∇·v1 +
∂ϱ1/∂t = 0. Wir leiten diese Gleichung nochmals nach der Zeit ab, was uns auf
ϱ0∇ · ∂v1
∂t + ∂2ϱ1 = 0 (23.19)
∂t2 führt. Unser Ziel wird es sein aus dieser Gleichung eine Wellengleichung für ϱ1 zu machen.
Dazu müssen wir ∂v1/∂t durch einen Ausdruck für die Dichte ersetzen. Dafür benutzen
wir die Euler-Gleichung (23.15) in erster Ordnung in ε:
∂v1
∂t
1
= − ∇p1 − ∇φ1. (23.20)
ϱ0
Wir setzen diesen Ausdruck in (23.19) ein und verwenden ∇(∇p1) = ∆p1 und die selbe
Beziehung für φ1. Dann haben wir
−∆p1 − ϱ0∆φ1 + ∂2ϱ1 = 0. (23.21)
∂t2 Den Ausdruck ∆φ1 können wir mit Hilfe der Poisson-Gleichung durch 4πGϱ1 ausdrücken.
316

23.5 Dichtestörungen im Photon-Baryon-Fluid
Um außerdem ∆p1 zu ersetzen betrachten wir den linearisierten Zusammenhang
p − p0 = ∂p
· (ϱ − ϱ0). (23.22)
∂ϱ
Nach den Definitionen in Gleichung (23.18) gilt p − p0 = ε1p1 und ϱ − ϱ0 = εϱ1 und
damit
p1 = ∂p
· ϱ1.
∂ϱ
(23.23)
Wir setzen diesen Ausdruck in (23.21) ein, multiplizieren mit − ∂p
den Term 4πGϱ0ϱ1 auf die andere Seite:
1
∆ϱ1 −
(∂p/∂ϱ)|ϱ0
ϱ0
ϱ0
∂ϱ |−1 ϱ0
durch und bringen
∂2ϱ1 4πGϱ0ϱ1
= − . (23.24)
∂t2 (∂p/∂ϱ)|ϱ0
Damit haben wir eine inhomogene Wellengleichung für ϱ1. Die homogene Lösung sind
ebene Wellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit 4
vSchall =
∂p
∂ϱ
ϱ0
. (23.25)
Für das Photonengas ist p = u/3 = ϱc 2 /3 und damit ∂p/∂ϱ = c 2 /3. Damit erhalten wir
für die Phasengeschwindigkeit den Wert 5
vSchall = c
√ 3 . (23.26)
Wir betrachten nun die Auswirkung der Inhomogenität näher. Die ebenen Wellen, die
die homogene Wellengleichung lösen haben die Form
ϱ1(r, t) = ϱ10 · e i(k·r−ωt) . (23.27)
Wir wollen herausfinden, ob auch bei Mitnahme der Inhomogenität wellenförmige Dich-
4 Wir sprechen in diesem Zusammenhang etwas bildlich von der Schallgeschwindigkeit.
5 Als anschauliches Beispiel kann man das ideale Gas betrachten: Mit der Teilchendichte n und der
Molekülmasse µ folgt aus p = nkBT = ϱ/µkBT direkt ∂p/∂ϱ = kBT/µ und damit die bekannte Form
vSchall = kBT/µ für die Schallgeschwindigkeit in Gasen.
Kosmologie 317

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
testörungen möglich sind. Einsetzen der Form (23.27) in (23.24) führt auf
−k 2 + 1
v2 ω
Schall
2
ϱ1(r, t) = −4π Gϱ0
v2 ϱ1(r, t). (23.28)
Schall
Damit erhalten wir die Dispersionsrelation für die Wellenausbreitung in Fluiden mit
gravitativer Wechselwirkung: 6
ω 2 (k) = v 2 Schallk 2 − 4πGϱ0. (23.29)
Dieses Ergebnis ist bemerkenswert, denn man sieht, dass für k 2 < 4πGϱ0/v2 Schall die
Kreisfrequenz ω imaginär wird. Dies entspricht exponentiell anwachsenden, bzw. abfallenden
Lösungen. Die Dichtestörungen wachsen in diesem Fall also über alle Grenzen
und das System wird instabil. Man spricht deshalb von der Jeans-Instabilität.
Wir definieren den Jeans-Wellenvektor über
√
4πGϱ0
|kJ| = . (23.30)
Diesem entspricht eine Jeans-Wellenlänge
vSchall
λJ = 2π/|kJ|. (23.31)
Wellenförmige Dichtestörungen können nur existieren für |k| > |kJ|, bzw. λ < λJ. Damit
haben wir folgende wichtige Aussage:
Es können sich nur Dichtestörungen mit Wellenlängen λ < λJ im
Photon-Baryon Fluid ausbreiten. Die Jeans-Wellenlänge gibt eine typische
Längenskala für Dichtestörungen an.
Hier erkennt man auch den Zusammenhang zur Kontraktion von Sternen. Dort haben
wir völlig analog berechnet wann eine Gaswolke instabil wird, mit dem Unterschied, dass
wir dort genau das erreichen wollten.
Der “Jeans-Swindle”
Bei der gerade betrachteten Herleitung haben wir eine sehr dubiose Näherung vorgenommen:
Da wir für konstante Größen bei nichtverschwindender Dichte ϱ0 einen Widerspruch
6 Eine ganz ähnliche Dispersionsrelation ergibt sich für Dichtestörungen im Plasma, die Bohm-Gross-
Dispersionsrelation: ω 2 (k) = 3v 2 k 2 + 4πnee 2 /m ∗ e. Der zweite Term heißt Plasmafrequenz und m ∗ e ist
die effektive Elektronenmasse.
318

23.6 Der Sachs-Wolfe Effekt
fanden, nahmen wir an, dass die Poisson-Gleichung nur für die Abweichung ϱ1 von der
Gleichgewichtsdichte ϱ0 wichtig wird. Diese Annahme ist offensichtlich nicht korrekt, wir
haben das ungestörte Gravitationsfeld einfach weggelassen.
Streng mathematisch lassen sich die Ergebnisse des letzten Abschnittes also nicht herleiten.
Dennoch haben sich die damit verbundenen Vorhersagen als korrekt erwiesen. Dieser
Umstand brachte dieser Argumentationskette den Namen “Jeans-Swindle” ein. Erst 2003
konnte M. Kiessling in einer Arbeit zeigen wie sich dieses Problem lösen lässt. [63] Dabei
ging er von der Helmholtz-Gleichung (19.2) aus, die schon Einstein benutzt hatte um die
Einführung der kosmologischen Konstante zu begründen, 7 siehe Abschnitt 19.1. Mit den
Überlegungen dort wird klar, dass für die Helmholtz-Gleichung ein konstantes Gravitationspotential,
das aus einer ebenfalls konstanten, nichtverschwindenden Materiedichte
resultiert, existiert. Kiessling argumentiert dann weiter über eine Grenzbetrachtung
Λ → 0 um die Betrachtungen von Jeans mathematisch korrekt zu fundieren.
23.6 Der Sachs-Wolfe Effekt
Wir haben gesehen, dass sich im PBF oszillierende Dichtestörungen ausbilden können.
In den folgenden Abschnitten werden wir jetzt verschiedene Effekte behandeln, die die
im CMB auftretenden Anisotropien beeinflussen. Wir beginnen bei großwinkligen Fluktuationen,
d.h. Winkelleistungsspektrum bei kleinen l. Dort dominiert der Sachs-Wolfe
Effekt das Aussehen des Spektrums. Der Sachs-Wolfe Effekt [64] verknüpft beobachtete
Temperaturfluktuationen der Mikrowellenhintergrundstrahlung mit Fluktuationen der
Metrik. Wir beschreiben die Metrik des frühen Universums dabei als die übliche FRW-
Metrik überlagert von kleinen Fluktuationen verursacht von Dichteschwankungen der
CDM. Die physikalische Interpretation des Sachs-Wolfe Effektes hängt allerdings von der
gewählten Eichung der Metrik ab. Für Details dazu sei auf die Doktorarbeit von W. Hu
verwiesen. [65]
Wir wählen hier die “Newtonsche Eichung”, wobei der Namensursprung gleich klar werden
wird. Wenn γµν die ungestörte Metrik bezeichnet, so ergibt sich in dieser Eichung
für die Metrik mit Fluktuationen
φ(x, t)
g00 = 1 + 2
c2
γ00
2
a ψ(x, t)
gij = − 1 + 2
a0
c2
(23.32)
γij.
7 Kiessling zeigt in diesem Artikel auch, dass die Helmholtz-Gleichung die nichtrelativistische Näherung
der Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante ist.
Kosmologie 319

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
Horizont der letzten Streuung
d− d0 d+
Abbildung 23.5: In der ungestörten FRW-Metrik findet die Entkopplung
von Strahlung und Materie überall gleichzeitig statt, der Horizont der letzten
Streuung (gepunktete Kurve) ist ein Kreis um unsere Position hier und heute
(schwarzer Punkt). Durch die Gravitationspotentialstörungen findet die
Entkopplung nicht mehr überall gleichzeitig statt, der Horizont der letzten
Streuung ist kein Kreis mehr (blaue Kurve). Photonen, die uns aus Regionen
mit höherer Dichte, d.h. φ < 0 erreichen sind später ausgestrahlt worden
(d−), als solche die aus Regionen mit mittlerer Dichte (d0) oder Regionen
mit niedriger Dichte (d+) zu uns kommen.
Die Komponenten g0i verschwinden, wie in der FRW-Metrik auch. Hier werden die
Metrikfluktuationen φ als ein Gravitationspotential interpretiert, daher der Name Newtonsche
Eichung, vgl. dazu auch den nichtrelativistischen Grenzfall der Feldgleichungen,
den wir in Abschnitt 14.1 diskutiert haben. Hier wollen wir mit φ aber die Abweichung
des Gravitationspotentials von einem angenommenen Mittelwert φ0 bezeichnen. In der
Newtonschen Eichung besteht der Sachs-Wolfe Effekt aus zwei Teileffekten:
320
1. Das Gravitationspotential φ bewirkt eine Gravitationsrotverschiebung falls φ < 0
und eine Blauverschiebung falls φ > 0. Dabei gilt der Zusammenhang
z = φ
c 2
zwischen dem Rotverschiebungsparameter z und dem Potential.
(23.33)
2. Da die Hintergrundmetrik zeitveränderlich ist, hat die Zeitdilatation an den Punkten
mit erhöhtem Gravitationspotential eine weitere Auswirkung auf die Temperaturfluktuation:
Photonen, die aus solchen Regionen kommen, entkoppeln erst zu
einem späteren Zeitpunkt verglichen mit Regionen mit mittlerem Potential. Diese
Photonen fliegen also zu einem späteren Zeitpunkt zu uns los, siehe Abbildung 23.5
Wir sehen also heute Photonen aus Regionen mit erhöhtem Gravitationspotential,

23.7 Akustische Oszillationen
die eine geringere Flugdauer zu uns haben als ein durchschnittliches Photon. Daher
ist ihre kosmologische Rotverschiebung geringer. Quantitativ ergibt sich
∆T
T
φ
= −2 , (23.34)
3 c2 wenn die Entkopplung in der materiedominierten Phase stattfand und
∆T
T
bei Entkopplung noch in der strahlungsdominierten Phase.
φ
= −1 , (23.35)
2 c2 Zusammengefasst führt der Sachs-Wolfe Effekt daher zu einer Temperaturfluktuation
∆T
T
1 φ
=
3 c2 bzw. ∆T 1 φ
= , (23.36)
T 2 c2 bei Entkopplung in der materie- bzw. in der strahlungsdominierten Phase.
Es ist wichtig festzuhalten, dass das PBF nicht den Gravitationsfluktuationen folgen
muss, damit es zum Sachs-Wolfe Effekt kommt. Daher kann dieser Effekt auch auf sehr
großen Winkelskalen auftreten, die Strukturen entsprechen, die bei der Entkopplung so
groß waren, dass nicht genügend Zeit gewesen wäre, dass sich etwa die Dichte des PBF
der der CDM anpasst. Im nächsten Abschnitt betrachten wir was passiert, wenn diese
Annahme nicht mehr gilt.
23.7 Akustische Oszillationen
Wenn wir zu Dichteschwankungen der CDM auf kleineren Winkelskalen übergehen, so
zeigt sich, dass diese zu zeitlich periodischen Dichteschwankungen des PBF führen, die
wir aufgrund ihrer Eigenschaften akustische Oszillationen nennen. Die Akustischen Oszillationen
des PBF verursachen die meisten Strukturen im Winkelleistungsspektrum
und machen gleichzeitig die Bestimmung vieler kosmologischer Parameter möglich. Sie
sind daher von besonders großer Bedeutung.
Wir hatten bereits diskutiert, dass das Universum in der uns interessierenden Phase zwischen
Inflation und Entkopplung durch ein gemeinsames Fluid der Photonen, Elektronen
und Baryonen beschrieben wird. Die Photonen streuen ständig an den freien Elektronen.
Diese ziehen außerdem über die elektromagnetische Wechselwirkung die Protonen mit
sich. Das Fluid ist damit im thermodynamischen Gleichgewicht. Fluktuationen in der
CDM, d.h. im Gravitationspotential bewirken das Hineinfallen des Fluids in Regionen
größerer Dichte, bzw. die Ausdünnung in Bereichen kleinerer Dichte.
Kosmologie 321

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
In den Bereichen höherer Dichte wird das PBF komprimiert, dadurch steigen seine
Temperatur und der Photonendruck, bis der Photonendruck die Bewegung umkehrt.
Es entsteht eine Oszillation des Photon-Baryon Fluids, deren Periode proportional zu
ihrer Wellenlänge ist, weswegen man von “akustischen Oszillationen” spricht. Die CDM
nimmt an diesen Oszillationen allerdings nicht teil, sondern wirkt nur als Keim, der
die Oszillationen verursacht. Diese Oszillation kann in einzelne Moden unterschiedlicher
Frequenz zerlegt werden.
Bei der Entkopplung rekombinieren die Elektronen mit den Protonen und die Photonen
werden frei, die Beschreibung als PBF bricht zusammen, die früheren Bestandteile des
Fluids entwickeln sich jetzt unabhängig voneinander weiter:
Die Materie sammelt sich in den Regionen höherer CDM-Dichte und es kommt zur Strukturbildung.
Die Photonen dagegen tragen das Bild der Temperaturverteilung bei der
Entkopplung zu uns, bzw. an jeden Punkt des Universums.
Zum Zeitpunkt der Entkopplung wird die Oszillation des PBF eingefroren. Im Cl(l)-
Diagramm sieht man dann v.a. diejenigen Moden, die gerade an ihrem Maximum waren,
der Einfluss der anderen Moden ist schwächer oder auch gar nicht vorhanden. Daraus
ergibt sich die Abfolge der Peaks im Cl(l)-Diagramm wie sie in Abbildung 23.6 skizziert
wird: Der erste Peak entspricht der langwelligsten Mode, die gerade maximal komprimiert
ist. Der zweite Peak stammt von einer Mode die bereits aus der überdichten Phase
zurückgeschwungen ist und gerade maximal verdünnt ist. Die Moden mit Frequenzen
dazwischen befinden sich weder in einem Maximum noch in einem Minimum und tragen
wenig zur Temperaturverteilung bei. Das Gleiche gilt für eine Vielzahl weiterer Moden
mit entsprechend höheren Frequenzen. Abbildung 23.7 veranschaulicht die Entstehung
der Dichteoszillationen.
Einfluss der Baryonenmasse und andere Effekte
Bisher haben wir nicht berücksichtigt, das die Baryonen des PBF selbst auch Masse
haben. Wenn sie sich in den Regionen hoher CDM-Dichte sammeln, so ballen sie sich zusätzlich
aufgrund ihrer eigenen Masse zusammen man spricht hier vom Baryon Drag.
Dies führt dazu, dass die Schwingungen des PBF nicht mehr symmetrisch sind, sondern
die Kompressionspeaks im Vergleich zu den Erhöhungspeaks erhöht werden. Daraus lässt
sich Rückschluss auf die Baryonendichte im Universum ziehen. In Abbildung 23.8 werden
die Modifikationen durch die Baryonenmasse veranschaulicht.
Durch eine Vielzahl weiterer Effekte bildet sich eine große Zahl von kosmologischen
Parametern im Cl(l)-Diagramm ab. Beispielsweise kann die Krümmung, bzw. spezieller
die Flachheit des Raums an der Position des ersten Peaks abgelesen werden. Wir haben
im Kapitel zu den Dichtestörungen im PBF gesehen, dass man mit von der Kosmologie
unabhängigen Methoden der Hydrodynamik die Wellenlänge der langwelligsten Mode
322

λ
0
tR t
23.7 Akustische Oszillationen
1. Peak
2. Peak
Abbildung 23.6: Verschiedene Moden der Akustischen Oszillationen des
PBF. Nach der Inflation beginnen alle Moden mit der Oszillation. Je nach
Größe der Mode variiert auch die Periode der Moden. Bei der Entkopplung
werden die Photonen frei und enthalten die Information über die Temperaturverteilung
zu diesem Zeitpunkt. Den größten Beitrag zu den Fluktuationen,
d.h. den ersten Peak im Cl(l)-Diagramm liefert dabei diejenige Mode, die
zum Zeitpunkt der Entkopplung gerade maximal komprimiert war. Der zweite
Peak rührt von derjenigen Mode her die gerade maximal verdünnt ist und
so weiter. Das Bild ist eine Abwandlung eines Bildes aus der Diplomarbeit
von Dirk Meyer [41] beruhend auf einer Abbildung in Buch von P. Coles. [66]
Kosmologie 323

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
324
(a)
(b)
(c)
∆T (r)
∆T (r)
φ(r)
φ0
φ(r)
φ0
∆T (r, t1)
∆T (r, t2)
∆T (r, t3)
∆T (r, t4)
∆T (r, t5)
Abbildung 23.7: Durch Fluktuationen in der CDM-Verteilung entstehen
Fluktuationen φ(r) (grüne Linie) des mittleren Gravitationspotentials φ0
(schwarze Linie).
Abbildung a): Das PBF sammelt sich an den Orten höherer CDM-Dichte
(blaue Pfeile), also in den Mulden des Potentials φ. Bei maximaler Dichte
ist dort die Temperatur gegenüber dem Mittelwert erhöht (rote Linie).
Abbildung b): Durch den erhöhten Photonendruck in den Regionen hoher
Dichte, angedeutet durch die dunkleren Bereiche, kehrt sich die Bewegung
des PBF um. An dieser Bewegung nimmt die CDM aber nicht teil. Am Ende
ist die Dichte des PBF und damit die Temperatur an den Minima des
Gravitationspotentials am größten.
Abbildung c): Aus den ersten beiden Abbildungen sieht man, dass sich
∆T (r, t) wie eine stehende Welle verhält.

∆T (r)
T
(a)
(b)
(c)
23.7 Akustische Oszillationen
∆T (r)
φ(r)
φ0
∆T (r, t1)
∆T (r, t2)
∆T (r, t3)
∆T (r, t4)
∆T (r, t5)
Abbildung 23.8: Berücksichtigt man die Masse der Baryonen bei den bisherigen
Betrachtungen in Abbildung 23.7, so geht die Symmetrie in der Temperaturabweichung
der über- und unterdichten Regionen verloren.
Abbildung a): An den Orten höherer CDM-Dichte verstärkt die Baryonenmasse
die Abweichung vom mittleren Gravitationspotential, die Mulde wird
noch tiefer und die Temperatur entsprechend noch höher. Umgekehrt ist die
Situation nach Umkehrung der Bewegung durch den Photonendruck an den
Stellen geringer CDM-Dichte. Dort schwächt die Baryonenmasse die Abweichung
des Gravitationspotentials vom Mittelwert ab.
Abbildung b): Durch die in a) gezeigte Verschiebung ist die stehende Welle
der Temperaturverteilung ∆T (r, t) nicht mehr symmetrisch um die mittlere
Temperatur.
Abbildung c): In die Analyse des CMB geht nur die betragsmäßige Temperaturabweichung
vom Mittelwert ein. Eine Mode, die gerade voll komprimiert
ist, zeigt eine höhere Temperaturabweichung als eine voll verdünnte
Mode. Dementsprechend sind die Peaks im Cl(l)-Diagramm überhöht oder
abgeschwächt, je nach dem ob die betrachtete Mode bei der Rekombination
gerade komprimiert oder verdünnt war.
r
Kosmologie 325

23 Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
αp αn
α0
Abbildung 23.9: Auswirkung der Raumkrümmung auf die Strukturgröße
am Himmel. Eine Struktur mit bekannter Ausdehnung λ erscheint je nach
Raumkrümmung verschieden groß. Daraus kann bestimmt werden, ob der
Raum flach oder gekrümmt ist.
berechnen kann. Damit kann man darauf schließen, unter welchen Winkel am Himmel
heute diese Struktur im CMB erscheint. Wenn man mit dem tatsächlich gemessenen
Winkel vergleicht, so ergeben sich drei Möglichkeiten:
a) Der Winkel erscheint vergrößert. Dies deutet auf eine positive Krümmung des Raumes
hin.
b) Der Winkel erscheint wie erwartet. Dann muss der Raum flach sein.
c) Der Winkel erscheint verkleinert. Dies lässt auf einen negativ gekrümmten Raum
schließen.
Diese Zusammenhänge werden in Abbildung 23.9 klar.
23.8 Silk-Dämpfung
Wenn wir zu noch kleinwinkligeren Skalen gehen, so ändert sich die Situation noch
einmal grundlegend. Dazu müssen wir die Betrachtung des PBF noch etwas verfeinern.
Die Kopplung zwischen den Photonen und den Baryonen ist nämlich nicht vollständig,
zwischen zwei Stößen mit Elektronen bewegen sich die Elektronen frei durch das Fluid.
Dadurch können heiße Photonen in kältere Bereiche gelangen und umgekehrt. Durch
diese Durchmischung werden Anisotropien auf diesen Größenskalen wieder ausgelöscht,
siehe dazu Abbildung 23.10. Dieser Effekt wird als Silk-Dämpfung bezeichnet.
326
λ

λ λD
23.8 Silk-Dämpfung
Abbildung 23.10: Diffusion mischt Photonen aus überdichten bzw. unterdichten
Regionen. Dadurch werden Anisotropien mit Wellenlänge λ kleiner
als die Diffusionslänge λD ausgelöscht. Bildidee aus der Doktorarbeit von
W. Hu. [65]
Ein dazu gehörendes weiteres Detail betrifft die Rekombination. Bisher haben wir diese
immer als festen Zeitpunkt behandelt. Tatsächlich handelt es sich aber um einen,
wenn auch kurzen, ausgedehnten Zeitraum in der Entwicklungsgeschichte des Universums,
der etwa 20 000 Jahre dauerte. Während dieser Zeit sank der Ionisierungsgrad des
PBF ständig. Dadurch stieg auch die freie Weglänge der Photonen ständig. Während
dieser Zeit wurden dann, wie sich zeigen lässt, kleinwinklige Temperaturanisotropien
exponentiell gedämpft. Wie dieser Vorgang exakt abläuft, hängt dabei vom Verlauf der
Rekombination ab, dazu gibt es wieder verschiedene Modellannahmen.
Da während dieser Zeit aber die Kopplung der Photonen an die Baryonen dennoch weitgehend
intakt war, wurden auch die Fluktuationen in der Materieverteilung ausgelöscht.
Dies führt zu einer unteren Grenze für mögliche Strukturgrößen im frühen Universum.
Die typische Größenskala, bei der dieser Effekt wichtig wird ist heute auf etwa 3 Mpc
angewachsen, also etwa der Abstand von Galaxien. Die entsprechende Masse in diesem
Bereich beträgt etwa 10 13 M⊙, also größenordnungsmäßig im Bereich von 10 − 100
Galaxienmassen.
Die Silk-Dämpfung spielt im Winkelleistungsspektrum etwa ab l 800 eine Rolle, Peaks
bei höheren l sind im Vergleich stark abgeschwächt, dies lässt sich in Abbildung 23.4 auf
Seite 314 sehr gut erkennen.
Kosmologie 327

24 Unser heutiges Bild des
Universums
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir die theoretischen Methoden und wichtige
Experimente kennengelernt, mit denen Beobachtungen des Universums vorgenommen
werden und aus den Ergebnissen Informationen über seine Entwicklung und weitere
wichtige Größen wie den Materiegehalt und ähnliches gewonnen werden. Zum Abschluss
unserer Betrachtungen zur Kosmologie möchten wir zusammenfassend das mit Hilfe dieser
Methoden gewonnene Bild unseres Universums vorstellen. Darüber hinaus möchten
wir darstellen, wie diese Resultate durch unabhängige Experimente und Rechnungen
bestätigt werden können. Das ist sehr wichtig um ein konsistentes Bild des Universums
innerhalb der Physik zu bekommen. Abschließend sollen dann noch einige Betrachtungen
zur Zukunft des Universums folgen.
24.1 Inhalt des Universums
Tabelle 24.1 zeigt Zahlen aus einer Publikation von Hinshaw et. al., [67] die anhand der
Daten der WMAP-Mission und anderer Experimente ermittelt wurden. Danach ist unser
Universum etwa 13,7 Milliarden Jahre alt und flach. Die Entkopplung fand etwa 377 000
Jahre nach dem Urknall statt.
Sehr bedeutend und ganz entgegen unserer alltäglichen Vorstellung sind die Verhältnisse
der dunklen Energie, der dunklen Materie und der normalen baryonischen Materie, die
wir kennen. Nach dem aktuellen Stand der Forschung besteht der Inhalt des Universums
zu etwa 72,6% aus dunkler Energie, zu 22,8% aus dunkler Materie und nur zu
etwa 4,6% aus baryonischer Materie, d.h. Atomen, die Sterne, Planeten und ähnliches
bilden. Abbildung 24.1 fasst diese Ergebnisse in einem Diagramm zusammen. Man sieht
auch, dass zur Zeit der Entkopplung die Zusammensetzung des Universums völlig anders
war, insbesondere spielte ΩΛ, d.h. die dunkle Energie, zu diesem Zeitpunkt überhaupt
keine Rolle. Das ist nicht überraschend, wir haben bereits bei den Betrachtungen der
Friedmann-Gleichung gesehen, dass die kosmologische Konstante erst bei großen Skalenfaktoren,
wie sie damals noch nicht gegeben waren, eine Rolle spielt.
Kosmologie 329

24 Unser heutiges Bild des Universums
330
Abbildung 24.1: Den Großteil des Energieinhaltes des Universums stellt
die dunkle Energie mit etwa 72% vor der dunklen Materie mit 23%. Die
baryonische Materie macht nur etwa 4.6% aus. Im sehr frühen Universum
zur Zeit der Entkopplung waren die Anteile völlig anders verteilt.
Credit: NASA / WMAP Science Team [1]

24.2 Kosmologische Konsistenz
Tabelle 24.1: Zusammenfassung kosmologischer Parameter unter Annahme
des ΛCDM Modells. Dies ist eine verkürzte Darstellung der in Hinshaw
et. al. [67] vorgestellten Ergebnisse mit den dort verwendeten Symbolen. Danach
ist unser Universum etwa 13,7 Milliarden Jahre alt und besteht zum
überwiegenden Teil, etwa 72,6% aus dunkler Energie, zu 22,8% aus dunkler
Materie und nur zu 4,6% aus gewöhnlicher baryonischer Materie.
Beschreibung Symbol Wert
Alter des Universums
Hubblekonstante
t0
H0
13,72 ± 0,12 Gyr
70,5 ± 1,3 km s−1 Mpc−1 Baryonendichte Ωb 0,0456 ± 0,0015
Dichte der dunklen Materie Ωc 0.228 ± 0,013
Dichte der dunklen Energie ΩΛ 0,726 ± 0,015
Rotverschiebung seit Entkopplung
Zeitpunkt der Entkopplung
z∗
t∗
1090.88 ± 0,72
376971 +3162
−3167 yr
Zeitpunkt der Rekombination treion 432 +90
−67 Myr
Über die dunkle Materie und die dunkle Energie, die die absolute Mehrheit des Energieinhaltes
des Universums ausmachen, ist allerdings nichts bekannt. Die Aufklärung der
Natur dieser Größen ist Teil aktuellster Forschungen. Ein möglicher Kandidat für dunkle
Materie wären zum Beispiel supersymmetrische Teilchen, die möglicherweise am Large
Hadron Collider nachgewiesen werden könnten.
24.2 Kosmologische Konsistenz
Es wäre eine sehr schwierige Situation, wenn alle Erkenntnisse, die wir über das Universum
besitzen nur von einem Experiment oder einem bestimmten Typ von Experiment
stammen. Es ist daher sehr wichtig Größen zu haben, die auch auf anderem Wege Experimenten
oder Rechnungen zugänglich sind.
Eine solche Größe ist die relative Häufigkeit der leichten Elemente im Kosmos. Abbildung
24.2 zeigt die erwartete Elementhäufigkeit in Abhängigkeit von der Materiedichte im
Vergleich mit den Daten von WMAP. Es sollte dann die beobachtete Materiedichte im
Universum zusammen mit den beobachteten Elementhäufigkeiten den vorhergesagten
Werten entsprechen, wie es hier der Fall ist.
Wie bereits in Abschnitt 8.2 diskutiert konnten beim Urknall keine schwereren Elemente
als Lithium entstehen und werden deshalb hier nicht betrachtet.
Kosmologie 331

24 Unser heutiges Bild des Universums
Abbildung 24.2: Die Häufigkeit der leichtesten Elemente wie sie anhand
der WMAP Daten erwartet wird im Vergleich mit Berechnungen für verschiedene
Materiedichten.
Credit: NASA / WMAP Science Team [1]
24.3 Die zeitliche Entwicklung des Universums
Abbildung 24.3 zeigt die Entwicklung des Universums bis in die Gegenwart wie man
sie sich heute vorstellt. Wir haben einige der Phasen der Entwicklung des Universums
detailliert besprochen. In Abschnitt 22.3 haben wir diskutiert, dass in der Phase extrem
kurz nach dem Urknall in Zeiträumen der Größenordnung der Planck-Zeit von
5,3912 × 10 −44 s, siehe Tabelle 22.1, Quanteneffekte wichtig gewesen sein müssen. Diese
Phase wird hier mit dem Begriff “Quantum Fluctuations” bezeichnet. In dieser Zeit
müssen die winzigen Schwankungen in der Verteilung der dunklen Materie entstanden
sein, allerdings sind diese Prozesse im Detail nicht verstanden.
Es wird allgemein davon ausgegangen, dass danach das Universum eine inflationäre Phase
durchlaufen hat. Einige Details dazu haben wir in Abschnitt 22.4 besprochen.
Eine solche Phase ist unter anderem nötig, um die hohe Homogenität des CMB zu
erklären, die wir heute beobachten und die seit dem Zeitpunkt der Entkopplung etwa
380 000 Jahre nach dem Urknall das Universum durchläuft.
In der Zeit nach der Entkopplung war das Universum dunkel, da noch keine Sterne
existierten. Man geht davon aus, dass die ersten Sterne etwa 400 Millionen Jahre nach
dem Urknall zu leuchten begannen und dann Galaxien bildeten.
332

24.4 Die Zukunft des Universums
Abbildung 24.3: Die zeitliche Entwicklung des Universums vom Urknall
bis heute.
Credit: NASA / WMAP Science Team [1]
Während einem Großteil der Entwicklung muss die Ausdehnung des Universums abgebremst
worden sein. Dafür haben sich auch bei der Beobachtung von Supernovae des
Typ Ia Hinweise ergeben, siehe Abschnitt 20.4.4. An einem bestimmten Punkt hat der
Einfluss der dunklen Energie dann aber dazu geführt, dass seitdem die Expansion des
Universums beschleunigt verläuft.
24.4 Die Zukunft des Universums
Nach der Entwicklung des Universums bis heute stellt sich die Frage, wie sich das Universum
in der Zukunft weiterentwickeln wird. In diesem Abschnitt orientieren wir uns
an einem Vortrag von G. Hasinger [68] zu diesem Thema.
Möchte man Aussagen über die Zukunft des Universums machen, so ist die wichtigste
zu beantwortende Frage die nach der Natur der dunklen Energie. Wenn sich diese zum
Beispiel mit der Zeit ändert, so sind verschiedenste Entwicklungen der Expansion denkbar.
Um diese Frage zu klären ist wohl eine Vereinheitlichung von Quantenmechanik und
Relativitätstheorie in einer Theorie nötig. Dieses Ziel wird z.B. mit der “Stringtheorie”
und der “Quantenschleifengravitation” verfolgt, ist aber noch nicht erreicht. Letztlich
sind viele Aussagen in diesem Abschnitt daher Spekulation.
Davon abgesehen ist klar, dass die Sterne im Universum den vorhandenen Kernbrennstoff
mit der Zeit verbrauchen werden. Die letzten Sterne sollten dann in etwa 10 14 Jahren
Kosmologie 333

24 Unser heutiges Bild des Universums
ausbrennen und das Universum wieder dunkel werden, abgesehen von der schwachen
Strahlung von Weißen Zwergen und Neutronensternen sowie Braunen Zwergen.
Wenn die Protonen, wie vermutet mit einer Halbwertszeit von über 10 33 Jahren instabil
sind, werden nach einem Zeitraum in dieser Größenordnung die stellaren Reste bis auf
die Schwarzen Löcher zerstrahlen.
Da Schwarze Löcher durch Hawking-Strahlung Energie abstrahlen, ist auch ihre Lebenszeit
endlich und liegt im Bereich von 10 67 Jahren für Stellare Schwarze Löcher bis 10 83
Jahre für Schwarze Löcher mit Massen im Bereich von Millionen Sonnenmassen und 10 98
Jahre bei Massen im Bereich einer Galaxie.
Nach einem Zeitraum in dieser Größenordnung sollte dann im Universum nur noch leichte
Leptonen, Photonen und Vakuumenergie vorhanden sein.
334

Abbildungsverzeichnis
3.1 Skizze zur Lorentz-Kontraktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Skizze zum Geschwindigkeits-Additionstheorem. . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Ein einfaches Raum-Zeit-Diagramm mit raum- und zeitartigen Bereichen. . 19
3.4 Skizze zum Stab-Rahmen-Paradoxon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Skizze zum Uhrenparadoxon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1 Skizze zum Variationsprinzip der kräftefreien Bewegung. . . . . . . . . . . 40
5.2 Geschwindigkeitsfunktion der relativistischen Rakete. . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Ortsfunktion der relativistischen Rakete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Skizze zur Äquivalenz von Masse und Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1 Interpretation des Energie-Impuls-Tensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1 Skizze zur Definition des Parsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 Veranschaulichung zur Fluchtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Gravitationsfeld im Innenbereich einer Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.4 Himmelskugel im Horizontsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.5 Himmelskugel im Äquatorsystem. Aus dem Buch von Weigert et. al. [5] . . . 91
8.1 Kontraktion einer Gaswolke unter Einwirkung der Eigengravitation. . . . . 93
8.2 Skizze zur Herleitung des Hydrostatischen Gleichgewichtes. . . . . . . . . . 97
8.3 Skizze der Maxwell-Energieverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.4 Tunneleffekt beim α-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.5 Delokalisierung der Elektronen zu einem Fermigas beim Kollaps eines Sternes.109
8.6 Potentialtopfmodell zur Entstehung des Fermi-Drucks bei Weißen Zwergen 116
8.7 Schematische Masse-Radius-Beziehung von Planeten und Weißen Zwergen. 123
8.8 Potentialtopfmodell zum Kollaps zum Neutronenstern. . . . . . . . . . . . 124
8.9 Veranschaulichung zum Dichtbereich ohne stabile Sterne zwischen Weißen
Zwergen und Neutronensternen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.10 Skizze zur Erhaltung des magnetischen Flusses bei Kontraktion. . . . . . . 129
8.11 Messungen am HZ Her-System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.12 Skizze des Hercules Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
335

Abbildungsverzeichnis
8.13 Situation am BZ Her-System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.14 Röntgenspektrum von Her X-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.1 Paralleltransport eines Vektors im Euklidischen Raum. . . . . . . . . . . . 156
12.1 Paralleltransport eines Vektors im Euklidischen Raum entlang eines geschlossenen
Weges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.2 Paralleltransport eines Vektors auf einer Kugeloberfläche. . . . . . . . . . . 165
12.3 Paralleltransport eines Vektors F von p nach r. . . . . . . . . . . . . . . . 166
13.1 Veranschaulichung des Äquivalenzprinzips durch die Auslenkung von zwei
gleichen Federn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
13.2 Skizze zu den Fahrstuhlexperimenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
13.3 Zweite Skizze zu den Fahrstuhlexperimenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
13.4 Inhomogenität von Gravitationsfeldern im großen Labor. . . . . . . . . . . 176
13.5 Lichtablenkung im Schwerefeld als Konsequenz des Äquivalenzprinzips. . . 178
15.1 Eigenradiallänge ds zum Ereignishorizont eines Schwarzen Loches. . . . . . 195
15.2 Nachweis der gravitativen Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
15.3 Kenngrößen einer Ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
15.4 Effekt der Periheldrehung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
15.5 Skizze zur Lichtablenkung im Schwerefeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
15.6 Beschreibung von Massen über einen scheinbaren ortsabhängigen Brechungsindex.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.7 Scheinbare Positionsänderung von Sternen während einer Sonnenfinsternis. 208
15.8 Lichtablenkende Wirkung eines Schwarzen Loches. . . . . . . . . . . . . . . 209
15.9 Visualisierung von Einstein-Ringen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
15.10 Skizze zur Laufzeitverzögerung von Licht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15.11 Skizze zum Global Positioning System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
15.12 Verengung von Lichtkegeln in der Schwarzschild-Raumzeit. . . . . . . . . . 216
15.13 Statische Annäherung an ein Schwarzes Loch. . . . . . . . . . . . . . . . . 218
15.14 Annäherung an ein Schwarzes Loch im Freien Fall. . . . . . . . . . . . . . . 219
15.15 Vergleichsdiagramm für Schwarzschild- und Kruskalkoordinaten. . . . . . . 223
15.16 Teilchen auf einem Kreis unter der Wirkung einer Gravitationswelle . . . . 230
15.17 Experimente zum Nachweis von Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . 232
15.18 Das Doppelpulsarsystem 1913 + 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
15.19 Veränderung der Rotationsdauer bei 1913+16 . . . . . . . . . . . . . . . . 236
15.20 Skizze zur Beobachtung des Doppelpulsars 1913 + 16. . . . . . . . . . . . . 236
17.1 Äquidistante Raumintervalllinien in der Metrik der Kugeloberfläche. . . . . 247
336

Abbildungsverzeichnis
17.2 Stereographische Projektion der Kugeloberfläche auf die Ebene. . . . . . . 248
17.3 Zweischaliges Rotationshyperboloid mit Einbettungszylinder. . . . . . . . . 249
17.4 Äquidistante Raumintervalllinen in der Metrik der Pseudosphäre. . . . . . 250
17.5 Die Rotationsfläche der Traktrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
18.1 Qualitative Betrachtung zur Einstein-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . 261
18.2 Lösungen der Einstein-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
19.1 Qualitative Betrachtung zur Friedmann-Lemaître-Gleichung . . . . . . . . 270
19.2 Skalenfaktoren leerer Weltmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
19.3 Skalenfaktoren leerer Weltmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
19.4 Die Hubble-Konstante als Maß für das Weltalter. . . . . . . . . . . . . . . 275
19.5 Skizze zur Bedeutung der Eigendistanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
20.1 Darstellung des kosmischen Dreiecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
20.2 Erste Skizze zur Berechnung der kosmologischen Rotverschiebung. . . . . . 282
20.3 Zweite Skizze zur Berechnung der kosmologischen Rotverschiebung . . . . . 283
20.4 Zusammenhang zwischen Helligkeit und Rotverschiebung eines kosmischen
Objektes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
20.5 Ergebnisse der Messung von Helligkeits-Rotverschiebungsbeziehungen für
Supernovae Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
21.1 Entwicklung von Materiedichte und Strahlungsdichte über dem Skalenfaktor 297
22.1 Entwicklung des Skalenfaktors im strahlungsdominierten Universum abhängig
von der Krümmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
23.1 Auflösung der CMB-Karten von Penzias und Wilson bis WMAP. . . . . . . 308
23.2 Vergleich einer unkorrelierten und einer korrelierten Gaußverteilung von
zwei Zufallsvariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
23.3 Darstellung der ersten Legendrepolynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
23.4 Winkelleistungsspektrum aus den WMAP-Daten der ersten sieben Missionsjahre.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
23.5 Skizze zum Sachs-Wolfe-Effekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
23.6 Verschiedene Moden der Akustischen Oszillationen . . . . . . . . . . . . . 323
23.7 Akustische Oszillationen des Photon-Baryon-Fluids. . . . . . . . . . . . . . 324
23.8 Akustische Oszillationen des Photon-Baryon-Fluids bei Berücksichtigung
der Baryonenmasse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
23.9 Auswirkung der Raumkrümmung auf die Strukturgröße am Himmel . . . . 326
23.10 Dämpfung kleinwinkliger Anisotropien durch Photonendiffusion . . . . . . 327
337

Abbildungsverzeichnis
24.1 Inhalt des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
24.2 Elementhäufigkeit im Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
24.3 Zeitliche Entwicklung des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
338

Tabellenverzeichnis
4.1 Vergleich von Schreibweisen im Euklidischen und im Minkowski-Raum. . 27
7.1 Scheinbare Helligkeiten einiger Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 Wichtige Eigenschaften der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Zahlenwerte für den Schwarzschild-Radius und die Fluchtgeschwindigkeit
für verschiedene kosmische Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4 Beispiel für den Aufbau eines Sternenkatalogs. . . . . . . . . . . . . . . . 91
15.1 Vergleich der in Schwarzschildkoordinaten auftretenden Singularitäten . . 220
15.2 Eigenschaften des Doppelpulsars 1913 + 16. . . . . . . . . . . . . . . . . 233
22.1 Zusammenfassung der Planck-Einheiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
24.1 Zusammenfassung kosmologischer Parameter unter Annahme des ΛCDM
Modells. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
339

Index
Äquatorialsystem
bewegliches, 90
festes, 90
Äquivalenzprinzip, 75
schwaches, 174
starkes, 175
Übergangskoeffizienten, 156
Aberration, 68
Abraham, M., 140
Astronomische Einheit, 71
Baryon Drag, 322
Bethe, H. A., 101
Bremsparameter, 287
Cepheiden, 285
Chandrasekhar
-Grenzmasse, 118
-Radius, 120
Chandrasekhar, S., 118
Christoffelsymbol, 155
1. Art, 144
2. Art, 145
Compton
-Wellenlänge, 113
Wellenlänge, 101
Coulombwall, 101
d’Alembert-Operator, 55
de-Sitter-Metrik, 270
Deklination, 90
Differentialoperator, 35
Dispersionsrelation
in Fluiden, 318
Dualraum, 30, 33, 152
Dunkle Energie, 278
Eddington, A., 100
Ehrenfest, P., 203
Eichfreiheit, 52
Eichfunktion, 53
Eichtransformation, 53
Eigendistanz, 272, 280
Eigenzeit, 36
Eikonal-Gleichung, 206
Einstein
Kosmologisches Prinzip von, 243
Einstein-De-Sitter-Universum, 265
Einstein-Gleichung
für ideale Flüssigkeit, 300
für wechselwirkungsfreie Materie, 260
Einstein-Ring, 208
Einsteinsche Summenkonvention, 25
Energie-Impuls-Tensor, 62
für eine ideale Flüssigkeit, 299
für wechselwirkungsfreie Materie, 256
Energie-Impuls-Vektor, 45
Energiesatz
Kosmologie, 300
entartete Materie, 109
Zustandsgleichung
hochrelativistisch, 115
341

Index
nichtrelativistisch, 113
Ergodenhypothese, 87, 312
Euler-Lagrange-Gleichung, 143
Feinstrukturkonstante
der Gravitation, 119
Feldstärketensor
dualer, 60
Fermi-Energie, 110
Fluchtgeschwindigkeit, 78
freies Elektronengas, 109
Friedmann, A., 244
Friedmann-Lemaître-Gleichung, 268
Friedmann-Robertson-Walker Metrik, 244
Galilei-Transformation, 5
Gamow, G., 103
Geodätengleichung, 145
Gravitationslinseneffekt, 207
harmonische Koordinaten, 226
Helizität, 229
Helligkeit
absolute, 73
der Sonne, 74
visuelle, 73
Hubble
Konstante, 280
Hubble, E., 284
Hubblekonstante, 262
Hydrostatische Gleichgewicht, 96
Impulsdichte, 64
Inertialsystem, 5
J. H. Jeans, 315
Jacobi-Matrix, 152
Jeans, J. H., 93
Jeans-Instabilität, 318
Jeans-Kriterium, 93
342
Jeansmasse, kritische, 94
Kelvin-Helmholtz-Zeitskala, 99
Kontinuitätsgleichung, 56
Kontraktion, 34
kontravarianter Tensor 1. Stufe
SRT, 31
kontravarianter Tensor 1.Stufe
ART, 147
Korrelation, 309
Kosmisches Dreieck, 278
Kotangentialraum, 154
kovariante Ableitung, 159
kovarianter Tensor 1. Stufe
ART, 148
SRT, 31
Kovarianz, 309
Krümmungsskalar, 168
Krümmungstensor, 166
vierfach kovariant, 167
kritische Dichte, 113, 278
Längenkontraktion, 15
Leavitt, H. S., 285
Lemaître, G., 268
Lense-Thirring-Effekt, 235
Levi-Civita-Tensor, 60
Lichtartigkeit, 19
Linearform, 152
Lorentz-Eichung, 53
Mößbauer, R., 196
Mößbauer-Spektroskopie, 196
Magnitudo, 72
Mannigfaltigkeit
differenzierbare, 154
pseudo-Riemannsche, 154
Masse
schwere, 75
träge, 75

Massendefekt, 48
Massendichte, 81
Maxwell-Boltzmann-Verteilung, 102
Maxwellgleichungen
homogen, 52
Maxwellsches Spannungstensor, 63
Minkowski-Kraft, 62
Minkowski-Kraft-Dichte, 62
Minkowski-Metrik, 26
Multilinearform, 152
Nutation, 92
Parsec, 73
Photonenzahlstrom, 286
Planck
Masse, 303
Poisson-Gleichung, 81
Poynting-Vektor, 62
Präzession
der Erde, 92
Protostern, 96
Pseudo-Euklidische Metrik, 248
Raum-Zeit, 11
Raumartigkeit, 19
Rektaszension, 90
relativistische Energie, 45
relativistischer Energiesatz, 45
Ricci-Tensor, 167
Riemann-Tensor, 166
Riemannscher Raum, 154
Robertson, H. P., 244
Rotverschiebungsparameter, 68, 281, 283
Ruheenergiedichte, 99, 185
Rydbergenergie, 102
Schalenbrennen, 108
Schwarzes Loch, 126, 222
Schwarzschild, K., 76
Schwarzschild-Metrik, 192
Schwarzschild-Radius, 76, 183, 192
Schwarzschildmetrik
isotrope, 205
schwere Masse, 80
Signatur einer Metrik, 168
Skalarprodukt
ART, 153
Slipher, V., 285
Solarkonstante, 71
Sommerfeld
Feinstrukturkonstante, 101
Sommerfeld, A., 101
Sonnenleuchtkraft, 71
Strahlungsdruck, 64
Stundenwinkel, 90
Sylvester, J. J., 168
Tangentialraum, 154
Tensor 0. Stufe
ART, 148
Tensorprodukt, 33
Torsionstensor, 157
TT-Eichung, 227
Varianz, 309
Vektor
kontravariant, 26
kovariant, 26
Vektorraum, 33
Vierer-Potential, 54
Viererdivergenz, 35
Vierergeschwindigkeit, 37
Vierergradient, 35
Viererrotation, 35
Viererstrom, 55
Vierervektor, 11
Walker, A. G., 244
Weißes Loch, 224
Index
343

Index
Weizsäcker, C. F., 101
Wellengleichung, 56
Wellenvektor
relativistischer, 46
kovarianter, 56
Weltäther, 7
Weltlinie, 37
Weyl, H., 185
Wheeler, J. A., 181
Zeitartigkeit, 19
Zeitdilatation, 16
Zweipunktkorrelationsfunktion, 311
Zwillingsparadoxon, 16
Zykloide, 263
Zyklotronfrequenz, 134
344

Literaturverzeichnis
[1] Die Homepage von WMAP. http://map.gsfc.nasa.gov/mission/.
[2] B. Zwiebach. A first course in String Theory. Cambridge University Press (2009).
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[5] A. Weigert und H. J. Wendker. Astronomie und Astrophysik - Ein Grundkurs. VCH
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[6] J. H. Jeans. The Stability of a Spherical Nebula. Phys. Trans. Roy. Soc 199 (1902).
[7] H. A. Bethe. Energy Production in Stars. Phys. Rev. 55, 434–456 (1939).
[8] R. Sexl und H. Sexl. Weiße Zwerge - Schwarze Löcher. Rowohlt Taschenbuch Verlag
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[9] A. Hewish. Nobel Lecture: Pulsars and High Density Physics (1974).
[10] H. Ruder, G. Wunner, H. Herold und F. Geyer. Atoms in strong magnetic fields.
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