Loesung - Praesenzuebung 3 zur Vorlesung.pdf - its

Präsenzübung zur Vorlesung
Diskrete Mathematik I
WS 2008/09
Blatt 3 / 04 November 2008
AUFGABE 1
a) Gegeben sei die Gleichung x1+ x2+ x3+ x4
= 27 . Wieviele ganzzahlige
Lösungen xi ≥ 1, 1≤i≤ 4 gibt es?
‐ Geordnete 4 Zahlpartition von 27.
Z
27,4
⎛27 −1⎞
⎛26⎞ = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟=
2600
⎝ 4−1 ⎠ ⎝ 3 ⎠
b) Wieviele ungeordnete Zahlpartitionen von 27 gibt es?
‐ Ungeordnete 4 Zahlpartitionen von 27: P 27,4
‐ Ungeordnete alle Zahlpartitionen von 27: ∑ 27
j=1
P
27, j

AUFGABE 2
Auf einer Schule kann man zwishe Französisch, Latein und Spanisch als
zweite Fremdsprache wählen. Fünf neue Schüler müssen sich noch für
einen dieser Kurse entscheiden.
a) Wieviele Möglichkeiten gibt es dazu?
‐ Modell: Bälle (Schüler) in Urnen (Fächer)
o Bälle unterscheidbar, Urnen unterscheidbar
o
5
3
b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn an jedem Kurs mindestens ein
neuer Schüler teilnehmen soll?
‐ Surjektive Abbildung:
m!* S ⇒
3!* S
o nm , 5,3

AUFGABE 3
Beweisen Sie folgende Aussage über Bellzahlen:
⎛ ⎞
∑ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
n n
B n+1 = B
k=0 k
n
‐ B beschreibt die Anzahl aller Partitionen von [n+1]
n+1
‐ Betrachte: eine konkrete Partition, dann das Element n+1.
‐ Bsp.:
n= 2 [ n+
1] = { 1,2,3}
1, 2, 3 ; 1, 2 , 3 ; 1, 3 , 2 ; 1 , 3, 2 ; 1 , 2 , 3
{ }{ }{ }{ }{ }{}{ }{}{ }{ }
⎛n⎞ Fall 1) n+1 ist in einer Menge mit allen anderen Elementen 1 Möglichkeit ⎜ ⎟B0
⎝n⎠ Fall 2) n+1 ist alleine, Möglichkeiten für den Rest n B ⎛n⎞ ⎜ ⎟Bn
⎝0⎠ Fall 3) n+1 ist in einer Menge mit k Elementen, Möglichkeiten, diese k Elemente zu wählen
⎛n⎞ ⎜ ⎟,
für den Rest B n+− 1 k−1Möhlichkeiten.
⎝k⎠ n+1 ist in einer Menge mit ( n+ 1−k−1) Elementen ( k = 0,..., n)
, Möglichkeiten für
⎛ n ⎞ ⎛n⎞ die anderen Elemente ⎜ ⎟= ⎜ ⎟,
Möglichkeiten für den Rest B ( ) B
n+−− 11 n− k k
⎝n−k⎠ ⎝k⎠ =
⎛n⎞ ⎜ ⎟Bk
⎝k⎠ n ⎛n⎞ Fälle für verschiedene k sind disjunkt: Summenregel : Bn+ 1 = ∑
⎜ ⎟Bk
k = 0 ⎝k⎠

AUFGABE 4
Sei G= ( V,E) ein Graph mit mindestens zwei Knoten, also n:= V ≥ 2.
Zeigen Sie: Es gibt in G stets zwei Knotenmit demselben Grad.
Geben Sie für n=2, 3, 4 alle Graphen mit n – 1 verschiedenen
Knotengraden an.
oder
‐ G= ( V,E ) , V =n
‐ mögliche Knotengrade: 0,..., n – 1 * n Möglichkeiten
‐ * Knotengrade 0 und n – 1 schließen sich aus n – 1 Möglichkeiten
o Schubfachprinzip: n Elemente (Knoten, werden auf n – 1 Knotengrade
abgebildet: mindestens ein Knotengrad kommt doppelt vor.