KLAUSUR SS08 mit LOESUNGEN 2,3,5,6,8.pdf - its

Aufgabe 2)
(a) Von 100 Studenten besuchen 60 Studenten die Vorlesung Kryptographie, 55
Studenten die Systemsicherheit und 65 Studenten die Diskrete Mathematik. Jeder
Student hört mindestens eine dieser Vorlesungen. Insgesamt 46 Studenten sind in
genau zwei der drei Vorlesungen.
Wieviele Studenten besuchen alle drei Veranstaltungen.
A1 = Kryptographie
A2 = Systemsicherheit
A3 = Diskrete Mathematik
A1 = 60; A2 = 55; A3 = 65; kommen jeweils 1×
vor
Es heisst GENAU 46 Studenten besuchen 2 Veranstaltungen
⇒ A1∩ A2 + A1∩ A3 + A2 ∩ A3 = 46; kommt 2× vor 1×
abziehen
A1∩A2 ∩ A3 = ?
kommt 3× vor 2×
abziehen
A ∪A ∪ A = 100;
1 2 3
A 1
60 55
A ∩ A
A ∩ A 1 3
( )
( )
A1∪A2 ∪ A3 = A1 + A2 + A3 −( A1∩ A2 + A1∩ A3 + A ∩ A ) + 2 A ∩A ∩A
100 = 60 +55 +65 - 46 -2 ⋅ A1∩A2 ∩A3
100 = 134 -2 ⋅ A1∩A2 ∩A3
-34 =-2⋅
A1∩A2 ∩A3
17 = A ∩A ∩A
1 2 3
1 2
A ∩A ∩ A
1 2 3
A 3
A ∩ A 2 3
Lösung: 17 Leute haben alle 3 Veranstaltungen besucht.
65
A 2
2 3 1 2 3

(b) Zeigen Sie, dass jeder ungerichteter Graph G=(V,E) mit |V| 2 mindestens zwei
Knoten besitzt, die denselben Grad haben.
G= ( V,E ) , V =n
‐ mögliche Knotengrade: 0,..., n – 1 * n Möglichkeiten
‐ * Knotengrade 0 und n – 1 schließen sich aus n – 1 Möglichkeiten
o Schubfachprinzip: n Elemente (Knoten, werden auf n – 1 Knotengrade
abgebildet: mindestens ein Knotengrad kommt doppelt vor.

Aufgabe 3)
Ein ungerichteter Graph G=(V, E) besitze den Prüfercode 33344.
Konstruieren Sie G aus dem Prüfercode. Geben Sie dazu in jedem an, wie groß die
Verbleibende Knotengrade sind und welche Kante in G eingefügt wird.
Prüfercode 33344 Anzahl der Knoten 7 = |V|
Knoten Vielfachheit Grad *(Vielfachheit: gucken, wie oft in dem Code vorkomm t)
1 0 1
2 0 1 ‐ kleinste Knotenmarkierung mit Grad 1 Knoten 1
3
4
5
3
2
0
4
3
1
‐ Verbinde den Knoten 1 mit dem Prüfercode an der
ersten Stelle ( 33344).
6
7
0
0
1
1
1 3
Knoten Grad
1 0
2 1
3 3
4 3
5 1
6 1
7 1
Knoten Grad
1 0
2 0
3 2
4 3
5 1
6 1
7 1
Knoten Grad
1 0
2 0
3 1
4 3
5 0
6 1
7 1
‐
‐
‐
‐
‐
‐
kleinste Knotenmarkierung mit Grad 1 Knoten 2
Verbinde den Knoten 2 mit dem Prüfercode an der
zweiten Stelle (33344). 1 3
2
kleinste Knotenmarkierung mit Grad 1 Knoten 5
Verbinde den Knoten 5 mit dem Prüfercode an der
dritten Stelle (33344). 1 3
2 5
kleinste Knotenmarkierung mit Grad 1 Knoten 3
Verbinde den Knoten 3 mit dem Prüfercode an der
vierten Stelle (33344). 1 3
2
5
4

Knoten Grad
1 0
2 0
3 0
4 2
5 0
6 1
7 1
Knoten Grad
1 0
2 0
3 0
4 1
5 0
6 0
7 1
‐ kleinste Knotenmarkierung mit Grad 1 Knoten 6
‐ Verbinde den Knoten 6 mit dem Prüfercode an der
vierten Stelle (3334 4).
‐
‐
kleinste Knotenmarkierung mit Grad 1 Knoten 6
Verbinde den Knoten 6 mit dem Prüfercode an der
vierten Stelle (3334 4).
‐ Nun haben wir 2 Knoten mit Grad 1 Knoten 4 und 7
‐ Verbinde die beiden Knoten miteinander
G =
1 3
2
5
1 3
2
5
1 3
2
5
4
6
4
6
4 7
6

Aufgabe 5)
Bestimmen Sie das Inverse des Elements x + 1 im Körper F25 = F5 [x]/(x² + 2).
Vergessen Sie nicht den Lösungsweg anzugeben.
‐ Berechne den ggT(x² + 2, x + 1) mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus und
Zwischenschritte:
beschränke den Algorithmus auf die Inversen – Spalte.
i a i q i s i
0 x² + 2 - 0
1 x + 1 x + 4 1
2 3 2x 4x + 1
3 1 3 3x + 2
( ) ( )
x² + 0x + 2 : x + 1 = x + 4
−
2 ( x + x )
_____________
2 ( 0x + 4x + 2)
( 4x 4)
− +
_____________
−
( 3)
( ) ( )
( x )
x+ 1 : 3 = 2x
_______
( 1)

Die Berechnung von der s i Spalte:
i =2
i =3
( ) ( )
0−1⋅ x+ 4 =− x+ 4 =−x− 4= 4x+ 1
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1− 2x ⋅ 4x+ 1 = 1− 8x + 2x ≡1− 3x + 2x
2 2
reduzieren : x 2 0 x 2 3
+ = ⇔ =− =
( ( ) ) ( )
⇒1− 3⋅ 3 + 2x = 1− 2x+ 4 = 3x+ 2
Somit ist (3x + 2) das Inverse von (x + 1).
Zur Probe kann man (x + 1) -1 (x + 1) berechnen, also (3x + 2)(x + 1)und wenn das Ergebnis 1 ist,
dann haben wir das Inverse richtig berechnet.
( ) ( ) ( )
3x + 2 ⋅ x + 1 =
2
3x + 3x + 2x + 2
2
= 3x + 5x
reduzieren :
2
x 2 0
2
x 2 3
( )
⇒3⋅ 3 + 2= 9+ 2= 11≡1 + = ⇔ =− =
Das heisst das Inverse des Elements (x + 1) ist (3x + 2).
+ 2

Aufgabe 6)
Gegeben ist die Rekursionsgleichung
a = 2a + 1, fürn≥ 1
n n−1 Mit Startwert a0 = 1.
Berechnen Sie mit Hilfe von Erzeugendenfunktionen eine geschlossene Form für an als
Funktion von n.
( )
A x = a x
( )
∑
n≥0 ⇒ A x = a x + a x
n
n
0 n
0 n
n≥1 ∑
= 1+ a x
n≥1 n
n
∑(
n−1 )
= 1+ 2a + 1 x
n≥1 ∑
∑ ∑
= 1+ 2a ⋅ x + x
n n
n−1 n≥1 n≥1 A( x) ⎛ n−1⎞ ⎛ n⎞
= 1+ x⋅⎜∑2a ⋅ x x
n−1 ⎟+ ⎜∑ ⎟
⎝ n≥1⎠ ⎝ n≥1⎠ ⎛ n⎞ ⎛ 0 n⎞
= 1+ 2x⋅⎜∑a ⋅ x x x
n ⎟+ ⎜− + ∑ ⎟
⎝ n≥0⎠ ⎝ n≥1⎠ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ n⎞ ⎜
n⎟
= 1+ 2x⋅⎜∑a ⋅ x 1 x
n ⎟+ ⎜
− + ∑ ⎟
⎝ n≥0⎠ n
≥0
⎜ ⎟
Ax
1
( ) ⎜ ⎟
⎝ 1−x ⎠
1
= 1+ 2x⋅ A( x) +− 1+ 1−x 1
= 2x⋅ A( x)
+
1−x 1
= 2x⋅ A( x)
+
1−x 1
⇒A( x) ⋅( 1− 2x)
=
1−x A( x)
=
1−x 1
⋅ 1−2x ( ) ( )
n

Partialbruchzerlegung:
( )
A x
1 A B
= = +
( 1−x) ⋅( 1−2x) ( 1−x) ( 1−2x) 1
A⋅ ( 1−x) ( 1−2x) B⋅( 1−x) ( 1−2x) =
+
( 1−x) ( 1−2x) 1 = A⋅( 1− 2x) + B⋅( 1−x) ___________________________________________________________
I 1 = A+ B
II 0x =−2⋅A⋅x−B⋅x ⇔ 0 =−2A −B
⇒− B= 2A
⇒ II in I einsetzen:
1 = A+ B= A− 2A=−A ⇔ A=−1 1 = A+ B=− 1+ B ⇔ B= 2
___________________________________________________________
n
1 1 1
A( x) = ∑a
x = A( x) = = A⋅ + B⋅
n
n≥0 ( 1−x) ⋅( 1−2x) ( 1−x) ( 1−2x) 1 1
= ( −1) ⋅ + ( 2)
( 1−x) ( 1−2x) 1 1
=− + 2 ⋅
( 1−x) ( 1−( 2x)
)
___________________________________________________________
Beachte:
( c)
n
= c ( )
( )
∑ d⋅x ;
1− d⋅x n≥0 ( c)
n
= c 2 ∑(
n+ 1)( d⋅x ) ;
1− d⋅x n≥0 ( 1−x) ( 1−( 2x)
)
( ( ) )
( ⋅ )
1−( d⋅x) c x c
= ⋅ n d x
2 ∑ ⋅ ⋅
d
( )
n≥0 ( )
1 1
⇒ =− + 2 ⋅
( 1−x) ( 1−( 2x)
)
∑(
)
1
−1 ⋅ : = c=− 1; d= 1 ⇒−1⋅ x
n
n≥0 1
2 ⋅ : = c= 2; d= 2 ⇒2⋅ 2x
n
∑(
)
n≥0 n

( ) =− ⋅ ∑( ) + ⋅∑(
)
∑
n
∑(
)
n≥0 n
∑ x ( 1
n≥0 n
2 ( 2)
)
n≥0 n
∑ x
n≥0 n+ 1
( ( 2) 1)
n+1
( ( ) )
n n
A x 1 x 2 2x
n≥0 n≥0 =− x + 2⋅ 2 ⋅x
n n
= ⋅ − + ⋅
= ⋅ −
⇒ a = 2 ‐ 1
n
an

Aufgabe 8)
Angenommen Sie erhalten 80% Ihrer Mails aus dem Inland, den Rest aus dem Ausland. Dabei
sollen 50% Ihrer Mails aus dem Inland Spam und 60% Ihrer Mails aus dem Ausland Spam sein.
Sie erhalten eine Spam – Nachricht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Spam –
Nachricht aus dem Inland kam.
0,5
Spam ‐ Mail
0,8
E – Mail
0,2
Inland Ausland
0,5 0,6 0,4
nicht
Spam ‐ Mail
I= aus dem Inland
I = aus dem Ausland
S= Spam−Mail S= kein Spam−Mail 4
Pr() I = 0,8 =
5
1
Pr() I = 0,2 =
5
1
Pr( S|I) = 0,5 =
2
3
Pr( S|I) = 0,6 =
5
Spam ‐ Mail
nicht
Spam ‐ Mail

Gesucht: Pr(I|S)
( )
Pr I|S
( ∩ )
Pr( S)
( ) ⋅
( )
( ) ( ) ⋅ ( )
Pr( S|I) ⋅Pr(
I)
Pr S I
=
Pr S|I Pr I Pr S|I Pr I
= =
Pr S Pr S I Pr S I
( ∩ ) + ( ∩ )
=
Pr S|I Pr I Pr S|I Pr I
( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ()
1 ⋅ 4 4 4 4
= 2 5 = 10 = 10 =
10
1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 1 4 + 3 10 + 3 13
2 5 5 5 10 25 25 25 25
4 25 100 10
= ⋅ = =
10 13 130 13