KLAUSUR SS08 mit LOESUNGEN 2,3,5,6,8.pdf - its
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- Seite 5 und 6: Aufgabe 2) (a) Von 100 Studenten be
- Seite 8 und 9: Aufgabe 3) Ein ungerichteter Graph
- Seite 12 und 13: Aufgabe 5) Bestimmen Sie das Invers
- Seite 15 und 16: Aufgabe 6) Gegeben ist die Rekursio
- Seite 17: ( ) =− ⋅ ∑( ) + ⋅∑( ) ∑
- Seite 21: Gesucht: Pr(I|S) ( ) Pr I|S ( ∩ )
Aufgabe 2)<br />
(a) Von 100 Studenten besuchen 60 Studenten die Vorlesung Kryptographie, 55<br />
Studenten die Systemsicherheit und 65 Studenten die Diskrete Mathematik. Jeder<br />
Student hört mindestens eine dieser Vorlesungen. Insgesamt 46 Studenten sind in<br />
genau zwei der drei Vorlesungen.<br />
Wieviele Studenten besuchen alle drei Veranstaltungen.<br />
A1 = Kryptographie<br />
A2 = Systemsicherheit<br />
A3 = Diskrete Mathematik<br />
A1 = 60; A2 = 55; A3 = 65; kommen jeweils 1×<br />
vor<br />
Es heisst GENAU 46 Studenten besuchen 2 Veranstaltungen<br />
⇒ A1∩ A2 + A1∩ A3 + A2 ∩ A3 = 46; kommt 2× vor 1×<br />
abziehen<br />
A1∩A2 ∩ A3 = ?<br />
kommt 3× vor 2×<br />
abziehen<br />
A ∪A ∪ A = 100;<br />
1 2 3<br />
A 1<br />
60 55<br />
A ∩ A<br />
A ∩ A 1 3<br />
( )<br />
( )<br />
A1∪A2 ∪ A3 = A1 + A2 + A3 −( A1∩ A2 + A1∩ A3 + A ∩ A ) + 2 A ∩A ∩A<br />
100 = 60 +55 +65 - 46 -2 ⋅ A1∩A2 ∩A3<br />
100 = 134 -2 ⋅ A1∩A2 ∩A3<br />
-34 =-2⋅<br />
A1∩A2 ∩A3<br />
17 = A ∩A ∩A<br />
1 2 3<br />
1 2<br />
A ∩A ∩ A<br />
1 2 3<br />
A 3<br />
A ∩ A 2 3<br />
Lösung: 17 Leute haben alle 3 Veranstaltungen besucht.<br />
65<br />
A 2<br />
2 3 1 2 3
(b) Zeigen Sie, dass jeder ungerichteter Graph G=(V,E) <strong>mit</strong> |V| 2 mindestens zwei<br />
Knoten besitzt, die denselben Grad haben.<br />
G= ( V,E ) , V =n<br />
‐ mögliche Knotengrade: 0,..., n – 1 * n Möglichkeiten<br />
‐ * Knotengrade 0 und n – 1 schließen sich aus n – 1 Möglichkeiten<br />
o Schubfachprinzip: n Elemente (Knoten, werden auf n – 1 Knotengrade<br />
abgebildet: mindestens ein Knotengrad kommt doppelt vor.
Aufgabe 3)<br />
Ein ungerichteter Graph G=(V, E) besitze den Prüfercode 33344.<br />
Konstruieren Sie G aus dem Prüfercode. Geben Sie dazu in jedem an, wie groß die<br />
Verbleibende Knotengrade sind und welche Kante in G eingefügt wird.<br />
Prüfercode 33344 Anzahl der Knoten 7 = |V|<br />
Knoten Vielfachheit Grad *(Vielfachheit: gucken, wie oft in dem Code vorkomm t)<br />
1 0 1<br />
2 0 1 ‐ kleinste Knotenmarkierung <strong>mit</strong> Grad 1 Knoten 1<br />
3<br />
4<br />
5<br />
3<br />
2<br />
0<br />
4<br />
3<br />
1<br />
‐ Verbinde den Knoten 1 <strong>mit</strong> dem Prüfercode an der<br />
ersten Stelle ( 33344).<br />
6<br />
7<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1 3<br />
Knoten Grad<br />
1 0<br />
2 1<br />
3 3<br />
4 3<br />
5 1<br />
6 1<br />
7 1<br />
Knoten Grad<br />
1 0<br />
2 0<br />
3 2<br />
4 3<br />
5 1<br />
6 1<br />
7 1<br />
Knoten Grad<br />
1 0<br />
2 0<br />
3 1<br />
4 3<br />
5 0<br />
6 1<br />
7 1<br />
‐<br />
‐<br />
‐<br />
‐<br />
‐<br />
‐<br />
kleinste Knotenmarkierung <strong>mit</strong> Grad 1 Knoten 2<br />
Verbinde den Knoten 2 <strong>mit</strong> dem Prüfercode an der<br />
zweiten Stelle (33344). 1 3<br />
2<br />
kleinste Knotenmarkierung <strong>mit</strong> Grad 1 Knoten 5<br />
Verbinde den Knoten 5 <strong>mit</strong> dem Prüfercode an der<br />
dritten Stelle (33344). 1 3<br />
2 5<br />
kleinste Knotenmarkierung <strong>mit</strong> Grad 1 Knoten 3<br />
Verbinde den Knoten 3 <strong>mit</strong> dem Prüfercode an der<br />
vierten Stelle (33344). 1 3<br />
2<br />
5<br />
4
Knoten Grad<br />
1 0<br />
2 0<br />
3 0<br />
4 2<br />
5 0<br />
6 1<br />
7 1<br />
Knoten Grad<br />
1 0<br />
2 0<br />
3 0<br />
4 1<br />
5 0<br />
6 0<br />
7 1<br />
‐ kleinste Knotenmarkierung <strong>mit</strong> Grad 1 Knoten 6<br />
‐ Verbinde den Knoten 6 <strong>mit</strong> dem Prüfercode an der<br />
vierten Stelle (3334 4).<br />
‐<br />
‐<br />
kleinste Knotenmarkierung <strong>mit</strong> Grad 1 Knoten 6<br />
Verbinde den Knoten 6 <strong>mit</strong> dem Prüfercode an der<br />
vierten Stelle (3334 4).<br />
‐ Nun haben wir 2 Knoten <strong>mit</strong> Grad 1 Knoten 4 und 7<br />
‐ Verbinde die beiden Knoten <strong>mit</strong>einander<br />
G =<br />
1 3<br />
2<br />
5<br />
1 3<br />
2<br />
5<br />
1 3<br />
2<br />
5<br />
4<br />
6<br />
4<br />
6<br />
4 7<br />
6
Aufgabe 5)<br />
Bestimmen Sie das Inverse des Elements x + 1 im Körper F25 = F5 [x]/(x² + 2).<br />
Vergessen Sie nicht den Lösungsweg anzugeben.<br />
‐ Berechne den ggT(x² + 2, x + 1) <strong>mit</strong> dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus und<br />
Zwischenschritte:<br />
beschränke den Algorithmus auf die Inversen – Spalte.<br />
i a i q i s i<br />
0 x² + 2 - 0<br />
1 x + 1 x + 4 1<br />
2 3 2x 4x + 1<br />
3 1 3 3x + 2<br />
( ) ( )<br />
x² + 0x + 2 : x + 1 = x + 4<br />
−<br />
2 ( x + x )<br />
_____________<br />
2 ( 0x + 4x + 2)<br />
( 4x 4)<br />
− +<br />
_____________<br />
−<br />
( 3)<br />
( ) ( )<br />
( x )<br />
x+ 1 : 3 = 2x<br />
_______<br />
( 1)
Die Berechnung von der s i Spalte:<br />
i =2<br />
i =3<br />
( ) ( )<br />
0−1⋅ x+ 4 =− x+ 4 =−x− 4= 4x+ 1<br />
2 2<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
1− 2x ⋅ 4x+ 1 = 1− 8x + 2x ≡1− 3x + 2x<br />
2 2<br />
reduzieren : x 2 0 x 2 3<br />
+ = ⇔ =− =<br />
( ( ) ) ( )<br />
⇒1− 3⋅ 3 + 2x = 1− 2x+ 4 = 3x+ 2<br />
So<strong>mit</strong> ist (3x + 2) das Inverse von (x + 1).<br />
Zur Probe kann man (x + 1) -1 (x + 1) berechnen, also (3x + 2)(x + 1)und wenn das Ergebnis 1 ist,<br />
dann haben wir das Inverse richtig berechnet.<br />
( ) ( ) ( )<br />
3x + 2 ⋅ x + 1 =<br />
2<br />
3x + 3x + 2x + 2<br />
2<br />
= 3x + 5x<br />
reduzieren :<br />
2<br />
x 2 0<br />
2<br />
x 2 3<br />
( )<br />
⇒3⋅ 3 + 2= 9+ 2= 11≡1 + = ⇔ =− =<br />
Das heisst das Inverse des Elements (x + 1) ist (3x + 2).<br />
+ 2
Aufgabe 6)<br />
Gegeben ist die Rekursionsgleichung<br />
a = 2a + 1, fürn≥ 1<br />
n n−1 Mit Startwert a0 = 1.<br />
Berechnen Sie <strong>mit</strong> Hilfe von Erzeugendenfunktionen eine geschlossene Form für an als<br />
Funktion von n.<br />
( )<br />
A x = a x<br />
( )<br />
∑<br />
n≥0 ⇒ A x = a x + a x<br />
n<br />
n<br />
0 n<br />
0 n<br />
n≥1 ∑<br />
= 1+ a x<br />
n≥1 n<br />
n<br />
∑(<br />
n−1 )<br />
= 1+ 2a + 1 x<br />
n≥1 ∑<br />
∑ ∑<br />
= 1+ 2a ⋅ x + x<br />
n n<br />
n−1 n≥1 n≥1 A( x) ⎛ n−1⎞ ⎛ n⎞<br />
= 1+ x⋅⎜∑2a ⋅ x x<br />
n−1 ⎟+ ⎜∑ ⎟<br />
⎝ n≥1⎠ ⎝ n≥1⎠ ⎛ n⎞ ⎛ 0 n⎞<br />
= 1+ 2x⋅⎜∑a ⋅ x x x<br />
n ⎟+ ⎜− + ∑ ⎟<br />
⎝ n≥0⎠ ⎝ n≥1⎠ ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎛ n⎞ ⎜<br />
n⎟<br />
= 1+ 2x⋅⎜∑a ⋅ x 1 x<br />
n ⎟+ ⎜<br />
− + ∑ ⎟<br />
⎝ n≥0⎠ n<br />
≥0<br />
⎜ ⎟<br />
Ax<br />
1<br />
( ) ⎜ ⎟<br />
⎝ 1−x ⎠<br />
1<br />
= 1+ 2x⋅ A( x) +− 1+ 1−x 1<br />
= 2x⋅ A( x)<br />
+<br />
1−x 1<br />
= 2x⋅ A( x)<br />
+<br />
1−x 1<br />
⇒A( x) ⋅( 1− 2x)<br />
=<br />
1−x A( x)<br />
=<br />
1−x 1<br />
⋅ 1−2x ( ) ( )<br />
n
Partialbruchzerlegung:<br />
( )<br />
A x<br />
1 A B<br />
= = +<br />
( 1−x) ⋅( 1−2x) ( 1−x) ( 1−2x) 1<br />
A⋅ ( 1−x) ( 1−2x) B⋅( 1−x) ( 1−2x) =<br />
+<br />
( 1−x) ( 1−2x) 1 = A⋅( 1− 2x) + B⋅( 1−x) ___________________________________________________________<br />
I 1 = A+ B<br />
II 0x =−2⋅A⋅x−B⋅x ⇔ 0 =−2A −B<br />
⇒− B= 2A<br />
⇒ II in I einsetzen:<br />
1 = A+ B= A− 2A=−A ⇔ A=−1 1 = A+ B=− 1+ B ⇔ B= 2<br />
___________________________________________________________<br />
n<br />
1 1 1<br />
A( x) = ∑a<br />
x = A( x) = = A⋅ + B⋅<br />
n<br />
n≥0 ( 1−x) ⋅( 1−2x) ( 1−x) ( 1−2x) 1 1<br />
= ( −1) ⋅ + ( 2)<br />
( 1−x) ( 1−2x) 1 1<br />
=− + 2 ⋅<br />
( 1−x) ( 1−( 2x)<br />
)<br />
___________________________________________________________<br />
Beachte:<br />
( c)<br />
n<br />
= c ( )<br />
( )<br />
∑ d⋅x ;<br />
1− d⋅x n≥0 ( c)<br />
n<br />
= c 2 ∑(<br />
n+ 1)( d⋅x ) ;<br />
1− d⋅x n≥0 ( 1−x) ( 1−( 2x)<br />
)<br />
( ( ) )<br />
( ⋅ )<br />
1−( d⋅x) c x c<br />
= ⋅ n d x<br />
2 ∑ ⋅ ⋅<br />
d<br />
( )<br />
n≥0 ( )<br />
1 1<br />
⇒ =− + 2 ⋅<br />
( 1−x) ( 1−( 2x)<br />
)<br />
∑(<br />
)<br />
1<br />
−1 ⋅ : = c=− 1; d= 1 ⇒−1⋅ x<br />
n<br />
n≥0 1<br />
2 ⋅ : = c= 2; d= 2 ⇒2⋅ 2x<br />
n<br />
∑(<br />
)<br />
n≥0 n
( ) =− ⋅ ∑( ) + ⋅∑(<br />
)<br />
∑<br />
n<br />
∑(<br />
)<br />
n≥0 n<br />
∑ x ( 1<br />
n≥0 n<br />
2 ( 2)<br />
)<br />
n≥0 n<br />
∑ x<br />
n≥0 n+ 1<br />
( ( 2) 1)<br />
<br />
n+1<br />
( ( ) )<br />
n n<br />
A x 1 x 2 2x<br />
n≥0 n≥0 =− x + 2⋅ 2 ⋅x<br />
n n<br />
= ⋅ − + ⋅<br />
= ⋅ −<br />
⇒ a = 2 ‐ 1<br />
n<br />
an
Aufgabe 8)<br />
Angenommen Sie erhalten 80% Ihrer Mails aus dem Inland, den Rest aus dem Ausland. Dabei<br />
sollen 50% Ihrer Mails aus dem Inland Spam und 60% Ihrer Mails aus dem Ausland Spam sein.<br />
Sie erhalten eine Spam – Nachricht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Spam –<br />
Nachricht aus dem Inland kam.<br />
0,5<br />
Spam ‐ Mail<br />
0,8<br />
E – Mail<br />
0,2<br />
Inland Ausland<br />
0,5 0,6 0,4<br />
nicht<br />
Spam ‐ Mail<br />
I= aus dem Inland<br />
I = aus dem Ausland<br />
S= Spam−Mail S= kein Spam−Mail 4<br />
Pr() I = 0,8 =<br />
5<br />
1<br />
Pr() I = 0,2 =<br />
5<br />
1<br />
Pr( S|I) = 0,5 =<br />
2<br />
3<br />
Pr( S|I) = 0,6 =<br />
5<br />
Spam ‐ Mail<br />
nicht<br />
Spam ‐ Mail
Gesucht: Pr(I|S)<br />
( )<br />
Pr I|S<br />
( ∩ )<br />
Pr( S)<br />
( ) ⋅<br />
( )<br />
( ) ( ) ⋅ ( )<br />
Pr( S|I) ⋅Pr(<br />
I)<br />
Pr S I<br />
=<br />
Pr S|I Pr I Pr S|I Pr I<br />
= =<br />
Pr S Pr S I Pr S I<br />
( ∩ ) + ( ∩ )<br />
=<br />
Pr S|I Pr I Pr S|I Pr I<br />
( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ()<br />
1 ⋅ 4 4 4 4<br />
= 2 5 = 10 = 10 =<br />
10<br />
1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 1 4 + 3 10 + 3 13<br />
2 5 5 5 10 25 25 25 25<br />
4 25 100 10<br />
= ⋅ = =<br />
10 13 130 13