Quantenmechanik - TU Graz - Institut für Theoretische Physik ...

Quantenmechanik 

Sommersemester2007 

(SelectedChapters) 

H.G.EVERTZ 

W.VONDERLINDEN

Inhaltsverzeichnis 

Einleitung 1 

Literatur 3 

1 WellenundTeilchen 7 

1.1 DasDoppelspaltexperimentmitklassischenTeilchen . . .. 8 

1.1.1 Kugeln ........................... 8 

1.1.2 Wasserwellen ....................... 9 

1.2 Licht . . .............................. 11 

1.3 Elektronen . . ........................... 12 

1.3.1 deBroglieWellenlänge. . ................ 14 

1.3.2 ExperimentzurBestimmungderTrajektorie ..... 16 

1.4 Folgerungen . ........................... 17 

2 ZuständeundMessungen 19 

2.1 Zustände .............................. 19 

2.2 Polarisationsexperimente . ................... 21 

2.2.1 Analysatoren ....................... 24 

2.3 AlgebraischeBeschreibung ................... 28 

2.3.1 VerallgemeinerungenundPostulate . ......... 32 

2.4 GemischteZustände:dieDichtematrix. ............ 36 

2.4.1 Dichtematrizen . . . ................... 36 

2.4.2 UnpolarisierterStrahl . . ................ 40 

2.4.3 ReineZuständemitmehrerenFreiheitsgraden: 

Produkträume....................... 41 

2.4.4 UnvollständigePräparation(unvollständigeMessung) 

undFortlassenunwichtigerFreiheitsgrade . ..... 44 

2.4.5 ReduzierteDichtematrix. ................ 45 

2.5 TeilchenmitSpin 1 

2 . ....................... 48 

2.5.1 DasStern-GerlachExperiment . ............ 48 

Teilchen............ 57 

2.5.2 BasisvektorenfürSpin- 1 

2 

iii

INHALTSVERZEICHNIS 

2.5.3 Spin 1Operatoren 

. ................... 59 

2 

3 Zeitentwicklung 67 

3.1 Zeitentwicklungsoperator,Schrödingergleichung, 

undWellenfunktion. ....................... 67 

3.2 DerHamilton-Operator . . ................... 74 

3.2.1 StationärerFall:OperatorderGesamtenergie..... 74 

3.2.2 Korrespondenzprinzip:DerHamiltonoperatorfüreinigewichtigeSysteme 

. . ................ 76 

3.3 ZeitabhängigkeitvonErwartungswerten . . ......... 78 

3.3.1 Erhaltungsgrößen. . ................... 78 

3.3.2 AllgemeinerFall . . ................... 79 

3.3.3 Beispiel:Spin-Präzession ................ 80 

3.4 Schrödinger-BildundHeisenberg-Bild. ............ 82 

3.4.1 Ehrenfest-Theorem:TeilchenimzeitunabhängigenPotential 

V (x) . ....................... 84 

4 Potentialprobleme 89 

4.1 RandbedingungenfürdieWellenfunktion. . ......... 91 

4.1.1 Normierbarkeit,Spektrum . . . ............ 91 

4.1.2 Stetigkeit. . . ....................... 92 

4.2 KonstantesPotential ....................... 94 

4.3 GebundeneZuständeimPotentialtopf............. 95 

4.3.1 PotentialtopfmitunendlichhohenWänden. ..... 95 

4.3.2 PotentialtopfmitendlicherTiefe ............ 99 

4.4 EigenschaftenderEinteilchen-Wellenfunktion . . . .....104 

4.4.1 UntereSchrankefürdieEnergieneinesPotentialproblems. 

...........................104 

4.4.2 GebundeneZuständein1dsindnichtentartet . . ..105 

4.4.3 ExistenzreellwertigerWellenfunktionenin1d . . ..107 

4.4.4 Paritätsoperator.ParitätderWellenfunktionenbei 

symmetrischenPotentialen . . . ............108 

4.4.5 Wahrscheinlichkeits-StromundKontinuitätsgleichung109 

4.5 FreieTeilchen ...........................112 

4.5.1 deBroglieWellenlänge. . ................114 

4.6 FreieTeilchen ...........................115 

4.6.1 deBroglieWellenlänge. . ................117 

4.7 UnabhängigeFreiheitsgrade:Produktansatz .........118 

4.7.1 Wellenpakete .......................120 

4.8 UnabhängigeFreiheitsgrade:Produktansatz .........120 

4.9 StreuunganeinerPotentialbarriere. . . ............122 

iv

INHALTSVERZEICHNIS 

4.9.1 AllgemeineLösung. ...................122 

4.9.2 HohePotential-Barriere(V0 > E > 0),Raster-Tunnel- 

Mikroskop. . .......................129 

4.9.3 NiedrigePotential-Barriere(E > V0 > 0) 

oderPotential-Mulde(E > 0 > V0)...........131 

4.9.4 Aufenthaltswahrscheinlichkeiten............133 

4.10 DerHarmonischeOszillator ...................136 

4.10.1 MethodevonDirac. ...................137 

4.10.2 EigenzuständeundErwartungswerte .........142 

4.10.3 GrundzustandinderOrtsdarstellung .........145 

4.10.4 AngeregteZuständeinderOrtsdarstellung. .....147 

4.10.5 DynamikdesharmonischenOszillators . . . .....150 

5 Näherungsverfahren 152 

5.1 Variationsansatz. . . .......................152 

5.2 ZeitunabhängigeStörungstheorie................155 

5.2.1 NichtentarteteStörungstheorie. ............156 

5.2.2 Störungstheoriefür(fast)entarteteZustände .....163 

5.3 ZunumerischenVerfahren. ...................167 

v

Einleitung 

DieQuantenmechanikistvonzentralerBedeutungfürunserVerständnisderNatur.SchoneinfacheExperimentezeigen,wiewirsehenwerden, 

dassdasklassischedeterministischeWeltbildmitseinenwohldefinierten 

EigenschaftenderMaterieinkorrektist.Amaugenscheinlichstentrittdies 

aufmikroskopischerSkalazutage,inderWeltderAtomeundElementarteilchen,diemannurmitHilfederQuantenmechanikbeschreibenkann. 

AbernatürlichistauchdiemakroskopischeWeltquantenmechanisch,was 

z.B.beiPhänomenenwiedemLaser,derLED,derSupraleitung,Ferromagnetismus,beiderKernspinresonanz(MRinderMedizin),oderauchbei 

großenObjektenwieNeutronensternenwichtigwird. 

EinerderzentralenPunktederQuantenmechanikist,dassnurAussagen 

überWahrscheinlichkeitengemachtwerdenkönnen,andersalsinderklassischendeterministischenPhysik,indermandasVerhalteneinzelnerTeilchenmittelsderBewegungsgleichungenvorhersagenkann.DieentsprechendeBewegungsgleichunginderQuantenmechanik,dieSchrödingergleichung,beschreibtstatteinzelnerTeilchensogenannteWahrscheinlichkeitsamplituden. 

DieVorhersagenderQuantenmechanikundihrerrelativistischenVerallgemeinerung,derQuantenfeldtheorie,habenbisherjederÜberprüfung 

standgehalten,inletzterZeitauchaufimmerpräzisereratomarerEbene, 

diezuvoroftnurGedankenexperimentenvorbehaltenwar.DieStruktur 

derQuantenmechanikmachtihre„anschauliche”Interpretation(unddamiteinanschaulichesWeltbild!)zueinerschwierigen,aberauchextreminteressantenHerausforderung,derenFragenweiterhinGegenstandaktuellerForschungsind.IndenletztenJahrenhateseinestürmischeEntwicklunginderAnwendungderexperimentellimmerbesserbeherrschbaren 

fundamentalenQuantenmechanikgegeben,z.B.fürdieQuanteninforma- 

1

Einleitung 

tionstheorie,mitzumTeilspektakulärenExperimenten(„Quantenteleportation”),diezentraldienicht-lokalenEigenschaftenderQuantenmechaniknutzen.GrundlegendequantenmechanischePhänomenewerdenauch 

fürspeziellkonstruierteAnwendungenimmerinteressanter,wieetwadie 

QuantenkryptographieoderQuantencomputer. 

DiesezweistündigeVorlesungvermittelteineEinführungindieQuantenmechanik.WirwerdenzunächsteinigegrundlegendeExperimentebesprechenundsehen,dassihreResultateunszumVerlassenderklassischenPhysikzwingen.SieführenauchzurStrukturderQuantenmechanik.AufdiesenGrundlagenaufbauendwerdenwirdieSchrödingergleichungbehandelnundmitihrerHilfequantenmechanischeProblemewie 

PotentialtöpfeunddenharmonischenOszillatorberechnen,sowohlexakt 

alsauchmitNäherungsverfahren. 

WegenderbegrenztenzurVerfügungstehendenZeitmüssenindieser 

VorlesungvieleAspekteunbeleuchtetbleiben.Eswirddaherempfohlen, 

auchLehrbücherzurErgänzungundVertiefungdesLehrstoffeszubenutzen,vondenenimFolgendeneinigeangegebenwerden. 

DiebenötigteundzumTeilungewohnteMathematikwirdimAnhangdiesesVorlesungsskriptsbesprochenundindenerstenWochenderÜbungen 

behandelt.FürdasVerständnisderQuantenmechanikundzumErlernen 

quantenmechanischerRechnungenistdasselbstständigeLösenderÜbungsaufgabenbesonderswichtig. 

ZumSchlussdieserEinleitungnocheinAusblickaufweitereVorlesungen: 

DieBehandlungderQuantenmechanik,hinsichtlichAnwendung,MethodenundInterpretation,wirdinderVorlesungFortgeschritteneQuantenmechanikfortgesetzt.DadieSchrödingergleichungdasVerhaltenvonEnsembleseinzelnerTeilchenbeschreibt,mussmandenFormalismusfürdie 

BehandlungvonSystemenvielerTeilchenerweitern.DieFortgeschrittene 

QuantenmechanikwirdeinekurzeEinführungindiesesogenannteZweiteQuantisierungvermitteln.AusführlicherwirddiesoentstehendenichtrelativistischeVielteilchenphysik,GrundlageaktuellerForschunginder 

Festkörperphysik,dannimerstenTeilderVorlesungQuantenundFelder 

behandelt.ImzweitenTeildieserVorlesungwirddieDirac-Gleichung, 

alsodierelativistischequantenmechanischeEinteilchengleichungbesprochenwerden.AlsSynthesevermitteltderdritteTeilschließlicheineEinführunginrelativistischeVielteilchentheorien,dieQuantenfeldtheorien. 

2

Literatur 

EsgibteinegroßeZahlvonBüchernüberdieQuantenmechanik,darunter 

auchvieleguteEinführungen.InderfolgendenAuswahlwerdenvorallemeinigeBüchererwähnt,dieimAufbauderVorlesungähnelnoderdie 

besondersgutzugänglichsind. 

ZugangwieinderVorlesung: 

H.MITTER,Quantentheorie,3.Auflage1994. 

Gutverständlich.DieVorlesungfolgtimerstenAbschnittzumTeil 

diesemBuch.ThemenauswahldesBuchssehrknapp.Vergriffen.Als 

Postskripterhältlichunterphysik.kfunigraz.ac.at/˜hem. 

R.SHANKAR,PrinciplesofQuantumMechanics,1994. 

MitMathematikteil.Rechtausführlich.InderTUBLehrbuchsammlungverfügbar. 

J.L.BASDEVANT,J.DALIBARD,QuantumMechanics,2002. 

SorgfältigeDarstellung,diesowohlmathematischeGrundlagenund 

konzeptionelleFragenalsauchneueExperimenteundAnwendungenbehandelt.DieVorlesungfolgtzumTeildiesemBuch. 

J.J.SAKURAI,ModernQuantumMechanics,1994. 

EinedererstenDarstellungen,welchedieQuantenmechaniküber 

grundlegendeExperimenteaufbaut.RelativhohesNiveau.Lehrbuchsammlung. 

R.P.FEYNMAN,R.B.LEIGHTON,M.SANDS,FeynmanVorlesungenüber 

PhysikIII:Quantenmechanik,1988. 

3

Literatur 

FeynmansunverwechselbarerStilmitsehrausführlichenErklärungen.Vorlesungvon1965.Vielleichtnichtsosystematischwieandere 

Bücher.Lehrbuchsammlung. 

J.S.TOWNSEND,AModernApproachtoQuantumMechanics,1992. 

ÄhnlichzuSakurai.NichtsohohesNiveau.Wortreich,abermanchmalschwerverständlich.EinigeRechnungenderVorlesungfolgen 

diesemBuch. 

L.E.BALLENTINE,QuantumMechanics:AModernDevelopment,1998. 

MitMathematikteil.EtwasmathematischformalerundanspruchsvolleralsdieübrigenBücher.DiskutiertauchInterpretationsfragen(z.T.inderVorlesungübernommen)undneuereExperimente.Relativausführlich.Lehrbuchsammlung. 

ZugangüberdieSchrödingergleichung: 

W.NOLTING,Quantenmechanik,2003. 

VieledurchgerechneteAufgaben.MitMathematikteil.Ausführlicher 

TeilzuExperimenten. 

T.FLIESSBACH,Quantenmechanik,2005. 

KlareundrechtknappeDarstellunginderArteinesVorlesungsskriptes.KurzerMathematikteil.EinführungwieindieserVorlesung. 

A.MESSIAH,QuantenmechanikI,II,1991. 

EinStandardwerk.AusführlicheErklärungen.Lehrbuchsammlung. 

E.MERZBACHER,QuantumMechanics,1998. 

Sehrausführlichundumfassend,mitdetailliertenRechnungen.Für 

eineEinführungeherzuumfangreich. 

C.COHEN-TANNOUDJI,B.DIU,F.LALOE,Quantenmechanik1,2,1999. 

Extremausführlich,abereherunübersichtlich.AlleRechnungenkomplett.Lehrbuchsammlung. 

4

ZurInterpretationderQuantenmechanik: 

Literatur 

AuchhiergibteszahlreicheWerke,vondeneneinigewenigeerwähntseien. 

E.SQUIRES,TheMysteryoftheQuantumWorld,1994. 

Elementarundaufdas„Messproblem”(KollapsderWellenfunktion) 

fokussiert. 

Y.AHARONOV,D.ROHRLICH,QuantumParadoxes,2004. 

ÜbersichtüberdieParadoxieninderInterpretationderQuantenmechanik. 

J.AUDRETSCH,VerschränkteSysteme,2005. 

EinführungindieQuanteninformationstheorie.Mathematikteil.KnappeBesprechungderGrundlagenderQM.Fokusaufnicht-klassische 

EigenschaftenalsGrundlagederQuanteninformationstheorie. 

Übungsbücher: 

S.FLÜGGE,RechenmethodenderQuantentheorieundPracticalQuantumMechanics.VielesystematischgegliederteundgelösteAufgaben.DiebeidenBüchersindzueinemgroßenTeilgleich.Lehrbuchsammlung. 

D.GRAU,ÜbungsaufgabenzurQuantentheorie. 

Wenigersystematisch.EinExemplarinderHauptbibliothek. 

5

6 

INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel1 

WellenundTeilchen 

WiealleTheorienkannmanauchdieQuantenmechaniknichtherleiten, 

genausowenigwieetwadieNewtonschenGesetze.DieEntwicklungeinerTheorieerfolgtanhandexperimentellerBeobachtungen,oftineinemlangenProzessvonVersuchundIrrtum.DabeisindoftneueBegriffsbildungennötig.WenndieTheorienichtnurdiebisherigenBeobachtungen 

beschreibt,sonderneigeneAussagekrafthat,folgenausihrVorhersagen 

fürweitereExperimente,dieüberprüfbarsind.WenndieseVorhersagen 

eintreffen,istdieTheorieinsoweitbestätigt,abernicht"bewiesen",denn 

eskönnteimmerandereExperimentegeben,dienichtrichtigvorhergesagtwerden.TrifftdagegenauchnureineVorhersagederTheorienicht 

ein,soistsiefalsifiziert.DieinvielenAspektenzunächstsehrmerkwürdige 

QuantenmechanikhatbisheralleexperimentellenÜberprüfungenbestens 

überstanden,imGegensatzzueinigenvorgeschlagenenAlternativen(z.B. 

mit„HiddenVariables”). 

WirfolgenindieserVorlesungnichtderhistorischenEntwicklungder 

QuantenmechanikmitihrenUmwegen,sondernbehandelneinigeSchlüsselexperimente,andenendasVersagenderklassischenPhysikbesonders 

klarwird,unddiezudenBegriffenderQuantenmechanikführen.Dabei 

kann,imSinnedesobengesagten,dieQuantenmechaniknicht„hergeleitet”,sondernnurplausibelgemachtwerden. 

DiedrastischsteBeobachtung,diezumVerlassendesklassischenWeltbildesführt,ist,dassalleMaterieundalleStrahlunggleichzeitigTeilchencharakterundWellencharakterhat.BesondersklarwirddiesimsogenanntenDoppelspaltexperiment.DabeilaufenTeilchenoderStrahlenaufeineWandmit 

zweiSpaltenzu.DahinterwerdensieaufeinemSchirmdetektiert. 

7

Kapitel 1. Wellen und Teilchen 

1.1 DasDoppelspaltexperimentmitklassischen 

Teilchen 

1.1.1 Kugeln 

Wiruntersuchen,welchesVerhaltenwirbeiKugelnerwarten,diedurch 

dieklassischeNewtonscheMechanikbeschriebenwerden.(Tatsächliche 

Kugelnverhaltensichnatürlichquantenmechanisch.DieEffektesindaber 

wegenihrerhohenMassenichterkennbar). 

Abbildung1.1:DoppelspaltexperimentmitKugeln. HbeschreibtdiebeobachtetenAuftreffhäufigkeiten. 

WirmacheneinGedankenexperimentmitdemAufbau,derinAbbildung 

(1.1)skizziertist. 

–EineQuelleschießtKugelnzufälligindenRaumwinkel ∆Ω.Anden 

SpaltenwerdendieKugelngestreut. 

–AufdemSchirmSwerdendieKugelnregistriert.DieKoordinateentlangdesSchirmsseix.AusderHäufigkeitdesAuftreffensvonKugelnineinemIntervall 

(x, x+∆x)ergibtsichdieWahrscheinlichkeit 

P(x)∆x,dasseineKugelindiesemIntervallankommt. 

–DieQuellewirdmitsogeringerIntensitätbetrieben,dassdieKugeln 

einzelnankommen. 

DasExperimentwirdnunaufverschiedeneWeisendurchgeführt: 

8

1)NurSpalt1istoffen:diesliefertdieVerteilung P1(x) 

2)NurSpalt2istoffen:diesliefertdieVerteilung P2(x) 


3)BeideSpaltesindoffen:diesliefert P12(x),nämlicheinfachdieSumme 

P12(x) = P1(x) + P2(x)dervorherigenVerteilungen. 

1.1.2 Wasserwellen 

WirwiederholendenVersuchmitWasserwellen.DieVersuchsanordnung 

istinAbbildung(1.2)dargestellt. 

Abbildung1.2: DoppelspaltexperimentmitWasserwellen. 

–DieQuelleerzeugtkreisförmigeWellen. 

–DieWandhatwiederzweiSpalte. 

–DerSchirmSseieinAbsorber,sodasskeineWellenreflektiertwerden. 

–Wirfinden,dassdieAuslenkungbeimSchirmmitderZeitoszilliert, 

miteinerortsabhängigenAmplitude. 

–DerDetektorDmessedieIntensität I = |Amplitude| 2 . 

9

Manbeobachtet: 


1.DieIntensität IkannallepositivenWerteannehmen(abhängigvon 

derQuelle).EstrittkeineQuantelungauf. 

2.WirlassennurSpalt1oder2offenundfinden: 

DieIntensitäten I1bzw. I2gleichendenentsprechendenHäufigkeitenbeimExperimentmitKugeln. 

3.WirlassenbeideSpalteoffen: 

I12(x)zeigteinInterferenzbild; I12 = I1 + I2. 

EshängtvomAbstand ∆derSpalteab. 

DieInterferenzzwischenbeiden(Teil)WellenistanmanchenStellen 

konstruktiv undananderendestruktiv.KonstruktiveInterferenztritt 

auf,wenn 

Abstand(DetektorzuSpalt1)-Abstand(DetektorzuSpalt2)=n·λ, 

wobei λdieWellenlängeist,und n ∈ N. 

4.MathematischeBeschreibung: 

Esistbequem,zurBeschreibungderzeitlichenOszillationdieFunktion 

e iωt = cosωt+i sinωtzuverwenden,vonderhiernurderRealteil 

benutztwird. 

DiemomentaneAuslenkungamOrtdesDetektorsDist 

A1 = Re (a1e iωt ) nurSpalt1offen 

A2 = Re (a2e iωt ) nurSpalt2offen 

A12 = Re (a1e iωt + a2e iωt ) beideSpalteoffen 

a1, a2 ∈ C 

DerBezugzudengemessenenIntensitätenist 

I1 = |a1e iωt | 2 = |a1| 2 

I2 = |a2e iωt | 2 = |a2| 2 

I12 = |a1e iωt + a2e iωt | 2 = |a1| 2 +|a2| 2 + 2|a1||a2| cos(δ) 

= I1 +I2 + 2|a1||a2| cos(δ) 

DerTermindereckigenKlammeristderInterferenzterm,dervonder 

Phasendifferenz δabhängt,diesichausdemGangunterschiedergibt. 

10 

.

1.2 Licht 


DieüblichesehrerfolgreicheBeschreibungvonLichtindermakroskopischenWeltistdieeinerWelle,mitelektrischenundmagnetischenFeldern. 

DiedurchExperimentenotwendiggewordeneteilchenartigeBeschreibung 

überPhotonenwareineRevolution. 

LichtbestehtausPhotonen 

VorderBesprechungdesDoppelspaltexperimentsseienkurzeinigefrühe 

Experimenteerwähnt,welchedieTeilchennaturvonLichtzeigen. 

•DieHohlraumstrahlung,alsodastemperaturabhängigeSpektrum 

einesschwarzenKörpers,lässtsichklassischnichtverstehen.Bei 

einerklassischenWellennaturdesLichtswürdedieIntensitätdes 

SpektrumszuhohenFrequenzenhindivergieren.DieEnergiedichtedeselektromagnetischenFeldeswäreunendlich!DieErklärung 

fürdastatsächlichbeobachteteSpektrumfandPlanckimJahr1900 

(amselbenTag,andemerdiegenauenexperimentellenErgebnisse 

erfuhr!),indemerpostulierte,dassLichtnurinfestenEinheitender 

Energie E = hνabgestrahltwird.DiespäterPhotonengenannten 

„Quanten”gabenderQuantentheorieihrenNamen.DiesesPostulat 

wareine„Verzweiflungstat”PlancksundstießaufgrosseSkepsis. 

Einsteinnanntees„verrückt”. 

•BeimPhotoeffektschlägteinPhotonderFrequenz νauseinemMetalleinElektronheraus,dasmitderkinetischenEnergie 

hν − Φaustritt,wobei 

ΦeineAustrittsarbeitist.EsgibtdahereineSchwelle 

fürdieFrequenzdesPhotons,unterhalbdererkeineElektronenaustreten.Klassischhättemanerwartet,dassbeijederPhotonfrequenzmitzunehmenderLichtintensitätmehrundmehrElektronen„losgeschüttelt”würden.StattdessenbestimmtdieIntensitätdesLichtesnurdieAnzahlderaustretendenElektronenundauchnichtihrekinetischeEnergie.MitderLichtquantenhypothesekonnteEinstein1905 

denPhotoeffekterklären.EswardieseArbeit,fürdieer1921den 

Nobelpreiserhielt. 

•AuchderComptoneffekt,mitStreuungvonLichtanElektronen,lässt 

11

sichnurüberPhotonenerklären. 


•NochdirekterbemerktmandiePartikelstrukturvonLichtmitGeigerzählern,PhotomultipliernodermitCCDs(Digitalkameras!).InteressanterweisekannmansogarmitbloßemAugebeieinerschwach 

beleuchtetenWandfleckigeHelligkeitsschwankungenerkennen,die 

sichschnelländern.SieberuhenaufderSchwankungderAnzahl 

auftreffenderPhotonen,diemanabetwa10pro100msecwahrnehmenkann. 

LichthatWellennatur 

DieWellennaturdesLichteserkenntmanklaramDoppelspaltexperiment: 

AufbauundErgebnisbezüglichderIntensitätenverhaltensichgenauwie 

beimExperimentmitWasserwellen.InderMaxwelltheorieistdieIntensitätdesLichtsproportionalzumQuadratderAmplitudedeselektrischen 

Feldes I ∼ E 2 ,alsovonderselbenStrukturwiebeidenWasserwellen,nur 

dassjetztdaselektrischeunddasmagnetischeFelddieRollederAmplitudespielen. 

GanzandersalsbeiWasserwellenistaberdasAuftreffendesLichtesauf 

denSchirm:diePhotonentreffeneinzelnauf,jeweilsmitderEnergie hν, 

underzeugentrotzdemeinInterferenzbild,wenn2Spaltegeöffnetsind! 

DerAuftreffpunkteineseinzelnenPhotonslässtsichdabeinichtvorhersagen,sondernnurdiezugehörigeWahrscheinlichkeitsverteilung! 

1.3 Elektronen 

NochetwasdeutlicherwirddieProblematikvonTeilchen-undWellennaturimFallvonMaterie,wieElektronenoderAtomen.Die„Teilchennatur”isthiersehrklar.ZumBeispielkannmanfüreineinzelnesElektron 

LadungundMassebestimmen. 

InterferenzvonElektronen 

DasVerhaltenamDoppelspaltzeigtaberwiederWellennatur(sieheAbbildung1.3)!ExperimentelleBeobachtungen: 

12


Abbildung1.3: DoppelspaltexperimentmitElektronen. 

1.DieElektronenkommen(wieklassischeTeilchen)alsEinheitenam 

Detektoran. 

2.InAbhängigkeitvomOrtdesDetektorsvariiertdieZählrate. 

3.GemessenwirdeineHäufigkeitsverteilung,d.h.dieAuftreffwahrscheinlichkeit. 

4.ÖffnetmannurSpalt1odernurSpalt2,sotritteineHäufigkeitsverteilungwiebeiKugeln(oderbeiWellenmitnur1offenenSpalt) 

auf. 

5.ÖffnetmandagegenbeideSpalte,sobeobachtetmaneinInterferenzmuster,alsowiedereineWahrscheinlichkeitsverteilung 

P12 = 

P1 + P2.InsbesonderesinktdurchdasÖffnendes2.SpaltesanmanchenStellensogardieAuftreffwahrscheinlichkeitaufNull. 

DasselbeVerhaltenhatmanauchmitNeutronen,AtomenundsogarFulleren- 

Molekülenbeobachtet!DieMathematikzurkorrektenBeschreibungdes 

ExperimentsistinihrerStruktursehreinfach.Wirkönnen,wiebeiWellen, 

komplexwertigeAmplituden,sogenannte„Wahrscheinlichkeitsamplituden” 

ϕ1und ϕ2definieren,ausdenenwirdieIntensität(=Auftreffwahrscheinlichkeit) 

alsBetragsquadraterhalten 

P1 = |ϕ1| 2 

P2 = |ϕ2| 2 

P1,2 = |ϕ1 + ϕ2| 2 

13


DiesistanalogzuWellen.BeiklassischenWellensinddiekomplexenZahleneinmathematischerTrickzurVereinfachung,vondenennurderRealteilverwendetwird.Quantenmechanischstelltsichheraus,dassfürdieWahrscheinlichkeitsamplitudekomplexeZahlenverwendetwerdenmüssen. 

MankanndieBahneineseinzelnenElektronsnichtvorhersagen,sondern 

nurdieWahrscheinlichkeitsverteilungeinesganzenEnsemblesvonElektronen! 

1.3.1 deBroglieWellenlänge 

DierelevanteLängenskalafürfreiequantenmechanischeTeilchen,sowohl 

PhotonenalsauchElektronen(!),istdie 

DE-BROGLIE-WELLENLÄNGE 

λ = 2π 

k 

= h 

p 

(1.1) 

FürnichtrelativistischeElektronenistderImpulsdurch p 2 /2m = Ekingegeben,allgemeindurch 

p = mv/ 1 − v 2 /c 2 = E 2 ges − m2 .AuchPhotonenbesitzeneinenimExperimentmessbarenImpulsderGröße 

p = k = 

2π 

λ . 

DieseLängenskala λerscheintsowohlimDoppelspaltexperiment,alsauch 

z.B.beiderStreuungvonTeilchenmitImpuls paneinemKristall.Man 

erhältdorteinInterferenzbild(Davisson-Germer-Experiment),undzwar 

fürElektronenmitImpuls pdasselbewiefürPhotonenmitdemselbenImpuls! 

WiewirinKap.??sehenwerden,werdenfreieElektronenquantenmechanischdurcheineWarscheinlichkeitsamplitudeinderFormeinerebenen 

Welle e ipx beschrieben. 

14


QuantenmechanischeEffektewerdenunterhalbeinerLängenskaladerGrößenordnungderde-Broglie-Wellenlängeλwichtig.SiebeträgtzumBeispielbei 

Protonen: λ ≃ 

Elektronen: λ ≃ 

Photonen: λ ≃ 

0.28 ◦ 

A 

Ekin/eV 

12 ◦ 

A 

Ekin/eV 

380 ◦ 

A 

Ekin/eV 

(1.2) 

ZufreienPhotonenwiezufreienMaterieteilchengehörtaucheine,zuerst 

ebenfallsvondeBrogliepostulierte,charakteristischeFrequenz νmit 

MehrdazuimKapitel. 

Ekin = hν = ω . (1.3) 

EineanderefundamentaleLängeistdieCompton-Wellenlänge 

λ C = h 

. (1.4) 

mc 

SiehängtnichtvomImpulsab.Sieistgleichderde-BroglieWellenlängeeinesmassivenTeilchensmitImpuls 

p = mc.Andersgesagt:EinPhotonmit 

derWellenlänge λC hatdieselbeEnergiewieeinruhendesTeilchender 

Masse m.FüreinElektronbeträgtdieCompton-Wellenlänge 0.024 ◦ 

A.DieseWellenlängeistbeiderCompton-Streuungundinderrelativistischen 

Quantenfeldtheorierelevant. 

15


1.3.2 ExperimentzurBestimmungderTrajektorie 

DadieElektronenimDoppelspaltexperimenteinzelnamDetektoreintreffen,kannmanvermuten,dassjedesElektronnurentwederdurchSpalt1oderdurchSpalt2geht.WirwiederholendaherdasDoppelspaltexperimentmitzweigeöffnetenSpalten.GleichzeitigzumSignal,daswiram 

Schirmmessen,wollenwirversuchenfestzustellen,durchwelchenSpalt 

dasElektrongeht.ZudiesemZweckplatzierenwirhinterdemDoppel- 

Abbildung1.4:ExperimentzurBestimmungderTrajektorie. 

spalteineLichtquelle,wieinAbbildung1.4.WenneinElektrondurch 

einenderSpaltefliegt,entstehtdurchStreuungvonPhotonenamElektron 

imzugehörigenDetektoreinLichtblitz.Mankannalsoausdemjeweiligen 

Lichtblitzfolgern,durchwelchenSpaltdasElektrongeflogenist. 

WennmandasExperimentdurchführt,beobachtetman,dassesmitjedemaufdemSchirmnachgewiesenenElektronnureinenLichtblitzgibt,entwedervonSpalt1odervonSpalt2.WennwirallerdingsdieortsaufgelösteAuftreffrateanalysieren,findenwirnun 

P12 ≃ P1 + P2 

, 

wobei P1, P2dieWahrscheinlichkeitendesEinfachspalt-Experimentessind; 

d.h.dieInterferenzistdurchEinschaltenderLichtquelle(fast)verschwunden!SchaltenwirdasLichtwiederaus,istdieInterferenzwiederda. 

OffensichtlichhatdieElektron-Licht-WechselwirkungdieElektronendrastischgestört! 

16


Mankönntedarandenken,dieLichtintensitätzureduzieren.Dabeizeigt 

sichjedoch,dassnunnichtmehrgleichzeitigzujedemDetektorsignal 

einLichtblitzauftritt.Diesliegtdaran,dasszuwenigePhotonenausder 

Lichtquelleaustreten.WennwirdieFälleuntersuchen,beideneneinLichtblitzaufgetretenist,erhaltenwirnachwievorkeineInterferenz.UmgekehrtzeigtdieAuftreffratederjenigenElektronen,beiderenDurchgang 

keinLichtblitzregistriertwurde,wiedereinInterferenzbild. 

EsgibtabernocheineandereMöglichkeit,denEinflussderPhotonenauf 

dieElektronenzureduzieren.DasElektronwirdinunseremVersuchdetektiert,indemzumindest1PhotonamElektrongestreutwird,wodurch 

gleichzeitigdieBahndesElektronsgestörtwird.DieImpulsänderungdes 

ElektronshängtvomImpulsdesPhotonsab.ZwischendemImpuls pund 

derWellenlänge λbestehtdieBeziehung p = h/λ.UmdenImpulsdes 

PhotonsundsomitdenImpulsübertragaufdasElektronzureduzieren, 

mussdieWellenlängedesLichtesvergrößertwerden.Wennwirdastun, 

beobachtenwir,dassoberhalbeinercharakteristischenWellenlängedas 

Interferenzbildwiederauftaucht.DiecharakteristischeWellenlängeentsprichtdemAbstandderSpalte,istalsogeradesogroß,dasswirnunnicht 

mehrgenausagenkönnen,durchwelchenSpaltdasElektrongegangenist 

! 

1.4 Folgerungen 

DiebeschriebenenExperimentelegeneineReihevonSchlussfolgerungen 

nahe.DieallgemeineGültigkeitdieserFolgerungenzeigtsichdurchdie 

dargestelltenundvieleandereExperimenteundderentheoretischeBeschreibung. 

DieTeilchenkommenimDoppelspaltexperimentanscheinendanzufälligenOrtenan.Tatsächlichzeigtessich,dassderAuftrefforteineseinzelnen 

Teilchensnichtvorhergesagtwerdenkann.Allgemeingilt 

17


•DeterministischeAussagenüberdasVerhalteneinzelnerTeilchensind 

inderRegelnichtmöglich.BerechnenkannmannurWahrscheinlichkeitenfüreinEnsemblevongleichartigpräpariertenTeilchen.Diese 

Wahrscheinlichkeitensindwohldeterminiert. 

•ElektronenundPhotonenkommeneinzelnalsTeilchenan.IhreAuftreff-WahrscheinlichkeitistwiedieIntensitätvonWellenverteilt. 

•DieWahrscheinlichkeit,dasseinExperimenteinenbestimmtenAusgangnimmt,istdurchdasBetragsquadrateinerkomplexenZahl 

ϕ, 

der„Wahrscheinlichkeitsamplitude”gegeben. 

P = |ϕ| 2 

(1.5) 

•WenneinEreignisaufverschiedenenWegen ierreichtwerdenkann, 

sinddieWahrscheinlichkeitsamplitudenfürdieEinzelereignisseaufzusummieren 

(wiedieAmplitudenbeiWellen) 

ϕ = 

m 

i=1 

ϕi 

HierdurchtrittInterferenzauf. 

(1.6) 

BeimakroskopischerPhysiksindInterferenztermeinderRegelsowinzig, 

dasssienichtmehrbeobachtbarsind.Dadurchwirddiemakroskopische 

Physik„klassisch”. 

Wellen-undTeilcheneigenschaftenwerdeninderQuantenmechanikmit 

Hilfeder„Wahrscheinlichkeitsamplitude”beschrieben.Elektronenund 

PhotonensindwederklassischeTeilchennochklassischeWellen. 

18

Kapitel2 

ZuständeundMessungen 

JedephysikalischeTheorieenthältphysikalischeKonzepte,einenmathematischenApparatundeinenSatzvonKorrespondenzregeln,derdieKonzeptemitdermathematischenBeschreibungverbindet.DieseKorrespondenzensindoftso„offensichtlich”,dassmannichtweiterdarübernachdenkt,wiezumBeispielbeiderBeschreibungdesOrteseinesTeilchens 

durchreelleZahlen.DermathematischeApparatderQuantenmechanik 

unddiezugehörigenKorrespondenzregelnsindwenigerintuitivundbedürfensorgfältigerÜberlegungen. 

2.1 Zustände 

Wirhabenschonerfahren,dassbeiMessungenbeliebigerGrößen(„Observablen”)nurWahrscheinlichkeitenfürdieErgebnisseangegebenwerdenkönnen.DieseWahrscheinlichkeitenhängenfüreinezumessendephysikalischeGröße(etwadenAuftrefforteinesElektronsaufeinemSchirm) 

vonderPräparationdergemessenenObjekteab.DerAuftrefforteines 

Elektronsistabernichtdeterministischbestimmt.ZweigleichartigpräparierteElektronenwerdenimallgemeinenanverschiedenenOrtenauftreffen.DieWahrscheinlichkeitenfürdieverschiedenenAuftreffortesinddagegenwohldeterminiert.EsmachtdaherSinn,dieElektronendurchsolcheWahrscheinlichkeitenzucharakterisieren,oderäquivalentdurchdie 

Präparation: 

19

ZUSTAND 

Kapitel 2. Zustände und Messungen 

EnsemblevonTeilchen,diegleichartigpräpariertsind. 

Äquivalent:DurchdiegleichartigePräparationsinddieWahrscheinlichkeitsverteilungenallerObservablenbestimmt. 

DerZustandsbegriffisteinesdermeistdiskutiertenKonzeptederQuantenmechanik.EsgibtdabeivorallemunterschiedlicheZugängezurBetrachtungeinzelnerTeilchen,diehiernurganzkurzangesprochenwerden 

können. 

1.IndertraditionellenKopenhagenerInterpretationderQuantenmechanikwirdauchvomZustandoderderWellenfunktioneineseinzelnenTeilchensgesprochen.EinsolcherZustandmussmehrereMessergebnisse(z.B.Auftrefforte)erlauben.WenneinesdieserMessergebnissetatsächlicheingetretenist(dasElektronistaneinembestimmtenOrtgemessenworden)dannsprichtmanindiesemZugangvoneinem„KollapsderWellenfunktion”:nachderMessungistderOrtdeseinzelnenTeilchenseindeutigbekannt.SeineWellenfunktion(seinZustand)hatsichalsoplötzlichgeändert.Diesführt 

zuInterpretationsschwierigkeiten. 

2.DieseSchwierigkeitenverringertman,wennmandaraufverzichtet, 

vondemZustandeineseinzelnenTeilchenszusprechen,sondern 

nurunendlichgroßeEnsemblesgleichartigpräparierterTeilchenbetrachtet.HierfürsindWahrscheinlichkeitsverteilungenfüralleMessungenwohldefiniert.DaseinzelneMessergebnisändertnichtsan 

diesenVerteilungen.(WennmanaberTeilchenmiteinem bestimmtenMessergebnisnachderMessungselektiert,dannistdasEnsemblesolcherTeilchenneupräpariertundimallgemeinenandersalszuvor.)DieseSichtweisewirdz.B.imBuchvonBallentineausführlichdiskutiert. 

WirwerdenindieserVorlesungsolcheInterpretationsfragenweitgehend 

zurückstellenundunsaufdietatsächlichenAussagenderQuantenmecha- 

20


nikfürdenAusgangvonExperimentenkonzentrieren.Hierüberherrscht 

EinigkeitundÜbereinstimmungmitdenexperimentellenErgebnissen. 

Abkürzend(undweildieserSprachgebrauchsehrüblichist)werdenwir 

auchgelegentlichvomeinem„TeilchenimZustand...”sprechen.Damit 

sollaberimmerdasentsprechendeEnsemblegemeintsein. 

WirbehandelnindieserVorlesungdieQuantenmechanikvonEnsembles 

einzelnerTeilchen,dienichtmiteinanderwechselwirken.EinStrahlvon 

Teilchensollz.B.soverdünntsein,dassdieeinzelnenTeilchennichtsvoneinandermerken.DieUmgebung,wiez.B.magnetischeFelderoderdas 

Coulomb-PotentialeinesAtomkerns,betrachtenwiralsfestvorgegeben, 

ohneRückwirkungderquantenmechanischbehandeltenTeilchenaufdieseUmgebung.DieBerücksichtigungdieserRückwirkungbedarfderVielteilchen-Quantenmechanik,welcheinspäterenVorlesungenbehandeltwerdenwird. 

InderQuantenmechanikbenötigtmanauchsogenanntegemischteZustände.DiesesindausTeilenaufgebaut,dieperDefinitionunterscheidbarsindundnichtmiteinanderinterferierenkönnen,sodasssichdiezugehörigenWahrscheinlichkeiten(stattderWahrscheinlichkeitsamplituden) 

addieren.SiewerdenzumBeispielbenötigt,umunpolarisierteEnsembles 

vonTeilchenzubeschreiben,oderdenZustand,dernacheinersogenanntenunvollständigenMessungentsteht.GemischteZuständewerdenübersogenannteDichtematrizenbeschrieben.DieWahrscheinlichkeitsverteilungenallerObservableningemischtenZuständensindwohldefiniert.Wir 

werdensiespäterdiskutieren.ImFolgendenbehandelnwirvorerstnur 

dienichtgemischten,sogenanntenreinenZustände.Siebestehenaus 

Teilchen,diebezüglicheinermaximalmöglichenAnzahlvonEigenschaften(wieEnergie,Spin,...)präpariertwurden.IhregenaueUnterscheidungvondengemischtenZuständenwerdenwirzusammenmitderDichtematrixbesprechen. 

2.2 Polarisationsexperimente 

WirwerdennuneinigeeinfacheExperimentemitpolarisiertemLichtdiskutieren.DieswirdunsanschließendzurmathematischenBeschreibung 

derQuantenmechanikführen. 

21


Wirhabenschongesehen,dassLichtausPhotonenbesteht,dieeinzeln 

beieinemDetektoreintreffen.WirwerdendieExperimentedahermittelsPhotonenbeschreibenmüssen.DieExperimentekannmanbeihohen 

LichtintensitätenauchalleimWellenbildverstehen,d.h.mitelektrischen 

undmagnetischenFeldern.BeigeringenIntensitäten(unddeswegenauch 

imallgemeinenFall)machtdieBeschreibungüberFelderwegenderTeilchennaturdesLichtesaberkeinenSinn.TatsächlichsiehtmaninderrelativistischenQuantenfeldtheorie,dassein„elektrischesFeld”eineseinzelnenPhotonskeinvernünftigesKonzeptist.WaswirausdenExperimentenlernenwerden,giltauchanderswo,woeskeineentsprechende 

klassischesBeschreibungdurchFeldergibt.Polarisationsexperimentemit 

Photonensindgünstig,weilsiebesonderseinfachstrukturiertsind,weil 

sienahezuidealdurchführbarsind,undweildiePhotonenuntereinander 

sogutwienichtwechselwirken. 

WirbetrachtenimFolgendeneinenzunächstunpolarisiertenStrahlvon 

PhotonenmitIntensität I0,dersichinz-Richtungbewegt.EristdurchdieseRichtungundseineFrequenz(alsodieEnergiedereinzelnenPhotonen) 

charakterisiert. 

z 

00000000 

11111111 

00000000 

11111111 

00000000 

11111111 00000 11111 

00000000 

11111111 

0000 1111 000 111 00000 11111 

00000000 

11111111 

0000 1111 000 111 00000 11111 

00000000 

11111111 

0000 1111 00000 11111 

00000000 

11111111 00000 11111 

00000000 

11111111 00000 11111 

00000000 

11111111 

00000000 

11111111 

00000000 

11111111 

00000000 

11111111 

00000000 

11111111 

00000000 

11111111 

00000000 

11111111 

I I 1 

2 

θ 

θ 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

000000000000000 

111111111111111 

y 

0000 1111 

0000 1111 0000 1111 

0000 1111 

0000 1111 

Abbildung2.1: EinLichtstrahlfälltvonrechtsaufzweizueinanderumden 

Winkel θgedrehtelinearePolarisatoren. 

WirschickenihndurcheinPolarisationsfilterin y-Richtungundstellenso 

einenlinearpolarisiertenStrahlderIntensität I1her.Diesenschickenwir 

durcheinzweitesPolarisationsfilter,dasumeinenWinkel θgegendaserste 

Filterverdrehtist.WirmessendieIntensitätundfinden 

I2 = I1 cos 2 θ . 

InsbesonderepassiertderStrahldenzweitenPolarisatorungeschwächt, 

wenndiesersowiederersteausgerichtetist,undwirdvollständigabsorbiert,wennderWinkel 

90 0 beträgt. 

22 

I 0


ImRahmenderklassischenElektrodynamikistdasVerhaltenleichterklärbar:Einein 

z-RichtunglaufendeebeneelektromagnetischeWelleerhält 

durchdenerstenPolarisatoreinePolarisationin y-Richtung.Derzweite 

PolarisatorlässtnurdenAnteildesLichtesdurch,dessenelektrischesFeld 

parallelzurneuenPolarisationsrichtungist,alsodieProjektionvon Eaufdie 

neueRichtung,mitGröße | E| cosθ.DiedazusenkrechteKomponentewird 

absorbiert.DieIntensitätistproportionalzumQuadratderAmplitudedes 

elektrischenFeldes E 2 ,d.h.zu cos 2 θ.HinterdemzweitenPolarisatorzeigt 

daselektrischeFelddanninRichtung θ. 

WennwirdieExistenzvonPhotonenberücksichtigen,sehenwir,dasswir 

mitdemerstenPolarisatoreinEnsemblevonTeilchenhergestellthaben, 

dasin y-Richtungpolarisiertist.DiesePolarisationkönnenwirmitdem 

zweitenPolarisatormessen: 

DasEnsembleistgenaudannineinemZustandmitPolarisation θ,wennesden 

PolarisatorinRichtung θungeschwächtpassiert. 

WirbenötigenfürdieseCharakterisierungnichtdasKonzepteineselektrischenFeldes. 

ÜberdiePolarisationeineseinzelnengemessenenPhotonserhaltenwirbei 

derMessungkeineInformation,denneskannauseinembeliebigen,relativzummessendenPolarisatorgedrehtenEnsemblestammen(mitAusnahmeeinerzumPolarisatorgenausenkrechtenPolarisation). 

WenndiebeidenPolarisatorengegeneinandergedrehtsind,könnteman 

vermuten,dassdieIntensitätdadurchverringertwird,dassdiePhotonen 

vielleicht„gespalten”werden,undnureinTeiljedesPhotonsdurchden 

zweitenPolarisatorgeht.Diesistnichtso,denndiePhotonenhinterdem2. 

PolarisatorhabendieselbeFrequenz(unddamitdieselbeEnergie)wiedavor.EineAbnahmederIntensitätbedeutetdaherdieAbnahmederAnzahl 

derPhotonen:SiepassierenmitderWahrscheinlichkeit cos 2 θdenzweiten 

Polarisator. 

Wirhabengesehen,dassdasEnsemblederPhotonenhinterdemersten 

PolarisatordiePolarisation yhat.HinterdemzweitenPolarisatorhaben 

diePhotonenabereineneuePolarisationsrichtung θ!Dieswissenwir 

schonausdemWellenbild.WirkönntenesmitHilfeeinesdrittenPolarisationsfiltersverifizieren. 

DieMessungderPolarisationmitdemzweiten 

PolarisatorverändertselberdenZustandderPhotonen! 

23

2.2.1 Analysatoren 


WirerweiternjetztunserenMessapparat,indemwirstatteineseinfachen 

PolarisatorseinendoppeltbrechendenKristall(z.B.Kalkspat)verwenden. 

Dieseristanisotrop.ErhatverschiedeneBrechungsindizesfürhorizontale 

undfürvertikalePolarisation.ErspaltetdeneinlaufendenLichtstrahlin 

zweiStrahlenauf,diesenkrechtzueinanderlinearpolarisiertsind.(Den 

dabeizwischendenStrahlenauftretendenPhasenunterschiedkannman 

wiederaufheben).SchematischisterinAbb.2.2undsymbolischinAbb. 

2.3dargestellt.DerLichtstrahlläuftvonrechtsein.ErwirdinzweiStrahlenmitPolarisationin 

x-bzw. y-Richtungaufgespalten. 

x 

y 

Abbildung2.2: SchematischerStrahlengangineinemdoppeltbrechendenKristall. 

x 

y 

Abbildung2.3: SymbolischeDarstellungeinesPolarisationsanalysators. 

WirschaltenzweidieserKristallehintereinander,wieinAbb.2.4gezeigt. 

DerersteKristallstellteinenin x-RichtungpolarisiertenStrahlderInten- 

I2 

I3 

x 

y 

01 

01 

01 

01 

I1 

Abbildung2.4:ZweihintereinandergeschaltetePolarisationsanalysatoren. 

24 

x 

y 

I0


sität I1her.Diesenschickenwirindenzweiten,gegenüberdemersten 

gedrehtenKristall,derinRichtung x ′ und y ′ polarisiert.DerWinkelzwischen 

xund x ′ betrage θ.(Deniny-RichtungpolarisiertenStrahldesersten 

Kristallsblockierenwir.)WirfindendieIntensitäten 

I2 = I1 cos 2 θ und I3 = I1 sin 2 θ . 

ZusammenhabendiebeidenauslaufendenStrahlendieIntensität 

I1 cos 2 θ + I1 sin 2 θ = I1:EsgehenimAnalysatorkeinePhotonenverloren! 

1 MitWahrscheinlichkeit cos 2 θgelangendiePhotonenindeneinen 

Ausgangsstrahlundmit sin 2 θindenanderen. 

WirerkennenauchleichteineReihegrundlegenderEigenschaftenquantenmechanischerMessungen,dieallgemeingelten: 

1.JedesineinenAnalysatoreinlaufendePhotonverlässtdenAnalysatorentwederdurchdeneinenoderdenanderenAusgangskanal, 

niedurchbeide.JedeeinzelneMessungderPolarisationdurchden 

Analysatorergibtdeswegenimmernureinender hierzweimöglichenEinzelmesswerte,entsprechenddenbeidenKanälendesAnalysators,nieeineKombinationderbeiden.Diesgiltunabhängig 

vomZustanddeseinlaufendenStrahls.Wirwerdensehen,dasseine 

analogeCharakterisierungvonEinzelmesswertenfürjedeMessung 

gilt! 

2.DagegenenthältderMittelwertderMessungenInformationüber 

denuntersuchtenZustand.Quantifiziertmanz.B.inobigemExperimentdiePolarisationsrichtung 

x ′ durchden„Messwert1”und y ′ 

durchden„Messwert-1”,soistseinErwartungswertdort 

 

Messwerte 

 

 

Messwert ×Häufigkeit 

→ cos 2 θ − sin 2 θ 

undkann,abhängigvomWinkel θ,beliebigeWertezwischen-1und 

+1annehmen. 

3.DieMessung(alsoderAnalysator)ändertdenZustandderPhotonen,dennhinterdemerstenKristallsindallePhotonenin 

x-Richtung 

polarisiert,hinterdemzweitenKristallin x ′ bzw. y ′ -Richtung.Dies 

könnenwirverifizieren,indemwirlinkseinendrittenAnalysator 

25

I4 

I5 

x 

y 

I2 

x 

y 


Abbildung2.5:DerMessapparatändertdenZustand. 

mitunveränderterRichtunghinzufügen(Abb.2.5).Wirfinden 

I1 

I4 = I2 und I5 = 0 : 

HinterdemerstenAnalysatorhabendiePhotonendiePolarisation 

x,aberhinterdemzweitenAnalysatordiePolarisation x ′ .DieMessungistselbereineneuePräparation. 

Wirsehenauch,dasswirdenganzenPhotonenstrahlinzweiStrahlenaufteilenkönnen,welchejeweilsgenaudiezueinandersenkrechtenPolarisationsrichtungen 

xund yhaben.DiesklassifiziertdiePolarisationvollständig,indemSinnedasseinin 

x-RichtungpolarisierterStrahlkeinenAnteil 

von y-Polarisationenthält.(cosθ = 0).ZusätzlicheRichtungenbenötigen 

wirbeiPhotonendeswegennicht. 2 GenausokönnenwiraberdiePhotonenindiePolarisationsrichtungen 

x ′ und y ′ auftrennen.Offenbarstellen 

dieRichtungen x, yund x ′ , y ′ jeweilssoetwaswieeineBasisdar.Wirwerdendiesetwasspäterweiterdiskutieren. 

WirkönnendenAnalysatorauchumgekehrtverwenden,sodassdiebeidengetrenntenStrahlenwiederzueinemStrahlzusammengefügtwerden.(DazumussmanindeneinenKanaleinlaufzeitverzögerndesStück 

Plastikeinfügen,umdenLaufzeitunterschiedauszugleichen,bzw.inder 

BeschreibungalsWellen,umdiePhasenbeziehungderEinzelstrahlenwiederherzustellen)DieKombinationeinesAnalysatorsmiteinemgleichartigenumgekehrtenAnalysatornennenwireinenAnalysatorkreis(Abb.2.6). 

WirverwendeneinesolcheAnordnungineinemweiterenVersuch(Abb. 

2.7),denwirinmehrerenVariantendurchführen.RechtsläufteinStrahl 

1 ImexperimentellnahezuerreichbarenidealisiertenFall. 

2 ObwohldiePhotonenSpin1besitzen,gibteswegenihrerMasselosigkeitnurzwei 

Polarisationsrichtungen 

26 

x 

y 

I 0

x 

01 

01 

y 

01 

01 


Abbildung2.6:Analysatorkreis:AnalysatorundumgekehrterAnalysator. 

I7 

I8 

x 

y 

01 

01 

01 

01 

00 11 

00 11 I2 

x x x 

I6 

y 

Abbildung2.7:ExperimentmiteinemAnalysatorkreis. 

mitPolarisation xein.HinterdemerstenPolarisatorgibtesdanneinen 

StrahlmitPolarisation x ′ undIntensität I2 = I1 cos 2 θ,sowieeinenStrahl 

mitPolarisation y ′ undIntensität I3 = I1 sin 2 θ.Zunächstblockierenwir 

denStrahl y ′ .DannhatderStrahlbei I6weiterhindiePolarisation x ′ und 

dieIntensität I2.ErtrifftaufdenletztenAnalysator,derihnwiederin xund 

y-Richtungpolarisiert,mitdemerwartetenErgebnis I7 = I6 cos 2 θ = 

I1 cos 4 θ.AnalogverläuftdasExperiment,wennder x ′ -Strahlblockiert 

wird. 

WennwirnunvordemumgekehrtenAnalysatorbeideStrahlenfreigeben, 

würdenwirfürklassischeTeilchenerwarten,dasssichdiebeidenebenermitteltenIntensitäteneinfachaddieren.Stattdessenfindenwirkomplette 

Auslöschungbei I8!: 

I7 = I1 und I8 = 0 ! 

DerStrahlhinterdemumgedrehtenAnalysatoristnunoffenbarwiederin 

dieursprüngliche x-Richtungpolarisiert.ErhatalleInformationüberdie 

vorhergehendePolarisationin x ′ -Richtungund y ′ -Richtung„vergessen”! 

InderTeilchenbeschreibungistdieshöchstüberraschend. 

Inder(fürPhotonennichtzutreffenden!)BeschreibungüberFelderistdiesesErgebnisabererwartet:DerVektordeszunächstinx-RichtungpolarisiertenelektrischenFeldeswirdvomerstenAnalysatorinKomponenten 

parallelzu x ′ und y ′ aufgespalten.DiesewerdenvomumgekehrtenAnalysatorwiederzusammengefügt,sodasswiedereinVektorin 

x-Richtung 

entsteht.FürdiekorrektequantenmechanischeBeschreibungbenötigen 

y 

27 

01 

01 

I3 

y 

01 

01 

01 

01 

I1 

x

wireinenFormalismus,derdiesebenfallsleistenkann. 

2.3 AlgebraischeBeschreibung 


WirbeschreibennundieErgebnissedergeschildertenExperimentealgebraisch.MathematischeDefinitionenundErläuterungenwerdenimAnhanggegeben.WirbetrachtenvorerstnurdiePolarisationderPhotonen- 

Ensembles.AusbreitungsrichtungundFrequenzsindfestvorgegebenund 

ändernsichnicht.SiewerdendeshalbimFolgendennichtweiterspezifiziert. 

Wirhabengesehen,dasssichdiePhotonenbeimAnalysatorvollständig 

aufeinevonnurzweiPolarisationsrichtungenwie xund yverteilen,oder 

beigedrehtemAnalysator x ′ und y ′ .MankanndenPhotonenstrahlspezifizieren,indemmandieStärkedesBeitragsbeiderRichtungenangibt.DiesentsprichtderAngabevonKoordinatenfüreinenVektorraum.Tatsächlichkorrespondieren(reine)ZuständezuVektoren|ψ〉ineinerspeziellenKlassevonVektorräumen,denHilberträumen.FürdiePolarisationvonPhotonenhatdieserVektorraumlediglichdieDimension2.DiezugehörigenBasisvektorenstehenfürdiePolarisationsrichtungen,z.B.sollbeider 

DiskussionderPhotonpolarisationennun 

|x〉 , |y〉 

dieBasisvektorensein,dielinearePolarisationin xbzw. y-Richtungbeschreiben.DieBasisvektorensollenorthonormiertsein: 

〈x|y〉 = 0 , 〈x|x〉 = 〈y|y〉 = 1 . (2.1) 

Wiewirsehenwerden,entsprichtdiesdenExperimenten,diezeigen,dass 

zweihintereinandergeschaltetePolarisatoreningleicherRichtungdieIntensitätnichtändern,undinzueinandersenkrechterRichtungIntensität 

Nullergeben. 

EinallgemeinerVektorindiesemVektorraumistdann 

|ψ〉 = cx |x〉 + cy |y〉 (2.2) 

mitimallgemeinenkomplexenKoeffizienten cx, cy.DieserVektorwird 

ebenfallsals„Zustand”bezeichnet. 

28


WiekannmaneinenApparatwiez.B.einenPolarisator,Analysator,oder 

anderenMessapparatalgebraischbeschreiben?EinApparatwirktauf 

einenZustandundverändertihnimallgemeinen.DiesentsprichtalgebraischeinemOperator,deraufeinenZustandsvektorwirktundwieder 

einenZustandsvektorerzeugt. 

BesonderseinfachderFalldesPolarisators.EinPolarisator(Polarisationsfilter)in 

x-Richtungerzeugt,sozeigtdasExperiment,einEnsemblevon 

in x-RichtungpolarisiertenTeilchen,d.h.einenZustandproportionalzu 

|x〉.AußerdemänderterdieIntensitäteinesschonzuvorsopolarisierten 

Ensemblesnicht.DergeeigneteOperatoristderProjektionsoperator: 

ˆPx = |x〉〈x| . (2.3) 

InderTatist ˆ Px |x〉 = |x〉, ˆ Px |y〉 = 0, und ˆ Px |ψ〉 ∼ |x〉fürjedenVektor 

|ψ〉. 

Mankannauch ˆ PxaufeinenVektorineinerbeliebigenanderenRichtung 

anwenden.DiesbeschreibtdieAnwendungdesPolarisatorsfürdie x- 

Richtungaufeinenz.B.in x ′ -RichtungpolarisiertenStrahl.Manerhält 

ˆPx |x ′ 〉 = |x〉 〈x|x ′ 〉 

 

Zahl 

AusdemKoeffizienten 〈x|x ′ 〉mussoffenbardieIntensitätdesentstehendenStrahlsherauszulesensein,alsodieWahrscheinlichkeit 

W(x|x ′ )(„Wahrscheinlichkeit, 

xzuerhalten,wenn x ′ gegebenist)dassdiePhotonendes 

in x ′ -RichtungpolarisiertenStrahlsnachherin x-Richtungpolarisiertsind. 

WirhabenschonbeimDoppelspaltexperimentgesehen,dasssolcheWahrscheinlichkeitendieGestalteinesBetragsquadrats 

|ϕ| 2 einerWahrscheinlichkeitsamplitudehabenmüssen.DiekorrekteIdentifikationist 

. 

W(x|x ′ ) = |〈x|x ′ 〉| 2 . (2.4) 

(Postulat!)DiesistdieWahrscheinlichkeit,beiVorliegendesZustands |x ′ 〉 

ineinerMessungdenZustand |x〉zufinden,durchProjektionmitHilfedes 

PolarisatorsoderAnalysators.Sieliegtzwischen0und1.AusderStruktur 

vonGl.(2.4)folgtdieSymmetrie W(A|B) = W(B|A),wasauchallgemein 

gilt. 

Wirwissenschon,dassdieseWahrscheinlichkeit W(x|x ′ ) = cos 2 θist.ZumindestbisaufeinenPhasenfaktor 

e iδ desBetrags1giltdaherfürdie 

29

Wahrscheinlichkeitsamplitude 


〈x|x ′ 〉 = cos θ , (2.5) 

wobei θderWinkelzwischendenRichtungen xund x ′ ist.DenPhasenfaktorkannmanhierzu1wählen.(Dasistnichtgenerellmöglich,wiewirbei 

derallgemeinenDiskussionvonBasistransformationensehenwerden.) 

DieBeschreibungeinesAnalysatorsistetwaskomplexer,dennerpräpariertPhotonen-EnsemblesanzweiunterscheidbarenAusgängen.DieEnsemblesunterscheidensichinderPolarisationundimAusgangskanal,der 

deshalbimZustandsvektorebenfallsspezifiziertwerdenmuss.Anjedem 

dieserAusgängeentsprichtdieWirkungeinemPolarisator.Wirkönnen 

denAnalysatorinAbb.2.3daheralgebraischalseinenOperator 

Â = |x,1.Kanal〉〈x| + |y,2.Kanal〉〈y| (2.6) 

beschreiben.Angewandtz.B.aufeinenZustandmitPolarisationin x-Richtung 

stelltereinenZustandmitgleicherPolarisationim1.Ausgangskanalher. 

IneinemZustandsvektorwie |x, 1.Kanal〉 istjetztsowohldiePolarisationsrichtung 

e = x, y alsauchderKanal k = 1, 2 spezifiziert.Der 

zueinemsolchenKet-Vektor |e, k〉korrespondierendeBra-Vektor 〈e, k|ist 

eineAbbildungmitderEigenschaft 

〈e, k| |e ′ , k ′ 〉 = 〈e, k|e ′ , k ′ 〉 = δee ′ δkk ′ . (2.7) 

EinumgekehrterAnalysatorwieinAbb.2.6entsprichteinemOperator 

ÂU = |x ′ 〉〈x ′ ,1.Kanal| + |y ′ 〉〈y ′ ,2.Kanal| (2.8) 

BeimAnalysatorkreisinAbb.2.6werdendiebeidenauf x ′ bzw. y ′ projiziertenStrahlenwiederzueinemeinzelnenStrahlzusammengeführt.DiePhotonenkönnendabeiaufzweiverschiedenenWegenzumAusganggelangen.WirhattenimvorigenKapitelgesehen,dassmandanndie 

Wahrscheinlichkeitsamplitudenaddierenmuss.DieformaleBeschreibung 

erhaltenwir,indemwirdenAnalysatorausGl.(2.6)unddenumgekehrtenAnalysatorausGl.(2.8)hintereinanderschalten.AuseinemVektor 

|ψ〉 

wird ÂU Â |ψ〉.DerOperatorist,mitdenPolarisationsrichtungen x′ , y ′ aus 

Abb.2.6: 

ÂU Â = ( |x′ 〉〈x ′ ,1.Kanal| + |y ′ 〉〈y ′ ,2.Kanal| ) × 

( |x ′ ,1.Kanal〉〈x ′ | + |y ′ ,2.Kanal〉〈y ′ | ) 

30 

= |x ′ 〉〈x ′ | + |y ′ 〉〈y ′ | = ˆ1 .


Hierhabenwirbenutzt,dass |x ′ 〉〈x ′ ,1.Kanal| |x ′ ,1.Kanal〉〈x ′ | = |x ′ 〉〈x ′ |. 

Wirsehen:derAnalysatorkreisentsprichtdemEinheitsoperator!IndieserFormulierungistdasErgebnisdesExperimentsinAbb.2.7einleuchtend:dereinlaufende 

x-polarisierteStrahlwirddurchdenAnalysatorkreis 

unverändertweitergegeben,bleibtdaherin x-Richtungpolarisiert.Dieses 

ErgebnisunterscheidetsichvondembeiklassischenTeilchen,dennesentstehtdurchdieAdditionderWahrscheinlichkeitsamplituden. 

WennwirzweiProjektionsoperatorenzuverschiedenenRichtungenhintereinanderschalten,z.B.PolarisationsfilteroderAnalysatorenzuverschiedenenRichtungen,erhaltenwireinenOperator,derkeinProjektionsoperatormehrist: 

ˆPx ′ ˆ Px = |x ′ 〉〈x ′ | |x〉〈x| = |x ′ 〉 〈x ′ |x〉 

 

Zahl 

〈x| = 〈x ′ |x〉 

 

Zahl 

|x ′ 〉〈x| 

 

Operator 

Erprojiziertzunächstaufdie |x〉-Richtung,erzeugtabereinenVektor 

inRichtung |x ′ 〉.SchonohnedenFaktor 〈x ′ |x〉istdieserOperator 

bei x = x ′ nichtidempotent: 

|x ′ 〉〈x| |x ′ 〉〈x| = 〈x|x ′ 〉 

 

=1 

|x ′ 〉〈x| . 

OffensichtlichistinGl.(2.9)dieReihenfolgederProjektionenwichtig: 

ˆPx ′ Px 

ˆ = ˆ Px ˆ Px ′ . 

(2.9) 

ImeinenFallwirdeinVektorinRichtung |x〉erzeugt,imanderenFallein 

VektorinRichtung |x ′ 〉.Diebeiden 

Projektionsoperatorenkommutierennicht!(außerwenn x = x ′ ). 

31

2.3.1 VerallgemeinerungenundPostulate 


BeiSystemenmitmehrunabhängigendiskretenEinstellmöglichkeiten,z.B. 

AtomenmithöheremSpin,lässtsichdiebisherigeDiskussionleichtverallgemeinern. 

3 Wirbetrachtenweiterhin„reineZustände”. 

EinAnalysatorhatdann N Ausgangskanäle,wieinAbb.2.8skizziert. 

WenndieeinlaufendenTeilchenfürjedenbeliebigeneinlaufendenZu- 

Abbildung2.8:AnalysatormitNAusgängen. 

standwiederalleinjeweilsgenaueinenderAusgangskanälegelangen, 

alsokeineIntensitätverlorengeht,nenntmandie NZuständevollständig. 

DerzugehörigeHilbertraumistdann N-dimensional,mitorthonormalen 

Basisvektoren |ej〉, j = 1 . . .N,diezudenZuständenandenAusgängen 

desAnalysatorskorrespondieren.EinallgemeinerVektorist 

|ψ〉 = 

ci |ei〉 (2.10) 

i 

mitkomplexenKoeffizienten ci.AuseinemAnalysatorundseinerUmkehrungkannmanwiedereinenEinheitsoperatorbauen,mathematisch 

ausgedrücktdurchdieSumme 

ˆ1 = 

N 

|ei〉〈ei| . (2.11) 

i=1 

Dieskorrespondiertdazu,dasskeinesdereinlaufendenTeilchenverlorengeht. 

BlockiertmanalleAusgangskanäleeinesAnalysatorsbisaufdenKanal j, 

soerhältmaneinenPolarisator,mathematischdenProjektionsoperator 

ˆPj = |ej〉〈ej| . 

3 MathematischschwierigerwirddiesbeiSystemen,diedurchkontinuierlicheMessgrößenwiezumBeispieleinenOrtbeschriebenwerdenmüssen.Dieswerdenwirspäter 

diskutieren. 

32


DaseinlaufendeEnsembleistgenaudannimZustand j,wenndieauslaufendeIntensitäthinterdiesemProjektorgleichdereinlaufendenIntensität 

ist. 

WirassoziierennunzumKanal jdesAnalysatorseinenMesswert ajfür 

diedurchdenAnalysatorgemesseneGröße,z.B.einenDrehimpuls.Die 

Messwerte ajseienallevoneinanderverschieden.JedeEinzelmessungergibtgenaueinenderWerte 

aj,nieeineMischung,dajedeseinlaufende 

TeilchendurchnureinenKanalauslaufenkann. 

DieWahrscheinlichkeit,beieinembeliebigeneinlaufendenZustanddenMesswert 

ajzuerhalten,istperPostulat(s.Gl.(2.4)) 

WAHRSCHEINLICHKEITFÜREINMESSERGEBNIS ajIMZUSTAND |ψ〉 

W(aj|ψ) = |〈ej|ψ〉| 2 

(2.12) 

AusdenWahrscheinlichkeitenbeiderMessungmiteinemAnalysatorerhaltenwirauchdenErwartungswertderEinzelmesswerte: 

Erwartungswert = 

Messwerte 

→ 

j 

Messwert ×Häufigkeit 

aj |〈ej|ψ〉| 2 = 

= 

〈ψ| aj |ej〉〈ej| 

 

j 

Â 

j 

|ψ〉 = 〈ψ| 

aj 〈ψ|ej〉 〈ej|ψ〉 

Â |ψ〉 

DervorletzteAusdruckist(beireellen aj)dieSpektraldarstellungeines 

hermiteschenOperators(s.Anhang)!ErhängtoffenbarmitdergemessenenphysikalischenGrößezusammen. 

33


Wirhabenschongesehen,dassjedeMessunginderformalenBeschreibungeinemOperatorentspricht,deraufeinenZustandwirktundeinen 

neuenZustandergibt. 

InderTatzeigtsichallgemeindieGültigkeitdesfolgendenPostulats: 

Jedephysikalische„Observable”(Energie,Ort,Drehimpuls,...)korrespondiertformalzueinemhermiteschenOperator 

Â = 

j 

aj |aj〉〈aj| 

mitreellenEigenwerten ajundEigenvektoren |aj〉. 

DieMessungderObservablenentsprichtderAnwendungeinesAnalysatorsmitAusgangskanälenfürdieZustände|aj〉.JedeEinzelmessungkorrespondiertzueinerProjektion 

|aj〉〈aj|aufeinenderEigenzuständedes 

Operators(entsprechendeinemKanaldesAnalysators,durchdendasgemesseneTeilchenaustritt)undliefertdenMesswertaj.NurdieEigenwertedesOperatorskommenalsEinzelmesswertevor!DerobigeOperator 

enthältdieProjektionaufdiezurObservablengehörigenBasiszustände 

(z.B. |x〉, |y〉beiderPolarisation),zusammenmitderInformationüberdie 

zugehörigenMesswerte. 

WirfassendiebisherigenErkenntnisseundPostulatenocheinmalzusammen. 

34

POSTULATE 


•JedephysikalischeObservablekorrespondiertzueinemhermiteschen 

Operator Â.Erhat(ineinemendlichenoderabzählbarunendlichen 

Hilbertraum)dieSpektraldarstellung 

Â = 

j 

aj |aj〉〈aj| . (2.13) 

•JedeEinzelmessungderObservablenergibteinenderEigenwerte aj 

alsErgebnis.IhreGesamtheitnenntmandasSpektrumdesOperators. 

•DasEnsemblederTeilchenmitMessergebnis ajistnachderMessungimzugehörigenEigenzustand 

|aj〉desMessoperators. 

•DieWahrscheinlichkeit,denEigenzustand |aj〉zuerhalten,istbei 

einemEnsembleimursprünglichenreinenZustand |ψ〉 

W = |〈aj|ψ〉| 2 

(2.14) 

WennderEigenwert ajnichtentartetist,dannistdiesauchdieWahrscheinlichkeitfürdenMesswert 

aj,ansonstenistdieSummevon W 

überdieentartetenEigenvektorenzubilden. 

•DerErwartungswertderMessungenderObservablenineinemreinen 

Zustand |ψ〉ergibtsichdarauszu 

〈 Â〉 = 〈ψ| Â |ψ〉 . (2.15) 

DerZustandsvektor |ψ〉selberistnichtbeobachtbar,sondernnurEinzel- 

Messergebnisse,ihreWahrscheinlichkeitenundihreMittelwerte.Ausden 

obigenGleichungensehenwir,dassdiesephysikalischenWertesichnicht 

ändern,wennman |ψ〉miteinemPhasenfaktor e iα multipliziert.DerZustandsvektoreinesGesamtsystemsistdahernurbisaufeinePhasebestimmt. 

Manbeachteaber:beiTeilsystemen,diemiteinanderinterferierenkönnen, 

istdierelativePhasewichtig,dennsiebeeinflusstdieInterferenz. 

35


2.4 GemischteZustände:dieDichtematrix 

WieinKap.2.1schonkurzangesprochenwurde,istesoftnötig,auch 

GemischeausreinenZuständenzuverwenden,dienichtmiteinanderinterferieren.DannaddierensichdiezugehörigenWahrscheinlichkeiten,statt 

derWahrscheinlichkeitsamplituden.Diesisteinerseitsbequem,wenndie 

tatsächlicheInterferenzderTeilzuständevernachlässigbarkleinist,etwa, 

weilsieweitvoneinanderentfernteTeilsystemebeschreiben. 

GemischteZuständesindaberandererseitsnötig,wiewirsehenwerden, 

umdenZustandnacheiner„unvollständigen”Messungzubeschreiben, 

dienichtallemessbarenEigenschaftendesSystemsfestgelegthat.Hierunterfälltz.B.einunpolarisierterStrahl,odereinSystembeieinerendlichenTemperatur,d.h.imKontaktmiteinemäußerenWärmebad,dessenquantenmechanischerZustandunbestimmtist. 

GemischteZuständesinddieallgemeinstenquantenmechanischenZustände.ReineZuständeergebensichalsSpezialfall.UmgemischteZustände 

zubeschreiben,müssenwirdasPostulatGl.(2.14)(unddamitauch(2.15)) 

verallgemeinern. 

2.4.1 Dichtematrizen 

WirbetrachtenzunächstnocheinmaleinenreinenZustand |ψ〉.DieimvorigenKapitelbesprocheneWahrscheinlichkeit(2.14),beieinerMessung 

 

deshermiteschenOperators Â = i ai |ai〉〈ai|indiesemreinenZustand 

einenEndzustand |ai〉zuerhalten,unddamiteinenMesswert ai,kann 

manumschreiben: 

W(ai) = |〈ai|ψ〉| 2 = 〈ai |ψ〉〈ψ| ai〉 . (2.16) 

 

MankanndieseWahrscheinlichkeitalsomitHilfeeinesOperators 

ˆρψ = |ψ〉〈ψ|ausdrücken. 

IneinemgemischtenZustandsollensichdieseWahrscheinlichkeitenfür 

diebeitragendenreinenZuständeaddieren,stattderWahrscheinlichkeitsamplituden.DasgeeignetObjektzurBeschreibungsolchergemischterZuständeisteineLinearkombinationvonOperatorenwie 

ˆρψ,nämlichder 

36 

ˆρψ

ˆρ = 


DERSTATISTISCHEOPERATOR=DICHTEMATRIX 

ν 

λν |ϕν〉〈ϕν| mit 

λν = 1 . (2.17) 

Hierbeisind |ϕν〉normierteVektoren,diei.a.nichtorthogonalzuseinbrauchen,und 

λν ∈ [0, 1]sindGewichtefürdiebeitragendenreinenZustände 

|ϕν〉.DieserOperatorwirdauchZustandsoperatoroderDichteoperatoroder 

GemischterZustandgenannt,EristperKonstruktionhermitesch.DerstatistischeOperator 

ˆρenthältdiegesamteWahrscheinlichkeitsinformation 

einesQuantensystems. 

FüreinSystem,dasimZustand ˆρpräpariertwurde,postuliertmannun 

stattGl.(2.14)beieinerMessungdesOperators Âdie 

WAHRSCHEINLICHKEITFÜRDENMESSWERT ajIMZUSTAND ˆρ 

ν 

W(aj) = 〈aj| ˆρ |aj〉 ≡ 

λν |〈ai|ϕν〉| 2 . (2.18) 

Rechnungzum2.Teil: 〈aj|ˆρ|aj〉 = 〈aj| 

ν λν |ϕν〉〈ϕν| |aj〉 = 

 

ν λν 〈aj| |ϕν〉〈ϕν| |aj〉 = 

ν λν |〈aj|ϕν〉| 2 . Diesistwiegewünschtdie 

SummederWahrscheinlichkeitenfürdiebeitragendenreinenZustände 

|ϕν〉,mitGewichten λν. 

WenndieVektoren |ϕν〉orthogonalsind,dannistGl.(2.17)dieSpektraldarstellungderDichtematrix(=DarstellungmittelsEigenvektoren)unddie 

λνsinddanndieWahrscheinlichkeiten,denZustand |ϕν〉beiUntersuchung 

desgemischtenZustands ˆρzufinden. 

37 

ν


AusGl.(2.18)ergibtsichmit trÂ |ϕ〉〈ϕ| = 〈ϕ|Â|ϕ〉 (Gl.(??))derErwartungswertdesOperators 

ÂimZustand ˆρ : 

〈 Â〉 = 

j 

= tr ˆρ 

aj W(aj) = 

j 

aj |aj〉〈aj| 

 

= Â 

j 

aj 〈aj| ˆρ |aj〉 = 

aj tr ˆρ |aj〉〈aj〉 

= tr ˆρ Â . 

DasErgebniskönnenwirmittelsGl.(2.17)umschreiben: 

 

tr ˆρ Â = tr 

ν 

λν |ϕν〉〈ϕν| 

= 

λν 〈ϕν| Â |ϕν〉 . 

ν 

 

Â = λν tr |ϕν〉〈ϕν| Â 

ERWARTUNGSWERTEINESOPERATORS ÂIMZUSTAND ˆρ 

〈 Â〉 = tr 

 

ˆρ Â 

 

ν 

= 

λν 〈ϕν| Â |ϕν〉 . (2.19) 

DieseBeziehungistaufgrundderInvarianzderSpurunabhängigvonder 

gewähltenBasis. 

DerFall Â = ˆ1ergibtmit 〈ˆ1〉 = 1: 

ReineZustände 

ν 

tr ˆρ = 1 . (2.20) 

ReineZuständesindeinSpezialfall.DerstatistischeOperatorfüreinen 

reinenZustand |ψ〉hatdieFormvon ˆρψinGl.(2.16), 

ˆρ = |ψ〉〈ψ| , (2.21) 

ohneLinearkombination.DerErwartungswerteinerObservablen Ageht 

dannwiederindieeinfacheForm 

über. 

〈 Â〉 = 〈ψ|Â|ψ〉 (2.22) 

38 

j


DerZustandsvektor |ψ〉zueinemreinenZustandistnurbisaufeinePhase 

bestimmt.DiesePhasehebtsichinGl.(2.21)heraus,sodassderstatistische 

Operator ˆρzueinemreinenZustandeindeutigbestimmtist. 

Umzuentscheiden,obeingegebenerDichteoperator ˆρeinreinerZustand 

ist,gibtesmehrereMöglichkeiten.EineeindeutigeCharakterisierungist 

dieForm(2.21).(Dagegenkanneinnicht-reinerZustandnuralsLinearkombinationvonmehrerenTermenderForm(2.21)geschriebenwerden.) 

EineweiterenotwendigeundhinreichendeCharakterisierungeinesreinenZustandesistdieBedingung 

ˆρ 2 = ˆρ . (2.23) 

Sieistnotwendig,daGl.(2.21)dasunmittelbarverlangt.Dasssiehinreichendist,kannmanüberdieSpektraldarstellungvon 

ˆρzeigen. 

Ebenfallsnotwendigundhinreichendistdie(aufdenerstenBlickschwächere)Bedingung 

tr ˆρ 2 = 1 . (2.24) 

NichteindeutigkeitderDarstellungnicht-reinerZustände 

JedeLinearkombination 

ˆρ = 

j 

cj ˆρj 

vonzweiodermehrstatistischenOperatoren ˆρjbildetwiedereinenstatistischenOperator,wenn 

0 ≤ cj ≤ 1und 

j cj = 1.EinsolcherOperator 

wirdkonvexeKombinationderMenge { ˆρj}genannt. 

JederstatistischeOperatoristnachDefinitionGl.(2.17)einekonvexeKombinationvoneinzelnenstatistischenOperatoren 

|ϕν〉〈ϕν|. 

DieZerlegungdesstatistischenOperatorsinreineZuständeistnichteindeutig,denni.a.isteinekonvexeZerlegungnichteindeutig! 

Beispiel:WirbetrachtendenstatistischenOperator 

ˆρ = c |ψ〉〈ψ| + (1 − c) |ψ ′ 〉〈ψ ′ | , 

mit 0 < c < 1undzweibeliebigen,orthonormalenVektoren |ψ〉und |ψ ′ 〉. 

39

WirdefinierenzweineueZustände 

|ϕ〉 = √ c |ψ〉 + √ 1 − c |ψ ′ 〉 

|ϕ ′ 〉 = √ c |ψ〉 − √ 1 − c |ψ ′ 〉 . 

Mankann ˆρauchmitdiesenZuständenschreiben: 

ˆρ = 1 

2 


|ϕ〉〈ϕ| + 1 

2 |ϕ′ 〉〈ϕ ′ | . 

EinallgemeinerZustandkannzwaralsstatistischesGemischreinerZuständebetrachtetwerden.JedochistdieserBegriffistetwasirreführend,weildieZerlegunginreineZuständenichteindeutigist.DieNichteindeutigkeitderDarstellungvonˆρalskonvexeKombinationhataberkeinephysikalischeAuswirkung:AlleWahrscheinlichkeitsverteilungensinddurch 

denstatistischenOperator ˆρeindeutigbestimmt. 

2.4.2 UnpolarisierterStrahl 

WiekannmaneinenunpolarisiertenStrahlbeschreiben?DiesisteinEnsemblevonTeilchen,dessenPolarisationnichtfestgelegt(präpariert,„gemessen”)wordenist.BeieinerMessungderPolarisationandiesemEnsemblemussmanmitgleicherWahrscheinlichkeit 

|x〉wie |y〉finden,bezüglichjederbeliebigenBasis 

|x〉, |y〉. 

Esliegtzunächstnahe,dieBeschreibungmiteinemreinenZustandwie 

|ψ〉 = 1 √ 2 ( |x〉 + |y〉 ) 

zuversuchen.DieseLinearkombinationbeschreibtaberkeinenunpolarisiertenStrahl,sonderneinenpolarisiertenStrahlmiteineranderenRichtung,hierum45Gradgegenüber 

|x〉gedreht. 

UmunsereÜberlegungenzuquantifizieren,definierenwir(nurfürdiesenAbschnitt)einenOperator 

ˆ R,derdieRichtungderPolarisationeines 

Photon-Ensemblesmisst,z.B.mit 

ˆR |ϕ〉 := cos(2ϕ) |ϕ〉 , 

wobei ϕdieWinkelkoordinateeinesEinheitsvektorsinderEbeneseinsoll 

und |ϕ〉derzugehörigeBasisvektor.Dannist 

ˆR |x〉 = 1 |x〉 , ˆ R |y〉 = −1 |y〉 

40

WirsucheneinenZustandmit 〈 ˆ R〉 = 0. 


DiegeeigneteBeschreibungdieserSituationistdergemischteZustand 

ˆρ = 1 1 

|x〉〈x| + |y〉〈y| . (2.25) 

2 2 

PerKonstruktionbeschreibtereineKombinationvonreinenZuständen 

mitPolarisationinx-bzw.y-Richtung,diemitgleicherWahrscheinlichkeit 

1 

2 auftreten.DerErwartungswert 〈 ˆ R〉derRichtungindiesemZustand 

ergibtsichmit tr |α〉〈α| Â = 〈α|Â|α〉(Gl.(??))tatsächlichzu 

〈 ˆ R〉 = tr ˆρ ˆ R = tr 

wiegewünscht. 

 

1 

2 |x〉〈x| ˆ R + 1 

2 |y〉〈y| ˆ 

R 

= 1 

2 〈x| ˆ R|x〉 

 

1 

+ 1 

2 〈y| ˆ R|y〉 

 

−1 

= 0 , 

InGl.(2.25)erkenntman,dassderDichteoperator ˆρfürdasunpolarisierte 

Ensembleeinfachder(passendnormierte)Einheitsoperatorist!Daherkann 

manihnauchinjederanderenBasisschreiben: 

ˆρ = 1 

2 ˆ1 = 1 

2 |x′ 〉〈x ′ | + 1 

2 |y′ 〉〈y ′ | . (2.26) 

DiePolarisationindiesemgemischtenZustandistalsoauchbezüglichjederanderenBasisNull.DiesistaucheinweiteresBeispieldafür,dassdie 

Darstellungvon ˆρnichteindeutigist. 

2.4.3 ReineZuständemitmehrerenFreiheitsgraden: 

Produkträume 

PhysikalischeSystemebesitzeninderRegelvieleFreiheitsgrade.EineinfachesBeispielistdasDoppelspaltexperiment,z.B.mitPhotonen.HierhabenwirbishernurdenOrtdesDurchgangsbeschrieben,nämlichSpalt1 

oder2,aberdiePolarisationderPhotonenignoriert. 

WirbeschreibennocheinmalnurdenOrt:HierfürgibtesdiezweimöglichenMessergebnisse(„Quantenzahlen”)Spalt1undSpalt2.ZudenMessergebnissengehörenBasisvektoren, 

|s1〉und |s2〉.Quantenmechanischsind 

41


auchLinearkombinationendieserBasiszuständemöglich.EinreinerZustand,derdenOrtdesDurchgangsbeschreibt,istdaher 

|O〉 = c1 |s1〉 + c2 |s2〉 . (2.27) 

DieserZustandistElementeinesVektorraums VO.BeieinerBlendemit NO 

SpaltenhättedieserVektorraumdieDimension NO. 

Wirwissen,dassdiePhotonenauchdenFreiheitsgradderPolarisation 

besitzen,mit(z.B.)denBasisvektoren |ex〉und |ey〉.EinreinerZustand, 

dernurdiePolarisationeinesPhotonensemblesbeschreibt,ist 

|ϕ〉 = ax |ex〉 + ay |ey〉 . (2.28) 

DieserZustandistElementeinesVektorraums Vϕ,mitDimension Nϕ = 2. 

EinevollständigereBeschreibungdesquantenmechanischenSystemssolltebeideFreiheitsgradeumfassen.DazubeschreibtmandieFreiheitsgrade 

weiterhinunabhängigvoneinander.FormalbildetmaneinProdukt,das 

sogenannteTensorprodukt(keinSkalarproduktundauchkeinäußeresProdukt),welcheskommutativseinsoll: 

|ϕ, O〉 := |ϕ〉 ⊗ |O〉 ≡ |O〉 ⊗ |ϕ〉 ≡ |ϕ〉 |O〉 . (2.29) 

Dassolleinfachbedeuten:DasPhotonensemblebefindetsichbezüglich 

derPolarisationimZustand |ϕ〉undbezüglichdesOrtesimZustand |O〉. 

EinesolcheBeschreibunghabenwirschoneinmalbeimAnalysatorbenutzt.DerVektor 

|ϕ, O〉beschreibteinen reinenZustandmitdenFreiheitsgradenPolarisationundOrt. 

EristElementdesProduktraums Vϕ ⊗ VOmitDimension Nϕ·NO.DieBasisvektorendesProduktraumssinddieVektoren 

|ei, sj〉.DasSkalarprodukt 

isteinfachdasProduktderEinzel-Skalarprodukte: 

Dannsind 

〈ϕ, O|ϕ ′ , O ′ 

〉 := 〈ϕ|ϕ ′ 〉 〈O|O ′ 

〉 . (2.30) 

|ei, sj〉〈ei, sj| 

ProjektionsoperatorenimProduktraum,undderEinheitsoperatorimProduktraumlässtsichalsSummeüberdieseProjektionsoperatorenschreiben: 

 

|ei, sj〉〈ei, sj| = ˆ1. (2.31) 

i 

j 

42

i 

j 


JederZustandimProduktraumkanndamitnachdenBasisvektorenentwickeltwerden: 

ˆ1 

 

 

|ϕ, O〉 = |ei, sj〉〈ei, sj| ϕ, O〉 = 

|ei, sj〉 〈ei|ϕ〉 〈sj|O〉 . 

 

DenProduktraumformuliertmangenausoimFallvonvielenTeilräumen. 

EinOperator,derüberseineWirkungineinemderTeilräumedefiniertist, 

wirktauchweiterhinnurindiesemTeilraum,z.B.ist 

mitMatrixelementen 

i 

ˆR |ϕ, O〉 = ˆ R |ϕ〉 ⊗ |O〉 , (2.32) 

〈ei, sk| ˆ R|ej, sl〉 = 〈ei| ˆ R|ej〉 〈sk|sl〉 

 

EinOperator,dernuraufdenOrtwirkt,wäre 

Ô |ϕ, O〉 = |ϕ〉 ⊗ 

j 

δkl 

ϕi 

Oj 

. (2.33) 

Ô |O〉 . (2.34) 

EskönnenimallgemeinenFallauchOperatorenauftreten,dieinbeiden 

Teilräumewirken,undz.B.OrtundPolarisationverknüpfen.DerallgemeinsteOperatorhatdieGestalt 

 

iji ′ j ′ 

SolcheOperatorenerzeugenz.B.Zuständewie 

aiji ′ j ′ |i′ , j ′ 〉〈i, j| . (2.35) 

1 

√ 2 ( |ex, 1〉 + |ey, 2〉 ) , (2.36) 

wiesieunsschonbeidenPolarisationsexperimentenbegegnetsind.IndiesemZustandsindPolarisationundOrtkorreliert(verschränkt).MehrzuverschränktenZuständen,insbesonderebeiSystemenmitmehrerenTeilchen,findetmaninderVorlesungzurFortgeschrittenenQuantenmechanikundinBüchernzurQuanteninformationstheorie. 

43


2.4.4 UnvollständigePräparation(unvollständigeMessung) 

undFortlassenunwichtigerFreiheitsgrade 

EinquantenmechanischesSystem(Atomstrahl,Festkörper,...)hattypischerweisevieleFreiheitsgrade(Orte,Polarisationen,Energieniveaus,...).Eine 

typischePräparationwirdnureinigedieserFreiheitsgradefestlegen(z.B. 

denOrtbeimDurchgangdurcheinenDoppelspalt),andereabernicht(z.B. 

diePolarisationdesStrahlsdurchdenDoppelspalt). 

Beispiel:EinStrahl,derdurchSpalt1gegangenundnichtpolarisiertist. 

DieBasiszuständefürdiesesSystemsind |ei, sj〉.WennsowohlderSpalt 

1gemessenwäre,alsauchdiePolarisation(z.B.als |ex〉),dannwäreder 

ZustanddesSystemsderreineZustand |ex, s1〉,oderäquivalentdieDichtematrix 

|ex, s1〉〈ex, s1| . 

UmdieunpolarisierteSituationzubeschreiben,müssenwirwieinAbschnitt2.4.2überdiePolarisationsrichtungensummieren.DerunpolarisierteStrahldurchSpalt1istdahereingemischterZustandmitderDichtematrix 

mit Nϕ = 2. 

ˆρ = 1 

Nϕ 

 

FortlassenunwichtigerFreiheitsgrade 

i 

|ei, s1〉〈ei, s1| , (2.37) 

WirbeschreibenjetztetwasallgemeinerdieSituation,dassderStrahldurch 

Spalt1gegangenist,abereinebeliebigePolarisationhat(z.B.auchunpolarisiert).InderDichtematrixsummierenwirdazuüberdiePolarisationsrichtungenmitGewichten 

λνund 

ν λν = 1.DerStrahldurchSpalt1ist 

danndergemischteZustand 

ˆρ = 

ν 

λν |eν, s1〉〈eν, s1| . (2.38) 

WennwirindiesemZustanddenOrtmessen,spieltdiePolarisationkeine 

Rolle,weildieMatrixelementeinsolcheüberdenOrtundüberdiePola- 

44

isationfaktorisieren: 

〈 Ô〉 = tr ˆρ Ô = 

= 

ν 

λν 

 

=1 

ν 


λν 〈eν, 1| Ô |eν, 1〉 

〈eν|eν〉 〈1| Ô |1〉 = 〈1| Ô |1〉 . (2.39) 

 

=1 

GenausospieltbeiMessungderPolarisationderOrtkeineRolle: 

〈 ˆ R〉 = tr ˆρ ˆ R = 

λν 〈eν, 1| ˆ R |eν, 1〉 

= 

ν 

ν 

λν 〈eν| ˆ R |eν〉 〈1|1〉 

 

=1 

. (2.40) 

Daherkönnenwir,wennwirnuranderBeschreibungdesOrtesinteressiertsind,diePolarisationganzignorieren,undumgekehrt. 

2.4.5 ReduzierteDichtematrix 

WirbetrachtennundenallgemeinenFallmitvielenFreiheitsgraden.Zum 

eigentlichbetrachteten„System”sollendieFreiheitsgrade(Quantenzahlen) 

s1, s2, . . .gehören,undzueiner„Umgebung”dieFreiheitsgrade u1, u2, . . .. 

UmdieGleichungenbesserlesbarzumachen,schreibenwirkurz sfür 

s1, s2, . . .und ufür u1, u2, . . ..DerallgemeinsteZustandentsprichteiner 

Dichtematrix 

ˆρ = 

λus |u, s〉〈u, s| . (2.41) 

u 

s 

WirbetrachtennunOperatoren Â,dienuraufdas„System”wirken.Dann 

kannmanihrenErwartungswertvereinfachen.Wirschreiben tr ufürdie 

45


SpurimRaumderFreiheitsgrade u,undentsprechend tr sbzw. tr us. 

〈 Â〉 = tr ˆρ Â = 

= 

us 

= 

s 

= tr s 

us 

λus tr us 

 

λus 〈us| Â |us〉 = 

 

u 

λus 

 

=: e λs 

λs |s〉〈s| 

 

=: ê ρ 

〈s| Â|s〉 

 

Â 

 

|us〉〈us| Â 

 

us 

= tr s ˆρ Â 

λus 〈s| Â |s〉 〈u|u〉 

 

=1 

Wirsehen: 〈 Â〉kannwieeinErwartungswerteinesisolierten„Systems” 

geschriebenwerden,miteinerSpurnurüberdieFreiheitsgradedesSystems,abermitder 

ˆρ = 

s 

REDUZIERTENDICHTEMATRIX 

λs |s〉〈s| , mit (2.42) 

λs = 

u 

λus , (2.43) 

inderenGewichte λsderEinflussder„Umgebung”eingeht. 

Beispiel:EinSystemseiinKontaktmiteinemäußeren„Wärmebad”beieinerfestenTemperatur 

T.OftkannmandieDetailsderWechselwirkungen 

mitdemBadvernachlässigen,bisaufdenEffektderTemperatur,diedafür 

sorgt,dassdieZuständedesSystemsabhängigvonihrerEnergie Eimit 

demBoltzmanngewicht 

gewichtetwerden. 

λi ∝ exp(− Ei 

) (2.44) 

kBT 

46

UnabhängigeSysteme 


DieSituation,dassdas“System”unddie“Umgebung”völligunabhängig 

sind,wirddurchGewichte λusbeschrieben,dieinAnteiledesSystemsund 

derUmgebungfaktorisieren: 

Dannistauch 

Mankannsiegetrenntnormieren: 

. 

AusGl.(2.43)wird 

λs = λs 

λus = λu λs . 

ˆρ = ˆρu ˆρs . 

tr uˆρu = tr sˆρs = 1 

 

u 

λu 

 

=1 

= λs . (2.45) 

DieUmgebunghatdannkeinenEinflussmehraufdieErwartungswerte 

imSystemundkannvölligfortgelassenwerden. 

47

2.5 TeilchenmitSpin 1 

2 


EsgibtzweiKlassenvonelementarenTeilchen,diesichinihremintrinsischenDrehimpuls,demsogenannten„Spin”(s.u.)unterscheiden.EinkurzerAusflug: 

Bosonen,insbesonderedasPhoton,habeneinenSpin,dereinganzzahligesVielfachesderEinheit 

ist.BeimPhotonistderSpingenau .IneinemQuantenzustandkönnensichbeliebigvieleelementareBosonenbefinden.BosonensindTeilchen,dieWechselwirkungvermitteln(imSinnederQuantenfeldtheorie).BeiPhotonenistdiesdieelektromagnetischeWechselwirkungzwischengeladenenTeilchen.WeitereelementareBosonenmitSpin 

sinddieVermittlerderstarkenWechselwirkung(Gluonen) 

undderelektroschwachenWechselwirkung(Z-undW-Bosonen).DasGravitonbesitztSpin 

2. 

ElementareFermionen,insbesondereElektronen,habendenSpin S = /2. 

FürdieseTeilchengiltdasPauli-Prinzip:InjedemQuantenzustandkann 

sichnurhöchstenseinesvonmehrerengleichartigen(d.h.ununterscheidbaren)Fermionenbefinden.FermionensinddieBausteinederMaterie.WeitereelementareFermionensindQuarks,Neutrinos,undschwerereVariantendesElektrons(MyonundTau-Lepton). 

AlleanderenTeilchensindausdenelementarenBosonenundFermionen 

zusammengesetzt,wiez.B.ProtonenoderAtome.DiezusammengesetztenTeilchenkönnenauchhöhereSpinsbesitzen,wiez.B. 

S = 3 

2.Wenn dieserSpinhalbzahligist,sinddiezusammengesetztenTeilchenFermionen,fürdiedasPauli-Prinzipgilt.BeiganzzahligemSpinnenntmanauch 

diezusammengesetztenTeilchen„Bosonen”. 

2.5.1 DasStern-GerlachExperiment 

DasStern-Gerlach-ExperimentähneltdenPolarisationsexperimentenbei 

Photonen.EswurdeursprünglichvonO.SternundW.GerlachimJahre1922durchgeführt.SieschickteneinenStrahlvonSilber-Atomeninein 

inhomogenesMagnetfeldunderhielteneinüberraschendesErgebnis.Das 

ExperimentistauchmitanderenAtomenundsogarmitNeutronendurchgeführtworden. 

48


ZunächstbetrachtenwirdenAusdruckfürdieEnergieeinesmagnetischenMomentesineinemMagnetfeld 

E = −µ · B (2.46) 

EingeladenesklassischesTeilchen,dassichdrehtoderaufeinerKreisbahn 

läuft,erzeugteinmagnetischesMoment 

µ = q 

2m · L (2.47) 

ListderBahndrehimpuls, qdieLadungund mdieMassedesTeilchens. 

DieseBeziehungistnurdannrichtig,wenndieMassenverteilungunddie 

LadungsverteilungdesklassischenTeilchensidentischsind.Istdiesnicht 

derFall,somussnocheinFaktorberücksichtigtwerden,dasgyromagnetischeVerhältnis 

g. 

ElementareTeilchenkönnenaber,obwohlsiepunktförmigsind,aucheinen 

intrinsischenDrehimpulshaben,denSpin.FüreinTeilchenmitSpin Sund 

ohneBahndrehimpulswirdGl.(2.47)zu 

µ = g · q 

2m · S . (2.48) 

Manfindetexperimentell g Elektron ≈ 2.0023.Eswurdeversucht,ausdem 

g-FaktorRückschlüsseaufeineeffektiveMassen-undLadungsverteilung 

einesklassischenrotierendenObjekteszuschließen,undsodenSpinebenfallsalsBahndrehimpulszudeuten.DieseVersuchewarenjedocherfolglos.DerSpinistkeinDrehimpulseines„rotierendenObjekts”!DierichtigeErklärungdesSpinsalsinternemFreiheitsgraddespunktförmigenElektronsgelangDirac,ausgehendvonderrelativistischenEnergie-Impuls- 

Beziehung. 

AuchzusammengesetzteTeilchenhabeneinenSpin,z.B. S = /2bei 

ProtonundNeutron,wobeidiemagnetischenMomentedurchdiekomplizierteninternenWechselwirkungenbestimmtwerden,mitdenexperimentellenWerten 

g Proton ≈ 5.5856und g Neutron ≈ −3.8264. 

AusderEnergie(Gl.(2.46))folgtdieKraft,dieaufeinelektrischneutralesAtom(z.B.dieSilber-AtomeimStern–GerlachVersuch)aufgrunddes 

49

magnetischenMomentesausgeübtwird 4 : 

F = − ∇E 

Fα = ∂ 

3 

( µβBβ) = 

∂xα 

β=1 


3 

µβ · ∂ 

β=1 

∂xα 

Bβ 

(2.49) 

DahertrittnurineineminhomogenenMagnetfeld( ∂ B = 0)eineKraft 

∂xα 

auf. 

FürdenStern-GerlachVersuchwirddieinAbbildung(2.9)und(2.10) 

schematischskizzierteAnordnungverwendet.WirlegendieInhomogeni- 

Abbildung2.9:AufbaudesStern-Gerlach-Experiments. 

tätdesMagnetfeldesinz-Richtung.UmdasExperimentquantitativanalysierenzukönnen,machenwireinigeIdealisierungen.Wirnehmenan,dassdasMagnetfeldaußerhalbderLückezwischendenPolenverschwindet.Außerdemsoll 

|Bx| ≪ |Bz|und |By| ≪ |Bz|seinundwirverlangenweiter,dassderFeldgradientzwischendenPolschuhenkonstantin 

z-Richtungzeigt.DieKomponentendesmagnetischenFeldessinddann 

imIdealfall Bx ≈ By ≈ 0, Bz = z B ′ ,wobei B ′ derFeldgradientist. 5 Dar- 

4 AufgeladeneTeilchenwirktzusätzlichdieLorentz-Kraft. 

5 Manbeachte,dass Bx = By = 0wegen ∇ B = 0nichtmöglichist,abermankann 

zumindesterreichen,dassdieseKomponentendesFeldesgegenüberderz-Komponente 

vernachlässigbarsind.IndiesemFallwerdendieKomponentendesmagnetischenMomentsinderxy-Ebenesehrschnellumdiez-AchsepräzedierenunddieEffektederx-y- 

KomponentensichzuNullmitteln. 

50


Abbildung 2.10: Verlauf der magnetischen Feldlinien beim Stern-Gerlach- 

Versuch 

ausfolgt 

Fz = µz · B ′ 

, 

wobei B ′ einevomMagnetenvorgegebeneKonstanteist.Diez-Komponente 

µzdesmagnetischenMomentesdereinzelnenSilberatomekannhingegenvariieren.DieTeilchenwerdenalsoimBereichdesMagnetenentsprechendderAusrichtungihresmagnetischenMomentesinz-Richtungabgelenkt. 

DiemagnetischenMomentederSilber-Atome,dieausderQuellekommen,sindstatistischverteilt.KlassischsolltedasmagnetischeMomentin 

z-Richtung µz = |µ| · cosθkontinuierlichalleWertezwischen − |µ|und 

+ |µ|annehmen.WirmessennundieAnzahlderauftreffendenSilber- 

AtomeinAbhängigkeitvonderAblenkung z.DasExperimentsollteaus 

SichtderklassischenPhysikeinekontinuierlicheVerteilungliefern,wie 

sieinAbbildung(2.11)linksskizziertist. 

WasSternundGerlachabergefundenhaben,istinAbbildung(2.11)rechts 

dargestellt.ManfindetlediglichzweiHäufungspunkte,d.h.eskommen 

nurzweiWertefürdieAblenkungenvor!DasErgebniskannnursogedeutetwerden,dassdasmagnetischeMomentimMagnetfeldnurinzweiEinstellungenvorliegenkann.DiedazugehörigenWertedesintrinsischenDrehimpulses(Spins)sind 

Sz = ± 

2 .DieseEinstellungennennenwirSpinup 

undSpindown,mitBezugaufdieRichtungdesMagnetfeldes. 

DiesesErgebnisistanalogzudenbeidenlinearenPolarisationsrichtungen, 

dieeinPhotonhabenkann. 

51


Abbildung2.11: SkizzederklassischerwartetenHäufigkeitsverteilung(links) 

unddertatsächlichbeobachtetenHäufigkeitsverteilung. 

WennderStern-Gerlach-ApparatinirgendeineandereRaumrichtungzeigt, 

findetmanebenfallsnurzweiAblenkwinkelderselbenGröße!Fürjede 

beliebigeRichtungbestehendeshalbnurgenauzweimöglicheEinstellungen 

± 

2 desmagnetischenMomentesimjeweiligenMagnetfeld! 

UmdenSpingenauerzuuntersuchen,werdenwirvierStern-Gerlach- 

Experimentebesprechen,dieaufFeynmanzurückgehenundzudenPolarisationsexperimentenanalogsind,diewirbeiPhotonenbesprochenhaben. 

Experiment1 

Abbildung2.12:AuswahleinerSpinrichtung:symbolischeDarstellung. 

UmdieExperimenteleichterbeschreibenzukönnen,verwendenwirfür 

einenStern-Gerlach-Apparat(Abb.2.9)mitInhomogenitätin x (y, z)-Richtung 

52


Abbildung2.13:Zwei SGZApparatehintereinander. 

dieAbkürzung SGx (SGy, SGz). 6 

Wirstellenjetzthinter SGzeineBlendeauf,diez.B.denunterenTeilstrahl 

ausblendet.InAbbildung(2.12)habenwireinschematischesSymbolfür 

einensolchenStern-Gerlach-Apparateingeführt. 

Nunstellenwirhinterdenersten SGz,derdenunterenTeilstrahlausblendet,einenzweiten 

SGz(sieheAbbildung(2.13)),mitderselbenBlende.Wir 

finden,dassalleTeilchen,diedurchdenersten SGzgegangensind,auch 

hinterdemzweiten SGznachgewiesenwerden.WennwirimzweitenApparatstattdesunterendenoberenWegausblenden,kommenkeineTeilchenmehrdurch.DasTeilchenensembleamoberenAusgangdesersten 

SGzist 

offenbarineinemZustandpräpariert,denwirmitdemzweiten SGzüberprüfen 

könnenundderzumZustandamunterenAusgangorthogonalist.Wirnennen 

denZustandamoberenAusgang |+z〉,weildie z-KomponenteihresSpins 

denWert + hat,unddenZustandamunterenAusgang 

| − z〉. 

2 

DasbeschriebeneExperimentzeigt,dassdieZustände | + z〉und | − z〉zueinanderorthonormalsind: 

〈+z| + z〉 = 〈−z| − z〉 = 1 

〈−z| + z〉 = 〈+z| − z〉 = 0 . 

(2.50) 

(ZunächstsindnurdieWahrscheinlichkeitenbekannt,alsodieBetragsquadrate 

|〈±z| ± z〉| 2 .WeilaberdasSkalarprodukt 〈a|a〉einesVektorsmit 

sichselbstreellist,trittbeidenAmplitudenindererstenZeilevonGl. 

(2.50)keinPhasenfaktorauf.) 

DerobereKanaldes SGzApparateserzeugteinenZustandin | + z〉-Richtung. 

6 InFlugrichtung xmussmandasStern-GerlachExperimentdurcheineandereAnordnungzurMessungdesmagnetischenMomentsersetzen.UmdieNotationzuvereinfachen,werdenwirdennochvoneinem„Stern-Gerlach”Experimentsprechen. 

53


ErentsprichtdaherdemProjektionsoperator |+z〉〈+z|,undderuntereKanaldemProjektionsoperator 

| − z〉〈−z|, 

DieanalogenErgebnisseerhaltenwir,wennwirimExperimentdie z- 

Richtungdurchdie x-oderdie y-Richtungersetzen:dieentsprechenden 

ApparateprojizierenaufZustände | + x〉und | − x〉bzw.auf | + y〉und 

| − y〉. 

Experiment2 

Wirverwendenwieder SGzalsFilter,umeinEnsembleimZustand | + z〉zu 

präparieren.ImAnschlussplatzierenwireinen SGx-Apparat(sieheAbbildung(2.14)).DasExperimentergibt:DieHälftederTeilchen,diein 

SGx 

Abbildung2.14: SGzund SGxApparathintereinander. 

einfallen,lieferndenMesswert Sx = + 

2 ,unddieHälfte Sx = − 

2 .Der 

(+x)-Zustandundder (−x)-Zustandkommenalsogleichhäufigvor.Das 

gleicheResultaterhaltenwirfüralleanderenKombinationenunterschiedlicherSpinrichtungen.DieentsprechendenWahrscheinlichkeitsamplitudenmüssendeshalb 

erfüllen. 

|〈±x| ± z〉| 2 = 1/2 

|〈±y| ± z〉| 2 = 1/2 

|〈±x| ± y〉| 2 = 1/2 

(2.51) 

BeiPhotonenhabenwirdiegleichenWahrscheinlichkeitengefunden,wenn 

derWinkelzwischenzweiPolarisationsrichtungen xund x ′ 45Gradbetrug.BeiSpin- 

1 

2TeilchenistderentsprechendeWinkel90Grad,z.B.zwi schen xund z!Zuständezuum90GradverdrehtenRichtungendesSpins 

stehenbeiSpin- 1 

2Teilchennichtsenkrechtaufeinander! 54


DiealgebraischeBeschreibungfürdenoberenAusgangdes2.Experiments 

inAbb.(2.14)ist 

Experiment3 

| + x〉 〈+x| + z〉 

 

auslaufenderZustand 

= | + x〉〈+x| 

 

Projektion 

| + z〉 

 

Zustandnach SGz 

WirbringenjetzthinterdieVersuchsanordnungvomzweitenExperiment 

eineBlendean,dieZuständemit (+x)herausfiltert.ImAnschlussdaran 

platzierenwirwiedereinen SGz,umdieSpinverteilunginz-Richtungzu 

messen(sieheAbbildung(2.15).Resultat:DieHälftederTeilchen,diein 

Abbildung2.15: SGz, SGxund SGzApparatehintereinander. 

dendrittenStern-Gerlach-Apparathineingehen,liefertdenMesswert Sz = 

+ 

2 unddieHälfteliefert Sz = − 

2 . 

DerzweiteApparat,dereinEnsemblein | + x〉-Richtungpräpariert,hat 

alsosämtlicheInformationüberdieursprüngliche | + z〉-Polarisationvernichtet.Wirschließen,dasseszusätzlichzueinerPolarisationin 

±x-Richtung 

amAusgangdeszweitenApparateskeineInformationübereine ±z-Polaristion 

gibt.Daherist,wieschonzuvermutenwar,derRaumderSpin-Polarisationen 

nurzweidimensional,obwohlPolarisationenbezüglichdreierKoordinatenrichtungen 

x, y, zmöglichsind!VollständigeorthonormaleBasissystemesinddaher 

{ | + x〉, | − x〉 }, oder { | + y〉, | − y〉 }, oder { | + z〉, | − z〉 }. 

Wiewirnochsehenwerden,istauch { |+n〉, |−n〉 }bezüglicheinerbeliebigenRichtung 

neinsolchesSystem. 

WegenderVollständigkeitderBasissolltenauchdieentsprechendenVollständigkeitsrelationenwie 

ˆ1 = | + x〉〈+x| + | − x〉〈−x| (2.52) 

55 

.


gelten.DiessehenwirimnächstenExperimenttatsächlich. 

Experiment4 

WirbaueneinenAnalysatorkreisauf,derinAbbildung(2.16)skizziertist. 

DieserApparatistsokonstruiert,dassdiedivergentenTeilchenstrahlen 

Abbildung2.16:AnalysatorkreisfüreinStern-Gerlach-Experiment. 

wiederzusammengeführtwerden. 7 WennmaninternkeineweiterenBlendenanbringt,solltedieserApparatwiederEinheitsoperatorwirken. 

WirkönnenmitdiesemApparatdieselbenExperimentewiemitdemeinfachenStern-Gerlach-Apparatdurchführen.DazutauschenwirimExperi- 

Abbildung2.17:ModifiziertesStern-Gerlach-ExperimentmitBlende. 

ment3denmittlerenApparat SGxgegeneinenAnalysatorkreismitInhomogenitätinx-Richtungaus.ZunächstblendenwirimmittlerenTeileinen 

derbeidenTeilstrahlenaus(sieheAbbildung(2.17)).Wirfindendasalte 

Ergebnis:wennwirden (−x)-Zustandausblenden,liefern50%derTeilchen 

Sz = + 

2und50%Sz = −.Dasselbegilt,wennwir | + x〉ausblenden. 

2 

WirkönnenaberbeideWegefreigeben.Dannbeobachtenwir,dassnach 

demdrittenApparatalleTeilchenmit Sz = + 

2 herauskommen.DerAna- 

7 AlsStern-GerlachExperimentistdieserApparatnichtrealisierbar,wohlaberalseine 

äquivalenteAnordnungineinemInterferometer. 

56


lysatorkreiswirktalsoinderTatwieeinEinheitsoperator,undGl.(2.52) 

isterfüllt!DerAnalysatorkreisprägtdenTeilchenkeineInformationbezüglichderx-Richtungauf.DiesesErgebnisistvölliganalogzumentsprechendenExperimentmitPhotonen. 

2.5.2 BasisvektorenfürSpin- 1 

2 Teilchen 

WirhabenausdemExperimentgelernt,dassderSpinvonSpin- 1 

2 Teilchen 

durcheinenzwei-dimensionalenVektorraumbeschriebenwird,mitäquivalentenvollständigenundorthonormalenBasissystemen 

{ | + x〉, | − x〉 }, oder { | + y〉, | − y〉 }, oder { | + z〉, | − z〉 }. 

AusdenbeobachtetenWahrscheinlichkeitenkönnenwirauchdieTransformationenzwischendenBasissystemenherleiten.Wirwerden 

|±x〉bzw. 

| ± y〉mitHilfederBasisvektoren | ± z〉ausdrücken. 

Allgemeinkönnenwirschreiben 

| + x〉 = c+ | + z〉 + c− | − z〉 , mit c± = 〈±z| + x〉 , 

mit |c+| 2 + |c−| 2 = 1fürdieNormierung.AusdemexperimentellenErgebniss 

|〈±x| ± z〉| 2 = 1 

2 (Gl.(2.51))folgt |c±| = 1 √,also 2 

c+ = eiδ + 

√2 

c− = eiδ− √2 

| + x〉 = eiδ + 

√2 (| + z〉 + e iδ | − z〉) 

, (2.53) 

wobei δ±nochunbekanntePhasensindund δ := δ− − δ+. 

Genausofolgtaus |〈±y| ± z〉| 2 = 1 

2 (Gl.(2.51))dieDarstellung 

| + y〉 = eiγ + 

√2 (| + z〉 + e iγ | − z〉) . (2.54) 

57


NunkönnenwirdasSkalarproduktvon | + x〉und | + y〉bilden: 

〈+y| + x〉 = e−iγ+ iδ+ e 

2 

= ei(δ+−γ+) 

i(δ−γ) 

1 + e 

2 

 

⇒ 

|〈+y| + x〉| 2 = 1 

4 |1 + ei(δ−γ) | 2 

= 1 

4 

〈+z| + e −iγ 〈−z| | + z〉 + e iδ | − z〉 

1 + e i(δ−γ) ∗ 1 + e i(δ−γ) 

= 1 

(1 + cos(δ − γ)) . 

2 

UmdiebeobachteteWahrscheinlichkeitsamplitude |〈+y| + x〉| 2 = 1 

2zu erhalten,muss δ − γ = ± π 

2gelten.Hiermitkannnichtfestgelegtwerde, welcheWerte δund γindividuellannehmen.Ausdenspäterbehandelten 

BasistransformationenfürSpinsfolgt δ = 0und γ = π 

2 ,sowie γ+ = δ+ = 0. 

DamitwerdendieGleichungen(2.53)bzw.(2.54)zu: 

| + x〉 = 1 √ 2 (| + z〉 + | − z〉) (2.55) 

| + y〉 = 1 √ 2 (| + z〉 + i| − z〉) . (2.56) 

DieOrthogonalitätsbeziehungen 〈−x| + x〉 = 0und 〈−y| + y〉 = 0legen 

danndierestlichenZuständebisaufeinenweiterenPhasenfaktorfest,der 

sichspäterebenfallsausdemSpin-Rotationsoperatorergebenwird. 

| − x〉 = 1 

√ 2 (| + z〉 − | − z〉) 

| − y〉 = 1 

√ 2 (| + z〉 − i| − z〉) . 

Esistwichtigzuvermerken,dassdieexperimentellenErgebnisseGl.(2.51) 

mitreinreellenZahlenfürdieWahrscheinlichkeitsamplitudennichterklärtwerdenkönnen.ManbenötigthierzwingendeinenzweidimensionalenkomplexenVektorraum. 

58


WirwerdenspäterauchdieSpin-ZuständefüreinebeliebigeQuantisierungsrichtung 

nberechnen.DerVollständigkeithalberseiensiehierschon 

angegeben.BeideZuständesindnurbisaufjeweilseinePhaseeindeutig. 

|+n〉 = cos( θ 

|−n〉 = sin( θ 

SPIN-ZUSTÄNDEINRICHTUNG n 

2 ) |+z〉 + eiϕ sin( θ 

2 

2 ) |+z〉 − eiϕ cos( θ 

2 

) |−z〉 

) |−z〉 , (2.57) 

wobei θund ϕdieKugelkoordinatendesEinheitsvektorsn = (sin θ cosϕ, sin θ sin ϕ, cosθ) 

sind: θistderWinkelzwischenderz-AchseunddemVektor n; ϕistder 

Winkelzwischenderx-AchseundderProjektionvon naufdiexy-Ebene. 

MitderPhasenkonventionvonGl.(2.57)gilt |+〉−n = |−〉n.DieKurzschreibweise 

| + n〉und | − n〉istdahergerechtfertigt. 

CharakteristischfürGl.(2.57)istdasAuftretendeshalbenWinkels θ 

2 bei 

denSpin 1 

2 -Teilchen. 

WirüberprüfenleichtdieSpezialfällefürdiedreiKoordinatenachsen n = 

êx, n = êy, und n = êz.UmdieüblichePhasenkonventionfür | − z〉zu 

reproduzieren,mussmanhierbeifürdiez-Achse ϕ = πwählen. 

Richtung n θ ϕ |+n〉 |−n〉 

x 

y 

π 

2 0 

π 

2 

π 

2 

1 

√ 2 (|+z〉 + |−z〉) 

1 

√ 2 (|+z〉 − |−z〉) 

1√ 2 (|+z〉 + i |−z〉) 1 √2 (|+z〉 − i |−z〉) 

z 0 π |+z〉 |−z〉 

2.5.3 Spin 1 

2 Operatoren 

BeiMessungdesSpinsindenRichtungen x, y, zhabenwirjeweilsgenau 

zweiverschiedeneMessergebnissegefunden,nämlich ± 

2 .NachdenPostulateninAbschnitt2.3.1entsprechendiesenMessungenSpin-Operatoren, 

59


welcheaufdiejeweilserzeugtenZuständeprojizierenunddieMesswerte 

alsEigenwertehaben.BeiMessungvon SzzumBeispielsinddieprojiziertenZustände 

| ± z〉.DieallgemeineDarstellunginAbschnitt2.3.1wardie 

Spektraldarstellung 

Â = 

aj |aj〉〈aj| . 

DieSpin-Operatorenkönnenwirdahersofortangeben: 

ˆSx = 

2 

ˆSy = 

2 

ˆSz = 

2 

j 

SPIN-OPERATOREN 

 

 

| + x〉〈+x| − | − x〉〈−x| 

 

 

| + y〉〈+y| − | − y〉〈−y| 

 

 

| + z〉〈+z| − | − z〉〈−z| . 

(2.58) 

WirkönnendenSpin-Operatorauchgleichallgemeinfüreinebeliebige 

Richtung nschreiben: 

ˆSn = 

2 

 

 

|+ n〉〈+n| − |− n〉〈−n| . (2.59) 

DadieEigenwerte ± 

2 reellsind,sinddieSpin-Operatorenhermitesch. 

Darstellunginder z-Basis 

WirberechnennundieDarstellungendieserOperatoreninder Sz-Basis 

| ± z〉.UmdieNotationzuvereinfachen,werdenwir(nurfürdieseRechnung)dieVektoren 

| + z〉und | − z〉mit |σ〉bezeichnen, σ = ±1.DieEigenwertgleichungfür 

ˆ Szistdann 

ˆSz |σ〉 = σ 

2 

|σ〉 , mit |σ〉 ≡ 

| + z〉 für σ = +1 

60 

| − z〉 für σ = −1 .


DieMatrixelementediesesOperatorsinder z-Basissind 

〈σ ′ | ˆ Sz|σ〉 = σ 

2 〈σ′ |σ〉 = σ 

2 δ σσ ′ 

DieMatrixdarstellungdesOperators ˆ Szinder |±z〉-Basislautetalso 

ˆSz 

−→ 

❅ 

❅σ 

σ ❅ 

′ 

+1 −1 

+1 + 

2 0 

−1 0 − 

2 

= 

 

1 0 

2 0 −1 

DerPfeilsolldafürstehen,dassderOperatorindergewählten |±z〉-Basis 

indieangegebeneMatrixübergeht. 

AnalogerhaltenwirausderSpektraldarstellungvon ˆ SxundderDarstellungderZustände 

| ± x〉inder z-Basis 

| ± x〉 = 1 

√ 2 (| + z〉 ± | − z〉) 

(worausmandirektz.B. 〈−x| − z〉 = − 1 √ 2 abliest) 

dieMatrixelementeinder z-Basis: 

〈σ ′ | ˆ Sx|σ〉 = 

2 〈σ′ 

 

| | + x〉〈+x| − | − x〉〈−x| |σ〉 

= 

2 

 

〈σ ′ | + x〉〈+x|σ〉 − 〈σ ′ | − x〉〈−x|σ〉 

= 

2 (〈σ′ | + x〉 〈σ| + x〉 ∗ − 〈σ ′ | − x〉 〈σ| − x〉 ∗ ) 

61

= 

⎛ 

= ⎜ 

⎝ 

2 

❅ 

❅σ 

σ ❅ 

′ 

+1 〈+z|+x〉 〈+z|+x〉 ∗ 

1·1 ∗ 

2 

1·1 ∗ 

2 

-1 

− 1·1∗ 

2 

− (−1)·1∗ 

2 

+1 -1 

− 〈+z|−x〉 〈+z|−x〉 ∗ 

〈−z|+x〉 〈+z|+x〉 ∗ 

− 〈−z|−x〉 〈+z|−x〉 ∗ 

1·1 ∗ 

2 

1·1 ∗ 

2 

− 1·(−1)∗ 

2 

− (−1)·(−1)∗ 

2 


〈+z|+x〉 〈−z|+x〉 ∗ 

− 〈+z|−x〉 〈−z|−x〉 ∗ 

〈−z|+x〉 〈−z|+x〉 ∗ 

− 〈−z|−x〉 〈−z|−x〉 ∗ 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

2 

0 1 

1 0 

DieMatrixdarstellungvon ˆ Sxinder z-Basisistalso Sx 

ˆ −→ 

 

0 1 

2 1 0 

Fürdie y-KomponentendesSpin-Operatorserhaltenwir 

〈σ ′ | ˆ Sy|σ〉 = 

 

2 

ˆSy −→ 

2 

〈σ ′ | + y〉〈σ| + y〉 ∗ − 〈σ ′ | − y〉〈σ| − y〉 ∗ 

0 −i 

i 0 

Zusammenfassendfindenwirdie 

 

DARSTELLUNGDERSPIN- 1 

OPERATORENINDER |±z〉-BASIS 

2 

ˆSx −→ 

 

0 1 

2 1 0 

ˆSy −→ 

2 

 

 

0 −i 

ˆSz −→ 

+i 0 

 

 

1 0 

2 0 −1 

=: 

2 σx 

=: 

2 σy 

=: 

2 σz 

62 

 

 

 

(2.60) 

.


σx, σy, σzsinddiePauli-Matrizen.WirstelleneinigewichtigeEigenschaftenzusammen. 

EIGENSCHAFTENDERPAULI-MATRIZEN 

σα · σβ = δαβ ˆ1 + i 

σ 2 α = ˆ1 

{σα, σβ} = 2 δαβ 

[σα, σβ] = 2i εαβγ σγ 

σα = σ † α 

det(σα) = −1 

Sp(σα) = 0 

γ 

εαβγ σγ 

(2.61) 

{A, B}stehtfürdenAntikommutator {A, B} := AB + BA,und εαβγistder 

totalantisymmetrischeLevi-Civita-Tensor. 

ε123 = ε231 = ε312 = +1 

ε321 = ε213 = ε132 = −1 

LEVI-CIVITA-TENSOR 

εαβγ = 0 wennzweiodermehrIndizesgleichsind 

(2.62) 

EristinvariantgegenzyklischeVertauschungderIndizes: εαβγ = εβγα = 

εγαβ. 

Diezweite,dritte,undvierteZeileinGl.(2.61)folgendirektausdererstenZeile.DasSummenzeichenindererstenZeilewirdoftweggelassen 

(Summationskonvention). 

63


InderviertenZeilestehtderKommutatorderPauli-Matrizen.Daraus 

folgtderKommutatorderSpin- 1 

2 Matrizen 

[Sα, Sβ] = 

2 

[σα, σβ] = 

2 

2 

4 · 2i εαβγ σγ = i εαβγ 

 

2 σγ = i εαβγ Sγ 

Dainendlich-dimensionalenRäumeneinIsomorphismuszwischenden 

OperatorenunddenDarstellungenbesteht,giltdieobigeKommutator- 

RelationauchfürdieOperatoren: 

ALGEBRADERSPIN-OPERATOREN 

[ ˆ Sα, ˆ Sβ] = i εαβγ ˆ Sγ ∀α, β, γ = 1, 2, 3 (2.63) 

DieseBeziehunggiltfürbeliebigeDrehimpulse,wiewirspätersehenwerden.EshandeltsichhierumdiesogenannteLie-AlgebraderDrehgruppe. 

EineweiterewichtigeBeziehungfolgtaus σ 2 α = ˆ1: 

ˆS 2 α 

= 2 

4 ˆ1 . (2.64) 

DiessiehtmanauchdirektausderSpektraldarstellung: 

ˆS 2 n 

= ( 

2 )2 |n〉〈n| + ( − 

2 )2 |−n〉〈−n| = 2 

4 

 

1 0 

Anmerkung:ZusammenmitderEinheitsmatrix 

(|n〉〈n| + |−n〉〈−n|) = 2 

4 ˆ1 . 

0 1 

 

spannendiePauli- 

MatrizendenVektorraumder2×2Matrizenauf.Eslässtsichdemnach 

jede2×2Matrixals 

M = a0 ˆ1 + a1 · σx + a2 · σy + a3 · σz 

(2.65) 

mitkomplexenKoeffizienten aidarstellen(s.Übungen).MankanndaherjedenOperatorineinemzweidimensionalenkomplexenVektorraum 

64 

.


mitHilfederPauli-Matrizenschreiben.DeswegensinddiePauli-Matrizen 

undihreRechenregelnnichtnurbeiSpin- 1 

2 Teilchenwichtig,sondernin 

jedemquantenmechanischenSystemmitnurzwei(fürdieAnwendung 

relevanten)Zuständen.BeispieledafürsindAtome,indeneneinGrundzustandundnureinangeregterZustandwichtigsind,wasetwabeiNMR 

undbeimLaservorkommt! 

ErwartungswerteundVarianz 

MitHilfederSpin-Operatorenkönnenwir ErwartungswertevonMessergebnissenausrechnen.EsseizumBeispieleinEnsembleimZustand 

| + x〉 gegeben.Wirmessendiez-KomponentedesSpins,z.B.miteinem 

SGzStern-Gerlach-Experiment.DieeinzelnenMessergebnissesind ± 

2 ,nämlichdieEigenwertevon 

ˆ Sz.WennwirdasExperimentmitvielenunabhängigenidentischpräpariertenTeilchenwiederholen,konvergiertbeizunehmenderZahlvonWiederholungenderMittelwertallerMesswertegegen 

denErwartungswert.DieseristhierNull: 

〈 ˆ Sz〉 = 〈x| ˆ Sz |x〉 = 

 

 

|z〉〈z| − |− z〉〈−z〉 |x〉 (2.66) 

= 

2 

= 

2 

|〈x| + z〉|2 

 

1 

2 

W(+z|x) 

− 1 

2 

 

2 〈x| 

+ 

 

− 

2 

 

|〈x| − z〉| 2 

 

W(−z|x) 

(2.67) 

= 0 , (2.68) 

dennimZustand |x〉werdengleichhäufig 

und − 

2 2gemessen. DieeinzelnenMesswertestreuenumdenErwartungswert.DasQuadrat 

derStreuungistdieVarianz(NotationüblicherweiseohneDach): 

〈(∆Sz) 2 〉 := 

 

ˆSz − 〈 ˆ 2 Sz〉 

≡ 〈 ˆ S 2 z〉 − 〈 ˆ Sz〉 2 

= 〈 ˆ S 2 z 〉 − 2〈 ˆ Sz〉〈 ˆ Sz〉 + 〈 ˆ Sz〉 2 

DieVarianzvereinfachtsichweiter,weil 〈 ˆ Sz〉 = 0und ˆ S2 z = 

2 ˆ1 2 

(∆Sz) 2 = 

2 

〈x| ˆ1 |x〉 

2 

= ( 

2 )2 . 

. 

ImZustand | + x〉findetmanalsoimMitteldenMesswert 〈 ˆ Sz〉 = 0,aber 

miteinergroßenStreuungvon ∆Sz = 

2 . 

65

66 

Kapitel 2. Zustände und Messungen

Kapitel3 

Zeitentwicklung 

BisherhabenwirunsmitMomentaufnahmenbefasst.Einwesentliches 

AnliegenderPhysikistesaber,vorherzusagen,wiesichderZustandeinesSystemsentwickelt.FürdieQuantenmechanikheißtdas:Wiesiehtder 

Zustand ˆρzurZeit t ≥ t0aus,wennerzurZeit t = t0bekanntist? 

3.1 Zeitentwicklungsoperator,SchrödingergleichungundWellenfunktion 

ZunächstwollenwirunsmitreinenZuständen |ψ(t)〉beschäftigenund 

dieZeitentwicklungeinesZustandsvektorsstudieren.DieNormdesZustandesmusszuallenZeitenEinssein 

〈ψ(t)|ψ(t)〉 = 1, 

denn |〈ψ(t)|ψ(t)〉| 2 istdie„Wahrscheinlichkeit,dasTeilchenimZustand 

|ψ(t)〉zufinden,wennesimZustand |ψ(t)〉ist”.DieseWahrscheinlichkeit 

istnatürlichgleichEins. 

67

Kapitel 3. Zeitentwicklung 

DieZeitentwicklungwirddurcheinenunitärenOperatorbeschrieben: 

ZEITENTWICKLUNGSOPERATOR 

Û(t, t0) 

|ψ(t)〉 = Û(t, t0) |ψ(t0)〉 . (3.1) 

DieUnitaritätsichert,dasssichdieNormvon |ψ(t)〉nichtändert. 

Wirverlangensinnvollerweise,dassdieZeitentwicklunginseparatenZeitschrittendurchgeführtwerdenkann,d.h.essolldiefolgendeGruppeneigenschaftgelten: 

Û(t2, t0) = Û(t2, t1) · Û(t1, t0) (3.2) 

Um Û(t, t0)zubestimmen,betrachtenwireineinfinitesimaleZeitentwicklung.Mankann 

ÛineineTaylorreiheentwickeln, 

Û(t0 + dt, t0) = ˆ1 − i 

ˆ H dt + . . . , (3.3) 

wobeiderFaktor (− i 

)eineKonventionist. 

DerOperator ˆ HwirdHamilton-Operatorgenannt.ErbeschreibtdasVerhaltendesSystemsbeikleinenzeitlichenÄnderungenundistdasGegenstückzurHamiltonfunktioninderklassischenMechanik(s.u.).Ausder 

Unitaritätvon Ûfolgt,dass ˆ Hhermiteschist,denn 

ˆ1 ! = Û † (t0 + dt, t0) Û(t0 + dt, t0) 

 

= ˆ1 + i 

ˆ H † 

dt ˆ1 − i 

ˆ 

H dt 

= ˆ1 + i 

 

ˆH † 

− Hˆ 

+ O 

 

(dt) 2 

⇒ ˆ H = ˆ H † 

68 

+ O (dt) 2

AusGleichung(3.2)folgt 

Û(t + dt, t0) = Û(t + dt, t) · Û(t, t0) 

≃ (ˆ1 − i 

ˆ = 

Hdt) Û(t, t0) 

Û(t, t0) − i 

ˆ H Û(t, t0) 

Û(t + dt, t0) − 

dt 

Û(t, t0) ≃ − i 

ˆ H Û(t, t0) dt . 

DiesisteinDifferenzenquotient,undwirerhaltendie 


SCHRÖDINGERGLEICHUNGFÜRDENZEITENTWICKLUNGSOPERATOR 

i d 

dt Û(t, t0) = ˆ H · Û(t, t0) (3.4) 

AusdieserGleichungleitenwirnundie(äquivalenten)SchrödingergleichungenfürandereGrößenher,nämlichfürdenZustandsvektor,dieWellenfunktionunddenstatistischenOperator,sowieeineformaleLösung 

für Ûselber. 

DurchAnwendenvonGleichung(3.4)auf |ψ(t0)〉erhältman 

alsodie 

i d 

Û(t, t0)|ψ(t0)〉 

dt 

|ψ(t)〉 

= ˆ H · 

Û(t, t0)|ψ(t0)〉 , 

 

|ψ(t)〉 

SCHRÖDINGERGLEICHUNGFÜRDENZUSTANDSVEKTOR 

i d 

dt |ψ(t)〉 = ˆ H |ψ(t)〉 (3.5) 

69


Durchvorgegebene„äußere”FelderkannderHamiltonoperator ˆ Heines 

Systemsselbstzeitabhängigsein,sowieauchinklassischenSystemen 

derErzeugerderZeitentwicklung(Hamilton-Funktion)zeitabhängigsein 

kann.EinesolcheexpliziteZeitabhängigkeitdrücktmanoftdurcheinenunterenIndexwiebei„ 

ˆ Ht”aus,denwiraberderÜbersichtlichkeithalberin 

derRegelnichtschreibenwerden.Wenn ˆ HkeineexpliziteZeitabhängigkeit 

habendarf,werdenwirdiesausdrücklicherwähnen. 

SchrödingergleichungineinerdiskretenBasis 

Gleichung(3.5)istdieSchrödingergleichungfürdenZustandsvektor |ψ(t)〉. 

WirkönnensieauchineinerBasisschreiben.Esseiz.B. 

|ψ(t)〉 = 

cj(t) |ej〉 

mitdiskretenBasisvektoren |ej〉.Dannist |cj(t)| 2 = |〈ej|ψ〉| 2 dieWahrscheinlichkeit,zurZeit 

tdasTeilchenimZustand |ej〉zufinden.DieSchrödingergleichungGl.(3.5)wirddannzu 

i d 

|ψ(t)〉 ≡ i 

dt 

j 

j 

d 

dt cj(t) |ej〉 = 

undnachMultiplikationvonlinksmit 〈ei|zu 

i d 

dt ci(t) = 

InVektorformgeschriebenergibtdasdie 

j 

〈ei| ˆ H |ej〉 

 

Hi,j 

j 

cj(t) . 

cj(t) ˆ H |ej〉 

SCHRÖDINGERGL.FÜRDENZUSTAND,INEINERDISKRETENBASIS 

i d 

c(t) = H · c(t) , (3.6) 

dt 

wobei cderVektorderEntwicklungskoeffizienten cjistund HdieMatrixdarstellungvon 

ˆ HinderBasis |ei〉. 

70

Wellenfunktion.SchrödingergleichungimOrtsraum 


BesonderswichtigistdiekontinuierlicheOrtsraumbasis.DieKoeffizientendesZustandsvektors|ψ(t)〉inderOrtsraumbasisbildendiesogenannte 

WELLENFUNKTION 

ψ(x, t) = 〈x|ψ(t)〉 (3.7) 

Anmerkung:DerÜbersichtlichkeithalberwerdenwirmeistnurdenFall 

von1Dimensionschreiben,miteinereinzelnenRaumkoordinate„x”und 

∞ 

demIntegral dx.IndreiDimensionensinddafür xunddasDreifach- 

integral 

∞ 

−∞ 

−∞ 

dxzuersetzen. 

DieBedeutungderWellenfunktionistanalogzumdiskretenFall:DasBetragsquadrat 

|ψ(x, t)| 2 = |〈x|ψ〉| 2 istdieWahrscheinlichkeitsdichtedafür,zur 

Zeit tdasTeilchenamOrt xanzutreffen.DasräumlicheIntegralüberdiese 

Dichte 

y 

x 

dx ′ |ψ(x ′ , t)| 2 

(3.8) 

istdieWahrscheinlichkeit,zurZeit tdasTeilchenimIntervall (x, y)anzutreffen. 

InderOrtsraumbasiswirddieSchrödingergleichung(3.5)zu 

i d 

d 

ψ(x, t) ≡ 〈x|i 

dt dt |ψ(t)〉 = 〈x| ˆ ∞ 

H |ψ(t)〉 = 

Diesistdie 

−∞ 

dx ′ 〈x| ˆ H|x ′ 〉〈x ′ |ψ(t)〉 . 

SCHRÖDINGERGLEICHUNGFÜRDIEWELLENFUNKTION 

i d 

dt 

ψ(x, t) = 

∞ 

−∞ 

dx ′ H(x, x ′ ) ψ(x ′ , t) (3.9) 

mit H(x, x ′ ) = 〈x| ˆ H |x ′ 〉 . (3.10) 

71

SchrödingergleichungfüreinengemischtenZustand 


AusderZeitentwicklungdesZustandsvektorserhaltenwirauchdieZeitentwicklungfüreinengemischtenZustand.EinsolcherZustandwirddurch 

einenstatistischenOperator ˆρspezifiziert. 

WirbeginnenmitdemstatistischenOperatorzueinemreinenZustand 

ˆρ = |Ψ〉〈Ψ|undbenutzen ˆ H = ˆ H † . 

i d 

 

d 

ˆρ = i (|Ψ〉〈Ψ|) = i 

dt dt d 

dt |Ψ〉 

 

〈Ψ| + |Ψ〉 i d 

dt 〈Ψ| 

 

 

= i d 

dt |Ψ〉 

 

〈Ψ| − |Ψ〉 i d 

dt |Ψ〉 

† 

= ˆ † 

H |Ψ〉 〈Ψ| − |Ψ〉 ˆH |Ψ〉 

= ˆ 

H |Ψ〉 〈Ψ| − |Ψ〉 〈Ψ| ˆH 

= ˆ H ˆρ − ˆρ ˆ H † 

= 

H, ˆ ˆρ . 

DerstatistischeOperatorzueinembeliebigengemischtenZustandisteineLinearkombinationderstatistischenOperatorenvonreinenZuständen. 

DeswegenlautetauchdieSchrödingergleichungfüreinenallgemeinen 

statistischenOperator(gemischtenZustand) 

ZEITENTWICKLUNGEINESSTATISTISCHENOPERATORS ˆρ 

i d 

dt ˆρ(t) = [ ˆ H, ˆρ(t)] . (3.11) 

72

FormaleLösungfürdenZeitentwicklungsoperator 


DieSchrödingergleichung(3.4)fürdenZeitentwicklungsoperator, 

i d 

dt Û(t, t0) = ˆ H Û(t, t0),kannmanformallösen,ineinerfürdieAnwendungoftnützlichenForm.Wenn 

ˆ 

HexplizitvonderZeitabhängt,giltim 

allgemeinen ˆHt1, ˆ 

Ht2 = 0. 

 

WirbetrachtennurdenhäufigenFall ˆHt1, ˆ 

Ht2 = 0. 

DannistdieLösungderBewegungsgleichunggegebendurch 

ZEITENTWICKLUNGSOPERATORFÜR [ ˆ Ht, ˆ Ht ′] = 0 

R 

i t 

− 

Û(t, t0) = e t0 ˆHτ dτ 

. (3.12) 

Beweis:DieEigenbasisvon ˆ Htkannwegen [ ˆ Ht, ˆ Ht ′] = 0zeitunabhängig 

gewähltwerden(s.Anhang).NurdieEigenwertevon ˆ Htsinddortzeitabhängig.DurchEinsetzenderSpektraldarstellung 

ˆ Ht = ǫn(t) |ϕn〉〈ϕn| 

ergibtsichsofortdieGültigkeitderBewegungsgleichung(3.4),nämlich 

i d 

dt Û(t, t0) = ˆ H · Û(t, t0), fürdieLösungGl.(3.12). 

Wenn ˆ Hvölligzeitunabhängigist,vereinfachtsichderZeitentwicklungsoperatorweiterzu 

ZEITENTWICKLUNGSOPERATORFÜRZEITUNABHÄNGIGES ˆ H 

i 

− 

Û(t, t0) = e (t−t0) ˆ H 

. (3.13) 

 

ImschwierigstenFall,wenn ˆHt1, ˆ 

Ht2 = 0,kanndieGleichung(3.4)formalüberdiesogenannteDyson-Reiheaufsummiertwerden,derenBehandlungüberdenRahmendieserVorlesunghinausgeht. 

73

3.2 DerHamilton-Operator 


WirhabendieZeitentwicklungüberdenOperator ˆ Hausgedrückt.Seine 

physikalischeBedeutungkannmansichimfolgendenbesonderswichtigenFallveranschaulichen. 

3.2.1 StationärerFall:OperatorderGesamtenergie 

STATIONÄRERFALL 

Vom„stationärenFall”sprichtman, 

wennderHamilton-OperatornichtexplizitvonderZeitabhängt. 

IndiesemFallistderErwartungswertdesHamiltonoperators 

dieGesamtenergiedesSystems. 

FormalergibtsichdieseBeziehungausdemweiteruntenbehandelten 

Korrespondenzprinzip. 

BesonderseinfachistdieSituationbeiEigenzuständenvon ˆ H.Essei |ψn〉 

ein(normierter) Eigenzustandvon ˆ HmitEigenwert En: 

ˆH |ψn〉 = En |ψn〉 . 

Wegen ˆ H = ˆ H † ist Enreell.DerErwartungswertvon ˆ HindiesemZustand 

ist En.DiesistdieEnergiedesSystems. 

〈ψn| ˆ H|ψn〉 = En 〈ψn|ψn〉 = En . (3.14) 

DasSystembefindesichzurZeit t0indiesemEigenzustand. 

|ψ(t0)〉 = |ψn〉 . 

DannlautetdieZeitentwicklungdesZustands 

i 

− 

|ψ(t)〉 = e ˆ i 

H (t−t0) − 

|ψ(t0)〉 = e ˆ i 

H (t−t0) − 

|ψn〉 = e Ên (t−t0) 

|ψn〉 . 

74

STATIONÄRELÖSUNGDERZEITABHÄNGIGEN 

SCHRÖDINGERGLEICHUNG 

Essei |ψ(t0)〉einEigenzustandvon ˆ HmitEnergie E: 

ˆH |ψ(t0)〉 = E |ψ(t0)〉 . 

DannlautetdieZeitentwicklung 

i 

− 

|ψ(t)〉 = e E(t−t0) 

|ψ(t0)〉 . 


EinEigenzustandvon ˆ HändertsichmitderZeitalsonurumeinePhase. 

DeshalbsindalleWahrscheinlichkeitenbezüglichdiesesZustandesund 

auchdieEnergie E = 〈ψ| ˆ H|ψ〉zeitlichkonstant. 

Anmerkungen: 

1)EineLinearkombinationvonEigenzuständeneinesOperatorszuverschiedenenEigenwertenistkeinEigenzustand!Beispiel: 

Essei ˆ H |ψi〉 = Ei |ψi〉mitvoneinanderverschiedenen Ei. 

DieLinearkombination 

|ψ(0)〉 := c1 |ψ1〉 + c2 |ψ2〉 

istkeinEigenzustandvon ˆ H,denn 

ˆH |ψ(0)〉 = E1 c1 |ψ1〉 + E2 c2 |ψ2〉 = E |ψ(0)〉 . 

DieZeitentwicklungdiesesZustandes 

i 

− 

|ψ(t)〉 = e ˆHt − 

|ψ(0)〉 = e i 

Ê1t 

i 

− 

c1 |ψ1〉 + e Ê2t 

c2 |ψ2〉 

i 

− enthälteinezeitabhängigePhasendifferenz e ˆ (E1−E2)tzwischendenbei denSummanden. 

2)WennderHamiltonoperator ˆ Hexplizitzeitabhängigist,entspricht 

ernichtmehrderGesamtenergiedesSystems.Diesistanalogzur 

entsprechendenSitutationfürdieHamiltonfunktioninderklassischenMechanik(s.u.). 

75


3.2.2 Korrespondenzprinzip:DerHamiltonoperatorfüreinigewichtigeSysteme 

DerHamilton-OperatoreinesquantenmechanischenSystemskorrespondiertdirektzurHamiltonfunktiondesentsprechendenklassischenSystems. 

Manerhältihn,indemmandieOrtskoordinaten xdurchdenOrtsoperator 

ˆ QunddieImpulskoordinaten pdurchdenImpulsoperator ˆ Persetzt. 

DerOrtwirdalsodurchdenimOrtsraumdiagonalenOperatorundder 

ImpulsdurchdenimImpulsraumdiagonalenOperatorersetzt!DieseErsetzung(„Korrespondenz”)istnichtoffensichtlich.Sieistletztlichdurchden 

Erfolggerechtfertigt. 

DurchdieseErsetzungerhaltenwirden 

HAMILTONOPERATORFÜREINIGEWICHTIGESYSTEME 

1.TeilchenimzeitunabhängigenPotential 

ˆH = 

ˆP 2 

+ V ( 

2m 

kin.Energie 

Q) ˆ 

 

pot.Energie 

2.GeladenesTeilchenimäußerenelektromagnetischenFeld 

ˆH = 

2 

ˆP 

− eA( ˆQ) 2m 

ϕ( ˆ Q):Skalarpotential 

A( ˆ Q):Vektorpotential 

(3.15) 

+ eϕ( ˆ Q) (3.16) 

DasKorrespondenzprinziplässtsichallgemeinerformulieren.Mangeht 

vomHamilton-FormalismusderklassischenMechanikaus,mitdenverallgemeinertenKoordinaten 

pαund qβ.Siewerdendurchverallgemeinerte 

Operatoren ˆ Pαund ˆ Qβersetzt,dieVertauschungsrelationenwiedienormalenOrts-undImpulsoperatorengehorchen.DiesentsprichtdemEr- 

76


setzenderPoissonklammer {pα, qβ}derklassischenMechanikdurchden 

Kommutator i 

[ ˆ Pα, ˆ Qβ]inderQuantenmechanik. 

(BeiunklarerReihenfolge,z.B.beiProdukten ˆ P ˆ Q,istmeistdiehermitescheKombination 

( ˆ P ˆ Q + ˆ Q ˆ P)/2korrekt). 

TeilchenmitSpin 

3.NeutralesSpin 1 

2 TeilchenimMagnetfeld.AufdenSpinwirkt 

ˆH = −µ B ˆ S (3.17) 

B:externesMagnetfeld,experimentellvorgegeben(KeinOperator). 

ˆS:Spin-Operator 

DieserHamilton-Operatorwirktz.B.imStern-Gerlach-Experiment.ErentsprichtderklassischenEnergiefunktioneinesTeilchensmitDrehmomentineinemMagnetfeld,wobeiaberderSpinnichtzueinerdrehendenBewegunggehört. 

DerZustandsvektoreinesTeilchensmitSpinenthältsowohleineOrtsabhängigkeitalsaucheineSpin-Abhängigkeit.DerZustandsvektorgehört 

daherzumProduktraumausOrts-undSpin-Abhängigkeit.Esseien |σ〉 

dieBasisvektorendesSpinraums.DannsinddieBasisvektorendesProduktraums 

|xσ〉 = |x〉 ⊗ |σ〉 undeinVektordesProduktraumsist 

|Ψ〉 = 

 

dx fσ(x) (|x〉 ⊗ |σ〉) . (3.18) 

σ 

DeraufdasTeilchenwirkendeHamiltonoperatoristdieSummedesHamiltonoperatorsGl.(3.17)fürdenSpinundvonHamiltonoperatorenim 

OrtsraumwieGl.(3.15)oder(3.16).DieOperatoren ˆ Qund ˆ Pwirkendabei 

nuraufdieBasisvektoren |x〉undderOperator ˆ SnuraufdieBasisvektoren 

|σ〉. 

77


3.3 ZeitabhängigkeitvonErwartungswerten 

WirwollennundieZeitabhängigkeitderErwartungswerteeinesOperatorsberechnen. 

3.3.1 Erhaltungsgrößen 

WirbetrachtenzunächsteinenOperator Â,dernichtexplizitzeitabhängig 

istundmitdemHamiltonoperator ˆ Hvertauscht: 

[ Â, ˆ H] = 0 . 

DanngibteseinegemeinsameBasisvonEigenvektorenfür Âund ˆ H(s.Anhang). 

WirführennunzurZeit t0eineMessungmitdemOperator Âdurch.DanachistdasSystemineinemEigenzustand 

|a〉von Â,d.h. Â |a〉 = a |a〉. 

DieserZustandistindergemeinsamenBasisauchEigenzustandvon ˆ H, 

also ˆ H |a〉 = Ea |a〉.DieZeitentwicklungnachderMessunglautetdaher 

i 

− 

|ψ(t)〉 = e Ea (t−t0) 

|a〉 . 

DasSystembleibtalso,wennesnichtmehrgestörtwird,füralleZeitenim 

Zustand |a〉underhältnureinenzeitabhängigenPhasenfaktor.Deswegen 

bleibtauchderErwartungswertvon Âzeitlichkonstant: 

〈ψ(t)| 

InKurzform: 

i 

Â |ψ(t)〉 = 〈a|e+ Ea (t−t0) 

i 

− 

Â e Ea (t−t0) 

|a〉 = a 〈a|a〉 = a . 

Observable,diemit ˆ Hvertauschen,sindErhaltungsgrößen 

BeispielesindetwaderImpulsineinemtranslationsinvariantenSystem, 

oderderDrehimpulsineinemrotationsinvariantenFall. 

InsbesondereistbeieinemnichtexplizitzeitabhängigenHamiltonoperatordieGesamtenergie 

〈 ˆ H〉 = Ezeitlichkonstant. 

78

3.3.2 AllgemeinerFall 


WirberechnennunallgemeindieZeitentwicklungeinesOperators Ât,der 

aucheineexpliziteZeitabhängigkeithabendarf(untererIndex). 

d 

dt 〈Ât〉 = d 

= 

dt 〈ψ(t)|Ât|ψ(t)〉 

 

d 

dt 〈ψ(t)| 

 

Ât|ψ(t)〉 + 〈ψ(t)| Ât 

WirsetzendieSchrödingergleichung 

unddiedazuadjungierteGleichung 

ein: 

i d 

dt |ψ(t)〉 = ˆ H|ψ(t)〉 

i d 

dt 〈ψ(t)| = 〈ψ(t)| ˆ H 

 

d 

dt |ψ(t)〉 

 

 

d 

+ 〈ψ(t)| 

dt Ât 

 

|ψ(t)〉 . 

d 

dt 〈Ât〉 

 

d 

= 〈ψ(t)| 

dt Ât 

 

|ψ(t)〉 + i 

 

〈ψ(t)| 

 

ˆ HÂt|ψ(t)〉 − 〈ψ(t)| Ât ˆ 

H|ψ(t)〉 

 

 

d 

= 〈ψ(t)| 

dt Â(t) 

 

|ψ(t)〉 − i 

〈ψ(t)|[Ât, ˆ H]|ψ(t)〉 

oderandersgeschriebenundmit d 

dt Ât = ∂ 

∂t Ât 

〈ψ(t)|[ ˆ H, Ât]|ψ(t)〉 

ZEITABHÄNGGKEITVONERWARTUNGSWERTEN 

d i 

〈Â〉 = − 

dt 〈[Ât, ˆ H]〉 + 〈 ∂ 

∂t Ât〉 . (3.19) 

79

3.3.3 Beispiel:Spin-Präzession 


WiruntersuchendieZeitabhängigkeitdesSpin-Erwartungswertesfürein 

TeilchenineinemäußerenMagnetfeld.DasFeldsollin z-Richtungzeigen. 

ˆH = −µ · B · ˆ S 

B = B · ez ⇒ ˆ H = −µB ˆ Sz 

DieStärke BdesMagnetfeldesisthiereinParameter.InderQuantenelektrodynamikistauch 

Bquantisiert.Hieristaber ˆ SzdereinzigeOperator.Wiruntersuchen,wiesichderMittelwert 

〈 ˆ Sα〉zeitlichverändert,mit 

α = 1, 2, 3oder x, y, z.GemäßGl.(3.19)gilt,da ∂ 

∂t ˆ Sz = 0 

d 

dt 〈 ˆ Sα〉 = − i 

〈[ˆ Sα, ˆ H]〉 

[ ˆ Sα, ˆ H]enthältdenKommutatorvonzweiSpin-Operatoren,denwiraus 

Gl.(2.63))kennen: 

[ ˆ Sα, ˆ H] = −µ·B [ ˆ Sα, ˆ Sz] = −µ·B·i εαzβ ˆ Sβ (Summationskonvention!) . 

Einsetzenergibt 

d 

dt 〈 ˆ Sα〉 = −µB εαzβ 〈Sβ〉 . (3.20) 

Bei α = zverschwindetder ε-Tensor.Daherist d 

dt 〈 ˆ Sz〉 = 0. 

EineerneuteZeitableitungliefertfür α = z 

d 2 

dt 2 〈 ˆ Sα〉 = −µBεαzβ 

d 

dt 〈 ˆ Sβ〉 

 

−µBεβzγ〈ˆSγ〉 

= −(µB) 2 εαzβ εγzβ〈 

 

ˆ Sγ〉 = −(µB) 2 〈 ˆ Sα〉 

⇒ 〈 ˆ Sα〉 = Cα cos(µBt) + Dα sin(µBt) 

d 

dt 〈 ˆ Sα〉 = −CαµB sin(µBt) + DαµB cos(µBt) 

80 

δαγ

ZumZeitpunktt=0: 

〈 ˆ Sα〉0 = Cα 

d 

dt 〈 ˆ Sα〉0 = DαµB 

AndererseitsgiltnachGl.(3.20) 

d 

dt 〈 ˆ Sα〉0 = −µB εαzβ 〈 ˆ Sβ〉0 

Darausfolgt 

DieallgemeineLösunglautetsomit 

Dα = −εαzβ 〈 ˆ Sβ〉0 

〈 ˆ Sα〉t = 〈 ˆ Sα〉0 cos(µBt) + εαβz 〈 ˆ Sβ〉0 sin(µBt) , 

bzw.fürdieeinzelnenkartesischenKomponenten 

〈 ˆ Sx〉t = 〈 ˆ Sx〉0 cos(µBt) + εxβz〈 ˆ Sβ〉0 sin(µBt) 

 

〈 ˆ Sy〉0 

= 〈 ˆ Sx〉0 cos(µBt) + 〈 ˆ Sy〉0 sin(µBt) 

〈 ˆ Sy〉t = 〈 ˆ Sy〉0 cos(µBt) + εyxz〈 ˆ Sx〉0 sin(µBt) 

= 〈 ˆ Sy〉0 cos(µBt) − 〈 ˆ Sx〉0 sin(µBt) 

〈 ˆ Sz〉t = 〈 ˆ Sz〉0 


InMatrixschreibweisevereinfachensichdieAusdrückezu 

⎛ 

〈 

⎜ 

⎝ 

ˆ Sx〉t 

〈 ˆ Sy〉t 

〈 ˆ ⎞ ⎛ 

⎞⎛ 

cos(µ B t) sin(µ B t) 0 〈 

⎟ 

⎠ = ⎝ − sin(µ B t) cos(µ B t) 0 ⎠⎜ 

⎝ 

Sz〉t 

0 0 1 

ˆ Sx〉0 

〈 ˆ Sy〉0 

〈 ˆ ⎞ 

⎟ 

⎠ 

Sz〉0 

undmanerkennteinePräzession:DerVektor 〈 ˆ S〉rotiertmitderWinkelgeschwindigkeitderGröße 

µBumdieRichtungdesMagnetfeldes! 

81


3.4 Schrödinger-BildundHeisenberg-Bild 

BisherhabenwirdieZeitabhängigkeitdesSystemsdurchVeränderung 

desZustandsvektorsbeschrieben. 

|Ψ〉 → |Ψ ′ 〉 = 

Û|Ψ〉 . 

DieOperatorenbleibendabeiunverändert.DieserZugangzurQuantenmechanikwirdSchrödinger-Bildgenannt. 

DiesesVorgehenistallerdingsnichtdieeinzigeMöglichkeit.Manerkennt 

das,wennmanuntersucht,wiesichphysikalischbeobachtbareGrößen, 

nämlichErwartungswertevonOperatoren Ô,untereinerunitärenTransformationverhalten: 

〈 Ô〉 = 〈ψ| Ô |ψ〉 → 〈Ô〉′ = 〈Ψ|U † ÔU|Ψ〉 . 

DenselbenErwartungswerterhaltenwir,wennwiralternativdieZuständefesthaltenundstattdessendieOperatorentransformieren. 

Ô → Ô′ = U † Ô U . (3.21) 

DiesenZugangnenntmanHeisenberg-Bild. 

FürdieallgemeineBeschreibunglassenwirauchOperatoren Ôtzu,die 

schonimSchrödinger-Bildeineexplizite,vonaußenvorgegebeneZeitabhängigkeithaben,wasdurchdenunterenIndex 

tgekennzeichnetwird.(In 

denmeistenFällengibteskeinesolcheZeitabhängigkeit;dannist Ôt = Ô 

zeitunabhängig.) 

InderallgemeinenDefinitiongehtmanzueinemZeitpunkt t0vondem 

einenzumanderenBildüber.Bei t0sollenbeideBildergleichsein. 

SCHRÖDINGER-UNDHEISENBERGBILD 

Schrödingerbild: |ψ(t)〉 = Û(t, t0)|ψ(t0)〉; Ô S t 

(t) = Ôt(t0) 

Heisenbergbild: |ψ〉 ≡ |ψ(t0)〉; Ô H (t) = Û † (t, t0) 

82 

Ôt(t0) Û(t, t0) 

(3.22)


DenSchrödinger-Operator ÔS t (t0)schreibenwirkürzerals Ôt, 

mit ∂ 

∂tÔt = d 

dtÔt.DerIndex SfürdieOperatorenimSchrödingerbildwird 

oftweggelassen.BeimHeisenberg-Operator OH (t)könntemanauchnoch 

einenunterenIndex tzurKennzeichnungderexplizitenZeitabhängigkeit 

schreiben. 

WirleitennundieBewegungsgleichungfürdieHeisenberg-Operatoren 

ab. 

d 

dt ÔH = d 

 

Û 

dt 

† (t, t0) 

 

d 

= 

dt Û † (t, t0) 

 

Ôt Û(t, t0) 

 

+ Û † 

d 

(t, t0) 

Ôt Û(t, t0) + Û † (t, t0) Ôt 

dt Ôt 

 

Û(t, t0) 

 

d 

Û(t, t0) 

dt 

Mit d 

dtÛ(t, t0) = − i 

ˆ d HÛund dtÛ † (t, t0) = + i 

Û † HergebensichSumman- 

ˆ 

denderForm 

Esfolgtdie 

Û † Hˆ Ôt Û = U † Hˆ Û 

ˆH H 

Û † Ôt Û 

 

ÔH BEWEGUNGSGLEICHUNGFÜROPERATORENIMHEISENBERGBILD 

d 

dt ÔH (t) = i 

[ ˆ H H (t), ÔH (t)] + Û † 

∂ 

(t, t0) 

∂t ÔH t 

. 

 

Û(t, t0) . (3.23) 

DiemeistenOperatoren,mitdenenmanesinderQuantenmechanikzu 

tunhat,sindnichtexplizitzeitabhängig.IndiesemFallvereinfachtsich 

dieBewegungsgleichung 

83

BEWEGUNGSGLEICHUNGFÜR 

NICHTEXPLIZITZEITABHÄNGIGEOPERATOREN 


d 

dt ÔH (t) = i 

[ ˆ H H (t), ÔH (t)] . (3.24) 

DerHamiltonoperatorselberistmeistentwedernichtexplizitzeitabhängigoderdieexpliziteZeitabhängigkeitbestehtauseinemVorfaktor,der 

mit ˆ Hvertauscht,sodass [ ˆ Ht, ˆ Ht ′] = 0.IndiesemFallgiltmitGl.(3.12) 

ˆH H t 

i 

 

(t) = e 

Rt 

t 0 

ˆHτdτ 

i 

− 

ˆHt e 

Rt 

t 0 

ˆHτdτ 

= ˆ Ht . 

[ ˆ Ht, ˆ Ht ′] = 0 ⇒ ˆ H H t (t) = ˆ Ht (3.25) 

3.4.1 Ehrenfest-Theorem:TeilchenimzeitunabhängigenPotential 

V (x) 

WirbehandelndieBewegungeinesTeilchensineinemPotential V (x)im 

Heisenbergbild.AbsofortwerdenwirdenOrtsoperatorauchmitdenSymbolen 

ˆ X, ˆ Y , ˆ Zbzw. ˆ X1, ˆ X2, ˆ X3schreiben.DerHamiltonoperatorlautetdamit 

ˆP ˆH = 

2 

2m + V ( ˆ2 X) ˆ 

P1 + 

= ˆ P 2 2 + ˆ P 2 3 

+ V ( 

2m 

ˆ X1, ˆ X2, ˆ X3) 

IndiesemAbschnittsindalleOperatorenimHeisenbergbildgemeint.Um 

dieFormelnnichtmitIndizeszuüberladen,lassenwirindiesemBeispielden 

oberenIndex H,fürHeisenbergbild,weg. 

84

AusGl.(3.24)folgt 

d 

dt ˆ Xα = i 

 

= i 

 

ˆP 2 

2m + V ( ˆ X) , ˆ Xα 

1 

2m [ ˆ P 2 , ˆ Xα] + [V ( ˆ X), ˆ Xα] 

 

=0 

 

 


. (3.26) 

ImFolgendenbenötigenwirdieKommutatorenvonOrts-undImpulsoperatoren.DieseimAnhanghergeleitenKommutatorengeltenimSchrödinger- 

Bild.FürdieKommutatorenimHeisenbergbildmussbeachtetwerden, 

dasswegen ÂH Bˆ H = Û † ÂS † 

Û Û ˆB 

ˆ1 

S Û gilt 

[ ÂH , ˆ B H ] = Û † [ ÂS , ˆ B S ] 

Û . (3.27) 

HierbeidürfendieOperatoren Âund ˆ BauchbeliebigeFunktionenandererOperatorensein,dennwegenderUnitaritätvon 

Ûistallgemein 

unddaher 

( ÂH ) n ( ˆ B H ) m = Û † ( ÂS ) n ( ˆ B S ) m Û 

f( ÂH , ˆ B H , . . .) = Û † f( ÂS , ˆ B S , . . .) Û . (3.28) 

WirkönnennunmitderBerechnungderHeisenbergschenBewegungsgleichungGl.(3.26)fortfahren.Wirbenutzen 

[AB, C] = A[B, C]+[A, C]B. 

d 

dt ˆ Xα(t) = i 

 

ˆPβ [ 

2m 

ˆ Pβ, ˆ Xα] + [ 

 

ˆ Pβ, ˆ 

Xα] ˆPβ) 

 

= ˆ Pα 

m = ∂ ˆ H 

∂ ˆ Pα 

−iˆ1δαβ 

−iˆ1δαβ 

. (3.29) 

also ˆ Pα = m d 

dt ˆ Xα. ErneuteAbleitungnachderZeitliefert 

d 

dt ˆ Pα = i 

[ ˆ H, ˆ Pα] = i 

[V ( X), ˆ Pα] ˆ = i ∂ 

(i 

∂ ˆ V ( 

Xα 

X)) ˆ 

= − ∂ 

∂ ˆ V ( 

Xα 

X) ˆ 

∂ 

= − ˆ H 

∂ ˆ . 

Xα 

(3.30) 

Gleichung(3.29)und(3.30)zusammenzeigen,dassfüreinTeilchenin 

einemzeitunabhängigenPotential V (x)dieHeisenberg-Operatorendie 

HamiltonschenBewegungsgleichungenerfüllen! 

85

KräftefreierFall 


ImkräftefreienFallistdasPotential V (x)konstant.Darausresultiert 

d 

dt ˆ Pα = 0 ⇒ ˆ Pα(t) = ˆ Pα(0) =: ˆ Pα 

DurchIntegration 

ˆXα(t) = ˆ Xα + ˆ t 

Pα 

m 

d 

dt ˆ Xα = ˆ Pα(t) 

m = ˆ Pα 

m 

erhaltenwirdasausderklassischenPhysikvertrauteErgebnis,aberfür 

dieOperatorenstattfürdieklassischenGrößen.Hierausleitetsichallerdingseineinteressante,klassischnichtzuverstehendeEigenschaftab 

[ ˆ Xα(t), ˆ Xβ(t ′ 

)] = [( ˆ Xα + ˆ t 

Pα 

m ), ( ˆ Xβ + ˆ t 

Pβ 

′ 

m )] 

= [ ˆ Xα, ˆ Xβ] + t 

m [ ˆ Pα, ˆ Xβ] + t′ 

m [ ˆ Xα, ˆ Pβ] + tt′ 

m 2[ ˆ Pα, ˆ Pβ] 

= t′ − t 

m [ ˆ Xα, ˆ Pβ] = i δαβ 

. 

t ′ − t 

m ˆ1 . 

DieOrtsoperatorenzuverschiedenenZeitenvertauschenalsonichtmehr 

miteinander!DarausfolgtmitGl.(??) 

∆Qα(t) ∆Qα(0) ≥ 

t 

2m 

. (3.31) 

Dasbedeutet,dassdasklassischeKonzeptderTrajektorieinderQuantenmechanikauchbeieinemfreienTeilchennichtmehrexistiert!Wirkönnen 

denOrtdesTeilchensnichtmehrzuallenZeitenbeliebigscharfangeben. 

86

AllgemeinerFall 

AllgemeinfolgtausGleichung(3.30) 


m d2 

dt2 ˆX = − ∇Xˆ V ( X) ˆ (3.32) 

DiesistdasquantenmechanischeAnalogonzurNewtonschenBewegungsgleichung.DieGleichung(3.32)giltabernurimHeisenbergbild. 

AusdieserOperatorgleichungleitenwirsofortdasEhrenfestscheTheorem 

ab,indemwiraufbeidenSeitendenErwartungswertmitdemzeitunabhängigenHeisenberg-Zustand 

|ψ〉bilden.DannkönnenwirdieZeitableitung 

außenschreibenunderhalten: 

EHRENFESTSCHESTHEOREM 

m d2 

dt 2 〈 ˆ Xα〉 = 〈− ∂ 

∂ ˆ Xα 

V ( ˆ X)〉 (3.33) 

DaessichhierumErwartungswertehandelt,giltdasEhrenfestscheTheoremsowohlimSchrödinger-alsauchimHeisenbergbild. 

Gl.(3.33)siehtfastauswiedieklassischeBewegungsgleichung.Manbeachteaber,dasslinkseinErwartungswertabgeleitetwird,währendrechts 

dieAbleitunginnerhalbdesErwartungswertessteht. 

87

QuadratischerFall 


DieSituationvereinfachtsich,wenndasPotential V ( X)quadratischist, 

ˆ 

d.h. 

V ( X) ˆ = V0 + 

Vα ˆ Xα + 

Wαβ ˆ Xα ˆ Xβ . 

α 

DiesistinsbesonderebeimharmonischenOszillatorderFall.Dannfolgt 

∂V ( ˆ X) 

∂ ˆ Xα 

〈 ∂V ( ˆ X) 

∂ ˆ Xα 

αβ 

= Vα + 

(Wαβ + Wβα) ˆ Xβ 

⇒ 

β 

〉 = Vα + 

(Wαβ + Wβα)〈 ˆ Xβ〉 

= 

β 

∂ 

∂〈 ˆ Xα〉 V (〈 ˆ X〉) . 

DasEhrenfestscheTheorembesagtindiesemFall,dassfürdieMittelwerte 

qα := 〈 ˆ Xα〉dieklassischenBewegungsgleichungengelten(!) 

m d2 

dt2qα = − ∂ 

V (qα) . 

∂qα 

Manbeachte,dassdasnichtmehrzutrifft,wenndasPotentialhöherePotenzenvon 

xenthält. 

88

Kapitel4 

Potentialprobleme 

WirwerdennundieSchrödingergleichunginderOrtsdarstellungfüreinigeeinfachePotentialproblemelösen.IndenBeispielenbeschränkenwir 

unsdabeiaufeindimensionaleProbleme. 

WirbetrachtenzunächstallgemeineinspinlosesTeilchenderMasse m, 

dassichindreiDimensionenineinemPotentialbewegenkann.DerHamiltonoperatoristalsonachGl.(3.15) 

ˆHt = 

ˆP 2 

2m 

 

kin. Teil 

+ V ( ˆ Q, t) 

 

pot. Teil 

DasPotentialsollnurvonOrtundZeitabhängen.DenOperator ˆ V ( ˆ Q, t) 

desPotentialskannmandeshalbmitHilfederSpektraldarstellungdes 

ˆQ 

∞ 

Ortsoperators = dx x |x〉〈x| unddesSpektralsatzesschreiben: 

ˆV ( ˆ 

Q, t) = 

−∞ 

dx V (x, t) |x〉〈x| ⇔ 〈x| ˆ V ( ˆ Q, t)|x ′ 〉 = V (x, t) δ (3) (x−x ′ ) . 

. 

(4.1) 

DieZeitentwicklungdesZustandeswirddurchdiezeitabhängigeSchrödingergleichung 

i ∂ 

∂t |ψ(t)〉 = ˆ Ht |ψ〉 

beschrieben.InderOrtsdarstellungwirdaus ˆ PαdieAbleitung 

i 

manerhältbeiobigemPotentialdie 

89 

∂ 

∂xα und

Kapitel 4. Potentialprobleme 

ZEITABHÄNGIGESCHRÖDINGERGLEICHUNGIMORTSRAUM 

i ∂ 

2 

Ψ(x, t) = − 

∂t 2m ∇2 Ψ(x, t) + V (x, t) Ψ(x, t) (4.2) 

mit ∇ 2 = ∂2 

∂x 2 + ∂2 

∂y 2 + ∂2 

∂z 2. 

ImFolgendensollnundasPotentialzeitunabhängigsein,alsoauchder 

Hamiltonoperator.DiesistdersogenanntestationaereFall.Wirbetrachten 

dieEigenzuständevon ˆ H,mit ˆ H |Ψ〉 = E|Ψ〉.WiewirinKap.3.2.1gese- 

i 

− henhaben,besitzensiedieeinfacheZeitabhängigkeit |Ψ(t)〉 = e Et |Ψ(0)〉. 

DerHamiltonoperatoristdannderOperatorderGesamtenergie E.Wirerhaltendaherdie 

STATIONÄRESCHRÖDINGERGLEICHUNGFÜRDIE 

EIGENFUNKTIONENVON ˆ HINEINEMZEITUNABHÄNGIGEN 

 

− 2 

2m ∇2 

+ V (x) 

POTENTIAL 

ψ(x) = E ψ(x) (4.3) 

i 

− 

mit Ψ(x, t) = e Et ψ(x) . (4.4) 

DieseGleichungwerdenwirimFolgendenineinigeneinfachenFällen 

lösen.DieallgemeineLösungerhältmanalsLinearkombinationderEigenfunktionen,i.a.mitunterschiedlichenEnergien,alsounterschiedlichen 

Zeitentwicklungen(s.S.75). 

90


4.1 RandbedingungenfürdieWellenfunktion 

ZuerstleitenwirRandbedingungenderOrtsraum-Wellenfunktionfürdie 

Eigenzuständevon ˆ Hher. 

4.1.1 Normierbarkeit,Spektrum 

WirwerdenzunächstvorallemgebundeneZuständebehandeln.Dies 

sindZustände,indenendasTeilchenineinemendlichenVolumenlokalisiertist.Da〈Ψ|Ψ〉dieGesamtwahrscheinlichkeitist,dasTeilchenirgendwozufinden,gilt: 

Also 

1 = 〈ψ|ψ〉 = 

GebundeneZuständesindnormierbar . 

∞ 

−∞ 

dx 〈ψ|x〉 〈x|ψ〉 = 

∞ 

−∞ 

|ψ(x)| 2 d D x = 

 

 

dΩ 

wobei DfürdieDimensiondesjeweiligenProblemssteht(D=1,2,3).Damit 

dasIntegralüberdenRadialanteilkonvergiert,mussgelten: 

|ψ| 2 mussimbeigroßen rschnellerals r −D abfallen. 

i 

− WegenderunitärenZeitentwicklung Ψ(x, t) = e ˆ HtΨ(x, 0)bleibtdieNormierungfüralleZeitenerhalten. 

IneinemendlichenVolumenistderHilbertraumabzählbar(diskreteWellenzahlen).DeswegenistdasEnergiespektrumvongebundenenZuständen 

diskret(z.B.diegebundenenZuständevonElektronenineinemAtom). 

UngebundeneZuständebeschreibendagegensichausbreitendeTeilchen, 

zumBeispielinderArteiner(nichtnormierbaren)ebenenWelle.DasEnergiespektrumvonungebundenenZuständenistkontinuierlich.Wirwerden 

siespäternäherbehandeln. 

91 

0 

∞ 

dr (|ψ(x)| 2 r D−1 ,

4.1.2 Stetigkeit 

WirbehandelnzunächstdeneindimensionalenFall. 

1) DieWellenfunktion ψ(x) istimmerstetig. 

Beweis:Wirbetrachten 

 

x0+ε 

x0−ε 

 

d 

dx ψ(x) 

 


dx = ψ(x0 + ε) − ψ(x0 − ε) . 

Wäre ψunstetigbei x0,sowürdedierechteSeitefür ε → 0nichtverschwinden.Dasbedeutetaber,dass 

d ψ(x) ∝ δ(x − x0)undsomitwürde 

dx 

diekinetischeEnergiedivergieren: 

Ekin = < ψ| ˆ P 2 

= +2 

2m 

∝ 

∞ 

−∞ 

2m 

∞ 

−∞ 

|ψ > = −2 

2m 

∞ 

−∞ 

ψ ∗ (x) d2 

dx2ψ(x) dx 

 

d 

dx ψ∗ 

d 

(x) · 

dx ψ(x) 

 

dx = 2 

2m 

∞ 

−∞ 

δ(x − x0) · δ(x − x0) dx = δ(0) = ∞ . 

 

d 

dx ψ(x) 2 dx 

DadiekinetischeEnergieendlichist,mussalso ψ(x)überallstetigsein. 

2) DieAbleitung dψ 

dx istbeiendlichenPotentialenstetig. 

WirintegrierendieSchrödingergleichungvon x0 − εbis x0 + ε 

− 2 

2m 

x0+ε 

x0−ε 

d2 dx2ψ(x) dx + 

 

x0+ε 

x0−ε 

V (x)ψ(x) dx = E 

 

x0+ε 

x0−ε 

ψ(x) dx . 

DierechteSeitederGleichung(4.5)istvonderOrdnung O(ε),da ψ(x) 

keine δ-Beiträgebesitzt,dennsonstwürdediekinetischeEnergieerstrecht 

divergieren.Alsogilt 

 

lim ψ 

ε→0 

′ (x0 + ε) − ψ ′ 

(x0 − ε) 

92 

= − 2m 

2 lim 

ε→0 

 

x0+ε 

x0−ε 

V (x)ψ(x) dx .(4.5)


Wenn V (x)überallendlichist,verschwindetdierechteSeite.Alsoist ∂ 

∂x ψ(x) 

stetig. 

3) SprungderAbleitungvon ψbeiPotentialenmit δ-Anteil 

Wenn V (x)einen δ-Funktionsbeitrag V (x) = C · δ(x − x0)+(endlicheAnteile)enthält,danngilt 

 

x0+ε 

x0−ε 

V (x) ψ(x) dx = 

 

x0+ε 

x0−ε 

C · δ(x − x0) ψ(x) dx = C ψ(x0) 

EinsolchesPotentialwirdz.B.verwendet,umPotentialbarrierenzubeschreiben.DamitwirdausGl.(4.5)einSprunginderAbleitungvon 

ψ(x): 

 

lim ψ 

ε→0 

′ (x0 + ε) − ψ ′ 

(x0 − ε) 

= 2m 

2 C ψ(x0) (4.6) 

4) DieWellenfunktionverschwindetbeiunendlichemPotential 

Wenn V (x) = ∞ineinemIntervall x ∈ (xa, xb),dannverschwindetdie 

WellenfunktionimdiesemIntervall,dasonstdiepotentielleEnergieunendlichwäre. 

5) Unstetigkeitvon dψ 

dx amRandeinesunendlichenPotentials 

Wenn V (x) = ∞ineinemIntervall x ∈ (xa, xb),dannistzwardieWellenfunktionNullimIntervall,undüberallstetig,aberdieAbleitungwirdin 

derRegelandenGrenzendesIntervallsunstetigsein. 

RandbedingungendreidimensionalerProbleme 

AusähnlichenÜberlegungenfolgtebensoindreiDimensionen,dassdie 

WellenfunktionundderenpartielleAbleitungenüberallstetigseinmüssen,wenndasPotentialüberallendlichist.WeitereallgemeineEigenschaftenderWellenfunktionwerdenwirspäterbesprechen. 

93

4.2 KonstantesPotential 


BesonderswichtigbeiPotentialproblemenistderFall,dassdasPotential 

ineinemIntervallkonstantist.WirbehandelndaseindimensionaleProblem.Esseialso 

V (x) = V =konst. für a < x 

IndiesemIntervallwirddanndieSchrödingergleichungGl.(4.3)zu 

− 2 

2m ψ′′ (x) = (E − V ) ψ(x) , (4.7) 

mitderallgemeinenLösung 

LÖSUNGDERSCHRÖDINGERGLEICHUNGFÜRKONSTANTES 

κ x 

ψ(x) = a1 e 

i k x 

= a2 e 

POTENTIAL 

−κ x 

+ b1 e 

−i k x 

+ b2 e 

(4.8a) 

(4.8b) 

= a3 cos(kx) + b3 sin(kx) , (4.8c) 

mit k 2 = −κ 2 = 2m 

(E − V ) (4.8d) 

2 DiesedreiLösungensindäquivalent! 

Wenn E < V,dannist κreell,unddieFormulierungdererstenZeileist 

bequem.DieWellenfunktion ψ(x)hatdannimIntervall [a, b]i.a.exponentiellansteigendeundabfallendeAnteile! 

Wenn E > V,dannist kreell,unddiezweiteoderdritteZeilesind,jenach 

Randbedingugen,bequemeFormulierungen.DieWellenfunktionzeigtdann 

imIntervall [a, b]oszillierendesVerhalten. 

94


4.3 GebundeneZuständeimPotentialtopf 

4.3.1 PotentialtopfmitunendlichhohenWänden 

DerPotentialtopfmitunendlichhohenWänden,derinAbbildung(4.1) 

skizziertist,kannalsstarkidealisierterFestkörperbetrachtetwerden.Die 

ElektronenverspüreneinkonstantesPotentialimFestkörperundwerden 

durchunendlichhoheWändedarangehindert,denFestkörperzuverlassen.DasPotentiallautet 

Abbildung4.1:PotentialtopfmitunendlichhohenWänden 

V (x) = 

V0 = 0 für 0 < x < L 

∞ sonst 

Esgibtalsodiedreiskizzierten,qualitativverschiedenenTeilgebiete.Eine 

oftsinnvolleStrategiebeisolchenPotentialproblemenist,zuerstallgemeineLösungenfürdieWellenfunktionindenTeilgebietenzufinden,und 

diesedannmitdenRandbedingungengeeignetzusammenzusetzen. 

DieEnergie E,alsoderEigenwertvon ˆ H,istnichtortsabhängig!(Sonst 

wärez.B.dieStetigkeitvon ψ(x, t)zuanderenZeitenverletzt). 

FürdenunendlichhohenPotentialtopffindenwir: 

GebieteI&III:Hierist V (x) = ∞unddaher ψ(x) ≡ 0,dasonst 

 

Epot = V (x) |ψ(x)| 2 dx = ∞ 

GebietII:HieristdasPotentialkonstant. 

95


1.Versuch:Wirsetzen E < V0 = 0anundverwendenGl.(4.8a): 

mitreellem κ = 

2m 

2 (V0 − E). 

ψ(x) = a e κx + b e −κx 

DieStetigkeitderWellenfunktionbei x = 0verlangt ψ(0) = 0,also a = −b. 

DieStetigkeitbei x = Lverlangt ψ(L) = 0,also e κL − e −κL = 0.Daraus 

folgt κ = 0unddamit ψ(x) = a(e 0 − e 0 ) ≡ 0.WirfindenalsokeineLösung 

mit E < 0!Späterwerdenwirallgemeinsehen,dassbeigebundenen 

ZuständendieEnergie EimmergrößeralsdasMinimumdesPotentials 

seinmuss. 

2.Versuch:Wirsetzen E > V0 = 0anundverwenden(wegenderRandbedingungen)Gl.(4.8c): 

ψ(x) = a sin kx + b coskx (4.9) 

mit k = 

 

2mE 

, a, b ∈ C . 

2 

DieWellenfunktionmussmehrereBedingungenerfüllen: 

1.DieStetigkeitderWellenfunktionergibthierdieRandbedingungen 

ψ(0) = 0und ψ(L) = 0,unddaher 

b = 0 

a sin(kL) = 0 . 

DiezweiteBedingungzusammenmitderNormierungkannnurmit 

sin(kL) = 0erfülltwerden,damit a = 0dieWellenfunktionwieder 

identischverschwindenwürde.Alsomuss k = nπ 

L miteinerganzzahligenQuantenzahlngelten,diedengebundenenZustandcharakterisiert.DerWert 

n = 0istausgeschlossen,dadannwieder ψ ≡ 0 

wäre.Wirkönnenunsaufpositive nbeschränken,dennnegative n 

ergebenmit sin(−nkx) = −sin(nkx)bisaufdiePhase (−1)dieselbe 

Wellenfunktion. 

2.DieAbleitungderWellenfunktiondarfbei x = 0und x = Lbeliebig 

unstetigsein,dadortdasPotentialunendlichist.Hierauserhalten 

wirimvorliegendenFallkeineweiterenBedingungenan ψ. 

96


3.NormierungderWellenfunktion:Zumeinenmuss ψ(x)überhaupt 

normierbarsein,wasindemendlichenIntervall [0, L]keinProblem 

ist.ZumanderenkönnenwirdieNormierungskonstante ainAbhängigkeitvonderQuantenzahl 

nberechnen: 

1 = 〈ψ|ψ〉 = 

= |a| 2 

L 

0 

2 L 

= |a| 

nπ 

2 L 

= |a| 

nπ 

∞ 

−∞ 

dx |ψ(x)| 2 

dx sin 2 ( nπ 

L x) 

nπ 

0 

nπ 

2 

dy sin 2 y mit y = nπ 

L x 

= |a|2 L 

2 . 

Also |a| 2 = 2,mitbeliebigerPhasefür 

a,welcheswirreellwählen. 

L 

Insgesamterhaltenwirdie 

LÖSUNGFÜREINTEILCHENIMUNENDLICHHOHENPOTENTIALTOPF 

ψn(x) = 

kn = nπ 

L 

2 

L sin(knx) , 0 < x < L ; (ψ(x) = 0sonst) (4.10) 

En = 2π2 n2 

2mL2 ; n = 1, 2, . . . (4.11) 

(4.12) 

DerImpulszurLösung ψnist pn = kn.EssindalsohierEnergieund 

Impulsquantisiert,mitnurdiskretenmöglichenWerten,inAbhängigkeit 

vonderQuantenzahl n.DieEnergienimmtmit n 2 zuundmit 1/L 2 ab. 

InAbbildung(4.2)sindWellenfunktionenzudendreitiefstenEigenwertendargestellt.Mannerkennt,dassdieWellenfunktiondesGrundzustandsnuramRandNullwird.BeijederAnregungkommteinweitererNulldurchgang(„Knoten")hinzu. 

97


Abbildung4.2:WellenfunktionenzudendreiniedrigstenEigenwerten.Hier 

sinddünndieEigenenergiengezeichnet,undaufHöhederEigenenergienjeweils 

dieWellenfunktionen. 

KraftübertragungaufdieWände 

DieKrafterrechnetsichausderEnergie 

F = − dE 

dL 

= 2π2n2 2 

· 

2m L3 = 2π2n2 mL3 . 

DieEnergieeinesZustandsisteineinembreiterenTopfgeringer.DeswegenwirkteineKraftaufdieWände,dieversucht,sieauseinanderzuschieben! 

98

4.3.2 PotentialtopfmitendlicherTiefe 

WirbetrachtennuneinenPotentialtopfmitendlicherTiefe 

V (x) = 

V0 < 0 für |x| ≤ L 

2 

0 sonst 


, (4.13) 

wieerinAbbildung(4.3)skizziertist.WirhabenhierdenKoordinatenur- 

Abbildung4.3:PotentialtopfendlicherTiefe. 

sprungimVergleichzumvorherigenBeispielum − L 

2 verschoben.DadurchwirddasPotentialinxsymmetrischunddieRechnungenvereinfachensich.WirbehandelnindiesemAbschnittgebundeneZustände,das 

heißtimFalldesvorliegendenPotentials E ≤ 0.DerandereFall(E > 0) 

wirdanschließendbesprochen.Wirwerdenbaldallgemeinzeigen,dass 

dieEnergieeinesgebundenenZustandsgrößeralsdasPotential-Minimum 

seinmuss,insgesamtalsohier V0 < E ≤ 0. 

WirunterscheidenwiederdiedreiBereichekonstantenPotentials,wiein 

Abbildung(4.3)skizziert.DieSchrödingergleichunglautetbeikonstantem 

Potential 

− 2 

2m ψ′′ (x) = (E − V ) ψ(x) , 

99

wieinAbschnitt4.2besprochen. 


IndenBereichenIundIIIist V = 0unddieallgemeineLösunghatdie 

Form 

mit κ = 

ψ(x) = A1e −κx + A2e +κx 

2m(−E) 

2 

(4.14) 

und E < 0.ImBereichImuss A1 = 0sein,dadieWellenfunktionansonstenfür 

x → −∞exponentiellanwachsenwürdeundsomitnichtnormierbarwäre.AusdemselbenGrundist 

A2 = 0imBereichIII. 

ImBereichIIist V = V0 < 0unddieallgemeineLösunglautet 

ψ(x) = B1e ikx + B2e −ikx 

 

2m 2m 

mit k = (E − V0) = (|V0| − |E|) 

DiegesamteWellenfunktionenistsomit 

⎧ 

⎪⎨ 

ψ(x) = B1 e 

⎪⎩ 

ikx + B2 e−ikx ; −L 2 

2 

2 

A1 eκx ; x < −L 2 

L ≤ x ≤ 2 

A2 e−κx ; x > L 

2 

. (4.15) 

. (4.16) 

DenGrenzfall E = 0müssenwirvorabseparatdiskutieren.Hierbeiist 

κ = 0.DieWellenfunktionistdannindenäußerenBereichenIundIII 

konstant.DieKonstantemussNullsein,dadieWellenfunktionsonstnicht 

normierbarwäre.DieAbleitungderWellenfunktionistdannindenBereichenIundIIIebenfallsNull.Bei 

x = ± L 

2müssenbeidestetigsein.Damit istdasProblemimBereichIIsowiebeimPotentialtopfproblemmitunendlichhohenWänden.VondenLösungendiesesProblemswissenwirbereits,dassnurdieWellenfunktionenandenPotentialwändenverschwinden,nichtaberihreAbleitungen.WennauchdieAbleitungverschwindet,istdieWellenfunktionkomplettNull.DiesistaberkeinephysikalischakzeptableLösung.DahergibteskeineLösungzu 

E = 0.Wirhabendeshalb 

dieEinschränkung V0 < E < 0. 

Wiewirbaldzeigenwerden,kannmanbeieinemsymmetrischenPotential(V 

(x) = V (−x))dieEigenfunktionenvon Hinsymmetrischeundanti- 

100


symmetrischeFunktionentrennen.DieWellenfunktionenlautendann 

⎧ 

⎪⎨ As e 

symmetrisch ψs(x) = 

⎪⎩ 

κx ; x ≤ −L 2 

Bs cos(kx) ; −L L ≤ x ≤ 2 2 

(4.17a) 

⎧ 

⎪⎨ 

anti-symmetrisch ψa(x) = 

⎪⎩ 

ψ ′ 

s (L 

2 ) : −As 

L 

−κ( e 2 ) = −k κ Bs sin(k L 

2 ) 

As e −κx ; x ≥ L 

2 

Aa eκx ; x ≤ −L 2 

Ba sin(kx) ; −L L ≤ x ≤ 2 2 

−Aa e−κx ; x ≥ L 

2 

(4.17b) 

NunwertenwirdieRandbedingungenzurBestimmungderKonstanten 

aus 

ψs( L 

2 ) : As 

L 

−κ( e 2 ) = Bs cos(k L 

2 ) 

⎫ 

⎪⎬ 

κ 

⇒ tan(kL ) = 

⎪⎭ 2 k 

ψa( L 

2 ) : −Aa 

L 

−κ( e 2 ) = Ba sin(k L 

2 ) 

ψ ′ 

a (L 

2 ) : Aa 

L 

−κ( e 2 ) = k 

κ Ba cos(k L 

2 ) 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

⇒ tan(kL ) = −k 

2 κ 

(4.18a) 

(4.18b) 

Bei x = −L 2 ergebensichkeineneuenBeziehungen.DiesebeidenGleichungenlieferndieQuantisierungsbedingungenfürdieerlaubtenEnergieeigenwerte.EsgibtallerdingskeinedirektealgebraischeLösungfürdieEigenenergien.Mankannsienumerischbestimmen.SehrvielmehrersiehtmanaberauseinergraphischenDarstellung.Dazuistessinnvoll,zu 

dimensionslosenGrößenüberzugehen.Wirdefinieren η = k L 

2unddrücken dieEnergie EüberGl.(4.15)durch ηaus 

 

2m 

2 η = k L 

2 = 

 

(|V0| − |E|) 

k2 = 4 

L2 η2 = 2m 

2 

|V0| − |E| 

 

2 mL |V0| 

⇒ 2m 

2 |E| = 4 

L 2 

⇒ 

κL 

2 

≡ L 

2 

2 2 

−η 2 

 

eV0 

2 

= V0 − η2 . 

2m|E| 

101

tan(η) 

10 

5 

0 

−5 

κ/k 


−k/κ 

−10 

0 2 4 6 8 10 

Abbildung4.4:GraphischeBestimmungderEnergie-EigenwerteimPotential- 

 

topf.Aufgetragenist tan(η)über η ∈ (0, V0)undaußerdemdieFunktionen 

− k κ 

und κ k .Eswurde V0 = 100gewählt. 

DieGröße V0istebenfallsdimensionslos.SiespezifiziertdieTiefedesPotentialsin„natürlichen”EinheitendesSystems.DiezurWellenzahlproportionaleVariableηparametrisiertdieLösungen.DerBereichdererlaub- 

 

tenEnergien, V0 ≤ E < 0,korrespondiertzumWertebereich 0 < η < V0. 

 

Bei η = V0wird κ = 0. 

ZusammenmitGl.(4.14)wirdausdenBedingungsgleichungen(4.18a) 

und(4.18b) 

 

V0 − η2 symmetrisch: tan(η) 

anti-symmetrisch: tan(η) 

! 

= 

! 

η 

= − 

κ L 

2 

k L 

2 

k L 

2 

κ L 

2 

= 

η 

η 

= − 

V0 − η2 DiegraphischeLösungdieserGleichungenerhältmanausdenSchnittpunktenderinAbbildung(4.4)dargestelltenKurven 

κbzw. 

−k 

k κmitder 

Kurvezu tan(η)imBereich 0 < η < V0. 

102 

.


 

SymmetrischeLösungen:Wenn ηvon 0bis V0variiert,nimmt κ 

kdieWerte ∞bisNullan.Dahertrittunabhängigvon V0immereinSchnittpunktmit 

tanηauf.Esexistiertsomitimmermindestenseinsymmetrischer,gebundener 

Zustand.WirkönnenleichtdieZahldergebundenenZuständebeigegebenemPotentialparameter 

V0bestimmen:DerTangenshatNullstellenbei 

η = nπ.DieZahlderSchnittpunktevon κ 

mit tan(η)nimmtimmerum 

k Einszu,wennderMaximalwertvon η,also V0,dieWerte nπüberschrei- 

√ 

eV0 

tet.DieZahldersymmetrischenEigenwerteistsomit N+ = int( + 1). 

AntisymmetrischeLösungen:DieZahlderSchnittpunktevon −kmit tan(η) 

 

κ 

wächstumEins,wenn V0dieWerte nπ +π/2überschreitet.DieZahlder 

√ 

eV0 

anti-symmetrischenEigenwerteistdemnach N+ = int( + 1/2). 

ZurFestlegungderWellenfunktionGl.(4.17)nutzenwirdieStetigkeitsbedingungenGl.(4.18a)undGl.(4.18b) 

L 

κ 

As = Bs e 2 cos(k L 

2 ) 

L 

κ 

Aa = −Ba e 2 sin(k L 

2 ) 

ausunderhaltendarausmitderdimensionslosenLänge ξ = x/( L 

2 )und 

η = k L 

2 

⎧ 

⎪⎨ 

Ψs(ξ) = Bs 

⎪⎩ 

cos(η) e κ(ξ+1) , ξ < −1 

cos(ηξ) , −1 ≤ ξ ≤ +1 

cos(η) e −κ(ξ−1) , ξ > +1 

⎧ 

⎪⎨ − sin(η) e 

Ψa(ξ) = Ba 

⎪⎩ 

κ(ξ+1) , ξ < −1 

sin(ηξ) 

sin(η) e 

, −1 ≤ ξ ≤ +1 

−κ(ξ−1) , ξ > +1 

DieParameter Ba,sergebensichausderNormierung. 

π 

π 

(4.19a) 

. (4.19b) 

DiemöglichengebundenenZuständedesPotentialtopfsmit V0 = 13sind 

inderAbbildung(4.5)dargestellt.DieWellenfunktionzurtiefstenEnergieistsymmetrisch.SiehatkeineNullstelle.DieZahlderNullstellenist 

103


Abbildung4.5:Wellenfunktionen Ψn(ξ)zudendreiEigenwerten EndesPotentialtopfesmiteinerPotentialhöhe 

V0 = 13. 

n − 1,wobeidieQuantenzahl n = 1, 2, 3 . . . dieerlaubtenEnergien En 

durchnumeriert.InAbbildung(4.5)gibtdieNull-LiniederWellenfunktionengleichzeitigaufderrechtenAchsediezugehörigeEigenenergie 

En 

an.IndenverwendetenEinheitenbefindensichdiePotentialwändebei 

±1.Manerkennt,dassdieWellenfunktionmitsteigenderQuantenzahl n 

zunehmendausdemPotentialbereichhinausragt. 

4.4 EigenschaftenderEinteilchen-Wellenfunktion 

NachdemwirandenBeispielendeseindimensionalenPotentialtopfestypischeLösungenderSchrödingergleichunggesehenhaben,stellenwirnuneinigeallgemeineEigenschaftenderWellenfunktionzusammen.DieRandbedingungenwurdenschoninAbschnitt4.1besprochen. 

4.4.1 UntereSchrankefürdieEnergieneinesPotentialproblems 

DieEigenwertgleichungdesHamiltonoperatorslautet 

ˆP 2 

2m + V ( 

X) ˆ |ΨE〉 = E |ΨE〉 . 

104


Wirmultiplizierenvonlinksmit 〈ΨE|underhaltenunterderAnnahme, 

dassdieEigenvektorenaufEinsnormiertsind 

E = 1 

2m 〈ΨE| ˆ P 2 |ΨE〉 + 〈ΨE| V ( ˆ X) |ΨE〉 . 

DieOperatoren ˆ PαsindhermiteschundhabenalssolchereelleEigenwer- 

te.DemzufolgesinddieEigenwertevon Pˆ 2größerodergleichNull.Das liefertdieUngleichung 

E ≥ 〈ΨE| V ( 

X) ˆ |ΨE〉 = Ψ ∗ E (x) V (x) ΨE(x) d D x 

 

Ψ ∗ E(x) ΨE(x) d D x 

≥ Vmin 

≥ Vmin . 

Hierbeiist VminderMinimalwertdesPotentials.DieGleichheitkannnur 

vorliegen,wenn 〈ΨE| ˆ Pα 2 |ΨE〉 = 0für α = 1, 2, 3,d.h.wenndieuntere 

SchrankeallerdreiErwartungswerteangenommenwird.Dasistnurder 

Fall,wenn |ΨE〉Eigenvektoraller ˆ P 2 α zumEigenwertNullist.DieseEigenfunktionhatdieallgemeineGestalt 

ΨE=0(x) = a0 + 

3 

α=1 

bαxα + 

α=β 

α,β=1 

cαβxαxβ 

undistnichtnormierbar.WirhabensomitdasErgebnis 

FÜRDIEENERGIE-EIGENWERTENORMIERBARERZUSTÄNDEGILT 

E > min 

x V (x) . (4.20) 

4.4.2 GebundeneZuständein1dsindnichtentartet 

Wirzeigen,dasseindimensionalePotentialproblemekeine„entarteten"gebundenenEigenzuständebesitzen,d.h.mehrerelinearunabhängigege- 

105


bundeneZuständezurselbenEnergie.DazugehenwirvomGegenteilaus 

undnehmenan,esgäbezweientarteteEigenvektoren ψ1und ψ2zumselbenEigenwert 

E,d.h. 

− 2 

2m ψ′′ 

1 (x) + V (x)ψ1(x) = Eψ1(x) (4.21a) 

− 2 

2m ψ′′ 

2 (x) + V (x)ψ2(x) = Eψ2(x) . (4.21b) 

MultiplizierenwirGleichung(4.21a)vonlinksmit ψ2undGleichung(4.21b) 

mit ψ1undsubtrahierendieseGleichungenvoneinandersoerhaltenwir 

⇒ 

− 2 

2m 

′′ 

′′ 

(ψ2(x)ψ 1 (x) − ψ1(x)ψ 2 (x)) = 0 

d 

dx (ψ2(x)ψ ′ 1 (x) − ψ1(x)ψ ′ 2 (x)) = 0 

⇒ ψ2(x)ψ ′ 1 (x) − ψ1(x)ψ ′ 2 

(x) = c 

DieKonstante cistunabhängigvon xundlässtsichinsbesondereaus 

demVerhaltenfür x → ∞bestimmen.ImFallegebundenerZuständeverschwindendieWellenfunktionenundihreAbleitungenimUnendlichen. 

Darausfolgt 

undsomit 

 

c = lim 

x→∞ 

ψ2(x)ψ ′ 1 (x) − ψ1(x)ψ ′ 2 (x) 

 

= 0 . 

ψ2(x)ψ ′ 1(x) = ψ1(x)ψ ′ 2(x) 

ψ ′ 1 (x) 

ψ1(x) = ψ′ 2 (x) 

ψ2(x) 

d 

dx ln ψ1(x) = d 

dx ln ψ2(x) . 

DieDifferentialgleichungkannunmittelbarintegriertwerden 

ln ψ1(x) = ln ψ2(x) + d 

ψ1(x) = ψ2(x) · e d ∝ ψ2(x) 

Dasheißt,dassdiebeidenZuständesichnurdurcheinenPhasenfaktor 

unterscheidenundphysikalischidentischsind.Diesbeweistdieeingangs 

aufgestellteBehauptung. 

106


4.4.3 ExistenzreellwertigerWellenfunktionenin1d 

InbeliebigerDimensiongilt,dasszujederLösung ψ(x)auch ψ ∗ (x)Lösung 

derSchrödingergleichung 

− 2 

∆ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 

2m 

ist,wennkeinmagnetischesFeldanliegt.IndiesemFallgilt V (x) = V ∗ (x) 

unddiekonjugiertkomplexeSchrödingergleichunglautet 

− 2 

2m ∆ψ(x)∗ + V (x)ψ(x) ∗ = Eψ(x) ∗ 

D.h., ψ ∗ (x)erfülltunabhängigvonderDimensiondesProblemsdieselbe 

Schrödingergleichungwie ψ(x)zurselbenEnergie.DamitistauchjedeLinearkombinationLösungdesEigenwertproblemszurselbenEnergie.Wir 

könnenspezielldiereellwertigenKombinationen 

wählen. 

ψr(x) = ψ(x) + ψ∗ (x) 

2 

ψi(x) = ψ(x) − ψ∗ (x) 

2i 

BeieindimensionalenProblemengiltfürdiegebundenenZuständezusätzlich,dasienichtentartetseinkönnen,dassbeideLösungenidentisch 

sind.Wirhabensomitgezeigt: 

DieWellenfunktionendergebundenenZuständeeineseindimensionalen 

PotentialproblemsohneMagnetfeldkönnenimmerreellgewähltwerden. 

WieinAbschnitt4.4.5gezeigtwird,verschwindetindiesemFallauchder 

Strom,unddieAufenthaltswahrscheinlichkeitistzeitunabhängig. 

107 

.


4.4.4 Paritätsoperator.ParitätderWellenfunktionenbei 

symmetrischenPotentialen 

Wirwollenhieruntersuchen,welcheallgemeinenEigenschaftenmanableitenkann,wenndasPotentialsymmetrischist,d.h.wenn 

V (−x) = V (x). 

WirbetrachtenzunächstdenParitäts-Operator ˆ S(oftauch Pgenannt),der 

imArgumenteinerFunktioneineSpiegelungamKoordinaten-Ursprung 

bewirkt 

ˆS ψ(x) := ψ(−x) ⇔ 〈x| ˆ S |ψ〉 = ψ(−x) ⇔ 〈x| ˆ S = 〈−x| (4.22) 

WenndasPotentialsymmetrischist,d.h. V (x) = V (−x),dannvertauscht 

ˆSmitdemHamiltonoperator H(s.Übungen).Darausfolgt,dass Hund ˆ S 

einengemeinsamen,vollständigenSatzvonEigenvektorenbesitzen. 

EinigeEigenschaftenderEigenzuständevon ˆ Slassensichleichtbestimmen. 

DieEigenwertgleichunglautet 

ˆS |ψs〉 = s |ψs〉 . 

Aus ˆ S 2 = ˆ1folgt s 2 = 1,d.h.,dieEigenwertedesParitäts-Operators ˆ Ssind 

s = ±1.Dasbedeutetmit 

ψs(−x) = 〈x| ˆ S |ψs〉 = ±ψs(x) , 

aberauch,dassdieEigenvektorenvon ˆ SinderOrtsraumdarstellungsymmetrischebzw.anti-symmetrischeFunktionensind.MansprichtvonWellenfunktionengeraderbzw.ungeraderParität.DaeseingemeinsamesSystemvonEigenvektorenvon 

ˆ Sund Hgibt,gilt: 

BeieinemsymmetrischenPotentialkannmandieEigenvektorenvon Hso 

wählen,dasssiegeradebzw.ungeradeParitätbesitzen. 

WennEigenwertevonHentartetsind,könnendieWellenfunktionenunterschiedlicherParitätgemischtwerden.Beinicht-entartetenEigenwertenerhältmanjedochzwingendEigenfunktionenfesterParität.DasgiltinsbesonderefürgebundeneZuständeineindimensionalenPotentialproblemen. 

108


4.4.5 Wahrscheinlichkeits-StromundKontinuitätsgleichung 

WirbetrachteneinTeilchenineinemzeitunabhängigenäußerenPotentialohneMagnetfeld.DannistderHamiltonoperatorreell. 

1 DieSchrödingergleichungundihrkomplexKonjugierteslautendann 

− i 

 

 

 

i 

 

− 2 

2m 

− 2 

2m 

 

∆ + V (x) Ψ(x, t) = ∂ 

Ψ(x, t) (4.23a) 

∂t 

 

∆ + V (x) Ψ ∗ (x, t) = ∂ 

∂t Ψ∗ (x, t) (4.23b) 

DieWahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t),dasquantenmechanischeTeilchen 

zurZeit tamOrt xanzutreffen,istbekanntlichgegebendurch 

ρ(x, t) = |Ψ(x, t)| 2 

(4.24) 

WirberechnennundiezeitlicheAbleitungderWahrscheinlichkeitsdichte. 

AusGl.(4.23a)undGl.(4.23b)erhaltenwir 

∂ ∂ 

ρ(x, t) = ( 

∂t ∂t Ψ∗ (x, t)) · Ψ(x, t) + Ψ ∗ (x, t) · ∂ 

Ψ(x, t) 

∂t 

= i 

− 

 

2 

 

∆ + V (x) Ψ 2m ∗ 

(x, t) · Ψ(x, t) 

 

∆ + V (x) Ψ(x, t) 

 

−Ψ ∗ 

(x, t) − 2 

2m 

= −i 

 

Ψ(x, t)∆Ψ 

2m 

∗ (x, t) − Ψ 

 

z 

∗ (x, t)∆Ψ(x, t) 

 

z∗ 

= −i 

2m (−2i)Im 

 

Ψ ∗ 

(x, t)∆Ψ(x, t) 

= − 

m Im 

 

Ψ ∗ 

(x, t)∆Ψ(x, t) 

1 DasistnichtmehrderFall,wenneinmagnetischesFeldanliegt,weildannderIm- 

pulsoperatoran Akoppelt(Gl.(3.16)). 

109 

.

DierechteSeitekannmitderIdentität 

 

∇Im Ψ ∗ (x, t) 

∇Ψ(x, t) = Im ∇ Ψ ∗ (x, t) 

∇Ψ(x, t) 


 

= Im ( ∇Ψ(x, t)) ∗ ( ∇Ψ(x, t)) +Ψ 

 

∗ (x, t) ∇ ∇ 

= Im 

∈R 

 

Ψ ∗ 

(x, t) ∆ Ψ(x, t) 

 

∆ 

weitervereinfachtwerden,undwirerhaltenschließlichdieKontinuitätsgleichungmitdersogenanntenWahrscheinlichkeitsstromdichtej(x, 

t) 

KONTINUITÄTSGLEICHUNG 

 

Ψ(x, t) 

∂ 

∂t ρ(x, t) = − ∇j(x, t) (4.25a) 

j = 

m Im 

 

Ψ ∗ (x, t) 

∇ Ψ(x, t) (4.25b) 

Esistinteressant,dieWellenfunktionnachBetragundPhasezutrennen: 

Ψ(x, t) = i ϕ(x,t) 

ρ(x, t) e 

⇒ Ψ ∗ (x, t) ∇Ψ(x, t) = ρ(x, t)e −iϕ(x,t) 

 

∇ 

ρ(x, t) e iϕ(x,t) 

 

Im 

Ψ ∗ (x, t) 

∇Ψ(x, t) 

+ ρ(x, t)e −iϕ(x,t) ρ(x, t)e iϕ(x,t) i ∇ϕ(x, t) 

(4.26) 

= 

ρ(x, t) ∇ 

ρ(x, t) + 

 

∈R 

 

ρ(x, t) ρ(x, t) i ∇ϕ(x, t) 

= ρ(x, t) ∇ϕ(x, t) 

⇒ j(x, t) = 

m ρ(x, t) ∇ϕ(x, t) (4.27) 

DerStromwirdvonderPhase"getragen".WenndieWellenfunktionreell 

110


ist,dannistdiePhase ϕNull,unddamitauchderStrom.DannverschwindetauchdieDivergenzdesStromesundmitderKontinuitätsgleichung 

ebenfallsdieZeitabhängigkeitderWahrscheinlichkeitsdichte: 

ϕ = 0 ⇒ j(x) = 0 ⇒ ∇j(x, t) = 0 ⇒ ∂ 

.Esgiltdaher 

ρ(x, t) = 0 

∂t 

ReelleWellenfunktionenliefernkeinenStrom. 

BeireellenWellenfunktionenist ρ(x, t)zeitunabhängig. 

StrommitelektromagnetischemFeld 

Essollnocherwähntwerden,wiedieKontinuitätsgleichungaussieht,wenn 

einelektromagnetischesFeldanliegt.IndiesemFallgehendasPotential 

undderImpulsgemäßGl.(3.16)überin 

V (x) −→ V (x) + q Φ(x) 

 

skalaresPotential 

ˆP −→ Pˆ − q A(x) 

 

. 

Vektorpotential 

( Pˆ − qA) 2 

enthältdieKopplung ˆP A.DieKontinuitätsgleichungbleibtin 

 

AnwesenheitdeselektromagnetischenFeldesweitergültig,esändertsich 

lediglichdieWahrscheinlichkeitsstromdichte: 

j(x, t) = 

m Im 

 

Ψ ∗ (x, t) 

∇Ψ(x, t) − q 

m A ρ(x) . (4.28) 

ZusätzlichzudemTerm,denwirbereitsabgeleitethaben,trägtnochdas 

VektorpotentialzurStromdichtebei. 

111

4.5 FreieTeilchen 


Wirbetrachtenjetztnicht-gebundeneTeilchen.WenndasPotentialkonstant 

ist,d.h.unabhängigvomOrt,sinddieTeilchenfrei.MittelseinerVerschiebungdesEnergienullpunkteskannmandasPotentialaufNullschieben. 

WirbetrachtendaherderEinfachheithalberdenFall V = 0,sowie1Dimension.IndreiDimensionenmussman 

xund kdurch xund kersetzen. 

DieLösungenderSchrödingergleichungfüreinkonstantesPotentialhabenwirschoninAbschnitt4.2kennengelernt.WenneskeineOrtsabhängigkeitimPotentialgibt,machenexponentielleLösungen,diezu 

x = −∞ 

oder x = ∞hindivergieren,keinenSinn.FreieTeilchenwerdendurchdie 

oszillierendenLösungenderSchrödingergleichungbeschrieben: 

mit k = 

ψ(x) = a e ikx + be −ikx 

2mE 

2 und E > 0 . 

EinsolcherZustandistnichtnormierbar 

 

+∞ 

−∞ 

|ψ(x)| 2 dx = ∞ . 

(4.29) 

ErbeschreibtnichteineinzelnesTeilchen,sondern,wiewirgleichsehen 

werden,rechts-undlinkslaufendeStrömevonunabhängigenTeilchenfesterEnergie 

E,inderArtvonebenenWellen. 

FürdiestationäreSchrödingergleichungistdieZeitabhängigkeitdesZustandesGl.(4.3) 

i 

− 

Ψ(x, t) = e Et ψ(x) . 

DiesisteineSchwingungderForm e −i ωt mit 

E = ω = h ν . (4.30) 

FürdieWellenfunktionGl.(4.35)lautetdieZeitentwicklung 

Ψ(x, t) = a e i(kx−ωt) + b e −i(kx+ωt) . (4.31) 

112

OrtkonstanterPhase 


Wiruntersuchen,wiesichbeidenebenenWellenGl.(4.37)derOrt ˜xfester 

Phasezeitlichverändert.WirbetrachtenzunächstdenTerm e i(kx−ωt) : 

kx − ωt = const ⇒ x = ω const 

t + 

k k 

= vPhase t + x0 

DieseGleichungdefinierteinetypischeGeschwindigkeitdesProblems: 

PHASENGESCHWINDIGKEIT 

vPhase = ω 

k 

(4.32) 

DerTerm e i(kx−ωt) ,mitdieserpositivenPhasengeschwindigkeit,beschreibt 

einerechts-laufendeWelle,dafürkonstantePhasebeizunehmenderZeit t 

auchderOrt xzunimmt.DazukorrespondierendistdieFunktion e i(kx−ωt) 

eineEigenfunktionderImpulsoperatorsmitEigenwert p = k. 

EntsprechendbeschreibtderTerm e −i(kx+ωt) einelinkslaufendeWellemit 

Impuls −k. 

Wahrscheinlichkeitsstromdichte 

ZunächstbestimmenwirdenBeitrag,dervonderrechtslaufendenWelle 

geliefertwird 

ψr = a e i k x e −iωt 

jr = 

m Im 

 

∗ d 

ψ 

dx ψ 

 

= 

m |a|2 2 k 

· k = |a| 

m 

= 

m |a|2 

Im ψ ∗ ik e −i k x 

i k x 

e 

= |a|2 p 

m . 

2 −p 

AnalogliefertdielinkslaufendeWelledieStromdichte jl = |b| m . 

113



DiequantenmechanischeWellenfunktionGl.(4.35)istperiodischmitder 

Wellenlänge λ = 2π/k.MaterieteilchenmitImpuls phabenalsoeineWellenlänge 

λ = h 

p !Diesistdie 

λ = 2π 

k 

= h 

p = 


h 

√ 2mEkin 

(4.33) 

AuchfürPhotonengiltdieseBeziehung:siebesitzeneinenimExperiment 

messbarenImpulsderGröße p = k = 2π 

λ . 

BeiMaterieteilchenmitImpuls perscheintdiecharakteristischeLängenskalaλz.B.imDoppelspaltexperiment,oderz.B.beiderStreuungvonTeilchenmitImpuls 

paneinemKristall.ManerhältdorteinInterferenzbild 

(Davisson-Germer-Experiment)wiebeiPhotonenmitdemselbenImpuls! 





0.28 ◦ 

A 

Ekin/eV 

12 ◦ 

A 

Ekin/eV 

380 ◦ 

A 

Ekin/eV 

114 

(4.34)

4.6 FreieTeilchen 


Wirbetrachtenjetztnicht-gebundeneTeilchen.WenndasPotentialkonstant 

ist,d.h.unabhängigvomOrt,sinddieTeilchenfrei.MittelseinerVerschiebungdesEnergienullpunkteskannmandasPotentialaufNullschieben. 

WirbetrachtendaherderEinfachheithalberdenFall V = 0,sowie1Dimension.IndreiDimensionenmussman 

xund kdurch xund kersetzen. 

DieLösungenderSchrödingergleichungfüreinkonstantesPotentialhabenwirschoninAbschnitt4.2kennengelernt.WenneskeineOrtsabhängigkeitimPotentialgibt,machenexponentielleLösungen,diezu 

x = −∞ 

oder x = ∞hindivergieren,keinenSinn.FreieTeilchenwerdendurchdie 

oszillierendenLösungenderSchrödingergleichungbeschrieben: 

mit k = 

ψ(x) = a e ikx + be −ikx 

2mE 

2 und E > 0 . 

EinsolcherZustandistnichtnormierbar 

 

+∞ 

−∞ 

|ψ(x)| 2 dx = ∞ . 

(4.35) 

ErbeschreibtnichteineinzelnesTeilchen,sondern,wiewirgleichsehen 

werden,rechts-undlinkslaufendeStrömevonunabhängigenTeilchenfesterEnergie 

E,inderArtvonebenenWellen. 

FürdiestationäreSchrödingergleichungistdieZeitabhängigkeitdesZustandesGl.(4.3) 

i 

− 

Ψ(x, t) = e Et ψ(x) . 

DiesisteineSchwingungderForm e −i ωt mit 

E = ω = h ν . (4.36) 

FürdieWellenfunktionGl.(4.35)lautetdieZeitentwicklung 

Ψ(x, t) = a e i(kx−ωt) + b e −i(kx+ωt) . (4.37) 

115

OrtkonstanterPhase 


Wiruntersuchen,wiesichbeidenebenenWellenGl.(4.37)derOrt ˜xfester 

Phasezeitlichverändert.WirbetrachtenzunächstdenTerm e i(kx−ωt) : 

kx − ωt = const ⇒ x = ω const 

t + 

k k 

= vPhase t + x0 

DieseGleichungdefinierteinetypischeGeschwindigkeitdesProblems: 

PHASENGESCHWINDIGKEIT 

vPhase = ω 

k 

(4.38) 

DerTerm e i(kx−ωt) ,mitdieserpositivenPhasengeschwindigkeit,beschreibt 

einerechts-laufendeWelle,dafürkonstantePhasebeizunehmenderZeit t 

auchderOrt xzunimmt.DazukorrespondierendistdieFunktion e i(kx−ωt) 

eineEigenfunktionderImpulsoperatorsmitEigenwert p = k. 

EntsprechendbeschreibtderTerm e −i(kx+ωt) einelinkslaufendeWellemit 

Impuls −k. 

Wahrscheinlichkeitsstromdichte 

ZunächstbestimmenwirdenBeitrag,dervonderrechtslaufendenWelle 

geliefertwird 

ψr = a e i k x e −iωt 

jr = 

m Im 

 

∗ d 

ψ 

dx ψ 

 

= 

m |a|2 2 k 

· k = |a| 

m 

= 

m |a|2 

Im ψ ∗ ik e −i k x 

i k x 

e 

= |a|2 p 

m . 

2 −p 

AnalogliefertdielinkslaufendeWelledieStromdichte jl = |b| m . 

116



DiequantenmechanischeWellenfunktionGl.(4.35)istperiodischmitder 

Wellenlänge λ = 2π/k.MaterieteilchenmitImpuls phabenalsoeineWellenlänge 

λ = h 

p !Diesistdie 

λ = 2π 

k 

= h 

p = 


h 

√ 2mEkin 

(4.39) 

AuchfürPhotonengiltdieseBeziehung:siebesitzeneinenimExperiment 

messbarenImpulsderGröße p = k = 2π 

λ . 

BeiMaterieteilchenmitImpuls perscheintdiecharakteristischeLängenskalaλz.B.imDoppelspaltexperiment,oderz.B.beiderStreuungvonTeilchenmitImpuls 

paneinemKristall.ManerhältdorteinInterferenzbild 

(Davisson-Germer-Experiment)wiebeiPhotonenmitdemselbenImpuls! 





0.28 ◦ 

A 

Ekin/eV 

12 ◦ 

A 

Ekin/eV 

380 ◦ 

A 

Ekin/eV 

117 

(4.40)


4.7 UnabhängigeFreiheitsgrade:Produktansatz 

OfthatdasbetrachtetephysikalischeSystemmehrereFreiheitsgrade,die 

nichtmiteinanderwechselwirken(s.a.Kap.2.4).MöglicheBeispiele:RäumlichgetrennteTeil-Systeme;oderOrtundImpulszuverschiedenenRaumrichtungen;...ObdieFreiheitsgradewirklichunabhängigsind,hängtvondentatsächlichenWechselwirkungen,d.h.vomjeweiligenHamiltonoperatorab. 

WirbetrachtenzweiFreiheitsgrade Aund B,mitzugehörigenBasisvektoren 

|ϕA〉und |ϕB〉.DerzugehörigeProduktraumwirdvondenBasisvektoren 

|ϕA, ϕB〉 = |ϕA〉⊗|ϕB〉aufgespannt.DieFreiheitsgrade Aund Bsind 

tatsächlichunabhängig,wennderHamiltonoperatorauszweiTeilen ˆ HA 

und ˆ HBbesteht,diegetrenntaufdieFreiheitsgrade Abzw. Bwirken: 

ˆH = HA 

ˆ + ˆ HB , mit (4.41) 

 

ˆHA |ϕA, ϕB〉 = ˆHA |ϕA〉 ⊗ |ϕB〉 und (4.42) 

ˆHB |ϕA, ϕB〉 = |ϕA〉 ⊗ 

Danngiltauch 

 

ˆHB |ϕB〉 

[ ˆ HA, ˆ HB] = 0 . 

. (4.43) 

DieLösungenderEigenwertgleichungfürdenGesamt-Hamiltonoperator 

ˆH |Ψ〉 = E |Ψ〉 

bekommtmannuneinfachdurchdenProduktansatz 

|Ψ〉 = |ψA〉 ⊗ |ψB〉 , (4.44) 

wobei |ψA,B〉LösungenderEigenwertgleichungenzu ˆ HAbzw. ˆ HBsind: 

Beweis: 

ˆH |Ψ〉 = 

= 

ˆHA,B |ψA,B〉 = EA,B |ψA,B〉 . (4.45) 

ˆHA + ˆ HB 

 

ˆHA |ψA〉 

= EA |Ψ〉 + EB |Ψ〉 

= (EA + EB) |Ψ〉 . 

 

|ψA〉 ⊗ |ψB〉 

⊗ |ψB〉 + |ψA〉 ⊗ 

118 

 

ˆHB |ψB〉


DieGesamtenergieistsomiteinfachdieSummederEinzelenergien. 

Beispiel:WirbetrachteneinTeilchenmitSpin 1 

2 ,dassichineinemräumlichkonstantenMagnetfeld 

BundeinemortsabhängigenPotential V (x) 

bewegt.DasTeilchenhateinenOrtsfreiheitsgradmitBasisvektoren |x〉, 

undeinenSpinfreiheitsgradmitBasisvektoren {|σ〉} := {| ± z〉}.DerProduktraumwirdvondenBasisvektoren 

|x, σ〉 = |x〉 ⊗ |σ〉aufgespannt.Der 

Hamiltonoperatoristdann,wieschoninKap.3.2.2erwähnt, 

ˆH = ˆ p 2 

2m + ˆ V ( ˆ Q) 

 

=: ˆHx 

− µ B ˆ S 

 

=: ˆ Hσ 

. (4.46) 

ˆHxwirktnurauf |x〉und ˆ Hσwirktnurauf |σ〉.DieEigenvektorenvon ˆ H 

kannmandeshalbalsProdukt 

schreiben,wobei 

|ψ〉 = 

 

|Ψ〉 = |ψ〉 ⊗ |χ〉 (4.47) 

d 3 xψ(x) |x〉 ¸und |χ〉 = 

σ=± 

Eigenvektorenvon ˆ Hxbzw. ˆ Hσseinmüssen,d.h. 

ˆHx ψ(x) = EA ψ(x) und ˆ Hσ |χ〉 = EB |χ〉 . 

119 

χσ |σ〉 (4.48)

4.7.1 Wellenpakete 


DieEigenzustände(4.35)sindräumlichausgedehntundnichtnormierbar. 

Ausihnenkönnenaber,durchgeeigneteLinearkombinationvonLösungenzuverschiedenenEnergien,lokalisierteZuständekonstruiertwerden, 

sogenannteWellenpakete(s.Übungen) 

∞ 

ψ(x) = a(k) e ikx dk , 

−∞ 

fallsdieEntwicklungskoeffizienten a(k)geeignetgewähltwerden.Wenn 

derZustand |ψ〉normiertist,beschreibtereinEnsemblevoneinzelnen 

propagierendenTeilchen.EristjedochkeinEigenzustanddesHamiltonoperatorsmehrundzerfällt(zerfließt)mitderZeit! 

4.8 UnabhängigeFreiheitsgrade:Produktansatz 

OfthatdasbetrachtetephysikalischeSystemmehrereFreiheitsgrade,die 

nichtmiteinanderwechselwirken(s.a.Kap.2.4).MöglicheBeispiele:RäumlichgetrennteTeil-Systeme;oderOrtundImpulszuverschiedenenRaumrichtungen;...ObdieFreiheitsgradewirklichunabhängigsind,hängtvondentatsächlichenWechselwirkungen,d.h.vomjeweiligenHamiltonoperatorab. 

WirbetrachtenzweiFreiheitsgrade Aund B,mitzugehörigenBasisvektoren 

|ϕA〉und |ϕB〉.DerzugehörigeProduktraumwirdvondenBasisvektoren 

|ϕA, ϕB〉 = |ϕA〉⊗|ϕB〉aufgespannt.DieFreiheitsgrade Aund Bsind 

tatsächlichunabhängig,wennderHamiltonoperatorauszweiTeilen ˆ HA 

und ˆ HBbesteht,diegetrenntaufdieFreiheitsgrade Abzw. Bwirken: 

ˆH = HA 

ˆ + ˆ HB , mit (4.49) 

 

ˆHA |ϕA, ϕB〉 = ˆHA |ϕA〉 ⊗ |ϕB〉 und (4.50) 

ˆHB |ϕA, ϕB〉 = |ϕA〉 ⊗ 

Danngiltauch 

 

ˆHB |ϕB〉 

[ ˆ HA, ˆ HB] = 0 . 

120 

. (4.51)


DieLösungenderEigenwertgleichungfürdenGesamt-Hamiltonoperator 

ˆH |Ψ〉 = E |Ψ〉 

bekommtmannuneinfachdurchdenProduktansatz 

|Ψ〉 = |ψA〉 ⊗ |ψB〉 , (4.52) 

wobei |ψA,B〉LösungenderEigenwertgleichungenzu ˆ HAbzw. ˆ HBsind: 

Beweis: 

ˆH |Ψ〉 = 

= 

ˆHA,B |ψA,B〉 = EA,B |ψA,B〉 . (4.53) 

ˆHA + ˆ HB 

 

ˆHA |ψA〉 

= EA |Ψ〉 + EB |Ψ〉 

= (EA + EB) |Ψ〉 . 

 

|ψA〉 ⊗ |ψB〉 

⊗ |ψB〉 + |ψA〉 ⊗ 

 

ˆHB |ψB〉 

DieGesamtenergieistsomiteinfachdieSummederEinzelenergien. 

Beispiel:WirbetrachteneinTeilchenmitSpin 1 

2 ,dassichineinemräumlichkonstantenMagnetfeld 

BundeinemortsabhängigenPotential V (x) 

bewegt.DasTeilchenhateinenOrtsfreiheitsgradmitBasisvektoren |x〉, 

undeinenSpinfreiheitsgradmitBasisvektoren {|σ〉} := {| ± z〉}.DerProduktraumwirdvondenBasisvektoren 

|x, σ〉 = |x〉 ⊗ |σ〉aufgespannt.Der 

Hamiltonoperatoristdann,wieschoninKap.3.2.2erwähnt, 

ˆH = ˆ p 2 

2m + ˆ V ( ˆ Q) 

 

=: ˆ Hx 

− µ B ˆ S 

 

=: ˆ Hσ 

. (4.54) 

ˆHxwirktnurauf |x〉und ˆ Hσwirktnurauf |σ〉.DieEigenvektorenvon ˆ H 

kannmandeshalbalsProdukt 

|Ψ〉 = |ψ〉 ⊗ |χ〉 (4.55) 

schreiben,wobei 

|ψ〉 = 

 

d 3 xψ(x) |x〉 ¸und |χ〉 = 

χσ |σ〉 (4.56) 

σ=± 

Eigenvektorenvon ˆ Hxbzw. ˆ Hσseinmüssen,d.h. 

ˆHx ψ(x) = EA ψ(x) und ˆ Hσ |χ〉 = EB |χ〉 . 

121


4.9 StreuunganeinerPotentialbarriere 

Abbildung4.6:StreuunganderPotential-Barriere. 

WiruntersuchennunquantenmechanischdieStreuungvonTeilchenan 

einemPotential.GebundeneZuständehabenwirbereitsimletztenAbschnittbehandelt;wirkonzentrierenunshieraufungebundeneZustände.WirbetrachtensowohldenFalleinerPotential-Barriere,sowieerinAbbildung(4.6)dargestelltist(V0 

> 0),alsauchdenFalleinerPotential-Mulde 

(V0 < 0).InbeidenFälleninteressierenunsaberungebundeneZustände, 

d.h.Energien E > 0. 

VonlinkstreffenTeilchenaufdasPotential.WirwerdendieIntensität 

RderrückgestreutenunddieIntensität T dertransmittiertenTeilchen 

berechnen. Rund TbezeichnetmanauchalsReflexionskoeffizientenbzw. 

Transmissionskoeffizienten.Siesinddefiniertals 

R = ZahlderreflektiertenTeilchen 

ZahldereinfallendenTeilchen 

T = ZahldertransmittiertenTeilchen 

ZahldereinfallendenTeilchen 

4.9.1 AllgemeineLösung 

KlassischeBehandlung 

FürdieklassischeBehandlungistessinnvoll,dasPotentialabzurunden 

(sieheAbbildung(4.7)),damitkeine δ-förmigeKräftenauftreten.ZuBeginn,d.h.weitvorderPotential-Barriere,istdiekinetischeEnergie 

Ekin 

122 

.


Abbildung4.7:KlassischeBehandlungderPotentialbarriere. 

gleichderGesamtenergie E.ImBereichdesPotentialsgilt Ekin = E − V (x). 

DasTeilchenwirdjenachVorzeichendesPotentialsvonihmabgebremst 

oderbeschleunigt.EsmüssenklassischzweiFälleunterschiedenwerden: 

1.WenndieGesamtenergiegrößeristalsdiePotential-Barriere,wirddas 

TeilchennichtreflektiertundfliegtüberdiePotential-Barrierehinweg. 

DiesgiltinsbesonderefüreinePotential-Mulde(V0 < 0). 

2.IstdiePotential-BarrierehingegengrößeralsdieGesamtenergie,sowerdenalleTeilchenanderBarrierereflektiert.ZurRuhekommensiedabei 

aneinemUmkehrpunkt x0,andem Ekin = 0,d.h.wenn V (x0) = E.Klassischgiltalso: 

1. V0 > E ⇒ R = 1, T = 0 

2. V0 < E ⇒ R = 0, T = 1 

IndieseÜberlegungengehtdietatsächlicheFormdesPotentialsnichtein. 

FürdieQuantenmechanikistesleichter,mitdemrechteckigenPotential 

ausAbbildung(4.2)zurechnen. 

QuantenmechanischeBehandlung 

IndenBereichenIundIIIistdieallgemeineLösung 

mitderWellenzahl k = 

ψ(x) = A1 · e ikx + A2 · e −ikx 

123 

2mE 

2 

und E > 0. (4.57)


DieseWellenfunktionist,wiewirschongesehenhaben,nichtnormierbar, 

undbeschreibteinenStromvonnachrechtseinlaufendenundeinenStrom 

vonnachlinksreflektiertenTeilchen,mitderWellenzahl k. 

EinzelneTeilchendagegenentsprechenWellenpaketen,alsoLinearkombinationenvonLösungenzuverschiedenenWellenzahlen.UmdieRechnungeinfacherzuhalten,betrachtenwirimFolgendendieImpulseigenzuständeGl.(4.57). 

HinterderBarriere(BereichIII)kannes,wegendervorgegebenenSitutationmitvonlinkseinlaufendenTeilchen,nurnachrechtsauslaufendeTeilchen(Wellen)geben.Dahermussdort 

A2 = 0sein. 

ImBereichIIgilt 

ψ(x) = B1 · e κx + B2 · e −κx 

mit κ = 

2m(V0 − E) 

2 

= 

|κ| E ≤ V0 

i|κ| E > V0 

, (4.58) 

d.h.dieWellenfunktionistimBereichIIwellenartig,wenn E > V0,und 

exponentiellwenn E < V0. 

DiegesamteWellenfunktionlautetsomit 

ψ(x) = 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

A1 eikx + A2 e−ikx ; x ≤ −L 2 

B1 eκx + B2 e−κx ; −L L ≤ x ≤ 2 2 

C eikx ; x ≥ L 

2 

DieStetigkeitsbedingungenvon ψ(x)und ψ ′ 

(x)liefern4RandbedingungenzurFestlegungder5Unbekannten.Zusätzlichmüssenwirnochfestlegen,wievieleTeilchenproZeiteinheiteinfallen.DieKonstante 

A1hängt 

direktmitderStromdichteGl.(4.39)dereinfallendenTeilchenzusammen 

je = 

m |A1| 2 · k 

124 

.


UnsinteressierenderReflektions-undderTransmissionskoeffizient 

R = 

 

jr 

2 

 

|A2| 

je 

= 

|A1| 2 

je; jr . . .einfallende;reflektierteStromdichte 

T = 

 

jt 

|C|2 

 

= 

|A1| 2 . 

je 

DerStromdereinfallendenTeilchenwirdexperimentellvorgegeben.Wir 

könnenihnjedochbeliebigwählen,z.B. A1 = 1,dain Rund Tnurdie 

Verhältnisseeingehen. 

EsbleibtalsoalsLösung 

⎧ 

⎪⎨ 

ψ(x) = 

⎪⎩ 

eikx + A e−ikx ; x ≤ −L 

2 

L ≤ x ≤ 2 2 

B1 e κx + B2 e −κx ; − L 

C e ikx ; x ≥ L 

2 

. (4.59) 

DierestlichenKonstantenkannmannunüberdieRandbedingungenbestimmen.DieRechnungdazuistrelativaufwendig. 

ψ(− L 

L 

2 ) : eik(− 2 ) L 

−ik(− + A · e 2 ) L 

κ(− = B1 · e 2 ) L 

−κ(− + B2 · e 2 ) 

ψ ′ 

ψ( L 

L 

2 ) : C · eik( 2 ) L 

κ( = B1 · e 2 ) L 

−κ( + B2 · e 2 ) 

(−L L L 

L L 

ik −κ κ 

2 ) : e−ik 2 − Ae 2 = −iρ(B1e 2 − B2e 2 ) 

ψ ′ 

( L 

L 

L 

L 

κ −κ 

2 ) : Ceik 2 = −iρ(B1e 2 − B2e 2 ) 

mit ρ := κ 

k .InMatrixschreibweiseundmitderAbkürzung q = eκL folgt 

i) 

ii) 

 

 

L 

−ik e 2 

0 

L 

−ik e 2 

0 

 

 

L 

ik + e 2 

L 

ik − e 2 

 

 

A 

C 

A 

C 

 

 

= 

 

= iρ 

q−1 2 q 1 

2 

q 1 

2 q−1 2 

 

 

=:M 

 

125 

−q −1 

2 q 1 

2 

 

q 1 

2 −q−1 2 

B1 

B2 

 

 

=:N 

 

 

B1 

B2 

 

.

DasInversederMatrix Mlautet 

M −1 1 

= 

(q − q−1 

) 

−q−1 2 q 1 

2 

q 1 

2 −q−1 2 

Wirmultiplizieren i)vonlinksmit M−1 ⇒ 

 

B1 

B2 

= M −1 · 

L 

−ik e 2 

0 

L 

ik 

+ e 2 M −1 

 


 

A 

C 

= 

1 

(q − q −1 ) N 

 

(4.60) 

undsetzendasErgebnisin ii)ein.MitAbkürzungensh := sinh(κL)und ch := cosh(κL) 

führtdaszu 

 

L 

ik 

e 2 

L 

−ik e 2 

0 

 

L 

ik 

− e 2 

 

 

ˆ1 + iρN M −1 

A 

C 

A 

C 

 

 

= iρN M −1 

= 

 

L 

−ik e 2 

0 

 

ˆ1 − iρN M −1 

 

 

L 

ik 

+ e 2 iρN M −1 

L 

−ik e 2 

0 

WirerhaltensomitfürdieKoeffizienten Aund CdasZwischenergebnis 

 

A 

= e 

C 

−ikL 

 

ˆ1 + iρN M −1 

−1 ˆ1 − iρN M −1 

 

 

1 

. (4.61) 

0 

 

K 

Nungiltes,dieMatrixKzuberechnen.Dazubenötigenwirzunächst 

N · M −1 = 

Darauserhaltenwir 

1 

q − q −1 N 2 = 

 

ˆ1 − iρN M −1 

 

 

ˆ1 + iρN M −1 

−1 = 

= 

1 

q − q−1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 − iρch 

sh 

+ iρ 

sh 

1 + iρch 

sh 

= 1 ⎜ 

⎝ 

det 

q + q −1 −2 

−2 q + q −1 

− iρ 

sh 

⎛ 

1 + iρch 

sh 

iρ 

sh 

126 

+ iρ 

sh 

1 − iρch 

sh 

− iρ 

sh 

1 + iρch 

sh 

iρ 

sh 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 + iρch 

sh 

−1 

 

⎞ 

 

= 1 

 

sh 

⎟ 

⎠ . 

. 

 

ch −1 

−1 ch 

A 

C 

 

 

.

MitderDeterminantenderMatrix (ˆ1 + iρN M −1 ) 

det = 

 

1 + iρch 

2 sh 

berechnetsichdieMatrix Kzu 

K = 

sh 

(1 − ρ2 ) + 2 iρch 

sh 


+ ρ2 

2 = 1 + 2iρch 

sh sh − ρ2ch2 − 1 

sh 2 = 1 − ρ2 + 2 iρch 

sh 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

(1 + ρ 2 ) 2 iρ 

sh 

2 iρ 

sh 

(1 + ρ 2 ) 

MitGl.(4.61)undGl.(4.60)lautendieKoeffizienten 

 

 

A 

C 

B1 

B2 

 

 

= 

= 

= 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

e−ikL (1 − ρ2 ⎛ 

(1 + ρ 

⎜ 

⎝ 

)sh + 2iρch 

2 ⎞ 

)sh 

⎟ 

⎠ 

2iρ 

e−ikL/2 (1 − ρ2 )sh + 2iρch M−1 

 

(1 − ρ2 )sh + 2iρch + (1 + ρ2 )sh 

2iρ 

2e−ikL/2 (1 − ρ2 )sh + 2iρch M−1 

 

sh + iρch 

. 

iρ 

DasErgebnisfürdiegesuchtenKonstantenderWellenfunktionlautet 

A = 1 

Z e−ikL (1 + ρ 2 ) sinh(κL) 

C = 1 i 2ρ e−ikL 

Z 

B1 = − 1 

Z e−ikL/2 (1 − iρ) e −κL/2 

B1 = 1 

Z e−ikL/2 (1 + iρ) e +κL/2 

Z = (1 − ρ 2 ) sinh(κL) + 2iρ cosh(κL) . 

Darauserhältman 

127 

 

(4.62)


REFLEXIONS-UNDTRANSMISSIONSKOEFFIZIENT 

R = |A| 2 = (1 + ρ2 ) 2 · sinh 2 (κL) 

(1 + ρ 2 ) 2 sinh 2 (κL) + 4ρ 2 

T = |C| 2 = 

4ρ2 (1 + ρ2 ) 2 sinh 2 κ 

= 1 − R, mit ρ = 

(κL) + 4ρ2 k . 

(4.63) 

DiewegenderStromerhaltung je = jt + jrnotwendigeSummenregel 

R + T = 1istautomatischerfüllt.DieErgebnissehängenvondendimensionslosenGrößen 

ρ = κ/kund κ · Lab,dieausdenursprünglich3Parametern 

L, V0und EdesProblemsgebildetsind.Mankannsiealternativ 

auchals 

κ · L = λ · √ 1 − ǫ 

ρ = κ 

k = 

 

1 − ǫ 

ǫ 

mit λ = L 

 

√ 2mV0 

ǫ = E 

V0 

(4.64) 

schreiben,mitdendimensionslosenGrößen„reduzierteLänge” λund„reduzierteEnergie” 

ǫ. 

WirwerdendiebeidenFälle,diesichauchklassischunterscheiden,nämlich 

1.hohePotential-Barriere(V0 > E > 0) 

2.niedrigePotential-Barrieremit E > V0 > 0oderPotential-Mulde E > 

0 > V0, 

imFolgendenseparatdiskutieren. 

128


4.9.2 HohePotential-Barriere(V0 > E > 0),Raster-Tunnel- 

Mikroskop 

WirbetrachtenzunächstdenFall,dassdieEnergiedesTeilchensklassisch 

nichtausreicht,dieBarrierezuüberwinden.DieSituationistinAbb.(4.8) 

skizziert.Hierist 1 > ǫ = E > 0unddaher k ∈ Rund κ ∈ R.DieWel- 

V0 

Abbildung4.8:EnergiegeringeralsPotential-Barriere. 

lenfunktionzeigtalsooszillierendesVerhaltenaußerhalbdesBarrieren- 

BereichsundeinenexponentiellenAbfall 2 imBarrieren-Bereich.Wiedie 

obigeRechnunggezeigthat,gibtesquantenmechanisch–imWiderspruch 

zurklassischenErwartung–dennocheinenicht-verschwindendeWahrscheinlichkeit,dassdasTeilchendiePotentialbarriereüberwindet.Man 

sprichtvomTunneleffekt.IndenGleichungen(4.63)und(4.64)sindalle 

Größenreell. 

WirbetrachtendenSpezialfalleinersehrbreitenund/oderhohenBarriere 

1 > 1 

2 DerexponentiellansteigendeBeitragverschwindetnicht,wirdabervomabfallenden 

Teildominiert. 

129 

.


DerTransmissionskoeffizientverschwindetalsoexponentiellmitderBarrierenbreiteundderBarrierenhöhe.Erwirdabernurfürunendlichbreite 

oderunendlichhohePotentialbarrierenzuNull. 

WirbetrachtennuneineAnwendungdesTunneleffektes. 

Raster-Tunnel-Mikroskop 

(Nobelpreis1986H.Rohrer,G.Binnig(IBM-Rüschlikon)) 

BeimScanningTunnelingMikroscope(STM)wirdeineMetallspitzeüber 

eineProbenoberflächemittels„Piezoantrieb”geführt,sieheAbbildung(4.9). 

Dieleitende(oderleitendgemachte)Probewirdzeilenweiseabgetastet. 

ZwischenderSpitzeundderProbewirdeinPotentialangelegt,wodurch 

ein„Tunnel-Strom”fließt,dervomAbstandderSpitzezurlokalenProbenoberflächeabhängt.MitHilfeeinerPiezo-MechanikkanndieSpitzeauchsenkrechtzurProbenoberflächebewegtwerden.EsgibtverschiedeneArten,dasTunnel-Mikroskopzubetreiben.IneinerBetriebsartwird 

dieSpitzeimmersonachjustiert,dassderTunnel-Stromkonstantist.Die 

hierfürnotwendigeVerschiebungisteinMaßfürdieHöhederProbenoberfläche. 

Abbildung4.9:Raster-Tunnel-Mikroskop. 

EinSTMhatatomareAuflösung.Daserscheintzunächstunglaubwürdig, 

dadieSpitzemakroskopischeDimensionenhat.DerGrundist,dasswegenderexponentiellenAbhängigkeitdesTunnel-StromesvomAbstanddas„untersteAtom”derSpitzedendominantenBeitragzumStromliefert(sieheAbbildung(4.10)). 

130


Abbildung4.10:SpitzedesRaster-Tunnel-Mikroskops. 

4.9.3 NiedrigePotential-Barriere(E > V0 > 0) 

oderPotential-Mulde(E > 0 > V0) 

WirbetrachtennundieFälle,indenendasTeilchenklassischnichtander 

Barrierereflektiertwürde(R = 0; T = 1),alsodeninAbbildung(4.11) 

dargestelltenFalleinerniedrigenPotential-Barriere,unddenFalleiner 

Potential-Mulde.Quantenmechanischwirddieunshierinteressierende 

Abbildung4.11:EnergiegrößeralsPotential-Barriere. 

SituationebenfallsdurchdieGleichungen(4.63)und(4.64)beschrieben. 

EswerdenallerdingseinigeParameterimaginärundesistsinnvoll,dies 

explizitzuberücksichtigen.EssinddieFälle ǫ > 1und ǫ < 0möglich.Für 

beideFällewirdausGl.(4.63)undGl.(4.64) 

131


REFLEXIONS-UNDTRANSMISSIONSKOEFFIZIENT(E > max{0, V0}) 

T = 

4ρ 2 

(1 − ρ 2 ) 2 sin 2 (κL) + 4ρ 2 

R = 1 − T 

mit κ · L = λ · |1 − ǫ| , ρ = κ 

k = 

 

| 1 − ǫ 

| 

ǫ 

und λ = . ǫ = E 

. 

L 

 

√ 2m|V0| 

ImBarrierenbereichistdieLösungnunauchoszillierend: 

mit |κ| = 

V0 

ψII = B1e i|κ|x + B2e −i|κ|x 

2m 

2 (E − V0) . 

(4.65) 

(4.66) 

QuantenmechanischkannauchderklassischeWert T = 1(bzw. R = 0) 

erreichtwerden.DasistimmerdannderFall,wenn sin |κL| = 0,bzw. 

|κ|L = nπ.QuantenmechanischwirdderklassischeWert T = 1(bzw. 

R = 0)immerdannerreicht,wenn sin |κL| = 0,bzw. |κ|L = nπ.Anschaulichbedeutetdas,dassdieBarrierenbreiteeinhalbzahligesVielfachesder 

Wellenlänge λ = 2π/κistunddieWelleindiePotentialbarriere„hineinpasst”.WennmandieAusbreitungeinesWellenpaketesuntersucht,sofindetman,dassdasTeilchenindiesenFällenbesonderslangeimPotentialbereichanzutreffenist.DiesesPhänomennenntmanStreuresonanz.EsistauchalsRamsauer-Effektbekannt,nachdem1921vonRamsauerbeobachtetenEffekt,dassElektronenbestimmterEnergieninEdelgasennicht 

absorbiertwerden.InAbbildung(4.12)istderTransmissionskoeffizient 

einmalalsFunktionderreduziertenEnergie ǫundeinmalalsFunktion 

derreduziertenLänge λaufgetragen.ImletzterenBilderkenntmandas 

Resonanzphänomen. 

132


Abbildung4.12:TransmissionskoeffizientinAbhängigkeitvon ǫfür λ = 7 

(links)undalsFunktionvon λfür ǫ = 1.05(rechts). 

DaobigeÜberlegungenauchfür V0 < 0gelten,besagtdiequantenmechanischeRechnung,dassesauchanniedrigenPotentialtöpfenundPotentialmuldenReflektionengibt.Dieswäreklassischkeinesfallsmöglich. 

4.9.4 Aufenthaltswahrscheinlichkeiten 

DieAufenthaltswahrscheinlichkeiteinesquantenmechanischenTeilchens 

imIntervall (x, x + dx)errechnetsichausdenGleichungen(4.59) 

I) |ψ(x)| 2 = 1 + |A| 2 + 2 Re (A ∗ e 2ikx ) 

 

|A|cos(2kx−ϕ) 

A = |A| · e iϕ 

R = |A| 2 

|ψ(x)| 2 = 1 + R + 2 √ R cos(2kx − ϕ) 

II) |ψ(x)| 2 = |B1| 2 e 2κx + |B2| 2 e −2κx + 2Re (B ∗ 1B2) 

III) |ψ(x)| 2 = |C| 2 = T = 1 − R 

133


DieAufenthaltswahrscheinlichkeitistinAbbildung(4.13)fürdiedreidiskutiertenFälleaufgetragen. 

ImGebiet I)entstehendurchReflexionenanderPotential-Barriereauch 

Wellen,dienachlinkslaufen.DarausresultierteineInterferenz,die,wie 

inAbbildung(4.13)dargestellt,zueineroszillierendenAufenthaltswahrscheinlichkeitführt. 

ImGebiet II)hängtesdavonab,ob E < V0oder E > V0,alsoob κreell 

oderimaginärist.Wenn κreellist,sofindetmaneinexponentiellesAbklingen.Wenn 

κaberimaginärist,sobeobachtetmanauchimBereichder 

PotentialbarriereoszillierendesVerhalten. 

ImGebiet III)läuftdieWellenurnachrechts,eskannalsokeineInterferenzgeben.DieAufenthaltswahrscheinlichkeitistüberallkonstant. 

WirhabenhiernurdeneherunrealistischenFallbehandelt,dassdieeinlaufendenTeilchenimImpulseigenzustandpräpariertwerdenundräumlichvölligunbestimmtsind.DerinteressantereFallistsicherlichder,dassdieeinfallendenTeilchenalsWellenpaketpräpariertwerden.DiemathematischeBehandlungistdannwesentlichkomplizierter,liefertaberdieselben 

Reflexions-undTransmissionskoeffizienten.DieRechnungkannz.B.im 

BuchvonShankharnachgelesenwerden. 

134


Abbildung4.13:AufenthaltswahrscheinlichkeitenbeimStreuproblemfürdie 

dreidiskutiertenFälle V0 > E > 0, E > V0 > 0und E > 0 > V0. 

135

4.10 DerHarmonischeOszillator 


ZumharmonischenOszillatorgehörtklassischdieHamiltonfunktion 

H = p2 k 

+ 

2m 2 x2 . (4.67) 

Damitwirdz.B.näherungsweisedieBewegungvoneinzelnenAtomenin 

einemFestkörperbeschrieben,hierin1Dimension.WenndieAtomein 

derGleichgewichtslagesind,sowirktkeineKraft.LenktmaneinAtom 

ausderRuhelageum xaus,sowirktaufdasAtomeinerücktreibende 

Kraft f(x).DieseKraftkannmanineineTaylorreiheentwickeln 

f(x) = f(0) − k · x + . . . 

InderRuhelageverschwindetdieangreifendeKraft(f(0) = 0)undder 

Kraft −k · xentsprichtdasPotential k 

2 x2 . 

DieklassischeBewegungsgleichung m · ¨x = −k · xhatdieLösung 

x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) 

mit ω 2 = k 

m 

(4.68) 

DieHamiltonfunktion Hlässtsichsomitauchschreibenals 

H = p2 

2m + ω2m 2 x2 . (4.69) 

DerÜbergangzurQuantenmechanikerfolgtmittelsErsetzenderdynamischenVariablendurchOperatoren.DerHamilton-Operatorlautetdann 

ˆH = ˆ P 2 

2m + ω2m ˆQ 

2 

2 . (4.70) 

Eristnichtexplizitzeitabhängig.Wirmüssendahernurdiestationäre 

Schrödingergleichung 

ˆH|ψ〉 = E|ψ〉 

lösen.Eineeinfache,elegante,algebraischeLösungdiesesEigenwertproblemsgehtaufDiraczurück.SievermeidetdasexpliziteLöseneinerDifferentialgleichung.EinenvölliganalogenFormalismusbenutztmaninderVielteilchenphysikundderQuantenfeldtheoriezurBeschreibungvonSystemenmitvielenTeilchen. 

136

4.10.1 MethodevonDirac 

DerHamilton-Operatorlässtsichzu 

ˆH = mω2 

2 

 

ˆQ 2 

ˆP 

2 + 

mω 

. 


umschreiben.Wirformenihnweiterum.WenndieOperatorenvertauschenwürden,könntedieeckigeKlammerals 

Qˆ ˆ 

P − i ˆQ ˆ 

P + i ge- 

mω mω 

schriebenwerden.AufgrundderVertauschungsrelationenerhaltenwir 

fürdiesesProduktjedoch 

 

ˆQ−i ˆ 

P 

ˆQ+i 

mω 

ˆ 

P 

mω 

= 

 

ˆQ 2 

ˆP 

2 + − 

mω 

i 

mω [ ˆ P, ˆ Q] = 

DamitkannmandenHamilton-Operatorfolgendermaßenschreiben 

ˆH = mω2 

 

ˆQ − i 

2 

ˆ 

P 

mω 

= ω 

mω 

2 

ˆQ + i ˆ 

P 

mω 

 

ˆQ 

Pˆ 

 

− i 

mω 

mω 

2 

+ ω 

2 ˆ1 

 

ˆQ 

Pˆ 

 

+ i 

mω 

 

 

ˆQ 2 

ˆP 

2 + − 

mω 

 

mω ˆ1 . 

+ 1 

2 ˆ1 

 

DieAusdrückeinKlammernnennenwir„Leiteroperatoren”oder 

ERZEUGUNGS-UNDVERNICHTUNGSOPERATOREN 

a † 

mω 

= 

2 ( ˆ Q − i ˆ P 

mω ) 

 

mω 

a = 

2 ( ˆ Q + i ˆ P 

) . 

mω 

. 

(4.71) 

DieNamenwerdenspätererläutert.Weil ˆ Pund ˆ Qselbstadjungiertsind, 

sinddieseOperatorenzueinanderadjungiert: 

(a) † = a † 

und 

Wirdefinierennochdensogenannten 

a † † = a . (4.72) 

137

ANZAHL-OPERATOR ˆ N 


ˆN = a † a , (4.73) 

Esgilt ˆ N † = ˆ N.DamitwirdderHamilton-Operatorformalsehreinfach: 

HAMILTON-OPERATORDESHARMONISCHENOSZILLATORS 

ˆH = ω (a † a + 1 

2 ˆ1) = ω ( ˆ N + 1 

2 ˆ1) . (4.74) 

BesonderswichtigsinddieVertauschungsrelationenvonErzeugungs-und 

Vernichtungsoperatoren 

[a , a † ] = mω 

 

( 

2 

ˆ Q + i ˆ P 

mω ) , ( ˆ Q − i ˆ P 

mω ) 

 

= mω 

 

[ 

2 

ˆ Q, ˆ Q] + ( 

 

=0 

i i 

)(− 

mω mω ) [ ˆ P, ˆ P] 

 

=0 

= ˆ1 

VERTAUSCHUNGSRELATIONENVON 

− i 

[ Q, ˆ P] ˆ − [ P, ˆ Q] ˆ 

mω 

 

ERZEUGUNGS-UNDVERNICHTUNGSOPERATOREN 

aa † − a † a ≡ [a , a † ] = ˆ1 

[a , a ] = 0 

[a † , a † ] = 0 

138 

2[ ˆ Q, ˆ P]=2i ˆ1 

. (4.75)


Wegen ˆ H = ω ( ˆ N + 1 

2 ˆ1)vertauschen ˆ Nund ˆ Hmiteinander,undsiehaben 

deshalbdieselbenEigenvektoren.Dasiehermiteschsind,sinddieEigenwertereell. 

Wenn N|n〉 ˆ = n|n〉 , dann H|n〉 ˆ 

1 

= ω (n + ) |n〉 . 

2 

Daherhat ˆ HdieEigenwerte ω(n + 1 

2 ).Wirmüssennunherausfinden, 

welcheEigenwerte ndesAnzahloperatorsmöglichsind.Dazubetrachten 

wirdieVertauschungsrelationenvon ˆ Nmit aund a † 

[ ˆ N, a † ] = [a † a , a † ] = a † a a † 

 

a † −a 

a+ˆ1 

† a † a (4.76a) 

= a † a † a + a † − a † a † a = a † 

(4.76b) 

[ ˆ N, a ] = [a † a , a ] = a † a a − a a † 

 

a † a (4.76c) 

a +ˆ1 

= a † a a − a † a a − a = −a (4.76d) 

WirwendendieVertauschungsrelation [ ˆ N, a † ] = a † aufeinenVektor |n〉an 

undbenutzen ˆ N|n〉 = n|n〉: 

Analog 

[ ˆ N, a † ] |n〉 = a † |n〉 

⇔ ˆ Na † |n〉 − a † n |n〉 = a † |n〉 

⇔ ˆ Na † |n〉 = (n + 1)a † |n〉 (4.77) 

ˆN a |n〉 = (n − 1) a |n〉 (4.78) 

Wennalso |n〉Eigenvektorvon ˆ NzumEigenwert nist,soist 

a † |n〉 EigenvektorzumEigenwert(n+1) 

a |n〉 EigenvektorzumEigenwert(n–1) 

(Mannennt a † denErzeugungsoperatorund a denVernichtungsoperatorin 

AnalogiezurQuantenfeldtheorie.DortwerdenformalgleichartigeOperatorenbenutztund 

nstehtfüreineTeilchenzahl.DieOperatoren a † und 

aänderndortdieTeilchenzahlum1.) 

139

DerVektor a |n〉istsomitzu |n − 1〉proportional: 


a |n〉 = c · |n−1〉 . (4.79) 

DasAdjungiertedieserGleichunglautet 

〈n| a † = 〈n−1| c ∗ . (4.80) 

NachlinksangewandtwirktderErzeugungsoperatoralsowieeinVernichtungsoperator(undumgekehrt)! 

WirberechnennundenProportionalitätsfaktor.DieEigenvektoren |n〉sollennormiertsein.Zumeinengilt 

〈n|a † a|n〉 = 〈n| ˆ N|n〉 

 

n|n〉 

= n 〈n|n〉 

 

=1 

= n . 

Zumanderenkönnenwir a † nachlinksund anachrechtsanwenden: 

〈n|a † a|n〉 = c ∗ c 〈n − 1|n − 1〉 = |c| 2 

DahermussderNormierungsfaktor |c| 2 = nerfüllen.Wirwählen c = √ n. 

Darausfolgt 

. 

a |n〉 = √ n |n − 1〉 (4.81) 

Insbesonderegilt a |0〉 = 0. AnalogeÜberlegungenfür a † |n〉 

liefern 

a † |n〉 = c |n + 1〉 

〈n|aa † |n〉 = |c| 2 

〈n|aa † |n〉 = 〈n|ˆ1 + ˆ N|n〉 = n + 1 ! = |c| 2 

a † |n〉 = √ n + 1 |n + 1〉 (4.82) 

WirkönnennunmiteinembeliebigenEigenzustand |n〉beginnenundden 

Operator a wiederholtanwenden 

a |n〉 = √ n |n − 1〉 

a a |n〉 = n(n − 1) |n − 2〉 

a m |n〉 = n · (n − 1) · (n − 2) · · ·(n − m + 1) |n − m〉 (4.83) 

140


SoerhaltenwirdieEigenzustände |n−m〉zuimmerkleinerwerdenden 

Eigenwerten (n − m)von ˆ N.Dasbedeutet,dassimPrinzipnegativeEigenwerteerzeugtwerdenkönnten.JederEigenvektorvon 

ˆ Hmussaber 

normierbarsein.Insbesonderegilt 

m = 〈m| ˆ N|m〉 = 〈m|a † 

a|m〉 

 

〈ψ| |ψ〉 

= ||ψ|| 2 ≥ 0 . 

DahermussdieFolgeinGl.(4.83)abbrechen.Diesgeschiehtgenaudann, 

wenn npositivganzzahligist,weildann a |0〉 = 0 auftritt.Wirerhalten:DieEigenwertedesAnzahloperators 

ˆ NsinddienatürlichenZahlen 

N0.Außerdemgilt,dassdieEigenwertevon ˆ Hnichtentartetsind(s.u.). 

DeshalbsinddieEigenzustände |n〉orthonormal. 

EIGENWERTEUNDEIGENVEKTORENDESANZAHL-OPERATORS 

ˆN|n〉 = n |n〉 ∀n ∈ N0 , 

〈n|m〉 = δn,m . 

Darausfolgtschließlich 

• n ∈ N0 

EIGENWERTEDESHARMONISCHENOSZILLATORS 

(4.84) 

En = ω(n + 1 

) (4.85) 

2 

•DieEnergiedesHarmonischenOszillatorsistinEinheiten ωquantisiert. 

•ImGrundzustandhatdasTeilchendieNullpunktsenergie ω 

2 . 

•OrtundImpulssindauchimGrundzustandunscharf,wieschonaus 

derUnschärferelationfolgt. 

141

4.10.2 EigenzuständeundErwartungswerte 


Wirwissennun,dassdern-teangeregteZustandausdemGrundzustand 

|0〉durchn-fachesAnwendenvon a † erzeugtwerdenkann.Esgilt 

|n〉 = 

. . . 

= 

1 

√ n a † |n − 1〉 

1 

√ n · 

1 

√ . . . 

n − 1 1 

√ (a 

1 † ) n |0〉 

|n〉 = 1 

√ n! (a † ) n |0〉 (4.86) 

DiesistdereinzigeZustandzurEnergie En = ω(n + 1 

2 ),dawirbereits 

allgemeingezeigthaben,dassgebundeneZuständeineindimensionalen 

Problemennichtentartetsind.UngebundeneZuständegibtesbeimharmonischenOszillatorwegendesunbeschränktenPotentialsnicht. 

WirwollennundiemittlereAuslenkung 〈n| ˆ Q|n〉,denmittlerenImpuls 

〈n| ˆ P |n〉unddieVarianzenimZustand |n〉berechnen.Wirkönnendie 

RechnungenalgebraischmitHilfederOperatoren aund a † durchführen, 

ohnez.B. ˆ PalsDifferentialoperatorschreibenzumüssen.Dazudrücken 

wir ˆ Qund ˆ Pwiederdurch a und a † aus.MitGl.(4.71)gilt 

ˆQ = 

ˆP = i 

 

 

2mω (a† + a) =: x0 

√2 (a † + a) (4.87) 

 

mω 

2 

(a † − a) =: i p0 (a † − a) (4.88) 

HierhabenwiraucheinefürdenharmonischenOszillatorcharakteristischeLängenskala 

x0undeineImpulsskala p0definiert.(DerFaktor √ 2ist 

Konvention.) 

142


EinsetzenindieMittelwertederAuslenkungunddesImpulsesliefert 

〈n| ˆ Q|n〉 = 

〈n| ˆ P |n〉 = i 

 

2mω 

mω 

2 

 

〈n| a|n〉 

 

√ n|n−1〉 

 

⊥=0 

 

〈n| a|n〉 

 

√ n|n−1〉 

 

⊥=0 

+ 〈n| a † 

|n〉 = 0 

 

√ 

n+1|n+1〉 

 

⊥=0 

− 〈n| a † |n〉 

 

√ n+1|n+1〉 

 

⊥=0 

 

= 0 

IneinemEigenzustandvon ˆ HsinddieMittelwertesomitNull.Diestrifft 

aberi.a.nichtfüreineLinearkombinationvonEigenzuständenzu(s.Übungen). 

NunberechnenwirdenErwartungswertvon ˆ Q 2 imZustand |n〉. 

〈n| ˆ Q 2 |n〉 = 

= 

= 

 

2mω 〈n| 

 

 

2mω 〈n| 

 

2mω 

a + a † 

2 

|n〉 

 

a 2 + a † 2 + a a † + a † a 

 

|n〉 

 

〈n|a 2 |n〉 + 〈n|a † 2 |n〉 + 〈n| a a † |n〉 + 〈n| a † 

a |n〉 

DieErwartungswertelassensichmitGl.(4.81)undGl.(4.82)leichtberechnen 

〈n|a 2 |n〉 ∼ 〈n|n − 2〉 =0 

〈n| a † 2 |n〉 ∼ 〈n|n + 2〉 =0 

〈n|a a † |n〉 = (n + 1) 〈n + 1|n + 1〉 =n + 1 

〈n|a † a |n〉 = 〈n| ˆ N|n〉 = n 〈n|n〉 =n . 

(4.89) 

DieletztenbeidenTermevonGl.(4.89)kannmanauchmitHilfederVertauschungsrelation 

a a † − a † a ≡ [a, a † ] = ˆ1 vereinfachen: 

also 

a a † 

 

=a † a+ˆ1 

+ a † a = 2a † a + ˆ1 = 2 ˆ N + ˆ1 , (4.90) 

〈n| a a † + a † a |n〉 = 〈n| 2 ˆ N + ˆ1 |n〉 = 2n + 1 . 

143

Zusammenmit 〈ˆn| ˆ Q|n〉 = 0erhaltenwirdieUnschärfe 

〈n|(∆ ˆ Q) 2 |n〉 = 

mω 

(n + 1 

2 ) = x2 0 

SpeziellfürdenGrundzustand(n = 0)ist 

〈0|(∆ ˆ Q) 2 |0〉 = 

2mω = x20 2 

AnalogeÜberlegungenfürdenImpulsliefern 

(∆ ˆ P) 2 = ˆ P 2 = − mω † 

a − a 

2 

a − a † 

= − mω 

2 † 2 † † 

a + a − a a − aa 

2 

 

〈n|(∆ ˆ P) 2 |n〉 = mω 

2 

= mω (n + 1 

2 ) = 2p20 (n + 1 

) . 

2 


1 

(n + ) . 

2 

〈n|a † a |n〉 + 〈n| a a † |n〉 

FürdenGrundzustandistdieUnschärfeimImpuls 

Zusammenfassend: 

〈0|(∆ ˆ P) 2 |0〉 = mω 

2 

〈n| ˆ Q|n〉 = 0 

= p 2 0 . 

〈n| ˆ P |n〉 = 0 

〈n|(∆ ˆ Q) 2 |n〉 = x2 0 

2n + 1 

2 

〈n|(∆ ˆ P) 2 |n〉 = p 2 

0 2n + 1 , 

FürdiegesamteUnschärfebeimharmonischenOszillatorerhaltenwir 

〈n| (∆ ˆ Q)(∆ ˆ P) |n〉 = x0 

. 

(4.91) 

√ 

2 p0 (n + 1 

) = (2n + 1) . (4.92) 

2 2 

ImGrundzustanddesharmonischenOszillatorsnimmtdieUnschärfesomitihrenminimalenWert 

 

2 an! 

144

4.10.3 GrundzustandinderOrtsdarstellung 


WirhabenbisherdieEigenzustände |n〉von ˆ Hnurabstraktausgedrückt. 

DieWellenfunktion,d.h.dieKoeffizientenvon |n〉inderOrtsdarstellung, 

sind 

〈x|n〉 =: ψn(x) . (4.93) 

DiesistdieWahrscheinlichkeitsamplitude,dasquantenmechanischeTeilchenamOrt 

xanzutreffen,wennessichimEigenzustand |n〉befindet. 

DieGrundzustandswellenfunktion ψ0(x)kannmitHilfevon a |0〉 = 0berechnetwerden.WirmultiplizierendieseGleichungvonlinksmit 

〈x|,d.h. 

wirbetrachtensieimOrtsraum: 

 

mω 

0 = 〈x| a |0〉 = 〈x| 

2 

ˆ Q |0〉 + i 

mω 〈 x| ˆ 

P |0〉 

 

mω 

= x ψ0(x) + 

2 

d 

mω dx ψ0(x) 

 

⇒ dψ0(x) x 

= − 

dx x2 ψ0(x) . 

0 

DieLösungdieserGleichungistdie 

GRUNDZUSTANDSWELLENFUNKTIONDESHARMONISCHEN 

OSZILLATORS 

ψ0(x) = πx 2 0 

DiesisteinenormierteGaußscheFunktionmit σ = x0. 

1 − 

−4 e 

x2 

2x2 0 (4.94) 

DieWahrscheinlichkeit,einTeilchenimIntervall (x, x + dx)anzutreffen, 

istquantenmechanisch 

dP(x) = |ψ0(x)| 2 x2 

− 

x dx ∼ e 2 0 dx . 

BeimklassischenharmonischenOszillatoristdieWahrscheinlichkeitproportionalzurVerweildauer 

∆tdesTeilchensimbetrachtetenIntervall 

P(x ′ ∈ (x, x + ∆x)) ∼ ∆t = ∆x 

|v(x)| 

145 

.


BeieinerklassischenOszillatorbewegungmitAmplitude Agilt 

x(t) = A · cos(ωt) 

|v(x)| = | ˙x| = |ω · A| · | sin(ωt)| = |ωA| 1 − cos2 (ωt) 

 

= ωA 1 − ( x 

A )2 . 

NachderNormierungauf1erhaltenwir 

dP(x ′ ∈ (x, x + dx)) = 1 

πA 

1 

dx x 1 − ( )2 

A 

DieklassischeAufenthaltswahrscheinlichkeitistvollständigdurchdiemaximaleAuslenkungAfestgelegt.DieseGrößekommtinderquantenmechanischenBeschreibungnichtvor.UmbeideVerteilungsfunktionenmiteinandervergleichenzukönnen,wählenwirdieParameterso,dassdie 

Energiengleichsind,also 

ω2m 2 A2 = ω (n + 1 

) . 

2 

Esfolgt A2 = 

mω (2n + 1) = x20 (2n + 1) .DannsindauchdieVarianzen 

(∆Q) 2klassischundquantenmechanischgleich!Bei n = 0istdaher A = 

x0. 

Abbildung4.14:VergleichderWahrscheinlichkeitsdichteρ(x)desharmonischen 

Oszillators.GestrichelteLinie:klassischesErgebnis.DurchgezogeneLinie:quantenmechanischesErgebnis 

ρ(x) = |ψn(x)| 2 für n = 0.DieAuslenkung xistin 

Einheitenvon x0angegeben. 

InAbbildung(4.14)sinddieklassischeund(für n = 0)diequantenmechanischeWahrscheinlichkeitsdichtefürdenGrundzustanddargestellt.Sie 

unterscheidensichdrastisch. 

146


4.10.4 AngeregteZuständeinderOrtsdarstellung 

Dern-teangeregteZustandkanndurchn-fachesAnwendendesErzeugungsoperatorsausdemGrundzustanderzeugtwerden.Daswollenwirausnutzen,umdieangeregtenZuständeinderOrtsdarstellungzubestimmen 

ψn(x) := 〈x|n〉 = 1 

√ n! 〈x|(a † ) n |0〉 

= 

= 

= 

= 

(mit: z = x 

) = 

x0 

1 

√ ( 

n! mω 

2 

1 

√ ( 

n! mω 

2 

 

n 

) 2 〈x| ˆQ − i ˆ P 

 

n 

) 2 

1 n 

− √ 2 2 x 

n! −n 

 

0 

1 

√ n! 2 

n 

− 2 

1 n 

− √ 2 2 

n! 

x 

x0 

1 

4√ π 

x − 

mω 

 

x 2 0 

mω 

d 

dx 

n 

|0〉 

n 

ψ0(x) 

x − x 2 n d 

0 ψ0(x) 

dx 

− d 

d( x 

x0 ) 

n 1 

4√ 

π 

 

1 

√ z − 

x0 

d 

n e 

dz 

1 

√ e 

x0 

−(x/x 0 )2 

2 

z2 

− 2 

 

z= x 

x 0 

DieinderletztenKlammerauftretendenFunktionenbezeichnetmanals 

Hermite-Polynome. 

DIEANGEREGTENZUSTÄNDEINDERORTSDARSTELLUNG 

ψn(x) = 

1 n 

− √ 2 2 

n! 

1 

4√ π 

1 

 

z2 

− 

√ e 2 hn(z) 

x0 

z= x 

x0 hn(z) : Hermite-Polynomn-tenGrades 

• hn(z):reellesPolynomderOrdnung nin z 

• hn(z)hatgeradeoderungeradeParität: hn(−z) = (−1) n hn(z) 

147 

(4.95)

Beispiele: 

(z − d z2 

z2 

− 

)e− 2 = ze 

dz 

2 + ( 2z 

2 

)e− z2 

2 = 2z 


 

h1(z) 

z2 

− 

e 2 

(z − d 

dz )2 z2 

− 

e 2 = (z − d z2 

)2ze− 2 = 2(z 

dz 2 z2 

− 

e 2 − d z2 

(ze− 2 )) 

dz 

= 2(z 2 − 1 + z 2 z2 

− 

)e 2 

= 2(2z 2 − 1) 

 

h2(z) 

z2 

− 

e 2 

DieEigenvektoren |n〉deshermiteschenOperators ˆ Hsindvollständig, 

undzueinanderorthonormal.DarausfolgteineentsprechendeOrthogonalitätderHermite-Polynome 

∞ 

∞ 

∞ 

∞ 

ψ ∗ n(x)ψm(x) dx = δn,m ⇔ 

e −z2 

hn(z)hm(z)dz = δn,m n! √ π 2 n . 

DieWahrscheinlichkeitsdichteeinigerZuständeistinAbbildung(4.15) 

dargestelltundmitdemErgebnisderklassischenMechanikverglichen. 

DieWahrscheinlichkeitsdichtefürdenZustand |n〉hatnNullstellen.Der 

 

AbstandderNullstellenistungefähr ∆N.S. ≈ 2A/(n + 1) ≈ x0 8/nfür 

n ≥ 2.QualitativnähertsichdasquantenmechanischeErgebnisfür n → ∞ 

demklassischenErgebnisan.EsbleibenaberdeutlicheUnterschiede: 

• nNullstellen 

•dieMaximasinddoppeltsohochwieimklassischenErgebnis. 

ExperimentellhabenwiraberimmereineendlicheAuflösung ∆x.DieexperimentelleWahrscheinlichkeitsdichteistdaher 

˜ρ(x) = 

x+∆x/2 

x−∆x/2 

∆x 

ρ(x) dx 

FürmakroskopischeschwingendeTeilchenist x0sehrklein(x0 ≈ 10 −16 m 

fürm=1gund ω=1/sec)undbeimakroskopischerAmplitudeentsprechend 

148


Abbildung4.15:VergleichderWahrscheinlichkeitsdichtedesharmonischenOszillators.GestrichelteLinie:klassischesErgebnis.DurchgezogeneLinie:quantenmechanischesErgebnisfür 

n = 0, n = 1, n = 2und n = 20(vonobennach 

unten).DieAuslenkung xistwiederinEinheitenvon x0angegeben. 

149


dieQuantenzahl nsehrgroß.DannistderAbstandderNullstellensehr 

vielkleineralsdieexperimentelleAuflösungunddieKurvenstimmen 

auchquantitativüberein. 

4.10.5 DynamikdesharmonischenOszillators 

WirwollenhierdieZeitentwicklungderWellenfunktionimPotentialdes 

harmonischenOszillatorsuntersuchen.ZurZeit t = 0seiderZustand 

|Φ0〉.ZueinemspäterenZeitpunkt t > 0ister 

t 

−i 

|Φ(t)〉 = e ˆ H 

|Φ0〉 , (4.96) 

daderHamilton-OperatordesharmonischenOszillatorsnichtexplizitvon 

derZeitabhängt.WirentwickelndenAnfangszustand |Φ0〉nachdenEigenzuständendesharmonischenOszillators 

|Φ0〉 = 

∞ 

cn |n〉 (4.97) 

n=0 

cn = 〈n|Φ0〉 = 

∞ 

−∞ 

〈n|x〉〈x|Φ0〉 dx = 

∞ 

−∞ 

Ψ ∗ n(x)Φ0(x) dx . (4.98) 

In1DimensionkönnenalleKoeffizienten cnreellgewähltwerden,wie 

auchdieEigenfunktionen Ψn(x).EinsetzeninGl.(4.96)liefert 

Φ(x, t) ≡ 〈x|Φ(t)〉 = 

∞ 

n=0 

= e −iωt/2 

cnΨn(x) e −iωt(n+1 

2 ) 

∞ 

cnΨn(x) e −iωtn 

n=0 

. (4.99) 

DieWellenfunktionzurZeit tbestehtsomitauseinerSummevonSchwingungenmitFrequenzen 

(n + 1 

2 )ω.WeilalledieseFrequenzenganzzahlige 

Vielfachevon ωsind,istdiegesamteWellenfunktionperiodischinder 

Zeit,mitderPeriode T = 2π/ω.DiesistauchdieSchwingungsdauerdes 

klassischenOszillators. 

Φ(x, t + T) = e −iπ 

 

−1 

e −iωt/2 

∞ 

n=0 

cnΨn(x) e −iωtn e −i2πn 

 

1 

(4.100) 

= −Φ(x, t) . (4.101) 

150

DernegativeVorfaktorhatkeinenEinflussaufMessgrößen. 


WirberechnennundaszeitlicheVerhaltenvon 〈 ˆ Q〉imZustand |Φ(t)〉 = 

∞ n=0 cn e−i(n+1 2 )ωt |n〉,mitreellenKoeffizienten cn.AusdemEhrenfestschen 

Theoremwissenwirschon,dass 〈 ˆ Q〉dieklassischeBewegungsgleichung 

fürdenharmonischenOszillatorerfüllt.WirerwartendeshalbbeipassendenAnfangsbedingungeneineSchwingungmitFrequenz 

ω. 

〈Φ(t)| ˆ Q |Φ(t)〉 = x0 

√2 〈Φ(t)| a † + a |Φ(t)〉 

= x0 

 

 

√2 

n=m+1 

= x0 

√2 

= x0 

√2 

n,m 

 

m 

cn cm〈n| e i(n+1 

2 )ωt e −i(m+1 

2 )ωt √ m + 1 |m + 1〉 + h.c. 

 

 

cm+1cm e iωt 

+ h.c. 

m 

|cm+1 cm| 2 2 cosωt 

 

. (4.102) 

Hiersteht”h.c.”fürdashermiteschKonjugiertedesvorherigenTermsund 

wirhabenausgenutzt,dass 〈Φ|a † |Φ〉derzu 〈Φ| a |Φ〉hermiteschkonjugierteAusdruckist. 

ImErgebnissehenwirtatsächlich,dassderErwartungswertdesOrtsoperatorsinderRegelmit 

cos ωtschwingt,allerdingsnur,fallsesimAnfangszustand 

|Φ0〉Terme cn+1cn = 0gibt.Dagegenist 〈 ˆ Q〉z.B.ineinemEigenzustand 

|n〉desHamiltonoperatorszeitunabhängigNull. 

EinbesondererFallsindkohärenteZustände(s.Übungen).DortistdieWellenfunktionzuallenZeitenGauß-förmigwieimGrundzustanddesharmonischenOszillators,dahermitminimalerUnschärfe,undschwingtals 

GanzesmitderFrequenz ω.EinsolcherZustandistvonallenZuständen 

desquantenmechanischenharmonischenOszillatorseinemklassischenTeilchenamähnlichsten. 

151

Kapitel5 

Näherungsverfahren 

EinezentraleAufgabebeimLösenquantenmechanischerProblemeistdie 

BestimmungderEigenwerteundEigenvektorenhermitescherOperatoren,vorallemdesHamiltonoperators 

ˆH|ψ〉 = E |ψ〉 . (5.1) 

EsistallerdingsnurindenwenigstenFällenmöglich,dasEigenwertproblemanalytischexaktzulösen.DarüberhinausverwendetmananalytischeundnumerischeNäherungsverfahren.WirbesprechenhierdenVariationsansatzunddiezeitunabhängigeStörungstheorie.EsgibtzahlreicheweitereNäherungsverfahren.Einigedavon,insbesonderediezeitabhängigeStörungstheorie,werdeninderVorlesungzurFortgeschrittenen 

Quantenmechanikbehandeltwerden. 

5.1 Variationsansatz 

DerVariationsansatzistfastimmeranwendbar.Erkannbesondershilfreichsein,umdieGrundzustandsenergieeinesSystemsabzuschätzen,wenndieexakteLösungnichtbekanntistundwennauchkeinkleinerStörtermvorliegt.DieIdeedesVariationsansatzesbestehtdarin,einephysikalischmotivierte„Testwellenfunktion”mitfreienParameternzuformulieren.DieParameterwerdensobestimmt,dassdieTestwellenfunktion 

dieEigenwertgleichung„sogutwiemöglicherfüllt”.Diesistwegendes 

folgendenSatzesbesondershilfreich: 

152

Kapitel 5. Näherungsverfahren 

SCHRANKENFÜRDIEENERGIEEINESBELIEBIGENNORMIERBAREN 

ZUSTANDSVEKTORS |ψ〉 

E0 ≤ 〈ψ| ˆ H|ψ〉 

〈ψ|ψ〉 ≤ Emax . (5.2) 

DieseSchrankenfüreinenreinenZustand |ψ〉übertragensichdurchLinearkombinationunmittelbaraufbeliebigenormierbareZustände: 

E0 

≤ 

Sp ˆρ ˆ 

H ≤ Emax. 

DerErwartungswertderEnergieineinemnormierbarenZustandliegtalsoimmerimEigenwertspektrumvon 

ˆ Hundistinsbesondereimmergrößer(odergleich)alsdiewahreGrundzustandsenergieE0.DerErwartungswertdesHamiltonoperatorsineinerTestwellenfunktionliefertalsoimmer 

eineobereSchrankefürdieexakteGrundzustandsenergie! 

ZumBeweisgehenwirvoneinembeliebigennormierbarenZustandsvektor 

|ψ〉ausundentwickelnihnnachdenEigenzuständen |n〉von ˆ H 

|ψ〉 = 

|n〉 〈n|ψ〉 . 

n 

DerEnergie-ErwartungswertimZustand |Ψ〉ist 

E = 〈ψ| ˆ H|ψ〉 

〈ψ|ψ〉 = 

 

 

= 

= 

n,n ′〈ψ|n〉 

Enδn,n ′ 

 

〈n| ˆ H|n ′ 〉〈n ′ |ψ〉 

n,n ′〈ψ|n〉 〈n|n ′ 〉 〈n ′ |ψ〉 = 

 

δ n,n ′ 

 

n |〈ψ|n〉|2 (En − E0 + E0) 

 

 

≥0 

n |〈ψ|n〉| 2 

n |〈ψ|n〉|2 

≥0 

 

 

(En − E0) 

 

n |〈ψ|n〉|2 

 

≥0 

+ 

 

n |〈ψ|n〉|2 E0 

 

n |〈ψ|n〉|2 

 

E0 

 

n |〈ψ|n〉|2 En 

 

n |〈n|ψ〉|2 

≥ E0 

DarausfolgtalsodasgesuchteErgebnis E ≥ E0.DieGleichheit E = E0 

153


liegtdannundnurdannvor,wenn |ψ〉 = |0〉,wennalso |ψ〉derGrundzustandsvektorist.MitanalogenÜberlegungenzeigtman,dass 

E ≤ Emax. 

Zusätzlichhilft,dasseinschlechterTestvektorimmernocheinerelativguteEnergieliefernkann,denneineNäherungderOrdnung 

O(ǫ)fürden 

TestvektorergibteineNäherungderOrdnung O(ǫ 2 )fürdieGrundzustandsenergie 

|ψ〉 = |0〉 + O(ǫ) ⇒ E = E0 + O(ǫ 2 ) 

Beweis: 

WirdrückendenTestzustand |ψ〉durchdenGrundzustand |0〉undden 

Korrekturvektor |∆〉aus,dervonderOrdnung O(ε)seinsoll. 

E = 

 

〈0| + 〈∆| ˆH |0〉 + |∆〉 

 

〈0| + 〈∆| |0〉 + |∆〉 

= 〈0| ˆ H|0〉 + 〈0| ˆ H|∆〉 + 〈∆| ˆ H|0〉 + 〈∆| ˆ H|∆〉 

〈0|0〉 + 〈0|∆〉 + 〈∆|0〉 + 〈∆|∆〉 

= E0〈0|0〉 + E0〈0|∆〉 + E0〈∆|0〉 + 〈∆| ˆ H|∆〉 

〈0|0〉 + 〈0|∆〉 + 〈∆|0〉 + 〈∆|∆〉 

 

 

E0 〈0|0〉 + 〈0|∆〉 + 〈∆|0〉 + 〈∆|∆〉 − 〈∆|∆〉 + 〈∆| 

= 

ˆ H|∆〉 

〈0|0〉 + 〈0|∆〉 + 〈∆|0〉 + 〈∆|∆〉 

O(ǫ 2 ) 

 

〈∆| ˆH − E0 |∆〉 

= E0 + 

〈ψ|ψ〉 

 

O(1) 

FürdasVariationsverfahrenwähltmaneinegeeigneteScharvonVektoren 

|ψ(λ)〉alsTestvektoren.DieseWahlistderIntuitionbzw.Erfahrung 

überlassen.DieVektoren |ψ(λ)〉solltensinnvoll,aberauchmathematisch 

einfachsein,d.h.dieErwartungswertesolltenberechenbarsein.DerbesteZustandsvektorinnerhalbdergewähltenScharistdannjener,derden 

Energie-Erwartungswertminimiert: 

154

Also 

VARIATIONSVERFAHREN 

Minimiere E(λ) = 〈ψ(λ)| ˆ H|ψ(λ)〉 

〈ψ(λ)|ψ(λ)〉 

∂ 

∂λ E(λ) = 0 ⇒ λopt ⇒ E opt = E(λopt) 


. (5.3) 

WenndieZustände |ψ(λ)〉normiertgewähltsind,istderNennerinGl. 

(5.3)gleichEins. 

5.2 ZeitunabhängigeStörungstheorie 

EinapproximativesVerfahrenzurLösungdesEigenwertproblemsbietet 

dieStörungstheorie.Umsieanwendenzukönnen,mussfolgendesgelten: 

1.DerHamiltonoperatormusssichaufspaltenlassen: ˆ H = ˆ H0 + ˆ H(λ), 

wobeidie’Störung’ ˆ HmeistvoneinemParameter λabhängt. 

2.DieEigenwertgleichungvon ˆ H0mussgelöstsein. 

ˆH0 |Φ (0) 

n 〉 = E(0) n |Φ(0) n 

3.DieStörungmusskleinsein:„ ˆ H ≪ ˆ H0” 

〉 . (5.4) 

BeivielenpraktischenProblemenlässtsich ˆ HinderTatsozerlegen.Der 

einfachsteFallistder,dassdieStörungzu λproportionalist: 

ˆH = ˆ H0 + λ ˆ H1 . (5.5) 

DiesenFallwerdenwirimFolgendenbetrachten.WirwerdendieEigenwertgleichungnachPotenzenvon 

λsortieren.DiesesNäherungsverfahren 

nenntmanSchrödingerscheStörungsrechnung. 

155

5.2.1 NichtentarteteStörungstheorie 


WirbehandelnzunächstdenFall,dass E (0) 

n nichtentartetist.Weiternehmenwiran,dassdieEigenwerteundEigenvektorenvon 

ˆ Hnach λentwickeltwerdenkönnen 

|Φn〉 = |Φ (0) 

n 

En = E (0) 

n 

〉 + λ |Φ(1) n 〉 + λ2 

+ λ E(1) 

n 

+ λ2 

|Φ (2) 

n 〉 + · · · 

E (2) 

n 

+ · · · (5.6) 

(EsgibtaberauchFälle,diezueinemnichtanalytischenErgebnisführen, 

dassichnichtnach λum λ = 0entwickelnlässt,wiez.B.dieFunktion 

a 

− e λ.)DieEigenvektoren |Φ (0) 〉desungestörtenProblemssollennormiert 

sein. 

EinsetzenindieEigenwertgleichung ˆ H |ψ〉 = E |ψ〉liefert 

ˆH0 + λ ˆ H1 

= E (0) 

n 

|Φ (0) 

n 

〉 + λ|Φ(1) 

n 〉 + λ2 |Φ (2) 

n 〉 + · · · = 

+ λE(1) n + λ2E (2) 

n + · · · |Φ (0) 

n 

〉 + λ|Φ(1) 

n 〉 + λ2 |Φ (2) 

n 

〉 + · · · 

WirsortierendiesnachPotenzenvon λ: 

ˆH0|Φ (0) 

 

n 〉 + λ ˆH1|Φ (0) 

n 〉 + ˆ H0|Φ (1) 

n 〉 

 

+ λ 2 

 

ˆH1|Φ (1) 

n 〉 + ˆ H0|Φ (2) 

n 〉 

 

+ . . . = 

E (0) 

n |Φ (0) 

 

n 〉 + λ E (1) 

n |Φ (0) 

n 〉 + E (0) 

n |Φ (1) 

 

n 〉 

+ λ 2 

 

E (2) 

n |Φ(0) n 〉 + E(1) n |Φ(1) n 〉 + E(0) n |Φ(2) n 〉 

 

+ . . . (5.7) 

DadieTaylorentwicklungfürbeliebige λgeltensoll,müssendieeinzelnen 

Ordnungenindividuellverschwinden. 

O(λ 0 ) : 

O(λ 1 ) : ˆ H1|Φ (0) 

H0|Φ ˆ (0) 

n 〉 = E(0) n |Φ(0) n 

n 〉 + ˆ H0|Φ (1) 

n 

〉 = E(1) 

n |Φ(0) n 

〉 (5.8a) 

〉 + E(0) 

n |Φ(1) n 

〉 (5.8b) 

O(λ 2 ) : ˆ H1|Φ (1) 

n 〉 + ˆ H0|Φ (2) 

n 〉 = E (2) 

n |Φ (0) 

n 〉 + E (1) 

n |Φ (1) 

n 〉 + E (0) 

n |Φ (2) 

n 〉 

(5.8c) 

EnergiekorrekturersterOrdnung 

DieGleichung0-terOrdnung(5.8a)entsprichtdemEigenwertproblemdes 

ungestörtenHamiltonoperators.UmdieEnergiekorrekturersterOrdnung 

156


zuerhalten,multiplizierenwirGl.(5.8b)vonlinksmit 〈Φ (0) 

n | 

〈Φ (0) 

n | ˆ H1|Φ (0) 

n 〉 + 〈Φ (0) 

 

n | ˆ H0 

E (0) 

n 〈Φ (0) 

n | 

|Φ (1) 

n 〉 = E (0) 

n 〈Φ (0) 

n |Φ (1) 

n 〉 + E (1) 

n 〉 

 

1 

n 〈Φ (0) 

n |Φ (0) 

DieEnergiekorrekturersterOrdnungistsomiteinfachderErwartungswertdesStöroperatorsimEigenzustand 

|Φ (0) 

n 〉desungestörtenSystems. 

ENERGIEKORREKTURERSTERORDNUNG 

E (1) 

n = 〈Φ (0) 

n | ˆ H1|Φ (0) 

n 〉 . (5.9) 

Dasbedeutetauch,dassdieGesamtenergiebiszurerstenOrdnungdurch 

denErwartungswertdesGesamt-Hamiltonoperators 

En = 〈Φ (0) 

n | ˆ H|Φ (0) 

n 〉 

imEigenzustand |Φ (0) 

n 〉desungestörtenSystemsgegebenist! 

VektorkorrekturersterOrdnung 

AlsnächstessolldieKorrekturfürdenEigenvektorgefundenwerden.DazumultiplizierenwirGl.(5.8b)vonlinksmit 

〈Φ (0) 

m |für m = n 

〈Φ (0) 

m | ˆ H1|Φ (0) 

n 

〉 + 〈Φ(0) m | ˆ H0 

 

E (0) 

m 〈Φ (0) 

m | 

〈Φ (0) 

m | ˆ H1|Φ (0) 

n 

⇒ 〈Φ (0) 

|Φ (1) 

n 〉 = E(0) n 〈Φ(0) m |Φ(1) n 

〉 = 

 

E (0) 

n 

− E(0) 

m 

m |Φ(1) 

〈Φ(0) m | 

n 〉 = ˆ H1|Φ (0) 

n 〉 

E (0) 

n − E (0) 

m 

157 

〉 + E(1) n 〈Φ(0) m |Φ(0) n 〉 

 

=0 

 

〈Φ (0) 

m |Φ(1) 

n 〉 

(5.10)


Damitkennenwir,bisauf m = n,alleKoeffizientenderEntwicklungdes 

Vektors |Φ (1) 

 

n 〉nachdemBasissystem |Φ (0) 

 

m 〉 : 

|Φ (1) 

n 〉 = 

m 

|Φ (0) 

m 〉 〈Φ (0) 

m |Φ (1) 

n 〉 

= |Φ (0) 

n 〉〈Φ(0) n |Φ(1) n 

= |Φ (0) 

n 〉〈Φ(0) n |Φ(1) n 

〉 + 

m=n 

〉 + 

m=n 

|Φ (0) 

m 〉 〈Φ(0) m |Φ(1) n 〉 

|Φ (0) 

m 

〈Φ(0) m | 

〉 ˆ H1|Φ (0) 

n 〉 

E (0) 

n − E (0) 

m 

(5.11) 

DerEntwicklungskoeffizient 〈Φ (0) 

n |Φ (1) 

n 〉istdurchGl.(5.8b)nichtfestgelegt. 

Wirzeigennun,dasserzuNullgewähltwerdenkann.Umdieszusehen, 

mussdieNormierungdesVektors |Φn〉inderbetrachtetenOrdnungin λ 

berücksichtigtwerden 

|Φn〉 = 

= 

= 

! 

|Φ (0) 

n 〉 + λ|Φ (1) 

n 〉 + O(λ2 ) 

 

〈Φ (0) 

n | + λ〈Φ (1) 

n | + O(λ2 

) |Φ (0) 

n 〉 + λ|Φ (1) 

n 〉 + O(λ2 1/2 ) 

|Φ (0) 

n 〉 + λ|Φ (1) 

n 〉 + O(λ 2 ) 

 

〈Φ (0) 

n |Φ (0) 

n 〉 +λ 

 

=1 

〈Φ (0) 

n |Φ (1) 

n 〉 + 〈Φ (1) 

n |Φ (0) 

n 〉 

+O(λ 

 

=:κ 

2 1/2 ) 

 

1 − 1 

2 λκ + O(λ2 

) |Φ (0) 

n 〉 + λ|Φ (1) 

n 〉 + O(λ 2 

) 

= |Φ (0) 

n 

〉 + λ|Φ(1) 

n 〉 + O(λ2 ) 

DurchdieNormierungdarfsichdasErgebnisfür |Φn〉inderbetrachteten 

Ordnung λnichtändern.Alsomussgelten 

κ = 0 + O(λ) . 

DieserreichtmanamEinfachstendurchdieWahl 〈Φ (0) 

n |Φ (1) 

n 〉 = 0.DerKorrekturvektor 

|Φ (1) 

n 〉istalsoorthogonalzu |Φ (0) 

n 〉.Wirerhaltendamitdie 

158

〈Φ (0) 

n |Φ(1) n 


KORREKTURERSTERORDNUNGDESEIGENVEKTORS 

|Φ (1) 

 

n 〉 = 

m=n 

|Φ (0) 

m 

〈Φ(0) m | 

〉 ˆ H1|Φ (0) 

n 〉 

E (0) 

n − E (0) 

m 

(5.12) 

〉 = 0 . (5.13) 

Wirkönnennunauchquantifizieren,was„ ˆ H ≪ ˆ H0”bedeutet.DamitGl. 

(5.12)eineguteNäherungist,mussgelten 

 

 

 

λ 

 

〈Φ (0) 

m | ˆ H1|Φ (0) 

E (0) 

n − E (0) 

m 

 

n 〉 

 

 

≪ 1 ∀ m = n (5.14) 

 

BeiderStörungstheoriegehtmannurseltenüberdieKorrekturersterOrdnungfürdieVektorenhinaus.Allerdingsistesoftnotwendig,EnergiekorrekturenzweiterOrdnungzuberechnen,insbesonderewennderBeitragersterOrdnungverschwindet,z.B.ausSymmetriegründen.WenndieStörungkleinist,genügteshäufig,denerstennicht-verschwindendenBeitrag 

zuberechnen.FallsdieReihenichtschnellgenugkonvergiert,kannesaber 

nötigwerden,bestimmteBeiträgezurStörungstheoriebiszuunendlicher 

Ordnungaufzusummieren.Hierfürgibtessogenanntediagrammatische 

Methoden. 

EnergiekorrekturzweiterOrdnung 

WirmultiplizierenGl.(5.8c)vonlinksmit 〈Φ (0) 

n |underhalten 

〈Φ (0) 

n | ˆ H1|Φ (1) 

n 〉 + 

E (0) 

n 〈Φ (0) 

n |Φ (2) 

n 〉 

 

〈Φ (0) 

n | ˆ H0|Φ (2) 

n 〉 

E (2) 

n 

EinsetzenderGl.(5.12)liefertsomit 

E (2) 

n 

 

= 

m=n 

〈Φ (0) 

n | ˆ H1|Φ (0) 

= E (2) 

n + E (1) 

n 

= 〈Φ(0) n | ˆ H1|Φ (1) 

n 〉 

m 〉〈Φ(0) 

m | ˆ H1|Φ (0) 

E (0) 

n − E (0) 

m 

159 

n 〉 

. 

0 

 

 

〈Φ (0) 

n |Φ (1) 

n 〉 +E (0) 

n 〈Φ (0) 

n |Φ (2) 

n 〉

ENERGIEKORREKTURZWEITERORDNUNG 

E (2) 

n = 

 

N 

 

〈Φ (0) 

m | ˆ H1|Φ (0) 

 

 

n 〉 

m=1 

m=n 

E (0) 

n − E (0) 

m 


2 

. (5.15) 

•DieKorrektur2.OrdnungzumGrundzustand(n=0)istimmernega- 

tiv,da E (0) 

0 

− E(0) 

m < 0 ∀ m = 0 

•PaarevonNiveaus n, m„stoßensichab” (Anti-level-crossing) 

Beispiel:Spin-1/2TeilchenimexternenMagnetfeld 

WirwollennuneineinfachesBeispielexaktlösenundanschließendmit 

demErgebnisderStörungstheorievergleichen. 

WirbetrachteneinSpin- 1 

2 TeilchenineinemexternenMagnetfeld B = Bzez 

inz-Richtung, Bz > 0.DerHamiltonoperatordiesesSystemslautet 

ˆH = −gBz ˆ Sz.DieEigenvektorendazusinddieEigenvektorenvon ˆ Sz,d.h. 

|±z〉,mitdenEigenwerten ∓gBz 

2 . 

AlsStörungschaltenwirnuneinschwaches B-Feldinx-Richtunghinzu. 

DerHamiltonoperatorlautetdann 

ˆH = −gBz ˆ Sz − gBx ˆ Sx , mit Bx 

Inder Sz-BasisistdieHamilton-Matrix 

Bz 

|+z〉 |−z〉 

|+z〉 −g 

2 Bz −g 

2 Bx 

|−z〉 −g 

2 Bx g 

2 Bz 

=: λ, |λ| ≪ 1 . 

(5.16) 

DieEigenwertgleichung ˆ H|ψ〉 = E|ψ〉lautetdaherinMatrixform 

− g 

 

Bz 

2 

Bx 

 

ψ1 ψ1 

= E . (5.17) 

Bx −Bz 

EinenichttrivialeLösungexistiertnur,wenn 

 

 

 

−g 2 

Bz Bx 

Bx −Bz 

ψ2 

 

 

− ˆ1E 

= E2 − (g 

160 

ψ2 

2 )2 (B 2 x + B2 z ) 

! 

= 0 .

Darausfolgt 


E± = ±g 

2 B , mit B := B 2 x + B2 z . (5.18) 

DiesesErgebnisistunmittelbareinsichtig:dadasphysikalischeProblem 

rotationsinvariantist,könntemandiez-AchseauchinRichtungdesGesamt- 

MagnetfeldesderStärke Blegen. 

AlsnächstesbestimmenwirdieEigenvektoren.EinsetzenderEigenwerte 

±gB 

2 indieEigenwertgleichung(5.17)liefert 

Bz Bx 

Bx −Bz 

 

 

ψ1 

± ˆ1B 

ψ2 

 

= 0 

AufgrundderverschwindendenDeterminantegenügtes,dieersteGleichungzuerfüllen, 

(Bz ± B) ψ1 + Bx ψ2 = 0.BisaufdieNormierunglautet 

derEigenvektoralso 

ψ1 

ψ2 

 

∼ 

 

Bx 

−(Bz ± B) 

ZumspäterenVergleichentwickelnwirdieexakteLösungnachdemkleinen 

Parameter λ = Bx/Bz. 

E± = ±g 

B2 z + B 

2 

2 x 

 

= ±g 

2 Bz 

√ 

1 + λ2 = ±g 

2 Bz 

FürdenEigenvektorzu E+lautetdieReihenentwicklung 

ψ1 

ψ2 

 

+ 

∼ 

undfürdenEigenvektorzu E− 

ψ1 

ψ2 

 

− 

∼ 

0 

1 

1 

0 

 

 

− λ 

 

1 

2 0 

+ λ 

 

0 

2 1 

161 

 

 

. 

 

1 + 1 

2 λ2 + O(λ 4 

) 

(5.19) 

+ O(λ 2 ) (5.20) 

+ O(λ 2 ) . (5.21) 

.


WirwollennundasProblemstörungstheoretischbehandeln.Wiridentifizieren 

ˆH0 = −gBz ˆ Sz und ˆ H1 = −gBx ˆ Sx . 

DieEigenlösungvon ˆ H0ist 

 

 

Φ (0) 

1,2 

 

= |±z〉 ; E (0) 

1,2 = ∓g 

2 Bz . 

DieMatrixelementevon ˆ H1sindinder z-Basisproportionalzu σx = 01 

. 10 

Dahergilt E (1) 

n = 〈Φ (0) 

n | ˆ Sx|Φ (0) 

n 〉 = 0undsomitverschwindetdieEnergiekorrekturersterOrdnung.HierhabenwiresalsomiteinemFallzutun, 

indemesnotwendigist,dieKorrekturzweiterOrdnungzubestimmen. 

FürdieNichtdiagonalelemente(d.h. n = m)von ˆ H1gilt 〈Φ (0) 

n | ˆ H1|Φ (0) 

m 〉 = 

−g 

2 Bxund 

E (2) 

n 

E (2) 

1/2 

 

= 

m=n 

= ∓g 

2 Bx 

 

 

〈Φ (0) 

m | ˆ H1|Φ (0) 

 

 

n 〉 

E (0) 

n − E (0) 

m 

Bx 

2Bz 

2 

= 

 

g 2 Bx 

2 2E (0) 

n 

DieKorrekturersterOrdnungfürdenEigenzustandlautet: 

|Φ (1) 

 

n 〉 = 

m=n 

|Φ (0) 

m 

〈Φ(0) m | 

〉 ˆ H1|Φ (0) 

n 〉 

E (0) 

n − E (0) 

m 

g 2 = − Bx 

2E (0) 

n 

 

m=n 

|Φ (0) Bx 

m 〉 = ± 

2Bz 

 

m=n 

|Φ (0) 

m 〉 

InTabelle5.2.1sinddieErgebnissefürdieEigenwerteundEigenvektorenzusammengefasst.SiestimmeninderbetrachtetenOrdnungmitden 

exaktenErgebnissenindenGl.(5.19,5.20und5.21)überein. 

n |Φ (0) 

n 〉 E (0) 

n 

1 |+z〉 − gBz 

2 

2 |−z〉 

gBz 

2 

E (0) 

n + E (2) 

n 

− gBz 

1 1 + 

2 

gBz 

2 

|Φ (1) 

n 〉 

2λ2 λ 

2 |−z〉 

 

1 1 + 2λ2 −λ 2 |+z〉 

Tabelle5.1:BeiträgezurStörungstheorie. 

162 

(5.22)


5.2.2 Störungstheoriefür(fast)entarteteZustände 

WirwendenunsnundemFallzu,dassesfürdenbetrachtetenZustand 

|Φ (0) 

n0 〉mindestenseinenweiterenZustand |Φ (0) 

m 〉gibt,fürdengilt 

 

 

 

λ 

 

〈Φ (0) 

n0 | ˆ H1|Φ (0) 

E (0) 

n0 − E (0) 

m 

 

m 〉 

 

 

≪ 1 . 

 

IndiesemFallbrichtderbisherbetrachteteFormalismuszusammen.Den 

ExtremfallstellenentarteteZuständedar,beidenen E (0) 

n0 − E (0) 

m = 0für 

bestimmte m = nist. 

 

E (0) 

na 

 

E (0) 

 

n0 

E (0) 

nb 

Abbildung5.1:Eigenwertspektrum 

✲ E 

WirbetrachtendasEigenwertspektrumvon ˆ H0(Abb.5.1).DieEigenzuständevon 

ˆ H0benutzenwiralsBasis.WirwähleneinenReferenz-Zustand 

n0unddessenNachbarschaft na < n0 < nbso,dassaußerhalbdiesesBereichskeinEntartungsproblemauftaucht: 

 

 

 

 

 

 

n 〉 

 

 

 

 

〈Φ (0) 

n0 | ˆ H1|Φ (0) 

E (0) 

n0 − E (0) 

n 

≪ 1 ∀ n /∈ N , 

mitderIndexmenge N = {na, na + 1, · · · , n0, · · · , nb}. 

DerProjektions-Operator 

ˆP = 

i∈N 

|Φ (0) 

i 〉〈Φ(0) 

i | , 

projiziert„auf N”,alsoindenRaumderjenigenEigenzuständevon ˆ H0, 

diemit n0(fast)entartetsind.DasKomplementvon ˆ Pist 

ˆQ = ˆ1 − ˆ P = 

163 

i/∈N 

|Φ (0) 

i 〉〈Φ(0) 

i | .

Wirteilennun ˆ Hwiefolgtauf 

ˆH = ˆ H0 + ( ˆ P + ˆ Q) 

 

=ˆ1 

= ˆ H0 + ˆ P ˆ H1 ˆ P 

 

= ê H0 

= ˆ H0 + ˆ H1 

ˆH1 ( ˆ P + ˆ Q) 

 

=ˆ1 

+ ˆ P ˆ H1 ˆ Q + ˆ Q ˆ H1 ˆ P + ˆ Q ˆ H1 ˆ Q 

 

= ê H1 


DerOperator ˆ H0hataußerhalbvon NwegenderProjektion ˆ Pdieselben 

Matrixelementewie ˆ H0.DieMatrixelementezwischenZuständeninnerhalbundaußerhalbvon 

N sindwegenderProjektion ˆ PNull.Dagegen 

hat ˆ H0innerhalbvon NdieMatrixelemente 

Amn := H 0 mn 

= δmnE (0) 

n 

+ 〈Φ(0) 

m | ˆ H1|Φ (0) 

n 

〉 , m, n ∈ N . 

DieMatrixdarstellungvon ˆ H0hatsomitfolgendeBlockgestalt: 

N N 

N A 0 

N 0 ∆ 

∆isteineDiagonalmatrix ∆nn ′ = δnn ′E(0) n . 

(5.23) 

Mankann ˆ H0inDiagonalformbringen,indemmandieMatrix Adiagonalisiert.DiesstelltinderRegelkeinProblemdar,daderRaumder(fast) 

entartetenZuständekleinist(Dimension


mit ˆ H0 = ˆ H0 + ˆ P ˆ H1 ˆ Pund ˆ H1 = ˆ P ˆ H1 ˆ Q + ˆ Q ˆ H1 ˆ P + ˆ Q ˆ H1 ˆ Q.WirwarenursprünglichamZustand 

n0interessiert.Wirkönnenaberauchgleichdie 

KorrekturenfüralleanderenZuständein Nuntersuchen.FürdieseZuständeberechnenwirjetztdieKorrekturenzuEnergieundZustandsvek- 

toraufgrundvon ˆ H1. 

DieEnergiekorrekturersterOrdnungist 

E (1) 

n = 〈 Φ (0) 

n | ˆ H1| Φ (0) 

n 〉 

Für n ∈ Nist | Φ 0 n〉eineLinearkombinationderZuständeausdemvon ˆ P 

aufgespanntenRaum.Dahergilt ˆ Q| Φ 0 n 〉 = 0.Weilnun ˆ QinjedemTerm 

von ˆ H1vorkommt,ist 

ENERGIEKORREKTURERSTERORDNUNGINNERHALBVON N BEI 

E (1) 

n 

ENTARTUNG 

= 0 ; n ∈ N . (5.24) 

DielinearenEinflüssevon ˆ H1wurdenalsobereitsbeiderDiagonalisie- 

rungvon ˆ H0berücksichtigt. 

WirberechnennundieKorrekturderZustandsvektoren.Für n ∈ Ngilt 

|Φ (1) 

 

n 〉 = | 

m=n 

Φ (0) 

ˆP | Φ (0) 

n 〉 = | Φ (0) 

n 〉 

ˆQ| Φ (0) 

n 〉 = 0 

|Φ (1) 

 

n 〉 = | 

m=n 

Φ (0) 

m | ˆ H1| Φ (0) 

n 〉 

m 〉〈 Φ (0) 

E (0) 

n − E (0) 

m 

 

⇒ ˆ H1| Φ (0) 

n 〉 = ˆ Q ˆ H1| Φ (0) 

n 〉 

m 〉 〈 Φ (0) 

m | ˆ Q ˆ H1| Φ (0) 

m ∈ N ⇒ 〈 Φ (0) 

m | ˆ Q = 0 

 

m /∈ N ⇒ 

n 〉 

E (0) 

n − E (0) 

m 

〈 Φ (0) 

m | = 〈Φ (0) 

m | 

E (0) 

m = E (0) 

m 

165


SomitsiehtdieEnergiekorrekturzweiterOrdnungbeim(fast-)entarteten 

Spektrumvon H0formalähnlichauswiebeimnichtentartetenSpektrum. 

KORREKTURERSTERORDNUNGZUMZUSTANDSVEKTORBEI 

|Φ (1) 

n 〉 = 

m/∈N 

| Φ (0) 

ENTARTUNG 

m 〉 〈 Φ (0) 

m | ˆ H1| Φ (0) 

E (0) 

n − E (0) 

m 

n 〉 

; n ∈ N . (5.25) 

Wiewirgeradegezeigthaben,sinddieindieserBeziehungauftauchenden 

Matrixelementevon ˆ H1dieselbenwievon ˆ H1. 

MitanalogenÜberlegungenerhaltenwirauchdie 

ENERGIEKORREKTURZWEITERORDNUNGBEIENTARTUNG 

E (2) 

n 

 

 

〈 

= Φ (0) 

m | ˆ H1| Φ (0) 

 

 

n 〉 

E (0) 

n − E (0) 

m 

m/∈N 

2 

; n ∈ N . (5.26) 

InGl.(5.25)und(5.26)tragennurnochZustände m /∈ Nbei,sodass–wie 

esdasZielunsererÜberlegungenwar–derNennerjetztnichtmehrzu 

kleinwird.DieGrundlagenfürdieAnwendbarkeitderStörungstheorie 

 

 

( 〈Φ(0) m | ˆ H1|Φ (0) 

n 〉 

≪ 1)sinddadurchsichergestellt. 

E (0) 

n −E (0) 

m 

DieEnergienundEigenvektorenzu n /∈ Nmüssenseparatberechnetwerden;entwedermitdenFormelndernicht-entartetenStörungstheorieoder 

indemindenobigenÜberlegungen nalsneuerBezugspunkt n0gewählt 

wird. 

166

5.3 ZunumerischenVerfahren 


NebenanalytischenMethodengibteseineReihesehrleistungsstarkernumerischerVerfahrenzumLösenvonEigenwertproblemen.Umsieanwendbarzumachen,stelltmanzunächstdasEigenwertproblemineinerendlichenBasis 

|i〉(i = 1, 2, . . ., N)dar 

ˆH |ψ〉 = E |ψ〉 (5.27) 

N 

mit |ψ〉 = ci |i〉 (5.28) 

i=1 

und Hij = 〈i| ˆ H|j〉 . 

EntwederistderbetrachteteVektorraumvonvornhereinendlich,oderer 

wirddurcheinephysikalischmotivierte,endlicheBasisapproximiert.Je 

nachderDimension NderBasiswendetmanunterschiedlicheVerfahren 

an: 

N ≤ 10 3 :StandardverfahrendernumerischenMathematik: 

liefernvollständigesSpektrumundalleEigenvektoren 

10 3 ≤ N ≤ 10 10 :Lanczos-Verfahren:exaktesiterativesVerfahren 

fürtiefliegendeEigenwerteund-zustände 

10 10 ≤ N ≤ 10 ≈105 

:Quanten-Monte-Carlo-Verfahren: 

zurBestimmungthermodynamischerMittelwerte; 

oderzurBestimmungdesGrundzustandesund 

tiefliegenderEigenzustände;sowiedynamischerEigenschaften. 

EinigeVerfahrensindstatistischexakt,d.h. E QMC = E exakt ± σ 

√ NMC . 

167

Quantenmechanik - TU Graz - Institut für Theoretische Physik ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?