Zylinder und Kegel - Volumen und Oberfläche

Lösung:
Zylinder und Kegel - Volumen und Oberfläche
1. Aufgaben zur Anwendung
Aus einem 39cm dicken und 7m langen Baumstamm sollen Dielen gesägt werden
wie in nebenstehender Abbildung angegeben.
(a) Berechne das Volumen des Baumstamms.
(b) Wie viel m 3 Holz kann für die Dielen genutzt werden? Wie viel Prozent beträgt
der Schnittverlust
(c) Wenn die Dielen eine Dicke von 1,5cm haben sollen, wie viel m 2 -Wohnfläche
können damit ausgelegt werden?
2. Mathe im Sport
Lösung: (a) 6,53
(a) Beim Biathlon beträgt der Durchmesser der Scheiben beim Schießen mit liegenden
Anschlag 4,5cm und beim stehenden Anschlag 11,5cm.
Um wie viel Mal ist die Fläche beim stehendem Anschlag größer als beim
liegenden Anschlag?
(b) Nach dem Sieg wird mit einem Glas Sekt gefeiert. Das Glas hat eine Gesamthöhe
von 21 cm , eine Fußhöhe von 11 cm und einen oberen Durchmesser
von 6cm.
i. Welches Gesamtvolumen hat das Sektglas?
ii. Wie viele Gläser Sekt kann man aus einer 1,5-Liter-Flasche aussschenken?
(c) Ein zylindrischer Puck hat eine Oberfläche von 152cm 2 und eine Höhe von 2,54
cm. Welches Volumen hat der Eishockey-Puck?
1

(b) 0,094l; 16
(c) 2r 2 π +2rπh = A ⇒ r = −h±
⇒ V = r 2 πh = 463cm 3
3. Berechnen Sie den Oberflächeninhalt des
Körpers, der entsteht, wenn die Figur um die
Achse a rotiert!
Lösung: O = (75+3 √ 10)·π
h2 + 2A
π ⇒ r ≈ 7,62cm
4. Gegeben ist ein gerader Kreiskegel mit dem Radius
R = a und der Höhe H = 4
3 a.
(a) Berechnen Sie die Länge einer Mantellinie
in Abhängigkeit von a!
(b) BeimAbwickeln desKegelmantelsentsteht
ein Kreissektor. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel
des Kreissektors!
(c) Aus dem Kegel wird ein Zylinder mit der
Höhe h = a herausgebohrt (s. Skizze!). Berechnen
Sie das Volumen des Zylinders in
Abhängigkeit von a!
Lösung: (a): 5
3 a (b) : 216◦ (c) : π
16 a3
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
.
5. Ein Apfelmushersteller hat bei einer Dosenfabrik 12000 zylindrische Blechdosen
mit dem Radius r und der Höhe h = 2r in Auftrag gegeben. In die bestellten
Dosen paßt gerade sein gesamter Apfelmusvorrat. Der Designer der Dosenfabrik,
ein mathematischer Analphabet, ließ statt der zylindrischen kegelförmige Dosen
mit dem Radius R = 9cm und der Höhe H = 12cm herstellen. Die Oberfläche einer
kegelförmigenDoseistgenausogroßwiedieOberflächeeiner bestelltenzylindrischen
Dose. Wie viele kegelförmige Dosen müssen nachbestellt werden, damit der gesamte
Musvorrat abgepackt werden kann?
2
R
√ 10
h
.
.
a
H
6
1

Lösung: r = 6cm; VK = 324πcm 2 ; VZ = 432πcm 2
Gesamtzahl der Kegel = 12000· VZ
=⇒ 4000 Kegel nachbestellen
VK
= 16000
6. Die nebenstehend gezeichnete, zur Achse
a symmetrische Figur rotiert um die
Achse a. Berechne das Volumen V und
die Oberfläche A des entstehenden Rotationskörpers!
Lösung: V = 54,6πcm 3
A = 56πcm 2
.
.
✻
2cm
.......
.
❄
.
a
✛ 3,5cm ✲
........
.
✛✲
.
1,5cm
.
✻
4,8cm
❄
.
✻
2cm
❄
7. Aus alt mach neu!
Man nehme 35 Weihnachtskerzen, die eine Zylinderform mit 10mm Radius und
13,2cm Höhe sowie einen 4mm dicken Docht haben. Nach dem Entfernen des Dochtes
werden die Kerzen in einem Topf zum Schmelzen gebracht.
(a) Welches Volumen hat die Wachsmasse?
(b) Schüttet man die flüssige Wachsmasse in
einen kegelförmigen Trichter mit einem Öffnungswinkel
von 60 o (vgl. Zeichnung), so entsteht
eine herrliche Geburtstagskerze. Wie
hoch steht die Wachsmasse im Trichter?
Lösung: 1393cm 3 und 15,86cm
8. Ein gleichseitiger Kegel (d.h. Grundkreisdurchmesser = Mantellinienlänge) und ein
gleichseitiger Zylinder (d.h. Grundkreisdurchmesser = Zylinderhöhe) haben gleiche
Oberflächen.
Wie verhalten sich ihre Rauminhalte?
Lösung: VZ : VK = √ 6 : 2
3
.
.
.
.
.
.
.
30o .
.
.
..
.

9. Einem Kegel mit Radius r und Höhe h ist ein Zylinder einbeschrieben, der auf der
Grundfläche des Kegels steht und dessen Grundkreisdurchmesser gleich seiner Höhe
ist. Wie verhalten sich die Volumina von Kegel und Zylinder zueinander?
Lösung: VKe : VZy = (2r +h) 3 : 6rh 2
10. Bei einem Kegel mit Grundkreisradius r und Höhe h ist die Mantellinienlänge m
doppelt sogroßwieh.DemKegelist einZylinder einbeschrieben, der aufderGrundfläche
des Kegels steht und dessen Mantelfläche ein Viertel der Mantelfläche des
Kegels beträgt. Welchen Radius ̺ besitzt der Zylinder?
Lösung: ̺ = r
2
11. In eine zylinderförmige Eieruhr aus Plexiglas
(Radius r = 4cm, Höhe h = 12cm) sind
zwei gleiche Kegel eingeschliffen, die sich mit
den Spitzen berühren und dort gegenseitig
durchlässig sind (vgl. Abb.). Der obere Kegel
sei ganz mit feinem Sand gefüllt, der innerhalb
von 5 Minuten in den unteren Kegel
abfließen kann.
←− r −→←− r −→
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
. . .
.
.
.
.
(a) Wie viele Kubikmillimeter Sand fließen pro Sekunde ab, wenn eine gleichbleibende
Geschwindigkeit vorausgesetzt wird?
(b) Wie hoch steht der Sand im oberen Kegel nach 3 Minuten?
(c) Berechnen Sie die Masse der Eieruhr!
(̺Plexiglas = 1,2 kg
dm3; ̺Sand = 1,8 kg
dm3) Lösung: 335mm 3 ; 4,4cm; 664g
4
.
↑ |
|
|
|
h
|
|
|
|
↓