Bruchgleichungen lösen

Lösung:
Bruchgleichungen lösen
1. Jemand behauptet, einen Bruch mit folgenden Eigenschaften gefunden zu haben:
Der Bruch hat den Wert 1.
Vermindert man Zähler und Nenner des Bruches um 1
3
und subtrahiert den neu entstandenen Bruch vom doppelten Wert des ursprüngli-
des Kehrwertes des ursprünglichen Bruches.
chen Bruches, so erhält man 1
9
ZeigemitHilfeeinerausführlichenRechnung,daßeseinensolchenBruchnichtgeben
kann!
2. Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge des angegebenen Bruchterms:
Lösung: D =Q\{−3;3}; L = {− 11
3 }
− 2 4t+1
+
t+3 t2 2t−5
−
−9 2t−6
= −1
3. Gib die Definitionsmenge an und berechne die Lösungsmenge:
Lösung: D =Q\{− 9
2
9 9 ; 2 } ; x = 2
3
4x2 14−3x 2x−1
− =
−81 6x−27 4x+18
/∈ D =⇒ L = {}
4. Bestimme Definitions- und Lösungsmenge über G =Q:
Lösung: G =Q\{± 3
2 }, L = {−10}
3x x+5
−
4x−6 6x+9 = 2− 17x2 −4
12x2 −27
5. Bestimme Definitions- und Lösungsmenge:
Lösung: D =Q\{− 2
3 }, L = {−2}
3x
3x+2 −
2−3x
9x2 = 1
+12x+4
6. Gib für folgende Gleichung die Definitions- und die Lösungsmenge an (G =Q)!
5x+2
36−12x −
15
6x2 5x+20 5
= −
−54 12x+36 6
1

Lösung: D =Q\{−3;3}, L = {}
7. Gib die Definitions- und die Lösungsmenge an (G =Q)!
Lösung: D =Q\{− 3 3
2 , 2 }, L = {}
5x+10 5 5x+1
− =
12x+18 6 18−12x −
5
8x2 −18
8. Löse nach x auf und bestimme die Lösungsmenge in Abhängigkeit von r:
r −x x+r
−
x+r r −x = 4(r2 +r)
x2 −r2 Lösung: r = 0 und r = −1 2 : L = {r +1}, r = 0: L =Q\{0}, r = −1
2 : L = {}
9. GibjeweilsdieDefinitions-undLösungsmengean.FühreFallunterscheidungendurch,
wo es nötig ist.
(a) 3x−4a
x−a
(b) 1
x
1 1
= +
a b
− 2x+3a
x
= 1
Lösung: (a) D =Q\{0;a} La=0 = D; La=0 = { 3
4 a}
(b) D =Q\{0}, a,b = 0; La=−b = {}; La=−b = { ab
a+b }
10. Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge (Fallunterscheidung!):
x−7 x+7
+
x−a x+b
= 2
Lösung: D =Q\{a;b};
La=b = { 7a+7b−2ab
a−b }; La=b=0 = La=b=7 = D; Lsonst = {}
11. Wir betrachten die Gleichung:
6x
12x 2 −75 −
b
4x 2 −20x+25 =
1
2x+5
(a) Bestimme dieDefinitionsmengeDderGleichung undberechne xzunächst ohne
Berücksichtigung jeglicher Fallunterscheidung! Der Rechenweg zählt, nicht das
Ergebnis!
2
(1)

(b) Das Ergebnis von Teilaufgabe (a) lautet: x = 5b+25
10−2b
Bestimme jetzt die Lösungsmenge der Gleichung (1)mit Berücksichtigung aller
Fälle für den Parameter b!
Lösung: D =Q\{− 5 5
2 ; 2 }
Der Lösungsterm ist nicht definiert für b = 5; für b = 0 ist x = 5
2 /∈ D
{} für b = 0 oder b = 5
=⇒ L =
sonst
Lösung:
Lösung:
5(5+b)
2(5−b)
12. Löse nach T2 auf und gib die Bedingung an, unter der das Auflösen nur möglich ist!
1
S = Q −
T1
1
T2
T2 = QT1
Q−ST1
fürQ = ST1
13. Löse nach m auf und gib die Bedingung an, unter der das Auflösen nur möglich ist!
f =
m = nR
R−nf
1 1
− R
n m
mit R = nf
14. Gib die Definitions- und Lösungsmenge über der GrundmengeQan!
b2 Lösung: D =Q\{a}, L =
b x−a
−
ax−a 2 b = bx−a3 −ax2 a(bx−ab)
b−2a 2
, für b = 2a 2
3
mit a, b > 0