Bruchgleichungen lösen
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Lösung:<br />
<strong>Bruchgleichungen</strong> <strong>lösen</strong><br />
1. Jemand behauptet, einen Bruch mit folgenden Eigenschaften gefunden zu haben:<br />
Der Bruch hat den Wert 1.<br />
Vermindert man Zähler und Nenner des Bruches um 1<br />
3<br />
und subtrahiert den neu entstandenen Bruch vom doppelten Wert des ursprüngli-<br />
des Kehrwertes des ursprünglichen Bruches.<br />
chen Bruches, so erhält man 1<br />
9<br />
ZeigemitHilfeeinerausführlichenRechnung,daßeseinensolchenBruchnichtgeben<br />
kann!<br />
2. Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge des angegebenen Bruchterms:<br />
Lösung: D =Q\{−3;3}; L = {− 11<br />
3 }<br />
− 2 4t+1<br />
+<br />
t+3 t2 2t−5<br />
−<br />
−9 2t−6<br />
= −1<br />
3. Gib die Definitionsmenge an und berechne die Lösungsmenge:<br />
Lösung: D =Q\{− 9<br />
2<br />
9 9 ; 2 } ; x = 2<br />
3<br />
4x2 14−3x 2x−1<br />
− =<br />
−81 6x−27 4x+18<br />
/∈ D =⇒ L = {}<br />
4. Bestimme Definitions- und Lösungsmenge über G =Q:<br />
Lösung: G =Q\{± 3<br />
2 }, L = {−10}<br />
3x x+5<br />
−<br />
4x−6 6x+9 = 2− 17x2 −4<br />
12x2 −27<br />
5. Bestimme Definitions- und Lösungsmenge:<br />
Lösung: D =Q\{− 2<br />
3 }, L = {−2}<br />
3x<br />
3x+2 −<br />
2−3x<br />
9x2 = 1<br />
+12x+4<br />
6. Gib für folgende Gleichung die Definitions- und die Lösungsmenge an (G =Q)!<br />
5x+2<br />
36−12x −<br />
15<br />
6x2 5x+20 5<br />
= −<br />
−54 12x+36 6<br />
1
Lösung: D =Q\{−3;3}, L = {}<br />
7. Gib die Definitions- und die Lösungsmenge an (G =Q)!<br />
Lösung: D =Q\{− 3 3<br />
2 , 2 }, L = {}<br />
5x+10 5 5x+1<br />
− =<br />
12x+18 6 18−12x −<br />
5<br />
8x2 −18<br />
8. Löse nach x auf und bestimme die Lösungsmenge in Abhängigkeit von r:<br />
r −x x+r<br />
−<br />
x+r r −x = 4(r2 +r)<br />
x2 −r2 Lösung: r = 0 und r = −1 2 : L = {r +1}, r = 0: L =Q\{0}, r = −1<br />
2 : L = {}<br />
9. GibjeweilsdieDefinitions-undLösungsmengean.FühreFallunterscheidungendurch,<br />
wo es nötig ist.<br />
(a) 3x−4a<br />
x−a<br />
(b) 1<br />
x<br />
1 1<br />
= +<br />
a b<br />
− 2x+3a<br />
x<br />
= 1<br />
Lösung: (a) D =Q\{0;a} La=0 = D; La=0 = { 3<br />
4 a}<br />
(b) D =Q\{0}, a,b = 0; La=−b = {}; La=−b = { ab<br />
a+b }<br />
10. Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge (Fallunterscheidung!):<br />
x−7 x+7<br />
+<br />
x−a x+b<br />
= 2<br />
Lösung: D =Q\{a;b};<br />
La=b = { 7a+7b−2ab<br />
a−b }; La=b=0 = La=b=7 = D; Lsonst = {}<br />
11. Wir betrachten die Gleichung:<br />
6x<br />
12x 2 −75 −<br />
b<br />
4x 2 −20x+25 =<br />
1<br />
2x+5<br />
(a) Bestimme dieDefinitionsmengeDderGleichung undberechne xzunächst ohne<br />
Berücksichtigung jeglicher Fallunterscheidung! Der Rechenweg zählt, nicht das<br />
Ergebnis!<br />
2<br />
(1)
(b) Das Ergebnis von Teilaufgabe (a) lautet: x = 5b+25<br />
10−2b<br />
Bestimme jetzt die Lösungsmenge der Gleichung (1)mit Berücksichtigung aller<br />
Fälle für den Parameter b!<br />
Lösung: D =Q\{− 5 5<br />
2 ; 2 }<br />
Der Lösungsterm ist nicht definiert für b = 5; für b = 0 ist x = 5<br />
<br />
2 /∈ D<br />
{} für b = 0 oder b = 5<br />
=⇒ L =<br />
<br />
sonst<br />
Lösung:<br />
Lösung:<br />
5(5+b)<br />
2(5−b)<br />
12. Löse nach T2 auf und gib die Bedingung an, unter der das Auf<strong>lösen</strong> nur möglich ist!<br />
<br />
1<br />
S = Q −<br />
T1<br />
1<br />
<br />
T2<br />
T2 = QT1<br />
Q−ST1<br />
fürQ = ST1<br />
13. Löse nach m auf und gib die Bedingung an, unter der das Auf<strong>lösen</strong> nur möglich ist!<br />
f =<br />
m = nR<br />
R−nf<br />
<br />
1 1<br />
− R<br />
n m<br />
mit R = nf<br />
14. Gib die Definitions- und Lösungsmenge über der GrundmengeQan!<br />
<br />
b2 Lösung: D =Q\{a}, L =<br />
b x−a<br />
−<br />
ax−a 2 b = bx−a3 −ax2 a(bx−ab)<br />
b−2a 2<br />
<br />
, für b = 2a 2<br />
3<br />
mit a, b > 0