Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
1. Geben Sie die Stammfunktion von sinx
4+2cosx an.
Lösung: F(x) = − 1
2 ln(4+2cosx)+C
2. (a) Von der Funktion f kennt man die Ableitung
f ′ (x) = 9−x 2
und den Funktionswert f(3) = 10. Berechne f(1).
(b) Von der Funktion g kennt man die Ableitung
g ′ (x) = 1
√ x 3
und den Funktionswert g(1) = 1. Berechne die Gleichung von g und stelle sie
in der Wurzelschreibweise dar.
9−x 2
Lösung: (a) f(x) =
dx = 9x− x3
3 +C
Lösung:
f(3) = 27− 27
3
f(1) = 9− 1
3
(b) g(x) =
+C = 18+C = 10 =⇒ C = −8 =⇒ f(x) = 9x− x3
3 −8
2
−8 =
3
1
√ dx =
x3 x −3
2dx = x−3 2 +1
−3 2
2
+1 +C = x−1
−1 2
g(1) = −2+C = 1 =⇒ C = 3 =⇒ g(x) = − 2
√ x +3
3. Beweise mittels einer sehr ausführlichen Rechnung:
sin 2 xdx = x sinxcosx
− +C
2 2
+C = − 2
√ x +C
′
x sinxcosx
− +C =
2 2
1 1
− (cosxcosx+sinx(−sinx)) =
2 2
= 1 2 2 1 2 2
1− cos x−sin x = 1−cos x+sin x =
2
2
= 1 2 2 2
sin x+sin x = sin x q.e.d.
2
1

4. (a) Beweise die Integralformel: cos 2 axdx = x 1
+
2 2a sinaxcosax+C
2 x
(b) Berechne den Mittelwert der Funktion f(x) = cos im Intervall [0,π].
2
Lösung: (a) Beweis durch Ableiten der rechten Seite (RS):
(b) Mit a = 1
2
RS ′
x 1
= +
2 2a sinaxcosax+C
′
= 1 1 2 2
+ acos ax−asin ax =
2 2a
= 1
2
1−sin ax+cos
2
2 ax = cos 2 ax
cos 2 ax
folgt aus der bewiesenen Integralformel:
f = 1
π
= 1
π
π
0
cos 2
1
2 x
dx = 1
x
π 2
π π
+sin
2 2
cos π
2
0
2
−0 = 1
2
1
+
2· 1 sin
2
x
π x
cos =
2 2
0