Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 1. Geben Sie die Stammfunktion von sinx 4+2cosx an. Lösung: F(x) = − 1 2 ln(4+2cosx)+C 2. (a) Von der Funktion f kennt man die Ableitung f ′ (x) = 9−x 2 und den Funktionswert f(3) = 10. Berechne f(1). (b) Von der Funktion g kennt man die Ableitung g ′ (x) = 1 √ x 3 und den Funktionswert g(1) = 1. Berechne die Gleichung von g und stelle sie in der Wurzelschreibweise dar. 9−x 2 Lösung: (a) f(x) = dx = 9x− x3 3 +C Lösung: f(3) = 27− 27 3 f(1) = 9− 1 3 (b) g(x) = +C = 18+C = 10 =⇒ C = −8 =⇒ f(x) = 9x− x3 3 −8 2 −8 = 3 1 √ dx = x3 x −3 2dx = x−3 2 +1 −3 2 2 +1 +C = x−1 −1 2 g(1) = −2+C = 1 =⇒ C = 3 =⇒ g(x) = − 2 √ x +3 3. Beweise mittels einer sehr ausführlichen Rechnung: sin 2 xdx = x sinxcosx − +C 2 2 +C = − 2 √ x +C ′ x sinxcosx − +C = 2 2 1 1 − (cosxcosx+sinx(−sinx)) = 2 2 = 1 2 2 1 2 2 1− cos x−sin x = 1−cos x+sin x = 2 2 = 1 2 2 2 sin x+sin x = sin x q.e.d. 2 1
- Seite 2: 4. (a) Beweise die Integralformel:
<strong>Hauptsatz</strong> <strong>der</strong> <strong>Differential</strong>- <strong>und</strong> <strong>Integralrechnung</strong><br />
1. Geben Sie die Stammfunktion von sinx<br />
4+2cosx an.<br />
Lösung: F(x) = − 1<br />
2 ln(4+2cosx)+C<br />
2. (a) Von <strong>der</strong> Funktion f kennt man die Ableitung<br />
f ′ (x) = 9−x 2<br />
<strong>und</strong> den Funktionswert f(3) = 10. Berechne f(1).<br />
(b) Von <strong>der</strong> Funktion g kennt man die Ableitung<br />
g ′ (x) = 1<br />
√ x 3<br />
<strong>und</strong> den Funktionswert g(1) = 1. Berechne die Gleichung von g <strong>und</strong> stelle sie<br />
in <strong>der</strong> Wurzelschreibweise dar.<br />
<br />
9−x 2<br />
Lösung: (a) f(x) =<br />
dx = 9x− x3<br />
3 +C<br />
Lösung:<br />
f(3) = 27− 27<br />
3<br />
f(1) = 9− 1<br />
3<br />
<br />
(b) g(x) =<br />
+C = 18+C = 10 =⇒ C = −8 =⇒ f(x) = 9x− x3<br />
3 −8<br />
2<br />
−8 =<br />
3<br />
<br />
1<br />
√ dx =<br />
x3 x −3<br />
2dx = x−3 2 +1<br />
−3 2<br />
2<br />
+1 +C = x−1<br />
−1 2<br />
g(1) = −2+C = 1 =⇒ C = 3 =⇒ g(x) = − 2<br />
√ x +3<br />
3. Beweise mittels einer sehr ausführlichen Rechnung:<br />
<br />
sin 2 xdx = x sinxcosx<br />
− +C<br />
2 2<br />
+C = − 2<br />
√ x +C<br />
′<br />
x sinxcosx<br />
− +C =<br />
2 2<br />
1 1<br />
− (cosxcosx+sinx(−sinx)) =<br />
2 2<br />
= 1 2 2 1 2 2<br />
1− cos x−sin x = 1−cos x+sin x =<br />
2<br />
2<br />
= 1 2 2 2<br />
sin x+sin x = sin x q.e.d.<br />
2<br />
1
4. (a) Beweise die Integralformel: cos 2 axdx = x 1<br />
+<br />
2 2a sinaxcosax+C<br />
2 x<br />
(b) Berechne den Mittelwert <strong>der</strong> Funktion f(x) = cos im Intervall [0,π].<br />
2<br />
Lösung: (a) Beweis durch Ableiten <strong>der</strong> rechten Seite (RS):<br />
(b) Mit a = 1<br />
2<br />
RS ′ <br />
x 1<br />
= +<br />
2 2a sinaxcosax+C<br />
′<br />
= 1 1 2 2<br />
+ acos ax−asin ax =<br />
2 2a<br />
= 1<br />
2<br />
1−sin ax+cos<br />
2<br />
2 ax = cos 2 ax<br />
<br />
cos 2 ax<br />
folgt aus <strong>der</strong> bewiesenen Integralformel:<br />
f = 1<br />
π<br />
= 1<br />
π<br />
π<br />
0<br />
cos 2<br />
<br />
1<br />
2 x<br />
<br />
dx = 1<br />
<br />
x<br />
π 2<br />
<br />
π π<br />
+sin<br />
2 2<br />
cos π<br />
2<br />
<br />
0<br />
2<br />
<br />
−0 = 1<br />
2<br />
1<br />
+<br />
2· 1 sin<br />
2<br />
x<br />
π x<br />
cos =<br />
2 2<br />
0