SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(d)
2.6 Kurvendiskussion
a -5,0 -2,0 -1,0 -0,5 -0,4 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 4,0
xS -4,98 -1,88 -0,5 1,5 2,73 3,53 2,5 1,72 1,5 1,72 2,13 4,03
yS -0,20 -0,52 -1,25 -6,00 -12,3 -7,27 -2,00 0,39 0,75 0,62 0,48 0,25
g ist keine Funktion.
12. Gegeben ist die Funktionenschar f(x) = ax 4 +bx 2 , a,b = 0, D = R.
(a) Für welche Werte von a und b hat der Graph der Funkion Extrema?
(b) Berechnen sie die Ortskurve der Extrema für festes a und variables b.
(c) Für welche Werte von a und b hat der Graph der Funkion Wendepunkte?
(d) Zeichnen sie die Graphen der Funktionen für a = 1 und b = −4,−1,1,4. Achten
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sie darauf, dass die Lage der Extrema (soweit vorhanden) richtig eingetragen
ist. Tragen sie die Ortskurve der Extrema in das Diagramm ein.
(e) Betrachten sie nun für a = 1 und b = −4 den Graph der Funktion. Die y-
2
Achse zerlegt das von der Verbindungsstrecke der Extrema (nicht (0|0)) und
dem Graphder Funktioneingeschlossene Flächenstück inzwei Teile. Vergleichen
sie die beiden Teilflächen. Begründen sie ihre Antwort.
Lösung: (a) x1 = 0, Maximum für b < 0, Minimum für b > 0
Falls a und b verschiedene Vorzeichen haben gibt es weitere Extrema:
x2,3 = ± Maximum für b > 0, Minimum für b < 0
(b) o(x) = −ax 4
− b
2a
(c) Falls a und
b verschiedene Vorzeichen haben, gibt es Wendepunkte:
x4,5 = ±
(d)
− b
6a
(e) Die Flächen haben gleichen Flächeninhalt, da sie wie der Funktionsgraph achsensymmetrisch
zur y-Achse sind.
13. GegebenistdieFunktionf(x) = x2 .GtseidieTangenteanGf
imPunktA(−a f(−a))
.
und Gh die Tangente an Gf im Punkt B a
5 f a
5
(a) Stellen Sie die Funktionsgleichungen von t und h auf und berechnen Sie die
Nullstellen dieser Funktionen.
(b) Berechnen Sie die Koordinaten xa und ya des Schnittpunktes Sa von Gt und Gh.
(c) ZeichnenSiedenGraphenvonf undermittelnSiezeichnerisch sowierechnerisch
den Punkt S2,5.
(d) Die Menge aller Punkte Sa mit a ∈ R ist der Graph einer Funktion g. Ermitteln
Sie die Gleichung von g.
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