SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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2.6 Kurvendiskussion Lösung: f ′ (x) = 2x− a x2 , f ′ 1 a 3 (x) = 0 =⇒ x1 = 2 2 a 3 Pa(x1 y1) mit y1 = 3· , Kurve der Minima: y = 3·x 2 2 10. g sei die Menge aller Scheitelpunkte von nach unten geöffneten und verschobenen Normalparabeln fa(x) = −x 2 +bx+c, die die Normalparabel n(x) = x 2 im Punkt Pa (a a 2 )berühren. Berechnen Siezuerst dieKoeffizientenbundcinfa(x)undstellen Sie dann die Funktionsgleichung von g auf. Lösung: f ′ a(a) = n ′ (a) und fa(a) = n(a) =⇒ b = 4a und c = −2a 2 fa(x) = −x 2 +4ax−2a 2 , Scheitel von fa: Sa 2a 2a2 Kurve der Scheitelpunkte: g(x) = x2 2 11. Durch die Funktionenschar fa(x) = x2 + bx+c wird die Menge aller verschobenen Normalparabeln beschrieben, die den Graphen der Funktion h(x) = 1 im Punkt x berühren. Pa a 1 a (a) Stellen Sie die Gleichung der Schar fa auf, d.h. drücken Sie b und c durch a aus! (b) Beweisen Sie, daß der Scheitel des Graphen von fa durch gegeben ist! S(xS yS) mit xS = 2a3 +1 2a 2 und yS = 4a3 −1 4a 4 (c) Zeichnen Sie die Graphen von h und fa für a ∈ {−5; −1; −0,5; 0,5; 1; 5} in ein Koordinatensystem! (d) g sei die Menge aller Scheitelpunkte der Parabeln fa. Füllen Sie folgende Wertetabelle aus und zeichen Sie dann den Graphen von g! a -5,0 -2,0 -1,0 -0,5 -0,4 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 4,0 xS yS Ist g eine Funktion? Die Darstellung von g durch die beiden Funktionen xS(a) und yS(a) nennt man Parameterdarstellung von g mit dem Parameter a. Lösung: (a) f ′ a (a) = h′ (a) und fa(a) = h(a) =⇒ b = −2a− 1 a2 und c = 2 a +a2 fa(x) = x 2 + −2a− 1 a2 x+ 2 a +a2 98
(d) 2.6 Kurvendiskussion a -5,0 -2,0 -1,0 -0,5 -0,4 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 4,0 xS -4,98 -1,88 -0,5 1,5 2,73 3,53 2,5 1,72 1,5 1,72 2,13 4,03 yS -0,20 -0,52 -1,25 -6,00 -12,3 -7,27 -2,00 0,39 0,75 0,62 0,48 0,25 g ist keine Funktion. 12. Gegeben ist die Funktionenschar f(x) = ax 4 +bx 2 , a,b = 0, D = R. (a) Für welche Werte von a und b hat der Graph der Funkion Extrema? (b) Berechnen sie die Ortskurve der Extrema für festes a und variables b. (c) Für welche Werte von a und b hat der Graph der Funkion Wendepunkte? (d) Zeichnen sie die Graphen der Funktionen für a = 1 und b = −4,−1,1,4. Achten 2 sie darauf, dass die Lage der Extrema (soweit vorhanden) richtig eingetragen ist. Tragen sie die Ortskurve der Extrema in das Diagramm ein. (e) Betrachten sie nun für a = 1 und b = −4 den Graph der Funktion. Die y- 2 Achse zerlegt das von der Verbindungsstrecke der Extrema (nicht (0|0)) und dem Graphder Funktioneingeschlossene Flächenstück inzwei Teile. Vergleichen sie die beiden Teilflächen. Begründen sie ihre Antwort. Lösung: (a) x1 = 0, Maximum für b < 0, Minimum für b > 0 Falls a und b verschiedene Vorzeichen haben gibt es weitere Extrema: x2,3 = ± Maximum für b > 0, Minimum für b < 0 (b) o(x) = −ax 4 − b 2a (c) Falls a und b verschiedene Vorzeichen haben, gibt es Wendepunkte: x4,5 = ± (d) − b 6a (e) Die Flächen haben gleichen Flächeninhalt, da sie wie der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse sind. 13. GegebenistdieFunktionf(x) = x2 .GtseidieTangenteanGf imPunktA(−a f(−a)) . und Gh die Tangente an Gf im Punkt B a 5 f a 5 (a) Stellen Sie die Funktionsgleichungen von t und h auf und berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktionen. (b) Berechnen Sie die Koordinaten xa und ya des Schnittpunktes Sa von Gt und Gh. (c) ZeichnenSiedenGraphenvonf undermittelnSiezeichnerisch sowierechnerisch den Punkt S2,5. (d) Die Menge aller Punkte Sa mit a ∈ R ist der Graph einer Funktion g. Ermitteln Sie die Gleichung von g. 99
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2.6 Kurvendiskussion<br />
Lösung: f ′ (x) = 2x− a<br />
x2 , f ′ 1<br />
a 3<br />
(x) = 0 =⇒ x1 =<br />
2<br />
2<br />
a 3<br />
Pa(x1 y1) <strong>mit</strong> y1 = 3· , Kurve der Minima: y = 3·x<br />
2<br />
2<br />
10. g sei die Menge aller Scheitelpunkte von nach unten geöffneten und verschobenen<br />
Normalparabeln fa(x) = −x 2 +bx+c, die die Normalparabel n(x) = x 2 im Punkt<br />
Pa (a a 2 )berühren. Berechnen Siezuerst dieKoeffizientenbundcinfa(x)undstellen<br />
Sie dann die Funktionsgleichung von g auf.<br />
Lösung: f ′ a(a) = n ′ (a) und fa(a) = n(a) =⇒ b = 4a und c = −2a 2<br />
fa(x) = −x 2 +4ax−2a 2 <br />
, Scheitel von fa: Sa 2a 2a2 <br />
Kurve der Scheitelpunkte: g(x) = x2<br />
2<br />
11. Durch die Funktionenschar fa(x) = x2 + bx+c wird die Menge aller verschobenen<br />
Normalparabeln beschrieben, die den Graphen der Funktion h(x) = 1<br />
<br />
im Punkt x<br />
berühren.<br />
Pa<br />
a 1<br />
a<br />
(a) Stellen Sie die Gleichung der Schar fa auf, d.h. drücken Sie b und c durch a aus!<br />
(b) Beweisen Sie, daß der Scheitel des Graphen von fa durch<br />
gegeben ist!<br />
S(xS yS) <strong>mit</strong> xS = 2a3 +1<br />
2a 2<br />
und yS = 4a3 −1<br />
4a 4<br />
(c) Zeichnen Sie die Graphen von h und fa für a ∈ {−5; −1; −0,5; 0,5; 1; 5} in<br />
ein Koordinatensystem!<br />
(d) g sei die Menge aller Scheitelpunkte der Parabeln fa. Füllen Sie folgende Wertetabelle<br />
aus und zeichen Sie dann den Graphen von g!<br />
a -5,0 -2,0 -1,0 -0,5 -0,4 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 4,0<br />
xS<br />
yS<br />
Ist g eine Funktion? Die Darstellung von g durch die beiden Funktionen xS(a)<br />
und yS(a) nennt man Parameterdarstellung von g <strong>mit</strong> dem Parameter a.<br />
Lösung: (a) f ′ a (a) = h′ (a) und fa(a) = h(a) =⇒<br />
b = −2a− 1<br />
a2 und c = 2<br />
a +a2<br />
fa(x) = x 2 <br />
+ −2a− 1<br />
a2 <br />
x+ 2<br />
a +a2<br />
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