SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(b) Zeichnen Sie für a = 2 und b = −1,− 1
4 ,−1 1 1 ,− ,− die Extrema in ein Koor-
9 16 25
dinatensystem. Auf welcher Kurve könnten die Extrema mit x = 0 liegen?
(c) Berechnen Sie die Ortskurve der Extrema für festes b und variables a.
Lösung: (a) E1(0|0), E2 − b
− b2
, E3 − − b
− b2
2a
4a
Drei Extrema genau dann, wenn a und b verschiedene Vorzeichen haben.
(b) Vermutung: Extrema liegen auf einer nach oben geöffneten Parabel.
(c) e(x) = b
2 x2
7. Berechnen Sie für folgende Funktionen die Ortskurve der Extrema.
(a) f(x) = x 3 +x 2 +kx
(b) f(x) = x 3 +kx 2 +x
(c) f(x) = kx 3 +x 2 +x
Lösung: (a) Extrema bei xE = − 1±√ 1−3k
3 ⇒
k = −3x 2 −2x ⇒ f(xE) = x 3 +x 2 +(−3x 2 −2x)·x = −2x 3 −x 2
(b) Extrema bei xE = −k±√k2−3 3 ⇒
k = − 1 3
2x − 2x ⇒ f(xE) = x3 +(− 1 3
2x − 2x)·x2 +x = −1 2 (x3 −x)
(c) Extrema bei xE = − 1
3k (1±√ 1−3k) ⇒
k = − 2x+1
3x 2 ⇒ f(xE) = (− 2x+1
3x 2 )x 3 +x 2 +x = 1
3 x2 + 2
3 x
8. Berechnen Sie für folgende Funktionen die Ortskurve der Wendepunkte.
(a) f(x) = x 3 +x 2 +kx
(b) f(x) = x 3 +kx 2 +x
(c) f(x) = kx 3 +x 2 +x
Lösung: (a) Wendepunkte bei xW = − 1
3
⇒ k = −3x ⇒
f(xW) = x3 −3x·x+x = −2x3 +x
(b) Wendepunkte bei xW = −k 3
(c) Wendepunkte bei xW = − 1
3k
1 ⇒ k = −3k ⇒
f(xW) = − 1
3kx3 +x2 +x = 2
3x2 +x
9. Wir betrachten die Funktionenschar fa(x) = x 2 + a
x . Pa sei ein Punkt auf Gfa mit
waagrechter Tangente. Berechnen Sie die Koordinaten von Pa! Auf welcher Kurve
liegen alle Punkte Pa mit a ∈ R?
97
2a
4a