SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(d) Zeichnen Sie für b = 1 und für a = −0,1, −0,2, ... − 0,9 die Extrema in ein
Koordinatensystem ein. Was fällt auf?
(e) Beweisen Sie, dass für festes b und variables a die Extrema auf einer Ursprungsgeraden
liegen.
0
Lösung: (a) N1(0|0), N2
− b
a
(b) f ′ (x) = 3ax2
+b = 0 ⇔ x = − b
3a
f ′′ (x) = 6ax ⇒ f ′′
− b
3a = 0.
Also Extrema bei − b
3a 2
3b
(c)
(d) Extrema liegen auf einer Geraden.
(e) f(xMax) =
− b
3a
.
− b
3a (−b 2
3 +b) = 3b·xMax 5. Gegeben ist die Funktion f(x) = ax 4 +bx 2 (D = R,a = 0,b = 0).
(a) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch ist.
(b) Bestimmen Sie allgemein die Lage der Extrema.
Welche Bedingung muss für die Variablen a und b gelten, damit der Graph der
Funktion drei Extrema hat?
(c) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion für
i. a = 1
und b = −4. 2
ii. a = 1 und b = 4. 2
(d) Zeichnen Sie für a = 1 und b = −1,−4,−9,−16,−25 die Extrema in ein Koor-
2
dinatensystem. Auf welcher Kurve könnten die Extrema mit x = 0 liegen?
(e) Berechnen Sie die Ortskurve der Extrema für festes a und variables b.
Lösung: (b) E1(0|0), E2 − b
− b2
, E3 − − b
− b2
2a
4a
Drei Extrema genau dann, wenn a und b verschiedene Vorzeichen haben.
(d) Vermutung: Extrema liegen auf einer nach oben geöffneten Parabel.
(e) e(x) = b
2 x2
6. Gegeben ist die Funktion f(x) = ax 4 +bx 2 (D = R,a = 0,b = 0).
2a
(a) Bestimmen Sie allgemein die Lage der Extrema.
Welche Bedingung muss für die Variablen a und b gelten, damit der Graph der
Funktion drei Extrema hat.
96
4a