SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(b) Geben Sie die Gleichungen der Geraden an, auf denen die Höhen ha und hc
liegen.
(c) Berechnen Sie die Koordinaten des Höhenschnittpunkts H.
(d) Beweisen Sie, dass sich der Höhenschnittpunkt für variables c auf einer Parabel
bewegt.
(e) GebenSiedieLagedesScheitels derParabelanundvergleichen SiedasErgebnis
mit Teilaufgabe (a).
Lösung: (a) Höhenschnittpunkt liegt auf einer Parabel.
(b) hc : x = c und ha : x → (1−c)·x
(c) H liegt auf hc (⇒ x = c) und auf ha (⇒ y = (1−c)·x). Also H(c|c−c 2 )
(d) yH = (1−c)·xH = (1−xH)·xH = xH −x 2 H
(e) S( 1
2 |1
4
); Ergebnis stimmt mit Teilaufgabe (a) überein
3. Gegeben ist die Funktion f(x) = ax 3 +bx 2 (D = R, a = 0, b = 0).
(a) Bestimmen Sie allgemein die Nullstellen der Funktion.
(b) Bestimmen Sie allgemein die Koordinaten der Extrema.
(c) Zeichnen Sie die Funktion für a = 1 und b = 3.
(d) Zeichnen Sie für b = 3 und für zehn verschiedene Werte von a die Extrema in
ein Koordinatensystem ein. Was fällt auf?
(e) Beweisen Sie, dass für festes b und variables a die Extrema auf einer Parabel
liegen.
Lösung: (a) N1(0|0), N2(− b
a |0)
(b) f ′ (x) = x(3ax+2b) = 0 ⇔ x1 = 0 oder x2 = −2b 3a
f ′′ (x) = 6ax+2b = 0 für x1 und x2 (a und b = 0!).
(c)
Also Extrema bei (0|0) und (− 2b
3a
(d) Extrema liegen auf einer Parabel.
(e) f(x2) = 4b3
27a 2 = b
3 ·(−2b
3a )2 = b
3 ·x2 2
| 4b3
27a 2)
4. Gegeben ist die Funktion f(x) = ax 3 +bx (D = R, a = 0, b = 0).
(a) Bestimmen Sie allgemein die Nullstellen der Funktion.
(b) Bestimmen Sie allgemein die Koordinaten der Extrema.
(c) Zeichnen Sie die Funktion für a = − 1
3
95
und b = 1.