SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(c) Berechnen Sie die Koordinaten von P1 und P4. Zeichnen Sie dann die Grafen
von f1 und f4 im Intervall [0; 10] unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse
in ein Koordinatensystem. Verwenden Sie die Einheit 1cm.
(d) Auf welcher Kurve liegen die Punkte Pn?
Lösung: (a) D = R + , keine Nullstellen, lim
x→0 +fn(x) = +∞
(b) f ′ n(x) = 1
2 √ n
−
x x2, xn = (2n) 2
3, yn = 3
2 (2n)13
, P4(4|3)
(c) P1
2 2
3 3
2 213
(d) g(x) = 3√
x
2
11. Wir betrachten die Funktionenschar fa(x) = a3
x +2√ x mit a > 0.
(a) Berechnen Sie die Definitionsmenge Dfa sowie die Grenzwerte von fa(x) für
x → 0 + und x → +∞.
(b) Für a > 0 sei Pa der Punkt von Gfa mit waagrechter Tangente. Berechnen Sie
die Koordinaten von Pa. Der Graph der Funktion g ist die Menge aller Pa mit
a > 0. Leiten Sie die Funktionsgleichung g(x) her.
(c) Zeichnen Sie die Graphen von f1, f2 und g im x-Intervall [0;9] in ein Koordinatensystem.
(d) Für welches a ist der Schnittwinkel zwischen den Graphen von g und fa gleich
30 ◦ ?
Lösung: (a) Dfa = R+ , lim
x→0 +fa(x) = +∞, lim
x→+∞ fa(x) = +∞
(b) f ′ a(x) = − a3 1
+ √ , Pa
x2 x
a 2 3a , g(x) = 3 √ x
(d) Gg ∩Gfa = {Pa} =⇒ f ′ a(a 2 ) = 0
g ′ (x) = 3
2 √ x , g′ (a 2 ) = 3
2a = tan30◦ = 1
√ =⇒ a =
3 3
2
2.6.3 Ortskurven besonderer Punkte
1. Wir betrachten die Funktionenschar fa mit
√ 3
fa(x) = ax+2
2ex , Dfa = R und a ∈ R \ {0}.
(a) Bestimme in Anhängigkeit des Scharparameters a die Nullstellen von fa und
das Verhalten von fa für x → ±∞.
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