SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
Lösung: (a) f ′ a (a) = h′ (a) und fa(a) = h(a) =⇒
(d)
b = −2a− 1
a2 und c = 2
a +a2
fa(x) = x 2
+ −2a− 1
a2
x+ 2
a +a2
a -5,0 -2,0 -1,0 -0,5 -0,4 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 4,0
xS -4,98 -1,88 -0,5 1,5 2,73 3,53 2,5 1,72 1,5 1,72 2,13 4,03
yS -0,20 -0,52 -1,25 -6,00 -12,3 -7,27 -2,00 0,39 0,75 0,62 0,48 0,25
g ist keine Funktion.
9. Wir betrachten die Funktionenschar fn mit der Gleichung
fn(x) = √ x−x n
, n ∈ N
(a) Wie lautet diemaximale Definitionsmenge von fn?Berechnen Sie dieNullstellen
von fn.
(b) Der Graf Gn von fn enthält einen Punkt Pn(xn|yn) mit waagrechter Tangente.
Berechnen Sie die Koordinaten von Pn.
(c) Berechnen Sie lim
x→0 +f′ n(x).
(d) Berechnen Sie die Koordinaten von P1 und P4 und die Ableitungen f ′ 1(1) und
f ′ 4 (1). Zeichnen Sie dann die Grafen von f1 und f4 im Intervall [0; 1] unter
Verwendung aller bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem. Verwenden
Sie die Einheit 5cm.
Lösung: (a) D = R + 0 , x01 = 0, x02 = 1
(b) f ′ n(x) = 1
2 √ x −nxn−1 , xn = (2n) −2
2n−1, yn = (2n) −1
2n−1
(c) +∞
1− 1
2n
(d) P1(0,25|0,25), P4(0,552|0,650), f ′ 1 (1) = −0,5, f′ 4 (1) = −3,5
10. Wir betrachten die Funktionenschar fn mit der Gleichung
fn(x) = √ x+ n
x
, n ∈ N
(a) Wie lautet die maximale Definitionsmenge von fn? Untersuchen Sie fn auf Nullstellen.
Berechnen Sie lim
x→0 +fn(x).
(b) Der Graf Gn von fn enthält einen Punkt Pn(xn|yn) mit waagrechter Tangente.
Berechnen Sie die Koordinaten von Pn.
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