SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
6. Wir betrachten die Funktionenschar fa(x) = x 2 + a
x . Pa sei ein Punkt auf Gfa mit
waagrechter Tangente. Berechnen Sie die Koordinaten von Pa! Auf welcher Kurve
liegen alle Punkte Pa mit a ∈ R?
Lösung: f ′ (x) = 2x− a
x2 , f ′ 1
a 3
(x) = 0 =⇒ x1 =
2
2
a 3
Pa(x1 y1) mit y1 = 3· , Kurve der Minima: y = 3·x
2
2
7. g sei die Menge aller Scheitelpunkte von nach unten geöffneten und verschobenen
Normalparabeln fa(x) = −x 2 +bx+c, die die Normalparabel n(x) = x 2 im Punkt
Pa (a a 2 )berühren. Berechnen Siezuerst dieKoeffizientenbundcinfa(x)undstellen
Sie dann die Funktionsgleichung von g auf.
Lösung: f ′ a (a) = n′ (a) und fa(a) = n(a) =⇒ b = 4a und c = −2a 2
fa(x) = −x 2 +4ax−2a 2
, Scheitel von fa: Sa 2a 2a2
Kurve der Scheitelpunkte: g(x) = x2
2
8. Durch die Funktionenschar fa(x) = x2 + bx+c wird die Menge aller verschobenen
Normalparabeln beschrieben, die den Graphen der Funktion h(x) = 1
im Punkt x
berühren.
Pa
a 1
a
(a) Stellen Sie die Gleichung der Schar fa auf, d.h. drücken Sie b und c durch a aus!
(b) Beweisen Sie, daß der Scheitel des Graphen von fa durch
gegeben ist!
S(xS yS) mit xS = 2a3 +1
2a2 und yS = 4a3 −1
4a4 (c) Zeichnen Sie die Graphen von h und fa für a ∈ {−5; −1; −0,5; 0,5; 1; 5} in
ein Koordinatensystem!
(d) g sei die Menge aller Scheitelpunkte der Parabeln fa. Füllen Sie folgende Wertetabelle
aus und zeichen Sie dann den Graphen von g!
a -5,0 -2,0 -1,0 -0,5 -0,4 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 4,0
xS
yS
Ist g eine Funktion? Die Darstellung von g durch die beiden Funktionen xS(a)
und yS(a) nennt man Parameterdarstellung von g mit dem Parameter a.
90