SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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2.6 Kurvendiskussion Nullstellen von F: X01 = 0, X02 = 4 3 s F ′ s(x) = fs(x) Nullstellen von F ′ : X11 = 0, X12 = s F ′′ s (x) = f ′ s(x) F ′′ s (X11) = 0 mit VZW für s = 0: (0|0) ist Terrassenpunkt für s = 0 Hochpunkt für s = 0 s (X12) = −s2 < 0 =⇒ F ′′ s s4 12 ist immer Hochpunkt. KF : xE → yE = 1 12 x4 E (c) As = 0 s fs(x)dx = |Fs(s)| = s4 12 3. Gegeben ist die Funktionenschar ft(x) = 1 3 x3 +tx 2 +t 2 x. (a) Untersuchen Sie die Funktionen auf Symmetrie. −3 −2 −1 y 6 5 4 3 2 1 −1 −2 1 F−2 2 KF 3 F1 F2 (b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen in Abhängigkeit von t. (c) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktionen in Abhängigkeit von t. (d) GebenSiegegebenenfallsExtrema,WendepunkteundTerrassenpunktederFunktionen in Abhängigkeit von t an. (e) Geben Sie die Ortslinie der Terrassenpunkte an. (f) Zeichnen Sie die Funktion für t = 2. (g) Zeichnen Sie die Funktionenschar und die Ortslinie der Terrassenpunkte mit einer geeigneten Software. Lösung: (a) keine Symmetrie (b) N(0|0) (c) Waagrechte Tangente für x = −t, sonst immer streng monoton steigend. Für x < −t rechtsgekrümmt, für x > −t linksgekrümmt. (d) keine Extrema, Terrassenpunkt bei (−t|− 1 3 t3 ) (e) y = 1 3 x3 4. Gegeben ist die Funktionenschar ft(x) = x 3 +tx 2 +x+1. 88 F3 4 5 x
2.6 Kurvendiskussion (a) Untersuchen Sie die Funktionen auf Symmetrie. (b) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktionen in Abhängigkeit von t. (c) Geben Sie gegebenenfalls die x-Koordinaten der Extrema, Wendepunkte und Terrassenpunkte in Abhängigkeit von t an. (d) Geben Sie die Ortslinie der Wendepunkte an. (e) Zeichnen Sie die Funktion für t = 2. (f) Zeichnen Sie die Funktionsschar und die Ortslinie der Wendepunkte mit einer geeigneten Software. Lösung: (a) keine Symmetrie (b) Für |t| < √ 3 strend monoton steigend. Für |t| > √ 3 streng monoton steigend im Intervall x ∈]−∞, −t−√t2−3 3 [∪] −t+√t2−3 3 ,∞[, sonst streng monoton fallend. Für x < −1 3t rechtsgekrümmt und für x > −1 3t linksgekrümmt. (c) Maximum bei x = −t−√t2−3 3 , Minimum bei x = −t+√t2−3 und Wendepunkt bei x = −1 3t. Für |t| = √ √ 3 3 Terrassenpunkt bei x = ± 3 (d) y = −2x3 +x+1 5. Gegeben ist die Funktionenschar ft(x) = 1 3 x3 −t 2 x. (a) Untersuchen Sie die Funktionen auf Symmetrie. 3 (für |t| < √ 3 keine Extrema) (b) Geben Sie die Nullstellen der Funktionen in Abhängigkeit von t an. (c) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktionen in Abhängigkeit von t. (d) GebenSiegegebenenfallsExtrema,WendepunkteundTerassenpunktederFunktion in Abhängigkeit von t an. (e) Geben Sie die Ortslinien der Extrema an. (f) Zeichnen Sie die Funktionsschar. Lösung: (a) f(−x) = −f(x), also punktsymmetrisch. (b) N1(− √ 3 t|0), N2(0|0), N3( √ 3 t|0) (c) f ′ (x) = (x−t)(x+t), also steigend für x ∈]−∞,−t[∪]t,∞[ und fallend für x ∈]−t,t[. f ′′ (x) = 2x, also rechtsgekrümmt für x < 0 und linksgekrümmt für x > 0. (d) Maximum bei (−t| 2 senpunkt für t = 0. (e) y = − 2 3 x3 3t3 ), Minimum bei (t| − 2 3t3 ), Wendepunkt bei (0|0), kein Terras- 89
- Seite 37 und 38: Lösung: f(x) = 0 =⇒ xf0 = 4 g(x)
- Seite 39 und 40: 2 Funktionen und deren Graphen 2.1
- Seite 41 und 42: 2. Krümmung 2.4 Krümmungsverhalte
- Seite 43 und 44: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 45 und 46: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 47 und 48: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 49 und 50: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 51 und 52: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 53 und 54: 2.5 Wirtschaft Lösung: (a) Beizune
- Seite 55 und 56: (g) Preiserhöhung Preissenkung ε
- Seite 57 und 58: 2.5 Wirtschaft 7. Nach dem Einkomme
- Seite 59 und 60: 2.6 Kurvendiskussion 2.6 Kurvendisk
- Seite 61 und 62: Lösung: (a) f(x) = (b) f ′ (x)dx
- Seite 63 und 64: lim = lim x→0 +g(x) x→0 + 2.6
- Seite 65 und 66: 6. Wir betrachten die Funktion f mi
- Seite 67 und 68: 2.6 Kurvendiskussion f ′′ (x22)
- Seite 69 und 70: 2.6 Kurvendiskussion f ′ (x) = 0
- Seite 71 und 72: 2.6 Kurvendiskussion auf Nullstelle
- Seite 73 und 74: 13. Gegeben ist die Funktion 2.6 Ku
- Seite 75 und 76: 2.6 Kurvendiskussion (b) Berechnen
- Seite 77 und 78: Lösung: 21. Wir betrachten die Fun
- Seite 79 und 80: (e) g ′ (x) = f′ (x) 2 f(x) (f
- Seite 81 und 82: 2.6 Kurvendiskussion 27. Wir betrac
- Seite 83 und 84: 2.6 Kurvendiskussion (d) Untersuche
- Seite 85 und 86: 2.6 Kurvendiskussion 33. Wir betrac
- Seite 87: 2.6 Kurvendiskussion (a) Berechne d
- Seite 91 und 92: 2.6 Kurvendiskussion Lösung: (a) f
- Seite 93 und 94: 2.6 Kurvendiskussion (b) Zeige, das
- Seite 95 und 96: 2.6 Kurvendiskussion (b) Geben Sie
- Seite 97 und 98: 2.6 Kurvendiskussion (b) Zeichnen S
- Seite 99 und 100: (d) 2.6 Kurvendiskussion a -5,0 -2,
- Seite 101 und 102: 2.6 Kurvendiskussion Neben Konstant
- Seite 103 und 104: Lösung: Lösung: 2.6 Kurvendiskuss
- Seite 105 und 106: 2.6 Kurvendiskussion (a) Untersuche
- Seite 107 und 108: 3 Stochastik: Binomialverteilung un
- Seite 109 und 110: 3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und oh
- Seite 111 und 112: 3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und oh
- Seite 113 und 114: Lösung: (a) N = 3.1 Urnenmodell -
- Seite 115 und 116: 3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und oh
- Seite 117 und 118: 3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und oh
- Seite 119 und 120: 3.2 Bernoulli-Experiment und -Kette
- Seite 121 und 122: 3.3 Binomialkoeffizient, Binomialve
- Seite 123 und 124: (b) p2 = 20 p 15 15 q 5 = 3.3 Bin
- Seite 125 und 126: (f) 1−q n − 3.3 Binomialkoeffiz
- Seite 127 und 128: (b) p1 = p2 = (c) p3 = 70 k=0 500 k
- Seite 129 und 130: 4 Geometrie: Geraden und Ebenen im
- Seite 131 und 132: 4.1 Lineare Abhängigkeit von Vekto
- Seite 133 und 134: 4. Berechne die Lösungsmenge: 4.1
- Seite 135 und 136: 4.2 Geraden und Ebenen 4.2 Geraden
- Seite 137 und 138: ⎛ (c) h : −→ X = ⎝ -0,5 -2,
2.6 Kurvendiskussion<br />
Nullstellen von F: X01 = 0, X02 = 4<br />
3 s<br />
F ′ s(x) = fs(x)<br />
Nullstellen von F ′ : X11 = 0, X12 = s<br />
F ′′<br />
s (x) = f ′ s(x)<br />
F ′′<br />
s (X11) = 0 <strong>mit</strong> VZW für s = 0:<br />
(0|0) ist Terrassenpunkt für s = 0<br />
Hochpunkt für s = 0<br />
s (X12) = −s2 < 0 =⇒<br />
F ′′<br />
<br />
s s4<br />
12<br />
<br />
ist immer Hochpunkt.<br />
KF : xE → yE = 1<br />
12 x4 E<br />
<br />
<br />
<br />
(c) As = <br />
<br />
<br />
0<br />
s<br />
<br />
<br />
<br />
fs(x)dx<br />
<br />
= |Fs(s)| = s4<br />
12<br />
3. Gegeben ist die Funktionenschar ft(x) = 1<br />
3 x3 +tx 2 +t 2 x.<br />
(a) Untersuchen Sie die Funktionen auf Symmetrie.<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
y<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
−2<br />
1<br />
F−2<br />
2<br />
KF<br />
3<br />
F1 F2<br />
(b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen in Abhängigkeit von t.<br />
(c) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktionen in<br />
Abhängigkeit von t.<br />
(d) GebenSiegegebenenfallsExtrema,WendepunkteundTerrassenpunktederFunktionen<br />
in Abhängigkeit von t an.<br />
(e) Geben Sie die Ortslinie der Terrassenpunkte an.<br />
(f) Zeichnen Sie die Funktion für t = 2.<br />
(g) Zeichnen Sie die Funktionenschar und die Ortslinie der Terrassenpunkte <strong>mit</strong><br />
einer geeigneten Software.<br />
Lösung: (a) keine Symmetrie<br />
(b) N(0|0)<br />
(c) Waagrechte Tangente für x = −t, sonst immer streng monoton steigend.<br />
Für x < −t rechtsgekrümmt, für x > −t linksgekrümmt.<br />
(d) keine Extrema, Terrassenpunkt bei (−t|− 1<br />
3 t3 )<br />
(e) y = 1<br />
3 x3<br />
4. Gegeben ist die Funktionenschar ft(x) = x 3 +tx 2 +x+1.<br />
88<br />
F3<br />
4<br />
5<br />
x