SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(a) Berechne die Nullstellen und die relativen Extrema der Scharfunktionen fs. Auf
welcher Kurve Kf liegen alle Extrempunkte? Zeichne Kf und die Grafen von
f−2, f1, f2 und f3 in ein Koordinatensystem.
(b) Eine weitere Funktionenschar ist durch
Fs : x → Fs(x) =
x
0
fs(t)dt
gegeben. Berechne die Nullstellen und die relativen Extrema der Scharfunktionen
Fs. Auf welcher Kurve KF liegen alle Extrempunkte? Zeichne KF und die
Grafen von F−2, F1, F2 und F3 in ein Koordinatensystem.
(c) Die Grafen von fs schließen mit der x-Achse ein endliches Flächenstück mit dem
Inhalt As ein. Berechne As.
Lösung: (a) Nullstellen von f: x01 = 0, x02 = s
f ′ s (x) = −3x2 +2sx = x(2s−3x)
Nullstellen von f ′ : x11 = 0, x12 = 2
3 s
f ′′
s(x) = −6x+2s
f ′′
s(x11) = 2s, f ′′
s(x12) = −2s =⇒
(0|0) ist Tiefpunkt für s > 0
Hochpunkt für s < 0
2s
3
2s E 3
Terrassenpunkt für s = 0
ist Hochpunkt für s > 0
4s 3
27
(b) Fs(x) =
4s 3
27
Tiefpunkt für s < 0
Terrassenpunkt für s = 0
= E(xE yE) =⇒ Kf : xE → yE = 1
2x3 E
x
0
−2
(−x 3 +sx 2 )dx = − 1
4 x4 + s
3 x3 = x 3 s
3
87
−1
x
−
4
y
3
2
1
−1
−2
−3
1
f−2
f1
Kf
2
f2
3
f3
x