SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
2.6.2 Diskussion von Funktionenscharen
1. Wir betrachten die Funktionenschar fa mit
fa(x) = −(a+1) 4 x 2 +a
(a) Zeichne dieGrafender Scharfunktionen für a = 0,25,a = 0,5und a = 1 (Einheit
5cm).
(b) Für a > 0 schließt der Graf von fa mit der x-Achse ein endliches Flächenstück
ein, dessen Inhalt wir mit A(a) bezeichnen. Berechne A(a).
(c) Für welches a ist A(a) maximal? Wie groß ist Amax?
Lösung: (a) f0,25 = −1,25 4 x 2 +0,25
(b)
f0,5 = −1,5 4 x 2 +0,5
f1 = −x 2 +1
Nullstellen:
√
a
x1 = −
(a+1) 2
√
a
x2 =
(a+1) 2 für a ≧ 0
keine Nullstellen für a < 0
(c) A ′ (a) =
A(a) =
4
·
3(a+1) 4
x2
x1
fa(x)dx = 2
x2
= − 2(a+1)4 a 3
2
3(a+1) 6 + 2a√a (a+1)
A ′ (a) = 0 =⇒ a1 = 0 und a2 = 3
0
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
−0,5 −0,25 0 0,25 0,5
x
fa(x)dx = − 2(a+1)4 x 3 2
3
2 =
4a 3
2
3(a+1) 2
+2ax2 =
3√
3
2
a(a+1) −2a 2(a+1) =
2
4√
a 3 a
· −
3(a+1) 3 2 2
Aus A(0) = 0, A(a) > 0 für a > 0 und lim A(a) = 0 folgt, dass
a→∞
√
3
Amax = A(3) =
4
2. Wir betrachten die Funktionenschar
fs : x → fs(x) = −x 3 +sx 2
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