SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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(f) f ′ (0) = −1 =⇒ t1(x) = −x f ′ (1) = −4 3 =⇒ t2(x) = −11 9 Schnittpunkt von t1 und t2 bei 1 3 7 0 2.6 Kurvendiskussion 0 6 − 4 3 (x−1) = −4 3 − 1 3 32. Diskutieren Sie die Funktion f mit der Gleichung x+ 1 9 f(x) = 1 12 x4 − 1 3 x3 − 3 2 x2 nach allen Regeln der Kunst und zeichnen Sie ihren Graphen. Lösung: NS: x01 = 2− √ 22 ≈ −2,69, x02 = 0, x03 = 2+ √ 22 ≈ 6,69 lim f(x) = +∞ x→±∞ f ′ (x) = 1 3 x3 −x 2 −3x f ′′ (x) = x 2 −2x−3 rel. Minimum bei 3 2 (1−√5) 9 8 −13+5 √ 5 ≈ (−1,85| −2,05) rel. Maximum bei (0|0) rel. Minimum bei 3 2 (1+√5) 9 √ 8 −13−5 5 ≈ (4,85| −27,2) Wendepunkt bei −1 − 13 12 = (−1| −1,083) Wendepunkt bei 3 − 63 4 = (3| −15,75) 84
2.6 Kurvendiskussion 33. Wir betrachten die Funktion f mit der Gleichung im maximalen Definitionsbereich Df = R. (a) Berechnen Sie die Nullstellen von f. f(x) = 1 8 x3 − 3 2 x2 + 9 2 x (b) Untersuchen Sie f auf Monotonie und auf Extremwerte. (c) Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten von f und die Wendepunkte. (d) Zeichnen Sie den Grafen von f im x-Intervall [−0,5;8] in der Einheit 1cm. Lösung: (a) f(x) = x 2 x x −12x+36 = 8 8 (x−6)2 f(x) = 0 =⇒ x01 = 0, x02 = 6 (b) f ′ (x) = 3 8 x2−3x+ 9 3 2 = x −8x+12 2 8 f ′ (x) = 0 =⇒ x 2 −8x+4 2 = −12+16 x11 = 2, x12 = 6, f ′ ist eine nach oben geöffnete Parabel =⇒ f ′ (x) > 0 und f streng steigend in ]−∞;2[ und in ]6;∞[ f ′ (x) < 0 und f streng fallend in ]2;6[ (c) f ′′ (x) = 3 4 x−3 f′′ (x) = 0 =⇒ x2 = 4 =⇒ f ′′ (x) < 0 und f rechtsgekrümmt in ]−∞;4[ f ′ =⇒ Wendepunkt bei (4|2) (x) > 0 und f linksgekrümmt in ]4;∞[ (d) x f(x) −0,5 −2,64 0 0 1 3,125 3 3,375 5 0,625 7 0,875 8 4 x f ′′ (x) 2 -1,5 6 +1,5 8 4 x f ′′′ (x) 4 0,75 4 3 2 1 −3 85 WP =⇒ rel. Max. bei (2|4) rel. Min. bei (6|0) 1 2 3 4 5 6 7 8
- Seite 33 und 34: und somit 1.5 Berechnung von Fläch
- Seite 35 und 36: (d) A = √ e 1 1.5 Berechnung von
- Seite 37 und 38: Lösung: f(x) = 0 =⇒ xf0 = 4 g(x)
- Seite 39 und 40: 2 Funktionen und deren Graphen 2.1
- Seite 41 und 42: 2. Krümmung 2.4 Krümmungsverhalte
- Seite 43 und 44: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 45 und 46: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 47 und 48: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 49 und 50: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 51 und 52: 2.4 Krümmungsverhalten und Wendepu
- Seite 53 und 54: 2.5 Wirtschaft Lösung: (a) Beizune
- Seite 55 und 56: (g) Preiserhöhung Preissenkung ε
- Seite 57 und 58: 2.5 Wirtschaft 7. Nach dem Einkomme
- Seite 59 und 60: 2.6 Kurvendiskussion 2.6 Kurvendisk
- Seite 61 und 62: Lösung: (a) f(x) = (b) f ′ (x)dx
- Seite 63 und 64: lim = lim x→0 +g(x) x→0 + 2.6
- Seite 65 und 66: 6. Wir betrachten die Funktion f mi
- Seite 67 und 68: 2.6 Kurvendiskussion f ′′ (x22)
- Seite 69 und 70: 2.6 Kurvendiskussion f ′ (x) = 0
- Seite 71 und 72: 2.6 Kurvendiskussion auf Nullstelle
- Seite 73 und 74: 13. Gegeben ist die Funktion 2.6 Ku
- Seite 75 und 76: 2.6 Kurvendiskussion (b) Berechnen
- Seite 77 und 78: Lösung: 21. Wir betrachten die Fun
- Seite 79 und 80: (e) g ′ (x) = f′ (x) 2 f(x) (f
- Seite 81 und 82: 2.6 Kurvendiskussion 27. Wir betrac
- Seite 83: 2.6 Kurvendiskussion (d) Untersuche
- Seite 87 und 88: 2.6 Kurvendiskussion (a) Berechne d
- Seite 89 und 90: 2.6 Kurvendiskussion (a) Untersuche
- Seite 91 und 92: 2.6 Kurvendiskussion Lösung: (a) f
- Seite 93 und 94: 2.6 Kurvendiskussion (b) Zeige, das
- Seite 95 und 96: 2.6 Kurvendiskussion (b) Geben Sie
- Seite 97 und 98: 2.6 Kurvendiskussion (b) Zeichnen S
- Seite 99 und 100: (d) 2.6 Kurvendiskussion a -5,0 -2,
- Seite 101 und 102: 2.6 Kurvendiskussion Neben Konstant
- Seite 103 und 104: Lösung: Lösung: 2.6 Kurvendiskuss
- Seite 105 und 106: 2.6 Kurvendiskussion (a) Untersuche
- Seite 107 und 108: 3 Stochastik: Binomialverteilung un
- Seite 109 und 110: 3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und oh
- Seite 111 und 112: 3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und oh
- Seite 113 und 114: Lösung: (a) N = 3.1 Urnenmodell -
- Seite 115 und 116: 3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und oh
- Seite 117 und 118: 3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und oh
- Seite 119 und 120: 3.2 Bernoulli-Experiment und -Kette
- Seite 121 und 122: 3.3 Binomialkoeffizient, Binomialve
- Seite 123 und 124: (b) p2 = 20 p 15 15 q 5 = 3.3 Bin
- Seite 125 und 126: (f) 1−q n − 3.3 Binomialkoeffiz
- Seite 127 und 128: (b) p1 = p2 = (c) p3 = 70 k=0 500 k
- Seite 129 und 130: 4 Geometrie: Geraden und Ebenen im
- Seite 131 und 132: 4.1 Lineare Abhängigkeit von Vekto
- Seite 133 und 134: 4. Berechne die Lösungsmenge: 4.1
2.6 Kurvendiskussion<br />
33. Wir betrachten die Funktion f <strong>mit</strong> der Gleichung<br />
im maximalen Definitionsbereich Df = R.<br />
(a) Berechnen Sie die Nullstellen von f.<br />
f(x) = 1<br />
8 x3 − 3<br />
2 x2 + 9<br />
2 x<br />
(b) Untersuchen Sie f auf Monotonie und auf Extremwerte.<br />
(c) Er<strong>mit</strong>teln Sie das Krümmungsverhalten von f und die Wendepunkte.<br />
(d) Zeichnen Sie den Grafen von f im x-Intervall [−0,5;8] in der Einheit 1cm.<br />
Lösung: (a) f(x) = x 2 x<br />
x −12x+36 =<br />
8 8 (x−6)2 f(x) = 0 =⇒ x01 = 0, x02 = 6<br />
(b) f ′ (x) = 3<br />
8 x2−3x+ 9 3 2<br />
= x −8x+12<br />
2 8<br />
f ′ (x) = 0 =⇒ x 2 −8x+4 2 = −12+16<br />
x11 = 2, x12 = 6, f ′ ist eine nach oben geöffnete Parabel =⇒<br />
f ′ (x) > 0 und f streng steigend in ]−∞;2[ und in ]6;∞[<br />
f ′ (x) < 0 und f streng fallend in ]2;6[<br />
(c) f ′′ (x) = 3<br />
4 x−3 f′′ (x) = 0 =⇒ x2 = 4 =⇒<br />
f ′′ (x) < 0 und f rechtsgekrümmt in ]−∞;4[<br />
f ′ <br />
=⇒ Wendepunkt bei (4|2)<br />
(x) > 0 und f linksgekrümmt in ]4;∞[<br />
(d) x f(x)<br />
−0,5 −2,64<br />
0 0<br />
1 3,125<br />
3 3,375<br />
5 0,625<br />
7 0,875<br />
8 4<br />
x f ′′ (x)<br />
2 -1,5<br />
6 +1,5<br />
8 4<br />
x f ′′′ (x)<br />
4 0,75<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−3<br />
85<br />
<br />
WP<br />
=⇒<br />
rel. Max. bei (2|4)<br />
rel. Min. bei (6|0)<br />
1 2 3 4 5 6 7 8
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